सिद्ध कीजिए कि $1/2, 1$ और $-2$ त्रिघात बहुपद $p(x) = 2x^3 + x^2 - 5x + 2$ के शून्यक हैं। शून्यकों और गुणांकों के बीच के संबंध की सत्यता की जाँच कीजिए।

(A) दिया गया बहुपद: $p(x) = 2x^3 + x^2 - 5x + 2$.
$ax^3 + bx^2 + cx + d$ से तुलना करने पर,$a = 2, b = 1, c = -5, d = 2$ प्राप्त होता है।
शून्यक सिद्ध करने के लिए,मानों को $p(x)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$p(1/2) = 2(1/8) + (1/4) - 5(1/2) + 2 = 1/4 + 1/4 - 5/2 + 2 = 1/2 - 2.5 + 2 = 0$.
$p(1) = 2(1)^3 + (1)^2 - 5(1) + 2 = 2 + 1 - 5 + 2 = 0$.
$p(-2) = 2(-8) + 4 - 5(-2) + 2 = -16 + 4 + 10 + 2 = 0$.
चूँकि $p(1/2) = 0, p(1) = 0, p(-2) = 0$,अतः ये शून्यक हैं।
सत्यापन:
शून्यकों का योग: $1/2 + 1 + (-2) = -1/2$. सूत्र: $-b/a = -1/2$. (सत्यापित)
शून्यकों के गुणनफल का योग (दो-दो करके): $(1/2)(1) + (1)(-2) + (-2)(1/2) = 1/2 - 2 - 1 = -2.5 = -5/2$. सूत्र: $c/a = -5/2$. (सत्यापित)
शून्यकों का गुणनफल: $(1/2)(1)(-2) = -1$. सूत्र: $-d/a = -2/2 = -1$. (सत्यापित)