Textbook - Introduction to Trigonometry Questions in Gujarati

(N/A) ડાબી બાજુ $(LHS)$ થી શરૂ કરીએ:
$LHS = \frac{\cot A - \cos A}{\cot A + \cos A}$
$\cot A = \frac{\cos A}{\sin A}$ મૂકતા:
$LHS = \frac{\frac{\cos A}{\sin A} - \cos A}{\frac{\cos A}{\sin A} + \cos A}$
અંશ અને છેદમાંથી $\cos A$ સામાન્ય લેતા:
$LHS = \frac{\cos A \left( \frac{1}{\sin A} - 1 \right)}{\cos A \left( \frac{1}{\sin A} + 1 \right)}$
$\cos A$ ને છેદતા:
$LHS = \frac{\frac{1}{\sin A} - 1}{\frac{1}{\sin A} + 1}$
$\operatorname{cosec} A = \frac{1}{\sin A}$ હોવાથી,આપણે તેને મૂકીએ:
$LHS = \frac{\operatorname{cosec} A - 1}{\operatorname{cosec} A + 1} = RHS$
આમ,નિત્યસમ સાબિત થાય છે.

(A) આ નિત્યસમ સાબિત કરવા માટે,આપણે $LHS$ ના અંશ અને છેદને $\cos \theta$ વડે ભાગીશું જેથી તેને $\tan \theta$ અને $\sec \theta$ ના સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકાય.
$LHS = \frac{\sin \theta - \cos \theta + 1}{\sin \theta + \cos \theta - 1} = \frac{\tan \theta - 1 + \sec \theta}{\tan \theta + 1 - \sec \theta}$
પદોને ફરીથી ગોઠવતા:
$LHS = \frac{(\tan \theta + \sec \theta) - 1}{(\tan \theta - \sec \theta) + 1}$
નિત્યસમ $\sec^2 \theta - \tan^2 \theta = 1$ નો ઉપયોગ કરીને,અંશમાં $1$ ની કિંમત મૂકતા:
$LHS = \frac{(\tan \theta + \sec \theta) - (\sec^2 \theta - \tan^2 \theta)}{(\tan \theta - \sec \theta) + 1}$
$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ નો ઉપયોગ કરીને અંશનું અવયવીકરણ કરતા:
$LHS = \frac{(\tan \theta + \sec \theta) - (\sec \theta - \tan \theta)(\sec \theta + \tan \theta)}{(\tan \theta - \sec \theta) + 1}$
$(\tan \theta + \sec \theta)$ ને સામાન્ય લેતા:
$LHS = \frac{(\tan \theta + \sec \theta) [1 - (\sec \theta - \tan \theta)]}{(\tan \theta - \sec \theta) + 1}$
$LHS = \frac{(\tan \theta + \sec \theta) [1 - \sec \theta + \tan \theta]}{(\tan \theta - \sec \theta + 1)}$
સમાન પદ $(\tan \theta - \sec \theta + 1)$ ને છેદતા:
$LHS = \tan \theta + \sec \theta$
$RHS$ મેળવવા માટે,$(\sec \theta - \tan \theta)$ વડે ગુણતા અને ભાગતા:
$LHS = \frac{(\sec \theta + \tan \theta)(\sec \theta - \tan \theta)}{\sec \theta - \tan \theta} = \frac{\sec^2 \theta - \tan^2 \theta}{\sec \theta - \tan \theta} = \frac{1}{\sec \theta - \tan \theta} = RHS.$

(N/A) આપણે જાણીએ છીએ કે,$\operatorname{cosec}^{2} A = 1 + \cot^{2} A$.
કારણ કે $\sin A = \frac{1}{\operatorname{cosec} A}$,તેથી $\sin^{2} A = \frac{1}{\operatorname{cosec}^{2} A} = \frac{1}{1 + \cot^{2} A}$ થાય.
વર્ગમૂળ લેતા,$\sin A = \frac{1}{\sqrt{1 + \cot^{2} A}}$ મળે.
ત્યારબાદ,આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan A = \frac{1}{\cot A}$.
અંતે,નિત્યસમ $\sec^{2} A = 1 + \tan^{2} A$ નો ઉપયોગ કરીને,$\tan A = \frac{1}{\cot A}$ મૂકતા:
$\sec^{2} A = 1 + \left(\frac{1}{\cot A}\right)^{2} = 1 + \frac{1}{\cot^{2} A} = \frac{\cot^{2} A + 1}{\cot^{2} A}$.
વર્ગમૂળ લેતા,$\sec A = \frac{\sqrt{1 + \cot^{2} A}}{\cot A}$ મળે.

આપણે જાણીએ છીએ કે,$\cos A = \frac{1}{\sec A}$.
નિત્યસમ $\sin^2 A + \cos^2 A = 1$ નો ઉપયોગ કરતા,$\sin^2 A = 1 - \cos^2 A = 1 - \frac{1}{\sec^2 A} = \frac{\sec^2 A - 1}{\sec^2 A}$ મળે.
તેથી,$\sin A = \frac{\sqrt{\sec^2 A - 1}}{\sec A}$.
નિત્યસમ $\tan^2 A + 1 = \sec^2 A$ નો ઉપયોગ કરતા,$\tan^2 A = \sec^2 A - 1$ મળે.
તેથી,$\tan A = \sqrt{\sec^2 A - 1}$.
કારણ કે $\cot A = \frac{1}{\tan A}$,તેથી $\cot A = \frac{1}{\sqrt{\sec^2 A - 1}}$.
કારણ કે $\operatorname{cosec} A = \frac{1}{\sin A}$,તેથી $\operatorname{cosec} A = \frac{\sec A}{\sqrt{\sec^2 A - 1}}$.

(C) આપેલ પદાવલિ: $\frac{\sin ^{2} 63^{\circ}+\sin ^{2} 27^{\circ}}{\cos ^{2} 17^{\circ}+\cos ^{2} 73^{\circ}}$
કોટીકોણના નિત્યસમ $\sin(90^{\circ} - \theta) = \cos \theta$ અને $\cos(90^{\circ} - \theta) = \sin \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
અંશ: $\sin ^{2} 63^{\circ} + \sin ^{2} 27^{\circ} = [\sin(90^{\circ} - 27^{\circ})]^{2} + \sin ^{2} 27^{\circ} = \cos ^{2} 27^{\circ} + \sin ^{2} 27^{\circ} = 1$
છેદ: $\cos ^{2} 17^{\circ} + \cos ^{2} 73^{\circ} = [\cos(90^{\circ} - 73^{\circ})]^{2} + \cos ^{2} 73^{\circ} = \sin ^{2} 73^{\circ} + \cos ^{2} 73^{\circ} = 1$
તેથી,કિંમત $\frac{1}{1} = 1$ મળે છે.

(D) આપેલ પદાવલિ $\sin 25^{\circ} \cos 65^{\circ} + \cos 25^{\circ} \sin 65^{\circ}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos(90^{\circ} - \theta) = \sin \theta$ અને $\sin(90^{\circ} - \theta) = \cos \theta$.
$\cos 65^{\circ} = \cos(90^{\circ} - 25^{\circ}) = \sin 25^{\circ}$ અને $\sin 65^{\circ} = \sin(90^{\circ} - 25^{\circ}) = \cos 25^{\circ}$ મૂકતા:
$= (\sin 25^{\circ})(\sin 25^{\circ}) + (\cos 25^{\circ})(\cos 25^{\circ})$
$= \sin^{2} 25^{\circ} + \cos^{2} 25^{\circ}$
નિત્યસમ $\sin^{2} A + \cos^{2} A = 1$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$= 1$

(A) આપેલ પદાવલિ: $9 \sec^{2} A - 9 \tan^{2} A$
સામાન્ય પદ $9$ ને સામાન્ય લેતા:
$= 9(\sec^{2} A - \tan^{2} A)$
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sec^{2} A - \tan^{2} A = 1$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= 9(1)$
$= 9$

(B) આપેલ પદાવલિ: $(1+\tan \theta+\sec \theta)(1+\cot \theta-\operatorname{cosec} \theta)$
ત્રિકોણમિતીય ગુણોત્તરોને $\sin \theta$ અને $\cos \theta$ માં ફેરવતા:
$= \left(1 + \frac{\sin \theta}{\cos \theta} + \frac{1}{\cos \theta}\right) \left(1 + \frac{\cos \theta}{\sin \theta} - \frac{1}{\sin \theta}\right)$
કૌંસની અંદરના પદોનું સાદું રૂપ આપતા:
$= \left(\frac{\cos \theta + \sin \theta + 1}{\cos \theta}\right) \left(\frac{\sin \theta + \cos \theta - 1}{\sin \theta}\right)$
બીજગણિતીય નિત્યસમ $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $a = (\sin \theta + \cos \theta)$ અને $b = 1$ છે:
$= \frac{(\sin \theta + \cos \theta)^2 - (1)^2}{\sin \theta \cos \theta}$
અંશનું વિસ્તરણ $(a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$ નો ઉપયોગ કરીને કરતા:
$= \frac{\sin^2 \theta + \cos^2 \theta + 2 \sin \theta \cos \theta - 1}{\sin \theta \cos \theta}$
નિત્યસમ $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \frac{1 + 2 \sin \theta \cos \theta - 1}{\sin \theta \cos \theta}$
$= \frac{2 \sin \theta \cos \theta}{\sin \theta \cos \theta} = 2$

(C) આપેલ પદાવલિ: $(\sec A + \tan A)(1 - \sin A)$
પગલું $1$: $\sec A$ અને $\tan A$ ને $\sin A$ અને $\cos A$ ના સ્વરૂપમાં ફેરવો:
$(\frac{1}{\cos A} + \frac{\sin A}{\cos A})(1 - \sin A)$
પગલું $2$: અપૂર્ણાંકોનો સરવાળો કરો:
$(\frac{1 + \sin A}{\cos A})(1 - \sin A)$
પગલું $3$: અંશનો ગુણાકાર કરો:
$\frac{(1 + \sin A)(1 - \sin A)}{\cos A}$
પગલું $4$: નિત્યસમ $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$ નો ઉપયોગ કરો:
$\frac{1 - \sin^2 A}{\cos A}$
પગલું $5$: નિત્યસમ $1 - \sin^2 A = \cos^2 A$ નો ઉપયોગ કરો:
$\frac{\cos^2 A}{\cos A} = \cos A$

(D) આપણે ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ જાણીએ છીએ: $1 + \tan^2 A = \sec^2 A$ અને $1 + \cot^2 A = \csc^2 A$.
આ કિંમતો પદાવલિમાં મૂકતા:
$\frac{1+\tan ^{2} A}{1+\cot ^{2} A} = \frac{\sec^2 A}{\csc^2 A}$
કારણ કે $\sec A = \frac{1}{\cos A}$ અને $\csc A = \frac{1}{\sin A}$,તેથી:
$= \frac{\frac{1}{\cos^2 A}}{\frac{1}{\sin^2 A}} = \frac{\sin^2 A}{\cos^2 A} = \tan^2 A$.

(A) સાબિત કરવાનું છે: $(\operatorname{cosec} \theta - \cot \theta)^2 = \frac{1 - \cos \theta}{1 + \cos \theta}$
ડાબી બાજુ ($L$.$H$.$S$.) લો = $(\operatorname{cosec} \theta - \cot \theta)^2$
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\operatorname{cosec} \theta = \frac{1}{\sin \theta}$ અને $\cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$L.H.S. = \left( \frac{1}{\sin \theta} - \frac{\cos \theta}{\sin \theta} \right)^2$
$= \left( \frac{1 - \cos \theta}{\sin \theta} \right)^2 = \frac{(1 - \cos \theta)^2}{\sin^2 \theta}$
નિત્યસમ $\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \frac{(1 - \cos \theta)^2}{1 - \cos^2 \theta}$
$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ હોવાથી,$1 - \cos^2 \theta = (1 - \cos \theta)(1 + \cos \theta)$ લખી શકાય:
$= \frac{(1 - \cos \theta)^2}{(1 - \cos \theta)(1 + \cos \theta)}$
$= \frac{1 - \cos \theta}{1 + \cos \theta} = R.H.S.$
આમ,$L.H.S. = R.H.S.$ સાબિત થાય છે.

(N/A) સાબિત કરવાનું છે: $\frac{\cos A}{1+\sin A}+\frac{1+\sin A}{\cos A}=2 \sec A$
$L.H.S. = \frac{\cos A}{1+\sin A}+\frac{1+\sin A}{\cos A}$
છેદ સમાન કરતા:
$= \frac{\cos^2 A + (1+\sin A)^2}{(1+\sin A)(\cos A)}$
અંશનું વિસ્તરણ કરતા:
$= \frac{\cos^2 A + 1 + \sin^2 A + 2\sin A}{(1+\sin A)(\cos A)}$
નિત્યસમ $\sin^2 A + \cos^2 A = 1$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \frac{(\sin^2 A + \cos^2 A) + 1 + 2\sin A}{(1+\sin A)(\cos A)}$
$= \frac{1 + 1 + 2\sin A}{(1+\sin A)(\cos A)}$
$= \frac{2 + 2\sin A}{(1+\sin A)(\cos A)}$
$2$ સામાન્ય લેતા:
$= \frac{2(1+\sin A)}{(1+\sin A)(\cos A)}$
$= \frac{2}{\cos A} = 2 \sec A$
$= R.H.S.$

(A) $L.H.S. = \frac{\tan \theta}{1-\cot \theta} + \frac{\cot \theta}{1-\tan \theta}$
$= \frac{\frac{\sin \theta}{\cos \theta}}{1-\frac{\cos \theta}{\sin \theta}} + \frac{\frac{\cos \theta}{\sin \theta}}{1-\frac{\sin \theta}{\cos \theta}}$
$= \frac{\frac{\sin \theta}{\cos \theta}}{\frac{\sin \theta-\cos \theta}{\sin \theta}} + \frac{\frac{\cos \theta}{\sin \theta}}{\frac{\cos \theta-\sin \theta}{\cos \theta}}$
$= \frac{\sin^2 \theta}{\cos \theta(\sin \theta-\cos \theta)} - \frac{\cos^2 \theta}{\sin \theta(\sin \theta-\cos \theta)}$
$= \frac{1}{(\sin \theta-\cos \theta)} \left[ \frac{\sin^2 \theta}{\cos \theta} - \frac{\cos^2 \theta}{\sin \theta} \right]$
$= \left( \frac{1}{\sin \theta-\cos \theta} \right) \left[ \frac{\sin^3 \theta-\cos^3 \theta}{\sin \theta \cos \theta} \right]$
$= \left( \frac{1}{\sin \theta-\cos \theta} \right) \left[ \frac{(\sin \theta-\cos \theta)(\sin^2 \theta+\cos^2 \theta+\sin \theta \cos \theta)}{\sin \theta \cos \theta} \right]$
$= \frac{1+\sin \theta \cos \theta}{\sin \theta \cos \theta}$
$= \frac{1}{\sin \theta \cos \theta} + \frac{\sin \theta \cos \theta}{\sin \theta \cos \theta}$
$= \operatorname{cosec} \theta \sec \theta + 1 = R.H.S.$

(A) સાબિત કરવાનું છે: $\frac{1+\sec A}{\sec A} = \frac{\sin^2 A}{1-\cos A}$
પગલું $1$: ડાબી બાજુ $(L.H.S.)$ નું સાદું રૂપ આપો.
$L.H.S. = \frac{1+\sec A}{\sec A} = \frac{1 + \frac{1}{\cos A}}{\frac{1}{\cos A}}$
પગલું $2$: અપૂર્ણાંકનું સાદું રૂપ આપો.
$= \frac{\frac{\cos A + 1}{\cos A}}{\frac{1}{\cos A}} = \cos A + 1$
પગલું $3$: જમણી બાજુ $(R.H.S.)$ ને $L.H.S.$ સાથે સરખાવવા માટે અથવા $L.H.S.$ ને $\frac{1-\cos A}{1-\cos A}$ વડે ગુણો.
$= (1 + \cos A) \times \frac{1-\cos A}{1-\cos A}$
પગલું $4$: નિત્યસમ $\sin^2 A + \cos^2 A = 1$ નો ઉપયોગ કરતા,તેથી $1 - \cos^2 A = \sin^2 A$.
$= \frac{1 - \cos^2 A}{1 - \cos A} = \frac{\sin^2 A}{1 - \cos A}$
આમ,$L.H.S. = R.H.S.$

(N/A) સાબિત કરવાનું છે: $\frac{\cos A-\sin A+1}{\cos A+\sin A-1}=\operatorname{cosec} A+\cot A$
$L.H.S. = \frac{\cos A - \sin A + 1}{\cos A + \sin A - 1}$
અંશ અને છેદને $\sin A$ વડે ભાગતા:
$= \frac{\frac{\cos A}{\sin A} - \frac{\sin A}{\sin A} + \frac{1}{\sin A}}{\frac{\cos A}{\sin A} + \frac{\sin A}{\sin A} - \frac{1}{\sin A}}$
$= \frac{\cot A - 1 + \operatorname{cosec} A}{\cot A + 1 - \operatorname{cosec} A}$
અંશમાં નિત્યસમ $1 = \operatorname{cosec}^{2} A - \cot^{2} A$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \frac{\cot A + \operatorname{cosec} A - (\operatorname{cosec}^{2} A - \cot^{2} A)}{\cot A - \operatorname{cosec} A + 1}$
$= \frac{(\cot A + \operatorname{cosec} A) - (\operatorname{cosec} A - \cot A)(\operatorname{cosec} A + \cot A)}{\cot A - \operatorname{cosec} A + 1}$
$(\cot A + \operatorname{cosec} A)$ સામાન્ય લેતા:
$= \frac{(\cot A + \operatorname{cosec} A) [1 - (\operatorname{cosec} A - \cot A)]}{\cot A - \operatorname{cosec} A + 1}$
$= \frac{(\cot A + \operatorname{cosec} A) (1 - \operatorname{cosec} A + \cot A)}{\cot A - \operatorname{cosec} A + 1}$
અહીં $(1 - \operatorname{cosec} A + \cot A) = (\cot A - \operatorname{cosec} A + 1)$ હોવાથી,તે ઉડી જશે:
$= \cot A + \operatorname{cosec} A = R.H.S.$

(N/A) નિત્યસમ $\sqrt{\frac{1+\sin A}{1-\sin A}} = \sec A + \tan A$ સાબિત કરવા માટે:
$L.H.S. = \sqrt{\frac{1+\sin A}{1-\sin A}}$
વર્ગમૂળની અંદર અંશ અને છેદને $(1 + \sin A)$ વડે ગુણતા:
$= \sqrt{\frac{(1+\sin A)(1+\sin A)}{(1-\sin A)(1+\sin A)}}$
નિત્યસમ $(1 - \sin^2 A) = \cos^2 A$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \sqrt{\frac{(1+\sin A)^2}{1-\sin^2 A}} = \sqrt{\frac{(1+\sin A)^2}{\cos^2 A}}$
વર્ગમૂળ લેતા:
$= \frac{1+\sin A}{\cos A}$
$= \frac{1}{\cos A} + \frac{\sin A}{\cos A} = \sec A + \tan A$
$= R.H.S.$

(A) આપેલ છે: $L.H.S. = \frac{\sin \theta - 2 \sin^3 \theta}{2 \cos^3 \theta - \cos \theta}$
પગલું $1$: અંશમાંથી $\sin \theta$ અને છેદમાંથી $\cos \theta$ સામાન્ય કાઢતા.
$L.H.S. = \frac{\sin \theta (1 - 2 \sin^2 \theta)}{\cos \theta (2 \cos^2 \theta - 1)}$
પગલું $2$: નિત્યસમ $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ નો ઉપયોગ કરતા,જેનો અર્થ છે કે $\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta$.
આ કિંમત છેદમાં મૂકતા:
$L.H.S. = \frac{\sin \theta (1 - 2 \sin^2 \theta)}{\cos \theta [2(1 - \sin^2 \theta) - 1]}$
પગલું $3$: છેદમાં કૌંસની અંદરની પદાવલિનું સાદું રૂપ આપતા.
$2(1 - \sin^2 \theta) - 1 = 2 - 2 \sin^2 \theta - 1 = 1 - 2 \sin^2 \theta$
પગલું $4$: પદાવલિમાં કિંમત પાછી મૂકતા.
$L.H.S. = \frac{\sin \theta (1 - 2 \sin^2 \theta)}{\cos \theta (1 - 2 \sin^2 \theta)}$
પગલું $5$: સામાન્ય પદ $(1 - 2 \sin^2 \theta)$ ને છેદતા.
$L.H.S. = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \tan \theta = R.H.S.$
આમ,નિત્યસમ સાબિત થાય છે.

(N/A) સાબિત કરવાનું છે: $(\sin A + \operatorname{cosec} A)^2 + (\cos A + \sec A)^2 = 7 + \tan^2 A + \cot^2 A$
$L.H.S. = (\sin A + \operatorname{cosec} A)^2 + (\cos A + \sec A)^2$
નિત્યસમ $(a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= (\sin^2 A + \operatorname{cosec}^2 A + 2 \sin A \operatorname{cosec} A) + (\cos^2 A + \sec^2 A + 2 \cos A \sec A)$
$= (\sin^2 A + \cos^2 A) + \operatorname{cosec}^2 A + \sec^2 A + 2 \sin A \left(\frac{1}{\sin A}\right) + 2 \cos A \left(\frac{1}{\cos A}\right)$
કારણ કે $\sin^2 A + \cos^2 A = 1$,$\operatorname{cosec}^2 A = 1 + \cot^2 A$,અને $\sec^2 A = 1 + \tan^2 A$:
$= 1 + (1 + \cot^2 A) + (1 + \tan^2 A) + 2(1) + 2(1)$
$= 1 + 1 + \cot^2 A + 1 + \tan^2 A + 2 + 2$
$= 7 + \tan^2 A + \cot^2 A$
$= R.H.S.$

(A) સાબિત કરવાનું છે: $(\operatorname{cosec} A - \sin A)(\sec A - \cos A) = \frac{1}{\tan A + \cot A}$
$L.H.S. = (\operatorname{cosec} A - \sin A)(\sec A - \cos A)$
$= (\frac{1}{\sin A} - \sin A)(\frac{1}{\cos A} - \cos A)$
$= (\frac{1 - \sin^2 A}{\sin A})(\frac{1 - \cos^2 A}{\cos A})$
$= (\frac{\cos^2 A}{\sin A})(\frac{\sin^2 A}{\cos A})$
$= \sin A \cos A$
$R.H.S. = \frac{1}{\tan A + \cot A}$
$= \frac{1}{\frac{\sin A}{\cos A} + \frac{\cos A}{\sin A}}$
$= \frac{1}{\frac{\sin^2 A + \cos^2 A}{\sin A \cos A}}$
$= \frac{\sin A \cos A}{\sin^2 A + \cos^2 A}$
$= \frac{\sin A \cos A}{1} = \sin A \cos A$
આમ,$L.H.S. = R.H.S.$ હોવાથી,નિત્યસમ સાબિત થાય છે.

(A) પ્રથમ,પદાવલિ $\frac{1+\tan ^{2} A}{1+\cot ^{2} A}$ લો.
નિત્યસમ $1+\tan ^{2} A = \sec ^{2} A$ અને $1+\cot ^{2} A = \operatorname{cosec}^{2} A$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$\frac{\sec ^{2} A}{\operatorname{cosec}^{2} A} = \frac{1/\cos ^{2} A}{1/\sin ^{2} A} = \frac{\sin ^{2} A}{\cos ^{2} A} = \tan ^{2} A$.
હવે,પદાવલિ $\left(\frac{1-\tan A}{1-\cot A}\right)^{2}$ લો.
$\cot A = \frac{1}{\tan A}$ મૂકતા:
$\left(\frac{1-\tan A}{1-\frac{1}{\tan A}}\right)^{2} = \left(\frac{1-\tan A}{\frac{\tan A - 1}{\tan A}}\right)^{2} = \left(\frac{(1-\tan A) \cdot \tan A}{-(1-\tan A)}\right)^{2} = (-\tan A)^{2} = \tan ^{2} A$.
બંને ભાગ $\tan ^{2} A$ બરાબર હોવાથી,નિત્યસમ સાબિત થાય છે.