GSEB 2013 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(C) વક્ર $y = x^2 - x - 6$ અને $X$-અક્ષ દ્વારા આવૃત ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે,આપણે પહેલા $y = 0$ લઈને વક્ર $X$-અક્ષને ક્યાં છેદે છે તે શોધીએ.
$x^2 - x - 6 = 0$
$(x - 3)(x + 2) = 0$
તેથી,છેદબિંદુઓ $x = -2$ અને $x = 3$ છે.
ક્ષેત્રફળ $A$ એ $x = -2$ થી $x = 3$ સુધીના વિધેયના નિરપેક્ષ મૂલ્યનું સંકલન છે:
$A = \int_{-2}^{3} |x^2 - x - 6| \, dx$
પરવલય ઉપરની તરફ ખુલે છે અને તેના શૂન્યોની વચ્ચે $X$-અક્ષની નીચે રહેલું હોવાથી,આ અંતરાલમાં $y$ ની કિંમત ઋણ છે.
$A = - \int_{-2}^{3} (x^2 - x - 6) \, dx$
$A = - [\frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} - 6x]_{-2}^{3}$
નિશ્ચિત સંકલનનું મૂલ્ય શોધતા:
$x = 3$ માટે: $(\frac{27}{3} - \frac{9}{2} - 18) = 9 - 4.5 - 18 = -13.5$
$x = -2$ માટે: $(\frac{-8}{3} - \frac{4}{2} + 12) = -2.666 - 2 + 12 = 7.333$
$A = - (-13.5 - 7.333) = - (-20.833) = 20.833$
અપૂર્ણાંકમાં ફેરવતા: $20.833 = \frac{125}{6}$ ચોરસ એકમ.

(D) વક્ર $y = \cos x$,$X$-અક્ષ અને રેખાઓ $x = -\frac{\pi}{2}$ તથા $x = \frac{\pi}{2}$ દ્વારા આવૃત પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ $A$ નીચે મુજબના સંકલન દ્વારા મળે છે:
$A = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} |\cos x| \, dx$
અહીં $x \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ માટે $\cos x \geq 0$ હોવાથી:
$A = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos x \, dx$
$A = [\sin x]_{-\pi/2}^{\pi/2}$
$A = \sin(\frac{\pi}{2}) - \sin(-\frac{\pi}{2})$
$A = 1 - (-1) = 1 + 1 = 2$
આમ,ક્ષેત્રફળ $2$ ચોરસ એકમ છે.

(C) ક્ષેત્રફળ $A$ એ $x=5$ થી $x=6$ સુધીના વિધેય $y = |x-5|$ ના નિશ્ચિત સંકલન દ્વારા મળે છે.
અંતરાલ $[5, 6]$ માં $x \ge 5$ હોવાથી,$|x-5| = x-5$ થાય.
તેથી,$A = \int_{5}^{6} (x-5) \, dx$.
ધારો કે $u = x-5$,તો $du = dx$. જ્યારે $x=5$ ત્યારે $u=0$ અને જ્યારે $x=6$ ત્યારે $u=1$.
$A = \int_{0}^{1} u \, du = \left[ \frac{u^2}{2} \right]_{0}^{1} = \frac{1}{2} - 0 = 0.5$ ચોરસ એકમ.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) આ પ્રદેશ $y=x^2$ અને $y=4$ દ્વારા આવૃત છે.
પ્રથમ,$x^2 = 4$ લઈને છેદબિંદુઓ શોધો,જે $x = \pm 2$ આપે છે.
ક્ષેત્રફળ $A$ એ $x = -2$ થી $x = 2$ સુધી ઉપરના વક્રમાંથી નીચેના વક્રને બાદ કરીને સંકલન કરવાથી મળે છે:
$A = \int_{-2}^{2} (4 - x^2) dx$
વિધેય $y$-અક્ષની સાપેક્ષમાં સંમિત હોવાથી,$A = 2 \int_{0}^{2} (4 - x^2) dx$.
$A = 2 [4x - \frac{x^3}{3}]_{0}^{2}$
$A = 2 [(4(2) - \frac{2^3}{3}) - (0)]$
$A = 2 [8 - \frac{8}{3}] = 2 [\frac{24-8}{3}] = 2 [\frac{16}{3}] = \frac{32}{3}$ ચોરસ એકમ.

(C) વક્ર $x+2y=8$ ના સમીકરણને $x$ ના સ્વરૂપમાં $y$ તરીકે દર્શાવતા:
$2y = 8 - x$
$y = \frac{8-x}{2} = 4 - \frac{x}{2}$
વક્ર,$X$-અક્ષ અને રેખાઓ $x=1$ તથા $x=5$ દ્વારા ઘેરાયેલા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે,આપણે નિશ્ચિત સંકલનનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
$\text{Area} = \int_{1}^{5} y \, dx$
$\text{Area} = \int_{1}^{5} (4 - \frac{x}{2}) \, dx$
પદવાર સંકલન કરતા:
$\text{Area} = [4x - \frac{x^2}{4}]_{1}^{5}$
સીમાઓ પર કિંમત મૂકતા:
$\text{Area} = (4(5) - \frac{5^2}{4}) - (4(1) - \frac{1^2}{4})$
$\text{Area} = (20 - \frac{25}{4}) - (4 - \frac{1}{4})$
$\text{Area} = 20 - 6.25 - 4 + 0.25$
$\text{Area} = 16 - 6 = 10$
આમ,ક્ષેત્રફળ $10$ ચોરસ એકમ છે.
સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) આપેલ વક્ર $y = |x - 5|$ છે.
અંતરાલ $x \in [0, 2]$ હોવાથી,$x - 5 < 0$ થાય,તેથી $|x - 5| = -(x - 5) = 5 - x$ મળે.
ક્ષેત્રફળ $A$ સંકલન દ્વારા નીચે મુજબ મળે:
$A = \int_{0}^{2} (5 - x) \, dx$
$A = [5x - \frac{x^2}{2}]_{0}^{2}$
$A = (5(2) - \frac{2^2}{2}) - (0 - 0)$
$A = 10 - 2 = 8$ ચોરસ એકમ.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણ $y = 2 \sqrt{1 - x^2}$ છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $y^2 = 4(1 - x^2)$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $x^2 + \frac{y^2}{4} = 1$.
આ એક ઉપવલયનું સમીકરણ છે જેમાં અર્ધ-મુખ્ય અક્ષ $a = 2$ ($Y$-અક્ષ પર) અને અર્ધ-ગૌણ અક્ષ $b = 1$ ($X$-અક્ષ પર) છે.
વક્ર $y = 2 \sqrt{1 - x^2}$ હોવાથી,તે ઉપવલયનો ઉપરનો અડધો ભાગ દર્શાવે છે.
વક્ર અને $X$-અક્ષ દ્વારા આવૃત ક્ષેત્રફળ એ ઉપવલયના ઉપરના અર્ધ ભાગનું ક્ષેત્રફળ છે.
આખા ઉપવલયનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi ab = \pi \times 1 \times 2 = 2 \pi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,ઉપરના અર્ધ-ઉપવલયનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \times 2 \pi = \pi$ ચોરસ એકમ થાય.

(C) વક્ર $y = 2x - x^2$ અને $X$-અક્ષ દ્વારા ઘેરાયેલા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે,આપણે સૌ પ્રથમ $y = 0$ લઈને $X$-અક્ષ સાથેના છેદબિંદુઓ શોધીએ.
$2x - x^2 = 0$
$x(2 - x) = 0$
તેથી,$x = 0$ અને $x = 2$.
ક્ષેત્રફળ $A$ એ $x = 0$ થી $x = 2$ સુધીના વક્રના સંકલન દ્વારા મળે છે:
$A = \int_{0}^{2} (2x - x^2) \, dx$
$A = [x^2 - \frac{x^3}{3}]_{0}^{2}$
$A = (2^2 - \frac{2^3}{3}) - (0^2 - \frac{0^3}{3})$
$A = 4 - \frac{8}{3}$
$A = \frac{12 - 8}{3} = \frac{4}{3}$ ચોરસ એકમ.