GUJCET 2008 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(B) $AC$ જનરેટરનો તત્કાલિન વોલ્ટેજ $V = V_m \sin(\omega t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $V_m$ એ મહત્તમ વોલ્ટેજ છે અને $\omega = 2 \pi \nu$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે.
આપેલ છે: $V_m = 100 \text{ V}$, $t = \frac{1}{100 \pi} \text{ s}$ સમયે $V = 2 \text{ V}$.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$2 = 100 \sin\left(2 \pi \nu \times \frac{1}{100 \pi}\right)$
$2 = 100 \sin\left(\frac{\nu}{50}\right)$
$\frac{2}{100} = \sin\left(\frac{\nu}{50}\right)$
અહીં ખૂણો $\frac{\nu}{50}$ ખૂબ નાનો હોવાથી, આપણે $\sin(\theta) \approx \theta$ આસન્નમૂલ્યનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ:
$\frac{1}{50} = \frac{\nu}{50}$
$\nu = 1 \text{ Hz}$.

(C) $RL$ શ્રેણી સર્કિટમાં,વોલ્ટેજ અને પ્રવાહ વચ્ચેનો ફેઝ એંગલ $\phi$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\tan \phi = \frac{X_L}{R}$,જ્યાં $X_L = \omega L$ એ ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ છે.
આપેલ છે કે ફેઝ એંગલ $\phi = 45^{\circ}$ છે.
સૂત્રમાં કિંમત મૂકતા: $\tan 45^{\circ} = \frac{X_L}{R}$.
કારણ કે $\tan 45^{\circ} = 1$,તેથી $1 = \frac{X_L}{R}$.
આમ,$X_L = R$.

(C) $R$ અવરોધ ધરાવતા બલ્બ દ્વારા $V$ વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત પર વપરાતો પાવર $P = \frac{V^2}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ બલ્બ માટે,$P_1 = \frac{V^2}{R_1}$,જેનો અર્થ છે કે $R_1 = \frac{V^2}{P_1}$.
બીજા બલ્બ માટે,$P_2 = \frac{V^2}{R_2}$,જેનો અર્થ છે કે $R_2 = \frac{V^2}{P_2}$.
જ્યારે બલ્બને શ્રેણીમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ અવરોધ $R_{eq} = R_1 + R_2$ થાય છે.
શ્રેણી જોડાણમાં વપરાતો કુલ પાવર $P_{series} = \frac{V^2}{R_{eq}} = \frac{V^2}{R_1 + R_2}$ છે.
$R_1$ અને $R_2$ ની કિંમતો મૂકતા,આપણને $P_{series} = \frac{V^2}{\frac{V^2}{P_1} + \frac{V^2}{P_2}} = \frac{1}{\frac{1}{P_1} + \frac{1}{P_2}}$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ આપતા,આપણને $P_{series} = \frac{P_1 P_2}{P_1 + P_2}$ મળે છે.

(D) વાહકમાં પ્રતિ સેકન્ડ ઉત્પન્ન થતી ઉષ્મા એ પાવર જેટલી હોય છે,જે $P = I^2 R$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તાર સમાન દ્રવ્યના બનેલા છે અને સમાન લંબાઈ ધરાવે છે,તેથી અવરોધ $R = \rho \frac{l}{A}$ થાય.
આ કિંમત પાવરના સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને $P = I^2 \left( \frac{\rho l}{A} \right)$ મળે છે.
અહીં $I$,$\rho$ અને $l$ બંને તાર માટે અચળ હોવાથી,$P \propto \frac{1}{A}$ થાય.
તેથી,ઉત્પન્ન થતી ઉષ્માનો ગુણોત્તર $\frac{P_1}{P_2} = \frac{A_2}{A_1}$ થશે.
આપેલ ક્ષેત્રફળનો ગુણોત્તર $\frac{A_1}{A_2} = \frac{1}{2}$ હોવાથી,$\frac{A_2}{A_1} = \frac{2}{1}$ મળે.
આમ,પ્રતિ સેકન્ડ ઉત્પન્ન થતી ઉષ્માનો ગુણોત્તર $2 : 1$ છે.

(D) આપેલ છે: વિદ્યુતચાલક બળ $\varepsilon = 4 \text{ V}$, આંતરિક અવરોધ $r = 0.1 \ \Omega$, અને બાહ્ય અવરોધ $R = 3.9 \ \Omega$.
સૌ પ્રથમ, ઓહ્મના નિયમનો ઉપયોગ કરીને પરિપથમાં વહેતો પ્રવાહ $I$ શોધો:
$I = \frac{\varepsilon}{R + r} = \frac{4}{3.9 + 0.1} = \frac{4}{4} = 1 \text{ A}$.
કોષનો ટર્મિનલ વોલ્ટેજ $V$ એ બાહ્ય અવરોધ $R$ ના બે છેડા વચ્ચેના વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત જેટલો હોય છે:
$V = I \times R$
$V = 1 \text{ A} \times 3.9 \ \Omega = 3.9 \text{ V}$.
વૈકલ્પિક રીતે, $V = \varepsilon - Ir$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$V = 4 - (1 \times 0.1) = 4 - 0.1 = 3.9 \text{ V}$.
તેથી, સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) આપેલ છે: ક્ષેત્રફળ $A = (2 \ mm)^2 = (2 \times 10^{-3} \ m)^2 = 4 \times 10^{-6} \ m^2$. વિદ્યુતપ્રવાહ $I = 8 \ A$. સંખ્યા ઘનતા $n = 8 \times 10^{28} \ m^{-3}$. ઇલેક્ટ્રોનનો વીજભાર $e = 1.6 \times 10^{-19} \ C$.
ડ્રિફ્ટ વેગ માટેનું સૂત્ર: $I = n A v_d e$.
$v_d$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા: $v_d = \frac{I}{n A e}$.
કિંમતો મૂકતા: $v_d = \frac{8}{8 \times 10^{28} \times 4 \times 10^{-6} \times 1.6 \times 10^{-19}}$.
$v_d = \frac{8}{51.2 \times 10^3} = \frac{8}{51200} \approx 1.56 \times 10^{-4} \ ms^{-1}$.

(A) આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ,ધારો કે આપણે $\theta$ ખૂણે $d \theta$ કોણીય પહોળાઈ ધરાવતો એક સૂક્ષ્મ ખંડ લઈએ છીએ.
આ ખંડની લંબાઈ $dl = a d \theta$ છે.
આ ખંડ પરનો વિદ્યુતભાર $dq = \lambda dl = (\lambda_0 \cos^2 \theta) (a d \theta)$ છે.
વર્તુળ પરનો કુલ વિદ્યુતભાર $Q$ મેળવવા માટે,આપણે $0$ થી $2 \pi$ સુધી સમગ્ર પરિઘ પર $dq$ નું સંકલન કરવું પડશે:
$Q = \int_{0}^{2 \pi} \lambda_0 \cos^2 \theta a d \theta$
$Q = a \lambda_0 \int_{0}^{2 \pi} \cos^2 \theta d \theta$
નિત્યસમ $\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2 \theta}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$Q = a \lambda_0 \int_{0}^{2 \pi} \frac{1 + \cos 2 \theta}{2} d \theta$
$Q = \frac{a \lambda_0}{2} [\theta + \frac{\sin 2 \theta}{2}]_{0}^{2 \pi}$
$Q = \frac{a \lambda_0}{2} [(2 \pi + 0) - (0 + 0)]$
$Q = \frac{a \lambda_0}{2} (2 \pi) = \pi a \lambda_0$
આમ,કુલ વિદ્યુતભાર $\pi a \lambda_0$ છે.

(C) ધારો કે બે બિંદુવત વિદ્યુતભારો $q_1$ અને $q_2$ છે,જે $r$ અંતરે રહેલા છે. કુલંબના નિયમ મુજબ પ્રારંભિક બળ: $F = \frac{k q_1 q_2}{r^2} = 200 \ N$.
જ્યારે વિદ્યુતભાર $q_1$ માં $10 \ \%$ વધારો થાય,ત્યારે નવો વિદ્યુતભાર $q_1' = q_1 + 0.1 q_1 = 1.1 q_1$ થાય.
જ્યારે વિદ્યુતભાર $q_2$ માં $10 \ \%$ ઘટાડો થાય,ત્યારે નવો વિદ્યુતભાર $q_2' = q_2 - 0.1 q_2 = 0.9 q_2$ થાય.
સમાન અંતર $r$ પર નવું વિદ્યુત બળ $F'$ આ મુજબ મળે: $F' = \frac{k q_1' q_2'}{r^2} = \frac{k (1.1 q_1) (0.9 q_2)}{r^2}$.
પ્રારંભિક બળની કિંમત મૂકતા: $F' = (1.1 \times 0.9) \times \frac{k q_1 q_2}{r^2} = 0.99 \times F$.
તેથી,$F' = 0.99 \times 200 \ N = 198 \ N$.

(C) ફેરાડેના વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત $emf$ $(\varepsilon)$ એ લૂપમાંથી પસાર થતા ચુંબકીય ફ્લક્સ $(\phi)$ ના ફેરફારના દરના ઋણ મૂલ્ય જેટલું હોય છે:
$\varepsilon = -\frac{d\phi}{dt}$
$A = \pi r^2$ ક્ષેત્રફળ ધરાવતી રીંગમાંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = B \cdot A = (B_0 + \alpha t) \cdot \pi r^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ કિંમતને $emf$ ના સૂત્રમાં મૂકતા:
$\varepsilon = -\frac{d}{dt} [\pi r^2 (B_0 + \alpha t)]$
અહીં $\pi$ અને $r$ અચળ હોવાથી:
$\varepsilon = -\pi r^2 \frac{d}{dt} (B_0 + \alpha t)$
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d}{dt} (B_0 + \alpha t) = 0 + \alpha = \alpha$
તેથી,પ્રેરિત $emf$:
$\varepsilon = -\pi r^2 \alpha$

(B) બે ગૂંચળાઓ વચ્ચેનું અન્યોન્ય પ્રેરકત્વ $M$ એ એક ગૂંચળા સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સમાં થતા ફેરફાર $\Delta \phi$ અને બીજા ગૂંચળામાં થતા પ્રવાહના ફેરફાર $\Delta I$ વચ્ચેના સંબંધ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$M = \frac{\Delta \phi}{\Delta I}$
આપેલ કિંમતો:
ગૂંચળા $X$ માં પ્રવાહમાં ફેરફાર,$\Delta I = 4 \ A$
ગૂંચળા $Y$ માં ચુંબકીય ફ્લક્સમાં ફેરફાર,$\Delta \phi = 0.4 \ Wb$
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$M = \frac{0.4 \ Wb}{4 \ A}$
$M = 0.1 \ H$
તેથી,આ સિસ્ટમનું અન્યોન્ય પ્રેરકત્વ $0.1 \ H$ છે.

(A) લેન્ઝના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત પ્રવાહની દિશા એવી હોય છે કે તે તેને ઉત્પન્ન કરનારા કારણનો વિરોધ કરે છે.
જેમ જેમ ચુંબકનો ઉત્તર ધ્રુવ $(N)$ ધાતુની રીંગ તરફ ગતિ કરે છે,તેમ રીંગ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સમાં વધારો થાય છે.
આ ચુંબકીય ફ્લક્સમાં થતા વધારાનો વિરોધ કરવા માટે,રીંગની ઉપરની સપાટીએ ઉત્તર ધ્રુવ $(N)$ તરીકે વર્તવું જોઈએ જેથી તે નજીક આવતા ચુંબકને અપાકર્ષે.
જ્યારે પ્રવાહ વહન કરતા લૂપની કોઈ સપાટી પરથી જોતા પ્રવાહ ઘડિયાળના કાંટાની વિરુદ્ધ દિશામાં વહેતો હોય,ત્યારે તે સપાટી ઉત્તર ધ્રુવ તરીકે વર્તે છે.
તેથી,ઉપરથી જોતા,રીંગમાં પ્રેરિત પ્રવાહ ઘડિયાળના કાંટાની વિરુદ્ધ દિશામાં (Anticlockwise) હશે.

(B) બે બિંદુઓ વચ્ચે $q$ વિદ્યુતભારને લઈ જવા માટે કરવું પડતું કાર્ય $W$,સ્થિતિમાનના તફાવત $\Delta V$ સાથે નીચે મુજબ સંબંધિત છે: $W = q \Delta V$.
અહીં,$W = 20 \ J$,$q = 4 \ C$,પ્રારંભિક સ્થિતિમાન $V_i = 10 \ V$ અને અંતિમ સ્થિતિમાન $V_f = V$ છે.
સ્થિતિમાનનો તફાવત $\Delta V = V_f - V_i = V - 10$ થાય.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$20 = 4(V - 10)$
બંને બાજુ $4$ વડે ભાગતા:
$5 = V - 10$
બંને બાજુ $10$ ઉમેરતા:
$V = 15 \ V$.

(A) ધારો કે દરેક નાના ટીપાની ત્રિજ્યા $r$ છે અને મોટા ટીપાની ત્રિજ્યા $R$ છે.
કદ અચળ રહેતું હોવાથી,$64$ નાના ટીપાંનું કદ મોટા ટીપાના કદ જેટલું થાય:
$64 \times (\frac{4}{3} \pi r^3) = \frac{4}{3} \pi R^3$
$R^3 = 64 r^3$
$R = 4r$
ગોળાકાર ટીપાની કેપેસિટન્સ $C = 4 \pi \epsilon_0 r$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,નાના ટીપાની કેપેસિટન્સ $C_{\text{small}} = 4 \pi \epsilon_0 r$ અને મોટા ટીપાની કેપેસિટન્સ $C_{\text{big}} = 4 \pi \epsilon_0 R$ છે.
મોટા ટીપાની કેપેસિટન્સ અને નાના ટીપાની કેપેસિટન્સનો ગુણોત્તર:
$\frac{C_{\text{big}}}{C_{\text{small}}} = \frac{4 \pi \epsilon_0 R}{4 \pi \epsilon_0 r} = \frac{R}{r} = \frac{4r}{r} = 4$.
આમ,ગુણોત્તર $4: 1$ છે.

(D) આપેલ પરિપથને સંતુલિત વ્હીટસ્ટોન બ્રિજ તરીકે ફરીથી દોરી શકાય છે.
સંતુલિત વ્હીટસ્ટોન બ્રિજમાં,મધ્યના કેપેસીટર પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત શૂન્ય હોય છે,તેથી તેને પરિપથમાંથી દૂર કરી શકાય છે.
મધ્યના કેપેસીટરને દૂર કર્યા પછી,ઉપરના બે કેપેસીટર ($4 \mu F$ અને $4 \mu F$) શ્રેણીમાં છે,અને નીચેના બે કેપેસીટર ($4 \mu F$ અને $4 \mu F$) શ્રેણીમાં છે.
ઉપરની શાખાનું સમતુલ્ય કેપેસીટન્સ $C_1 = \frac{4 \times 4}{4 + 4} = 2 \mu F$ છે.
નીચેની શાખાનું સમતુલ્ય કેપેસીટન્સ $C_2 = \frac{4 \times 4}{4 + 4} = 2 \mu F$ છે.
આ બંને શાખાઓ સમાંતર જોડાણમાં છે,તેથી કુલ સમતુલ્ય કેપેસીટન્સ $C_{eq} = C_1 + C_2 = 2 \mu F + 2 \mu F = 4 \mu F$ થાય છે.

(D) બાજુવાળા સમઘનના મુખ્ય વિકર્ણની લંબાઈ $\sqrt{3} a$ છે. સમઘનના કેન્દ્ર $O$ થી દરેક શિરોબિંદુનું અંતર $r$ એ મુખ્ય વિકર્ણનું અડધું છે: $r = \frac{\sqrt{3} a}{2}$.
સમઘનના શિરોબિંદુઓ પર $8$ સમાન વિદ્યુતભારો $q$ હોવાથી,કેન્દ્ર $O$ પરનું કુલ વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V$ એ દરેક વિદ્યુતભારને કારણે ઉદ્ભવતા સ્થિતિમાનનો સરવાળો છે:
$V = 8 \times \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \times \frac{q}{r}$
$r$ ની કિંમત મૂકતા:
$V = 8 \times \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \times \frac{q}{\frac{\sqrt{3} a}{2}}$
$V = 8 \times \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \times \frac{2q}{\sqrt{3} a}$
$V = \frac{4 q}{\sqrt{3} \pi \varepsilon_0 a}$

(B) મહત્તમ મેગ્નેટાઈઝેશન $(M_{\max})$ ત્યારે મળે છે જ્યારે બધા આણ્વિય ડાયપોલ બાહ્ય ચુંબકીય ક્ષેત્રની દિશામાં ગોઠવાયેલા હોય.
તેની ગણતરી ડાયપોલની કુલ સંખ્યા $(n)$ અને દરેક અણુના ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ $(m)$ ના ગુણાકાર દ્વારા કરવામાં આવે છે.
આપેલ છે:
$n = 2.0 \times 10^{24}$
$m = 1.5 \times 10^{-23} \text{ A m}^2$
સૂત્ર:
$M_{\max} = n \times m$
ગણતરી:
$M_{\max} = (2.0 \times 10^{24}) \times (1.5 \times 10^{-23})$
$M_{\max} = 3.0 \times 10^{1} = 30 \text{ A m}^2$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(D) પૃથ્વીની સપાટી પરના કોઈપણ બિંદુએ જીઓગ્રાફિક મેરિડિયન અને મેગ્નેટિક મેરિડિયન વચ્ચેના ખૂણાને મેગ્નેટિક ડેક્લિનેશન અથવા ફક્ત ડેક્લિનેશન તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.
તે સાચા ભૌગોલિક ઉત્તરથી ચુંબકીય હોકાયંત્રની સોયના વિચલનને દર્શાવે છે.

(B) ગેલ્વેનોમીટરમાં આવર્તન $\theta$ તેમાંથી વહેતા પ્રવાહ $I$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે,તેથી $\theta \propto I$.
શરૂઆતમાં,પ્રવાહ $I$ છે અને આવર્તન $\theta_1 = 50$ વિભાગ છે.
જ્યારે શંટ અવરોધ $S$ સમાંતરમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે પ્રવાહ $I$ એવી રીતે વહેંચાય છે કે ગેલ્વેનોમીટરનો પ્રવાહ $I_g$ નવા આવર્તન $\theta_2 = 10$ વિભાગને અનુરૂપ હોય છે.
આવર્તનનો ગુણોત્તર $n = \frac{\theta_1}{\theta_2} = \frac{50}{10} = 5$ છે.
શંટ અવરોધ $S$,ગેલ્વેનોમીટર અવરોધ $G$ અને ગુણોત્તર $n$ વચ્ચેનો સંબંધ દર્શાવતું સૂત્ર $S = \frac{G}{n-1}$ છે.
$G$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા,$G = S(n-1)$ મળે છે.
આપેલ કિંમતો $S = 12 \Omega$ અને $n = 5$ મૂકતા:
$G = 12 \times (5 - 1) = 12 \times 4 = 48 \Omega$.
આમ,ગેલ્વેનોમીટર કોઈલનો અવરોધ $48 \Omega$ છે.

(C) $X$ શોધવા માટે,આપણે દળ સંખ્યા અને પરમાણુ ક્રમાંકના સંરક્ષણના નિયમનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
દળ સંખ્યા માટે (ઉપરના આંકડા): $9 + 4 = 12 + A \implies 13 = 12 + A \implies A = 1$.
પરમાણુ ક્રમાંક માટે (નીચેના આંકડા): $4 + 2 = 6 + Z \implies 6 = 6 + Z \implies Z = 0$.
$1$ દળ સંખ્યા અને $0$ પરમાણુ ક્રમાંક ધરાવતો કણ એ ન્યુટ્રોન છે,જેને ${ }_{0}^{1} n$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
તેથી,$X$ એ ન્યુટ્રોન $(n)$ દર્શાવે છે.