Mix Examples - Probability Questions in Gujarati

(C) એક સમતોલ પાસાને ફેંકવાના પ્રયોગમાં,શક્ય તમામ સમસંભાવી પરિણામો $1, 2, 3, 4, 5$ અને $6$ છે.
ધારો કે ઘટના $A$ એ 'પાસા પર $2$ અંક મળવાની' ઘટના છે. તો,ઘટના $A$ માટે સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા માત્ર $1$ છે.
$\therefore P(A) = \text{P(પાસા પર } 2 \text{ અંક મળવો)}$
$= \frac{\text{ઘટના } A \text{ માટે સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{શક્ય તમામ પરિણામોની સંખ્યા}}$
$= \frac{1}{6}$
આમ,પાસા પર $2$ અંક મળવાની સંભાવના $\frac{1}{6}$ છે.

(D) એક સમતોલ પાસાને એકવાર ફેંકવાના પ્રયોગમાં કુલ છ પ્રાથમિક પરિણામો મળે છે: $1, 2, 3, 4, 5, 6$.
ધારો કે ઘટના $A$ છે: 'પાસા પર મળતી સંખ્યા અવિભાજ્ય સંખ્યા છે'.
અહીં અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ $2, 3, 5$ છે.
આમ,ઘટના $A$ માટે સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $3$ છે.
કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $6$ છે.
તેથી,ઘટના $A$ ની સંભાવના $P(A) = \frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.
આમ,પાસા પર અવિભાજ્ય સંખ્યા મળવાની સંભાવના $\frac{1}{2}$ છે.

(A) એક સમતોલ પાસાને એકવાર ફેંકવાના પ્રયોગમાં છ પ્રાથમિક પરિણામો મળે છે: $1, 2, 3, 4, 5, 6$.
ધારો કે ઘટના $A$: 'પાસા પરની સંખ્યા $4$ કરતા મોટી છે.'
ઘટના $A$ માટે સાનુકૂળ પરિણામો $5$ અને $6$ છે.
તેથી,ઘટના $A$ માટે સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $2$ છે.
$\therefore P(A) = P(\text{પાસા પરની સંખ્યા } 4 \text{ \text{કરતા મોટી છે}}) = \frac{\text{ઘટના } A \text{ \text{માટે સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા}}}{\text{કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા}}$.
$P(A) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
આમ,$4$ કરતા મોટી સંખ્યા મળવાની સંભાવના $\frac{1}{3}$ છે.

(B) એક સમતોલ પાસાને એકવાર ફેંકવાના પ્રયોગમાં છ પ્રાથમિક પરિણામો મળે છે: $1, 2, 3, 4, 5, 6$.
ધારો કે ઘટના $B$: 'પાસા પરની સંખ્યા $4$ કરતા નાની હોય.'
ઘટના $B$ માટે સાનુકૂળ પરિણામો $1, 2$ અને $3$ છે.
તેથી,ઘટના $B$ માટે સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $3$ છે.
તેથી,સંભાવના $P(B)$ નીચે મુજબ મળે:
$P(B) = \frac{B \text{ માટે સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા}}$
$P(B) = \frac{3}{6}$
$P(B) = \frac{1}{2}$
આમ,$4$ કરતા નાની સંખ્યા મળવાની સંભાવના $\frac{1}{2}$ છે.

(C) $52$ પત્તાના સારી રીતે ચીપેલા પેકમાંથી એક પત્તું યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરવાના પ્રયોગમાં,
કુલ પ્રાથમિક પરિણામોની સંખ્યા $52$ છે.
ધારો કે ઘટના $A$: "પસંદ કરેલું પત્તું સાત (seven) છે."
ઘટના $A$ માટે સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $4$ છે,કારણ કે પત્તાના પેકમાં કુલ $4$ સાત હોય છે (દરેક પ્રકારના પત્તામાં એક).
તેથી,સંભાવના $P(A)$ એ સાનુકૂળ પરિણામો અને કુલ પરિણામોનો ગુણોત્તર છે:
$P(A) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}$.
આમ,પસંદ કરેલું પત્તું સાત હોય તેની સંભાવના $\frac{1}{13}$ છે.

(D) $52$ પત્તાંના સારી રીતે ચીપેલા પેકમાંથી એક પત્તું યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરવાના પ્રયોગમાં,કુલ પ્રાથમિક પરિણામોની સંખ્યા $52$ છે.
ધારો કે ઘટના $B$: "પસંદ કરેલું પત્તું કાળીનું છે."
ઘટના $B$ માટે સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $13$ છે,કારણ કે $52$ પત્તાંના પેકમાં કાળીના $13$ પત્તાં હોય છે.
તેથી,સંભાવના $P(B)$ નીચે મુજબ મળે છે:
$P(B) = \frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ પરિણામોની સંખ્યા}} = \frac{13}{52} = \frac{1}{4}$.
આમ,પસંદ કરેલું પત્તું કાળીનું હોય તેની સંભાવના $\frac{1}{4}$ છે.

(A) $52$ પત્તાંના સારી રીતે ચીપેલા પેકમાંથી એક પત્તું યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરવાના પ્રયોગમાં,કુલ પ્રાથમિક પરિણામોની સંખ્યા $52$ છે.
ધારો કે ઘટના $C$ એ પસંદ કરેલું પત્તું કાળા રંગનું (black suit) હોય તે છે.
$52$ પત્તાંના પેકમાં બે કાળા રંગના સૂટ હોય છે: કાળી (Spades - $13$ પત્તાં) અને ફુલ્લી (Clubs - $13$ પત્તાં).
તેથી,ઘટના $C$ માટે સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $13 + 13 = 26$ છે.
ઘટના $C$ ની સંભાવના $P(C) = \frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ પરિણામોની સંખ્યા}}$ દ્વારા મળે છે.
$P(C) = \frac{26}{52} = \frac{1}{2}$.
આમ,પસંદ કરેલું પત્તું કાળા રંગનું હોય તેની સંભાવના $1/2$ છે.

(B) $52$ પત્તાંના સારી રીતે ચીપેલા પેકમાંથી એક પત્તું યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરવાના પ્રયોગમાં,કુલ પ્રાથમિક પરિણામોની સંખ્યા $52$ છે.
ધારો કે ઘટના $D$ એ પસંદ કરેલું પત્તું રાજા ન હોય તે દર્શાવે છે.
ધારો કે ઘટના $\bar{D}$ એ પસંદ કરેલું પત્તું રાજા હોય તે દર્શાવે છે.
ઘટના $\bar{D}$ માટે સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $4$ છે,કારણ કે પત્તાંના પેકમાં $4$ રાજા હોય છે.
તેથી,$P(\bar{D}) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}$.
પૂરક ઘટનાના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$P(D) = 1 - P(\bar{D})$.
તેથી,$P(D) = 1 - \frac{1}{13} = \frac{12}{13}$.
આમ,પસંદ કરેલું પત્તું રાજા ન હોય તેની સંભાવના $\frac{12}{13}$ છે.

(C) $52$ પત્તાંના સારી રીતે ચીપેલા પેકમાંથી એક પત્તું યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરવાના પ્રયોગમાં,કુલ પ્રાથમિક પરિણામોની સંખ્યા $52$ છે.
ધારો કે ઘટના $E$: 'પસંદ કરેલું પત્તું લાલની રાણી છે.'
ઘટના $E$ માટે સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $1$ છે,કારણ કે પત્તાંના પેકમાં લાલની રાણી માત્ર એક જ હોય છે.
ઘટનાની સંભાવનાનું સૂત્ર: $P(E) = \frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા}}$.
તેથી,$P(E) = \frac{1}{52}$.
આમ,પસંદ કરેલું પત્તું લાલની રાણી હોય તેની સંભાવના $\frac{1}{52}$ છે.

(D) જ્યારે બે નિષ્પક્ષ પાસાઓને ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $6 \times 6 = 36$ છે. નિદર્શાવકાશ $S$ નીચે મુજબ છે:
$S = \{(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)\}$
ધારો કે $A$ એ ઘટના છે કે બે પાસાઓ પરની સંખ્યાઓનો સરવાળો $8$ છે.
ઘટના $A$ માટે સાનુકૂળ પરિણામો $(2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2)$ છે.
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $n(A) = 5$ છે.
ઘટના $A$ ની સંભાવના $P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{5}{36}$ દ્વારા મળે છે.

(A) જ્યારે બે નિષ્પક્ષ પાસાઓને ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે નિદર્શાવકાશ $S$ માં તમામ શક્ય ક્રમયુક્ત જોડીઓ $(x, y)$ નો સમાવેશ થાય છે જ્યાં $x, y \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.
કુલ પ્રાથમિક પરિણામોની સંખ્યા $6 \times 6 = 36$ છે.
નિદર્શાવકાશ નીચે મુજબ છે:
$S = \{(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)\}$
ધારો કે $B$ એ ઘટના છે કે બે પાસાઓ પરની સંખ્યાઓનો સરવાળો $4$ છે.
ઘટના $B$ માટે સાનુકૂળ પરિણામો $(1,3), (2,2), (3,1)$ છે.
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $n(B) = 3$ છે.
ઘટના $B$ ની સંભાવના $P(B) = \frac{n(B)}{n(S)} = \frac{3}{36} = \frac{1}{12}$ દ્વારા મળે છે.

(B) જ્યારે બે નિષ્પક્ષ પાસાઓને ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $6 \times 6 = 36$ છે. નિદર્શાવકાશ $S$ નીચે મુજબ છે:
$S = \{(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)\}$
ધારો કે ઘટના $C$ એ એવી ઘટના છે કે જેમાં બે પાસાઓ પરની સંખ્યાઓનો સરવાળો $9$ કરતા વધારે હોય. આનો અર્થ એ છે કે સરવાળો $10, 11$ અથવા $12$ હોઈ શકે છે.
ઘટના $C$ માટે સાનુકૂળ પરિણામો નીચે મુજબ છે:
સરવાળો $= 10: (4,6), (5,5), (6,4)$
સરવાળો $= 11: (5,6), (6,5)$
સરવાળો $= 12: (6,6)$
આમ,સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $n(C) = 3 + 2 + 1 = 6$ છે.
ઘટના $C$ ની સંભાવના $P(C) = \frac{n(C)}{n(S)} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$ દ્વારા મળે છે.

(C) જ્યારે બે નિષ્પક્ષ પાસાઓને ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે નિદર્શાવકાશ $S$ માં $6 \times 6 = 36$ શક્ય પરિણામો હોય છે:
$S = \{(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)\}$
કુલ પરિણામોની સંખ્યા $n(S) = 36$.
ધારો કે $E$ એ ઘટના છે કે બે પાસાઓ પરની સંખ્યાઓનો સરવાળો $5$ કરતા નાનો છે.
$5$ કરતા નાનો સરવાળો $2, 3,$ અને $4$ હોઈ શકે છે.
ઘટના $E$ માટે સાનુકૂળ પરિણામો નીચે મુજબ છે:
સરવાળો $= 2: (1,1)$
સરવાળો $= 3: (1,2), (2,1)$
સરવાળો $= 4: (1,3), (2,2), (3,1)$
આમ,સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $n(E) = 1 + 2 + 3 = 6$.
સંભાવના $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$.

(D) જ્યારે બે નિષ્પક્ષ પાસાઓને ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે શક્ય પરિણામોની કુલ સંખ્યા $6 \times 6 = 36$ છે. નિદર્શાવકાશ $S$ નીચે મુજબ છે:
$S = \{(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)\}$
ધારો કે $E$ એ ઘટના છે કે બે પાસાઓ પરની સંખ્યાઓનો સરવાળો $3$ અથવા $4$ નો ગુણક છે. શક્ય સરવાળા $2$ થી $12$ સુધીના છે. $3$ ના ગુણકો $3, 6, 9, 12$ છે. $4$ ના ગુણકો $4, 8, 12$ છે.
આમ,આપણને સરવાળો $\{3, 4, 6, 8, 9, 12\}$ ગણમાં જોઈએ છે.
સરવાળો $3$ હોય તેવા પરિણામો: $(1,2), (2,1)$
સરવાળો $4$ હોય તેવા પરિણામો: $(1,3), (2,2), (3,1)$
સરવાળો $6$ હોય તેવા પરિણામો: $(1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1)$
સરવાળો $8$ હોય તેવા પરિણામો: $(2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2)$
સરવાળો $9$ હોય તેવા પરિણામો: $(3,6), (4,5), (5,4), (6,3)$
સરવાળો $12$ હોય તેવા પરિણામો: $(6,6)$
કુલ સાનુકૂળ પરિણામો = $2 + 3 + 5 + 5 + 4 + 1 = 20$.
સંભાવના $P(E) = \frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ પરિણામોની સંખ્યા}} = \frac{20}{36} = \frac{5}{9}$.

(A) જ્યારે બે નિષ્પક્ષ પાસાઓને ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $6 \times 6 = 36$ છે. નિદર્શાવકાશ $S$ નીચે મુજબ છે:
$S = \{(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)\}$
આપણે ઈચ્છીએ છીએ કે બે પાસાઓ પરની સંખ્યાઓનો સરવાળો $3$ અને $4$ બંનેનો ગુણક હોય. $3$ અને $4$ નો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ $12$ છે. તેથી,આપણે એવા પરિણામો શોધી રહ્યા છીએ જ્યાં સરવાળો $12$ થાય.
એકમાત્ર પરિણામ જ્યાં સરવાળો $12$ થાય છે તે $(6,6)$ છે.
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $= 1$.
સંભાવના $P(E) = \frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ પરિણામોની સંખ્યા}} = \frac{1}{36}$.

(B) જ્યારે બે નિષ્પક્ષ પાસાઓને ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $6 \times 6 = 36$ છે. નિદર્શાવકાશ $S$ નીચે મુજબ છે:
$S = \{(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)\}$
ધારો કે $E$ એ ઘટના છે કે બે પાસાઓ પરની સંખ્યાઓનો સરવાળો અવિભાજ્ય સંખ્યા છે. શક્ય અવિભાજ્ય સરવાળા $2, 3, 5, 7,$ અને $11$ છે.
ઘટના $E$ માટે સાનુકૂળ પરિણામો નીચે મુજબ છે:
સરવાળો $= 2: (1, 1)$
સરવાળો $= 3: (1, 2), (2, 1)$
સરવાળો $= 5: (1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)$
સરવાળો $= 7: (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)$
સરવાળો $= 11: (5, 6), (6, 5)$
સાનુકૂળ પરિણામોની કુલ સંખ્યા $= 1 + 2 + 4 + 6 + 2 = 15$.
તેથી,સંભાવના $P(E) = \frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ પરિણામોની સંખ્યા}} = \frac{15}{36} = \frac{5}{12}$.

(C) જ્યારે બે નિષ્પક્ષ પાસાઓને ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $6 \times 6 = 36$ છે.
શક્ય પરિણામો નીચે મુજબ છે:
$(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6)$
$(2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6)$
$(3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6)$
$(4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6)$
$(5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6)$
$(6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)$
ધારો કે $H$ એ ઘટના છે કે બે પાસાઓ પરની સંખ્યાઓનો સરવાળો $18$ નો અવયવ છે. $18$ ના અવયવો $1, 2, 3, 6, 9, 18$ છે. લઘુત્તમ સરવાળો $2$ અને મહત્તમ સરવાળો $12$ હોવાથી,$18$ ના અવયવ હોય તેવા શક્ય સરવાળા $2, 3, 6, 9$ છે.
દરેક સરવાળા માટે સાનુકૂળ પરિણામો:
સરવાળો $= 2: (1,1)$
સરવાળો $= 3: (1,2), (2,1)$
સરવાળો $= 6: (1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1)$
સરવાળો $= 9: (3,6), (4,5), (5,4), (6,3)$
સાનુકૂળ પરિણામોની કુલ સંખ્યા $= 1 + 2 + 5 + 4 = 12$.
સંભાવના $P(H) = \frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ પરિણામોની સંખ્યા}} = \frac{12}{36} = \frac{1}{3}$.

(D) બે નિષ્પક્ષ પાસાઓને ફેંકવાના પ્રયોગ માટે નિદર્શ અવકાશ $S$ એ તમામ શક્ય ક્રમયુક્ત જોડીઓ $(x, y)$ નો સમૂહ છે જ્યાં $x, y \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ છે.
કુલ $6 \times 6 = 36$ શક્ય પરિણામો છે:
$S = \{(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)\}$
ધારો કે $E$ એ ઘટના છે કે બે પાસાઓ પરની સંખ્યાઓનો સરવાળો $13$ થી નાનો છે.
ન્યૂનતમ સરવાળો $1 + 1 = 2$ છે અને મહત્તમ સરવાળો $6 + 6 = 12$ છે.
મહત્તમ શક્ય સરવાળો $12$ હોવાથી,જે હંમેશા $13$ થી નાનો હોય છે,નિદર્શ અવકાશનું દરેક પરિણામ આ શરતનું પાલન કરે છે.
આમ,$E = S$ અને સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $36$ છે.
સંભાવના $P(E) = \frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ પરિણામોની સંખ્યા}} = \frac{36}{36} = 1$.
તેથી,સંભાવના $1$ છે.

(A) બે નિષ્પક્ષ પાસાઓને ફેંકવાના પ્રયોગમાં તમામ શક્ય પરિણામો નીચે મુજબ છે:
$(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6)$
$(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6)$
$(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6)$
$(4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6)$
$(5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6)$
$(6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)$
આમ,કુલ પ્રાથમિક પરિણામોની સંખ્યા $36$ છે.
ધારો કે ઘટના $J$ એ છે: 'બે પાસાઓ પરની સંખ્યાઓનો સરવાળો $2$ કરતા નાનો છે.'
બે પાસાઓ પરની સંખ્યાઓનો લઘુત્તમ સરવાળો $1 + 1 = 2$ છે.
બે પાસાઓ પરની સંખ્યાઓનો સરવાળો હંમેશા $2$ થી $12$ ની વચ્ચે હોય છે,તેથી તે ક્યારેય $2$ કરતા નાનો હોઈ શકે નહીં.
તેથી,ઘટના $J$ એ અશક્ય ઘટના છે.
અશક્ય ઘટનાની સંભાવના $0$ હોય છે.
આમ,$P(J) = 0$.

(B) $20$ બલ્બ ધરાવતા કાર્ટનમાંથી યાદચ્છિક રીતે એક બલ્બ પસંદ કરવાના પ્રયોગમાં કુલ પ્રાથમિક પરિણામોની સંખ્યા $20$ છે.
કાર્ટનમાં કુલ બલ્બની સંખ્યા $= 20$.
કાર્ટનમાં ખામીયુક્ત બલ્બની સંખ્યા $= 4$.
તેથી,કાર્ટનમાં ખામી રહિત (સારા) બલ્બની સંખ્યા $= 20 - 4 = 16$.
ધારો કે ઘટના $A$ એ યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરેલ બલ્બ ખામી રહિત હોય તેવી ઘટના છે.
ઘટના $A$ માટે સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $= 16$.
ઘટના $A$ ની સંભાવના $P(A) = \frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ પરિણામોની સંખ્યા}}$ દ્વારા મળે છે.
$P(A) = \frac{16}{20} = \frac{4}{5}$.
આમ,યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરેલ બલ્બ ખામી રહિત હોય તેની સંભાવના $\frac{4}{5}$ છે.

(C) પેટીમાં રહેલા દડાઓની કુલ સંખ્યા $= 5 + 8 + 4 = 17$.
તેથી,પેટીમાંથી એક દડો પસંદ કરવાના પ્રયોગમાં કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $= 17$.
ધારો કે ઘટના $A$ એ પસંદ કરેલો દડો લાલ હોય તે ઘટના છે.
પેટીમાં $5$ લાલ દડા છે.
તેથી,ઘટના $A$ માટે સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $= 5$.
કોઈપણ ઘટનાની સંભાવના શોધવાનું સૂત્ર: $P(A) = \frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા}}$.
આમ,$P(A) = \frac{5}{17}$.

(D) પેટીમાં રહેલા દડાઓની કુલ સંખ્યા $= 5 + 8 + 4 = 17$.
તેથી,પેટીમાંથી એક દડો કાઢવાના પ્રયોગમાં કુલ પ્રાથમિક પરિણામોની સંખ્યા $= 17$.
ધારો કે ઘટના $B$ એ 'કાઢવામાં આવેલ દડો સફેદ છે' તે છે.
પેટીમાં $8$ સફેદ દડા છે.
તેથી,ઘટના $B$ માટે સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $= 8$.
કોઈપણ ઘટનાની સંભાવનાનું સૂત્ર: $P(E) = \frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા}}$.
આમ,$P(B) = \frac{8}{17}$.

(A) પેટીમાં કુલ દડાની સંખ્યા $= 5 + 8 + 4 = 17$.
તેથી,પેટીમાંથી એક દડો પસંદ કરવાના પ્રયોગમાં કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $= 17$.
ધારો કે ઘટના $C$ એ પસંદ કરેલો દડો લીલો ન હોય તે ઘટના છે.
ધારો કે ઘટના $\overline{C}$ એ પસંદ કરેલો દડો લીલો હોય તે ઘટના છે.
પેટીમાં $4$ લીલા દડા છે.
તેથી,ઘટના $\overline{C}$ માટે સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $= 4$.
આમ,$P(\overline{C}) = \frac{4}{17}$.
પૂરક ઘટનાના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$P(C) = 1 - P(\overline{C})$.
તેથી,$P(C) = 1 - \frac{4}{17} = \frac{17 - 4}{17} = \frac{13}{17}$.

(B) કોઈપણ વર્ષમાં જુલાઈ મહિનામાં $31$ દિવસ હોય છે.
આ $31$ દિવસોમાં $4$ પૂર્ણ અઠવાડિયા અને $3$ વધારાના દિવસો હોય છે.
તેથી,અઠવાડિયાનો દરેક દિવસ ઓછામાં ઓછી $4$ વાર તો આવશે જ.
બાકીના $3$ દિવસો નીચે મુજબની $7$ શક્યતાઓમાંથી કોઈ પણ હોઈ શકે છે:
$1$. (રવિવાર,સોમવાર,મંગળવાર)
$2$. (સોમવાર,મંગળવાર,બુધવાર)
$3$. (મંગળવાર,બુધવાર,ગુરુવાર)
$4$. (બુધવાર,ગુરુવાર,શુક્રવાર)
$5$. (ગુરુવાર,શુક્રવાર,શનિવાર)
$6$. (શુક્રવાર,શનિવાર,રવિવાર)
$7$. (શનિવાર,રવિવાર,સોમવાર)
કુલ પ્રાથમિક પરિણામોની સંખ્યા $= 7$.
જેમાં રવિવાર આવતો હોય તેવા પરિણામો:
$1$. (રવિવાર,સોમવાર,મંગળવાર)
$6$. (શુક્રવાર,શનિવાર,રવિવાર)
$7$. (શનિવાર,રવિવાર,સોમવાર)
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $= 3$.
તેથી,જરૂરી સંભાવના $= \frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ પરિણામોની સંખ્યા}} = \frac{3}{7}$.

(C) લીપ વર્ષમાં $366$ દિવસો હોય છે,જે $52$ પૂર્ણ અઠવાડિયા અને $2$ વધારાના દિવસોને સમાન છે.
$52$ અઠવાડિયામાં $52$ ગુરુવાર પહેલેથી જ આવી જાય છે,તેથી $53$મો ગુરુવાર બાકીના $2$ દિવસો પર આધાર રાખે છે.
આ $2$ દિવસો માટે શક્ય જોડીઓ નીચે મુજબ છે:
(રવિવાર,સોમવાર),(સોમવાર,મંગળવાર),(મંગળવાર,બુધવાર),(બુધવાર,ગુરુવાર),(ગુરુવાર,શુક્રવાર),(શુક્રવાર,શનિવાર),(શનિવાર,રવિવાર).
કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $7$ છે.
જે પરિણામોમાં ગુરુવાર આવે છે તે (બુધવાર,ગુરુવાર) અને (ગુરુવાર,શુક્રવાર) છે.
આમ,સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $2$ છે.
સંભાવના = $\frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ પરિણામોની સંખ્યા}} = \frac{2}{7}$.

(D) લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ $=$ લંબાઈ $\times$ પહોળાઈ
$= 28 \, cm \times 22 \, cm = 616 \, cm^2$
વર્તુળ માટે,ત્રિજ્યા $r = 7 \, cm$
વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $= \pi r^2 = \frac{22}{7} \times 7 \times 7 = 154 \, cm^2$
લંબચોરસ પર પડતો દડો વર્તુળ પર પડે તેની સંભાવના એ વર્તુળના ક્ષેત્રફળ અને લંબચોરસના ક્ષેત્રફળના ગુણોત્તર દ્વારા મળે છે.
જરૂરી સંભાવના $= \frac{\text{વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ}}{\text{લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ}}$
$= \frac{154}{616} = \frac{1}{4}$
આમ,સંભાવના $\frac{1}{4}$ છે.

(A) ત્રણ સંતુલિત સિક્કાઓને એકસાથે ઉછાળવાના પ્રયોગમાં,નિદર્શાવકાશ $S$ નીચે મુજબના પ્રાથમિક પરિણામો ધરાવે છે:
$S = \{(HHH), (HHT), (HTH), (THH), (HTT), (THT), (TTH), (TTT)\}$
જ્યાં $H$ એ છાપ (head) અને $T$ એ કાંટો (tail) દર્શાવે છે.
કુલ પ્રાથમિક પરિણામોની સંખ્યા $= 8$.
ધારો કે ઘટના $A$ એ ઓછામાં ઓછી બે છાપ મળવાની ઘટના છે (એટલે કે $2$ અથવા $3$ છાપ).
ઘટના $A$ માટે સાનુકૂળ પરિણામો છે: $(HHH), (HHT), (HTH), (THH)$.
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $= 4$.
ઘટના $A$ ની સંભાવના $P(A) = \frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ પરિણામોની સંખ્યા}}$.
$P(A) = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$.
આમ,ઓછામાં ઓછી બે છાપ મળવાની સંભાવના $\frac{1}{2}$ છે.

(B) જ્યારે એક સમતોલ પાસો ફેંકવામાં આવે ત્યારે કુલ શક્ય પરિણામો $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ છે,તેથી કુલ પરિણામોની સંખ્યા $n(S) = 6$ છે.
ધારો કે $E$ એ પાસા પર બેકી અંક આવવાની ઘટના છે.
પાસા પરના બેકી અંકો $\{2, 4, 6\}$ છે,તેથી સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $n(E) = 3$ છે.
ઘટના $E$ ની સંભાવના $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ દ્વારા મળે છે.

(C) જ્યારે એક સમતોલ પાસો ફેંકવામાં આવે,ત્યારે નિદર્શાવકાશ $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ મળે છે.
કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $n(S) = 6$ છે.
ધારો કે $E$ એ પાસા પરનો અંક $3$ નો ગુણક હોય તેવી ઘટના છે.
નિદર્શાવકાશમાં $3$ ના ગુણકો $3$ અને $6$ છે.
આમ,સાનુકૂળ પરિણામો $E = \{3, 6\}$ છે.
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $n(E) = 2$ છે.
સંભાવના $P(E)$ નું સૂત્ર $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$P(E) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ મળે છે.

(D) જ્યારે એક સમતોલ પાસો ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે શક્ય કુલ પરિણામો $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ છે.
આમ,કુલ પરિણામોની સંખ્યા $n(S) = 6$ છે.
ધારો કે $E$ એ ઘટના છે કે પાસા પરનો અંક $3$ કરતા નાનો હોય.
સાનુકૂળ પરિણામો $E = \{1, 2\}$ છે.
આમ,સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $n(E) = 2$ છે.
સંભાવના $P(E)$ શોધવાનું સૂત્ર $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)}$ છે.
$P(E) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

(A) જ્યારે બે પાસા ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $6 \times 6 = 36$ છે.
ધારો કે પરિણામો $(x, y)$ છે જ્યાં $x$ અને $y$ અનુક્રમે પ્રથમ અને બીજા પાસા પરના અંકો છે.
સરવાળો $(x + y)$ બેકી સંખ્યા ત્યારે જ થાય જો:
$1.$ $x$ અને $y$ બંને એકી સંખ્યા હોય: $x$ માટે $3$ વિકલ્પો $(1, 3, 5)$ અને $y$ માટે $3$ વિકલ્પો $(1, 3, 5)$ છે. કુલ પરિણામો = $3 \times 3 = 9$.
$2.$ $x$ અને $y$ બંને બેકી સંખ્યા હોય: $x$ માટે $3$ વિકલ્પો $(2, 4, 6)$ અને $y$ માટે $3$ વિકલ્પો $(2, 4, 6)$ છે. કુલ પરિણામો = $3 \times 3 = 9$.
કુલ સાનુકૂળ પરિણામો = $9 + 9 = 18$.
સંભાવના = $\frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામો}}{\text{કુલ પરિણામો}} = \frac{18}{36} = \frac{1}{2}$.

(B) જ્યારે બે સમતોલ પાસા ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $6 \times 6 = 36$ છે.
બંને પાસા પરના અંકોનો સરવાળો અયુગ્મ ત્યારે જ થાય જો એક પાસા પર યુગ્મ (બેકી) અંક અને બીજા પાસા પર અયુગ્મ (એકી) અંક હોય.
ધારો કે $E$ એ સરવાળો અયુગ્મ હોવાની ઘટના છે.
(અયુગ્મ,યુગ્મ) માટેના શક્ય પરિણામો: $(1,2), (1,4), (1,6), (3,2), (3,4), (3,6), (5,2), (5,4), (5,6)$ (કુલ $9$ પરિણામો).
(યુગ્મ,અયુગ્મ) માટેના શક્ય પરિણામો: $(2,1), (2,3), (2,5), (4,1), (4,3), (4,5), (6,1), (6,3), (6,5)$ (કુલ $9$ પરિણામો).
કુલ સાનુકૂળ પરિણામો = $9 + 9 = 18$.
સંભાવના $P(E) = \frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામો}}{\text{કુલ પરિણામો}} = \frac{18}{36} = \frac{1}{2}$.

(C) જ્યારે બે સમતોલ પાસા ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $6 \times 6 = 36$ છે.
ધારો કે $S$ એ બંને પાસા પરના અંકોનો સરવાળો છે. $S$ ની શક્ય કિંમતો $2$ થી $12$ સુધીની છે.
આ શ્રેણીમાં $5$ ના ગુણકો $5$ અને $10$ છે.
આપણે એવી જોડીઓ $(d_1, d_2)$ શોધીએ છીએ જેનો સરવાળો આ મુજબ થાય:
$S = 5$ માટે: $(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)$ (કુલ $4$ પરિણામો).
$S = 10$ માટે: $(4, 6), (5, 5), (6, 4)$ (કુલ $3$ પરિણામો).
સાનુકૂળ પરિણામોની કુલ સંખ્યા $4 + 3 = 7$ છે.
તેથી,સંભાવના $P = \frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામો}}{\text{કુલ પરિણામો}} = \frac{7}{36}$.

(D) જ્યારે બે સમતોલ પાસા ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $6 \times 6 = 36$ છે.
પાસા પરના અંકોનો સરવાળો $2$ થી $12$ ની વચ્ચે હોય છે.
$6$ ના ગુણક હોય તેવા સરવાળા $6$ અને $12$ છે.
સરવાળો $6$ મળે તેવા શક્ય પરિણામો $(1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)$ છે. આવા કુલ $5$ પરિણામો છે.
સરવાળો $12$ મળે તેવું શક્ય પરિણામ માત્ર $(6, 6)$ છે. આવું $1$ પરિણામ છે.
કુલ સાનુકૂળ પરિણામો = $5 + 1 = 6$.
સંભાવના = $\frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ પરિણામોની સંખ્યા}} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$.

(A) જ્યારે બે સમતોલ પાસા ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $6 \times 6 = 36$ છે.
આપણે એ સંભાવના શોધવાની છે કે બંને પાસા પરના અંકોનો સરવાળો $8$ કરતા વધારે હોય.
$8$ કરતા વધારે સરવાળો હોય તેવા શક્ય સરવાળા $9, 10, 11$ અને $12$ છે.
આ સરવાળા મેળવવા માટેના પરિણામો નીચે મુજબ છે:
સરવાળો $= 9: (3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3)$ ($4$ પરિણામો)
સરવાળો $= 10: (4, 6), (5, 5), (6, 4)$ ($3$ પરિણામો)
સરવાળો $= 11: (5, 6), (6, 5)$ ($2$ પરિણામો)
સરવાળો $= 12: (6, 6)$ ($1$ પરિણામ)
કુલ સાનુકૂળ પરિણામો $= 4 + 3 + 2 + 1 = 10$.
સંભાવના $= \frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ પરિણામોની સંખ્યા}} = \frac{10}{36} = \frac{5}{18}$.

(B) જ્યારે બે સમતોલ પાસા ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $6 \times 6 = 36$ છે.
આપણે એ સંભાવના શોધવાની છે કે બંને પાસા પરના અંકોનો સરવાળો $7$ કરતા ઓછો હોય.
જે પરિણામોમાં સરવાળો $7$ કરતા ઓછો હોય તે નીચે મુજબ છે:
સરવાળો $= 2$: $(1, 1)$ ($1$ પરિણામ)
સરવાળો $= 3$: $(1, 2), (2, 1)$ ($2$ પરિણામો)
સરવાળો $= 4$: $(1, 3), (2, 2), (3, 1)$ ($3$ પરિણામો)
સરવાળો $= 5$: $(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)$ ($4$ પરિણામો)
સરવાળો $= 6$: $(1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)$ ($5$ પરિણામો)
કુલ સાનુકૂળ પરિણામો $= 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15$.
સંભાવના $= \frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ પરિણામોની સંખ્યા}} = \frac{15}{36}$.
અંશ અને છેદને $3$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{15 \div 3}{36 \div 3} = \frac{5}{12}$ મળે છે.

(C) સારી રીતે ચીપેલા પત્તાંના પેકમાં કુલ પત્તાંની સંખ્યા $52$ છે.
તેથી,શક્ય કુલ પરિણામોની સંખ્યા $n(S) = 52$ છે.
પત્તાંના પ્રમાણિત પેકમાં કુલ $4$ રાણી હોય છે (દરેક પ્રકારના પત્તાં માટે એક: લાલ,ચોકટ,ફુલ્લી અને કાળી).
તેથી,રાણી મળે તેવા સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $n(E) = 4$ છે.
ઘટના $E$ ની સંભાવના $P(E)$ શોધવાનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$P(E) = \frac{n(E)}{n(S)}$
કિંમતો મૂકતા:
$P(E) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}$
આમ,રાણી ખેંચવાની સંભાવના $\frac{1}{13}$ છે.

(D) સારી રીતે ચીપેલા પત્તાના પેકમાં કુલ પત્તાની સંખ્યા $52$ છે.
મુખમુદ્રાવાળા પત્તા (face cards) એટલે એવા પત્તા જેના પર ચહેરા હોય છે,જે રાજા (King),રાણી (Queen) અને ગુલામ (Jack) છે.
દરેક પ્રકારના પત્તામાં $3$ મુખમુદ્રાવાળા પત્તા હોય છે (એક રાજા,એક રાણી અને એક ગુલામ).
પત્તાના પેકમાં $4$ પ્રકાર (લાલ,ચોકટ,ફુલ્લી અને કાળી) હોવાથી,મુખમુદ્રાવાળા પત્તાની કુલ સંખ્યા $4 \times 3 = 12$ થાય.
મુખમુદ્રાવાળું પત્તું ખેંચવાની સંભાવના એ સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા અને કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યાનો ગુણોત્તર છે.
સંભાવના $P = \frac{\text{મુખમુદ્રાવાળા પત્તાની સંખ્યા}}{\text{કુલ પત્તાની સંખ્યા}} = \frac{12}{52}$.
અંશ અને છેદને $4$ વડે ભાગતા,આપણને $P = \frac{3}{13}$ મળે છે.

(A) સારી રીતે ચીપેલા પત્તાંના પેકમાં કુલ પત્તાંની સંખ્યા $52$ છે.
પત્તાંના પેકમાં $4$ પ્રકારના રંગ/ભાત હોય છે: લાલ (hearts),ચોકટ (diamonds),ફુલ્લી (clubs) અને કાળી (spades).
દરેક પ્રકારમાં $13$ પત્તાં હોય છે.
તેથી,ચોકટના પત્તાંની સંખ્યા $13$ છે.
ચોકટનું પત્તું ખેંચવાની સંભાવના એ સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા અને કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યાનો ગુણોત્તર છે.
સંભાવના $P = \frac{\text{ચોકટના પત્તાંની સંખ્યા}}{\text{કુલ પત્તાંની સંખ્યા}} = \frac{13}{52} = \frac{1}{4}$.

(B) સારી રીતે ચીપેલા પત્તાંના પેકમાં કુલ પત્તાંની સંખ્યા $n(S) = 52$ છે.
પત્તાંના પેકમાં બે કાળા રંગના પ્રકારો હોય છે: ફુલ્લી અને કાળી.
દરેક પ્રકારમાં બરાબર એક રાજા હોય છે.
તેથી,કાળા રંગના રાજાઓની સંખ્યા $n(E) = 2$ છે (એક કાળીનો રાજા અને એક ફુલ્લીનો રાજા).
કાળા રંગનો રાજા ખેંચવાની સંભાવના $P(E)$ એ સૂત્ર $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)}$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $P(E) = \frac{2}{52} = \frac{1}{26}$ મળે છે.

(C) $50$ ગુણની કસોટીમાં,વિદ્યાર્થી મેળવી શકે તેવા શક્ય ગુણ $0$ થી $50$ સુધીના છે.
શક્ય પરિણામોની કુલ સંખ્યા = $50 - 0 + 1 = 51$.
વિદ્યાર્થી $0, 1, 2, \dots, 50$ માંથી કોઈપણ પૂર્ણાંક ગુણ મેળવી શકે છે.
સાનુકૂળ પરિણામો એ $30$ ગુણ અથવા $35$ ગુણ મેળવવાના છે.
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા = $2$ (ચોક્કસપણે $30$ અને $35$ ગુણ).
સંભાવના = $\frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{શક્ય પરિણામોની કુલ સંખ્યા}} = \frac{2}{51}$.

(D) વર્ગમાં વિદ્યાર્થીઓની કુલ સંખ્યા = $35 \text{ (છોકરાઓ)} + 25 \text{ (છોકરીઓ)} = 60$.
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા (છોકરીની પસંદગી) = $25$.
કોઈપણ ઘટનાની સંભાવના $P$ શોધવાનું સૂત્ર: $P(\text{છોકરી}) = \frac{\text{છોકરીઓની સંખ્યા}}{\text{વિદ્યાર્થીઓની કુલ સંખ્યા}}$.
$P(\text{છોકરી}) = \frac{25}{60}$.
અંશ અને છેદને $5$ વડે ભાગતા, આપણને મળે છે: $P(\text{છોકરી}) = \frac{5}{12}$.

(A) ખામીયુક્ત બોલપેનની કુલ સંખ્યા = $12$.
સારી (ખામી રહિત) બોલપેનની કુલ સંખ્યા = $132$.
જથ્થામાં રહેલી કુલ બોલપેનની સંખ્યા = $12 + 132 = 144$.
ખામીયુક્ત બોલપેન પસંદ કરવાની સંભાવના એ ખામીયુક્ત બોલપેનની સંખ્યા અને કુલ બોલપેનની સંખ્યાનો ગુણોત્તર છે.
$P(\text{ખામીયુક્ત}) = \frac{\text{ખામીયુક્ત બોલપેનની સંખ્યા}}{\text{કુલ બોલપેનની સંખ્યા}} = \frac{12}{144} = \frac{1}{12}$.
આમ,સંભાવના $\frac{1}{12}$ છે。

(A) ચાના પેકેટની કુલ સંખ્યા = $50$.
વજનમાં ઓછા હોય તેવા પેકેટની સંખ્યા = $5$.
કોઈ ઘટના $E$ ની સંભાવના $P(E)$ શોધવાનું સૂત્ર: $P(E) = \frac{\text{સાધ્ય પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા}}$.
અહીં, સાધ્ય પરિણામ એ વજનમાં ઓછું હોય તેવું પેકેટ પસંદ કરવું છે.
તેથી, $P(\text{વજનમાં ઓછું}) = \frac{5}{50} = \frac{1}{10} = 0.1$.
આમ, વજનમાં ઓછું પેકેટ પસંદ કરવાની સંભાવના $0.1$ છે.

(B) દડાઓની કુલ સંખ્યા = $5 + 7 + 4 + 2 = 18$.
ધારો કે $E$ એ સફેદ અથવા વાદળી દડો પસંદ કરવાની ઘટના છે.
સફેદ દડાઓની સંખ્યા = $5$.
વાદળી દડાઓની સંખ્યા = $2$.
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા = $5 + 2 = 7$.
સંભાવના $P(E) = \frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ પરિણામોની સંખ્યા}} = \frac{7}{18}$.

(A) દડાઓની કુલ સંખ્યા $= 5 + 7 + 4 + 2 = 18$.
લાલ દડાઓની સંખ્યા $= 7$.
કાળા દડાઓની સંખ્યા $= 4$.
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા (લાલ અથવા કાળો) $= 7 + 4 = 11$.
સંભાવના $= \frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ પરિણામોની સંખ્યા}} = \frac{11}{18}$.

(D) દડાઓની કુલ સંખ્યા = $5 + 7 + 4 + 2 = 18$.
સફેદ દડાઓની સંખ્યા = $5$.
સફેદ ન હોય તેવા દડાઓની સંખ્યા = કુલ દડા - સફેદ દડા = $18 - 5 = 13$.
સફેદ ન હોય તેવો દડો પસંદ કરવાની સંભાવના = $\frac{\text{સફેદ ન હોય તેવા દડાની સંખ્યા}}{\text{દડાઓની કુલ સંખ્યા}} = \frac{13}{18}$.

(A) દડાઓની કુલ સંખ્યા = $5 + 7 + 4 + 2 = 18$.
સફેદ દડાઓની સંખ્યા = $5$.
કાળા દડાઓની સંખ્યા = $4$.
જે દડા સફેદ પણ નથી અને કાળા પણ નથી તેની સંખ્યા = કુલ દડા - (સફેદ દડા + કાળા દડા) = $18 - (5 + 4) = 18 - 9 = 9$.
જે દડા સફેદ કે કાળા નથી તે લાલ અને વાદળી દડા છે,જેની સંખ્યા $7 + 2 = 9$ છે.
સંભાવના = $\frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ પરિણામોની સંખ્યા}} = \frac{9}{18} = \frac{1}{2}$.

(B) જ્યારે બે પાસા ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $6 \times 6 = 36$ છે.
આપણે એ સંભાવના શોધવાની છે કે બે પાસા પરના અંકોનો સરવાળો $S$ એ $5$ અને $9$ ની વચ્ચે હોય,એટલે કે $5 < S < 9$.
આનો અર્થ એ છે કે સરવાળો $S$ એ $6, 7,$ અથવા $8$ હોઈ શકે છે.
- $S = 6$ માટે,શક્ય પરિણામો $(1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)$ છે,જે કુલ $5$ પરિણામો છે.
- $S = 7$ માટે,શક્ય પરિણામો $(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)$ છે,જે કુલ $6$ પરિણામો છે.
- $S = 8$ માટે,શક્ય પરિણામો $(2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2)$ છે,જે કુલ $5$ પરિણામો છે.
કુલ સાનુકૂળ પરિણામો = $5 + 6 + 5 = 16$.
સંભાવના = $\frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામો}}{\text{કુલ પરિણામો}} = \frac{16}{36} = \frac{4}{9}$.

(C) જ્યારે બે સમતોલ પાસા ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $6 \times 6 = 36$ છે.
બંને પાસા પરની સંખ્યાઓનો ગુણાકાર એકી હોવા માટે,બંને સંખ્યાઓ એકી હોવી જોઈએ.
પાસા પરની એકી સંખ્યાઓ $\{1, 3, 5\}$ છે.
તેથી,સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $3 \times 3 = 9$ છે.
સાનુકૂળ પરિણામો છે: $(1,1), (1,3), (1,5), (3,1), (3,3), (3,5), (5,1), (5,3), (5,5)$.
સંભાવના $P$ એ સાનુકૂળ પરિણામો અને કુલ પરિણામોનો ગુણોત્તર છે:
$P = \frac{9}{36} = \frac{1}{4}$.