IIT JEE 1964 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(C) આપેલ પદાવલિ: $1 + \cos 56^\circ + \cos 58^\circ - \cos 66^\circ $
નિત્યસમ $1 + \cos 2\theta = 2 \cos^2 \theta$ નો ઉપયોગ કરતા,$1 + \cos 56^\circ = 2 \cos^2 28^\circ$ મળે.
હવે,પદાવલિ $2 \cos^2 28^\circ + (\cos 58^\circ - \cos 66^\circ)$ બને છે.
નિત્યસમ $\cos C - \cos D = 2 \sin \frac{C+D}{2} \sin \frac{D-C}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\cos 58^\circ - \cos 66^\circ = 2 \sin 62^\circ \sin 4^\circ$ મળે.
$\sin 62^\circ = \cos 28^\circ$ હોવાથી,પદાવલિ $2 \cos^2 28^\circ + 2 \cos 28^\circ \sin 4^\circ = 2 \cos 28^\circ (\cos 28^\circ + \sin 4^\circ)$ થાય.
$\sin 4^\circ = \cos 86^\circ$ હોવાથી,$2 \cos 28^\circ (\cos 28^\circ + \cos 86^\circ)$ મળે.
$\cos C + \cos D = 2 \cos \frac{C+D}{2} \cos \frac{C-D}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,$2 \cos 28^\circ [2 \cos 57^\circ \cos 29^\circ]$ મળે.
$\cos 57^\circ = \sin 33^\circ$ હોવાથી,અંતિમ જવાબ $4 \cos 28^\circ \cos 29^\circ \sin 33^\circ$ છે.

(B) ધારો કે થાંભલાની કુલ ઊંચાઈ $H$ છે. નીચેનો ભાગ $\frac{H}{3}$ છે અને ઉપરનો ભાગ $\frac{2H}{3}$ છે. બિંદુ પાયાથી $d = 20 \, m$ અંતરે છે. ધારો કે $\alpha$ એ નીચેના ભાગ દ્વારા આંતરેલો ખૂણો છે અને $\beta$ એ આખા થાંભલા દ્વારા આંતરેલો ખૂણો છે. ઉપરના ભાગ દ્વારા આંતરેલો ખૂણો $\theta = \beta - \alpha$ છે,જ્યાં $\tan \theta = \frac{1}{2}$.
આપણને મળે છે $\tan \alpha = \frac{H}{3d}$ અને $\tan \beta = \frac{H}{d}$.
સૂત્ર $\tan(\beta - \alpha) = \frac{\tan \beta - \tan \alpha}{1 + \tan \beta \tan \alpha}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{2} = \frac{\frac{H}{d} - \frac{H}{3d}}{1 + \frac{H^2}{3d^2}} = \frac{2Hd}{3d^2 + H^2}$.
આમ,$H^2 - 4dH + 3d^2 = 0$.
$d = 20$ મૂકતા,$H^2 - 80H + 1200 = 0$ મળે છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(H - 20)(H - 60) = 0$.
તેથી,થાંભલાની શક્ય ઊંચાઈઓ $H = 20 \, m$ અને $H = 60 \, m$ છે.

(B) ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $(x_1, y_1)$,$(x_2, y_2)$ અને $(x_3, y_3)$ માટે મધ્યકેન્દ્ર $(G)$ નું સૂત્ર $G = \left( \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3} \right)$ છે.
આપેલ શિરોબિંદુઓ $(2, 1)$,$(5, 2)$ અને $(3, 4)$ છે.
$x$-યામની ગણતરી: $x = \frac{2 + 5 + 3}{3} = \frac{10}{3}$.
$y$-યામની ગણતરી: $y = \frac{1 + 2 + 4}{3} = \frac{7}{3}$.
આમ,મધ્યકેન્દ્ર $\left( \frac{10}{3}, \frac{7}{3} \right)$ છે.

(A) ધારો કે ગતિશીલ બિંદુ $P$ ના યામ $(x, y)$ છે.
આપેલા બિંદુઓ $O(0, 0)$,$A(0, 4)$ અને $B(6, 0)$ છે.
$\Delta POA$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |0(4 - y) + 0(y - 0) + x(0 - 4)| = 2|x|$.
$\Delta POB$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |0(0 - y) + 6(y - 0) + x(0 - 0)| = 3|y|$.
પ્રશ્ન મુજબ,$\Delta POA$ નું ક્ષેત્રફળ $= 2 \times \Delta POB$ નું ક્ષેત્રફળ.
તેથી,$2|x| = 2 \times 3|y|$.
$|x| = 3|y|$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$x^2 = 9y^2$,જેનો અર્થ છે $x^2 - 9y^2 = 0$.
આને $(x - 3y)(x + 3y) = 0$ તરીકે લખી શકાય છે.

(B) ધારો કે પરિકેન્દ્ર $O(x, y)$ છે અને આપેલા શિરોબિંદુઓ $A(2, 1), B(5, 2)$ અને $C(3, 4)$ છે.
પરિકેન્દ્ર બધા શિરોબિંદુઓથી સમાન અંતરે હોય છે,તેથી $OA^2 = OB^2 = OC^2.$
$OA^2 = OB^2$ પરથી: $(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = (x - 5)^2 + (y - 2)^2.$
સાદુરૂપ આપતા: $3x + y = 12$......$(i)$
$OA^2 = OC^2$ પરથી: $(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = (x - 3)^2 + (y - 4)^2.$
સાદુરૂપ આપતા: $x + 3y = 10$......(ii)
સમીકરણ $(i)$ અને (ii) ઉકેલતા,આપણને $x = \frac{13}{4}$ અને $y = \frac{9}{4}$ મળે છે.
તેથી,પરિકેન્દ્ર $\left( \frac{13}{4}, \frac{9}{4} \right)$ છે.