IIT JEE 1964 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(C) दी गई व्यंजक: $1 + \cos 56^\circ + \cos 58^\circ - \cos 66^\circ $
सर्वसमिका $1 + \cos 2\theta = 2 \cos^2 \theta$ का उपयोग करने पर,$1 + \cos 56^\circ = 2 \cos^2 28^\circ$ प्राप्त होता है।
अब,व्यंजक $2 \cos^2 28^\circ + (\cos 58^\circ - \cos 66^\circ)$ बन जाता है।
सर्वसमिका $\cos C - \cos D = 2 \sin \frac{C+D}{2} \sin \frac{D-C}{2}$ का उपयोग करने पर,$\cos 58^\circ - \cos 66^\circ = 2 \sin 62^\circ \sin 4^\circ$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\sin 62^\circ = \cos 28^\circ$,व्यंजक $2 \cos^2 28^\circ + 2 \cos 28^\circ \sin 4^\circ = 2 \cos 28^\circ (\cos 28^\circ + \sin 4^\circ)$ हो जाता है।
चूंकि $\sin 4^\circ = \cos 86^\circ$,हमें $2 \cos 28^\circ (\cos 28^\circ + \cos 86^\circ)$ प्राप्त होता है।
$\cos C + \cos D = 2 \cos \frac{C+D}{2} \cos \frac{C-D}{2}$ का उपयोग करने पर,$2 \cos 28^\circ [2 \cos 57^\circ \cos 29^\circ]$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\cos 57^\circ = \sin 33^\circ$,अंतिम उत्तर $4 \cos 28^\circ \cos 29^\circ \sin 33^\circ$ है।

(B) माना खंभे की कुल ऊंचाई $H$ है। निचला भाग $\frac{H}{3}$ है और ऊपरी भाग $\frac{2H}{3}$ है। बिंदु आधार से $d = 20 \, m$ की दूरी पर है। माना $\alpha$ निचले भाग द्वारा बनाया गया कोण है और $\beta$ पूरे खंभे द्वारा बनाया गया कोण है। ऊपरी भाग द्वारा बनाया गया कोण $\theta = \beta - \alpha$ है,जहाँ $\tan \theta = \frac{1}{2}$ है।
हमें प्राप्त होता है $\tan \alpha = \frac{H}{3d}$ और $\tan \beta = \frac{H}{d}$।
सूत्र $\tan(\beta - \alpha) = \frac{\tan \beta - \tan \alpha}{1 + \tan \beta \tan \alpha}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{2} = \frac{\frac{H}{d} - \frac{H}{3d}}{1 + \frac{H^2}{3d^2}} = \frac{2Hd}{3d^2 + H^2}$।
इस प्रकार,$H^2 - 4dH + 3d^2 = 0$।
$d = 20$ रखने पर,$H^2 - 80H + 1200 = 0$ प्राप्त होता है।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(H - 20)(H - 60) = 0$।
अतः,खंभे की संभावित ऊंचाइयां $H = 20 \, m$ और $H = 60 \, m$ हैं।

(B) त्रिभुज के केंद्रक $(G)$ का सूत्र,जिसके शीर्ष $(x_1, y_1)$,$(x_2, y_2)$ और $(x_3, y_3)$ हैं,$G = \left( \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3} \right)$ होता है।
दिए गए शीर्ष $(2, 1)$,$(5, 2)$ और $(3, 4)$ हैं।
$x$-निर्देशांक की गणना: $x = \frac{2 + 5 + 3}{3} = \frac{10}{3}$.
$y$-निर्देशांक की गणना: $y = \frac{1 + 2 + 4}{3} = \frac{7}{3}$.
अतः,केंद्रक $\left( \frac{10}{3}, \frac{7}{3} \right)$ है।

(A) माना गतिमान बिंदु $P$ के निर्देशांक $(x, y)$ हैं।
दिए गए बिंदुओं के निर्देशांक $O(0, 0)$,$A(0, 4)$ और $B(6, 0)$ हैं।
$\Delta POA$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |0(4 - y) + 0(y - 0) + x(0 - 4)| = 2|x|$.
$\Delta POB$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |0(0 - y) + 6(y - 0) + x(0 - 0)| = 3|y|$.
प्रश्न के अनुसार,$\Delta POA$ का क्षेत्रफल $= 2 \times \Delta POB$ का क्षेत्रफल।
अतः,$2|x| = 2 \times 3|y|$.
$|x| = 3|y|$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$x^2 = 9y^2$,जिसका अर्थ है $x^2 - 9y^2 = 0$.
इसे $(x - 3y)(x + 3y) = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।

(B) माना परिकेंद्र $O(x, y)$ है और दिए गए शीर्ष $A(2, 1), B(5, 2)$ और $C(3, 4)$ हैं।
परिकेंद्र सभी शीर्षों से समान दूरी पर होता है,इसलिए $OA^2 = OB^2 = OC^2.$
$OA^2 = OB^2$ से: $(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = (x - 5)^2 + (y - 2)^2.$
सरल करने पर: $3x + y = 12$......$(i)$
$OA^2 = OC^2$ से: $(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = (x - 3)^2 + (y - 4)^2.$
सरल करने पर: $x + 3y = 10$......(ii)
समीकरण $(i)$ और (ii) को हल करने पर,हमें $x = \frac{13}{4}$ और $y = \frac{9}{4}$ प्राप्त होता है।
अतः,परिकेंद्र $\left( \frac{13}{4}, \frac{9}{4} \right)$ है।