Demo Questions in Hindi

(A) चरण $1$: $8$ और $6$ का म.स.प. $(HCF)$ ज्ञात करें।
$8$ का अभाज्य गुणनखंड $= 2^3$।
$6$ का अभाज्य गुणनखंड $= 2 \times 3$।
उभयनिष्ठ गुणनखंड $2$ है,इसलिए म.स.प. $(8, 6) = 2$।
चरण $2$: $26$ और $91$ का ल.स.प. $(LCM)$ ज्ञात करें।
$26$ का अभाज्य गुणनखंड $= 2 \times 13$।
$91$ का अभाज्य गुणनखंड $= 7 \times 13$।
ल.स.प. $(26, 91) = 2 \times 7 \times 13 = 182$।
अतः,$Q.1$ का मिलान $C$ से और $Q.2$ का मिलान $B$ से होता है।

(B) मान लीजिए कि इसके विपरीत,$7\sqrt{5}$ एक परिमेय संख्या है।
अतः,ऐसे सह-अभाज्य पूर्णांक $a$ और $b$ $(b \neq 0)$ मौजूद हैं कि $7\sqrt{5} = \frac{a}{b}$ हो।
समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\sqrt{5} = \frac{a}{7b}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $a$ और $b$ पूर्णांक हैं,इसलिए $\frac{a}{7b}$ एक परिमेय संख्या है।
इसका अर्थ है कि $\sqrt{5}$ भी एक परिमेय संख्या है।
हालाँकि,यह इस तथ्य का विरोधाभास है कि $\sqrt{5}$ एक अपरिमेय संख्या है।
इसलिए,हमारी धारणा गलत है और $7\sqrt{5}$ एक अपरिमेय संख्या ही होनी चाहिए।

(B) मान लीजिए कि इसके विपरीत,$\sqrt{2}$ एक परिमेय संख्या है।
अतः,ऐसे सह-अभाज्य पूर्णांक $a$ और $b$ $(b \neq 0)$ मौजूद हैं कि $\sqrt{2} = \frac{a}{b}$ हो।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $2 = \frac{a^2}{b^2}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $a^2 = 2b^2$।
यह दर्शाता है कि $a^2$ सम है,इसलिए $a$ भी सम होना चाहिए।
मान लीजिए $a = 2k$ किसी पूर्णांक $k$ के लिए।
इस मान को समीकरण में रखने पर,हमें $(2k)^2 = 2b^2$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $4k^2 = 2b^2$ या $b^2 = 2k^2$ हो जाता है।
यह दर्शाता है कि $b^2$ सम है,इसलिए $b$ भी सम होना चाहिए।
चूंकि $a$ और $b$ दोनों सम हैं,उनका एक उभयनिष्ठ गुणनखंड $2$ है,जो हमारी इस धारणा का खंडन करता है कि $a$ और $b$ सह-अभाज्य हैं।
अतः,हमारी धारणा गलत है और $\sqrt{2}$ एक अपरिमेय संख्या है।

(B) मान लीजिए कि इसके विपरीत,$3 + 2\sqrt{5}$ एक परिमेय संख्या है।
अतः,सह-अभाज्य पूर्णांक $a$ और $b$ $(b \neq 0)$ ऐसे मौजूद हैं कि $3 + 2\sqrt{5} = \frac{a}{b}$ हो।
दोनों पक्षों से $3$ घटाने पर,हमें $2\sqrt{5} = \frac{a}{b} - 3$ प्राप्त होता है।
$2\sqrt{5} = \frac{a - 3b}{b}$।
$2$ से भाग देने पर,हमें $\sqrt{5} = \frac{a - 3b}{2b}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $a$ और $b$ पूर्णांक हैं,इसलिए $\frac{a - 3b}{2b}$ एक परिमेय संख्या है।
इसका अर्थ है कि $\sqrt{5}$ एक परिमेय संख्या है।
परंतु,यह इस तथ्य का विरोधाभास है कि $\sqrt{5}$ एक अपरिमेय संख्या है।
अतः,हमारी धारणा गलत है और $3 + 2\sqrt{5}$ एक अपरिमेय संख्या है।

(B) मान लीजिए कि इसके विपरीत,$\sqrt{2}$ एक परिमेय संख्या है।
अतः,ऐसे सह-अभाज्य पूर्णांक $a$ और $b$ $(b \neq 0)$ मौजूद हैं कि $\sqrt{2} = \frac{a}{b}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $2 = \frac{a^2}{b^2}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $a^2 = 2b^2$।
यह दर्शाता है कि $a^2$ सम है,और इसलिए $a$ भी सम होना चाहिए।
मान लीजिए $a = 2k$ किसी पूर्णांक $k$ के लिए।
इस मान को समीकरण में रखने पर,हमें $(2k)^2 = 2b^2$ प्राप्त होता है,इसलिए $4k^2 = 2b^2$,जो सरल होकर $b^2 = 2k^2$ हो जाता है।
यह दर्शाता है कि $b^2$ सम है,और इसलिए $b$ भी सम होना चाहिए।
चूंकि $a$ और $b$ दोनों सम हैं,उनका एक उभयनिष्ठ गुणनखंड $2$ है,जो हमारी इस धारणा का खंडन करता है कि $a$ और $b$ सह-अभाज्य हैं।
अतः,हमारी धारणा गलत है,और $\sqrt{2}$ एक अपरिमेय संख्या है।

(A) सोनिया और रवि के पुनः प्रारंभिक बिंदु पर मिलने का समय ज्ञात करने के लिए,हमें उनके द्वारा एक चक्कर पूरा करने में लिए गए समय का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ ज्ञात करना होगा।
सोनिया द्वारा लिया गया समय = $18$ मिनट।
रवि द्वारा लिया गया समय = $12$ मिनट।
$18$ का अभाज्य गुणनखंड = $2 \times 3^2$।
$12$ का अभाज्य गुणनखंड = $2^2 \times 3$।
$LCM(18, 12) = 2^2 \times 3^2 = 4 \times 9 = 36$।
अतः,वे $36$ मिनट बाद पुनः प्रारंभिक बिंदु पर मिलेंगे।

(C) एक भाज्य संख्या वह धनात्मक पूर्णांक है जिसका $1$ और स्वयं के अलावा कम से कम एक और भाजक होता है।
प्रथम व्यंजक के लिए: $7 \times 11 \times 13 + 13 = 13 \times (7 \times 11 + 1) = 13 \times (77 + 1) = 13 \times 78 = 13 \times 13 \times 6$.
चूँकि इस संख्या को $1$ और स्वयं के अलावा अन्य गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में व्यक्त किया जा सकता है,इसलिए यह एक भाज्य संख्या है।
द्वितीय व्यंजक के लिए: $7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 + 5 = 5 \times (7 \times 6 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 + 1) = 5 \times (1008 + 1) = 5 \times 1009$.
चूँकि $1009$ एक अभाज्य संख्या है,इसलिए इस संख्या के गुणनखंड $1, 5, 1009$ और वह संख्या स्वयं है। चूँकि इसके दो से अधिक गुणनखंड हैं,इसलिए यह एक भाज्य संख्या है।

(B) किसी भी संख्या के $0$ पर समाप्त होने के लिए,उसके अभाज्य गुणनखंडन में $2$ और $5$ का होना आवश्यक है।
$6^n$ का अभाज्य गुणनखंडन $(2 \times 3)^n = 2^n \times 3^n$ है।
चूंकि $6^n$ के अभाज्य गुणनखंडन में केवल $2$ और $3$ हैं,इसमें $5$ का गुणनखंड नहीं है।
अतः,अंकगणित की आधारभूत प्रमेय के अनुसार,किसी भी प्राकृत संख्या $n$ के लिए $6^n$ अंक $0$ पर समाप्त नहीं हो सकता है।

(A) हम जानते हैं कि किन्हीं दो धनात्मक पूर्णांकों $a$ और $b$ के लिए,उनके $HCF$ और $LCM$ के बीच संबंध इस प्रकार है:
$HCF(a, b) \times LCM(a, b) = a \times b$
यहाँ $a = 306$,$b = 657$ और $HCF(306, 657) = 9$ दिया गया है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$9 \times LCM(306, 657) = 306 \times 657$
$LCM(306, 657) = \frac{306 \times 657}{9}$
$LCM(306, 657) = 34 \times 657$
$LCM(306, 657) = 22338$
अतः,$LCM$ का मान $22338$ है।

(A) अभाज्य गुणनखंडन विधि का उपयोग करके $8$,$9$ और $25$ का $HCF$ और $LCM$ ज्ञात करने के लिए:
चरण $1$: प्रत्येक संख्या के अभाज्य गुणनखंड ज्ञात कीजिए।
$8 = 2 \times 2 \times 2 = 2^3$
$9 = 3 \times 3 = 3^2$
$25 = 5 \times 5 = 5^2$
चरण $2$: $HCF$ प्रत्येक उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंड की सबसे छोटी घात का गुणनफल होता है। चूंकि $1$ के अलावा कोई उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंड नहीं है,इसलिए $HCF$ = $1$ है।
चरण $3$: $LCM$ संख्याओं में शामिल प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड की सबसे बड़ी घात का गुणनफल होता है।
$LCM = 2^3 \times 3^2 \times 5^2 = 8 \times 9 \times 25 = 72 \times 25 = 1800$.
अतः,$HCF$ = $1$ और $LCM$ = $1800$ है।

(A) दी गई संख्याओं का अभाज्य गुणनखंडन इस प्रकार है:
$17 = 17 \times 1$
$23 = 23 \times 1$
$29 = 29 \times 1$
चूंकि $17, 23$ और $29$ सभी अभाज्य संख्याएँ हैं,इसलिए $1$ के अलावा इनका कोई अन्य उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं है।
अतः,महत्तम समापवर्तक $(HCF)$ = $1$ है।
लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ सभी अभाज्य गुणनखंडों की उच्चतम घातों का गुणनफल है:
$LCM$ = $17 \times 23 \times 29 = 11339$।
इस प्रकार,$HCF$ = $1$ और $LCM$ = $11339$ है।

(A) $12$,$15$ और $21$ का $HCF$ और $LCM$ अभाज्य गुणनखंडन विधि से ज्ञात करने के लिए:
चरण $1$: प्रत्येक संख्या का अभाज्य गुणनखंडन लिखें।
$12 = 2^2 \times 3^1$
$15 = 3^1 \times 5^1$
$21 = 3^1 \times 7^1$
चरण $2$: $HCF$ (महत्तम समापवर्तक) ज्ञात करें।
$HCF$ प्रत्येक उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंड की सबसे छोटी घात का गुणनफल होता है।
यहाँ उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंड केवल $3$ है,और इसकी सबसे छोटी घात $3^1$ है।
अतः,$HCF = 3$।
चरण $3$: $LCM$ (लघुत्तम समापवर्त्य) ज्ञात करें।
$LCM$ प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड की सबसे बड़ी घात का गुणनफल होता है।
यहाँ शामिल अभाज्य गुणनखंड $2, 3, 5$ और $7$ हैं।
उनकी सबसे बड़ी घातें $2^2, 3^1, 5^1$ और $7^1$ हैं।
$LCM = 2^2 \times 3^1 \times 5^1 \times 7^1 = 4 \times 3 \times 5 \times 7 = 420$।
इस प्रकार,$HCF = 3$ और $LCM = 420$ है।

(A) चरण $1$: $336$ और $54$ का अभाज्य गुणनखंडन कीजिए।
$336 = 2^4 \times 3^1 \times 7^1$
$54 = 2^1 \times 3^3$
चरण $2$: $HCF$ ज्ञात कीजिए।
$HCF = 2^{\min(4,1)} \times 3^{\min(1,3)} = 2^1 \times 3^1 = 6$.
चरण $3$: $LCM$ ज्ञात कीजिए।
$LCM = 2^{\max(4,1)} \times 3^{\max(1,3)} \times 7^1 = 2^4 \times 3^3 \times 7 = 16 \times 27 \times 7 = 3024$.
चरण $4$: $HCF \times LCM = \text{दोनों पूर्णांकों का गुणनफल}$ सत्यापित कीजिए।
$HCF \times LCM = 6 \times 3024 = 18144$.
$\text{दोनों पूर्णांकों का गुणनफल} = 336 \times 54 = 18144$.
चूंकि $18144 = 18144$, इसलिए संबंध सत्यापित होता है।

(A) चरण $1$: $510$ और $92$ का अभाज्य गुणनखंडन ज्ञात कीजिए।
$510 = 2 \times 3 \times 5 \times 17$
$92 = 2^2 \times 23$
चरण $2$: $HCF$ और $LCM$ ज्ञात कीजिए।
$HCF = 2^1 = 2$
$LCM = 2^2 \times 3 \times 5 \times 17 \times 23 = 23460$
चरण $3$: संबंध $HCF \times LCM = \text{दोनों संख्याओं का गुणनफल}$ को सत्यापित कीजिए।
$HCF \times LCM = 2 \times 23460 = 46920$
$\text{संख्याओं का गुणनफल} = 510 \times 92 = 46920$
चूंकि $46920 = 46920$,इसलिए संबंध सत्यापित होता है।

(A) चरण $1$: $26$ और $91$ का अभाज्य गुणनखंडन कीजिए।
$26 = 2 \times 13$
$91 = 7 \times 13$
चरण $2$: $HCF$ और $LCM$ ज्ञात कीजिए।
$HCF = \text{प्रत्येक उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंड की सबसे छोटी घात का गुणनफल} = 13$.
$LCM = \text{प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड की सबसे बड़ी घात का गुणनफल} = 2 \times 7 \times 13 = 182$.
चरण $3$: संबंध $HCF \times LCM = \text{दो संख्याओं का गुणनफल}$ की जाँच कीजिए।
$HCF \times LCM = 13 \times 182 = 2366$.
$\text{दो संख्याओं का गुणनफल} = 26 \times 91 = 2366$.
चूँकि $2366 = 2366$, अतः संबंध सत्यापित होता है।

(A) $7429$ के अभाज्य गुणनखंड ज्ञात करने के लिए,हम क्रमिक रूप से अभाज्य संख्याओं द्वारा विभाज्यता की जाँच करते हैं।
$7429$ संख्या $2, 3, 5, 7, 11$ या $13$ से विभाज्य नहीं है।
$17$ से भाग देने पर: $7429 \div 17 = 437$ प्राप्त होता है।
अब,हम $437$ के अभाज्य गुणनखंड ज्ञात करते हैं।
$19$ से भाग देने पर: $437 \div 19 = 23$ प्राप्त होता है।
चूंकि $23$ एक अभाज्य संख्या है,इसलिए अभाज्य गुणनखंडन $17 \times 19 \times 23$ है।

(A) $5005$ के अभाज्य गुणनखंड ज्ञात करने के लिए,हम अभाज्य संख्याओं द्वारा क्रमिक विभाजन करते हैं:
$1$. चूँकि अंतिम अंक $5$ है,यह $5$ से विभाज्य है: $5005 \div 5 = 1001$।
$2$. अब,$1001$ को अगली अभाज्य संख्या $7$ से विभाजित करें: $1001 \div 7 = 143$।
$3$. इसके बाद,$143$ को अगली अभाज्य संख्या $11$ से विभाजित करें: $143 \div 11 = 13$।
$4$. अंत में,$13$ एक अभाज्य संख्या है,इसलिए $13 \div 13 = 1$।
अतः,$5005$ का अभाज्य गुणनखंडन $5 \times 7 \times 11 \times 13$ है।

(B) $3825$ के अभाज्य गुणनखंड ज्ञात करने के लिए,हम अभाज्य संख्याओं द्वारा क्रमिक विभाजन करते हैं:
$1$. चूंकि अंतिम अंक $5$ है,यह $5$ से विभाज्य है: $3825 \div 5 = 765$।
$2$. $765$ भी $5$ से विभाज्य है: $765 \div 5 = 153$।
$3$. अब,$3$ के लिए जाँच करें: $153$ के अंकों का योग $1+5+3 = 9$ है,जो $3$ से विभाज्य है। अतः,$153 \div 3 = 51$।
$4$. $51$ संख्या $3$ से विभाज्य है: $51 \div 3 = 17$।
$5$. $17$ एक अभाज्य संख्या है,इसलिए $17 \div 17 = 1$।
अतः,अभाज्य गुणनखंडन $3825 = 3 \times 3 \times 5 \times 5 \times 17 = 3^2 \times 5^2 \times 17$ है।

(A) $156$ को उसके अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में व्यक्त करने के लिए,हम अभाज्य गुणनखंडन करते हैं:
$156 = 2 \times 78$
$78 = 2 \times 39$
$39 = 3 \times 13$
इन सबको मिलाने पर,हमें $156 = 2 \times 2 \times 3 \times 13$ प्राप्त होता है।
घातांकीय रूप में,यह $2^2 \times 3 \times 13$ है।

(B) $140$ को उसके अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में व्यक्त करने के लिए,हम अभाज्य गुणनखंडन करते हैं:
$1$. $140$ को सबसे छोटी अभाज्य संख्या $2$ से विभाजित करने पर: $140 \div 2 = 70$.
$2$. $70$ को $2$ से विभाजित करने पर: $70 \div 2 = 35$.
$3$. $35$ को अगली अभाज्य संख्या $5$ से विभाजित करने पर: $35 \div 5 = 7$.
$4$. $7$ को अभाज्य संख्या $7$ से विभाजित करने पर: $7 \div 7 = 1$.
अतः,$140 = 2 \times 2 \times 5 \times 7$.
घातांकीय रूप में,यह $2^2 \times 5 \times 7$ है।

(A) यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म का उपयोग करके $867$ और $255$ का $HCF$ ज्ञात करने के लिए,हम निम्नलिखित चरणों का पालन करते हैं:
चरण $1$: चूंकि $867 > 255$,हम $867$ और $255$ पर यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका लागू करते हैं:
$867 = 255 \times 3 + 102$
चरण $2$: चूंकि शेषफल $102 \neq 0$ है,हम $255$ और $102$ पर प्रमेयिका लागू करते हैं:
$255 = 102 \times 2 + 51$
चरण $3$: चूंकि शेषफल $51 \neq 0$ है,हम $102$ और $51$ पर प्रमेयिका लागू करते हैं:
$102 = 51 \times 2 + 0$
चूंकि अब शेषफल $0$ है,इस चरण में भाजक ही $HCF$ है।
अतः,$867$ और $255$ का $HCF$ $51$ है।

(A) $135$ और $225$ का $HCF$ यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म का उपयोग करके ज्ञात करने के लिए,हम निम्नलिखित चरणों का पालन करते हैं:
चरण $1$: चूँकि $225 > 135$,हम $225$ और $135$ पर यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग करते हैं:
$225 = 135 \times 1 + 90$
चरण $2$: चूँकि शेषफल $90 \neq 0$ है,हम $135$ और $90$ पर प्रमेयिका का प्रयोग करते हैं:
$135 = 90 \times 1 + 45$
चरण $3$: चूँकि शेषफल $45 \neq 0$ है,हम $90$ और $45$ पर प्रमेयिका का प्रयोग करते हैं:
$90 = 45 \times 2 + 0$
चूँकि शेषफल $0$ है,इस चरण पर भाजक ही $HCF$ है।
अतः,$135$ और $225$ का $HCF$ $45$ है।

(A) किसी परिमेय संख्या $\frac{p}{q}$ का दशमलव प्रसार सांत है या नहीं,यह निर्धारित करने के लिए हम हर $q$ का अभाज्य गुणनखंड करते हैं।
यदि $q$,$2^n \times 5^m$ के रूप में है,जहाँ $n$ और $m$ ऋणोत्तर पूर्णांक हैं,तो दशमलव प्रसार सांत होता है।
दी गई परिमेय संख्या $\frac{13}{3125}$ में,हर $q = 3125$ है।
$3125$ का अभाज्य गुणनखंड: $3125 = 5 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5 = 5^5$ है।
इसे $2^0 \times 5^5$ के रूप में लिखा जा सकता है।
चूँकि हर $2^n \times 5^m$ के रूप में है (जहाँ $n=0$ और $m=5$),इसलिए $\frac{13}{3125}$ का दशमलव प्रसार सांत है।

(N/A) मान लीजिए कि इसके विपरीत,$\sqrt{2}$ एक परिमेय संख्या है।
अतः,ऐसे सह-अभाज्य पूर्णांक $a$ और $b$ $(b \neq 0)$ मौजूद हैं कि $\sqrt{2} = \frac{a}{b}$ हो।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $2 = \frac{a^2}{b^2}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $a^2 = 2b^2$।
यह दर्शाता है कि $a^2$,$2$ से विभाज्य है,और परिणामस्वरूप,$a$ भी $2$ से विभाज्य है (अंकगणित की आधारभूत प्रमेय के अनुसार)।
अतः,हम किसी पूर्णांक $k$ के लिए $a = 2k$ लिख सकते हैं।
इस मान को समीकरण $a^2 = 2b^2$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $(2k)^2 = 2b^2$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $4k^2 = 2b^2$ या $b^2 = 2k^2$ हो जाता है।
यह दर्शाता है कि $b^2$,$2$ से विभाज्य है,और परिणामस्वरूप,$b$ भी $2$ से विभाज्य है।
इस प्रकार,$a$ और $b$ दोनों में कम से कम $2$ एक उभयनिष्ठ गुणनखंड है,जो हमारी इस धारणा का खंडन करता है कि $a$ और $b$ सह-अभाज्य हैं।
अतः,हमारी यह धारणा कि $\sqrt{2}$ परिमेय है,गलत है,और $\sqrt{2}$ एक अपरिमेय संख्या ही होनी चाहिए।

(A) मान लीजिए कि इसके विपरीत,$\sqrt{2}$ एक परिमेय संख्या है।
अतः,ऐसे सह-अभाज्य पूर्णांक $a$ और $b$ $(b \neq 0)$ मौजूद हैं कि $\sqrt{2} = \frac{a}{b}$ हो।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $2 = \frac{a^2}{b^2}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $a^2 = 2b^2$।
इसका अर्थ है कि $a^2$,$2$ से विभाज्य है,और परिणामस्वरूप,$a$ भी $2$ से विभाज्य है (अंकगणित की आधारभूत प्रमेय के अनुसार)।
अतः,हम $a = 2k$ लिख सकते हैं,जहाँ $k$ कोई पूर्णांक है।
इस मान को $a^2 = 2b^2$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $(2k)^2 = 2b^2$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $4k^2 = 2b^2$ या $b^2 = 2k^2$ हो जाता है।
इसका अर्थ है कि $b^2$,$2$ से विभाज्य है,और परिणामस्वरूप,$b$ भी $2$ से विभाज्य है।
इस प्रकार,$a$ और $b$ दोनों का कम से कम एक उभयनिष्ठ गुणनखंड $2$ है,जो हमारी इस धारणा का खंडन करता है कि $a$ और $b$ सह-अभाज्य हैं।
अतः,हमारी धारणा गलत है,और $\sqrt{2}$ एक अपरिमेय संख्या है।

(N/A) मान लीजिए कि इसके विपरीत,$3\sqrt{2}$ एक परिमेय संख्या है।
तब,ऐसे सह-अभाज्य पूर्णांक $a$ और $b$ $(b \neq 0)$ मौजूद हैं कि $3\sqrt{2} = \frac{a}{b}$ है।
इसे $\sqrt{2} = \frac{a}{3b}$ के रूप में पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है।
चूंकि $a$ और $b$ पूर्णांक हैं,इसलिए $\frac{a}{3b}$ एक परिमेय संख्या है।
इसका अर्थ है कि $\sqrt{2}$ एक परिमेय संख्या है।
हालाँकि,यह इस तथ्य का विरोधाभास है कि $\sqrt{2}$ एक अपरिमेय संख्या है।
अतः,हमारी यह धारणा कि $3\sqrt{2}$ एक परिमेय संख्या है,गलत है।
इसलिए,$3\sqrt{2}$ एक अपरिमेय संख्या है।

(B) मान लीजिए कि इसके विपरीत,$5 - \sqrt{3}$ एक परिमेय संख्या है।
अतः,सह-अभाज्य पूर्णांक $a$ और $b$ $(b \neq 0)$ ऐसे मौजूद हैं कि $5 - \sqrt{3} = \frac{a}{b}$ हो।
समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $5 - \frac{a}{b} = \sqrt{3}$ प्राप्त होता है,जिसे सरल करने पर $\frac{5b - a}{b} = \sqrt{3}$ मिलता है।
चूंकि $a$ और $b$ पूर्णांक हैं,इसलिए $\frac{5b - a}{b}$ एक परिमेय संख्या है।
इसका अर्थ यह है कि $\sqrt{3}$ एक परिमेय संख्या है।
हालाँकि,यह इस तथ्य का विरोधाभास है कि $\sqrt{3}$ एक अपरिमेय संख्या है।
अतः,हमारी धारणा गलत है और $5 - \sqrt{3}$ एक अपरिमेय संख्या ही होनी चाहिए।

(N/A) मान लीजिए कि इसके विपरीत,$\sqrt{2}$ एक परिमेय संख्या है।
अतः,ऐसे सह-अभाज्य पूर्णांक $a$ और $b$ $(b \neq 0)$ मौजूद हैं कि $\sqrt{2} = \frac{a}{b}$ हो।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $2 = \frac{a^2}{b^2}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $a^2 = 2b^2$।
इसका अर्थ है कि $a^2$,$2$ से विभाज्य है,इसलिए अंकगणित की आधारभूत प्रमेय के अनुसार $a$ भी $2$ से विभाज्य होना चाहिए।
मान लीजिए $a = 2k$,जहाँ $k$ कोई पूर्णांक है।
इस मान को $a^2 = 2b^2$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $(2k)^2 = 2b^2$ प्राप्त होता है,जिसे सरल करने पर $4k^2 = 2b^2$ या $b^2 = 2k^2$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है कि $b^2$,$2$ से विभाज्य है,इसलिए $b$ भी $2$ से विभाज्य होना चाहिए।
चूँकि $a$ और $b$ दोनों $2$ से विभाज्य हैं,उनका एक उभयनिष्ठ गुणनखंड $2$ है,जो हमारी इस धारणा का खंडन करता है कि $a$ और $b$ सह-अभाज्य हैं।
अतः,हमारी धारणा गलत है और $\sqrt{2}$ एक अपरिमेय संख्या है।

(A) अभाज्य गुणनखंडन विधि का उपयोग करके $6$,$72$ और $120$ का $HCF$ और $LCM$ ज्ञात करने के लिए:
चरण $1$: प्रत्येक संख्या के अभाज्य गुणनखंड ज्ञात कीजिए।
$6 = 2^1 \times 3^1$
$72 = 2^3 \times 3^2$
$120 = 2^3 \times 3^1 \times 5^1$
चरण $2$: $HCF$ प्रत्येक उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंड की सबसे छोटी घात का गुणनफल होता है।
$HCF = 2^1 \times 3^1 = 6$
चरण $3$: $LCM$ प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड की सबसे बड़ी घात का गुणनफल होता है।
$LCM = 2^3 \times 3^2 \times 5^1 = 8 \times 9 \times 5 = 360$
अतः,$HCF$ $6$ है और $LCM$ $360$ है।

(A) चरण $1$: $96$ और $404$ का अभाज्य गुणनखंडन ज्ञात कीजिए।
$96 = 2^5 \times 3^1$
$404 = 2^2 \times 101^1$
चरण $2$: प्रत्येक उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंड की सबसे छोटी घात का गुणनफल लेकर $HCF$ ज्ञात कीजिए।
$HCF(96, 404) = 2^2 = 4$.
चरण $3$: संबंध $LCM(a, b) \times HCF(a, b) = a \times b$ का उपयोग कीजिए।
$LCM(96, 404) = \frac{96 \times 404}{HCF(96, 404)}$
$LCM(96, 404) = \frac{96 \times 404}{4} = 96 \times 101 = 9696$.

(A) चरण $1$: दी गई संख्याओं का अभाज्य गुणनखंडन ज्ञात कीजिए।
$6 = 2 \times 3$
$20 = 2^2 \times 5$
चरण $2$: $HCF$ ज्ञात करने के लिए,प्रत्येक उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंड की सबसे छोटी घात का गुणनफल लीजिए।
उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंड $2$ है। इसकी सबसे छोटी घात $2^1$ है।
अतः,$HCF$ = $2$ है।
चरण $3$: $LCM$ ज्ञात करने के लिए,प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड की सबसे बड़ी घात का गुणनफल लीजिए।
शामिल अभाज्य गुणनखंड $2, 3$ और $5$ हैं।
सबसे बड़ी घातें $2^2, 3^1$ और $5^1$ हैं।
$LCM$ = $2^2 \times 3^1 \times 5^1 = 4 \times 3 \times 5 = 60$ है।
इस प्रकार,$HCF$ = $2$ और $LCM$ = $60$ है।

(B) किसी संख्या के $0$ अंक पर समाप्त होने के लिए,उसे $10$ से विभाज्य होना चाहिए।
इसका अर्थ है कि उसके अभाज्य गुणनखंडन में $2$ और $5$ दोनों होने चाहिए।
$4^n$ का अभाज्य गुणनखंडन $(2^2)^n = 2^{2n}$ है।
चूँकि $4^n$ का एकमात्र अभाज्य गुणनखंड $2$ है,इसलिए इसमें $5$ गुणनखंड के रूप में नहीं है।
अतः,किसी भी धनात्मक पूर्णांक $n$ के लिए $4^n$ कभी भी $0$ अंक पर समाप्त नहीं हो सकता है।

(B) शेषफल प्रमेय के अनुसार,यदि किसी बहुपद $p(x)$ को $(x - a)$ से विभाजित किया जाता है,तो शेषफल $p(a)$ होता है।
यहाँ,भाजक $x + 2$ है,जिसे $x - (-2)$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इसलिए,$a = -2$ है।
अब,बहुपद $p(x) = 40x^2 + 11x - 63$ में $x = -2$ प्रतिस्थापित करने पर:
$p(-2) = 40(-2)^2 + 11(-2) - 63$
$p(-2) = 40(4) - 22 - 63$
$p(-2) = 160 - 22 - 63$
$p(-2) = 160 - 85$
$p(-2) = 75$
अतः,शेषफल $75$ है।

(D) $p(-2)$ का मान ज्ञात करने के लिए,दिए गए बहुपद $p(x) = 2x^4 - 3x^3 + 7x + 5$ में $x = -2$ प्रतिस्थापित करें।
$p(-2) = 2(-2)^4 - 3(-2)^3 + 7(-2) + 5$
घातों की गणना करें:
$(-2)^4 = 16$
$(-2)^3 = -8$
इन मानों को व्यंजक में वापस रखें:
$p(-2) = 2(16) - 3(-8) + 7(-2) + 5$
$p(-2) = 32 + 24 - 14 + 5$
$p(-2) = 56 - 14 + 5$
$p(-2) = 42 + 5$
$p(-2) = 47$

(C) गुणनखंड प्रमेय के अनुसार,यदि किसी बहुपद $P(x)$ के लिए $P(a) = 0$ है,तो $(x - a)$ बहुपद $P(x)$ का एक गुणनखंड होता है।
यहाँ दिया गया है कि $P(-7) = 0$,इसलिए प्रमेय में $a = -7$ रखने पर।
अतः,$(x - (-7))$ बहुपद $P(x)$ का एक गुणनखंड होगा।
इस प्रकार,$(x + 7)$ बहुपद $P(x)$ का एक गुणनखंड है।

(B) माना कि त्रिघात बहुपद $p(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ के शून्यक $\alpha, \beta,$ और $\gamma$ हैं।
दिया गया है: $\alpha = \sqrt{5}$,$\beta = -\sqrt{5}$,और हमें $\gamma$ ज्ञात करना है।
त्रिघात बहुपद के शून्यकों और गुणांकों के बीच संबंध के अनुसार,शून्यकों का योग इस प्रकार है:
$\alpha + \beta + \gamma = -\frac{b}{a}$
बहुपद $p(x) = x^3 + x^2 - 5x - 5$ से,हमें $a = 1$ और $b = 1$ प्राप्त होता है।
मान रखने पर:
$\sqrt{5} + (-\sqrt{5}) + \gamma = -\frac{1}{1}$
$0 + \gamma = -1$
$\gamma = -1$
अतः,तीसरा शून्यक $-1$ है।

(A) एक रैखिक बहुपद $p(x) = ax + b$ के रूप में होता है,जहाँ $a \neq 0$ है। रैखिक बहुपद का आलेख कार्तीय तल में हमेशा एक सरल रेखा को दर्शाता है। चूँकि $p(x) = 5x + 3$ एक रैखिक बहुपद है,इसलिए इसका आलेख एक सरल रेखा है।

(A) दिया गया बहुपद $p(x) = ax^2 + bx + c$ है,जिसके शून्यक $\alpha$ और $\beta$ हैं।
शून्यकों और गुणांकों के बीच संबंध के अनुसार:
शून्यकों का योग: $\alpha + \beta = -\frac{b}{a}$
शून्यकों का गुणनफल: $\alpha \cdot \beta = \frac{c}{a}$
हमें $\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta}$ का मान ज्ञात करना है।
लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ लेने पर: $\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = \frac{\alpha + \beta}{\alpha \cdot \beta}$.
मान रखने पर: $\frac{-\frac{b}{a}}{\frac{c}{a}} = -\frac{b}{a} \cdot \frac{a}{c} = -\frac{b}{c}$.
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(C) द्विघात बहुपद $p(x) = x^2 + 4x - 5$ का गुणनखंड करने के लिए,हमें ऐसी दो संख्याएँ ज्ञात करनी होंगी जिनका गुणनफल $-5$ हो और जिनका योग $4$ हो।
ये दो संख्याएँ $5$ और $-1$ हैं,क्योंकि $5 \times (-1) = -5$ और $5 + (-1) = 4$ होता है।
अब,मध्य पद $4x$ को $5x - x$ के रूप में लिखने पर:
$p(x) = x^2 + 5x - x - 5$
पदों को समूह में व्यवस्थित करने पर:
$p(x) = (x^2 + 5x) - (x + 5)$
उभयनिष्ठ पदों को बाहर निकालने पर:
$p(x) = x(x + 5) - 1(x + 5)$
अंत में,$(x + 5)$ को उभयनिष्ठ लेने पर:
$p(x) = (x + 5)(x - 1)$.

(D) $ax^2 + bx + c$ के रूप वाले द्विघात बहुपद के लिए,शून्यकों का योगफल $\alpha + \beta$ सूत्र $\alpha + \beta = -b/a$ द्वारा दिया जाता है।
बहुपद $p(x) = x^2 - 4x + 3$ की तुलना $ax^2 + bx + c$ से करने पर,हमें $a = 1$,$b = -4$ और $c = 3$ प्राप्त होता है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर: $\alpha + \beta = -(-4)/1 = 4/1 = 4$ प्राप्त होता है।
चूंकि $4$ एक धन पूर्णांक है,इसलिए सही विकल्प $D$ है।

(C) बहुपद $p(x) = ax - b$ का आलेख $X$-अक्ष को जिस बिंदु पर काटता है,उसे ज्ञात करने के लिए हम $p(x) = 0$ रखते हैं।
$ax - b = 0$ रखने पर,हमें $ax = b$ प्राप्त होता है।
$x$ के लिए हल करने पर,$x = \frac{b}{a}$ प्राप्त होता है।
चूंकि यह बिंदु $X$-अक्ष पर स्थित है,इसलिए इसका y-निर्देशांक $0$ है।
अतः,आलेख $X$-अक्ष को $(\frac{b}{a}, 0)$ बिंदु पर काटता है।

(A) बहुपद $p(x) = x^3 - x$ के शून्यक ज्ञात करने के लिए,हम $p(x) = 0$ रखते हैं।
$x^3 - x = 0$
$x$ को उभयनिष्ठ (common) लेने पर:
$x(x^2 - 1) = 0$
वर्गों के अंतर के सूत्र $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ का उपयोग करने पर:
$x(x - 1)(x + 1) = 0$
प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर रखने पर:
$x = 0$,$x - 1 = 0 \implies x = 1$,और $x + 1 = 0 \implies x = -1$ प्राप्त होता है।
अतः,शून्यक $0, 1, -1$ हैं।
इस प्रकार,वास्तविक शून्यकों की कुल संख्या $3$ है।

(C) बहुपद $(x+1)(x^2 - x - x^4 + 1)$ की घात ज्ञात करने के लिए,हम प्रत्येक गुणनखंड में $x$ की उच्चतम घात की पहचान करते हैं।
पहला गुणनखंड $(x+1)$ है,जिसकी घात $1$ है।
दूसरा गुणनखंड $(x^2 - x - x^4 + 1)$ है,जिसकी घात $4$ है (क्योंकि $x$ की उच्चतम घात $x^4$ है)।
जब दो बहुपदों का गुणा किया जाता है,तो परिणामी बहुपद की घात व्यक्तिगत गुणनखंडों की घातों का योग होती है।
इसलिए,गुणनफल की घात $1 + 4 = 5$ है।

(A) द्विघात बहुपद $ax^2 + bx + c$ के लिए,शून्यकों का योग $\alpha + \beta = -b/a$ और शून्यकों का गुणनफल $\alpha\beta = c/a$ होता है।
दिए गए बहुपद $P(x) = x^2 - 3x + 2k$ में,$a = 1$,$b = -3$,और $c = 2k$ है।
अतः,$\alpha + \beta = -(-3)/1 = 3$ और $\alpha\beta = 2k/1 = 2k$ प्राप्त होता है।
प्रश्न के अनुसार,$\alpha + \beta = \alpha\beta$ है।
मान रखने पर,$3 = 2k$ प्राप्त होता है।
अतः,$k = 3/2$ है।

(B) बहुपद $p(x) = \sqrt{5}x - 5$ का शून्यक ज्ञात करने के लिए,हम $p(x) = 0$ रखते हैं।
अतः,$\sqrt{5}x - 5 = 0$।
दोनों पक्षों में $5$ जोड़ने पर,हमें $\sqrt{5}x = 5$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों को $\sqrt{5}$ से भाग देने पर,$x = \frac{5}{\sqrt{5}}$ प्राप्त होता है।
हर का परिमेयकरण करने पर,$x = \frac{5 \cdot \sqrt{5}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{5\sqrt{5}}{5} = \sqrt{5}$।
अतः,बहुपद का शून्यक $\sqrt{5}$ है।

(D) $ax^{2}+bx+c$ के रूप वाले द्विघात बहुपद के लिए,शून्यकों का गुणनफल $\frac{c}{a}$ सूत्र द्वारा प्राप्त होता है।
दिए गए बहुपद $x^{2}-4x+3$ की तुलना मानक रूप $ax^{2}+bx+c$ से करने पर,हमें $a=1$,$b=-4$ और $c=3$ प्राप्त होता है।
अतः,शून्यकों का गुणनफल = $\frac{c}{a} = \frac{3}{1} = 3$.
इस प्रकार,सही विकल्प $D$ है।

(A) त्रिघात बहुपद $p(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ के लिए,गुणांकों और शून्यकों $(\alpha, \beta, \gamma)$ के बीच संबंध इस प्रकार है:
$1$. शून्यकों का योग: $\alpha + \beta + \gamma = -\frac{b}{a}$
$2$. दो-दो शून्यकों के गुणनफल का योग: $\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = \frac{c}{a}$
$3$. शून्यकों का गुणनफल: $\alpha\beta\gamma = -\frac{d}{a}$
अतः,शून्यकों का गुणनफल $-\frac{d}{a}$ है।

(A) दिया गया समीकरण: $\frac{x^{3}-1}{p(x)} = \frac{x^{2}+x+1}{x-1}$.
हम जानते हैं कि घनों के अंतर का बीजीय सर्वसमिका है: $x^{3}-1 = (x-1)(x^{2}+x+1)$.
इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{(x-1)(x^{2}+x+1)}{p(x)} = \frac{x^{2}+x+1}{x-1}$.
दोनों पक्षों से $(x^{2}+x+1)$ को काटने पर (मान लीजिए $x^{2}+x+1 \neq 0$): $\frac{x-1}{p(x)} = \frac{1}{x-1}$.
वज्र-गुणन करने पर: $p(x) = (x-1)(x-1) = (x-1)^{2}$.

(C) बहुपद एक ऐसा बीजीय व्यंजक है जिसमें चर के घातांक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक होने चाहिए।
विकल्प $A$,$4x^2 + \sqrt{7}$ में,$x$ का घातांक $2$ है,जो एक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक है।
विकल्प $B$,$3x^2 + x - 1$ में,$x$ के घातांक $2$ और $1$ हैं,जो गैर-ऋणात्मक पूर्णांक हैं।
विकल्प $C$,$3x^2 - 5\sqrt{x} + 2$ में,पद $\sqrt{x}$ को $x^{1/2}$ के रूप में लिखा जा सकता है। चूंकि $1/2$ एक पूर्णांक नहीं है,इसलिए यह व्यंजक बहुपद नहीं है।
विकल्प $D$,$3x - 1$ में,$x$ का घातांक $1$ है,जो एक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक है।
अतः,$3x^2 - 5\sqrt{x} + 2$ बहुपद नहीं है।

(B) माना बहुपद $p(x) = x^{2} + 7x + m$ है।
गुणनखंड प्रमेय के अनुसार,यदि $(x+4)$ बहुपद $p(x)$ का एक गुणनखंड है,तो $p(-4) = 0$ होगा।
बहुपद में $x = -4$ प्रतिस्थापित करने पर:
$(-4)^{2} + 7(-4) + m = 0$
$16 - 28 + m = 0$
$-12 + m = 0$
$m = 12$.
अतः,$m$ का मान $12$ है।