GUJCET 2008 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(B) $AC$ जनरेटर का तात्कालिक वोल्टेज $V = V_m \sin(\omega t)$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $V_m$ शिखर वोल्टेज है और $\omega = 2 \pi \nu$ कोणीय आवृत्ति है।
दिया गया है: $V_m = 100 \text{ V}$, $t = \frac{1}{100 \pi} \text{ s}$ पर $V = 2 \text{ V}$।
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$2 = 100 \sin\left(2 \pi \nu \times \frac{1}{100 \pi}\right)$
$2 = 100 \sin\left(\frac{\nu}{50}\right)$
$\frac{2}{100} = \sin\left(\frac{\nu}{50}\right)$
चूंकि कोण $\frac{\nu}{50}$ बहुत छोटा है, हम सन्निकटन $\sin(\theta) \approx \theta$ का उपयोग कर सकते हैं:
$\frac{1}{50} = \frac{\nu}{50}$
$\nu = 1 \text{ Hz}$।

(C) $RL$ श्रेणी परिपथ में,वोल्टेज और धारा के बीच कला कोण $\phi$ को निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\tan \phi = \frac{X_L}{R}$,जहाँ $X_L = \omega L$ प्रेरणिक प्रतिघात है।
दिया गया है कि कला कोण $\phi = 45^{\circ}$ है।
सूत्र में मान रखने पर: $\tan 45^{\circ} = \frac{X_L}{R}$।
चूँकि $\tan 45^{\circ} = 1$,इसलिए $1 = \frac{X_L}{R}$।
अतः,$X_L = R$।

(C) $R$ प्रतिरोध वाले बल्ब द्वारा $V$ विभवांतर पर खपत की गई शक्ति $P = \frac{V^2}{R}$ द्वारा दी जाती है।
पहले बल्ब के लिए,$P_1 = \frac{V^2}{R_1}$,जिसका अर्थ है $R_1 = \frac{V^2}{P_1}$।
दूसरे बल्ब के लिए,$P_2 = \frac{V^2}{R_2}$,जिसका अर्थ है $R_2 = \frac{V^2}{P_2}$।
जब बल्बों को श्रेणी क्रम में जोड़ा जाता है,तो कुल प्रतिरोध $R_{eq} = R_1 + R_2$ होता है।
श्रेणी क्रम में कुल खपत शक्ति $P_{series} = \frac{V^2}{R_{eq}} = \frac{V^2}{R_1 + R_2}$ है।
$R_1$ और $R_2$ के मान रखने पर,हमें $P_{series} = \frac{V^2}{\frac{V^2}{P_1} + \frac{V^2}{P_2}} = \frac{1}{\frac{1}{P_1} + \frac{1}{P_2}}$ प्राप्त होता है।
इसे सरल करने पर,हमें $P_{series} = \frac{P_1 P_2}{P_1 + P_2}$ प्राप्त होता है।

(D) एक चालक में प्रति सेकंड उत्पन्न ऊष्मा व्ययित शक्ति के बराबर होती है,जिसे $P = I^2 R$ द्वारा दर्शाया जाता है।
चूंकि तार समान पदार्थ के बने हैं और उनकी लंबाई समान है,इसलिए प्रतिरोध $R = \rho \frac{l}{A}$ होगा।
इसे शक्ति के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $P = I^2 \left( \frac{\rho l}{A} \right)$ प्राप्त होता है।
चूंकि $I$,$\rho$ और $l$ दोनों तारों के लिए स्थिर हैं,इसलिए $P \propto \frac{1}{A}$ होगा।
अतः,उत्पन्न ऊष्मा का अनुपात $\frac{P_1}{P_2} = \frac{A_2}{A_1}$ होगा।
क्षेत्रफल का दिया गया अनुपात $\frac{A_1}{A_2} = \frac{1}{2}$ है,इसलिए $\frac{A_2}{A_1} = \frac{2}{1}$ होगा।
इस प्रकार,प्रति सेकंड उत्पन्न ऊष्मा का अनुपात $2 : 1$ है।

(D) दिया गया है: विद्युत वाहक बल $\varepsilon = 4 \text{ V}$, आंतरिक प्रतिरोध $r = 0.1 \ \Omega$, और बाहरी प्रतिरोध $R = 3.9 \ \Omega$ है।
सबसे पहले, ओम के नियम का उपयोग करके परिपथ में प्रवाहित धारा $I$ की गणना करें:
$I = \frac{\varepsilon}{R + r} = \frac{4}{3.9 + 0.1} = \frac{4}{4} = 1 \text{ A}$.
सेल का टर्मिनल वोल्टेज $V$, बाहरी प्रतिरोध $R$ के सिरों पर विभवांतर के बराबर होता है:
$V = I \times R$
$V = 1 \text{ A} \times 3.9 \ \Omega = 3.9 \text{ V}$.
वैकल्पिक रूप से, $V = \varepsilon - Ir$ सूत्र का उपयोग करते हुए:
$V = 4 - (1 \times 0.1) = 4 - 0.1 = 3.9 \text{ V}$.
अतः, सही विकल्प $D$ है।

(A) दिया गया है: क्षेत्रफल $A = (2 \ mm)^2 = (2 \times 10^{-3} \ m)^2 = 4 \times 10^{-6} \ m^2$. विद्युत धारा $I = 8 \ A$. संख्या घनत्व $n = 8 \times 10^{28} \ m^{-3}$. इलेक्ट्रॉन का आवेश $e = 1.6 \times 10^{-19} \ C$.
अपवाह वेग के लिए सूत्र: $I = n A v_d e$.
$v_d$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर: $v_d = \frac{I}{n A e}$.
मान रखने पर: $v_d = \frac{8}{8 \times 10^{28} \times 4 \times 10^{-6} \times 1.6 \times 10^{-19}}$.
$v_d = \frac{8}{51.2 \times 10^3} = \frac{8}{51200} \approx 1.56 \times 10^{-4} \ ms^{-1}$.

(A) चित्र में दिखाए अनुसार,मान लीजिए कि हम $\theta$ कोण पर $d \theta$ कोणीय चौड़ाई का एक सूक्ष्म अवयव लेते हैं।
इस अवयव की लंबाई $dl = a d \theta$ है।
इस अवयव पर आवेश $dq = \lambda dl = (\lambda_0 \cos^2 \theta) (a d \theta)$ है।
वृत्त पर कुल आवेश $Q$ प्राप्त करने के लिए,हमें $0$ से $2 \pi$ तक पूरी परिधि पर $dq$ का समाकलन करना होगा:
$Q = \int_{0}^{2 \pi} \lambda_0 \cos^2 \theta a d \theta$
$Q = a \lambda_0 \int_{0}^{2 \pi} \cos^2 \theta d \theta$
सर्वसमिका $\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2 \theta}{2}$ का उपयोग करने पर:
$Q = a \lambda_0 \int_{0}^{2 \pi} \frac{1 + \cos 2 \theta}{2} d \theta$
$Q = \frac{a \lambda_0}{2} [\theta + \frac{\sin 2 \theta}{2}]_{0}^{2 \pi}$
$Q = \frac{a \lambda_0}{2} [(2 \pi + 0) - (0 + 0)]$
$Q = \frac{a \lambda_0}{2} (2 \pi) = \pi a \lambda_0$
अतः,कुल आवेश $\pi a \lambda_0$ है।

(C) मान लीजिए कि दो बिंदु आवेश $q_1$ और $q_2$ हैं,जो $r$ दूरी पर स्थित हैं। कूलॉम के नियम के अनुसार प्रारंभिक बल: $F = \frac{k q_1 q_2}{r^2} = 200 \ N$ है।
जब आवेश $q_1$ में $10 \ \%$ की वृद्धि होती है,तो नया आवेश $q_1' = q_1 + 0.1 q_1 = 1.1 q_1$ हो जाता है।
जब आवेश $q_2$ में $10 \ \%$ की कमी होती है,तो नया आवेश $q_2' = q_2 - 0.1 q_2 = 0.9 q_2$ हो जाता है।
समान दूरी $r$ पर नया विद्युत बल $F'$ इस प्रकार होगा: $F' = \frac{k q_1' q_2'}{r^2} = \frac{k (1.1 q_1) (0.9 q_2)}{r^2}$।
प्रारंभिक बल का मान रखने पर: $F' = (1.1 \times 0.9) \times \frac{k q_1 q_2}{r^2} = 0.99 \times F$।
अतः,$F' = 0.99 \times 200 \ N = 198 \ N$।

(C) फैराडे के विद्युत चुंबकीय प्रेरण के नियम के अनुसार,प्रेरित $emf$ $(\varepsilon)$ लूप से गुजरने वाले चुंबकीय फ्लक्स $(\phi)$ के परिवर्तन की दर के ऋणात्मक मान के बराबर होता है:
$\varepsilon = -\frac{d\phi}{dt}$
$A = \pi r^2$ क्षेत्रफल वाली रिंग से गुजरने वाला चुंबकीय फ्लक्स $\phi = B \cdot A = (B_0 + \alpha t) \cdot \pi r^2$ द्वारा दिया जाता है।
इस मान को $emf$ के सूत्र में रखने पर:
$\varepsilon = -\frac{d}{dt} [\pi r^2 (B_0 + \alpha t)]$
चूंकि $\pi$ और $r$ स्थिरांक हैं:
$\varepsilon = -\pi r^2 \frac{d}{dt} (B_0 + \alpha t)$
समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dt} (B_0 + \alpha t) = 0 + \alpha = \alpha$
अतः,प्रेरित $emf$ है:
$\varepsilon = -\pi r^2 \alpha$

(B) दो कुंडलियों के बीच अन्योन्य प्रेरकत्व $M$ को एक कुंडली से जुड़े चुंबकीय फ्लक्स में परिवर्तन $\Delta \phi$ और दूसरी कुंडली में धारा में परिवर्तन $\Delta I$ के बीच के संबंध द्वारा परिभाषित किया जाता है।
सूत्र इस प्रकार है:
$M = \frac{\Delta \phi}{\Delta I}$
दिए गए मान:
कुंडली $X$ में धारा में परिवर्तन,$\Delta I = 4 \ A$
कुंडली $Y$ में चुंबकीय फ्लक्स में परिवर्तन,$\Delta \phi = 0.4 \ Wb$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$M = \frac{0.4 \ Wb}{4 \ A}$
$M = 0.1 \ H$
अतः,इस निकाय का अन्योन्य प्रेरकत्व $0.1 \ H$ है।

(A) लेंज के नियम के अनुसार,प्रेरित धारा की दिशा ऐसी होती है कि वह उस कारण का विरोध करती है जो इसे उत्पन्न करता है।
जैसे-जैसे चुंबक का उत्तरी ध्रुव $(N)$ धात्विक वलय की ओर बढ़ता है,वलय से जुड़ा चुंबकीय फ्लक्स बढ़ जाता है।
चुंबकीय फ्लक्स में इस वृद्धि का विरोध करने के लिए,वलय के ऊपरी फलक को उत्तरी ध्रुव $(N)$ की तरह व्यवहार करना चाहिए ताकि वह निकट आते चुंबक को प्रतिकर्षित कर सके।
धारावाही लूप का एक फलक उत्तरी ध्रुव की तरह व्यवहार करता है जब उस ओर से देखने पर धारा वामावर्त (anticlockwise) दिशा में बहती है।
इसलिए,ऊपर से देखने पर,वलय में प्रेरित धारा वामावर्त (anticlockwise) होगी।

(B) $q$ आवेश को विभवांतर $\Delta V$ वाले दो बिंदुओं के बीच ले जाने में किया गया कार्य $W$ इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $W = q \Delta V$।
यहाँ,$W = 20 \ J$,$q = 4 \ C$,प्रारंभिक विभव $V_i = 10 \ V$ और अंतिम विभव $V_f = V$ है।
विभवांतर $\Delta V = V_f - V_i = V - 10$ है।
सूत्र में मान रखने पर:
$20 = 4(V - 10)$
दोनों पक्षों को $4$ से विभाजित करने पर:
$5 = V - 10$
दोनों पक्षों में $10$ जोड़ने पर:
$V = 15 \ V$।

(A) माना प्रत्येक छोटी बूंद की त्रिज्या $r$ है और बड़ी बूंद की त्रिज्या $R$ है।
चूंकि आयतन स्थिर रहता है,$64$ छोटी बूंदों का आयतन बड़ी बूंद के आयतन के बराबर होगा:
$64 \times (\frac{4}{3} \pi r^3) = \frac{4}{3} \pi R^3$
$R^3 = 64 r^3$
$R = 4r$
गोलाकार बूंद की धारिता $C = 4 \pi \epsilon_0 r$ द्वारा दी जाती है।
इसलिए,छोटी बूंद की धारिता $C_{\text{small}} = 4 \pi \epsilon_0 r$ है और बड़ी बूंद की धारिता $C_{\text{big}} = 4 \pi \epsilon_0 R$ है।
बड़ी बूंद की धारिता और छोटी बूंद की धारिता का अनुपात है:
$\frac{C_{\text{big}}}{C_{\text{small}}} = \frac{4 \pi \epsilon_0 R}{4 \pi \epsilon_0 r} = \frac{R}{r} = \frac{4r}{r} = 4$.
अतः,अनुपात $4: 1$ है।

(D) दिए गए परिपथ को एक संतुलित व्हीटस्टोन ब्रिज के रूप में फिर से बनाया जा सकता है।
एक संतुलित व्हीटस्टोन ब्रिज में,मध्य संधारित्र के सिरों पर विभवांतर शून्य होता है,इसलिए इसे परिपथ से हटाया जा सकता है।
मध्य संधारित्र को हटाने के बाद,ऊपर के दो संधारित्र ($4 \mu F$ और $4 \mu F$) श्रेणीक्रम में हैं,और नीचे के दो संधारित्र ($4 \mu F$ और $4 \mu F$) श्रेणीक्रम में हैं।
ऊपरी शाखा की तुल्य धारिता $C_1 = \frac{4 \times 4}{4 + 4} = 2 \mu F$ है।
निचली शाखा की तुल्य धारिता $C_2 = \frac{4 \times 4}{4 + 4} = 2 \mu F$ है।
ये दोनों शाखाएं समानांतर क्रम में हैं,इसलिए कुल तुल्य धारिता $C_{eq} = C_1 + C_2 = 2 \mu F + 2 \mu F = 4 \mu F$ है।

(D) भुजा वाले घन के मुख्य विकर्ण की लंबाई $\sqrt{3} a$ होती है। घन के केंद्र $O$ से प्रत्येक शीर्ष की दूरी $r$,मुख्य विकर्ण की आधी होती है: $r = \frac{\sqrt{3} a}{2}$।
चूंकि घन के शीर्षों पर $8$ समान आवेश $q$ स्थित हैं,इसलिए केंद्र $O$ पर कुल विद्युत विभव $V$ प्रत्येक आवेश के कारण उत्पन्न विभव का योग होगा:
$V = 8 \times \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \times \frac{q}{r}$
$r$ का मान रखने पर:
$V = 8 \times \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \times \frac{q}{\frac{\sqrt{3} a}{2}}$
$V = 8 \times \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \times \frac{2q}{\sqrt{3} a}$
$V = \frac{4 q}{\sqrt{3} \pi \varepsilon_0 a}$

(B) अधिकतम चुंबकन $(M_{\max})$ तब होता है जब सभी आणविक द्विध्रुव बाहरी चुंबकीय क्षेत्र की दिशा में संरेखित (aligned) होते हैं।
इसकी गणना द्विध्रुवों की कुल संख्या $(n)$ और प्रत्येक अणु के चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण $(m)$ के गुणनफल द्वारा की जाती है।
दिया गया है:
$n = 2.0 \times 10^{24}$
$m = 1.5 \times 10^{-23} \text{ A m}^2$
सूत्र:
$M_{\max} = n \times m$
गणना:
$M_{\max} = (2.0 \times 10^{24}) \times (1.5 \times 10^{-23})$
$M_{\max} = 3.0 \times 10^{1} = 30 \text{ A m}^2$
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(D) पृथ्वी की सतह पर किसी भी बिंदु पर भौगोलिक याम्योत्तर और चुंबकीय याम्योत्तर के बीच के कोण को चुंबकीय दिक्पात (Magnetic Declination) या केवल दिक्पात के रूप में जाना जाता है।
यह वास्तविक भौगोलिक उत्तर से चुंबकीय दिक्सूचक (कंपास) की सुई के विचलन को दर्शाता है।

(B) गैल्वेनोमीटर में विक्षेप $\theta$ उसमें प्रवाहित होने वाली धारा $I$ के समानुपाती होता है,इसलिए $\theta \propto I$ है।
प्रारंभ में,धारा $I$ है और विक्षेप $\theta_1 = 50$ डिवीजन है।
जब एक शंट प्रतिरोध $S$ को समानांतर में जोड़ा जाता है,तो धारा $I$ इस प्रकार विभाजित होती है कि गैल्वेनोमीटर की धारा $I_g$ नए विक्षेप $\theta_2 = 10$ डिवीजन के अनुरूप होती है।
विक्षेप का अनुपात $n = \frac{\theta_1}{\theta_2} = \frac{50}{10} = 5$ है।
शंट प्रतिरोध $S$,गैल्वेनोमीटर प्रतिरोध $G$ और अनुपात $n$ के बीच का संबंध सूत्र $S = \frac{G}{n-1}$ द्वारा दिया जाता है।
$G$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $G = S(n-1)$ प्राप्त होता है।
दिए गए मान $S = 12 \Omega$ और $n = 5$ को प्रतिस्थापित करने पर:
$G = 12 \times (5 - 1) = 12 \times 4 = 48 \Omega$।
अतः,गैल्वेनोमीटर कॉइल का प्रतिरोध $48 \Omega$ है।

(C) $X$ ज्ञात करने के लिए,हम द्रव्यमान संख्या और परमाणु क्रमांक के संरक्षण के नियम का उपयोग करते हैं।
द्रव्यमान संख्या के लिए (ऊपरी सूचकांक): $9 + 4 = 12 + A \implies 13 = 12 + A \implies A = 1$.
परमाणु क्रमांक के लिए (निचले सूचकांक): $4 + 2 = 6 + Z \implies 6 = 6 + Z \implies Z = 0$.
$1$ द्रव्यमान संख्या और $0$ परमाणु क्रमांक वाला कण एक न्यूट्रॉन है,जिसे ${ }_{0}^{1} n$ के रूप में दर्शाया जाता है।
अतः,$X$ एक न्यूट्रॉन $(n)$ को दर्शाता है।