Ratio and Proportion Questions in Gujarati

(D) ધારો કે ચોથું પ્રમાણપદ $x$ છે.
પ્રમાણની વ્યાખ્યા મુજબ,$286 : 78 = 1342 : x$.
આને $\frac{286}{78} = \frac{1342}{x}$ તરીકે લખી શકાય.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા,આપણને $286 \times x = 78 \times 1342$ મળે છે.
$x$ માટે ઉકેલતા,$x = \frac{78 \times 1342}{286}$.
$x = \frac{104676}{286} = 366$.
તેથી,ચોથું પ્રમાણપદ $366$ છે.

(A) ધારો કે એક રૂપિયાના સિક્કા,$50$-પૈસાના સિક્કા અને $25$-પૈસાના સિક્કાની સંખ્યા અનુક્રમે $5x, 7x$ અને $12x$ છે.
એક રૂપિયાના સિક્કાનું મૂલ્ય $= 5x \times 1 = 5x$ રૂપિયા.
$50$-પૈસાના સિક્કાનું મૂલ્ય $= 7x \times 0.5 = 3.5x$ રૂપિયા.
$25$-પૈસાના સિક્કાનું મૂલ્ય $= 12x \times 0.25 = 3x$ રૂપિયા.
કુલ મૂલ્ય $= 5x + 3.5x + 3x = 11.5x$.
આપેલ છે કે કુલ મૂલ્ય $₹ 115$ છે,તેથી:
$11.5x = 115$
$x = \frac{115}{11.5} = 10$.
તેથી,સિક્કાઓની સંખ્યા નીચે મુજબ છે:
એક રૂપિયાના સિક્કા $= 5 \times 10 = 50$.
$50$-પૈસાના સિક્કા $= 7 \times 10 = 70$.
$25$-પૈસાના સિક્કા $= 12 \times 10 = 120$.

(B) ધારો કે બે સંખ્યાઓ $3k$ અને $5k$ છે,જ્યાં $k$ એક અચળાંક છે.
પ્રશ્ન મુજબ,જો દરેકમાંથી $9$ બાદ કરવામાં આવે,તો ગુણોત્તર $12: 23$ થાય છે.
તેથી,$\frac{3k - 9}{5k - 9} = \frac{12}{23}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા: $23(3k - 9) = 12(5k - 9)$.
પદોનું વિસ્તરણ કરતા: $69k - 207 = 60k - 108$.
$k$ ની કિંમત શોધવા માટે પદોને ગોઠવતા: $69k - 60k = 207 - 108$.
$9k = 99$.
$k = 11$.
નાની સંખ્યા $3k = 3 \times 11 = 33$ છે.

(C) ધારો કે આપેલી સંખ્યાઓ $k$ અને $2k$ છે,જે $1:2$ ના ગુણોત્તરમાં છે.
પ્રશ્ન મુજબ,જો બંને સંખ્યાઓમાં $7$ ઉમેરવામાં આવે,તો નવો ગુણોત્તર $3:5$ થાય છે:
$\frac{k+7}{2k+7} = \frac{3}{5}$
ચોકડી ગુણાકાર કરતા:
$5(k+7) = 3(2k+7)$
સમીકરણનું વિસ્તરણ કરતા:
$5k + 35 = 6k + 21$
$k$ ની કિંમત શોધવા માટે પદોને ગોઠવતા:
$35 - 21 = 6k - 5k$
$k = 14$
આમ,બે સંખ્યાઓ $k = 14$ અને $2k = 2(14) = 28$ છે.
તેથી,સૌથી મોટી સંખ્યા $28$ છે.

(B) આપેલ પ્રમાણ $0.75 : x :: 5 : 8$ છે.
પ્રમાણના નિયમ મુજબ,અંતિમ પદોનો ગુણાકાર = મધ્યમ પદોનો ગુણાકાર,એટલે કે $a \times d = b \times c$.
આપેલ સમીકરણમાં આ નિયમ લાગુ પાડતા:
$0.75 \times 8 = x \times 5$
$6 = 5x$
$x = \frac{6}{5}$
$x = 1.20$

(C) આપેલ ગુણોત્તર $x: y = 5: 2$ છે,તેથી આપણે ધારી શકીએ કે $x = 5k$ અને $y = 2k,$ જ્યાં $k \neq 0$ એક અચળાંક છે.
આ કિંમતોને પદાવલિ $\frac{8x + 9y}{8x + 2y}$ માં મૂકતા:
$\frac{8(5k) + 9(2k)}{8(5k) + 2(2k)} = \frac{40k + 18k}{40k + 4k}$
$= \frac{58k}{44k}$
$= \frac{58}{44} = \frac{29}{22}$
તેથી,ગુણોત્તર $29: 22$ મળે છે.

(D) ધારો કે રવિ અને સુમિતનો પ્રારંભિક પગાર અનુક્રમે $2x$ અને $3x$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,જો દરેક પગારમાં $₹4000$ નો વધારો થાય,તો નવો ગુણોત્તર $40:57$ થાય છે.
તેથી,$\frac{2x + 4000}{3x + 4000} = \frac{40}{57}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા: $57(2x + 4000) = 40(3x + 4000)$.
$114x + 228000 = 120x + 160000$.
$120x - 114x = 228000 - 160000$.
$6x = 68000$.
$x = \frac{68000}{6} = \frac{34000}{3}$.
સુમિતનો હાલનો પગાર $3x = 3 \times \frac{34000}{3} = ₹34000$ થાય છે.

(B) આપેલ છે કે $x$ ના $10 \% = y$ ના $20 \%$.
આને $\frac{10}{100} \times x = \frac{20}{100} \times y$ તરીકે લખી શકાય.
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા,આપણને $10x = 20y$ મળે છે.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{x}{y} = \frac{20}{10} = \frac{2}{1}$ થાય.
આમ,$x : y = 2 : 1$ છે.

(D) ધારો કે $A$ ની પ્રારંભિક કમાણી $4k$ અને $B$ ની $7k$ છે,જ્યાં $k$ એક અચળાંક છે.
$A$ ની કમાણીમાં $50\%$ વધારો થયા પછી,$A$ ની નવી કમાણી $= 4k \times (1 + 0.50) = 4k \times 1.5 = 6k$ થાય.
$B$ ની કમાણીમાં $25\%$ ઘટાડો થયા પછી,$B$ ની નવી કમાણી $= 7k \times (1 - 0.25) = 7k \times 0.75 = 5.25k$ થાય.
નવો ગુણોત્તર $\frac{6k}{5.25k} = \frac{6}{5.25} = \frac{600}{525} = \frac{8}{7}$ મળે છે.
આ ગુણોત્તર $k$ ની કોઈપણ કિંમત માટે સાચો હોવાથી,$k$ ની ચોક્કસ કિંમત આપેલી માહિતી પરથી નક્કી કરી શકાતી નથી.
તેથી,$A$ ની વાસ્તવિક કમાણી ગણી શકાય નહીં. આપેલી માહિતી અપૂરતી છે.

(B) $A: D$ શોધવા માટે,આપણે આપેલા ગુણોત્તરનો ગુણાકાર કરી શકીએ છીએ:
$A: D = (A/B) \times (B/C) \times (C/D)$
$A: D = (8/15) \times (5/8) \times (4/5)$
સામાન્ય પદોને દૂર કરતા:
$A: D = (8 \times 5 \times 4) / (15 \times 8 \times 5)$
$A: D = 4 / 15$
આમ,$A: D = 4: 15$ થાય.

(C) આપેલ ગુણોત્તર $A: B = 2: 3$,$B: C = 4: 5$ અને $C: D = 6: 7$ છે.
$A: B: C: D$ શોધવા માટે,આપણે સામાન્ય પદોને સમાન બનાવીશું.
પહેલા $A: B: C$ શોધો,જેમાં $B$ ને સમાન બનાવતા:
$A: B = 2: 3 = (2 \times 4) : (3 \times 4) = 8: 12$
$B: C = 4: 5 = (4 \times 3) : (5 \times 3) = 12: 15$
તેથી,$A: B: C = 8: 12: 15$.
હવે,$C: D = 6: 7$ નો ઉપયોગ કરીને $D$ ને ઉમેરો:
$C$ ને સમાન કરવા માટે,$15$ અને $6$ નો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવ $(LCM)$ $30$ છે.
$A: B: C = (8 \times 2) : (12 \times 2) : (15 \times 2) = 16: 24: 30$
$C: D = (6 \times 5) : (7 \times 5) = 30: 35$
આ બંનેને જોડતા,આપણને $A: B: C: D = 16: 24: 30: 35$ મળે છે.

(C) ધારો કે $A, B$ અને $C$ ના પ્રારંભિક પગાર અનુક્રમે $2k, 3k$ અને $5k$ છે.
$15\%$ ના વધારા પછી,$A$ નો નવો પગાર $2k \times (1 + 0.15) = 2k \times 1.15 = 2.3k$ થશે.
$10\%$ ના વધારા પછી,$B$ નો નવો પગાર $3k \times (1 + 0.10) = 3k \times 1.10 = 3.3k$ થશે.
$20\%$ ના વધારા પછી,$C$ નો નવો પગાર $5k \times (1 + 0.20) = 5k \times 1.20 = 6k$ થશે.
તેમના નવા પગારનો ગુણોત્તર $2.3k : 3.3k : 6k$ છે.
આ ગુણોત્તરને સરળ બનાવવા માટે,દરેક પદને $10$ વડે ગુણતા: $23 : 33 : 60$ મળે છે.

(D) આપેલ ગુણોત્તર $\frac{1}{2}: \frac{2}{3}: \frac{3}{4}$ છે.
ગુણોત્તરને સરળ બનાવવા માટે,દરેક પદને છેદ $(2, 3, 4)$ ના લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ એટલે કે $12$ વડે ગુણો.
ગુણોત્તર $= (12 \times \frac{1}{2}) : (12 \times \frac{2}{3}) : (12 \times \frac{3}{4}) = 6 : 8 : 9$.
ગુણોત્તરના પદોનો સરવાળો $6 + 8 + 9 = 23$ થાય છે.
પ્રથમ ભાગની ગણતરી $\frac{6}{23} \times 782$ મુજબ કરવામાં આવે છે.
$782 \div 23 = 34$.
પ્રથમ ભાગ $= 6 \times 34 = ₹ 204$.

(D) પ્રથમ,આપેલા ગુણોત્તરને સરળ બનાવો:
$A: B = \frac{1}{2}: \frac{3}{8} = \frac{4}{8}: \frac{3}{8} = 4: 3$
$B: C = \frac{1}{3}: \frac{5}{9} = \frac{3}{9}: \frac{5}{9} = 3: 5$
$C: D = \frac{5}{6}: \frac{3}{4} = \frac{10}{12}: \frac{9}{12} = 10: 9$
હવે,આપણી પાસે $A: B = 4: 3$ અને $B: C = 3: 5$ છે. અહીં $B$ ની કિંમત બંનેમાં સમાન હોવાથી,આપણે તેને $A: B: C = 4: 3: 5$ તરીકે લખી શકીએ.
હવે,$A: B: C = 4: 3: 5$ અને $C: D = 10: 9$ છે.
આ બંનેને જોડવા માટે,$C$ ની કિંમત સમાન કરવી પડશે. તેથી $A: B: C$ ને $2$ વડે ગુણતા $C = 10$ થશે:
$A: B: C = (4 \times 2): (3 \times 2): (5 \times 2) = 8: 6: 10$.
હવે,$C: D = 10: 9$ સાથે જોડતા,આપણને $A: B: C: D = 8: 6: 10: 9$ મળે છે.

(B) ધારો કે ત્રણ સંખ્યાઓ $x, y$ અને $z$ છે.
આપેલ છે કે $x + y + z = 98$.
આપણને ગુણોત્તર $x:y = 2:3$ અને $y:z = 5:8$ આપેલ છે.
સંયુક્ત ગુણોત્તર $x:y:z$ મેળવવા માટે,આપણે બંને ગુણોત્તરમાં $y$ પદને સમાન કરીએ. $3$ અને $5$ નો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ $15$ છે.
પ્રથમ ગુણોત્તરને $5$ વડે ગુણતા: $x:y = (2 \times 5) : (3 \times 5) = 10:15$.
બીજા ગુણોત્તરને $3$ વડે ગુણતા: $y:z = (5 \times 3) : (8 \times 3) = 15:24$.
આમ,સંયુક્ત ગુણોત્તર $x:y:z = 10:15:24$ થાય છે.
ભાગોનો સરવાળો $10 + 15 + 24 = 49$ છે.
બીજી સંખ્યા $y$ ની ગણતરી નીચે મુજબ છે:
$y = \frac{15}{49} \times 98 = 15 \times 2 = 30$.

(B) આપેલ છે કે હિસ્સાનો ગુણોત્તર $P:Q = 2:3$,$Q:R = 2:3$,અને $R:S = 2:3$ છે.
સંયુક્ત ગુણોત્તર $P:Q:R:S$ શોધવા માટે,આપણે સામાન્ય પદોને સમાન કરીએ:
$P:Q = 2:3 = (2 \times 4) : (3 \times 4) = 8:12$
$Q:R = 2:3 = (2 \times 6) : (3 \times 6) = 12:18$
$R:S = 2:3 = (2 \times 9) : (3 \times 9) = 18:27$
આમ,$P:Q:R:S = 8:12:18:27$.
ગુણોત્તરના ભાગોનો સરવાળો $8 + 12 + 18 + 27 = 65$ થાય છે.
$P$ નો હિસ્સો = $\frac{8}{65} \times 1300 = 8 \times 20 = ₹ 160$.

(B) ધારો કે $B$ પાસે રહેલી રકમ $x$ છે અને $A$ પાસે રહેલી રકમ $y$ છે.
આપેલ છે કે $A + B = 1210$,તેથી $x + y = 1210$ $(1)$.
વળી,$\frac{4}{15} y = \frac{2}{5} x$.
બંને બાજુ $15$ વડે ગુણતા,આપણને $4y = 6x$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $y = \frac{6x}{4} = 1.5x$ થાય છે.
સમીકરણ $(1)$ માં $y = 1.5x$ મૂકતા:
$x + 1.5x = 1210$
$2.5x = 1210$
$x = \frac{1210}{2.5} = 484$.
તેથી,$B$ પાસે ₹ $484$ છે.

(C) ધારો કે ત્રીજી સંખ્યા $x$ છે.
તેથી,પ્રથમ સંખ્યા $= x + 0.20x = 1.2x$ થાય.
બીજી સંખ્યા $= x + 0.50x = 1.5x$ થાય.
પ્રથમ સંખ્યા અને બીજી સંખ્યાનો ગુણોત્તર $\frac{1.2x}{1.5x} = \frac{12}{15} = \frac{4}{5}$ થાય.
તેથી,માંગેલ ગુણોત્તર $4:5$ છે.

(C) ધારો કે છોકરાઓની સંખ્યા $7k$ અને છોકરીઓની સંખ્યા $8k$ છે.
છોકરાઓની સંખ્યામાં $20\%$ નો વધારો થાય છે,તેથી છોકરાઓની નવી સંખ્યા $= 7k \times (1 + 0.20) = 7k \times 1.2 = 8.4k$ થશે.
છોકરીઓની સંખ્યામાં $10\%$ નો વધારો થાય છે,તેથી છોકરીઓની નવી સંખ્યા $= 8k \times (1 + 0.10) = 8k \times 1.1 = 8.8k$ થશે.
છોકરાઓ અને છોકરીઓનો નવો ગુણોત્તર $= 8.4k : 8.8k$ થશે.
બંને બાજુને $0.4k$ વડે ભાગતા,આપણને ગુણોત્તર $= 21 : 22$ મળે છે.

(C) ધારો કે $A, B, C$ અને $D$ ના હિસ્સા અનુક્રમે $5x, 2x, 4x$ અને $3x$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$C$ ને $D$ કરતા ₹ $1000$ વધુ મળે છે.
તેથી,$4x - 3x = 1000$.
આનાથી આપણને $x = 1000$ મળે છે.
આપણે $B$ નો હિસ્સો શોધવાનો છે,જે $2x$ છે.
તેથી,$B$ નો હિસ્સો = $2 \times 1000 = 2000$ ₹.

(B) ધારો કે $5, 8, 15$ નું ચોથું પ્રમાણિત પદ $x$ છે.
પ્રમાણની વ્યાખ્યા મુજબ,$5 : 8 :: 15 : x$ થાય.
આથી,$\frac{5}{8} = \frac{15}{x}$ મળે.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા,$5x = 8 \times 15$ મળે.
$5x = 120$.
$x = \frac{120}{5} = 24$.
તેથી,ચોથું પ્રમાણિત પદ $24$ છે.

(C) ધારો કે પ્રથમ સંખ્યા $x$ છે અને બીજી સંખ્યા $y$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$x$ ના $40 \% = y$ ના $\frac{2}{3}$ ભાગ.
આને આ રીતે લખી શકાય: $0.4x = \frac{2}{3}y$.
ગુણોત્તર $\frac{x}{y}$ શોધવા માટે,સમીકરણને ફરીથી ગોઠવો:
$\frac{x}{y} = \frac{2}{3 \times 0.4}$.
અહીં $0.4 = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$ હોવાથી,આપણે તેને સમીકરણમાં મૂકીએ:
$\frac{x}{y} = \frac{2}{3 \times (2/5)} = \frac{2}{6/5} = 2 \times \frac{5}{6} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}$.
તેથી,પ્રથમ સંખ્યા અને બીજી સંખ્યાનો ગુણોત્તર $5: 3$ છે.

(D) આપેલ છે કે $x$ એ $y$ ના વર્ગના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે,તેથી આપણે સંબંધને આ રીતે લખી શકીએ:
$x \propto \frac{1}{y^2}$ અથવા $x = \frac{k}{y^2}$,જ્યાં $k$ એક અચળાંક છે.
આપેલ છે કે $y=2$ હોય ત્યારે $x=1$,આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$1 = \frac{k}{2^2} \implies 1 = \frac{k}{4} \implies k = 4$.
હવે,$k=4$ નો ઉપયોગ કરીને $y=6$ હોય ત્યારે $x$ ની કિંમત શોધીએ:
$x = \frac{4}{6^2} = \frac{4}{36} = \frac{1}{9}$.
તેથી,$x$ ની કિંમત $\frac{1}{9}$ થશે.

(C) ઘણા બધા ગુણોત્તરોનો મિશ્ર ગુણોત્તર શોધવા માટે,તમામ પૂર્વપદો (antecedents) નો ગુણાકાર અને તમામ ઉત્તરપદો (consequents) નો ગુણાકાર કરવામાં આવે છે.
આપેલ ગુણોત્તર $(2: 5)$,$(6: 11)$ અને $(11: 3)$ માટે:
મિશ્ર ગુણોત્તર $= \frac{2 \times 6 \times 11}{5 \times 11 \times 3}$
$= \frac{132}{165}$
અંશ અને છેદને તેમના ગુરુત્તમ સામાન્ય અવયવ $(GCD)$,જે $33$ છે,તેના વડે ભાગતા:
$= \frac{132 \div 33}{165 \div 33} = \frac{4}{5}$
આમ,મિશ્ર ગુણોત્તર $4: 5$ છે.

(A) ધારો કે ગુણોત્તરના પદો $4$ અને $5$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,જો બંને પદોમાંથી $x$ બાદ કરવામાં આવે,તો નવો ગુણોત્તર $3:4$ મળે છે.
તેથી,$\frac{4-x}{5-x} = \frac{3}{4}$
ચોકડી ગુણાકાર કરતા:
$4(4-x) = 3(5-x)$
$16 - 4x = 15 - 3x$
$16 - 15 = 4x - 3x$
$x = 1$
આમ,સાચો જવાબ $1$ છે.

(B) ધારો કે ગુણોત્તર માટે સામાન્ય ગુણક $x$ છે.
તેથી,$P$ નો હિસ્સો $= 5x$ અને $Q$ નો હિસ્સો $= 6x$ થાય.
આપેલ છે કે $Q$ નો હિસ્સો ₹ $2400$ છે,તેથી $6x = 2400$.
$x$ માટે ઉકેલતા,આપણને $x = 2400 / 6 = 400$ મળે છે.
કુલ રકમ એ $P$ અને $Q$ ના હિસ્સાનો સરવાળો છે,જે $5x + 6x = 11x$ થાય.
$x$ ની કિંમત મૂકતા,કુલ રકમ $= 11 \times 400 = ₹ 4400$ થાય.

(C) બાજુઓનો ગુણોત્તર $a : b : c = 1/2 : 1/3 : 1/4$ આપેલ છે.
આ ગુણોત્તરને સરળ બનાવવા માટે,છેદ $(2, 3, 4)$ ના લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ એટલે કે $12$ વડે દરેક પદને ગુણો.
$a : b : c = (1/2 \times 12) : (1/3 \times 12) : (1/4 \times 12) = 6 : 4 : 3$.
ધારો કે બાજુઓ $6x, 4x$ અને $3x$ છે.
ત્રિકોણની પરિમિતિ તેની બાજુઓનો સરવાળો છે: $6x + 4x + 3x = 156$.
$13x = 156$.
$x = 156 / 13 = 12$.
સૌથી મોટી બાજુ ગુણોત્તરના સૌથી મોટા ભાગને અનુરૂપ છે,જે $6x$ છે.
સૌથી મોટી બાજુ $= 6 \times 12 = 72 \text{ cm}$.

(D) ધારો કે $P$ અને $Q$ ની આવક અનુક્રમે $3x$ અને $4x$ છે.
ધારો કે $P$ અને $Q$ નો ખર્ચ અનુક્રમે $2y$ અને $3y$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\text{આવક} - \text{ખર્ચ} = \text{બચત}$.
$P$ માટે: $3x - 2y = 2000$ --- (સમીકરણ $1$)
$Q$ માટે: $4x - 3y = 2000$ --- (સમીકરણ $2$)
સમીકરણ $1$ પરથી,$2y = 3x - 2000$,તેથી $y = (3x - 2000) / 2$.
$y$ ની કિંમત સમીકરણ $2$ માં મૂકતા:
$4x - 3((3x - 2000) / 2) = 2000$
$2$ વડે ગુણતા: $8x - 3(3x - 2000) = 4000$
$8x - 9x + 6000 = 4000$
$-x = -2000$,તેથી $x = 2000$.
$P$ ની આવક $3x = 3 \times 2000 = ₹ 6000$ છે.

(C) ધારો કે છોકરાઓની સંખ્યા $6k$ અને છોકરીઓની સંખ્યા $5k$ છે,જ્યાં $k$ એક અચળાંક છે.
વિદ્યાર્થીઓની કુલ સંખ્યા છોકરાઓ અને છોકરીઓના સરવાળા જેટલી થાય: $6k + 5k = 11k$.
આપેલ છે કે છોકરાઓની સંખ્યા $192$ છે,તેથી:
$6k = 192$
$k$ ની કિંમત શોધતા:
$k = \frac{192}{6} = 32$
હવે,$k$ ની કિંમતને વિદ્યાર્થીઓની કુલ સંખ્યાના સમીકરણમાં મૂકતા:
કુલ વિદ્યાર્થીઓ $= 11k = 11 \times 32 = 352$.
તેથી,સંસ્થામાં વિદ્યાર્થીઓની કુલ સંખ્યા $352$ છે.

(A) ધારો કે જરૂરી અપૂર્ણાંક $x$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$x$ નો $\frac{1}{27}$ સાથેનો ગુણોત્તર એ $\frac{3}{11}$ નો $\frac{5}{9}$ સાથેના ગુણોત્તર જેટલો છે.
આને આ રીતે લખી શકાય: $\frac{x}{1/27} = \frac{3/11}{5/9}$.
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા: $x \times 27 = \frac{3}{11} \times \frac{9}{5}$.
$x \times 27 = \frac{27}{55}$.
બંને બાજુ $27$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે: $x = \frac{27}{55} \times \frac{1}{27} = \frac{1}{55}$.
તેથી,જરૂરી અપૂર્ણાંક $\frac{1}{55}$ છે.

(D) આપેલ ગુણોત્તર $A : B : C = 2 : 3 : 4$ છે.
આપણે $\frac{A}{B} : \frac{B}{C} : \frac{C}{A}$ ની કિંમત શોધવાની છે.
પદમાં $A = 2, B = 3$ અને $C = 4$ મૂકતા:
$\frac{A}{B} : \frac{B}{C} : \frac{C}{A} = \frac{2}{3} : \frac{3}{4} : \frac{4}{2}.$
છેલ્લું પદ સાદું રૂપ આપતા:
$\frac{4}{2} = 2.$
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{2}{3} : \frac{3}{4} : 2$ થાય છે.
છેદ દૂર કરવા માટે,દરેક પદને $3$ અને $4$ ના લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ એટલે કે $12$ વડે ગુણતા:
$\left(\frac{2}{3} \times 12\right) : \left(\frac{3}{4} \times 12\right) : (2 \times 12) = 8 : 9 : 24.$
આમ,સાચો ગુણોત્તર $8 : 9 : 24$ છે.

(B) ધારો કે $60, 48$ અને $30$ માટે ચોથું પ્રમાણિત $x$ છે.
પ્રમાણની વ્યાખ્યા મુજબ,આપણી પાસે $60 : 48 = 30 : x$ છે.
આને $\frac{60}{48} = \frac{30}{x}$ તરીકે લખી શકાય છે.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા $60 \times x = 30 \times 48$ મળે છે.
$x$ માટે ઉકેલતા,આપણને $x = \frac{30 \times 48}{60}$ મળે છે.
$x = \frac{1440}{60} = 24$.
તેથી,ચોથું પ્રમાણિત $24$ છે.

(C) આપેલ પ્રમાણ $27: 72 :: x: 8$ છે.
પ્રમાણ $a: b :: c: d$ માં,મધ્યમ પદોનો ગુણાકાર એ અંતિમ પદોના ગુણાકાર જેટલો હોય છે,એટલે કે $a \times d = b \times c$.
વૈકલ્પિક રીતે,આપણે તેને અપૂર્ણાંક તરીકે લખી શકીએ: $\frac{27}{72} = \frac{x}{8}$.
અપૂર્ણાંક $\frac{27}{72}$ ના અંશ અને છેદને $9$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{3}{8}$ મળે છે.
તેથી,$\frac{3}{8} = \frac{x}{8}$.
બંને બાજુની સરખામણી કરતા,આપણને $x = 3$ મળે છે.

(A) બે સંખ્યાઓ $a$ અને $b$ માટે ત્રીજું પ્રમાણિત $x$ શોધવા માટે,આપણે $a:b :: b:x$ સંબંધનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
અહીં $a = 4$ અને $b = 42$ આપેલ છે,તેથી પ્રમાણ $4:42 :: 42:x$ થશે.
આને સમીકરણ $\frac{4}{42} = \frac{42}{x}$ તરીકે લખી શકાય છે.
$x$ માટે ઉકેલતા,આપણને $x = \frac{42 \times 42}{4}$ મળે છે.
$x = \frac{1764}{4} = 441$.
તેથી,ત્રીજું પ્રમાણિત $441$ છે.

(A) આપેલ પ્રમાણ $18: x = x: 8$ છે.
આને અપૂર્ણાંક સ્વરૂપમાં $\frac{18}{x} = \frac{x}{8}$ તરીકે લખી શકાય.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા,આપણને $x^2 = 18 \times 8$ મળે છે.
ગુણાકાર કરતા,$x^2 = 144$ મળે.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,$x = \sqrt{144} = 12$ મળે છે.
તેથી,$x$ ની કિંમત $12$ છે.

(B) ધારો કે $0.8$ અને $0.2$ નું ત્રીજું પ્રમાણિત પદ $x$ છે.
ત્રીજા પ્રમાણિત પદની વ્યાખ્યા મુજબ,$0.8, 0.2, x$ એ સતત પ્રમાણમાં છે.
આનો અર્થ એ છે કે $0.8 : 0.2 :: 0.2 : x$.
આને આપણે $\frac{0.8}{0.2} = \frac{0.2}{x}$ તરીકે લખી શકીએ.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા,આપણને મળે છે $0.8 \times x = 0.2 \times 0.2$.
$x = \frac{0.2 \times 0.2}{0.8}$.
$x = \frac{0.04}{0.8} = \frac{0.4}{8} = 0.05$.
તેથી,ત્રીજું પ્રમાણિત પદ $0.05$ છે.

(C) ધારો કે $0.2, 0.12$ અને $0.3$ નું ચોથું પ્રમાણિત પદ $x$ છે.
પ્રમાણની વ્યાખ્યા મુજબ,આપણી પાસે છે:
$0.2 : 0.12 = 0.3 : x$
આને આ રીતે લખી શકાય:
$\frac{0.2}{0.12} = \frac{0.3}{x}$
$x$ ની કિંમત શોધવા માટે ચોકડી ગુણાકાર કરતા:
$0.2 \times x = 0.3 \times 0.12$
$x = \frac{0.3 \times 0.12}{0.2}$
$x = \frac{0.036}{0.2}$
$x = 0.18$
તેથી,ચોથું પ્રમાણિત પદ $0.18$ છે.

(A) ગુણોત્તરને $\frac{\text{પૂર્વપદ}}{\text{ઉત્તરપદ}}$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
આપેલ ગુણોત્તર $11: 14$ છે અને પૂર્વપદ $55$ છે.
ધારો કે ઉત્તરપદ $x$ છે.
તેથી,$\frac{11}{14} = \frac{55}{x}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા,$11x = 55 \times 14$ મળે.
$x = \frac{55 \times 14}{11}$.
$x = 5 \times 14 = 70$.
આમ,ઉત્તરપદ $70$ છે.

(C) ધારો કે $64$ અને $81$ વચ્ચેનું મધ્યપ્રમાણ $x$ છે.
વ્યાખ્યા મુજબ,$64 : x :: x : 81$.
આને $\frac{64}{x} = \frac{x}{81}$ તરીકે લખી શકાય છે.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા,$x^2 = 64 \times 81$ મળે.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,$x = \sqrt{64 \times 81} = \sqrt{64} \times \sqrt{81}$.
$x = 8 \times 9 = 72$.
આમ,મધ્યપ્રમાણ $72$ છે.

(B) ધારો કે $0.25$ અને $0.04$ નું મધ્યપ્રમાણિત $x$ છે.
વ્યાખ્યા મુજબ,બે સંખ્યાઓ $a$ અને $b$ નું મધ્યપ્રમાણિત $x = \sqrt{a \times b}$ દ્વારા મળે છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે $x = \sqrt{0.25 \times 0.04}$.
$x = \sqrt{0.01}$.
$x = 0.1$.
તેથી,મધ્યપ્રમાણિત $0.1$ છે.

(B) ધારો કે બે સંખ્યાઓ $3x$ અને $4x$ છે,જ્યાં $x$ એ સામાન્ય ગુણક છે.
પ્રશ્ન મુજબ,બે સંખ્યાઓનો સરવાળો $420$ છે.
તેથી,$3x + 4x = 420$.
$7x = 420$.
$x = \frac{420}{7} = 60$.
પ્રથમ સંખ્યા $3x = 3 \times 60 = 180$ છે.
બીજી સંખ્યા $4x = 4 \times 60 = 240$ છે.
અહીં $240 > 180$ હોવાથી,મોટી સંખ્યા $240$ છે.

(C) આપેલ છે કે છોકરાઓ અને છોકરીઓનો ગુણોત્તર $9:5$ છે.
ધારો કે છોકરાઓની સંખ્યા $9x$ અને છોકરીઓની સંખ્યા $5x$ છે.
કુલ વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા $9x + 5x = 14x$ થાય.
પ્રશ્ન મુજબ,કુલ વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા $1050$ છે.
તેથી,$14x = 1050$.
$x = \frac{1050}{14} = 75$.
આમ,છોકરાઓની સંખ્યા $9x = 9 \times 75 = 675$ થાય.

(A) કુલ રકમ ₹ $1200$ છે અને ગુણોત્તર $5: 7: 13$ છે.
ધારો કે હિસ્સો $5x, 7x$ અને $13x$ છે.
હિસ્સાનો સરવાળો $5x + 7x + 13x = 25x$ થાય છે.
આપેલ છે કે $25x = 1200$,તેથી $x = \frac{1200}{25} = 48$ મળે છે.
$B$ નો હિસ્સો = $7x = 7 \times 48 = 336$.
$C$ નો હિસ્સો = $13x = 13 \times 48 = 624$.
$C$ અને $B$ ના હિસ્સા વચ્ચેનો તફાવત = $624 - 336 = 288$.

(B) કુલ રકમ $= ₹ 660$ આપેલ છે.
અમિત,સુમિત અને પુનીતના હિસ્સાનો ગુણોત્તર $3: 4: 5$ છે.
ધારો કે તેમના હિસ્સા અનુક્રમે $3x, 4x$ અને $5x$ છે.
હિસ્સાનો સરવાળો $3x + 4x + 5x = 12x$ થાય.
પ્રશ્ન મુજબ,$12x = 660$.
$x$ માટે ઉકેલતા: $x = \frac{660}{12} = 55$.
પુનીતનો હિસ્સો $5x = 5 \times 55 = ₹ 275$ છે.

(C) ધારો કે ત્રણ સંખ્યાઓ $12x, 15x,$ અને $25x$ છે.
આપેલ છે કે આ સંખ્યાઓનો સરવાળો $312$ છે,તેથી $12x + 15x + 25x = 312$.
$52x = 312$,જે આપણને $x = \frac{312}{52} = 6$ આપે છે.
તેથી,સંખ્યાઓ $A = 12 \times 6 = 72$,$B = 15 \times 6 = 90$,અને $C = 25 \times 6 = 150$ છે.
$B$ અને $A$ વચ્ચેનો તફાવત $B - A = 90 - 72 = 18$ છે.
$C$ અને $B$ વચ્ચેનો તફાવત $C - B = 150 - 90 = 60$ છે.
જરૂરી ગુણોત્તર $(B - A) : (C - B) = 18 : 60$ છે.
બંને પદોને $6$ વડે ભાગતા,આપણને $3 : 10$ મળે છે.

(B) ધારો કે સ્કૂટરની કિંમત $3x$ છે અને ટેલિવિઝન સેટની કિંમત $2x$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,સ્કૂટરની કિંમત ટેલિવિઝન સેટ કરતા ₹ $600$ વધારે છે.
તેથી,$3x - 2x = 600$.
$x$ માટે ઉકેલતા,આપણને $x = 600$ મળે છે.
ટેલિવિઝન સેટની કિંમત $2x = 2 \times 600 = ₹ 1200$ છે.

(A) ધારો કે બે સંખ્યાઓ $4x$ અને $9x$ છે,જ્યાં $x$ એ સામાન્ય ગુણક છે.
પ્રશ્ન મુજબ,મોટી સંખ્યા નાની સંખ્યા કરતાં $35$ વધારે છે:
$9x - 4x = 35$
$5x = 35$
$x = 7$
હવે,બંને સંખ્યાઓ નીચે મુજબ છે:
પ્રથમ સંખ્યા $= 4 \times 7 = 28$
બીજી સંખ્યા $= 9 \times 7 = 63$
બંને સંખ્યાઓનો ગુણાકાર:
$28 \times 63 = 1764$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) ધારો કે $A$,$B$ અને $C$ ની આવક અનુક્રમે $2x$,$5x$ અને $11x$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$B$ ની આવક $A$ ની આવક કરતા ₹ $291$ વધારે છે.
તેથી,$5x - 2x = 291$.
$3x = 291$.
$x = \frac{291}{3} = 97$.
$C$ ની આવક $11x$ છે.
$C$ ની આવક = $11 \times 97 = ₹ 1067$.

(B) આપેલ ગુણોત્તર $A: B = 7: 5$ અને $B: C = 9: 11$ છે.
$A: B: C$ શોધવા માટે,આપણે બંને ગુણોત્તરમાં $B$ ની કિંમત સમાન બનાવવી પડશે.
પ્રથમ ગુણોત્તરમાં $B$ ની કિંમત $5$ છે અને બીજા ગુણોત્તરમાં $9$ છે.
$5$ અને $9$ નો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ $45$ છે.
પ્રથમ ગુણોત્તરને $9$ વડે ગુણતા: $A: B = (7 \times 9) : (5 \times 9) = 63: 45.$
બીજા ગુણોત્તરને $5$ વડે ગુણતા: $B: C = (9 \times 5) : (11 \times 5) = 45: 55.$
હવે,બંનેને જોડતા,આપણને $A: B: C = 63: 45: 55$ મળે છે.

(C) આપેલ ગુણોત્તર $A/B = 3/4$,$B/C = 4/5$,અને $C/D = 5/6$ છે.
$A: D$ શોધવા માટે,આપણે આપેલા ગુણોત્તરનો ગુણાકાર કરીશું:
$A/D = (A/B) \times (B/C) \times (C/D)$
$A/D = (3/4) \times (4/5) \times (5/6)$
અંશ અને છેદમાં સમાન પદોને રદ કરતા:
$A/D = 3/6$
$A/D = 1/2$
તેથી,$A: D = 1: 2$ થાય.