એક મેળાવડામાં, $1$ થી $1000$ સુધીના અંક લખેલા કાર્ડ, એક કાર્ડ પર એક અંક, એક બોક્સમાં મૂકવામાં આવ્યા છે. દરેક ખેલાડી યાદચ્છિક રીતે એક કાર્ડ પસંદ કરે છે અને તે કાર્ડ પાછું મૂકવામાં આવતું નથી. જો પસંદ કરેલ કાર્ડ પર $500$ થી મોટી પૂર્ણવર્ગ સંખ્યા હોય, તો ખેલાડી ઇનામ જીતે છે. સંભાવના શું છે કે:
$(i)$ પ્રથમ ખેલાડી ઇનામ જીતે?
$(ii)$ જો પ્રથમ ખેલાડી જીતી ગયો હોય, તો બીજો ખેલાડી ઇનામ જીતે?

(A) બોક્સમાં કાર્ડની કુલ સંખ્યા $n(S) = 1000$ છે.
$(i)$ ધારો કે $E_1$ એ ઘટના છે કે પ્રથમ ખેલાડી ઇનામ જીતે છે. આ ત્યારે થાય છે જો ખેલાડી $500$ થી મોટી પૂર્ણવર્ગ સંખ્યા પસંદ કરે.
$1$ થી $1000$ વચ્ચેની પૂર્ણવર્ગ સંખ્યાઓ $1^2, 2^2, \dots, 31^2 = 961$ છે.
$500$ થી મોટી પૂર્ણવર્ગ સંખ્યાઓ $23^2=529, 24^2=576, 25^2=625, 26^2=676, 27^2=729, 28^2=784, 29^2=841, 30^2=900, 31^2=961$ છે.
આવા કુલ $9$ કાર્ડ છે.
તેથી, $n(E_1) = 9$.
પ્રથમ ખેલાડી જીતે તેની સંભાવના $P(E_1) = \frac{n(E_1)}{n(S)} = \frac{9}{1000} = 0.009$ છે.
$(ii)$ જો પ્રથમ ખેલાડી જીતી ગયો હોય, તો એક કાર્ડ ($500$ થી મોટી પૂર્ણવર્ગ સંખ્યા) બોક્સમાંથી દૂર કરવામાં આવે છે.
બાકી રહેલા કાર્ડની સંખ્યા $n(S') = 1000 - 1 = 999$ છે.
$500$ થી મોટી બાકી રહેલી પૂર્ણવર્ગ સંખ્યાઓની સંખ્યા $n(E_2) = 9 - 1 = 8$ છે.
જો પ્રથમ ખેલાડી જીતી ગયો હોય, તો બીજા ખેલાડીના જીતવાની સંભાવના $P(E_2|E_1) = \frac{n(E_2)}{n(S')} = \frac{8}{999}$ છે.