Ratio and Proportion Questions in Hindi

(D) माना रामू और सोमू की वर्तमान आयु क्रमशः $R$ और $S$ है।
एक वर्ष पहले,उनकी आयु का अनुपात $(R-1) : (S-1) = 6 : 7$ था।
इसका अर्थ है $7(R-1) = 6(S-1)$,यानी $7R - 7 = 6S - 6$,जो सरल होकर $7R - 6S = 1$ (समीकरण $i$) बनता है।
चार वर्ष बाद,उनकी आयु का अनुपात $(R+4) : (S+4) = 7 : 8$ होगा।
इसका अर्थ है $8(R+4) = 7(S+4)$,यानी $8R + 32 = 7S + 28$,जो सरल होकर $8R - 7S = -4$ (समीकरण $ii$) बनता है।
समीकरणों को हल करने के लिए:
समीकरण $(i)$ को $8$ से गुणा करने पर: $56R - 48S = 8$ (समीकरण $iii$)।
समीकरण $(ii)$ को $7$ से गुणा करने पर: $56R - 49S = -28$ (समीकरण $iv$)।
समीकरण $(iii)$ में से समीकरण $(iv)$ को घटाने पर:
$(56R - 48S) - (56R - 49S) = 8 - (-28)$
$S = 36$.
अतः,सोमू की वर्तमान आयु $36$ वर्ष है।

(B) दिया गया है कि $A$ का $33 \% = B$ का $55 \%。$
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: $\frac{33}{100} \times A = \frac{55}{100} \times B$.
दोनों पक्षों को $100$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है: $33A = 55B$.
$A:B$ का अनुपात ज्ञात करने के लिए,समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\frac{A}{B} = \frac{55}{33}$.
अंश और हर दोनों को $11$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $\frac{A}{B} = \frac{5}{3}$.
अतः,$A$ और $B$ का अनुपात $5:3$ है।

(A) $550$ के दो-पांचवें $(2/5)$ भाग का $68 \%$ मान ज्ञात करने के लिए निम्नलिखित चरणों का पालन करें:
$1$. सबसे पहले,$550$ का दो-पांचवां भाग निकालें: $\frac{2}{5} \times 550 = 2 \times 110 = 220$.
$2$. इसके बाद,परिणाम $(220)$ का $68 \%$ ज्ञात करें:
$220$ का $68 \% = \frac{68}{100} \times 220$.
$3$. व्यंजक को सरल करने पर: $\frac{68 \times 22}{10} = \frac{1496}{10} = 149.6$.

(D) माना कि संख्या $n$ है।
प्रश्न के अनुसार,$n$ के $45 \%$ में से $24$ घटाने पर $48$ प्राप्त होता है।
$\frac{45}{100} n - 24 = 48$
$\frac{9}{20} n = 48 + 24$
$\frac{9}{20} n = 72$
$n = 72 \times \frac{20}{9}$
$n = 8 \times 20 = 160$
अब,हमें उस संख्या $n$ का $\frac{3}{8}$ भाग ज्ञात करना है।
$\frac{3}{8} \times 160 = 3 \times 20 = 60$.

(A) माना कि वह संख्या $x$ है।
प्रश्न के अनुसार,$x$ का $30 \% = 190.8$ है।
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: $\frac{30}{100} \times x = 190.8$।
$x$ का मान ज्ञात करने पर: $x = \frac{190.8 \times 100}{30} = \frac{19080}{30} = 636$।
अब,हमें इस संख्या $x$ का $175 \%$ ज्ञात करना है।
$636$ का $175 \% = \frac{175}{100} \times 636$।
$= 1.75 \times 636 = 1113$।
वैकल्पिक रूप से,संख्या का $175 \% = \frac{190.8}{30} \times 175 = 6.36 \times 175 = 1113$।

(C) सबसे पहले,$1000$ का $(\frac{3}{8})$ वां भाग ज्ञात करें:
$\frac{3}{8} \times 1000 = 375$.
अब,$375$ का $32 \%$ ज्ञात करें:
$32 \% \text{ of } 375 = \frac{32}{100} \times 375$.
$= 0.32 \times 375 = 120$.

(C) माना कि तीसरी संख्या $x$ है।
पहली संख्या $x$ से $20 \%$ अधिक है,जो $x + 0.20x = 1.2x$ है।
दूसरी संख्या $x$ से $50 \%$ अधिक है,जो $x + 0.50x = 1.5x$ है।
दोनों संख्याओं का अनुपात $\frac{1.2x}{1.5x} = \frac{1.2}{1.5} = \frac{12}{15} = \frac{4}{5}$ है।
अतः,अनुपात $4:5$ है।

(C) $A, B, C, D$ के बीच वितरण का अनुपात $5: 2: 4: 3$ है।
माना $A, B, C, D$ के हिस्से क्रमशः $5x, 2x, 4x, 3x$ हैं।
प्रश्न के अनुसार,$C$ को $D$ से $Rs. 1000$ अधिक मिलते हैं।
अतः,$4x - 3x = 1000$.
$x = 1000$.
$B$ का हिस्सा $2x$ है।
इसलिए,$B$ का हिस्सा $= 2 \times 1000 = Rs. 2000$.

(B) दिया गया अनुपात $0.75 : x :: 5 : 8$ है।
इसे समीकरण के रूप में इस प्रकार लिखा जा सकता है: $\frac{0.75}{x} = \frac{5}{8}.$
तिर्यक गुणा (cross-multiplication) करने पर,हमें प्राप्त होता है: $5x = 0.75 \times 8.$
गुणनफल की गणना करने पर: $5x = 6.00.$
दोनों पक्षों को $5$ से विभाजित करने पर: $x = \frac{6}{5} = 1.2.$
अतः,$x$ का मान $1.2$ है।

(B) माना तीन संख्याएँ $I, II$ और $III$ हैं।
दिया गया है कि $I + II + III = 98$ है।
अनुपात $I : II = 2 : 3$ और $II : III = 5 : 8$ हैं।
इन अनुपातों को संयोजित करने के लिए,हम $II$ के मान को दोनों में समान बनाते हैं।
पहले अनुपात को $5$ से और दूसरे अनुपात को $3$ से गुणा करने पर:
$I : II = (2 \times 5) : (3 \times 5) = 10 : 15$
$II : III = (5 \times 3) : (8 \times 3) = 15 : 24$
अतः,संयुक्त अनुपात $I : II : III = 10 : 15 : 24$ है।
माना संख्याएँ $10x, 15x$ और $24x$ हैं।
योग $= 10x + 15x + 24x = 49x$ है।
दिया गया है कि $49x = 98$,इसलिए $x = 98 / 49 = 2$ है।
दूसरी संख्या $15x = 15 \times 2 = 30$ है।

(D) दिया गया अनुपात $\frac{1}{2}: \frac{2}{3}: \frac{3}{4}$ है।
अनुपात को सरल बनाने के लिए,हर $2, 3,$ और $4$ का लघुत्तम समापवर्त्य ($L$.$C$.$M$.) ज्ञात करें,जो $12$ है।
अनुपात के प्रत्येक पद को $12$ से गुणा करने पर:
$\frac{1}{2} \times 12 : \frac{2}{3} \times 12 : \frac{3}{4} \times 12 = 6 : 8 : 9$.
अनुपात के भागों का योग $6 + 8 + 9 = 23$ है।
कुल राशि रु. $872$ दी गई है,इसलिए $23 \text{ units} = 872$.
अतः,$1 \text{ unit} = \frac{872}{23} \approx 37.913$.
पहला भाग $6 \text{ units} = 6 \times \frac{872}{23} = \frac{5232}{23} \approx 227.48$ है।
दिए गए विकल्पों के अनुसार,पहला भाग $227.46$ है।

(B) तीन संख्याओं $a, b, c$ का चतुर्थ समानुपाती ज्ञात करने के लिए,हम संबंध $a : b :: c : x$ का उपयोग करते हैं,जहाँ $x$ चतुर्थ समानुपाती है।
इसे समीकरण $\frac{a}{b} = \frac{c}{x}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
दी गई संख्याएँ $5, 8, 15$ हैं,इसलिए हम अनुपात को $5 : 8 :: 15 : x$ के रूप में व्यवस्थित करते हैं।
इसका अर्थ है $\frac{5}{8} = \frac{15}{x}$।
तिर्यक गुणा (cross-multiplication) करने पर,हमें $5x = 8 \times 15$ प्राप्त होता है।
$5x = 120$.
$x = \frac{120}{5} = 24$.
अतः,चतुर्थ समानुपाती $24$ है।

(B) माना कि दो संख्याएँ $3x$ और $5x$ हैं।
प्रश्न के अनुसार,यदि प्रत्येक में से $9$ घटाया जाता है,तो अनुपात $12: 23$ हो जाता है।
अतः,$\frac{3x - 9}{5x - 9} = \frac{12}{23}$.
तिर्यक गुणा (cross-multiplication) करने पर: $23(3x - 9) = 12(5x - 9)$.
$69x - 207 = 60x - 108$.
$69x - 60x = 207 - 108$.
$9x = 99$.
$x = 11$.
अतः,दो संख्याएँ $3x = 3 \times 11 = 33$ और $5x = 5 \times 11 = 55$ हैं।
छोटी संख्या $33$ है।

(D) मान लीजिए कि पहली संख्या $a$ है और दूसरी संख्या $b$ है।
प्रश्न के अनुसार,पहली संख्या को $40 \%$ कम करने पर वह दूसरी संख्या की $\frac{2}{3}$ हो जाती है।
$a - 0.40a = \frac{2}{3}b$
$0.60a = \frac{2}{3}b$
$\frac{60}{100}a = \frac{2}{3}b$
$\frac{3}{5}a = \frac{2}{3}b$
दूसरी संख्या $(b)$ का पहली संख्या $(a)$ से अनुपात ज्ञात करने के लिए,हम समीकरण को व्यवस्थित करते हैं:
$\frac{b}{a} = \frac{3}{5} \times \frac{3}{2} = \frac{9}{10}$
अतः,दूसरी संख्या का पहली संख्या से अनुपात $9:10$ है।

(D) दिया गया समीकरण: $\frac{5a+3b}{2a-3b} = \frac{23}{5}$
बाएँ पक्ष के अंश और हर को $b$ से विभाजित करने पर:
$\frac{5(a/b) + 3}{2(a/b) - 3} = \frac{23}{5}$
माना $\frac{a}{b} = x$. समीकरण में मान रखने पर:
$\frac{5x + 3}{2x - 3} = \frac{23}{5}$
वज्र-गुणन (cross-multiply) करने पर:
$5(5x + 3) = 23(2x - 3)$
$25x + 15 = 46x - 69$
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$69 + 15 = 46x - 25x$
$84 = 21x$
$x = \frac{84}{21} = 4$
अतः,$\frac{a}{b} = 4$,जिसका अर्थ है कि $a:b$ का अनुपात $4:1$ है।

(C) दिए गए अनुपात $P: Q = 8: 15$ और $Q: R = 3: 2$ हैं।
$P: Q: R$ ज्ञात करने के लिए,हमें दोनों अनुपातों में $Q$ का मान समान बनाना होगा।
पहले अनुपात में $Q$ का मान $15$ है और दूसरे अनुपात में $3$ है।
उन्हें समान बनाने के लिए,दूसरे अनुपात $Q: R = 3: 2$ को $5$ से गुणा करें:
$Q: R = (3 \times 5) : (2 \times 5) = 15: 10$।
अब,हमारे पास $P: Q = 8: 15$ और $Q: R = 15: 10$ है।
इन्हें संयोजित करने पर,हमें $P: Q: R = 8: 15: 10$ प्राप्त होता है।

(A) $P: S$ ज्ञात करने के लिए,हम दिए गए अनुपातों का गुणा कर सकते हैं:
$P: S = (P/Q) \times (Q/R) \times (R/S)$
$P: S = (8/15) \times (5/8) \times (4/5)$
उभयनिष्ठ पदों को काटने पर:
$P: S = (8 \times 5 \times 4) / (15 \times 8 \times 5)$
$P: S = 4 / 15$
अतः,$P: S = 4: 15$ है।

(A) माना कि $4, 16, 7$ का चतुर्थ समानुपाती $x$ है।
समानुपात की परिभाषा के अनुसार,हमारे पास है:
$4 : 16 :: 7 : x$
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$\frac{4}{16} = \frac{7}{x}$
तिर्यक गुणा (cross-multiplication) करने पर:
$4x = 16 \times 7$
दोनों पक्षों को $4$ से विभाजित करने पर:
$x = \frac{16 \times 7}{4}$
$x = 4 \times 7$
$x = 28$
अतः,चतुर्थ समानुपाती $28$ है।

(B) माना कि मध्यानुपाती $r$ है।
परिभाषा के अनुसार,यदि $r$,$a$ और $b$ के बीच का मध्यानुपाती है,तो $a:r :: r:b$,जिसका अर्थ है $\frac{a}{r} = \frac{r}{b}$ या $r^2 = a \times b$।
यहाँ,$a = 9$ और $b = 64$ है।
इसलिए,$r^2 = 9 \times 64$।
$r = \sqrt{9 \times 64} = \sqrt{9} \times \sqrt{64} = 3 \times 8 = 24$।
अतः,मध्यानुपाती $24$ है।

(A) किसी दिए गए अनुपात $a:b$ का वर्गानुपात (duplicate ratio) $a^2:b^2$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
दिए गए अनुपात $2:7$ के लिए,वर्गानुपात की गणना इस प्रकार की जाती है:
$2^2 : 7^2 = 4 : 49$।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(C) किसी दिए गए अनुपात $a:b$ का उप-द्विघाती अनुपात (sub-duplicate ratio) उसके पदों के वर्गमूल के अनुपात के रूप में परिभाषित होता है,जो $\sqrt{a}:\sqrt{b}$ है।
दिए गए अनुपात $81:64$ के लिए,उप-द्विघाती अनुपात की गणना इस प्रकार की जाती है:
$\sqrt{81}:\sqrt{64} = 9:8$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) किसी दिए गए अनुपात $a:b$ का त्रिघात अनुपात $a^3:b^3$ के रूप में परिभाषित होता है।
दिए गए अनुपात $7:5$ के लिए,त्रिघात अनुपात की गणना इस प्रकार की जाती है:
$7^3 : 5^3 = (7 \times 7 \times 7) : (5 \times 5 \times 5) = 343 : 125$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) किसी दिए गए अनुपात $a:b$ का व्युत्क्रम अनुपात $b:a$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
यहाँ दिया गया अनुपात $17:19$ है,जिसमें $a = 17$ और $b = 19$ है।
अतः,इसका व्युत्क्रम अनुपात $19:17$ होगा।

(B) कई अनुपातों का मिश्र अनुपात ज्ञात करने के लिए,सभी पूर्व पदों का गुणनफल और सभी उत्तर पदों का गुणनफल निकाला जाता है।
दिए गए अनुपातों $2:7$,$5:3$ और $4:7$ के लिए:
पूर्व पद $2, 5, 4$ हैं।
उत्तर पद $7, 3, 7$ हैं।
मिश्र अनुपात $= (2 \times 5 \times 4) : (7 \times 3 \times 7)$।
$= 40 : 147$।

(D) दिए गए अनुपात $A: B = 3: 4$ और $B: C = 8: 9$ हैं।
$A: B: C$ ज्ञात करने के लिए,हमें दोनों अनुपातों में $B$ का मान समान बनाना होगा।
पहले अनुपात में $B = 4$ है और दूसरे अनुपात में $B = 8$ है।
$B$ को समान बनाने के लिए,पहले अनुपात को $2$ से गुणा करें:
$A: B = (3 \times 2) : (4 \times 2) = 6: 8$.
अब,हमारे पास $A: B = 6: 8$ और $B: C = 8: 9$ है।
चूंकि अब दोनों में $B$ का मान $8$ है,इसलिए हम उन्हें जोड़ सकते हैं:
$A: B: C = 6: 8: 9$.

(D) दिए गए अनुपात $a: b = 3: 5$ और $b: c = 4: 7$ हैं।
$a: c$ ज्ञात करने के लिए,हम दोनों अनुपातों का गुणा कर सकते हैं:
$\frac{a}{c} = \frac{a}{b} \times \frac{b}{c}$
$\frac{a}{c} = \frac{3}{5} \times \frac{4}{7}$
$\frac{a}{c} = \frac{12}{35}$
अतः,$a: c = 12: 35$ होगा।

(A) दिया गया अनुपात $P: Q: R = 2: 3: 4$ है।
मान लीजिए $P = 2k, Q = 3k, R = 4k$ जहाँ $k \neq 0$ एक स्थिरांक है।
अब,व्यक्तिगत अनुपातों की गणना करें:
$\frac{P}{Q} = \frac{2k}{3k} = \frac{2}{3}$
$\frac{Q}{R} = \frac{3k}{4k} = \frac{3}{4}$
$\frac{R}{P} = \frac{4k}{2k} = \frac{4}{2} = 2$
अब,$\frac{P}{Q}: \frac{Q}{R}: \frac{R}{P} = \frac{2}{3}: \frac{3}{4}: 2$ अनुपात ज्ञात करें।
इसे सरल बनाने के लिए,हर $3$ और $4$ के लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ यानी $12$ से प्रत्येक पद को गुणा करें:
$\left(\frac{2}{3} \times 12\right): \left(\frac{3}{4} \times 12\right): (2 \times 12) = 8: 9: 24.$
अतः,अभीष्ट अनुपात $8: 9: 24$ है।

(A) दिया गया है कि $\frac{a}{3} = \frac{b}{8}$.
मान लीजिए $\frac{a}{3} = \frac{b}{8} = k$,जहाँ $k$ एक स्थिरांक है।
अतः $a = 3k$ और $b = 8k$ होगा।
हमें $(a + 3) : (b + 8)$ का अनुपात ज्ञात करना है।
$a$ और $b$ के मान $k$ के रूप में रखने पर:
$(a + 3) : (b + 8) = (3k + 3) : (8k + 8)$.
उभयनिष्ठ पदों को बाहर निकालने पर:
$(3(k + 1)) : (8(k + 1))$.
चूँकि $k + 1 \neq 0$,हम दोनों पक्षों से $(k + 1)$ को काट सकते हैं:
अनुपात $= 3 : 8$.

(B) $4^{3.5} : 2^{5}$ का अनुपात ज्ञात करने के लिए,हम पहले दोनों पदों को समान आधार में व्यक्त करते हैं।
चूंकि $4 = 2^{2}$,हम $4^{3.5}$ को $(2^{2})^{3.5}$ के रूप में लिख सकते हैं।
घातांक नियम $(a^{m})^{n} = a^{m \times n}$ का उपयोग करते हुए,हमें $(2^{2})^{3.5} = 2^{2 \times 3.5} = 2^{7}$ प्राप्त होता है।
अब,अनुपात $2^{7} : 2^{5}$ हो जाता है।
घातांक के भाग नियम $\frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m-n}$ का उपयोग करते हुए,$\frac{2^{7}}{2^{5}} = 2^{7-5} = 2^{2} = 4$ प्राप्त होता है।
अतः,अनुपात $4 : 1$ है।

(B) दिया गया अनुपात $2: x :: 5: 7$ है।
इसे समीकरण के रूप में $\frac{2}{x} = \frac{5}{7}$ लिखा जा सकता है।
तिर्यक गुणा (cross-multiplication) करने पर,हमें $5 \times x = 2 \times 7$ प्राप्त होता है।
$5x = 14$.
दोनों पक्षों को $5$ से विभाजित करने पर,हमें $x = \frac{14}{5}$ प्राप्त होता है।
अतः,$x = 2.80$।

(C) मान लीजिए कि $A, B,$ और $C$ के प्रारंभिक वेतन क्रमशः $2x, 3x,$ और $5x$ हैं।
$A$ का नया वेतन $= 2x + 2x$ का $15\% = 2x + 0.3x = 2.3x$.
$B$ का नया वेतन $= 3x + 3x$ का $10\% = 3x + 0.3x = 3.3x$.
$C$ का नया वेतन $= 5x + 5x$ का $20\% = 5x + 1.0x = 6x$.
उनके वेतन का नया अनुपात $2.3x : 3.3x : 6x$ है।
सरल बनाने के लिए,प्रत्येक पद को $10$ से गुणा करें:
$23 : 33 : 60$.

(D) सबसे पहले,हर $2, 3,$ और $4$ का ल.स.प. $(L.C.M.)$ ज्ञात करें,जो $12$ है।
अनुपात के प्रत्येक पद को $12$ से गुणा करके उन्हें पूर्णांकों में बदलें:
$\left(\frac{1}{2} \times 12\right) : \left(\frac{2}{3} \times 12\right) : \left(\frac{3}{4} \times 12\right) = 6 : 8 : 9$.
अनुपात के भागों का योग $6 + 8 + 9 = 23$ है।
यह दिया गया है कि कुल राशि $Rs. 782$ है,इसलिए $23 \text{ units} = 782$।
अतः,$1 \text{ unit} = \frac{782}{23} = 34$।
पहला भाग $6 \text{ units}$ के बराबर है,इसलिए पहला भाग $= 6 \times 34 = 204$।

(C) माना कि दो संख्याएँ $x$ और $2x$ हैं क्योंकि वे $1: 2$ के अनुपात में हैं।
प्रश्न के अनुसार,यदि दोनों में $7$ जोड़ा जाता है,तो नया अनुपात $3: 5$ हो जाता है।
$\frac{x + 7}{2x + 7} = \frac{3}{5}$
तिर्यक गुणा (cross-multiplication) करने पर:
$5(x + 7) = 3(2x + 7)$
$5x + 35 = 6x + 21$
$x$ का मान ज्ञात करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$35 - 21 = 6x - 5x$
$x = 14$
अतः दो संख्याएँ $x = 14$ और $2x = 2(14) = 28$ हैं।
सबसे बड़ी संख्या $28$ है।

(C) माना कि तीन संख्याएँ $3x$,$4x$ और $5x$ हैं।
प्रश्न के अनुसार,उनके वर्गों का योग $1250$ है।
अतः,$(3x)^2 + (4x)^2 + (5x)^2 = 1250$.
$9x^2 + 16x^2 + 25x^2 = 1250$.
$50x^2 = 1250$.
$x^2 = \frac{1250}{50} = 25$.
$x = 5$.
संख्याओं का योग $3x + 4x + 5x = 12x$ है।
$x$ का मान रखने पर,हमें $12 \times 5 = 60$ प्राप्त होता है।

(C) माना सचिन की आयु $S$ है और राहुल की आयु $R$ है।
दिया गया है कि सचिन राहुल से $4$ वर्ष छोटा है:
$S = R - 4$ --- $(i)$
उनकी आयु का अनुपात $7:9$ है:
$\frac{S}{R} = \frac{7}{9} \Rightarrow 9S = 7R$ --- $(ii)$
समीकरण $(i)$ से $R = S + 4$ का मान $(ii)$ में रखने पर:
$9S = 7(S + 4)$
$9S = 7S + 28$
$2S = 28$
$S = 14$
अतः,सचिन की आयु $14$ वर्ष है।
शॉर्टकट विधि:
सचिन और राहुल का अनुपात $= 7:9$ है।
अनुपात इकाइयों के बीच का अंतर $= 9 - 7 = 2$ इकाई है।
दिया गया अंतर $= 4$ वर्ष है।
$2$ इकाई $= 4$ वर्ष $\Rightarrow 1$ इकाई $= 2$ वर्ष।
सचिन की आयु $= 7$ इकाई $= 7 \times 2 = 14$ वर्ष।

(B) माना कि अरुण और दीपक की वर्तमान आयु क्रमशः $4x$ और $3x$ है,जो दिए गए अनुपात $4:3$ पर आधारित है।
$6$ वर्ष बाद,अरुण की आयु $4x + 6$ होगी।
प्रश्न के अनुसार,$6$ वर्ष बाद अरुण की आयु $26$ वर्ष है।
अतः,$4x + 6 = 26$ है।
दोनों पक्षों से $6$ घटाने पर,हमें $4x = 20$ प्राप्त होता है।
$4$ से विभाजित करने पर,हमें $x = 5$ प्राप्त होता है।
दीपक की वर्तमान आयु $3x = 3 \times 5 = 15$ वर्ष है।

(A) माना कि $X$ और $Y$ की वर्तमान आयु क्रमशः $5x$ और $6x$ है।
प्रश्न के अनुसार,$7$ वर्ष बाद उनकी आयु का अनुपात $6: 7$ हो जाएगा।
अतः,समीकरण इस प्रकार होगा: $\frac{5x + 7}{6x + 7} = \frac{6}{7}$.
तिर्यक गुणा (cross-multiplication) करने पर: $7(5x + 7) = 6(6x + 7)$.
$35x + 49 = 36x + 42$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $49 - 42 = 36x - 35x$.
$x = 7$.
इसलिए,$X$ की वर्तमान आयु $5x = 5 \times 7 = 35$ वर्ष है।

(A) माना समीर और आनंद की वर्तमान आयु क्रमशः $5x$ और $4x$ है।
$3$ वर्ष बाद,उनकी आयु क्रमशः $(5x + 3)$ और $(4x + 3)$ होगी।
प्रश्न के अनुसार,$3$ वर्ष बाद उनकी आयु का अनुपात $11 : 9$ होगा।
अतः,$\frac{5x + 3}{4x + 3} = \frac{11}{9}$।
तिर्यक गुणा (cross-multiplication) करने पर: $9(5x + 3) = 11(4x + 3)$।
$45x + 27 = 44x + 33$।
$45x - 44x = 33 - 27$।
$x = 6$।
आनंद की वर्तमान आयु $4x = 4 \times 6 = 24$ वर्ष है।

(D) माना कि दस वर्ष पहले जयंत,प्रेम और सारांश की आयु क्रमशः $2x$,$3x$ और $4x$ थी।
अतः,उनकी वर्तमान आयु $(2x + 10)$,$(3x + 10)$ और $(4x + 10)$ वर्ष है।
उनकी वर्तमान आयु का योग $93$ वर्ष दिया गया है।
$(2x + 10) + (3x + 10) + (4x + 10) = 93$
$9x + 30 = 93$
$9x = 63$
$x = 7$
सारांश की वर्तमान आयु $(4x + 10)$ वर्ष है।
$x = 7$ रखने पर:
$4(7) + 10 = 28 + 10 = 38$ वर्ष।

(B) माना कि $x$ वर्ष पहले उनकी आयु का अनुपात $3:5$ था।
प्रश्न के अनुसार,$(40 - x) / (60 - x) = 3 / 5$.
तिर्यक गुणा (cross-multiplication) करने पर: $5(40 - x) = 3(60 - x)$.
$200 - 5x = 180 - 3x$.
$200 - 180 = 5x - 3x$.
$20 = 2x$.
$x = 10$.
अतः,$10$ वर्ष पहले उनकी आयु $30$ और $50$ थी,जिसका अनुपात $30:50 = 3:5$ होता है।

(B) माना दहाई का अंक $x$ है और इकाई का अंक $y$ है।
संख्या $10x + y$ है।
अंकों को आपस में बदलने पर,नई संख्या $10y + x$ है।
दिया गया है कि अंकों का अनुपात $x:y = 1:2$ है,इसलिए $y = 2x$ है।
संख्याओं के बीच का अंतर $|(10x + y) - (10y + x)| = 36$ है।
$|9x - 9y| = 36 \Rightarrow |x - y| = 4$।
चूंकि $y = 2x$,इसलिए $|x - 2x| = 4 \Rightarrow |-x| = 4 \Rightarrow x = 4$।
तब $y = 2(4) = 8$।
संख्या $48$ है।
अंकों का योग $= x + y = 4 + 8 = 12$।
अंकों का अंतर $= y - x = 8 - 4 = 4$।
अंकों के योग और अंतर के बीच का अंतर $12 - 4 = 8$ है।

(A) मान लीजिए कि गणित,भौतिकी और जीव विज्ञान के लिए सीटों की प्रारंभिक संख्या क्रमशः $5x$,$7x$ और $8x$ है।
$40\%$,$50\%$ और $75\%$ की प्रस्तावित वृद्धि के बाद,सीटों की नई संख्या होगी:
गणित: $5x + (5x \text{ का } 40\%) = 5x + 2x = 7x$
भौतिकी: $7x + (7x \text{ का } 50\%) = 7x + 3.5x = 10.5x$
जीव विज्ञान: $8x + (8x \text{ का } 75\%) = 8x + 6x = 14x$
बढ़ी हुई सीटों का अनुपात $7x : 10.5x : 14x$ है।
इसे सरल बनाने के लिए,दशमलव हटाने हेतु $2$ से गुणा करने पर: $14x : 21x : 28x$ प्राप्त होता है।
$7$ से भाग देने पर,हमें $2:3:4$ का अनुपात प्राप्त होता है।

(B) मिश्रण की कुल मात्रा = $60 \ L$ है।
दूध और पानी का अनुपात $2:1$ है।
अनुपात के भागों का योग = $2 + 1 = 3$ है।
दूध की मात्रा = $(2/3) \times 60 = 40 \ L$ है।
पानी की मात्रा = $(1/3) \times 60 = 20 \ L$ है।
माना कि मिलाए जाने वाले पानी की मात्रा $x \ L$ है।
पानी मिलाने के बाद,पानी की नई मात्रा = $(20 + x) \ L$ होगी।
दूध और पानी का नया अनुपात $1:3$ है।
अतः,$40 / (20 + x) = 1 / 3$ है।
$40 \times 3 = 20 + x$ है।
$120 = 20 + x$ है।
$x = 120 - 20 = 100 \ L$ है।
इसलिए,$100 \ L$ पानी मिलाया जाना चाहिए।

(C) माना लड़कों की संख्या $7x$ और लड़कियों की संख्या $8x$ है।
लड़कों की संख्या में $20\%$ की वृद्धि के बाद,लड़कों की नई संख्या $7x \times (1 + 0.20) = 7x \times 1.2 = 8.4x$ है।
लड़कियों की संख्या में $10\%$ की वृद्धि के बाद,लड़कियों की नई संख्या $8x \times (1 + 0.10) = 8x \times 1.1 = 8.8x$ है।
लड़कों और लड़कियों का नया अनुपात $8.4x : 8.8x$ है।
दोनों पक्षों को $10$ से गुणा करने पर,हमें $84 : 88$ प्राप्त होता है।
$4$ से विभाजित करने पर,सरल अनुपात $21 : 22$ प्राप्त होता है।

(D) माना रवि और सुमित का प्रारंभिक वेतन क्रमशः $2x$ और $3x$ है।
प्रश्न के अनुसार,प्रत्येक के वेतन में $Rs. 4000$ की वृद्धि की जाती है।
रवि का नया वेतन $= 2x + 4000$
सुमित का नया वेतन $= 3x + 4000$
नया अनुपात $40:57$ दिया गया है।
अतः,$\frac{2x + 4000}{3x + 4000} = \frac{40}{57}$
तिर्यक गुणा (cross-multiplication) करने पर:
$57(2x + 4000) = 40(3x + 4000)$
$114x + 228000 = 120x + 160000$
$120x - 114x = 228000 - 160000$
$6x = 68000$
$x = \frac{68000}{6} = \frac{34000}{3}$
सुमित का मूल वेतन $= 3x = 3 \times \left(\frac{34000}{3}\right) = Rs. 34000$.

(C) मान लीजिए कि $A, B$ और $C$ का प्रारंभिक वेतन क्रमशः $2x, 3x$ और $5x$ है।
$A$ के लिए $15\%$ की वृद्धि के बाद,नया वेतन $2x \times (1 + 0.15) = 2x \times 1.15 = 2.3x$ होगा।
$B$ के लिए $10\%$ की वृद्धि के बाद,नया वेतन $3x \times (1 + 0.10) = 3x \times 1.10 = 3.3x$ होगा।
$C$ के लिए $20\%$ की वृद्धि के बाद,नया वेतन $5x \times (1 + 0.20) = 5x \times 1.20 = 6.0x$ होगा।
नया अनुपात $2.3x : 3.3x : 6.0x$ है।
दशमलव हटाने के लिए $10$ से गुणा करने पर,हमें $23 : 33 : 60$ प्राप्त होता है।

(D) माना कि $25 p$,$10 p$ और $5 p$ के सिक्कों की संख्या क्रमशः $2x$,$3x$ और $4x$ है।
$25 p$ के सिक्कों का मूल्य $= 25 \times 2x = 50x$ पैसे।
$10 p$ के सिक्कों का मूल्य $= 10 \times 3x = 30x$ पैसे।
$5 p$ के सिक्कों का मूल्य $= 5 \times 4x = 20x$ पैसे।
कुल मूल्य $= 50x + 30x + 20x = 100x$ पैसे।
चूंकि कुल राशि $Rs. 50$ है,जो $5000$ पैसे के बराबर है,इसलिए:
$100x = 5000$
$x = 50$
$5 p$ के सिक्कों की संख्या $4x = 4 \times 50 = 200$ है।

(D) मान लीजिए कि पहली धनराशि $C, A$ और $B$ के बीच $4:5:6$ के अनुपात में विभाजित की गई है। अतः,$C = 4x, A = 5x, B = 6x$ जहाँ $x$ एक स्थिरांक है।
मान लीजिए कि दूसरी धनराशि $M$ और $N$ के बीच समान रूप से विभाजित की गई है। अतः,$M = y$ और $N = y$ जहाँ $y$ एक स्थिरांक है।
प्रश्न के अनुसार,$B$ को $M$ से $2000$ अधिक मिले,जिससे समीकरण प्राप्त होता है: $6x - y = 2000$.
हमें $C$ का मान ज्ञात करना है,जो $4x$ है।
समीकरण $6x - y = 2000$ में,हमारे पास दो चर $x$ और $y$ हैं और केवल एक ही समीकरण है। इसलिए,दोनों धनराशियों के बीच संबंध या $y$ के मान के बारे में अतिरिक्त जानकारी के बिना $x$ का अद्वितीय मान निर्धारित करना असंभव है।
अतः,$C$ का मान निर्धारित नहीं किया जा सकता है।

(B) दी गई संख्याओं का अनुपात $A : B : C = 12 : 15 : 25$ है।
माना संख्याएँ $12x, 15x$ और $25x$ हैं।
संख्याओं का योग $12x + 15x + 25x = 52x$ है।
दिया गया है कि योग $364$ है,इसलिए $52x = 364$ है।
$x$ का मान निकालने पर,$x = \frac{364}{52} = 7$ प्राप्त होता है।
अतः संख्याएँ हैं:
$A = 12 \times 7 = 84$
$B = 15 \times 7 = 105$
$C = 25 \times 7 = 175$
$B$ और $A$ के बीच का अंतर $105 - 84 = 21$ है।
$C$ और $B$ के बीच का अंतर $175 - 105 = 70$ है।
अभीष्ट अनुपात $21 : 70$ है।
दोनों को $7$ से विभाजित करने पर,हमें $3 : 10$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया समीकरण: $\frac{625}{x} = \frac{x}{1156}$
तिर्यक गुणा (cross-multiplication) करने पर,हमें प्राप्त होता है: $x^2 = 625 \times 1156$
हम जानते हैं कि $625 = 25^2$ और $1156 = 34^2$ होता है।
अतः,$x^2 = 25^2 \times 34^2 = (25 \times 34)^2$।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: $x = 25 \times 34$।
गुणनफल ज्ञात करने पर: $x = 850$।