Ratio and Proportion Questions in Gujarati

(D) ધારો કે રામુ અને સોમુની હાલની ઉંમર અનુક્રમે $R$ અને $S$ છે.
એક વર્ષ પહેલાં,તેમની ઉંમરનો ગુણોત્તર $(R-1) : (S-1) = 6 : 7$ હતો.
આથી $7(R-1) = 6(S-1)$,એટલે કે $7R - 7 = 6S - 6$,જેનું સાદું રૂપ $7R - 6S = 1$ (સમીકરણ $i$) થાય છે.
ચાર વર્ષ પછી,તેમની ઉંમરનો ગુણોત્તર $(R+4) : (S+4) = 7 : 8$ થશે.
આથી $8(R+4) = 7(S+4)$,એટલે કે $8R + 32 = 7S + 28$,જેનું સાદું રૂપ $8R - 7S = -4$ (સમીકરણ $ii$) થાય છે.
સમીકરણો ઉકેલવા માટે:
સમીકરણ $(i)$ ને $8$ વડે ગુણતા: $56R - 48S = 8$ (સમીકરણ $iii$).
સમીકરણ $(ii)$ ને $7$ વડે ગુણતા: $56R - 49S = -28$ (સમીકરણ $iv$).
સમીકરણ $(iii)$ માંથી સમીકરણ $(iv)$ બાદ કરતા:
$(56R - 48S) - (56R - 49S) = 8 - (-28)$
$S = 36$.
તેથી,સોમુની હાલની ઉંમર $36$ વર્ષ છે.

(B) આપેલ છે કે $A$ ના $33 \% = B$ ના $55 \%$.
આને આ રીતે લખી શકાય: $\frac{33}{100} \times A = \frac{55}{100} \times B$.
બંને બાજુ $100$ વડે ગુણતા,આપણને મળે: $33A = 55B$.
$A:B$ નો ગુણોત્તર શોધવા માટે,સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા: $\frac{A}{B} = \frac{55}{33}$.
અંશ અને છેદ બંનેને $11$ વડે ભાગતા,આપણને મળે: $\frac{A}{B} = \frac{5}{3}$.
તેથી,$A$ અને $B$ નો ગુણોત્તર $5:3$ છે.

(A) $550$ ના બે-પંચમાંશ $(2/5)$ ના $68 \%$ ની કિંમત શોધવા માટે નીચેના પગલાં અનુસરો:
$1$. પ્રથમ,$550$ ના બે-પંચમાંશ શોધો: $\frac{2}{5} \times 550 = 2 \times 110 = 220$.
$2$. ત્યારબાદ,પરિણામ $(220)$ ના $68 \%$ શોધો:
$220$ ના $68 \% = \frac{68}{100} \times 220$.
$3$. પદાવલિનું સાદું રૂપ આપતા: $\frac{68 \times 22}{10} = \frac{1496}{10} = 149.6$.

(D) ધારો કે તે સંખ્યા $n$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$n$ ના $45 \%$ માંથી $24$ બાદ કરતા $48$ મળે છે.
$\frac{45}{100} n - 24 = 48$
$\frac{9}{20} n = 48 + 24$
$\frac{9}{20} n = 72$
$n = 72 \times \frac{20}{9}$
$n = 8 \times 20 = 160$
હવે,આપણે તે સંખ્યા $n$ નો $\frac{3}{8}$ ભાગ શોધવાનો છે.
$\frac{3}{8} \times 160 = 3 \times 20 = 60$.

(A) ધારો કે તે સંખ્યા $x$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$x$ ના $30 \% = 190.8$.
આને આ રીતે લખી શકાય: $\frac{30}{100} \times x = 190.8$.
$x$ માટે ઉકેલતા: $x = \frac{190.8 \times 100}{30} = \frac{19080}{30} = 636$.
હવે,આપણે આ સંખ્યા $x$ ના $175 \%$ શોધવાના છે.
$636$ ના $175 \% = \frac{175}{100} \times 636$.
$= 1.75 \times 636 = 1113$.
વૈકલ્પિક રીતે,સંખ્યાના $175 \% = \frac{190.8}{30} \times 175 = 6.36 \times 175 = 1113$.

(C) સૌ પ્રથમ,$1000$ નો $(\frac{3}{8})$ મો ભાગ શોધો:
$\frac{3}{8} \times 1000 = 375$.
હવે,$375$ ના $32 \%$ શોધો:
$32 \% \text{ of } 375 = \frac{32}{100} \times 375$.
$= 0.32 \times 375 = 120$.

(C) ધારો કે ત્રીજી સંખ્યા $x$ છે.
પ્રથમ સંખ્યા $x$ કરતાં $20 \%$ વધારે છે,એટલે કે $x + 0.20x = 1.2x$.
બીજી સંખ્યા $x$ કરતાં $50 \%$ વધારે છે,એટલે કે $x + 0.50x = 1.5x$.
આ બે સંખ્યાઓનો ગુણોત્તર $\frac{1.2x}{1.5x} = \frac{1.2}{1.5} = \frac{12}{15} = \frac{4}{5}$ થાય.
તેથી,ગુણોત્તર $4:5$ છે.

(C) $A, B, C, D$ વચ્ચે વહેંચણીનું પ્રમાણ $5: 2: 4: 3$ છે.
ધારો કે $A, B, C, D$ ના હિસ્સા અનુક્રમે $5x, 2x, 4x, 3x$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$C$ ને $D$ કરતા $Rs. 1000$ વધુ મળે છે.
તેથી,$4x - 3x = 1000$.
$x = 1000$.
$B$ નો હિસ્સો $2x$ છે.
તેથી,$B$ નો હિસ્સો $= 2 \times 1000 = Rs. 2000$.

(B) આપેલ પ્રમાણ $0.75 : x :: 5 : 8$ છે.
આને સમીકરણ તરીકે આ રીતે લખી શકાય: $\frac{0.75}{x} = \frac{5}{8}.$
ચોકડી ગુણાકાર કરતા,આપણને મળે: $5x = 0.75 \times 8.$
ગુણાકારની ગણતરી કરતા: $5x = 6.00.$
બંને બાજુ $5$ વડે ભાગતા: $x = \frac{6}{5} = 1.2.$
તેથી,$x$ ની કિંમત $1.2$ છે.

(B) ધારો કે ત્રણ સંખ્યાઓ $I, II$ અને $III$ છે.
આપેલ છે કે $I + II + III = 98$.
ગુણોત્તર $I : II = 2 : 3$ અને $II : III = 5 : 8$ છે.
આ ગુણોત્તરોને જોડવા માટે,આપણે $II$ ની કિંમત બંનેમાં સમાન બનાવીશું.
પ્રથમ ગુણોત્તરને $5$ વડે અને બીજા ગુણોત્તરને $3$ વડે ગુણતા:
$I : II = (2 \times 5) : (3 \times 5) = 10 : 15$
$II : III = (5 \times 3) : (8 \times 3) = 15 : 24$
આમ,સંયુક્ત ગુણોત્તર $I : II : III = 10 : 15 : 24$ મળે છે.
ધારો કે સંખ્યાઓ $10x, 15x$ અને $24x$ છે.
સરવાળો $= 10x + 15x + 24x = 49x$.
આપેલ છે કે $49x = 98$,તેથી $x = 98 / 49 = 2$.
બીજી સંખ્યા $15x = 15 \times 2 = 30$ છે.

(D) આપેલ ગુણોત્તર $\frac{1}{2}: \frac{2}{3}: \frac{3}{4}$ છે.
ગુણોત્તરને સરળ બનાવવા માટે,છેદ $2, 3,$ અને $4$ નો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી ($L$.$C$.$M$.) શોધો,જે $12$ છે.
ગુણોત્તરના દરેક પદને $12$ વડે ગુણતા:
$\frac{1}{2} \times 12 : \frac{2}{3} \times 12 : \frac{3}{4} \times 12 = 6 : 8 : 9$.
ગુણોત્તરના ભાગોનો સરવાળો $6 + 8 + 9 = 23$ થાય છે.
કુલ રકમ રૂ. $872$ આપેલ છે,તેથી $23 \text{ units} = 872$.
તેથી,$1 \text{ unit} = \frac{872}{23} \approx 37.913$.
પ્રથમ ભાગ $6 \text{ units} = 6 \times \frac{872}{23} = \frac{5232}{23} \approx 227.48$ થાય.
આપેલ વિકલ્પો મુજબ,પ્રથમ ભાગ $227.46$ છે.

(B) ત્રણ સંખ્યાઓ $a, b, c$ માટે ચોથું પ્રમાણિત પદ શોધવા માટે,આપણે $a : b :: c : x$ સંબંધનો ઉપયોગ કરીએ છીએ,જ્યાં $x$ એ ચોથું પ્રમાણિત પદ છે.
આને સમીકરણ $\frac{a}{b} = \frac{c}{x}$ તરીકે લખી શકાય છે.
આપેલ સંખ્યાઓ $5, 8, 15$ માટે,આપણે પ્રમાણ $5 : 8 :: 15 : x$ તરીકે ગોઠવીએ છીએ.
આનો અર્થ એ થાય કે $\frac{5}{8} = \frac{15}{x}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા,આપણને $5x = 8 \times 15$ મળે છે.
$5x = 120$.
$x = \frac{120}{5} = 24$.
તેથી,ચોથું પ્રમાણિત પદ $24$ છે.

(B) ધારો કે બે સંખ્યાઓ $3x$ અને $5x$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,જો દરેકમાંથી $9$ બાદ કરવામાં આવે,તો ગુણોત્તર $12: 23$ થાય છે.
તેથી,$\frac{3x - 9}{5x - 9} = \frac{12}{23}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા: $23(3x - 9) = 12(5x - 9)$.
$69x - 207 = 60x - 108$.
$69x - 60x = 207 - 108$.
$9x = 99$.
$x = 11$.
આમ,બે સંખ્યાઓ $3x = 3 \times 11 = 33$ અને $5x = 5 \times 11 = 55$ છે.
નાની સંખ્યા $33$ છે.

(D) ધારો કે પ્રથમ સંખ્યા $a$ છે અને બીજી સંખ્યા $b$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,પ્રથમ સંખ્યામાં $40 \%$ નો ઘટાડો કરતા તે બીજી સંખ્યાના $\frac{2}{3}$ ગણી થાય છે.
$a - 0.40a = \frac{2}{3}b$
$0.60a = \frac{2}{3}b$
$\frac{60}{100}a = \frac{2}{3}b$
$\frac{3}{5}a = \frac{2}{3}b$
બીજી સંખ્યા $(b)$ અને પ્રથમ સંખ્યા $(a)$ નો ગુણોત્તર શોધવા માટે,આપણે સમીકરણને ફરીથી ગોઠવીએ:
$\frac{b}{a} = \frac{3}{5} \times \frac{3}{2} = \frac{9}{10}$
તેથી,બીજી સંખ્યા અને પ્રથમ સંખ્યાનો ગુણોત્તર $9:10$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણ: $\frac{5a+3b}{2a-3b} = \frac{23}{5}$
ડાબી બાજુના અંશ અને છેદને $b$ વડે ભાગતા:
$\frac{5(a/b) + 3}{2(a/b) - 3} = \frac{23}{5}$
ધારો કે $\frac{a}{b} = x$. સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા:
$\frac{5x + 3}{2x - 3} = \frac{23}{5}$
ચોકડી ગુણાકાર કરતા:
$5(5x + 3) = 23(2x - 3)$
$25x + 15 = 46x - 69$
પદોને ગોઠવતા:
$69 + 15 = 46x - 25x$
$84 = 21x$
$x = \frac{84}{21} = 4$
તેથી,$\frac{a}{b} = 4$,એટલે કે $a:b$ નો ગુણોત્તર $4:1$ થાય.

(C) આપેલ ગુણોત્તર $P: Q = 8: 15$ અને $Q: R = 3: 2$ છે.
$P: Q: R$ શોધવા માટે,આપણે બંને ગુણોત્તરમાં $Q$ ની કિંમત સમાન બનાવવી પડશે.
પ્રથમ ગુણોત્તરમાં $Q$ ની કિંમત $15$ છે અને બીજા ગુણોત્તરમાં $3$ છે.
તેમને સમાન બનાવવા માટે,બીજા ગુણોત્તર $Q: R = 3: 2$ ને $5$ વડે ગુણો:
$Q: R = (3 \times 5) : (2 \times 5) = 15: 10$.
હવે,આપણી પાસે $P: Q = 8: 15$ અને $Q: R = 15: 10$ છે.
આ બંનેને જોડતા,આપણને $P: Q: R = 8: 15: 10$ મળે છે.

(A) $P: S$ શોધવા માટે,આપણે આપેલા ગુણોત્તરોનો ગુણાકાર કરી શકીએ છીએ:
$P: S = (P/Q) \times (Q/R) \times (R/S)$
$P: S = (8/15) \times (5/8) \times (4/5)$
સામાન્ય પદોને દૂર કરતા:
$P: S = (8 \times 5 \times 4) / (15 \times 8 \times 5)$
$P: S = 4 / 15$
તેથી,$P: S = 4: 15$ થાય.

(A) ધારો કે $4, 16, 7$ નો ચોથો પ્રમાણિત $x$ છે.
પ્રમાણની વ્યાખ્યા મુજબ,આપણી પાસે છે:
$4 : 16 :: 7 : x$
આને આ રીતે લખી શકાય:
$\frac{4}{16} = \frac{7}{x}$
ચોકડી ગુણાકાર કરતા:
$4x = 16 \times 7$
બંને બાજુ $4$ વડે ભાગતા:
$x = \frac{16 \times 7}{4}$
$x = 4 \times 7$
$x = 28$
તેથી,ચોથો પ્રમાણિત $28$ છે.

(B) ધારો કે મધ્યપ્રમાણ $r$ છે.
વ્યાખ્યા મુજબ,જો $r$ એ $a$ અને $b$ વચ્ચેનું મધ્યપ્રમાણ હોય,તો $a:r :: r:b$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{a}{r} = \frac{r}{b}$ અથવા $r^2 = a \times b$.
અહીં,$a = 9$ અને $b = 64$ છે.
તેથી,$r^2 = 9 \times 64$.
$r = \sqrt{9 \times 64} = \sqrt{9} \times \sqrt{64} = 3 \times 8 = 24$.
આમ,મધ્યપ્રમાણ $24$ છે.

(A) આપેલ ગુણોત્તર $a:b$ નો વર્ગાનુપાત (duplicate ratio) $a^2:b^2$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
આપેલ ગુણોત્તર $2:7$ માટે,વર્ગાનુપાત નીચે મુજબ ગણવામાં આવે છે:
$2^2 : 7^2 = 4 : 49$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) આપેલ ગુણોત્તર $a:b$ નો ઉપ-દ્વિતીય ગુણોત્તર (sub-duplicate ratio) તેના પદોના વર્ગમૂળના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે,જે $\sqrt{a}:\sqrt{b}$ છે.
આપેલ ગુણોત્તર $81:64$ માટે,ઉપ-દ્વિતીય ગુણોત્તર નીચે મુજબ ગણવામાં આવે છે:
$\sqrt{81}:\sqrt{64} = 9:8$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) આપેલ ગુણોત્તર $a:b$ નો ત્રિઘાત ગુણોત્તર $a^3:b^3$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
આપેલ ગુણોત્તર $7:5$ માટે,ત્રિઘાત ગુણોત્તર નીચે મુજબ ગણવામાં આવે છે:
$7^3 : 5^3 = (7 \times 7 \times 7) : (5 \times 5 \times 5) = 343 : 125$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) આપેલ ગુણોત્તર $a:b$ નો વ્યસ્ત ગુણોત્તર $b:a$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
અહીં આપેલ ગુણોત્તર $17:19$ છે,જેમાં $a = 17$ અને $b = 19$ છે.
તેથી,તેનો વ્યસ્ત ગુણોત્તર $19:17$ થશે.

(B) ઘણા ગુણોત્તરોનો મિશ્ર ગુણોત્તર શોધવા માટે,તમામ પૂર્વપદોનો ગુણાકાર અને તમામ ઉત્તરપદોનો ગુણાકાર કરવામાં આવે છે.
આપેલ ગુણોત્તર $2:7$,$5:3$ અને $4:7$ માટે:
પૂર્વપદો $2, 5, 4$ છે.
ઉત્તરપદો $7, 3, 7$ છે.
મિશ્ર ગુણોત્તર $= (2 \times 5 \times 4) : (7 \times 3 \times 7)$.
$= 40 : 147$.

(D) આપેલ ગુણોત્તર $A: B = 3: 4$ અને $B: C = 8: 9$ છે.
$A: B: C$ શોધવા માટે,આપણે બંને ગુણોત્તરમાં $B$ ની કિંમત સમાન બનાવવી પડશે.
પ્રથમ ગુણોત્તરમાં $B = 4$ છે અને બીજા ગુણોત્તરમાં $B = 8$ છે.
$B$ ને સમાન કરવા માટે,પ્રથમ ગુણોત્તરને $2$ વડે ગુણો:
$A: B = (3 \times 2) : (4 \times 2) = 6: 8$.
હવે,આપણી પાસે $A: B = 6: 8$ અને $B: C = 8: 9$ છે.
કારણ કે હવે બંનેમાં $B$ ની કિંમત $8$ છે,તેથી આપણે તેમને જોડી શકીએ છીએ:
$A: B: C = 6: 8: 9$.

(D) આપેલ ગુણોત્તર $a: b = 3: 5$ અને $b: c = 4: 7$ છે.
$a: c$ શોધવા માટે,આપણે બંને ગુણોત્તરનો ગુણાકાર કરી શકીએ છીએ:
$\frac{a}{c} = \frac{a}{b} \times \frac{b}{c}$
$\frac{a}{c} = \frac{3}{5} \times \frac{4}{7}$
$\frac{a}{c} = \frac{12}{35}$
તેથી,$a: c = 12: 35$ થાય.

(A) આપેલ ગુણોત્તર $P: Q: R = 2: 3: 4$ છે.
ધારો કે $P = 2k, Q = 3k, R = 4k$ જ્યાં $k \neq 0$ એક અચળાંક છે.
હવે,વ્યક્તિગત ગુણોત્તરની ગણતરી કરો:
$\frac{P}{Q} = \frac{2k}{3k} = \frac{2}{3}$
$\frac{Q}{R} = \frac{3k}{4k} = \frac{3}{4}$
$\frac{R}{P} = \frac{4k}{2k} = \frac{4}{2} = 2$
હવે,$\frac{P}{Q}: \frac{Q}{R}: \frac{R}{P} = \frac{2}{3}: \frac{3}{4}: 2$ ગુણોત્તર શોધો.
આને સરળ બનાવવા માટે,છેદ $3$ અને $4$ ના લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ એટલે કે $12$ વડે દરેક પદને ગુણો:
$\left(\frac{2}{3} \times 12\right): \left(\frac{3}{4} \times 12\right): (2 \times 12) = 8: 9: 24.$
આમ,જરૂરી ગુણોત્તર $8: 9: 24$ છે.

(A) આપેલ છે કે $\frac{a}{3} = \frac{b}{8}$.
ધારો કે $\frac{a}{3} = \frac{b}{8} = k$,જ્યાં $k$ એક અચળાંક છે.
તેથી $a = 3k$ અને $b = 8k$ થાય.
આપણે $(a + 3) : (b + 8)$ નો ગુણોત્તર શોધવાનો છે.
$a$ અને $b$ ની કિંમતો $k$ ના સ્વરૂપમાં મૂકતા:
$(a + 3) : (b + 8) = (3k + 3) : (8k + 8)$.
સામાન્ય પદો બહાર કાઢતા:
$(3(k + 1)) : (8(k + 1))$.
કારણ કે $k + 1 \neq 0$,તેથી આપણે બંને બાજુથી $(k + 1)$ ને છેદમાં ઉડાડી શકીએ છીએ:
ગુણોત્તર $= 3 : 8$.

(B) $4^{3.5} : 2^{5}$ નો ગુણોત્તર શોધવા માટે,આપણે બંને પદોને સમાન આધારમાં ફેરવીશું.
કારણ કે $4 = 2^{2}$,આપણે $4^{3.5}$ ને $(2^{2})^{3.5}$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
ઘાતાંકના નિયમ $(a^{m})^{n} = a^{m \times n}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $(2^{2})^{3.5} = 2^{2 \times 3.5} = 2^{7}$ મળે છે.
હવે,ગુણોત્તર $2^{7} : 2^{5}$ થાય છે.
ઘાતાંકના ભાગાકારના નિયમ $\frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m-n}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\frac{2^{7}}{2^{5}} = 2^{7-5} = 2^{2} = 4$ મળે છે.
આમ,ગુણોત્તર $4 : 1$ છે.

(B) આપેલ પ્રમાણ $2: x :: 5: 7$ છે.
આને સમીકરણ તરીકે $\frac{2}{x} = \frac{5}{7}$ લખી શકાય.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા,આપણને $5 \times x = 2 \times 7$ મળે છે.
$5x = 14$.
બંને બાજુ $5$ વડે ભાગતા,આપણને $x = \frac{14}{5}$ મળે છે.
તેથી,$x = 2.80$.

(C) ધારો કે $A, B,$ અને $C$ ના પ્રારંભિક પગાર અનુક્રમે $2x, 3x,$ અને $5x$ છે.
$A$ નો નવો પગાર $= 2x + 2x$ ના $15\% = 2x + 0.3x = 2.3x$.
$B$ નો નવો પગાર $= 3x + 3x$ ના $10\% = 3x + 0.3x = 3.3x$.
$C$ નો નવો પગાર $= 5x + 5x$ ના $20\% = 5x + 1.0x = 6x$.
તેમના પગારનો નવો ગુણોત્તર $2.3x : 3.3x : 6x$ છે.
સરળ બનાવવા માટે,દરેક પદને $10$ વડે ગુણો:
$23 : 33 : 60$.

(D) સૌ પ્રથમ,છેદ $2, 3,$ અને $4$ નો લ.સા.અ. $(L.C.M.)$ શોધો,જે $12$ છે.
ગુણોત્તરના દરેક પદને $12$ વડે ગુણીને તેને પૂર્ણાંક સંખ્યામાં ફેરવો:
$\left(\frac{1}{2} \times 12\right) : \left(\frac{2}{3} \times 12\right) : \left(\frac{3}{4} \times 12\right) = 6 : 8 : 9$.
ગુણોત્તરના ભાગોનો સરવાળો $6 + 8 + 9 = 23$ થાય છે.
આપેલ છે કે કુલ રકમ $Rs. 782$ છે,તેથી $23 \text{ units} = 782$.
તેથી,$1 \text{ unit} = \frac{782}{23} = 34$.
પ્રથમ ભાગ $6 \text{ units}$ ને અનુરૂપ છે,તેથી પ્રથમ ભાગ $= 6 \times 34 = 204$.

(C) ધારો કે બે સંખ્યાઓ $x$ અને $2x$ છે કારણ કે તેમનો ગુણોત્તર $1: 2$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,જો બંનેમાં $7$ ઉમેરવામાં આવે,તો નવો ગુણોત્તર $3: 5$ થાય છે.
$\frac{x + 7}{2x + 7} = \frac{3}{5}$
ચોકડી ગુણાકાર કરતા:
$5(x + 7) = 3(2x + 7)$
$5x + 35 = 6x + 21$
$x$ ની કિંમત શોધવા માટે પદોને ગોઠવતા:
$35 - 21 = 6x - 5x$
$x = 14$
તેથી બે સંખ્યાઓ $x = 14$ અને $2x = 2(14) = 28$ છે.
સૌથી મોટી સંખ્યા $28$ છે.

(C) ધારો કે ત્રણ સંખ્યાઓ $3x$,$4x$ અને $5x$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,તેમના વર્ગોનો સરવાળો $1250$ છે.
તેથી,$(3x)^2 + (4x)^2 + (5x)^2 = 1250$.
$9x^2 + 16x^2 + 25x^2 = 1250$.
$50x^2 = 1250$.
$x^2 = \frac{1250}{50} = 25$.
$x = 5$.
સંખ્યાઓનો સરવાળો $3x + 4x + 5x = 12x$ થાય.
$x$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $12 \times 5 = 60$ મળે છે.

(C) ધારો કે સચિનની ઉંમર $S$ છે અને રાહુલની ઉંમર $R$ છે.
આપેલ છે કે સચિન રાહુલ કરતા $4$ વર્ષ નાનો છે:
$S = R - 4$ --- $(i)$
તેમની ઉંમરનો ગુણોત્તર $7:9$ છે:
$\frac{S}{R} = \frac{7}{9} \Rightarrow 9S = 7R$ --- $(ii)$
સમીકરણ $(i)$ માંથી $R = S + 4$ ની કિંમત $(ii)$ માં મૂકતા:
$9S = 7(S + 4)$
$9S = 7S + 28$
$2S = 28$
$S = 14$
આમ,સચિનની ઉંમર $14$ વર્ષ છે.
ટૂંકી રીત:
સચિન અને રાહુલનો ગુણોત્તર $= 7:9$.
ગુણોત્તરના એકમો વચ્ચેનો તફાવત $= 9 - 7 = 2$ એકમ.
આપેલ તફાવત $= 4$ વર્ષ.
$2$ એકમ $= 4$ વર્ષ $\Rightarrow 1$ એકમ $= 2$ વર્ષ.
સચિનની ઉંમર $= 7$ એકમ $= 7 \times 2 = 14$ વર્ષ.

(B) ધારો કે અરુણ અને દીપકની હાલની ઉંમર અનુક્રમે $4x$ અને $3x$ છે,જે આપેલા ગુણોત્તર $4:3$ પર આધારિત છે.
$6$ વર્ષ પછી,અરુણની ઉંમર $4x + 6$ થશે.
પ્રશ્ન મુજબ,$6$ વર્ષ પછી અરુણની ઉંમર $26$ વર્ષ છે.
તેથી,$4x + 6 = 26$.
બંને બાજુથી $6$ બાદ કરતા,આપણને $4x = 20$ મળે છે.
$4$ વડે ભાગતા,આપણને $x = 5$ મળે છે.
દીપકની હાલની ઉંમર $3x = 3 \times 5 = 15$ વર્ષ છે.

(A) ધારો કે $X$ અને $Y$ ની હાલની ઉંમર અનુક્રમે $5x$ અને $6x$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$7$ વર્ષ પછી તેમની ઉંમરનો ગુણોત્તર $6: 7$ થશે.
તેથી,સમીકરણ આ મુજબ બનશે: $\frac{5x + 7}{6x + 7} = \frac{6}{7}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા: $7(5x + 7) = 6(6x + 7)$.
$35x + 49 = 36x + 42$.
પદોને ગોઠવતા: $49 - 42 = 36x - 35x$.
$x = 7$.
તેથી,$X$ ની હાલની ઉંમર $5x = 5 \times 7 = 35$ વર્ષ છે.

(A) ધારો કે સમીર અને આનંદની હાલની ઉંમર અનુક્રમે $5x$ અને $4x$ છે.
$3$ વર્ષ પછી,તેમની ઉંમર અનુક્રમે $(5x + 3)$ અને $(4x + 3)$ થશે.
પ્રશ્ન મુજબ,$3$ વર્ષ પછી તેમની ઉંમરનો ગુણોત્તર $11 : 9$ થશે.
તેથી,$\frac{5x + 3}{4x + 3} = \frac{11}{9}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા: $9(5x + 3) = 11(4x + 3)$.
$45x + 27 = 44x + 33$.
$45x - 44x = 33 - 27$.
$x = 6$.
આનંદની હાલની ઉંમર $4x = 4 \times 6 = 24$ વર્ષ છે.

(D) ધારો કે દસ વર્ષ પહેલાં જયંત,પ્રેમ અને સારાંશની ઉંમર અનુક્રમે $2x$,$3x$ અને $4x$ હતી.
તેથી,તેમની હાલની ઉંમર $(2x + 10)$,$(3x + 10)$ અને $(4x + 10)$ વર્ષ છે.
તેમની હાલની ઉંમરનો સરવાળો $93$ વર્ષ આપેલ છે.
$(2x + 10) + (3x + 10) + (4x + 10) = 93$
$9x + 30 = 93$
$9x = 63$
$x = 7$
સારાંશની હાલની ઉંમર $(4x + 10)$ વર્ષ છે.
$x = 7$ મૂકતા:
$4(7) + 10 = 28 + 10 = 38$ વર્ષ.

(B) ધારો કે $x$ વર્ષ પહેલા તેમની ઉંમરનો ગુણોત્તર $3:5$ હતો.
પ્રશ્ન મુજબ,$(40 - x) / (60 - x) = 3 / 5$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા: $5(40 - x) = 3(60 - x)$.
$200 - 5x = 180 - 3x$.
$200 - 180 = 5x - 3x$.
$20 = 2x$.
$x = 10$.
તેથી,$10$ વર્ષ પહેલા તેમની ઉંમર $30$ અને $50$ હતી,જેનો ગુણોત્તર $30:50 = 3:5$ થાય છે.

(B) ધારો કે દશકનો અંક $x$ છે અને એકમનો અંક $y$ છે.
સંખ્યા $10x + y$ છે.
અંકોની અદલાબદલી કર્યા પછી,નવી સંખ્યા $10y + x$ છે.
આપેલ છે કે અંકોનો ગુણોત્તર $x:y = 1:2$ છે,તેથી $y = 2x$.
સંખ્યાઓ વચ્ચેનો તફાવત $|(10x + y) - (10y + x)| = 36$ છે.
$|9x - 9y| = 36 \Rightarrow |x - y| = 4$.
કારણ કે $y = 2x$,તેથી $|x - 2x| = 4 \Rightarrow |-x| = 4 \Rightarrow x = 4$.
તેથી $y = 2(4) = 8$.
સંખ્યા $48$ છે.
અંકોનો સરવાળો $= x + y = 4 + 8 = 12$.
અંકોનો તફાવત $= y - x = 8 - 4 = 4$.
અંકોના સરવાળા અને તફાવત વચ્ચેનો તફાવત $12 - 4 = 8$ છે.

(A) ધારો કે ગણિત,ભૌતિકવિજ્ઞાન અને જીવવિજ્ઞાનની શરૂઆતની બેઠકોની સંખ્યા અનુક્રમે $5x$,$7x$ અને $8x$ છે.
$40\%$,$50\%$ અને $75\%$ ના પ્રસ્તાવિત વધારા પછી,બેઠકોની નવી સંખ્યા નીચે મુજબ થશે:
ગણિત: $5x + (5x \text{ ના } 40\%) = 5x + 2x = 7x$
ભૌતિકવિજ્ઞાન: $7x + (7x \text{ ના } 50\%) = 7x + 3.5x = 10.5x$
જીવવિજ્ઞાન: $8x + (8x \text{ ના } 75\%) = 8x + 6x = 14x$
વધેલી બેઠકોનો ગુણોત્તર $7x : 10.5x : 14x$ છે.
સરળ બનાવવા માટે,દશાંશ દૂર કરવા $2$ વડે ગુણતા: $14x : 21x : 28x$.
$7$ વડે ભાગતા,આપણને $2:3:4$ ગુણોત્તર મળે છે.

(B) મિશ્રણનો કુલ જથ્થો = $60 \ L$.
દૂધ અને પાણીનો ગુણોત્તર $2:1$ છે.
ગુણોત્તરના ભાગોનો સરવાળો = $2 + 1 = 3$.
દૂધનો જથ્થો = $(2/3) \times 60 = 40 \ L$.
પાણીનો જથ્થો = $(1/3) \times 60 = 20 \ L$.
ધારો કે ઉમેરવામાં આવતા પાણીનો જથ્થો $x \ L$ છે.
પાણી ઉમેર્યા પછી,પાણીનો નવો જથ્થો = $(20 + x) \ L$.
દૂધ અને પાણીનો નવો ગુણોત્તર $1:3$ છે.
તેથી,$40 / (20 + x) = 1 / 3$.
$40 \times 3 = 20 + x$.
$120 = 20 + x$.
$x = 120 - 20 = 100 \ L$.
આમ,$100 \ L$ પાણી ઉમેરવું જોઈએ.

(C) ધારો કે છોકરાઓની સંખ્યા $7x$ અને છોકરીઓની સંખ્યા $8x$ છે.
છોકરાઓની સંખ્યામાં $20\%$ વધારો થયા પછી,છોકરાઓની નવી સંખ્યા $7x \times (1 + 0.20) = 7x \times 1.2 = 8.4x$ થાય છે.
છોકરીઓની સંખ્યામાં $10\%$ વધારો થયા પછી,છોકરીઓની નવી સંખ્યા $8x \times (1 + 0.10) = 8x \times 1.1 = 8.8x$ થાય છે.
છોકરાઓ અને છોકરીઓનો નવો ગુણોત્તર $8.4x : 8.8x$ છે.
બંને બાજુ $10$ વડે ગુણતા,આપણને $84 : 88$ મળે છે.
$4$ વડે ભાગતા,સાદું રૂપ આપતા ગુણોત્તર $21 : 22$ મળે છે.

(D) ધારો કે રવિ અને સુમિતનો શરૂઆતનો પગાર અનુક્રમે $2x$ અને $3x$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,દરેકના પગારમાં $Rs. 4000$ નો વધારો થાય છે.
રવિનો નવો પગાર $= 2x + 4000$
સુમિતનો નવો પગાર $= 3x + 4000$
નવો ગુણોત્તર $40:57$ આપેલ છે.
તેથી,$\frac{2x + 4000}{3x + 4000} = \frac{40}{57}$
ચોકડી ગુણાકાર કરતા:
$57(2x + 4000) = 40(3x + 4000)$
$114x + 228000 = 120x + 160000$
$120x - 114x = 228000 - 160000$
$6x = 68000$
$x = \frac{68000}{6} = \frac{34000}{3}$
સુમિતનો મૂળ પગાર $= 3x = 3 \times \left(\frac{34000}{3}\right) = Rs. 34000$.

(C) ધારો કે $A, B$ અને $C$ ના પ્રારંભિક પગાર અનુક્રમે $2x, 3x$ અને $5x$ છે.
$A$ માટે $15\%$ ના વધારા પછી,નવો પગાર $2x \times (1 + 0.15) = 2x \times 1.15 = 2.3x$ થશે.
$B$ માટે $10\%$ ના વધારા પછી,નવો પગાર $3x \times (1 + 0.10) = 3x \times 1.10 = 3.3x$ થશે.
$C$ માટે $20\%$ ના વધારા પછી,નવો પગાર $5x \times (1 + 0.20) = 5x \times 1.20 = 6.0x$ થશે.
નવો ગુણોત્તર $2.3x : 3.3x : 6.0x$ છે.
દશાંશ ચિહ્ન દૂર કરવા માટે $10$ વડે ગુણતા,આપણને $23 : 33 : 60$ મળે છે.

(D) ધારો કે $25 p$,$10 p$ અને $5 p$ ના સિક્કાઓની સંખ્યા અનુક્રમે $2x$,$3x$ અને $4x$ છે.
$25 p$ ના સિક્કાઓનું મૂલ્ય $= 25 \times 2x = 50x$ પૈસા.
$10 p$ ના સિક્કાઓનું મૂલ્ય $= 10 \times 3x = 30x$ પૈસા.
$5 p$ ના સિક્કાઓનું મૂલ્ય $= 5 \times 4x = 20x$ પૈસા.
કુલ મૂલ્ય $= 50x + 30x + 20x = 100x$ પૈસા.
કુલ રકમ $Rs. 50$ છે,જે $5000$ પૈસા બરાબર છે,તેથી:
$100x = 5000$
$x = 50$
$5 p$ ના સિક્કાઓની સંખ્યા $4x = 4 \times 50 = 200$ છે.

(D) ધારો કે પ્રથમ રકમ $C, A$ અને $B$ વચ્ચે $4:5:6$ ના ગુણોત્તરમાં વહેંચાય છે. તેથી,$C = 4x, A = 5x, B = 6x$ જ્યાં $x$ એક અચળાંક છે.
ધારો કે બીજી રકમ $M$ અને $N$ વચ્ચે સમાન રીતે વહેંચાય છે. તેથી,$M = y$ અને $N = y$ જ્યાં $y$ એક અચળાંક છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$B$ ને $M$ કરતા $2000$ વધુ મળ્યા,જે સમીકરણ આપે છે: $6x - y = 2000$.
આપણને $C$ ની કિંમત શોધવાનું કહેવામાં આવ્યું છે,જે $4x$ છે.
સમીકરણ $6x - y = 2000$ માં,આપણી પાસે બે ચલ $x$ અને $y$ છે અને માત્ર એક જ સમીકરણ છે. તેથી,બે રકમ વચ્ચેના સંબંધ અથવા $y$ ની કિંમત વિશે વધુ માહિતી વગર $x$ ની ચોક્કસ કિંમત નક્કી કરવી અશક્ય છે.
આમ,$C$ ની કિંમત નક્કી કરી શકાતી નથી.

(B) આપેલ સંખ્યાઓનો ગુણોત્તર $A : B : C = 12 : 15 : 25$ છે.
ધારો કે સંખ્યાઓ $12x, 15x$ અને $25x$ છે.
સંખ્યાઓનો સરવાળો $12x + 15x + 25x = 52x$ થાય.
આપેલ છે કે સરવાળો $364$ છે,તેથી $52x = 364$.
$x$ માટે ઉકેલતા,$x = \frac{364}{52} = 7$.
તેથી સંખ્યાઓ નીચે મુજબ છે:
$A = 12 \times 7 = 84$
$B = 15 \times 7 = 105$
$C = 25 \times 7 = 175$
$B$ અને $A$ વચ્ચેનો તફાવત $105 - 84 = 21$ છે.
$C$ અને $B$ વચ્ચેનો તફાવત $175 - 105 = 70$ છે.
જરૂરી ગુણોત્તર $21 : 70$ છે.
બંનેને $7$ વડે ભાગતા,આપણને $3 : 10$ મળે છે.

(B) આપેલ સમીકરણ: $\frac{625}{x} = \frac{x}{1156}$
ચોકડી ગુણાકાર કરતા,આપણને મળે છે: $x^2 = 625 \times 1156$
આપણે જાણીએ છીએ કે $625 = 25^2$ અને $1156 = 34^2$ થાય છે.
તેથી,$x^2 = 25^2 \times 34^2 = (25 \times 34)^2$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા: $x = 25 \times 34$.
ગુણાકાર કરતા: $x = 850$.