Demo Questions in Hindi

(A) दी गई संख्या $0.01111...$ है,जिसे $0.0\overline{1}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
चूंकि दशमलव प्रसार अनवसानी आवर्ती (non-terminating and repeating) है,इसलिए इसे $\frac{p}{q}$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है,जहाँ $p$ और $q$ पूर्णांक हैं और $q \neq 0$ है।
माना $x = 0.0111...$ (समीकरण $1$)।
$10$ से गुणा करने पर: $10x = 0.1111...$ (समीकरण $2$)।
$100$ से गुणा करने पर: $100x = 1.1111...$ (समीकरण $3$)।
समीकरण $3$ में से समीकरण $2$ को घटाने पर: $100x - 10x = 1.1111... - 0.1111...$।
$90x = 1$।
$x = \frac{1}{90}$।
चूंकि इस संख्या को भिन्न $\frac{1}{90}$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है,इसलिए यह एक परिमेय संख्या है।

(A) मान लीजिए कि तीन क्रमागत धनात्मक पूर्णांक $n, (n+1)$,और $(n+2)$ हैं।
इन पूर्णांकों का गुणनफल $P = n(n+1)(n+2)$ है।
यह व्यंजक तीन क्रमागत पूर्णांकों का गुणनफल दर्शाता है।
हम जानते हैं कि $k$ क्रमागत पूर्णांकों के किसी भी समूह में,हमेशा $k!$ (k फैक्टोरियल) का कम से कम एक गुणज होता है।
$k=3$ के लिए,गुणनफल हमेशा $3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$ से विभाज्य होता है।
उदाहरण के लिए,यदि $n=1$ है,तो $1 \times 2 \times 3 = 6$ ($6$ से विभाज्य है)।
यदि $n=2$ है,तो $2 \times 3 \times 4 = 24$ ($6$ से विभाज्य है)।
यदि $n=3$ है,तो $3 \times 4 \times 5 = 60$ ($6$ से विभाज्य है)।
अतः,किन्हीं तीन क्रमागत धनात्मक पूर्णांकों का गुणनफल हमेशा $6$ से विभाज्य होता है।

(C) $30$ का अभाज्य गुणनखंडन ज्ञात करने के लिए,हम इसे सबसे छोटी अभाज्य संख्याओं से विभाजित करते हैं:
$30 = 2 \times 15$
$15 = 3 \times 5$
अतः,$30 = 2 \times 3 \times 5$.
चूंकि $2, 3,$ और $5$ सभी अभाज्य संख्याएँ हैं,इसलिए सही अभाज्य गुणनखंडन $2 \times 3 \times 5$ है।

(A) $13$,$23$ और $31$ का म.स.प. (महत्तम समापवर्तक) ज्ञात करने के लिए:
$1$. $13$ का अभाज्य गुणनखंड = $13 \times 1$.
$2$. $23$ का अभाज्य गुणनखंड = $23 \times 1$.
$3$. $31$ का अभाज्य गुणनखंड = $31 \times 1$.
चूंकि $13$,$23$ और $31$ सभी अभाज्य संख्याएँ हैं,इसलिए $1$ के अलावा इनका कोई अन्य उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं है।
अतः,$13$,$23$ और $31$ का म.स.प. $1$ है।

(B) संख्या $\pi$ को वृत्त की परिधि और उसके व्यास के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
यह एक अनवसानी-अनावर्ती दशमलव है,जिसका अर्थ है कि इसे $\frac{p}{q}$ के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है,जहाँ $p$ और $q$ पूर्णांक हैं और $q \neq 0$ है।
इसलिए,$\pi$ एक अपरिमेय संख्या है।

(D) $27$ को $4$ से विभाजित करने पर शेषफल ज्ञात करने के लिए,हम भाग देते हैं:
$27 \div 4 = 6$ और शेषफल प्राप्त होता है।
$4 \times 6 = 24$.
शेषफल $= 27 - 24 = 3$.
अतः,शेषफल $3$ है।

(C) अंकगणित की आधारभूत प्रमेय के अनुसार,$1$ से बड़ी प्रत्येक भाज्य संख्या को अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में अद्वितीय रूप से व्यक्त किया जा सकता है,सिवाय उस क्रम के जिसमें अभाज्य गुणनखंड आते हैं। इसका अर्थ है कि किसी भी दी गई भाज्य संख्या के लिए,अभाज्य गुणनखंडों का समूह निश्चित होता है,चाहे उन्हें किसी भी क्रम में लिखा जाए। इसलिए,यह गुणनखंडन अद्वितीय होता है।

(B) हमें व्यंजक $(5k+1)^2$ दिया गया है।
सर्वसमिका $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ का उपयोग करके विस्तार करने पर:
$(5k+1)^2 = (5k)^2 + 2(5k)(1) + (1)^2$
$= 25k^2 + 10k + 1$
$= 5(5k^2 + 2k) + 1$
यहाँ,व्यंजक $5q + 1$ के रूप में है,जहाँ $q = 5k^2 + 2k$ एक पूर्णांक है।
अतः,जब $(5k+1)^2$ को $5$ से विभाजित किया जाता है,तो शेषफल $1$ प्राप्त होता है।

(B) एक संख्या को परिमेय कहा जाता है यदि उसे $\frac{p}{q}$ के रूप में व्यक्त किया जा सके,जहाँ $p$ और $q$ पूर्णांक हैं और $q \neq 0$ है।
चूंकि $\sqrt{2}$ को दो पूर्णांकों के अनुपात के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है,इसलिए यह एक अपरिमेय संख्या है।
अतः,$\sqrt{2}$ एक अपरिमेय संख्या है।

(B) दिया गया व्यंजक $\sqrt{1+1}$ है।
सबसे पहले,वर्गमूल के अंदर का योग ज्ञात करें: $1+1 = 2$.
अतः,व्यंजक $\sqrt{2}$ हो जाता है।
चूंकि $2$ एक पूर्ण वर्ग नहीं है,इसलिए $\sqrt{2}$ एक अपरिमेय संख्या है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) दशमलव स्थानों की संख्या ज्ञात करने के लिए,हम हर को $2^n \times 5^m$ के रूप में व्यक्त करते हैं।
दिया गया भिन्न: $\frac{35457}{6250}$.
$6250$ का अभाज्य गुणनखंड: $6250 = 625 \times 10 = 5^4 \times (2 \times 5) = 2^1 \times 5^5$.
दशमलव स्थानों की संख्या $2$ और $5$ के घातांकों में से अधिकतम मान द्वारा निर्धारित होती है,जो कि $\max(1, 5) = 5$ है।
अतः,दशमलव निरूपण $5$ दशमलव स्थानों के बाद समाप्त हो जाता है।

(B) $0.9999...$ दशमलव प्रसार को $0.\bar{9}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
चूंकि दशमलव बिंदु के बाद अंक $9$ अनंत तक दोहराया जाता है,इसलिए यह एक अनवसानी आवर्ती (non-terminating repeating) दशमलव प्रसार है।
इसके अतिरिक्त,$0.9999... = 1$ होता है,जो एक परिमेय संख्या है,और सभी परिमेय संख्याओं का दशमलव प्रसार या तो शांत होता है या अनवसानी आवर्ती होता है।

(D) एक परिमेय संख्या $\frac{p}{q}$ (जहाँ $q$,$2^n \cdot 5^m$ के रूप में हो) के दशमलव प्रसार में दशमलव स्थानों की संख्या $\max(n, m)$ द्वारा दी जाती है।
हालाँकि,$\frac{p}{q}$ भिन्न के लिए जहाँ $q$,$2^n \cdot 5^m$ के रूप में नहीं है,दशमलव प्रसार अनवसानी आवर्ती (non-terminating and repeating) होता है।
$\frac{3}{113}$ के लिए,हर $113$ एक अभाज्य संख्या है और यह $2^n \cdot 5^m$ के रूप में नहीं है।
इसलिए,दशमलव प्रसार अनवसानी आवर्ती है।
यदि प्रश्न का अर्थ आवर्ती दशमलव की अवधि (period length) है,तो एक अभाज्य संख्या $p$ के लिए,अवधि की लंबाई $p-1$ को विभाजित करती है।
$p = 113$ के लिए,अवधि की लंबाई $112$ है।

(A) वह सबसे बड़ी धनात्मक पूर्णांक ज्ञात करने के लिए जो $70$ और $125$ को विभाजित करने पर क्रमशः $5$ और $8$ शेषफल देती है,हमें $(70 - 5)$ और $(125 - 8)$ का महत्तम समापवर्तक $(HCF)$ ज्ञात करना होगा।
चरण $1$: दी गई संख्याओं में से शेषफल को घटाएं।
$70 - 5 = 65$
$125 - 8 = 117$
चरण $2$: $65$ और $117$ का $HCF$ ज्ञात करें।
$65$ का अभाज्य गुणनखंडन = $5 \times 13$ है।
$117$ का अभाज्य गुणनखंडन = $3^2 \times 13$ है।
चरण $3$: न्यूनतम घात वाला उभयनिष्ठ गुणनखंड $13$ है।
अतः,अभीष्ट सबसे बड़ी धनात्मक पूर्णांक $13$ है।

(B) सबसे पहले,अभाज्य गुणनखंडन विधि का उपयोग करके $65$ और $117$ का $\text{HCF}$ (म.स.प.) ज्ञात करें:
$65 = 5 \times 13$
$117 = 9 \times 13 = 3^2 \times 13$
इसलिए,$\text{HCF}(65, 117) = 13$.
दिया गया समीकरण: $\text{HCF}(65, 117) = 65m - 117$.
$\text{HCF}$ का मान रखने पर:
$13 = 65m - 117$
$13 + 117 = 65m$
$130 = 65m$
$m = \frac{130}{65} = 2$.
अतः,$m$ का मान $2$ है।

(B) हम जानते हैं कि दो धनात्मक पूर्णांकों $a$ और $b$ के लिए,संख्याओं का गुणनफल उनके $\text{HCF}$ और $\text{LCM}$ के गुणनफल के बराबर होता है।
गणितीय रूप से,$a \times b = \text{HCF}(a, b) \times \text{LCM}(a, b)$.
यहाँ दिया गया है कि $\text{HCF}(a, b) = 7$ और $\text{LCM}(a, b) = 385$.
इसलिए,$a \times b = 7 \times 385$.
$a \times b = 2695$.
अतः,दोनों पूर्णांकों का गुणनफल $2695$ है।

(C) सबसे छोटी अभाज्य संख्या $2$ है।
सबसे छोटी भाज्य संख्या $4$ है।
$2$ और $4$ का ल.स.प. $(LCM)$ ज्ञात करने के लिए:
$2 = 2^1$
$4 = 2^2$
ल.स.प. प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड की उच्चतम घात का गुणनफल होता है,जो $2^2 = 4$ है।
अतः,$2$ और $4$ का ल.स.प. $4$ है।

(C) यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका के अनुसार,किसी भी धनात्मक पूर्णांक $a$ और भाजक $b=4$ के लिए,$a = 4m + r$ होता है,जहाँ $r$ का मान $0, 1, 2, 3$ हो सकता है।
यदि $r=0$ है,तो $a = 4m = 2(2m)$,जो सम है।
यदि $r=1$ है,तो $a = 4m+1$,जो विषम है।
यदि $r=2$ है,तो $a = 4m+2 = 2(2m+1)$,जो सम है।
यदि $r=3$ है,तो $a = 4m+3$,जो विषम है।
अतः,कोई भी विषम धनात्मक पूर्णांक $4m+1$ या $4m+3$ के रूप में होता है।

(C) $4$ अंकों की सबसे बड़ी संख्या $9999$ है।
$95$ से विभाज्य $4$ अंकों की सबसे बड़ी संख्या ज्ञात करने के लिए,हम $9999$ को $95$ से विभाजित करते हैं।
$9999 \div 95 = 105$ और शेषफल प्राप्त होता है।
$9999 = 95 \times 105 + 14$.
यहाँ शेषफल $14$ है।
$95$ से विभाज्य $4$ अंकों की सबसे बड़ी संख्या ज्ञात करने के लिए,हम सबसे बड़ी $4$ अंकों की संख्या में से शेषफल को घटाते हैं:
$9999 - 14 = 9985$.
अतः,$9985$ वह सबसे बड़ी $4$ अंकों की पूर्णांक संख्या है जो $95$ से विभाज्य है।

(C) यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका के अनुसार,किन्हीं दो धनात्मक पूर्णांकों $a$ और $b$ के लिए,अद्वितीय पूर्णांक $q$ और $r$ इस प्रकार विद्यमान होते हैं कि $a = bq + r$,जहाँ $0 \le r < b$ होता है।
इस प्रश्न में,$b = 5$ है।
अतः,शेषफल $r$ के लिए संभावित मान $0, 1, 2, 3, 4$ हैं।
चूंकि $r$ का मान $5$ से कम होना चाहिए,इसलिए $r = 6$ संभव नहीं है।

(B) माना $a$ कोई भी धनात्मक पूर्णांक है। किसी भी पूर्णांक $a$ को $6k, 6k+1, 6k+2, 6k+3, 6k+4,$ या $6k+5$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है,जहाँ $k ge 0$ है।
प्रत्येक स्थिति के लिए हम $a^2 \pmod{6}$ की गणना करते हैं:
$1$. यदि $a = 6k$,तो $a^2 = 36k^2 = 6(6k^2)$,अतः $a^2 \equiv 0 \pmod{6}$.
$2$. यदि $a = 6k+1$,तो $a^2 = 36k^2 + 12k + 1 = 6(6k^2 + 2k) + 1$,अतः $a^2 \equiv 1 \pmod{6}$.
$3$. यदि $a = 6k+2$,तो $a^2 = 36k^2 + 24k + 4 = 6(6k^2 + 4k) + 4$,अतः $a^2 \equiv 4 \pmod{6}$.
$4$. यदि $a = 6k+3$,तो $a^2 = 36k^2 + 36k + 9 = 36k^2 + 36k + 6 + 3 = 6(6k^2 + 6k + 1) + 3$,अतः $a^2 \equiv 3 \pmod{6}$.
$5$. यदि $a = 6k+4$,तो $a^2 = 36k^2 + 48k + 16 = 36k^2 + 48k + 12 + 4 = 6(6k^2 + 8k + 2) + 4$,अतः $a^2 \equiv 4 \pmod{6}$.
$6$. यदि $a = 6k+5$,तो $a^2 = 36k^2 + 60k + 25 = 36k^2 + 60k + 24 + 1 = 6(6k^2 + 10k + 4) + 1$,अतः $a^2 \equiv 1 \pmod{6}$.
अतः,संभावित शेषफल $0, 1, 3, 4$ हैं। शेषफल $2$ और $5$ संभव नहीं हैं। दिए गए विकल्पों में से,$2$ सही उत्तर है।

(B) सबसे छोटी अभाज्य संख्या $2$ है।
सबसे छोटी भाज्य संख्या $4$ है।
$2$ और $4$ का म.स.प. ज्ञात करने के लिए:
$2 = 2^1$
$4 = 2^2$
म.स.प. प्रत्येक उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंड की सबसे छोटी घात का गुणनफल होता है,जो $2^1 = 2$ है।
अतः,सबसे छोटी अभाज्य संख्या और सबसे छोटी भाज्य संख्या का म.स.प. $2$ है।

(C) दो संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ वह सबसे छोटा धनात्मक पूर्णांक होता है जो दोनों संख्याओं से विभाज्य हो।
चूंकि $p$ और $q$ भिन्न अभाज्य पूर्णांक हैं,इसलिए $1$ के अलावा उनका कोई अन्य उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं है।
अतः,दो भिन्न अभाज्य संख्याओं का $LCM$ उनका गुणनफल ही होता है।
इस प्रकार,$\text{LCM}(p, q) = p \times q = pq$.

(A) $LCM(26, 91)$ ज्ञात करने के लिए,हम पहले दोनों संख्याओं का अभाज्य गुणनखंडन करेंगे:
$26 = 2 \times 13$
$91 = 7 \times 13$
$LCM$ संख्याओं में मौजूद प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड की उच्चतम घात का गुणनफल होता है:
$LCM(26, 91) = 2 \times 7 \times 13 = 182$
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(D) परिभाषा के अनुसार,एक अभाज्य संख्या $1$ से बड़ी एक प्राकृतिक संख्या है जिसका $1$ और स्वयं के अलावा कोई अन्य धनात्मक भाजक नहीं होता है।
चूंकि $m$ और $n$ दो भिन्न अभाज्य पूर्णांक हैं,इसलिए $1$ के अलावा उनका कोई अन्य उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं है।
अतः,दो भिन्न अभाज्य संख्याओं का महत्तम समापवर्तक (म.स.प.) हमेशा $1$ होता है।

(B) दो संख्याओं का $LCM$ हमेशा उनके $HCF$ से पूर्णतः विभाज्य होता है।
यहाँ $HCF(a, b) = 25$ दिया गया है।
हम दिए गए विकल्पों की $25$ से विभाज्यता की जाँच करते हैं:
$1$. $50 / 25 = 2$ (विभाज्य है)
$2$. $105 / 25 = 4.2$ (विभाज्य नहीं है)
$3$. $100 / 25 = 4$ (विभाज्य है)
चूँकि $105$,$25$ से विभाज्य नहीं है,इसलिए यह उन दो संख्याओं का $LCM$ नहीं हो सकता जिनका $HCF$ $25$ है।

(C) माना $d = HCF(a - b, a + b)$ है।
अतः $d$ उनके योग और अंतर दोनों को विभाजित करता है।
$d$,$(a + b) + (a - b) = 2a$ को विभाजित करता है।
$d$,$(a + b) - (a - b) = 2b$ को विभाजित करता है।
चूंकि $d$,$2a$ और $2b$ को विभाजित करता है,इसलिए $d$,$HCF(2a, 2b) = 2 \times HCF(a, b)$ को भी विभाजित करेगा।
दिया गया है कि $HCF(a, b) = 1$,इसलिए $d$,$2 \times 1 = 2$ को विभाजित करता है।
अतः,$d$ का मान $1$ या $2$ हो सकता है।
उदाहरण के लिए,यदि $a = 3, b = 2$ है,तो $HCF(3, 2) = 1$,तब $HCF(3-2, 3+2) = HCF(1, 5) = 1$ होगा।
यदि $a = 3, b = 1$ है,तो $HCF(3, 1) = 1$,तब $HCF(3-1, 3+1) = HCF(2, 4) = 2$ होगा।
अतः,सही उत्तर $1$ या $2$ है।

(A) किन्हीं दो धनात्मक पूर्णांकों $a$ और $b$ के लिए,उनके $LCM$ और $GCD$ के बीच का संबंध इस प्रकार है: $a \times b = LCM(a, b) \times GCD(a, b)$.
दिया गया है कि $LCM(a, b) = a \times b$.
इस मान को सूत्र में रखने पर: $a \times b = (a \times b) \times GCD(a, b)$.
दोनों पक्षों को $(a \times b)$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $GCD(a, b) = 1$.
अतः,दोनों संख्याओं का म.स.प. $(GCD)$ $1$ है।

(B) दशमलव प्रसार $0.9999...$ को $0.\bar{9}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
चूंकि अंक $9$ अनंत तक दोहराया जाता है,इसलिए यह एक अनवसानी आवर्ती (non-terminating repeating) दशमलव प्रसार है।
इसके अलावा,गणितीय रूप से $0.9999... = 1$ होता है,जो एक परिमेय संख्या है,और सभी परिमेय संख्याओं का दशमलव प्रसार या तो शांत होता है या अनवसानी आवर्ती होता है।

(B) किसी भी प्राकृतिक संख्या $a$ को $6k, 6k+1, 6k+2, 6k+3, 6k+4,$ या $6k+5$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
प्रत्येक स्थिति के लिए $a^2 \pmod{6}$ की गणना करने पर:
$1) (6k)^2 = 36k^2 = 6(6k^2) \equiv 0 \pmod{6}$
$2) (6k+1)^2 = 36k^2 + 12k + 1 = 6(6k^2 + 2k) + 1 \equiv 1 \pmod{6}$
$3) (6k+2)^2 = 36k^2 + 24k + 4 = 6(6k^2 + 4k) + 4 \equiv 4 \pmod{6}$
$4) (6k+3)^2 = 36k^2 + 36k + 9 = 6(6k^2 + 6k + 1) + 3 \equiv 3 \pmod{6}$
$5) (6k+4)^2 = 36k^2 + 48k + 16 = 6(6k^2 + 8k + 2) + 4 \equiv 4 \pmod{6}$
$6) (6k+5)^2 = 36k^2 + 60k + 25 = 6(6k^2 + 10k + 4) + 1 \equiv 1 \pmod{6}$
संभावित शेषफल $0, 1, 3, 4$ हैं।
अतः,शेषफल $2$ और $5$ संभव नहीं हैं।

(C) किसी भी धनात्मक पूर्णांक $n$ के लिए $5^n$ का अंतिम अंक ज्ञात करने के लिए,आइए $5$ की घातों का अवलोकन करें:
$5^1 = 5$
$5^2 = 25$
$5^3 = 125$
$5^4 = 625$
जैसा कि हम देख सकते हैं,किसी भी धनात्मक पूर्णांक $n$ के लिए,$5^n$ का अंतिम अंक हमेशा $5$ होता है।

(A) $12, 15$ और $21$ का म.स.प. ज्ञात करने के लिए,हम पहले प्रत्येक संख्या का अभाज्य गुणनखंडन करेंगे:
$12 = 2^2 \times 3^1$
$15 = 3^1 \times 5^1$
$21 = 3^1 \times 7^1$
म.स.प. प्रत्येक उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंड की सबसे छोटी घात का गुणनफल होता है।
यहाँ उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंड केवल $3$ है और इसकी सबसे छोटी घात $3^1$ है।
अतः,$\text{म.स.प.}(12, 15, 21) = 3$.

(C) मान लीजिए कि चार क्रमागत धनात्मक पूर्णांक $n, (n+1), (n+2),$ और $(n+3)$ हैं।
इन पूर्णांकों का गुणनफल $P = n(n+1)(n+2)(n+3)$ है।
यह व्यंजक $24 \times \binom{n+3}{4}$ के बराबर है।
चूंकि $\binom{n+3}{4}$ हमेशा एक पूर्णांक होता है,इसलिए गुणनफल $P$ को $24$ से विभाज्य होना चाहिए।
उदाहरण के लिए,यदि $n=1$ है,तो गुणनफल $1 \times 2 \times 3 \times 4 = 24$ है,जो $24$ से विभाज्य है।
यदि $n=2$ है,तो गुणनफल $2 \times 3 \times 4 \times 5 = 120$ है,जो $24 \times 5$ है,जो भी $24$ से विभाज्य है।

(A) $6$ और $20$ का $LCM$ ज्ञात करने के लिए,हम पहले उनके अभाज्य गुणनखंड करेंगे:
$6 = 2 \times 3$
$20 = 2^2 \times 5$
$LCM$ संख्याओं में मौजूद प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड की उच्चतम घात का गुणनफल होता है:
$LCM = 2^2 \times 3^1 \times 5^1$
$LCM = 4 \times 3 \times 5 = 60$
अतः,$6$ और $20$ का $LCM$ $60$ है।

(A) हमें व्यंजक $2^m \cdot 5^n$ दिया गया है जहाँ $m, n \in \mathbb{N}$ है।
हम जानते हैं कि $2 \cdot 5 = 10$ होता है।
यदि $m \ge n$ है,तो $2^m \cdot 5^n = 2^{m-n} \cdot (2^n \cdot 5^n) = 2^{m-n} \cdot 10^n$ होगा।
यदि $n > m$ है,तो $2^m \cdot 5^n = 5^{n-m} \cdot (2^m \cdot 5^m) = 5^{n-m} \cdot 10^m$ होगा।
दोनों ही स्थितियों में,व्यंजक में $10$ का एक गुणनखंड मौजूद है,इसलिए संख्या का अंतिम अंक हमेशा $0$ होगा।
अतः,$2^m \cdot 5^n$ का अंतिम अंक $0$ है।

(A) हम जानते हैं कि दो संख्याओं,उनके म.स.प. और उनके ल.स.प. के बीच संबंध इस प्रकार है:
$\text{दो संख्याओं का गुणनफल} = \text{म.स.प.} \times \text{ल.स.प.}$
दिया गया है:
$\text{म.स.प.} = 9$
$\text{दो संख्याओं का गुणनफल} = 288$
सूत्र में मान रखने पर:
$288 = 9 \times \text{ल.स.प.}$
$\text{ल.स.प.} = \frac{288}{9}$
$\text{ल.स.प.} = 32$
अतः,उन दो संख्याओं का ल.स.प. $32$ है।

(B) $HCF(510, 92)$ ज्ञात करने के लिए,हम दोनों संख्याओं का अभाज्य गुणनखंडन करते हैं:
$510 = 2 \times 3 \times 5 \times 17$
$92 = 2 \times 2 \times 23 = 2^2 \times 23$
$HCF$ प्रत्येक उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंड की सबसे छोटी घात का गुणनफल होता है।
यहाँ उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंड केवल $2$ है,और इसकी सबसे छोटी घात $2^1 = 2$ है।
अतः,$HCF(510, 92) = 2$।

(B) किसी परिमेय संख्या $\frac{p}{q}$ के लिए,जहाँ $q = 2^n \cdot 5^m$ हो,दशमलव के बाद अंकों की संख्या $\max(n, m)$ के बराबर होती है।
यहाँ दिया गया भिन्न $\frac{15}{2^2}$ है।
यहाँ हर $2^2 \cdot 5^0$ है।
इसे $2^n \cdot 5^m$ से तुलना करने पर,हमें $n = 2$ और $m = 0$ प्राप्त होता है।
$n$ और $m$ का अधिकतम मान $\max(2, 0) = 2$ है।
अतः,दशमलव प्रसार $2$ अंकों के बाद समाप्त हो जाता है।
सत्यापन: $\frac{15}{2^2} = \frac{15}{4} = 3.75$,जिसमें दशमलव के बाद $2$ अंक हैं।

(B) हमें व्यंजक $(6k+1)^2$ दिया गया है।
बीजगणितीय सर्वसमिका $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ का उपयोग करके विस्तार करने पर:
$(6k+1)^2 = (6k)^2 + 2(6k)(1) + 1^2$
$= 36k^2 + 12k + 1$
प्रथम दो पदों से $6$ उभयनिष्ठ (common) लेने पर:
$= 6(6k^2 + 2k) + 1$
मान लीजिए $m = 6k^2 + 2k$,जहाँ $m$ एक पूर्णांक है।
अतः व्यंजक $6m + 1$ के रूप में प्राप्त होता है।
जब $6m + 1$ को $6$ से विभाजित किया जाता है,तो भागफल $m$ प्राप्त होता है और शेषफल $1$ बचता है।

(A) यह निर्धारित करने के लिए कि क्या एक परिमेय संख्या $p/q$ का दशमलव प्रसार शांत है,हम हर $q$ के अभाज्य गुणनखंड की जाँच करते हैं। यदि $q$ का रूप $2^n \times 5^m$ है,जहाँ $n$ और $m$ ऋणोत्तर पूर्णांक हैं,तो दशमलव प्रसार शांत होता है।
यहाँ,भिन्न $44/625$ है।
हर $625 = 5^4$ है।
चूँकि हर $2^0 \times 5^4$ के रूप में है,यह शांत दशमलव प्रसार की शर्त को पूरा करता है।
अतः,$44/625$ एक शांत दशमलव है।

(D) एक परिमेय संख्या वह संख्या है जिसे $\frac{p}{q}$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है,जहाँ $p$ और $q$ पूर्णांक हैं और $q \neq 0$ है।
$1$. $\sqrt{7}$ एक अपरिमेय संख्या है क्योंकि $7$ एक पूर्ण वर्ग नहीं है।
$2$. $3\pi$ एक अपरिमेय संख्या है क्योंकि $\pi$ अपरिमेय है।
$3$. $0.101000...$ एक अनवसानी अनावर्ती दशमलव है,जो इसे एक अपरिमेय संख्या बनाता है।
$4$. $0$ को $\frac{0}{1}$ के रूप में लिखा जा सकता है,जो परिमेय संख्या की शर्त को पूरा करता है।
अतः,$0$ सही परिमेय संख्या है।

(D) अभाज्य संख्याओं का $LCM$ ज्ञात करने के लिए,हम उनका गुणा करते हैं क्योंकि $1$ के अलावा उनका कोई अन्य उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं होता है।
चूंकि $7$,$11$ और $17$ सभी अभाज्य संख्याएँ हैं,इसलिए उनका $LCM$ उनके गुणनफल के बराबर होगा।
$LCM = 7 \times 11 \times 17$
$LCM = 77 \times 17$
$LCM = 1309$
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(B) संख्या $\pi$ को वृत्त की परिधि और उसके व्यास के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है।
यह एक अनवसानी-अनावर्ती (non-terminating and non-repeating) दशमलव है,जिसका अर्थ है कि इसे $\frac{p}{q}$ के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है,जहाँ $p$ और $q$ पूर्णांक हैं और $q \neq 0$ है।
इसलिए,$\pi$ एक अपरिमेय संख्या है।

(A) हमें व्यंजक $2^5 \cdot 5^5$ दिया गया है।
घातांक के नियम $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$ का उपयोग करते हुए,हम व्यंजक को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$2^5 \cdot 5^5 = (2 \cdot 5)^5$
$= 10^5$
$= 100,000$
$100,000$ का अंतिम अंक $0$ है।

(C) दो संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ वह सबसे छोटा धनात्मक पूर्णांक होता है जो दोनों संख्याओं से विभाज्य होता है।
चूंकि $p$ और $q$ भिन्न अभाज्य पूर्णांक हैं,इसलिए $1$ के अलावा उनका कोई अन्य उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं है।
अतः,दो भिन्न अभाज्य संख्याओं का $LCM$ उनका गुणनफल होता है।
इस प्रकार,$\text{LCM}(p, q) = p \times q = pq$.

(A) $6$ और $20$ का म.स.प. ज्ञात करने के लिए,हम पहले प्रत्येक संख्या का अभाज्य गुणनखंडन करेंगे:
$6 = 2 \times 3$
$20 = 2^2 \times 5$
म.स.प. प्रत्येक उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंड की सबसे छोटी घात का गुणनफल होता है।
यहाँ उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंड केवल $2$ है,और इसकी सबसे छोटी घात $2^1 = 2$ है।
अतः,$6$ और $20$ का म.स.प. $2$ है।

(A) दो संख्याओं का $LCM$ हमेशा उनके $HCF$ से विभाज्य होना चाहिए।
यहाँ $HCF(a, b) = 12$ दिया गया है।
प्रत्येक विकल्प की जाँच करते हैं कि क्या वह $12$ से विभाज्य है:
$(A) 90 / 12 = 7.5$ (विभाज्य नहीं है)
$(B) 24 / 12 = 2$ (विभाज्य है)
$(C) 48 / 12 = 4$ (विभाज्य है)
$(D) 60 / 12 = 5$ (विभाज्य है)
चूँकि $90$,$12$ से विभाज्य नहीं है,इसलिए यह उन दो संख्याओं का $LCM$ नहीं हो सकता जिनका $HCF$ $12$ है।

(C) किसी भी प्राकृतिक संख्या $n \in N$ के लिए,$5^n$ का अर्थ है $5$ का स्वयं से $n$ बार गुणा।
$n = 1$ के लिए,$5^1 = 5$ है।
$n = 2$ के लिए,$5^2 = 25$ है।
$n = 3$ के लिए,$5^3 = 125$ है।
$n = 4$ के लिए,$5^4 = 625$ है।
जैसा कि देखा जा सकता है,किसी भी प्राकृतिक संख्या $n$ के लिए $5^n$ का अंतिम अंक हमेशा $5$ ही होता है।

(C) किसी परिमेय संख्या $\frac{p}{q}$ के लिए,जहाँ $q = 2^n \cdot 5^m$ है,दशमलव स्थानों की संख्या $\max(n, m)$ के बराबर होती है।
यहाँ दिया गया व्यंजक $\frac{18}{5^{3}}$ है,जिसे हम $\frac{18}{2^0 \cdot 5^3}$ के रूप में लिख सकते हैं।
यहाँ,$n = 0$ और $m = 3$ है।
अतः,दशमलव स्थानों की संख्या $\max(0, 3) = 3$ होगी।
इस प्रकार,दशमलव प्रसार $3$ दशमलव स्थानों के बाद समाप्त हो जाएगा।

(B) सबसे छोटी अभाज्य संख्या $2$ है।
सबसे छोटी भाज्य संख्या $4$ है।
$2$ और $4$ का $LCM$ ज्ञात करने के लिए:
$2 = 2^1$
$4 = 2^2$
$LCM(2, 4) = 2^2 = 4$.
अतः,सबसे छोटी अभाज्य संख्या और सबसे छोटी भाज्य संख्या का $LCM$ $4$ है।