Ratio and Proportion Questions in Gujarati

(D) ધારો કે ત્રણ પાત્રોનું કદ અનુક્રમે $2x, 3x$ અને $5x$ છે.
પ્રથમ પાત્રમાં (કદ $2x$),પાણી અને દૂધનો ગુણોત્તર $1: 3$ છે.
પાણી $= 2x \times \frac{1}{4} = 0.5x$,દૂધ $= 2x \times \frac{3}{4} = 1.5x$.
બીજા પાત્રમાં (કદ $3x$),પાણી અને દૂધનો ગુણોત્તર $2: 3$ છે.
પાણી $= 3x \times \frac{2}{5} = 1.2x$,દૂધ $= 3x \times \frac{3}{5} = 1.8x$.
ત્રીજા પાત્રમાં (કદ $5x$),પાણી અને દૂધનો ગુણોત્તર $2: 5$ છે.
પાણી $= 5x \times \frac{2}{7} = \frac{10}{7}x$,દૂધ $= 5x \times \frac{5}{7} = \frac{25}{7}x$.
કુલ પાણી $= 0.5x + 1.2x + \frac{10}{7}x = 1.7x + \frac{10}{7}x = \frac{11.9x + 10x}{7} = \frac{21.9x}{7} = \frac{219x}{70}$.
કુલ દૂધ $= 1.5x + 1.8x + \frac{25}{7}x = 3.3x + \frac{25}{7}x = \frac{23.1x + 25x}{7} = \frac{48.1x}{7} = \frac{481x}{70}$.
દૂધ અને પાણીનો ગુણોત્તર $= \frac{481x/70}{219x/70} = 481: 219$.

(C) ધારો કે રેફ્રિજરેટરની કિંમત $5x$ અને ટેલિવિઝન સેટની કિંમત $3x$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,રેફ્રિજરેટરની કિંમત ટેલિવિઝન સેટ કરતા $Rs. 5500$ વધારે છે.
તેથી,$5x - 3x = 5500$.
$2x = 5500$.
$x = 2750$.
આમ,રેફ્રિજરેટરની કિંમત $5x = 5 \times 2750 = 13750$ થાય.

(D) ધારો કે $P, Q$ અને $R$ ના હિસ્સા અનુક્રમે $2x, 7x$ અને $9x$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$P$ અને $Q$ ના હિસ્સાનો સરવાળો $R$ ના હિસ્સા જેટલો છે,જે $2x + 7x = 9x$ એટલે કે $9x = 9x$ આપે છે.
આ શરત $x$ ની કોઈપણ કિંમત માટે સંતોષાય છે.
કુલ રકમ આપેલી ન હોવાથી,આપણે હિસ્સાની ચોક્કસ કિંમત અથવા તેમનો તફાવત શોધી શકતા નથી.
તેથી,$P$ અને $Q$ ના હિસ્સા વચ્ચેનો તફાવત શોધવા માટે આપેલી માહિતી અપૂરતી છે.

(B) આપેલ છે કે $\frac{2}{3} A = \frac{4}{5} B$.
ગુણોત્તર $A : B$ શોધવા માટે,આપણે સમીકરણને ફરીથી ગોઠવીએ:
$\frac{A}{B} = \frac{4}{5} \times \frac{3}{2}$.
$\frac{A}{B} = \frac{12}{10} = \frac{6}{5}$.
તેથી,$A : B = 6 : 5$.

(C) ધારો કે ત્રણ સંખ્યાઓ $3x$,$4x$ અને $5x$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,સૌથી મોટી સંખ્યા $(5x)$ અને સૌથી નાની સંખ્યા $(3x)$ નો સરવાળો એ બીજી સંખ્યા $(4x)$ અને $52$ ના સરવાળા જેટલો છે.
તેથી,$5x + 3x = 4x + 52$.
$8x = 4x + 52$.
$8x - 4x = 52$.
$4x = 52$.
$x = 13$.
સૌથી નાની સંખ્યા $3x = 3 \times 13 = 39$ છે.

(A) આપેલ ગુણોત્તર $x : y = 2 : 1$ છે,જેને આપણે $\frac{x}{y} = \frac{2}{1}$ તરીકે લખી શકીએ.
$\frac{x^{2} - y^{2}}{x^{2} + y^{2}}$ ની કિંમત શોધવા માટે,અંશ અને છેદ બંનેને $y^{2}$ વડે ભાગતા:
$\frac{x^{2} - y^{2}}{x^{2} + y^{2}} = \frac{(\frac{x}{y})^{2} - 1}{(\frac{x}{y})^{2} + 1}$.
$\frac{x}{y} = 2$ ની કિંમત મૂકતા:
$\frac{2^{2} - 1}{2^{2} + 1} = \frac{4 - 1}{4 + 1} = \frac{3}{5}$.
તેથી,ગુણોત્તર $3 : 5$ છે.

(A) આપેલ ગુણોત્તર $a: b: c = 3: 4: 7$ છે.
ધારો કે કોઈ અચળાંક $k \neq 0$ માટે $a = 3k, b = 4k,$ અને $c = 7k$ છે.
આપણે ગુણોત્તર $(a+b+c): c$ શોધવાનો છે.
$a, b,$ અને $c$ ની કિંમતો પદાવલિમાં મૂકતા:
$\frac{a+b+c}{c} = \frac{3k + 4k + 7k}{7k}$
$= \frac{14k}{7k}$
$= \frac{2}{1}$
તેથી,ગુણોત્તર $2: 1$ છે.

(D) ત્રણ સંખ્યાઓનો આપેલો ગુણોત્તર $\frac{1}{2}: \frac{2}{3}: \frac{3}{4}$ છે.
ગુણોત્તરને સરળ બનાવવા માટે,દરેક પદને છેદ $(2, 3, 4)$ ના લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ એટલે કે $12$ વડે ગુણો.
ગુણોત્તર $= (\frac{1}{2} \times 12) : (\frac{2}{3} \times 12) : (\frac{3}{4} \times 12) = 6: 8: 9$.
ધારો કે સંખ્યાઓ $6x, 8x,$ અને $9x$ છે.
સૌથી મોટી સંખ્યા $9x$ છે અને સૌથી નાની સંખ્યા $6x$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,સૌથી મોટી અને સૌથી નાની સંખ્યા વચ્ચેનો તફાવત $36$ છે:
$9x - 6x = 36$
$3x = 36$
$x = 12$.
હવે $x$ ની કિંમત મૂકતા:
પ્રથમ સંખ્યા $= 6 \times 12 = 72$.
બીજી સંખ્યા $= 8 \times 12 = 96$.
ત્રીજી સંખ્યા $= 9 \times 12 = 108$.
તેથી,તે સંખ્યાઓ $72, 96, 108$ છે.

(C) આપેલ છે કે $\frac{m}{n} = \frac{3}{2}$.
આપણે $\frac{4m + 5n}{4m - 5n}$ ની કિંમત શોધવાની છે.
અંશ અને છેદ બંનેને $n$ વડે ભાગતા:
$\frac{4(\frac{m}{n}) + 5}{4(\frac{m}{n}) - 5}$.
હવે $\frac{m}{n} = \frac{3}{2}$ ની કિંમત મૂકતા:
$= \frac{4(\frac{3}{2}) + 5}{4(\frac{3}{2}) - 5}$
$= \frac{6 + 5}{6 - 5}$
$= \frac{11}{1} = 11 : 1$.

(A) ધારો કે દૂધનું પ્રમાણ $M$ લિટર છે અને પાણીનું પ્રમાણ $W$ લિટર છે. $1 \text{ L}$ શુદ્ધ દૂધની ખરીદ કિંમત $Rs. 10$ છે,તેથી $M$ લિટર દૂધની ખરીદ કિંમત $10M$ થાય.
પાણી મફત છે તેમ માનતા,મિશ્રણની કુલ ખરીદ કિંમત $10M$ થાય.
મિશ્રણનું કુલ કદ $(M + W)$ લિટર છે.
મિશ્રણની વેચાણ કિંમત $9$ પ્રતિ લિટર છે,તેથી કુલ વેચાણ કિંમત $9(M + W)$ થાય.
નફાની ટકાવારી $20\%$ આપેલી છે.
સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\text{વેચાણ કિંમત} = \text{ખરીદ કિંમત} \times (1 + \frac{\text{નફો}\%}{100})$
$9(M + W) = 10M \times (1 + \frac{20}{100})$
$9(M + W) = 10M \times 1.2$
$9M + 9W = 12M$
$9W = 3M$
$\frac{M}{W} = \frac{9}{3} = \frac{3}{1}$
તેથી,દૂધ અને પાણીનો ગુણોત્તર $3:1$ છે.

(C) આપેલ ગુણોત્તર $1: \frac{1}{3}: \frac{1}{6}$ છે.
આ ગુણોત્તરને સરળ બનાવવા માટે,દરેક પદને છેદ ($3$ અને $6$) ના લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ એટલે કે $6$ વડે ગુણો.
ગુણોત્તર $= (1 \times 6) : (\frac{1}{3} \times 6) : (\frac{1}{6} \times 6) = 6: 2: 1$.
ભાગોનો સરવાળો $6 + 2 + 1 = 9$ થાય છે.
વચ્ચેનો ભાગ $2$ ના મૂલ્યને અનુરૂપ છે.
તેથી,વચ્ચેનો ભાગ $= \frac{2}{9} \times 78 = \frac{2 \times 26}{3} = \frac{52}{3} = 17 \frac{1}{3}$ થાય.

(A) ધારો કે બે સંખ્યાઓ અનુક્રમે $x$ અને $y$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ:
$x + y = 25$ (સમીકરણ $1$)
$x - y = 20$ (સમીકરણ $2$)
સમીકરણ $1$ અને $2$ નો સરવાળો કરતા:
$(x + y) + (x - y) = 25 + 20$
$2x = 45$
$x = 22.5$ અથવા $\frac{45}{2}$
સમીકરણ $1$ માં $x$ ની કિંમત મૂકતા:
$22.5 + y = 25$
$y = 25 - 22.5 = 2.5$ અથવા $\frac{5}{2}$
તેથી,બે સંખ્યાઓનો ગુણોત્તર $\frac{x}{y} = \frac{45/2}{5/2} = \frac{45}{5} = 9:1$ થાય.

(A) ધારો કે પ્રથમ ભાગ $x$ છે. તો બીજો ભાગ $(94 - x)$ થશે.
પ્રશ્ન મુજબ,પ્રથમ ભાગનો પાંચમો ભાગ અને બીજા ભાગનો આઠમો ભાગ $3:4$ ના ગુણોત્તરમાં છે.
$\frac{x/5}{(94 - x)/8} = \frac{3}{4}$
$\frac{x}{5} \times \frac{8}{94 - x} = \frac{3}{4}$
$\frac{8x}{5(94 - x)} = \frac{3}{4}$
$32x = 15(94 - x)$
$32x = 1410 - 15x$
$47x = 1410$
$x = \frac{1410}{47} = 30$
તેથી,પ્રથમ ભાગ $30$ છે.

(C) ધારો કે બે સંખ્યાઓ $4x$ અને $7x$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,જો દરેક સંખ્યામાં $4$ ઉમેરવામાં આવે,તો ગુણોત્તર $3:5$ થાય છે.
તેથી,સમીકરણ આ મુજબ બનશે: $\frac{4x + 4}{7x + 4} = \frac{3}{5}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા: $5(4x + 4) = 3(7x + 4)$.
$20x + 20 = 21x + 12$.
$x$ ની કિંમત શોધવા માટે પદોને ગોઠવતા: $20 - 12 = 21x - 20x$.
$x = 8$.
તેથી,બે સંખ્યાઓ $4 \times 8 = 32$ અને $7 \times 8 = 56$ છે.
આમ,મોટી સંખ્યા $56$ છે.

(C) ધારો કે ત્રણ સંખ્યાઓ અનુક્રમે $5x$,$6x$ અને $7x$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,આ સંખ્યાઓનો ગુણાકાર $5670$ છે.
તેથી,$(5x) \times (6x) \times (7x) = 5670$.
$210x^3 = 5670$.
$x^3 = \frac{5670}{210} = 27$.
$x = \sqrt[3]{27} = 3$.
સૌથી મોટી સંખ્યા $7x = 7 \times 3 = 21$ છે.

(C) ધારો કે ત્રણ સંખ્યાઓ $3x$,$2x$ અને $5x$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,તેમના વર્ગોનો સરવાળો $1862$ છે.
$(3x)^2 + (2x)^2 + (5x)^2 = 1862$
$9x^2 + 4x^2 + 25x^2 = 1862$
$38x^2 = 1862$
$x^2 = \frac{1862}{38} = 49$
$x = 7$
અહીં સંખ્યાઓ $3x$,$2x$ અને $5x$ હોવાથી,સૌથી નાની સંખ્યા $2x$ છે.
સૌથી નાની સંખ્યા $= 2 \times 7 = 14$.

(A) ધારો કે બે સંખ્યાઓ અનુક્રમે $10x$ અને $7x$ છે.
આપેલ છે કે સંખ્યાઓ વચ્ચેનો તફાવત $105$ છે.
તેથી,$10x - 7x = 105$.
$3x = 105$.
$x = 105 / 3 = 35$.
બંને સંખ્યાઓનો સરવાળો $10x + 7x = 17x$ થાય.
$x$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $17 \times 35 = 595$ મળે છે.
તેથી,સંખ્યાઓનો સરવાળો $595$ છે.

(D) ધારો કે કુલ રકમ $A + B + C + D = 60$ છે.
આપેલ છે:
$A = \frac{1}{2}(B + C + D) \Rightarrow 2A = B + C + D$. બંને બાજુ $A$ ઉમેરતા,$3A = A + B + C + D = 60 \Rightarrow A = 20$.
$B = \frac{1}{3}(A + C + D) \Rightarrow 3B = A + C + D$. બંને બાજુ $B$ ઉમેરતા,$4B = A + B + C + D = 60 \Rightarrow B = 15$.
$C = \frac{1}{4}(A + B + D) \Rightarrow 4C = A + B + D$. બંને બાજુ $C$ ઉમેરતા,$5C = A + B + C + D = 60 \Rightarrow C = 12$.
હવે,$D = 60 - (A + B + C) = 60 - (20 + 15 + 12) = 60 - 47 = 13$.
આમ,$D$ દ્વારા ચૂકવવામાં આવેલી રકમ $Rs. 13$ છે.

(D) ધારો કે અમિત અને વરુણની વાર્ષિક આવક અનુક્રમે $3x$ અને $2x$ છે.
ધારો કે અમિત અને વરુણનો વાર્ષિક ખર્ચ અનુક્રમે $5y$ અને $3y$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\text{આવક} - \text{ખર્ચ} = \text{બચત}.$
અમિત માટે: $3x - 5y = 1000$ (સમીકરણ $1$)
વરુણ માટે: $2x - 3y = 1000$ (સમીકરણ $2$)
બંને સમાન રકમની બચત કરતા હોવાથી,આપણે બંને સમીકરણોને સરખાવી શકીએ:
$3x - 5y = 2x - 3y$
$3x - 2x = 5y - 3y$
$x = 2y$
સમીકરણ $1$ માં $x = 2y$ મૂકતા:
$3(2y) - 5y = 1000$
$6y - 5y = 1000$
$y = 1000$
હવે,$x$ ની કિંમત શોધીએ:
$x = 2(1000) = 2000$
અમિતની વાર્ષિક આવક $3x = 3 \times 2000 = Rs. 6000$ થાય.

(B) ધારો કે $A$,$B$ અને $C$ ની વાર્ષિક આવક અનુક્રમે $x$,$3x$ અને $7x$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$A$ અને $C$ ની કુલ વાર્ષિક આવક $Rs. 800,000$ છે.
તેથી,$x + 7x = 800,000$.
$8x = 800,000$.
$x = 100,000$.
આમ,$B$ ની વાર્ષિક આવક $3x = 3 \times 100,000 = Rs. 300,000$ છે.
$B$ નો માસિક પગાર શોધવા માટે વાર્ષિક આવકને $12$ વડે ભાગતા:
$B$ નો માસિક પગાર $= \frac{300,000}{12} = Rs. 25,000$.

(B) ધારો કે $A, B$ અને $C$ ના માસિક પગાર અનુક્રમે $2x, 3x$ અને $5x$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$C$ નો માસિક પગાર $A$ ના માસિક પગાર કરતા $Rs. 12000$ વધારે છે.
તેથી,$5x - 2x = 12000$.
$3x = 12000$.
$x = 4000$.
હવે,$B$ નો માસિક પગાર $3x = 3 \times 4000 = 12000$ છે.
એક વર્ષમાં $12$ મહિના હોવાથી,$B$ નો વાર્ષિક પગાર $12 \times 12000 = 144000$ થાય.

(D) ધારો કે $A, B$ અને $C$ ની આવક અનુક્રમે $7x, 9x$ અને $12x$ છે.
ધારો કે $A, B$ અને $C$ નો ખર્ચ અનુક્રમે $8y, 9y$ અને $15y$ છે.
આપેલ છે કે $A$ તેની આવકના $\frac{1}{4}$ ભાગની બચત કરે છે,તેથી તેની બચત $\frac{7x}{4}$ થાય.
બચત $=$ આવક $-$ ખર્ચ હોવાથી,$A$ માટે: $7x - 8y = \frac{7x}{4}$.
$28x - 32y = 7x \Rightarrow 21x = 32y \Rightarrow y = \frac{21x}{32}$.
હવે,$B$ અને $C$ ની બચતની ગણતરી કરીએ:
$B$ ની બચત $= 9x - 9y = 9x - 9(\frac{21x}{32}) = 9x - \frac{189x}{32} = \frac{288x - 189x}{32} = \frac{99x}{32}$.
$C$ ની બચત $= 12x - 15y = 12x - 15(\frac{21x}{32}) = 12x - \frac{315x}{32} = \frac{384x - 315x}{32} = \frac{69x}{32}$.
$A, B$ અને $C$ ની બચતનો ગુણોત્તર $= \frac{7x}{4} : \frac{99x}{32} : \frac{69x}{32}$.
સરળ બનાવવા માટે $32$ વડે ગુણતા: $(\frac{7x}{4} \times 32) : (\frac{99x}{32} \times 32) : (\frac{69x}{32} \times 32) = 56x : 99x : 69x$.
આમ,ગુણોત્તર $56: 99: 69$ છે.

(A) ધારો કે આવક $10x$ અને ખર્ચ $7x$ છે.
આપેલ છે કે ખર્ચ $Rs. 10500$ છે.
તેથી,$7x = 10500$.
$x = 10500 / 7 = 1500$.
બચત = આવક - ખર્ચ.
બચત $= 10x - 7x = 3x$.
$x$ ની કિંમત મૂકતા,બચત $= 3 \times 1500 = 4500$.
આમ,પરિવારની બચત $Rs. 4500$ છે.

(C) ધારો કે $P$ અને $Q$ ની આવક અનુક્રમે $3x$ અને $4x$ છે.
ધારો કે $P$ અને $Q$ નો ખર્ચ અનુક્રમે $2y$ અને $3y$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\text{આવક} - \text{ખર્ચ} = \text{બચત}$.
$P$ માટે: $3x - 2y = 6000$ (સમીકરણ $1$)
$Q$ માટે: $4x - 3y = 6000$ (સમીકરણ $2$)
સમીકરણ $1$ પરથી,$2y = 3x - 6000$,તેથી $y = 1.5x - 3000$.
$y$ ની કિંમત સમીકરણ $2$ માં મૂકતા: $4x - 3(1.5x - 3000) = 6000$.
$4x - 4.5x + 9000 = 6000$.
$-0.5x = -3000$.
$x = 6000$.
$P$ ની આવક $3x = 3 \times 6000 = 18000$ $Rs.$ છે.

(C) ધારો કે ત્રણ વર્ગોમાં વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા અનુક્રમે $2x$,$3x$ અને $5x$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,જ્યારે દરેક વર્ગમાં $20$ વિદ્યાર્થીઓ ઉમેરવામાં આવે છે,ત્યારે નવો ગુણોત્તર $4:5:7$ થાય છે.
પ્રથમ બે વર્ગો લેતા:
$\frac{2x + 20}{3x + 20} = \frac{4}{5}$
ચોકડી ગુણાકાર કરતા:
$5(2x + 20) = 4(3x + 20)$
$10x + 100 = 12x + 80$
$100 - 80 = 12x - 10x$
$20 = 2x$
$x = 10$
વધારા પહેલાં વિદ્યાર્થીઓની કુલ સંખ્યા એ પ્રારંભિક ગુણોત્તરનો સરવાળો છે:
કુલ $= 2x + 3x + 5x = 10x$
$x = 10$ મૂકતા:
કુલ $= 10 \times 10 = 100$.

(D) ધારો કે ઉમેરવાની કે બાદ કરવાની સંખ્યા $x$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,પ્રક્રિયા પછી ગુણોત્તર $1: 2$ થાય છે:
$\frac{17 + x}{24 + x} = \frac{1}{2}$
ચોકડી ગુણાકાર કરતા:
$2(17 + x) = 1(24 + x)$
$34 + 2x = 24 + x$
$x$ ની કિંમત શોધવા માટે પદોને ગોઠવતા:
$2x - x = 24 - 34$
$x = -10$
અહીં પરિણામ $-10$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે દરેક પદમાંથી $10$ બાદ કરવા જોઈએ.

(A) ધારો કે ત્રણ વર્ગોમાં વિદ્યાર્થીઓની પ્રારંભિક સંખ્યા અનુક્રમે $2x$,$3x$ અને $4x$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,જ્યારે દરેક વર્ગમાં $12$ વિદ્યાર્થીઓ ઉમેરવામાં આવે છે,ત્યારે નવો ગુણોત્તર $8:11:14$ થાય છે.
આપણે પ્રથમ બે વર્ગોનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણ બનાવી શકીએ: $\frac{2x + 12}{3x + 12} = \frac{8}{11}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા: $11(2x + 12) = 8(3x + 12)$.
$22x + 132 = 24x + 96$.
$2x = 36$,જેનો અર્થ છે કે $x = 18$.
શરૂઆતમાં વિદ્યાર્થીઓની કુલ સંખ્યા $2x + 3x + 4x = 9x$ હતી.
$x = 18$ મૂકતા,આપણને $9 \times 18 = 162$ મળે છે.

(B) ધારો કે બે સંખ્યાઓ $3x$ અને $5x$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,જો દરેકમાંથી $9$ બાદ કરવામાં આવે,તો ગુણોત્તર $12:23$ થાય છે.
તેથી,$\frac{3x - 9}{5x - 9} = \frac{12}{23}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા: $23(3x - 9) = 12(5x - 9)$.
$69x - 207 = 60x - 108$.
$69x - 60x = 207 - 108$.
$9x = 99$.
$x = 11$.
નાની સંખ્યા $3x = 3 \times 11 = 33$ છે.

(A) કુલ વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા $= 504$.
છોકરાઓ અને છોકરીઓનો ગુણોત્તર $= 13: 11$.
ગુણોત્તરના પદોનો સરવાળો $= 13 + 11 = 24$.
છોકરાઓની સંખ્યા $= \frac{13}{24} \times 504 = 13 \times 21 = 273$.
છોકરીઓની સંખ્યા $= \frac{11}{24} \times 504 = 11 \times 21 = 231$.
જો $12$ વધુ છોકરીઓને પ્રવેશ આપવામાં આવે,તો છોકરીઓની નવી સંખ્યા $= 231 + 12 = 243$.
છોકરાઓની સંખ્યા $273$ જ રહેશે.
છોકરાઓ અને છોકરીઓનો નવો ગુણોત્તર $= 273: 243$.
બંનેને $3$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{273}{3} : \frac{243}{3} = 91: 81$ મળે છે.

(B) આપેલ છે કે $A$ ને મળતા દરેક $100$ પૈસા ($1$ રૂપિયો) માટે $B$ ને $90$ પૈસા મળે છે.
તેથી,ગુણોત્તર $A:B = 100:90 = 10:9$.
વળી,$B$ ને મળતા દરેક $100$ પૈસા ($1$ રૂપિયો) માટે $C$ ને $110$ પૈસા મળે છે.
તેથી,ગુણોત્તર $B:C = 100:110 = 10:11$.
સંયુક્ત ગુણોત્તર $A:B:C$ શોધવા માટે,આપણે બંને ગુણોત્તરમાં $B$ ના પદને સમાન કરીએ.
$A:B$ ને $10$ વડે અને $B:C$ ને $9$ વડે ગુણતા:
$A:B = 100:90$
$B:C = 90:99$
આમ,$A:B:C = 100:90:99$.
ગુણોત્તરના ભાગોનો સરવાળો $100 + 90 + 99 = 289$ છે.
$B$ નો હિસ્સો $= \frac{90}{289} \times 86700$.
કારણ કે $86700 / 289 = 300$,
$B$ નો હિસ્સો $= 90 \times 300 = 27000$.

(A) ધારો કે $N$ ને મળતી રકમ $x$ છે.
આપેલ છે કે $L$ ને $N$ કરતા $Rs. 5.72$ વધુ મળે છે,તેથી $L = x + 5.72$.
આપેલ છે કે $M$ ને $L$ કરતા $Rs. 2.24$ વધુ મળે છે,તેથી $M = (x + 5.72) + 2.24 = x + 7.96$.
કુલ રકમ $Rs. 340.68$ છે,તેથી $L + M + N = 340.68$.
$x$ ના પદોમાં સમીકરણ મૂકતા: $(x + 5.72) + (x + 7.96) + x = 340.68$.
$3x + 13.68 = 340.68$.
$3x = 340.68 - 13.68 = 327$.
$x = 327 / 3 = 109$.
તેથી,$N$ ને $Rs. 109$ મળે છે.

(D) ધારો કે $Rs. 1$ ના સિક્કાઓની કુલ કિંમત $13x$ છે અને $50$ પૈસાના સિક્કાઓની કુલ કિંમત $11x$ છે.
$Rs. 1$ ના સિક્કાઓની સંખ્યા $= \frac{13x}{1} = 13x$.
$50$ પૈસાના સિક્કાઓની સંખ્યા $= \frac{11x}{0.5} = 22x$.
સિક્કાઓની કુલ સંખ્યા $= 13x + 22x = 35x$.
આપેલ છે કે સિક્કાઓની કુલ સંખ્યા $210$ છે,તેથી $35x = 210$,જેનું સાદું રૂપ આપતા $x = 6$ મળે છે.
$Rs. 1$ ના સિક્કાઓની સંખ્યા $= 13x = 13 \times 6 = 78$.

(A) ધારો કે $Rs. 1$,$50$ પૈસા અને $25$ પૈસાના સિક્કાઓનું મૂલ્ય અનુક્રમે $13x$,$11x$ અને $7x$ છે.
$Rs. 1$ ના સિક્કાઓની સંખ્યા $= 13x / 1 = 13x$ છે.
$50$ પૈસાના સિક્કાઓની સંખ્યા $= 11x / 0.5 = 22x$ છે.
$25$ પૈસાના સિક્કાઓની સંખ્યા $= 7x / 0.25 = 28x$ છે.
સિક્કાઓની કુલ સંખ્યા $= 13x + 22x + 28x = 63x$ છે.
આપેલ છે કે સિક્કાઓની કુલ સંખ્યા $378$ છે,તેથી $63x = 378$,જેનો અર્થ છે કે $x = 378 / 63 = 6$.
$50$ પૈસાના સિક્કાઓની સંખ્યા $= 22x = 22 \times 6 = 132$ થાય.

(D) ધારો કે સુમિતની હાલની ઉંમર $2x$ અને પ્રકાશની હાલની ઉંમર $3x$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,સુમિત પ્રકાશ કરતા $6 \text{ yr}$ નાનો છે,તેથી $3x - 2x = 6$,જે આપણને $x = 6$ આપે છે.
તેથી,સુમિતની હાલની ઉંમર $2 \times 6 = 12 \text{ yr}$ અને પ્રકાશની હાલની ઉંમર $3 \times 6 = 18 \text{ yr}$ છે.
$6 \text{ yr}$ પછી,સુમિતની ઉંમર $12 + 6 = 18 \text{ yr}$ અને પ્રકાશની ઉંમર $18 + 6 = 24 \text{ yr}$ થશે.
$6 \text{ yr}$ પછી તેમની ઉંમરનો જરૂરી ગુણોત્તર $18:24$ છે,જેનું સાદું રૂપ આપતા $3:4$ મળે છે.

(B) ધારો કે $10$ વર્ષ પહેલાં રામ અને રહીમની ઉંમર અનુક્રમે $x$ અને $3x$ વર્ષ હતી.
તેમની હાલની ઉંમર $(x+10)$ અને $(3x+10)$ વર્ષ છે.
હવે પછીના $5$ વર્ષ પછી,તેમની ઉંમર $(x+10+5)$ અને $(3x+10+5)$ એટલે કે $(x+15)$ અને $(3x+15)$ થશે.
પ્રશ્ન મુજબ,$5$ વર્ષ પછીનો ગુણોત્તર $2:3$ છે:
$\frac{x+15}{3x+15} = \frac{2}{3}$
$3(x+15) = 2(3x+15)$
$3x + 45 = 6x + 30$
$45 - 30 = 6x - 3x$
$3x = 15 \Rightarrow x = 5$
હવે,તેમની હાલની ઉંમર શોધીએ:
રામની હાલની ઉંમર $= x + 10 = 5 + 10 = 15$ વર્ષ.
રહીમની હાલની ઉંમર $= 3x + 10 = 3(5) + 10 = 25$ વર્ષ.
તેમની હાલની ઉંમરનો ગુણોત્તર $= 15:25 = 3:5$.

(C) પેનનો ગુણોત્તર $\frac{1}{3}: \frac{1}{4}: \frac{1}{5}: \frac{1}{6}$ આપેલ છે.
આ ગુણોત્તરને સરળ બનાવવા માટે,છેદ $3, 4, 5$ અને $6$ નો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ શોધો.
$3, 4, 5$ અને $6$ નો $LCM$ $60$ છે.
દરેક પદને $60$ વડે ગુણતા:
$\frac{60}{3}: \frac{60}{4}: \frac{60}{5}: \frac{60}{6} = 20: 15: 12: 10$.
પેનની સંખ્યા પૂર્ણાંક હોવી જોઈએ,તેથી પેનની ન્યૂનતમ સંખ્યા ગુણોત્તરના ભાગોનો સરવાળો છે:
$20 + 15 + 12 + 10 = 57$.

(B) આપેલ છે કે $A = \frac{4}{5} B$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{A}{B} = \frac{4}{5}$.
તે જ રીતે,$B = \frac{5}{2} C$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{B}{C} = \frac{5}{2}$.
$A : C$ નો ગુણોત્તર શોધવા માટે,આપણે બંને ગુણોત્તરનો ગુણાકાર કરીશું:
$\frac{A}{C} = \frac{A}{B} \times \frac{B}{C} = \frac{4}{5} \times \frac{5}{2}$.
$\frac{A}{C} = \frac{4}{2} = \frac{2}{1}$.
તેથી,$A : C$ નો ગુણોત્તર $2 : 1$ છે.

(B) આપેલ ગુણોત્તર $\frac{A}{B} = \frac{3}{4}$ અને $\frac{B}{C} = \frac{12}{13}$ છે.
$A:C$ નો ગુણોત્તર શોધવા માટે,આપણે બંને ગુણોત્તરનો ગુણાકાર કરીશું:
$\frac{A}{C} = \frac{A}{B} \times \frac{B}{C}$
$\frac{A}{C} = \frac{3}{4} \times \frac{12}{13}$
$\frac{A}{C} = \frac{3 \times 3}{1 \times 13} = \frac{9}{13}$
તેથી,$A:C$ નો ગુણોત્તર $9: 13$ છે.

(A) ધારો કે બે સંખ્યાઓ $2x$ અને $3x$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,જો પ્રથમ સંખ્યામાંથી $2$ બાદ કરવામાં આવે અને બીજી સંખ્યામાં $2$ ઉમેરવામાં આવે,તો ગુણોત્તર $1:2$ થાય છે.
તેથી,$\frac{2x - 2}{3x + 2} = \frac{1}{2}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા: $2(2x - 2) = 1(3x + 2)$.
$4x - 4 = 3x + 2$.
$4x - 3x = 2 + 4$.
$x = 6$.
તેથી સંખ્યાઓ $2(6) = 12$ અને $3(6) = 18$ છે.
સંખ્યાઓનો સરવાળો $12 + 18 = 30$ થાય છે.

(B) સૌ પ્રથમ,આપેલા ગુણોત્તરને સરળ બનાવો:
$a:b = \frac{2}{9} : \frac{1}{3} = \frac{2}{9} : \frac{3}{9} = 2:3$
$b:c = \frac{2}{7} : \frac{5}{14} = \frac{4}{14} : \frac{5}{14} = 4:5$
$d:c = \frac{7}{10} : \frac{3}{5} = \frac{7}{10} : \frac{6}{10} = 7:6$,જેનો અર્થ છે કે $c:d = 6:7$
હવે,$a:b:c:d$ શોધવા માટે,સામાન્ય પદોને સમાન કરો:
$a:b = 2:3 = (2 \times 4) : (3 \times 4) = 8:12$
$b:c = 4:5 = (4 \times 3) : (5 \times 3) = 12:15$
તેથી,$a:b:c = 8:12:15$
હવે,$c:d = 6:7$ સાથે જોડો:
$a:b:c = 8:12:15 = (8 \times 2) : (12 \times 2) : (15 \times 2) = 16:24:30$
$c:d = 6:7 = (6 \times 5) : (7 \times 5) = 30:35$
તેથી,$a:b:c:d = 16:24:30:35$.

(A) ધારો કે પુત્રનો હિસ્સો $S$,પત્નીનો હિસ્સો $W$ અને પુત્રીનો હિસ્સો $D$ છે.
આપેલ ગુણોત્તર: $S:W = 3:1$ અને $W:D = 3:1$.
સંયુક્ત ગુણોત્તર $S:W:D$ મેળવવા માટે,આપણે $W$ ને સમાન કરવા માટે પદોનો ગુણાકાર કરીએ:
$S:W = 3:1 = 9:3$
$W:D = 3:1$
આમ,$S:W:D = 9:3:1$.
ધારો કે હિસ્સાઓ અનુક્રમે $9x, 3x$ અને $x$ છે.
પુત્રના હિસ્સા અને પુત્રીના હિસ્સા વચ્ચેનો તફાવત $9x - x = 8x$ છે.
આપેલ છે કે $8x = 10000$,તેથી $x = 10000 / 8 = 1250$.
કુલ મિલકતનું મૂલ્ય $9x + 3x + x = 13x$ છે.
કુલ મૂલ્ય $= 13 \times 1250 = 16250$.

(B) આપેલ છે કે $A : B = 7 : 9$ અને $B : C = 8 : 11$.
$A : B : C$ શોધવા માટે,આપણે બંને ગુણોત્તરમાં $B$ ની કિંમત સમાન બનાવવી પડશે.
પ્રથમ ગુણોત્તરમાં $B$ ની કિંમત $9$ છે અને બીજા ગુણોત્તરમાં $8$ છે.
$9$ અને $8$ નો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ $72$ છે.
પ્રથમ ગુણોત્તરને $8$ વડે ગુણતા:
$A : B = (7 \times 8) : (9 \times 8) = 56 : 72$
બીજા ગુણોત્તરને $9$ વડે ગુણતા:
$B : C = (8 \times 9) : (11 \times 9) = 72 : 99$
હવે,બંને ગુણોત્તરને જોડતા,આપણને મળે છે:
$A : B : C = 56 : 72 : 99$.

(C) ધારો કે બે સંખ્યાઓ $a$ અને $b$ છે.
આપેલ છે કે $a + b = 25$ અને $a - b = 7 \frac{1}{2} = \frac{15}{2} = 7.5$.
આપણે ગુણોત્તર $a:b$ શોધવાનો છે.
યોગ-વિયોગની રીતનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{a+b}{a-b} = \frac{25}{7.5} = \frac{250}{75} = \frac{10}{3}$.
નિયમ $\frac{(a+b)+(a-b)}{(a+b)-(a-b)} = \frac{10+3}{10-3}$ લાગુ પાડતા.
આ સાદું રૂપ આપતા $\frac{2a}{2b} = \frac{13}{7}$ મળે છે.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{a}{b} = \frac{13}{7}$ થાય.

(D) ધારો કે એક છોકરાનો હિસ્સો $x$ છે।
પ્રશ્ન મુજબ:
$1$ પુરુષનો હિસ્સો $= 2x$.
$2$ સ્ત્રીઓનો હિસ્સો $= 3x$, તેથી $1$ સ્ત્રીનો હિસ્સો $= 1.5x$.
કુલ રકમ $= 6(\text{પુરુષો}) + 8(\text{સ્ત્રીઓ}) + 6(\text{છોકરાઓ}) = 120$.
$x$ ના સંદર્ભમાં કિંમતો મૂકતા:
$6(2x) + 8(1.5x) + 6(x) = 120$.
$12x + 12x + 6x = 120$.
$30x = 120$.
$x = 120 / 30 = 4$.
તેથી, એક છોકરાનો હિસ્સો ₹ $4$ છે।

(A) ધારો કે દરેક પદમાંથી બાદ કરવાની સંખ્યા $x$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,આપણી પાસે સમીકરણ છે:
$\frac{19 - x}{23 - x} = \frac{3}{4}$
ચોકડી ગુણાકાર કરતા:
$4(19 - x) = 3(23 - x)$
$76 - 4x = 69 - 3x$
$x$ ની કિંમત શોધવા માટે પદોને ગોઠવતા:
$76 - 69 = 4x - 3x$
$x = 7$
તેથી,બાદ કરવાની સંખ્યા $7$ છે.

(B) ધારો કે કર્મચારીઓની પ્રારંભિક સંખ્યા $9x$ છે અને પ્રતિ કર્મચારી પ્રારંભિક વેતન $14y$ છે.
પ્રારંભિક કુલ વેતન બિલ $= 9x \times 14y = 126xy$.
કર્મચારીઓની નવી સંખ્યા $= 7x$.
પ્રતિ કર્મચારી નવું વેતન $= 15y$.
નવું કુલ વેતન બિલ $= 7x \times 15y = 105xy$.
નવા વેતન બિલ અને પ્રારંભિક વેતન બિલનો ગુણોત્તર $105xy : 126xy$ છે.
બંનેને $21xy$ વડે ભાગતા,આપણને $5:6$ મળે છે.
આમ,વેતનનું કુલ બિલ $6:5$ થી ઘટીને $5:6$ ના ગુણોત્તરમાં થાય છે,જે ઘટાડો દર્શાવે છે.

(C) ધારો કે કુલ ખર્ચ $C$ છે. ઘઉંનો ખર્ચ વપરાયેલ જથ્થાના પ્રમાણમાં હોય છે.
પ્રથમ કિસ્સામાં,$75$ માણસો માટે $15$ દિવસનો ખર્ચ $C = 75 \times 15 \times 13$ છે.
બીજા કિસ્સામાં,ધારો કે માણસોની સંખ્યા $x$ છે. $x$ માણસો માટે $45$ દિવસનો ₹ $1$ પ્રતિ $kg$ ના ભાવે ખર્ચ $C = x \times 45 \times 1$ છે.
ખર્ચ સમાન હોવાથી,આપણે બંને સમીકરણોને સરખાવીએ:
$75 \times 15 \times 13 = x \times 45 \times 1$
$x = \frac{75 \times 15 \times 13}{45}$
$x = \frac{1125 \times 13}{45}$
$x = 25 \times 13 = 325$
તેથી,$325$ માણસોને જમાડી શકાય છે.

(B) ધારો કે જરૂરી કાગળના રીમની સંખ્યા $x$ છે.
વપરાયેલ કાગળની માત્રા એ પુસ્તકોની સંખ્યા અને દરેક પુસ્તકના પાનાની સંખ્યાના સીધા પ્રમાણમાં હોય છે.
આપણે આ પ્રમાણને નીચે મુજબ લખી શકીએ:
$\frac{\text{નકલો}_1 \times \text{પાના}_1}{\text{રીમ}_1} = \frac{\text{નકલો}_2 \times \text{પાના}_2}{\text{રીમ}_2}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{1000 \times 25}{50} = \frac{5000 \times 32}{x}$
$x$ માટે ઉકેલતા:
$x = \frac{5000 \times 32 \times 50}{1000 \times 25}$
$x = 5 \times 32 \times 2$
$x = 320$
તેથી,$320$ રીમ કાગળની જરૂર પડશે.

(C) ધારો કે $Q$ નો હિસ્સો $x$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$P$ નો હિસ્સો $\frac{2}{3}x$ છે અને $R$ નો હિસ્સો $\frac{5}{3}x$ છે.
કુલ રકમ ₹ $1,000$ છે,તેથી:
$\frac{2}{3}x + x + \frac{5}{3}x = 1000$
પદોને જોડતા:
$\frac{2x + 3x + 5x}{3} = 1000$
$\frac{10x}{3} = 1000$
$x$ માટે ઉકેલતા:
$10x = 3000$
$x = 300$
તેથી,$Q$ નો હિસ્સો ₹ $300$ છે.

(A) ધારો કે બે સંખ્યાઓ $x$ અને $y$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$0.6x = 0.025y$.
ગુણોત્તર $x/y$ શોધવા માટે,આપણે સમીકરણને ફરીથી ગોઠવીએ:
$\frac{x}{y} = \frac{0.025}{0.6}$
દશાંશ ચિહ્ન દૂર કરવા માટે અંશ અને છેદ બંનેને $1000$ વડે ગુણતા:
$\frac{x}{y} = \frac{25}{600}$
અંશ અને છેદ બંનેને $25$ વડે ભાગતા:
$\frac{x}{y} = \frac{1}{24}$
તેથી,બે સંખ્યાઓનો ગુણોત્તર $1:24$ છે.