Demo Questions in Hindi

(B) दो संख्याओं $a$ और $b$ के $HCF$ और $LCM$ का मूल गुण यह है कि $LCM$ को $HCF$ द्वारा पूर्णतः विभाजित होना चाहिए।
दूसरे शब्दों में, $\frac{LCM(a, b)}{HCF(a, b)} = \text{पूर्णांक}$.
यहाँ $HCF(a, b) = 16$ दिया गया है।
प्रत्येक विकल्प की जाँच करने पर:
$1$. $32$ के लिए: $\frac{32}{16} = 2$ (संभव है)।
$2$. $72$ के लिए: $\frac{72}{16} = 4.5$ (पूर्णांक नहीं है, अतः संभव नहीं है)।
$3$. $64$ के लिए: $\frac{64}{16} = 4$ (संभव है)।
इसलिए, $72$ कभी भी $LCM$ नहीं हो सकता।

(B) यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका के अनुसार,किन्हीं दो धनात्मक पूर्णांकों $a$ और $b$ के लिए,अद्वितीय पूर्णांक $q$ और $r$ इस प्रकार विद्यमान हैं कि $a = bq + r$,जहाँ शेषफल $r$ शर्त $0 \leq r < b$ को संतुष्ट करता है। इसका अर्थ है कि शेषफल $r$ शून्य हो सकता है या शून्य से बड़ा हो सकता है,लेकिन यह सदैव भाजक $b$ से छोटा होना चाहिए।

(A) हमें व्यंजक $2^{m} \cdot 5^{n}$ दिया गया है,जहाँ $m, n \in N$ है।
हम इसे $2^{m-n} \cdot (2 \cdot 5)^{n}$ के रूप में लिख सकते हैं यदि $m \ge n$ हो,या $5^{n-m} \cdot (2 \cdot 5)^{m}$ के रूप में यदि $n > m$ हो।
दोनों ही स्थितियों में,व्यंजक में $(2 \cdot 5) = 10$ का एक गुणनखंड मौजूद है।
किसी भी धनात्मक पूर्णांक को $10$ से गुणा करने पर प्राप्त संख्या का अंतिम अंक हमेशा $0$ होता है।
उदाहरण के लिए,यदि $m=1, n=1$ है,तो $2^1 \cdot 5^1 = 10$ (अंतिम अंक $0$ है)।
यदि $m=2, n=1$ है,तो $2^2 \cdot 5^1 = 4 \cdot 5 = 20$ (अंतिम अंक $0$ है)।
यदि $m=1, n=2$ है,तो $2^1 \cdot 5^2 = 2 \cdot 25 = 50$ (अंतिम अंक $0$ है)।
अतः,अंतिम अंक हमेशा $0$ होगा।

(C) भिन्न $\frac{1}{32}$ को दशमलव रूप में बदलने के लिए,हम भाग करते हैं।
$1$ को $32$ से विभाजित करने पर:
$1 \div 32 = 0.03125$.
वैकल्पिक रूप से,हम $\frac{1}{32} = \frac{1}{2^5}$ लिख सकते हैं।
दशमलव में बदलने के लिए,अंश और हर को $5^5$ से गुणा करें:
$\frac{1 \times 5^5}{2^5 \times 5^5} = \frac{3125}{10^5} = \frac{3125}{100000} = 0.03125$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) एक परिमेय संख्या $\frac{p}{q}$ का दशमलव प्रसार शांत होता है यदि और केवल यदि हर $q$ का अभाज्य गुणनखंडन $2^m \cdot 5^n$ के रूप में हो,जहाँ $m$ और $n$ ऋणेतर पूर्णांक हैं।
ऋणेतर पूर्णांकों में सभी प्राकृतिक संख्याएँ $(N)$ और शून्य $(0)$ शामिल होते हैं।
अतः,$m, n \in N \cup \{0\}$.

(B) सबसे छोटी अभाज्य संख्या $2$ है।
सबसे छोटी भाज्य संख्या $4$ है।
$LCM(2, 4)$ ज्ञात करने के लिए:
$2$ का अभाज्य गुणनखंड $2^1$ है।
$4$ का अभाज्य गुणनखंड $2^2$ है।
$LCM$ प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड की उच्चतम घात का गुणनफल होता है।
$LCM(2, 4) = 2^2 = 4$।
अतः,सबसे छोटी अभाज्य संख्या और सबसे छोटी भाज्य संख्या का $LCM$ $4$ है।

(C) भिन्न $\frac{337}{125}$ को सांत दशमलव रूप में बदलने के लिए,हम अंश और हर दोनों को $8$ से गुणा कर सकते हैं ताकि हर $10$ की घात बन जाए।
$\frac{337 \times 8}{125 \times 8} = \frac{2696}{1000}$.
$1000$ से भाग देने पर दशमलव बिंदु तीन स्थान बाईं ओर खिसक जाता है।
$\frac{2696}{1000} = 2.696$.

(C) $\frac{2517}{6250}$ का दशमलव प्रसार कितने दशमलव स्थानों के बाद शांत होगा,यह ज्ञात करने के लिए हमें हर को $2^n \times 5^m$ के रूप में व्यक्त करना होगा।
सबसे पहले,हर $6250$ का अभाज्य गुणनखंडन करें:
$6250 = 625 \times 10 = 5^4 \times (2 \times 5) = 2^1 \times 5^5$।
किसी परिमेय संख्या $\frac{p}{q}$ का दशमलव प्रसार $k$ दशमलव स्थानों के बाद शांत होता है,जहाँ $q = 2^n \times 5^m$ में $k = \max(n, m)$ होता है।
यहाँ,$n = 1$ और $m = 5$ है।
अतः,$k = \max(1, 5) = 5$।
इस प्रकार,दशमलव प्रसार $5$ दशमलव स्थानों के बाद शांत होगा।

(C) मान लीजिए कि चार क्रमागत धनात्मक पूर्णांक $n, (n+1), (n+2),$ और $(n+3)$ हैं।
उनका गुणनफल $P = n(n+1)(n+2)(n+3)$ है।
हम जानते हैं कि $k$ क्रमागत पूर्णांकों का गुणनफल हमेशा $k!$ (k फैक्टोरियल) से विभाज्य होता है।
यहाँ,$k = 4$ है,इसलिए गुणनफल $4!$ से विभाज्य होगा।
$4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$.
अतः,किन्हीं चार क्रमागत धनात्मक पूर्णांकों का गुणनफल हमेशा $24$ से विभाज्य होता है।

(B) एक परिमेय संख्या $\frac{p}{q}$ का दशमलव प्रसार शांत (terminating) होता है यदि हर $q$ का अभाज्य गुणनखंडन $2^n \times 5^m$ के रूप में हो,जहाँ $n$ और $m$ ऋणोत्तर पूर्णांक हैं।
$1$. $\frac{17}{32}$ के लिए: $32 = 2^5$। चूँकि यह $2^n \times 5^m$ के रूप में है,इसका दशमलव प्रसार शांत है।
$2$. $\frac{17}{248}$ के लिए: $248 = 8 \times 31 = 2^3 \times 31^1$। चूँकि इसमें $2$ और $5$ के अलावा एक अन्य गुणनखंड $(31)$ है,इसलिए इसका दशमलव प्रसार अनवसानी आवर्ती है।
$3$. $\frac{17}{160}$ के लिए: $160 = 16 \times 10 = 2^4 \times 2 \times 5 = 2^5 \times 5^1$। चूँकि यह $2^n \times 5^m$ के रूप में है,इसका दशमलव प्रसार शांत है।
अतः,$\frac{17}{248}$ का दशमलव प्रसार अनवसानी आवर्ती है।

(A) $23, 35,$ और $46$ का लघुत्तम समापवर्त्य (ल.स.प.) ज्ञात करने के लिए:
चरण $1$: प्रत्येक संख्या का अभाज्य गुणनखंडन करें।
$23 = 23^1$ (क्योंकि $23$ एक अभाज्य संख्या है)।
$35 = 5^1 \times 7^1$.
$46 = 2^1 \times 23^1$.
चरण $2$: प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड की उच्चतम घात की पहचान करें।
इसमें शामिल अभाज्य गुणनखंड $2, 5, 7,$ और $23$ हैं।
इनकी उच्चतम घातें $2^1, 5^1, 7^1,$ और $23^1$ हैं।
चरण $3$: ल.स.प. ज्ञात करने के लिए इन उच्चतम घातों का गुणा करें।
$LCM = 2^1 \times 5^1 \times 7^1 \times 23^1$
$LCM = 10 \times 7 \times 23$
$LCM = 70 \times 23 = 1610$.

(D) एक परिमेय संख्या $\frac{p}{q}$ (जहाँ $q \neq 0$) के दशमलव निरूपण में दशमलव के बाद अंकों की संख्या ज्ञात करने के लिए,हम पहले भिन्न को उसके सरलतम रूप में लिखते हैं।
$\frac{7}{80}$ पहले से ही अपने सरलतम रूप में है।
अगला चरण,हर $q = 80$ का अभाज्य गुणनखंडन करना है।
$80 = 2^4 \times 5^1$.
दशमलव के बाद अंकों की संख्या हर के अभाज्य गुणनखंडन में $2$ या $5$ के अधिकतम घातांक के बराबर होती है।
यहाँ,घातांक $4$ और $1$ हैं। अधिकतम घातांक $4$ है।
अतः,$\frac{7}{80}$ के दशमलव निरूपण में दशमलव बिंदु के बाद $4$ अंक होंगे।
सत्यापन: $\frac{7}{80} = \frac{7 \times 125}{80 \times 125} = \frac{875}{10000} = 0.0875$.

(A) वह सबसे बड़ी धनात्मक पूर्णांक ज्ञात करने के लिए जो $70$ और $125$ को विभाजित करने पर क्रमशः $5$ और $8$ शेषफल देता है,हम पहले संख्याओं में से शेषफल को घटाते हैं।
$70 - 5 = 65$
$125 - 8 = 117$
अब,हमें $65$ और $117$ का महत्तम समापवर्तक $(HCF/GCD)$ ज्ञात करना होगा।
$65$ का अभाज्य गुणनखंडन $= 5 \times 13$
$117$ का अभाज्य गुणनखंडन $= 3^2 \times 13$
उभयनिष्ठ गुणनखंड $13$ है।
अतः,सबसे बड़ी धनात्मक पूर्णांक $13$ है।

(B) सबसे पहले,अभाज्य गुणनखंड विधि का उपयोग करके $65$ और $117$ का $HCF$ ज्ञात करें:
$65 = 5 \times 13$
$117 = 9 \times 13 = 3^2 \times 13$
अतः,$HCF(65, 117) = 13$ है।
दिया गया समीकरण: $65m - 117 = HCF(65, 117)$।
$HCF$ का मान रखने पर: $65m - 117 = 13$।
दोनों पक्षों में $117$ जोड़ने पर: $65m = 13 + 117$।
$65m = 130$।
$65$ से भाग देने पर: $m = 130 / 65$।
$m = 2$।

(D) एक गुणनखंड वृक्ष में, किसी संख्या को उसके गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में दर्शाया जाता है।
गुणनखंड वृक्ष की मानक संरचना के अनुसार, जहाँ शीर्ष पर स्थित संख्या दो गुणनखंडों में विभाजित होती है, हम इस गुण का उपयोग करते हैं: $\text{संख्या} = \text{गुणनखंड}_1 \times \text{गुणनखंड}_2$.
यदि $x$, $2$ और $5$ में विभाजित होता है, तो $x = 2 \times 5 = 10$ होगा।
यदि $y$, $x$ और $2$ में विभाजित होता है, तो $y = x \times 2 = 10 \times 2 = 20$ होगा।
अतः, $x$ और $y$ के मान क्रमशः $10$ और $20$ हैं।

(A) हम जानते हैं कि किन्हीं दो धनात्मक पूर्णांकों $a$ और $b$ के लिए,संख्याओं का गुणनफल उनके $\text{HCF}$ (म.स.प.) और $\text{LCM}$ (ल.स.प.) के गुणनफल के बराबर होता है।
गणितीय रूप से,$a \times b = \text{HCF}(a, b) \times \text{LCM}(a, b)$.
दिया गया है कि $\text{HCF}(a, b) = 7$ और $\text{LCM}(a, b) = 385$.
इसलिए,$a \times b = 7 \times 385$.
गुणनफल की गणना करने पर: $7 \times 385 = 2695$.
अतः,$a \times b = 2695$.

(B) सबसे छोटी अभाज्य संख्या $2$ है।
सबसे छोटी भाज्य संख्या $4$ है।
$2$ और $4$ का $LCM$ ज्ञात करने के लिए:
$2 = 2^1$
$4 = 2^2$
$LCM$ प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड की उच्चतम घात का गुणनफल होता है,जो $2^2 = 4$ है।
अतः,$2$ और $4$ का $LCM$ $4$ है।

(B) यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका के अनुसार,किसी भी धनात्मक पूर्णांक $a$ को $a = bq + r$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है,जहाँ $0 \le r < b$ है।
यदि हम $b = 2$ लेते हैं,तो $r$ के संभावित मान $0$ और $1$ हैं।
अतः,$a = 2m + 0 = 2m$ (जो एक सम पूर्णांक है) या $a = 2m + 1$ (जो एक विषम पूर्णांक है)।
इसलिए,कोई भी विषम धनात्मक पूर्णांक $2m + 1$ के रूप का होता है।

(A) $4$ अंकों की सबसे बड़ी संख्या $9999$ है।
$95$ से विभाज्य $4$ अंकों की सबसे बड़ी संख्या ज्ञात करने के लिए,हम $9999$ को $95$ से विभाजित करते हैं।
$9999 \div 95 = 105.2526...$
यहाँ पूर्णांक भाग $105$ है।
अब,सबसे बड़ा गुणज ज्ञात करने के लिए $105$ को $95$ से गुणा करें:
$105 \times 95 = 9975$.
अतः,$95$ से विभाज्य $4$ अंकों की सबसे बड़ी पूर्णांक संख्या $9975$ है।

(C) यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका के अनुसार,किन्हीं दो धनात्मक पूर्णांकों $a$ और $b$ के लिए,अद्वितीय पूर्णांक $q$ और $r$ इस प्रकार विद्यमान होते हैं कि $a = bq + r$,जहाँ $0 \le r < b$ होता है।
इस प्रश्न में,$b = 5$ है।
अतः,$r$ के लिए शर्त $0 \le r < 5$ है।
इसका अर्थ है कि $r$ के संभावित मान ${0, 1, 2, 3, 4}$ हैं।
दिए गए विकल्पों की तुलना करने पर,$5$ का मान $r$ के लिए संभव नहीं है क्योंकि $r$ का मान भाजक $5$ से छोटा होना चाहिए।

(A) हमें व्यंजक $2^{3} \times 5^{125}$ दिया गया है।
सबसे पहले,$2^{3} = 8$ की गणना करें।
अब,व्यंजक $8 \times 5^{125}$ हो जाता है।
हम इसे $8 \times 5 \times 5^{124} = 40 \times 5^{124}$ के रूप में लिख सकते हैं।
चूंकि किसी भी संख्या को $40$ से गुणा करने पर अंत में $0$ आता है,इसलिए व्यंजक का अंतिम अंक $0$ है।

(A) मान लीजिए $x = 1. \overline{23} = 1.232323...$
$100$ से गुणा करने पर,हमें $100x = 123.232323...$ प्राप्त होता है।
$100x$ में से $x$ घटाने पर,$99x = 122$ मिलता है,इसलिए $x = \frac{122}{99}$.
अब,$3.2 = \frac{32}{10} = \frac{16}{5}$.
योग $\frac{122}{99} + \frac{16}{5} = \frac{122 \times 5 + 16 \times 99}{99 \times 5} = \frac{610 + 1584}{495} = \frac{2194}{495}$ है।
चूंकि इस योग को $\frac{p}{q}$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है जहाँ $p$ और $q$ पूर्णांक हैं और $q \neq 0$,इसलिए यह एक परिमेय संख्या है।

(A) दो अंकों की सबसे छोटी अभाज्य संख्या $11$ है।
दो अंकों की सबसे छोटी भाज्य संख्या $10$ है।
$11$ और $10$ का $HCF$ ज्ञात करने के लिए:
$11$ का अभाज्य गुणनखंड $11^1$ है।
$10$ का अभाज्य गुणनखंड $2^1 \times 5^1$ है।
चूंकि कोई उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंड नहीं है,इसलिए $HCF(11, 10) = 1$ है।

(B) संख्या की प्रकृति निर्धारित करने के लिए,हम व्यंजक को सरल करते हैं:
$3 \times 15 \times 11 + 11$
$= 11 \times (3 \times 15 + 1)$
$= 11 \times (45 + 1)$
$= 11 \times 46$
$= 11 \times 2 \times 23$
चूंकि इस संख्या को $1$ और स्वयं के अलावा अन्य अभाज्य गुणनखंडों $(2, 11, 23)$ के गुणनफल के रूप में व्यक्त किया जा सकता है,इसलिए यह एक भाज्य संख्या है।

(C) परिभाषा के अनुसार,एक अभाज्य संख्या $1$ से बड़ी वह प्राकृतिक संख्या है जिसका $1$ और स्वयं के अलावा कोई अन्य धनात्मक भाजक नहीं होता है।
चूंकि $a$ और $b$ दो भिन्न अभाज्य संख्याएँ हैं,इसलिए $1$ के अलावा उनका कोई अन्य उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं है।
दो संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ वह सबसे छोटी धनात्मक पूर्णांक संख्या है जो दोनों संख्याओं से पूर्णतः विभाजित हो जाती है।
किन्हीं भी दो संख्याओं $a$ और $b$ के लिए,उनके गुणनफल,$HCF$ और $LCM$ के बीच संबंध इस प्रकार है: $a \times b = \text{HCF}(a, b) \times \text{LCM}(a, b)$.
चूंकि $a$ और $b$ भिन्न अभाज्य संख्याएँ हैं,इसलिए उनका महत्तम समापवर्तक $(HCF)$ $1$ होगा।
अतः,$a \times b = 1 \times \text{LCM}(a, b)$.
इसका अर्थ है कि $\text{LCM}(a, b) = ab$ होगा।

(B) हम जानते हैं कि किन्हीं भी दो धनात्मक पूर्णांकों $p$ और $q$ के लिए,संख्याओं का गुणनफल उनके $HCF$ और $LCM$ के गुणनफल के बराबर होता है।
$p \times q = HCF(p, q) \times LCM(p, q)$
दिया गया है कि $HCF(p, q) = p$ है।
इस मान को सूत्र में रखने पर:
$p \times q = p \times LCM(p, q)$
दोनों पक्षों को $p$ से विभाजित करने पर (मानते हुए कि $p \neq 0$):
$LCM(p, q) = q$
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) किन्हीं भी दो अभाज्य संख्याओं $p_1$ और $p_2$ के लिए,महत्तम समापवर्तक (म.स.प.) हमेशा $1$ होता है क्योंकि $1$ के अलावा उनका कोई अन्य उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं होता है।
दो अभाज्य संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य (ल.स.प.) उनका गुणनफल होता है,अर्थात $p_1 \times p_2$।
दी गई अभाज्य संख्याएँ $7$ और $11$ हैं।
$\text{म}.\text{स}.\text{प}.(7, 11) = 1$।
$\text{ल}.\text{स}.\text{प}.(7, 11) = 7 \times 11 = 77$।
अंतर = $\text{ल}.\text{स}.\text{प}. - \text{म}.\text{स}.\text{प}. = 77 - 1 = 76$।

(A) $12, 15,$ और $21$ का $LCM$ ज्ञात करने के लिए,हम पहले उनके अभाज्य गुणनखंड ज्ञात करते हैं:
$12 = 2^2 \times 3^1$
$15 = 3^1 \times 5^1$
$21 = 3^1 \times 7^1$
$LCM$ सभी अभाज्य गुणनखंडों की उच्चतम घातों का गुणनफल होता है:
$LCM(12, 15, 21) = 2^2 \times 3^1 \times 5^1 \times 7^1 = 4 \times 3 \times 5 \times 7 = 420$
दिया गया समीकरण: $LCM(12, 15, 21) = 500 + 2x$
$420 = 500 + 2x$
$2x = 420 - 500$
$2x = -80$
$x = -40$

(B) $20 a^{2} b$ और $30 a b^{2}$ का महत्तम समापवर्तक (म.स.प.) ज्ञात करने के लिए:
$1$. $20 a^{2} b$ का अभाज्य गुणनखंडन: $2^{2} \times 5 \times a^{2} \times b$.
$2$. $30 a b^{2}$ का अभाज्य गुणनखंडन: $2 \times 3 \times 5 \times a \times b^{2}$.
$3$. म.स.प. प्रत्येक उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंड की सबसे छोटी घात का गुणनफल होता है:
- उभयनिष्ठ गुणनखंड $2, 5, a, b$ हैं।
- सबसे छोटी घातें $2^{1}, 5^{1}, a^{1}, b^{1}$ हैं।
- म.स.प. $= 2 \times 5 \times a \times b = 10 ab$.
चूंकि $10 ab
eq 10 a^{2} b^{2}$,इसलिए दिया गया कथन असत्य है।

(B) $5$ के गुणनखंड $1, 5$ हैं।
$15$ के गुणनखंड $1, 3, 5, 15$ हैं।
उभयनिष्ठ गुणनखंड $1$ और $5$ हैं।
अतः,महत्तम समापवर्तक $(HCF)$ $5$ है।
चूंकि कथन में $HCF$ $10$ बताया गया है,इसलिए यह कथन असत्य है।

(B) दिया गया व्यंजक: $(\sqrt{2} - \sqrt{3})(\sqrt{3} + \sqrt{2})$
यह $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$ के रूप में है।
यहाँ,हम इसे $(\sqrt{2} - \sqrt{3})(\sqrt{2} + \sqrt{3})$ के रूप में लिख सकते हैं।
सर्वसमिका $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$ का उपयोग करने पर:
$(\sqrt{2})^2 - (\sqrt{3})^2 = 2 - 3 = -1$.
चूंकि $-1$ एक पूर्णांक है,इसलिए यह एक परिमेय संख्या है।
अतः,यह व्यंजक एक अपरिमेय संख्या नहीं है।

(A) माना कि धनात्मक पूर्णांक $x = 3q + 1$ है।
इस पूर्णांक का वर्ग ज्ञात करने के लिए,हम $x^2 = (3q + 1)^2$ की गणना करते हैं।
बीजगणितीय सर्वसमिका $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$x^2 = (3q)^2 + 2(3q)(1) + (1)^2$
$x^2 = 9q^2 + 6q + 1$
हम पहले दो पदों से $3$ उभयनिष्ठ (common) ले सकते हैं:
$x^2 = 3(3q^2 + 2q) + 1$
माना कि $m = 3q^2 + 2q$,जहाँ $m$ एक पूर्णांक है।
अतः,$x^2 = 3m + 1$ है।
इसलिए,यह कथन सत्य है।

(B) माना कि कोई धनात्मक पूर्णांक $n$ है। यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका के अनुसार,किसी भी धनात्मक पूर्णांक को $3q$,$3q + 1$,या $3q + 2$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है,जहाँ $q \ge 0$ एक पूर्णांक है।
स्थिति $1$: यदि $n = 3q$ है,तो $n^2 = (3q)^2 = 9q^2 = 3(3q^2) = 3m$,जहाँ $m = 3q^2$ है।
स्थिति $2$: यदि $n = 3q + 1$ है,तो $n^2 = (3q + 1)^2 = 9q^2 + 6q + 1 = 3(3q^2 + 2q) + 1 = 3m + 1$,जहाँ $m = 3q^2 + 2q$ है।
स्थिति $3$: यदि $n = 3q + 2$ है,तो $n^2 = (3q + 2)^2 = 9q^2 + 12q + 4 = 9q^2 + 12q + 3 + 1 = 3(3q^2 + 4q + 1) + 1 = 3m + 1$,जहाँ $m = 3q^2 + 4q + 1$ है।
अतः,किसी भी धनात्मक पूर्णांक का वर्ग हमेशा $3m$ या $3m + 1$ के रूप में ही होता है। यह कभी भी $3m + 2$ के रूप में नहीं हो सकता। इसलिए,दिया गया कथन असत्य है।

(B) यह कथन $False$ (असत्य) है।
प्रत्येक धनात्मक सम पूर्णांक $2n$ के रूप का होता है,जहाँ $n$ एक पूर्णांक है।
हालाँकि यह सच है कि कुछ सम पूर्णांकों को $4q + 2$ (जहाँ $q$ एक पूर्णांक है) के रूप में लिखा जा सकता है,लेकिन सभी सम पूर्णांक इस रूप का पालन नहीं करते हैं।
उदाहरण के लिए,पूर्णांक $2$ को $4(0) + 2$ के रूप में लिखा जा सकता है,लेकिन पूर्णांक $4$ को किसी भी पूर्णांक $q$ के लिए $4q + 2$ के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है,क्योंकि $4q + 2 = 4 \implies 4q = 2 \implies q = 0.5$,जो कि एक पूर्णांक नहीं है।

(A) माना तीन क्रमागत धनात्मक पूर्णांक $n, (n+1)$ और $(n+2)$ हैं।
किन्हीं भी तीन क्रमागत पूर्णांकों के समूह में,कम से कम एक संख्या सम ($2$ से विभाज्य) होती है और ठीक एक संख्या $3$ का गुणज होती है।
चूंकि गुणनफल में कम से कम एक गुणनखंड $2$ और एक गुणनखंड $3$ होता है,इसलिए गुणनफल $2 \times 3 = 6$ से विभाज्य होना चाहिए।
उदाहरण के लिए,यदि $n=1$ है,तो गुणनफल $1 \times 2 \times 3 = 6$ है,जो $6$ से विभाज्य है।
यदि $n=2$ है,तो गुणनफल $2 \times 3 \times 4 = 24$ है,जो $6$ से विभाज्य है।
अतः,दिया गया कथन सत्य है।

(A) मान लीजिए कि दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांक $n$ और $n+1$ हैं।
उनका गुणनफल $P = n(n+1)$ है।
चूंकि $n$ और $n+1$ क्रमागत पूर्णांक हैं,उनमें से एक सम (even) और दूसरा विषम (odd) होगा।
एक सम संख्या हमेशा $2$ से विभाज्य होती है।
इसलिए,एक सम संख्या और एक विषम संख्या का गुणनफल हमेशा सम होता है,जिसका अर्थ है कि यह $2$ से विभाज्य है।
अतः,दिया गया कथन सत्य है।

(A) किन्हीं दो धनात्मक पूर्णांकों $a$ और $b$ के लिए,उनके महत्तम समापवर्तक $(HCF)$ और लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ के बीच संबंध इस प्रकार है: $\text{HCF}(a, b) \times \text{LCM}(a, b) = a \times b$.
चूंकि $a$ और $b$ क्रमागत धनात्मक पूर्णांक हैं,वे सह-अभाज्य (coprime) होते हैं,जिसका अर्थ है कि उनका $HCF$ $1$ है।
अतः,$\text{HCF}(a, b) = 1$.
सूत्र में मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है: $1 \times \text{LCM}(a, b) = a \times b$,जिसका अर्थ है $\text{LCM}(a, b) = a \times b$.
इसलिए,$\text{HCF}(a, b) \times \text{LCM}(a, b) = 1 \times (a \times b) = a \times b$.

(B) एक परिमेय संख्या को ऐसी संख्या के रूप में परिभाषित किया जाता है जिसे $\frac{p}{q}$ के रूप में व्यक्त किया जा सके,जहाँ $p$ और $q$ पूर्णांक हैं और $q \neq 0$ है।
$\sqrt{2}$ एक अनवसानी और अनावर्ती दशमलव संख्या है $(1.41421356...)$।
चूंकि इसे दो पूर्णांकों के अनुपात के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है,इसलिए यह एक अपरिमेय संख्या है।
अतः,$\sqrt{2}$ एक परिमेय संख्या नहीं है।

(B) $\frac{p}{2^n \cdot 5^m}$ के रूप वाली परिमेय संख्या के लिए दशमलव बिंदु के बाद अंकों की संख्या ज्ञात करने के लिए,हम घातांकों $n$ और $m$ में से अधिकतम मान देखते हैं।
यहाँ दिए गए व्यंजक $\frac{7}{2^3 \cdot 5^4}$ में,$n = 3$ और $m = 4$ है।
दशमलव स्थानों की संख्या $\max(n, m) = \max(3, 4) = 4$ द्वारा निर्धारित होती है।
अतः,दशमलव निरूपण में दशमलव बिंदु के बाद $4$ अंक होंगे।

(A) $25$ और $52$ का म.स.प. ज्ञात करने के लिए,हम उनके अभाज्य गुणनखंड निकालते हैं:
$25 = 5^2$
$52 = 2^2 \times 13$
चूंकि $1$ के अलावा कोई अन्य उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंड नहीं है,इसलिए महत्तम समापवर्तक $(HCF)$ $1$ है।
अतः,यह कथन सत्य है।

(A) यह निर्धारित करने के लिए कि एक परिमेय संख्या $\frac{p}{q}$ का दशमलव प्रसार सांत है या नहीं,हम हर $q$ का अभाज्य गुणनखंडन करते हैं।
यदि $q$,$2^n \times 5^m$ के रूप में है,जहाँ $n$ और $m$ ऋणेतर पूर्णांक हैं,तो दशमलव प्रसार सांत होता है।
यहाँ,$q = 3125$ है।
$3125 = 5 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5 = 5^5$ है।
चूँकि $3125$ को $2^0 \times 5^5$ के रूप में लिखा जा सकता है,यह $2^n \times 5^m$ की शर्त को पूरा करता है।
इसलिए,$\frac{13}{3125}$ का दशमलव प्रसार सांत है।

(A) $28$ और $63$ दोनों से विभाज्य सबसे छोटा पूर्णांक ज्ञात करने के लिए,हमें $28$ और $63$ का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ निकालना होगा।
सबसे पहले,प्रत्येक संख्या का अभाज्य गुणनखंडन कीजिए:
$28 = 2^2 \times 7^1$
$63 = 3^2 \times 7^1$
$LCM$ ज्ञात करने के लिए प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड की उच्चतम घात का गुणनफल लीजिए:
$LCM = 2^2 \times 3^2 \times 7^1$
$LCM = 4 \times 9 \times 7$
$LCM = 36 \times 7 = 252$
अतः,$28$ और $63$ दोनों से विभाज्य सबसे छोटा पूर्णांक $252$ है।

(A) $36$ और $100$ का $LCM$ ज्ञात करने के लिए,हम पहले उनके अभाज्य गुणनखंड करेंगे:
$36 = 2^2 \times 3^2$
$100 = 2^2 \times 5^2$
$LCM$ सभी अभाज्य गुणनखंडों की उच्चतम घातों का गुणनफल होता है:
$LCM = 2^2 \times 3^2 \times 5^2$
$LCM = 4 \times 9 \times 25$
$LCM = 36 \times 25 = 900$
अतः,$36$ और $100$ का $LCM$ $900$ है।

(A) $65$ और $117$ का म.स.प. ज्ञात करने के लिए,हम पहले उनका अभाज्य गुणनखंडन करेंगे:
$65 = 5 \times 13$
$117 = 9 \times 13 = 3^2 \times 13$
यहाँ उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंड जिसकी घात सबसे कम है,वह $13$ है।
अतः,$65$ और $117$ का म.स.प. $13$ है।

(A) $220$ और $60$ का ल.स.प. ज्ञात करने के लिए,हम पहले प्रत्येक संख्या का अभाज्य गुणनखंडन करेंगे:
$220 = 2^2 \times 5^1 \times 11^1$
$60 = 2^2 \times 3^1 \times 5^1$
ल.स.प. संख्याओं में उपस्थित प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड की उच्चतम घात का गुणनफल होता है:
$LCM(220, 60) = 2^2 \times 3^1 \times 5^1 \times 11^1$
$LCM(220, 60) = 4 \times 3 \times 5 \times 11$
$LCM(220, 60) = 12 \times 55 = 660$
अतः,$220$ और $60$ का ल.स.प. $660$ है।

(A) $HCF(156, 455)$ ज्ञात करने के लिए,हम अभाज्य गुणनखंडन विधि का उपयोग करते हैं:
$156 = 2^2 \times 3 \times 13$
$455 = 5 \times 7 \times 13$
उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंड $13$ है।
अतः,$HCF(156, 455) = 13$ है।

(B) मान लीजिए कि दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांक $n$ और $n+1$ हैं।
उनका गुणनफल $P = n(n+1) = n^2 + n$ है।
चूंकि दो क्रमागत पूर्णांकों में से एक संख्या हमेशा सम (even) होती है,इसलिए उनका गुणनफल $n(n+1)$ हमेशा एक सम संख्या होती है।
एक सम संख्या हमेशा $2$ से विभाज्य होती है।
अतः,दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांकों का गुणनफल हमेशा $2$ से विभाज्य होता है।

(Q.1-B, Q.2-A) चरण $1$: $\text{LCM}(7, 49)$ ज्ञात कीजिए।
चूंकि $49$,$7$ का एक गुणज है $(7 \times 7 = 49)$,इसलिए $7$ और $49$ का ल.स.प. $49$ है।
चरण $2$: $\text{LCM}(10, 25)$ ज्ञात कीजिए।
$10$ का अभाज्य गुणनखंडन = $2 \times 5$.
$25$ का अभाज्य गुणनखंडन = $5 \times 5$.
$\text{LCM}(10, 25) = 2 \times 5 \times 5 = 50$.
अतः,$Q.1$ का मिलान $B$ से और $Q.2$ का मिलान $A$ (या $D$) से होता है।

(A-B) $1$. $\text{25 और 10 का म.स.प. ज्ञात करने के लिए:}$
$25$ $\text{का अभाज्य गुणनखंड =}$ $5^2$.
$10$ $\text{का अभाज्य गुणनखंड =}$ $2 \times 5$.
$\text{उभयनिष्ठ गुणनखंड}$ $5$ $\text{है। इसलिए, म.स.प.}$ $(25, 10)$ = $5$.
$2$. $17$ $\text{और}$ $11$ $\text{का ल.स.प. ज्ञात करने के लिए:}$
$\text{चूंकि}$ $17$ $\text{और}$ $11$ $\text{दोनों अभाज्य संख्याएँ हैं, इसलिए उनका ल.स.प. उनका गुणनफल होता है।}$
$\text{ल.स.प.}$ $(17, 11)$ = $17 \times 11 = 187$.
$\text{अतः, सही मिलान}$ $Q.1-A$ $\text{और}$ $Q.2-B$ $\text{है।}$

(A) $30$ और $72$ का म.स.प. $(HCF)$ ज्ञात करने के लिए:
$30$ का अभाज्य गुणनखंड = $2 \times 3 \times 5$.
$72$ का अभाज्य गुणनखंड = $2^3 \times 3^2$.
उभयनिष्ठ गुणनखंड $2^1$ और $3^1$ हैं।
म.स.प. $(30, 72) = 2 \times 3 = 6$.
$19$ और $23$ का म.स.प. ज्ञात करने के लिए:
चूंकि $19$ और $23$ दोनों अभाज्य संख्याएँ हैं,इसलिए उनका एकमात्र उभयनिष्ठ गुणनखंड $1$ है।
म.स.प. $(19, 23) = 1$.
अतः,म.स.प. के मान क्रमशः $6$ और $1$ हैं। सही विकल्प $A$ है।