GSEB 2013 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(C) वक्र $y = x^2 - x - 6$ और $X$-अक्ष द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,हम पहले $y = 0$ रखकर यह ज्ञात करते हैं कि वक्र $X$-अक्ष को कहाँ काटता है।
$x^2 - x - 6 = 0$
$(x - 3)(x + 2) = 0$
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $x = -2$ और $x = 3$ हैं।
क्षेत्रफल $A$,$x = -2$ से $x = 3$ तक फलन के निरपेक्ष मान का समाकलन है:
$A = \int_{-2}^{3} |x^2 - x - 6| \, dx$
चूंकि परवलय ऊपर की ओर खुलता है और अपने मूलों के बीच $X$-अक्ष के नीचे स्थित है,इसलिए इस अंतराल में $y$ का मान ऋणात्मक है।
$A = - \int_{-2}^{3} (x^2 - x - 6) \, dx$
$A = - [\frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} - 6x]_{-2}^{3}$
निश्चित समाकलन का मान ज्ञात करने पर:
$x = 3$ पर: $(\frac{27}{3} - \frac{9}{2} - 18) = 9 - 4.5 - 18 = -13.5$
$x = -2$ पर: $(\frac{-8}{3} - \frac{4}{2} + 12) = -2.666 - 2 + 12 = 7.333$
$A = - (-13.5 - 7.333) = - (-20.833) = 20.833$
भिन्न में बदलने पर: $20.833 = \frac{125}{6}$ वर्ग इकाई।

(D) वक्र $y = \cos x$,$X$-अक्ष और रेखाओं $x = -\frac{\pi}{2}$ तथा $x = \frac{\pi}{2}$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल $A$ निम्नलिखित समाकलन द्वारा प्राप्त होता है:
$A = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} |\cos x| \, dx$
चूंकि $x \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ के लिए $\cos x \geq 0$ है,इसलिए:
$A = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos x \, dx$
$A = [\sin x]_{-\pi/2}^{\pi/2}$
$A = \sin(\frac{\pi}{2}) - \sin(-\frac{\pi}{2})$
$A = 1 - (-1) = 1 + 1 = 2$
अतः,क्षेत्रफल $2$ वर्ग इकाई है.

(C) क्षेत्रफल $A$ फलन $y = |x-5|$ का $x=5$ से $x=6$ तक निश्चित समाकलन द्वारा प्राप्त होता है।
चूँकि अंतराल $[5, 6]$ में $x \ge 5$ है,इसलिए $|x-5| = x-5$ होगा।
अतः,$A = \int_{5}^{6} (x-5) \, dx$.
माना $u = x-5$,तो $du = dx$ होगा। जब $x=5$ तब $u=0$ और जब $x=6$ तब $u=1$ होगा।
$A = \int_{0}^{1} u \, du = \left[ \frac{u^2}{2} \right]_{0}^{1} = \frac{1}{2} - 0 = 0.5$ वर्ग इकाई।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(D) यह क्षेत्र $y=x^2$ और $y=4$ द्वारा परिबद्ध है।
सबसे पहले,$x^2 = 4$ रखकर प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें,जिससे $x = \pm 2$ प्राप्त होता है।
क्षेत्रफल $A$,$x = -2$ से $x = 2$ तक ऊपरी वक्र में से निचले वक्र को घटाकर समाकलन करने से प्राप्त होता है:
$A = \int_{-2}^{2} (4 - x^2) dx$
चूंकि फलन $y$-अक्ष के सापेक्ष सममित है,इसलिए $A = 2 \int_{0}^{2} (4 - x^2) dx$।
$A = 2 [4x - \frac{x^3}{3}]_{0}^{2}$
$A = 2 [(4(2) - \frac{2^3}{3}) - (0)]$
$A = 2 [8 - \frac{8}{3}] = 2 [\frac{24-8}{3}] = 2 [\frac{16}{3}] = \frac{32}{3}$ वर्ग इकाई।

(C) वक्र $x+2y=8$ के समीकरण को $x$ के पदों में $y$ के रूप में व्यक्त करने पर:
$2y = 8 - x$
$y = \frac{8-x}{2} = 4 - \frac{x}{2}$
वक्र,$X$-अक्ष और रेखाओं $x=1$ तथा $x=5$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,हम निश्चित समाकलन का उपयोग करते हैं:
$\text{Area} = \int_{1}^{5} y \, dx$
$\text{Area} = \int_{1}^{5} (4 - \frac{x}{2}) \, dx$
पद-दर-पद समाकलन करने पर:
$\text{Area} = [4x - \frac{x^2}{4}]_{1}^{5}$
सीमाओं पर मान रखने पर:
$\text{Area} = (4(5) - \frac{5^2}{4}) - (4(1) - \frac{1^2}{4})$
$\text{Area} = (20 - \frac{25}{4}) - (4 - \frac{1}{4})$
$\text{Area} = 20 - 6.25 - 4 + 0.25$
$\text{Area} = 16 - 6 = 10$
अतः,क्षेत्रफल $10$ वर्ग इकाई है।
सही विकल्प $C$ है।

(D) दिया गया वक्र $y = |x - 5|$ है।
चूँकि अंतराल $x \in [0, 2]$ है,इसलिए $x - 5 < 0$ होगा,अतः $|x - 5| = -(x - 5) = 5 - x$ होगा।
क्षेत्रफल $A$ को समाकलन द्वारा इस प्रकार ज्ञात किया जा सकता है:
$A = \int_{0}^{2} (5 - x) \, dx$
$A = [5x - \frac{x^2}{2}]_{0}^{2}$
$A = (5(2) - \frac{2^2}{2}) - (0 - 0)$
$A = 10 - 2 = 8$ वर्ग इकाई।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(D) दिया गया समीकरण $y = 2 \sqrt{1 - x^2}$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $y^2 = 4(1 - x^2)$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x^2 + \frac{y^2}{4} = 1$।
यह एक दीर्घवृत्त का समीकरण है जिसमें अर्ध-दीर्घ अक्ष $a = 2$ ($Y$-अक्ष पर) और अर्ध-लघु अक्ष $b = 1$ ($X$-अक्ष पर) है।
चूंकि वक्र $y = 2 \sqrt{1 - x^2}$ है,यह दीर्घवृत्त का ऊपरी आधा भाग दर्शाता है।
वक्र और $X$-अक्ष द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल ऊपरी अर्ध-दीर्घवृत्त का क्षेत्रफल है।
पूर्ण दीर्घवृत्त का क्षेत्रफल $A = \pi ab = \pi \times 1 \times 2 = 2 \pi$ द्वारा दिया जाता है।
इसलिए,ऊपरी अर्ध-दीर्घवृत्त का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times 2 \pi = \pi$ वर्ग इकाई है।

(C) वक्र $y = 2x - x^2$ और $X$-अक्ष द्वारा घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,हम सबसे पहले $y = 0$ रखकर $X$-अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करते हैं।
$2x - x^2 = 0$
$x(2 - x) = 0$
अतः,$x = 0$ और $x = 2$ है।
क्षेत्रफल $A$,$x = 0$ से $x = 2$ तक वक्र के समाकलन द्वारा प्राप्त होता है:
$A = \int_{0}^{2} (2x - x^2) \, dx$
$A = [x^2 - \frac{x^3}{3}]_{0}^{2}$
$A = (2^2 - \frac{2^3}{3}) - (0^2 - \frac{0^3}{3})$
$A = 4 - \frac{8}{3}$
$A = \frac{12 - 8}{3} = \frac{4}{3}$ वर्ग इकाई।