$k$ શોધો જેથી $x^{2}+2x+k$ એ $2x^{4}+x^{3}-14x^{2}+5x+6$ નો અવયવ બને. આ બંને બહુપદીઓના તમામ શૂન્યો પણ શોધો.

(C) આપેલ છે કે $(x^{2}+2x+k)$ એ $2x^{4}+x^{3}-14x^{2}+5x+6$ નો અવયવ છે,તેથી ભાગાકાર કરતી વખતે શેષ શૂન્ય હોવી જોઈએ.
$2x^{4}+x^{3}-14x^{2}+5x+6$ ને $(x^{2}+2x+k)$ વડે ભાગતા:
$1$. $2x^{4}$ ને $x^{2}$ વડે ભાગતા $2x^{2}$ મળે. $(x^{2}+2x+k)$ ને $2x^{2}$ વડે ગુણતા $2x^{4}+4x^{3}+2kx^{2}$ મળે. બાદબાકી કરતા $-3x^{3}-(2k+14)x^{2}+5x+6$ મળે.
$2$. $-3x^{3}$ ને $x^{2}$ વડે ભાગતા $-3x$ મળે. $(x^{2}+2x+k)$ ને $-3x$ વડે ગુણતા $-3x^{3}-6x^{2}-3kx$ મળે. બાદબાકી કરતા $(-8-2k)x^{2}+(3k+5)x+6$ મળે.
$3$. $(-8-2k)x^{2}$ ને $x^{2}$ વડે ભાગતા $(-8-2k)$ મળે. $(x^{2}+2x+k)$ ને $(-8-2k)$ વડે ગુણતા $(-8-2k)x^{2} + 2(-8-2k)x + k(-8-2k)$ મળે.
અંતિમ શેષ: $(7k+21)x + (2k^{2}+8k+6)$ મળે.
શેષ શૂન્ય હોવા માટે,બંને સહગુણકો શૂન્ય હોવા જોઈએ:
$7k+21=0 \Rightarrow k=-3$.
$2k^{2}+8k+6=0 \Rightarrow 2(k+1)(k+3)=0 \Rightarrow k=-1$ અથવા $k=-3$.
બંને શરતો સંતોષાય તે માટે $k=-3$ લેતા.
$k=-3$ માટે,ભાજક $x^{2}+2x-3 = (x+3)(x-1)$ છે,તેથી તેના શૂન્યો $x=-3, 1$ છે.
ભાગફળ $2x^{2}-3x-2 = (2x+1)(x-2)$ છે,તેથી તેના શૂન્યો $x=-1/2, 2$ છે.
આમ,$x^{2}+2x-3$ ના શૂન્યો $1, -3$ છે અને $2x^{4}+x^{3}-14x^{2}+5x+6$ ના શૂન્યો $1, -3, 2, -1/2$ છે.