Ratio and Proportion Questions in Gujarati

(C) ધારો કે આલ્કોહોલની શરૂઆતની માત્રા $4x$ અને પાણીની માત્રા $3x$ છે.
જ્યારે $5 \text{ લિટર}$ પાણી ઉમેરવામાં આવે છે,ત્યારે પાણીની નવી માત્રા $3x + 5$ થાય છે.
પ્રશ્ન મુજબ,આલ્કોહોલ અને પાણીનો નવો ગુણોત્તર $4:5$ છે.
તેથી,$\frac{4x}{3x + 5} = \frac{4}{5}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા,આપણને $20x = 4(3x + 5)$ મળે છે.
$20x = 12x + 20$.
$8x = 20$.
$x = \frac{20}{8} = 2.5$.
આલ્કોહોલની માત્રા $4x = 4 \times 2.5 = 10 \text{ લિટર}$ છે.

(C) ધારો કે $25 \ p$,$10 \ p$ અને $5 \ p$ ના સિક્કાઓની સંખ્યા અનુક્રમે $x$,$2x$ અને $3x$ છે.
સિક્કાઓનું કુલ મૂલ્ય નીચે મુજબ છે:
$(x \times 25) + (2x \times 10) + (3x \times 5) = 3000 \ p$ (કારણ કે $Rs. 30 = 3000 \ p$)
$25x + 20x + 15x = 3000$
$60x = 3000$
$x = 3000 / 60 = 50$
$5 \ p$ ના સિક્કાઓની સંખ્યા $3x = 3 \times 50 = 150$ છે.

(B) ધારો કે $C$ નો હિસ્સો $x$ છે.
તેથી,$B$ નો હિસ્સો $= \frac{1}{4}x$ થાય.
$A$ નો હિસ્સો $= \frac{2}{3} \times (\frac{1}{4}x) = \frac{1}{6}x$ થાય.
કુલ રકમ $Rs. 510$ છે,તેથી:
$\frac{1}{6}x + \frac{1}{4}x + x = 510$.
$6, 4, 1$ નો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવ $(LCM)$ $12$ લેતા:
$\frac{2x + 3x + 12x}{12} = 510$.
$\frac{17x}{12} = 510$.
$17x = 510 \times 12$.
$x = \frac{510 \times 12}{17} = 30 \times 12 = 360$.
આમ,$C$ નો હિસ્સો $= Rs. 360$.
$B$ નો હિસ્સો $= \frac{1}{4} \times 360 = Rs. 90$.
$A$ નો હિસ્સો $= \frac{2}{3} \times 90 = Rs. 60$.
તેથી,તેમના હિસ્સા $Rs. 60, Rs. 90, Rs. 360$ છે.

(A) ધારો કે $A, B$ અને $C$ ના હિસ્સા અનુક્રમે $A, B$ અને $C$ છે.
આપેલ છે કે $A + B + C = 366$ (સમીકરણ $1$).
પ્રશ્ન મુજબ,$A = \frac{1}{2}(B + C)$,જેનો અર્થ થાય છે $2A = B + C$ (સમીકરણ $2$).
સમીકરણ $2$ ને સમીકરણ $1$ માં મૂકતા: $A + (B + C) = 366 \Rightarrow A + 2A = 366 \Rightarrow 3A = 366 \Rightarrow A = 122$.
આમ,$A$ નો હિસ્સો $Rs. 122$ છે.

(D) ધારો કે $A$ અને $B$ ની શરૂઆતની કમાણી અનુક્રમે $4x$ અને $7x$ છે.
$50\%$ ના વધારા પછી,$A$ ની નવી કમાણી $= 4x \times (1 + 0.50) = 4x \times 1.5 = 6x$ થાય.
$25\%$ ના ઘટાડા પછી,$B$ ની નવી કમાણી $= 7x \times (1 - 0.25) = 7x \times 0.75 = 5.25x$ થાય.
નવો ગુણોત્તર $6x : 5.25x = 6 : 5.25 = 600 : 525 = 8 : 7$ મળે છે.
અહીં $8:7$ નો ગુણોત્તર $x$ ની કોઈપણ કિંમત માટે સાચો રહે છે,તેથી પ્રશ્નમાં કોઈ ચોક્કસ કિંમત આપેલ ન હોવાથી $A$ ની કમાણી નક્કી કરી શકાતી નથી.
તેથી,આપેલી માહિતી અપૂરતી છે.

(D) ધારો કે $A, B$ અને $C$ ના હિસ્સામાં $Rs. 25$ નો ઘટાડો કર્યા પછી તે $x, 3x$ અને $2x$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,કુલ રકમ $Rs. 735$ છે.
જો દરેકને $Rs. 25$ ઓછા મળ્યા હોત,તો કુલ ઘટાડો $3 \times 25 = Rs. 75$ થયો હોત.
તેથી,નવી કુલ રકમ $735 - 75 = 660$ થશે.
આમ,$x + 3x + 2x = 660$.
$6x = 660 \Rightarrow x = 110$.
$C$ નો હિસ્સો $2x + 25$ છે.
$x = 110$ મૂકતા,આપણને મળે છે $C = 2(110) + 25 = 220 + 25 = Rs. 245$.

(D) ધારો કે $A$,$B$ અને $C$ ના હિસ્સા અનુક્રમે $(3x + 5)$,$(4x + 10)$ અને $(5x + 15)$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,આ હિસ્સાનો સરવાળો $Rs. 2430$ છે.
$(3x + 5) + (4x + 10) + (5x + 15) = 2430$
$12x + 30 = 2430$
$12x = 2430 - 30$
$12x = 2400$
$x = 200$
હવે,$B$ નો હિસ્સો શોધો:
$B$ નો હિસ્સો $= 4x + 10$
$B$ નો હિસ્સો $= 4(200) + 10$
$B$ નો હિસ્સો $= 800 + 10 = 810$
આમ,$B$ નો હિસ્સો $Rs. 810$ છે.

(B) આ સમસ્યાને ઉકેલવા માટે આપણે એલિગેશન (મિશ્રણ) પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ.
ધારો કે પાણીની ઘનતા $1$ છે.
સોનાની ઘનતા = $19$.
તાંબાની ઘનતા = $9$.
જરૂરી મિશ્રધાતુની ઘનતા = $15$.
એલિગેશનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
(સોનાની ઘનતા - સરેરાશ ઘનતા) : (સરેરાશ ઘનતા - તાંબાની ઘનતા)
$= (19 - 15) : (15 - 9)$
$= 4 : 6$
$= 2 : 3$
તેથી,તેમને $2:3$ ના ગુણોત્તરમાં મિશ્ર કરવા જોઈએ.

(B) મિશ્રણનું પ્રારંભિક કદ = $15$ લિટર.
આલ્કોહોલનું પ્રમાણ = $15$ ના $20 \% = \frac{20}{100} \times 15 = 3$ લિટર.
પાણીનું પ્રમાણ = $15 - 3 = 12$ લિટર.
જ્યારે $3$ લિટર પાણી ઉમેરવામાં આવે છે,ત્યારે પાણીનું નવું પ્રમાણ = $12 + 3 = 15$ લિટર થાય છે.
આલ્કોહોલનું પ્રમાણ સમાન રહે છે,એટલે કે $3$ લિટર.
નવા મિશ્રણનું કુલ કદ = $3 + 15 = 18$ લિટર.
નવા મિશ્રણમાં આલ્કોહોલની ટકાવારી = $(\frac{\text{આલ્કોહોલનું પ્રમાણ}}{\text{કુલ કદ}}) \times 100 = (\frac{3}{18}) \times 100 = \frac{1}{6} \times 100 = \frac{50}{3} \% = 16 \frac{2}{3} \%$.

(A) મિશ્રણનું કુલ કદ = $85 \, L$ છે.
દૂધ અને પાણીનો ગુણોત્તર $27: 7$ છે.
ગુણોત્તરના પદોનો સરવાળો = $27 + 7 = 34$ થાય.
$1$ એકમનું મૂલ્ય = $\frac{85}{34} \, L = 2.5 \, L$ થાય.
દૂધની શરૂઆતની માત્રા = $27 \times 2.5 = 67.5 \, L$ થાય.
પાણીની શરૂઆતની માત્રા = $7 \times 2.5 = 17.5 \, L$ થાય.
ધારો કે મિશ્રણમાં $x$ લિટર પાણી ઉમેરવામાં આવે છે.
દૂધ અને પાણીનો નવો ગુણોત્તર $3: 1$ થાય છે.
તેથી,$\frac{67.5}{17.5 + x} = \frac{3}{1}$ થાય.
$67.5 = 3 \times (17.5 + x)$ થાય.
$67.5 = 52.5 + 3x$ થાય.
$3x = 67.5 - 52.5 = 15$ થાય.
$x = \frac{15}{3} = 5 \, L$ થાય.
આમ,$5 \, L$ પાણી ઉમેરવું જોઈએ.

(B) બાજુઓનો ગુણોત્તર $\frac{1}{2}: \frac{1}{3}: \frac{1}{4}$ આપેલ છે.
આ ગુણોત્તરને સરળ બનાવવા માટે,છેદ $(2, 3, 4)$ ના લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ એટલે કે $12$ વડે દરેક પદને ગુણો.
ગુણોત્તર $= (\frac{1}{2} \times 12) : (\frac{1}{3} \times 12) : (\frac{1}{4} \times 12) = 6 : 4 : 3$.
ધારો કે બાજુઓ $6x, 4x,$ અને $3x$ છે.
ત્રિકોણની પરિમિતિ તેની બાજુઓનો સરવાળો છે: $6x + 4x + 3x = 13x$.
આપેલ છે કે પરિમિતિ $104 \, cm$ છે,તેથી $13x = 104$.
$x$ માટે ઉકેલતા: $x = \frac{104}{13} = 8$.
સૌથી મોટી બાજુ સૌથી મોટા ગુણોત્તર મૂલ્યને અનુરૂપ છે,જે $6x$ છે.
સૌથી મોટી બાજુ $= 6 \times 8 = 48 \, cm$.

(C) ધારો કે છોકરાઓની સંખ્યા $300$ છે અને છોકરીઓની સંખ્યા $200$ છે. કુલ વિદ્યાર્થીઓ $= 300 + 200 = 500$.
શિષ્યવૃત્તિ મેળવનાર છોકરાઓની સંખ્યા $= 300$ ના $20\% = \frac{20}{100} \times 300 = 60$.
શિષ્યવૃત્તિ મેળવનાર છોકરીઓની સંખ્યા $= 200$ ના $25\% = \frac{25}{100} \times 200 = 50$.
શિષ્યવૃત્તિ મેળવનાર કુલ વિદ્યાર્થીઓ $= 60 + 50 = 110$.
શિષ્યવૃત્તિ ન મેળવનાર કુલ વિદ્યાર્થીઓ $= 500 - 110 = 390$.
શિષ્યવૃત્તિ ન મેળવનાર વિદ્યાર્થીઓની ટકાવારી $= \frac{390}{500} \times 100 = 78\%$.

(C) ધારો કે ત્રણ પાત્રોના કદ અનુક્રમે $3x, 4x$ અને $5x$ છે.
પ્રથમ પાત્રમાં,દૂધનું પ્રમાણ $\frac{4}{5} \times 3x = \frac{12x}{5}$ અને પાણીનું પ્રમાણ $\frac{1}{5} \times 3x = \frac{3x}{5}$ છે.
બીજા પાત્રમાં,દૂધનું પ્રમાણ $\frac{3}{4} \times 4x = 3x$ અને પાણીનું પ્રમાણ $\frac{1}{4} \times 4x = x$ છે.
ત્રીજા પાત્રમાં,દૂધનું પ્રમાણ $\frac{5}{7} \times 5x = \frac{25x}{7}$ અને પાણીનું પ્રમાણ $\frac{2}{7} \times 5x = \frac{10x}{7}$ છે.
ચોથા પાત્રમાં કુલ દૂધ = $\frac{12x}{5} + 3x + \frac{25x}{7} = \frac{84x + 105x + 125x}{35} = \frac{314x}{35}$.
ચોથા પાત્રમાં કુલ પાણી = $\frac{3x}{5} + x + \frac{10x}{7} = \frac{21x + 35x + 50x}{35} = \frac{106x}{35}$.
દૂધ અને પાણીનો ગુણોત્તર $\frac{314x}{35} : \frac{106x}{35} = 314 : 106 = 157 : 53$ છે.

(D) આપેલ છે કે $x$ એ $y$ ના વર્ગના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે,તેથી આપણે સંબંધને $x = \frac{K}{y^2}$ તરીકે લખી શકીએ,જ્યાં $K$ એ અચળાંક છે.
આપેલ કિંમતો $x = 1$ અને $y = 2$ ને સમીકરણમાં મૂકતા:
$1 = \frac{K}{2^2}$
$1 = \frac{K}{4}$
$K = 4$
હવે,આપણી પાસે ચોક્કસ સમીકરણ $x = \frac{4}{y^2}$ છે.
જ્યારે $y = 6$ હોય ત્યારે $x$ ની કિંમત શોધવા માટે,$y = 6$ ને સમીકરણમાં મૂકતા:
$x = \frac{4}{6^2}$
$x = \frac{4}{36}$
$x = \frac{1}{9}$

(B) ધારો કે નિશ્ચિત રકમ $Rs. x$ છે અને પ્રતિ એકમ ખર્ચ $Rs. y$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ:
$540y + x = 1800$ $(i)$
$620y + x = 2040$ (ii)
સમીકરણ (ii) માંથી સમીકરણ $(i)$ બાદ કરતા:
$(620y - 540y) + (x - x) = 2040 - 1800$
$80y = 240$
$y = 3$
$y = 3$ ને સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$540(3) + x = 1800$
$1620 + x = 1800$
$x = 1800 - 1620 = 180$
આમ,નિશ્ચિત ચાર્જ $Rs. 180$ છે અને પ્રતિ એકમ ચાર્જ $Rs. 3$ છે.
$500$ એકમો માટે,કુલ બિલ:
$500 \times 3 + 180 = 1500 + 180 = 1680$
તેથી,$500$ એકમો માટેનું બિલ $Rs. 1680$ થશે.

(C) ધારો કે $A$ અને $B$ ની આવક અનુક્રમે $5x$ અને $4x$ છે.
ધારો કે $A$ અને $B$ નો ખર્ચ અનુક્રમે $3y$ અને $2y$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\text{આવક} - \text{ખર્ચ} = \text{બચત}$.
$A$ માટે: $5x - 3y = 1600$ ---$(1)$
$B$ માટે: $4x - 2y = 1600$ ---$(2)$
આ સમીકરણો ઉકેલવા માટે,સમીકરણ $(1)$ ને $2$ વડે અને સમીકરણ $(2)$ ને $3$ વડે ગુણો:
$10x - 6y = 3200$ ---$(3)$
$12x - 6y = 4800$ ---$(4)$
સમીકરણ $(4)$ માંથી $(3)$ બાદ કરતા:
$(12x - 10x) = 4800 - 3200$
$2x = 1600$
$x = 800$
તેથી,$A$ ની આવક $= 5x = 5 \times 800 = 4000$ $Rs.$

(C) મિશ્રધાતુ $A$ માં,સોના અને તાંબાનો ગુણોત્તર $7:2$ છે. કુલ ભાગ $7+2=9$ છે.
મિશ્રધાતુ $B$ માં,સોના અને તાંબાનો ગુણોત્તર $7:11$ છે. કુલ ભાગ $7+11=18$ છે.
કારણ કે મિશ્રધાતુ $A$ અને $B$ ના સમાન જથ્થાને મિશ્ર કરવામાં આવે છે,તેથી આપણે બંને મિશ્રધાતુઓમાં કુલ ભાગ સમાન કરવા પડશે.
કુલ ભાગને $18$ કરવા માટે,મિશ્રધાતુ $A$ ના ગુણોત્તરને $2$ વડે ગુણો:
મિશ્રધાતુ $A = (7 \times 2) : (2 \times 2) = 14:4$.
હવે,મિશ્રધાતુ $A$ માં $14$ ભાગ સોનું અને $4$ ભાગ તાંબુ છે (કુલ $18$ ભાગ).
મિશ્રધાતુ $B$ માં $7$ ભાગ સોનું અને $11$ ભાગ તાંબુ છે (કુલ $18$ ભાગ).
જ્યારે મિશ્રધાતુ $C$ બનાવવા માટે મિશ્ર કરવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ સોનું $14+7=21$ અને કુલ તાંબુ $4+11=15$ થાય છે.
મિશ્રધાતુ $C$ માં સોના અને તાંબાનો ગુણોત્તર $21:15$ છે.
ગુણોત્તરને $3$ વડે ભાગીને સરળ બનાવતા,આપણને $7:5$ મળે છે.

(A) ધારો કે $P$ અને $Q$ ની હાલની ઉંમર અનુક્રમે $5x$ અને $7x$ છે.
$6$ વર્ષ પછી $P$ ની ઉંમર $(5x + 6)$ થશે.
પ્રશ્ન મુજબ,$Q$ ની હાલની ઉંમર અને $6$ વર્ષ પછી $P$ ની ઉંમર વચ્ચેનો તફાવત $2$ છે:
$7x - (5x + 6) = 2$
$7x - 5x - 6 = 2$
$2x - 6 = 2$
$2x = 8$
$x = 4$
હવે,હાલની ઉંમર શોધો:
$P$ ની હાલની ઉંમર $= 5x = 5(4) = 20$ વર્ષ.
$Q$ ની હાલની ઉંમર $= 7x = 7(4) = 28$ વર્ષ.
તેમની હાલની ઉંમરનો કુલ સરવાળો $20 + 28 = 48$ વર્ષ થાય.

(B) ધારો કે પિતાની વર્તમાન ઉંમર $7x$ અને પુત્રની વર્તમાન ઉંમર $3x$ છે.
આપેલ છે કે તેમની ઉંમરનો ગુણાકાર $756$ છે,તેથી:
$7x \times 3x = 756$
$21x^2 = 756$
$x^2 = \frac{756}{21} = 36$
$x = 6$
તેથી,વર્તમાન ઉંમર:
પિતા: $7 \times 6 = 42$ વર્ષ
પુત્ર: $3 \times 6 = 18$ વર્ષ
$6$ વર્ષ પછી,તેમની ઉંમર:
પિતા: $42 + 6 = 48$ વર્ષ
પુત્ર: $18 + 6 = 24$ વર્ષ
$6$ વર્ષ પછી તેમની ઉંમરનો ગુણોત્તર $48:24 = 2:1$ થશે.

(B) ધારો કે ત્રણ વ્યક્તિઓની હાલની ઉંમર અનુક્રમે $4x$,$7x$ અને $9x$ વર્ષ છે.
આઠ વર્ષ પહેલાં,દરેક વ્યક્તિની ઉંમર તેમની હાલની ઉંમર કરતાં $8$ વર્ષ ઓછી હતી.
તેથી,$8$ વર્ષ પહેલાં તેમની ઉંમરનો સરવાળો $(4x - 8) + (7x - 8) + (9x - 8) = 56$ થાય.
સમીકરણનું સાદુંરૂપ આપતા: $20x - 24 = 56$.
$20x = 56 + 24 = 80$.
$x = 80 / 20 = 4$.
હવે,તેમની હાલની ઉંમરની ગણતરી કરીએ:
પ્રથમ વ્યક્તિ: $4x = 4 \times 4 = 16$ વર્ષ.
બીજી વ્યક્તિ: $7x = 7 \times 4 = 28$ વર્ષ.
ત્રીજી વ્યક્તિ: $9x = 9 \times 4 = 36$ વર્ષ.
આમ,તેમની હાલની ઉંમર $16, 28, 36$ વર્ષ છે.

(C) ધારો કે પુરુષ અને તેની પત્નીની હાલની ઉંમર અનુક્રમે $4x$ અને $3x$ છે.
$4$ વર્ષ પછી,તેમની ઉંમર $(4x + 4)$ અને $(3x + 4)$ થશે.
પ્રશ્ન મુજબ,$4$ વર્ષ પછીનો ગુણોત્તર $9:7$ છે:
$\frac{4x + 4}{3x + 4} = \frac{9}{7}$
$7(4x + 4) = 9(3x + 4)$
$28x + 28 = 27x + 36$
$x = 8$
તેથી,હાલની ઉંમર છે: પુરુષ $= 4(8) = 32$ વર્ષ,પત્ની $= 3(8) = 24$ વર્ષ.
ધારો કે તેમના લગ્ન $y$ વર્ષ પહેલા થયા હતા. તે સમયે,તેમની ઉંમર $(32 - y)$ અને $(24 - y)$ હતી.
લગ્ન સમયે ગુણોત્તર $5:3$ હતો:
$\frac{32 - y}{24 - y} = \frac{5}{3}$
$3(32 - y) = 5(24 - y)$
$96 - 3y = 120 - 5y$
$2y = 24$
$y = 12$
તેથી,તેમના લગ્ન $12$ વર્ષ પહેલા થયા હતા.

(C) ધારો કે $A$ અને $B$ ની હાલની ઉંમર અનુક્રમે $5x$ અને $3x$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ:
$A$ ની $4$ વર્ષ પહેલાની ઉંમર $= 5x - 4$
$B$ ની $4$ વર્ષ પછીની ઉંમર $= 3x + 4$
આપેલ ગુણોત્તર $1:1$ હોવાથી:
$5x - 4 = 3x + 4$
$2x = 8$
$x = 4$
હવે,જરૂરી ઉંમરની ગણતરી કરીએ:
$A$ ની $4$ વર્ષ પછીની ઉંમર $= 5x + 4 = 5(4) + 4 = 24$ વર્ષ.
$B$ ની $4$ વર્ષ પહેલાની ઉંમર $= 3x - 4 = 3(4) - 4 = 8$ વર્ષ.
$A$ ની $4$ વર્ષ પછીની ઉંમર અને $B$ ની $4$ વર્ષ પહેલાની ઉંમરનો ગુણોત્તર:
$24 : 8 = 3 : 1$.

(C) ધારો કે માતાની હાલની ઉંમર $M$ વર્ષ છે.
વ્યક્તિની હાલની ઉંમર $\frac{2}{5}M$ છે.
$8$ વર્ષ પછી,માતાની ઉંમર $M + 8$ થશે અને વ્યક્તિની ઉંમર $\frac{2}{5}M + 8$ થશે.
પ્રશ્ન મુજબ,$8$ વર્ષ પછી,વ્યક્તિની ઉંમર તેની માતાની ઉંમરના અડધી હશે:
$\frac{2}{5}M + 8 = \frac{1}{2}(M + 8)$
અપૂર્ણાંક દૂર કરવા માટે બંને બાજુ $10$ વડે ગુણતા:
$4M + 80 = 5(M + 8)$
$4M + 80 = 5M + 40$
$M$ ની કિંમત શોધવા માટે પદોને ગોઠવતા:
$80 - 40 = 5M - 4M$
$M = 40$
તેથી,માતાની હાલની ઉંમર $40$ વર્ષ છે.

(D) ધારો કે પિતાની હાલની ઉંમર $f$ અને પુત્રની હાલની ઉંમર $s$ છે.
આપેલ માહિતી મુજબ:
$1$. ચાર વર્ષ પહેલાં: $(f - 4) = 3(s - 4) \Rightarrow f - 4 = 3s - 12 \Rightarrow f - 3s = -8$ ... $(i)$
$2$. ચાર વર્ષ પછી: $(f + 4) + (s + 4) = 64 \Rightarrow f + s + 8 = 64 \Rightarrow f + s = 56$ ... (ii)
સમીકરણ (ii) પરથી,$s = 56 - f$. આ કિંમત સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$f - 3(56 - f) = -8$
$f - 168 + 3f = -8$
$4f = 160$
$f = 40$
આમ,પિતાની હાલની ઉંમર $40$ વર્ષ છે.

(A) રીનાની હાલની ઉંમર $24$ વર્ષ છે અને ઉષાની હાલની ઉંમર $36$ વર્ષ છે.
$8$ વર્ષ પહેલાંની ઉંમર શોધવા માટે,આપણે તેમની હાલની ઉંમરમાંથી $8$ બાદ કરીશું:
$8$ વર્ષ પહેલાં ઉષાની ઉંમર $= 36 - 8 = 28$ વર્ષ.
$8$ વર્ષ પહેલાં રીનાની ઉંમર $= 24 - 8 = 16$ વર્ષ.
$8$ વર્ષ પહેલાં ઉષા અને રીનાની ઉંમરનો ગુણોત્તર $28:16$ છે.
બંને પદોને $4$ વડે ભાગતા,આપણને $7:4$ મળે છે.

(B) ધારો કે પૂર્વીની હાલની ઉંમર $x$ વર્ષ છે.
તેથી,અનિલની હાલની ઉંમર $1.5x = \frac{3}{2}x$ વર્ષ છે.
$8$ વર્ષ પછી,અનિલની ઉંમર $(\frac{3}{2}x + 8)$ થશે અને પૂર્વીની ઉંમર $(x + 8)$ થશે.
પ્રશ્ન મુજબ,$8$ વર્ષ પછી તેમની ઉંમરનો ગુણોત્તર $25:18$ છે:
$\frac{\frac{3}{2}x + 8}{x + 8} = \frac{25}{18}$
બંને બાજુ $18(x + 8)$ વડે ગુણતા:
$18(\frac{3}{2}x + 8) = 25(x + 8)$
$27x + 144 = 25x + 200$
$27x - 25x = 200 - 144$
$2x = 56$
$x = 28$
તેથી,પૂર્વીની હાલની ઉંમર $28$ વર્ષ છે.

(C) ધારો કે મીના અને સીમાની ઉંમર અનુક્રમે $7x$ અને $8x$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,તેમની ઉંમર વચ્ચેનો તફાવત $3 \ yr$ છે.
તેથી,$8x - 7x = 3$,જે $x = 3$ આપે છે.
તેમની ઉંમરનો સરવાળો $7x + 8x = 15x$ છે.
$x$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $15 \times 3 = 45 \ yr$ મળે છે.

(A) $7 \text{ વર્ષ}$ પછી રેહાનાની ઉંમર $85 \text{ વર્ષ}$ છે.
તેથી,રેહાનાની હાલની ઉંમર $= 85 - 7 = 78 \text{ વર્ષ}$.
વસીમ રેહાના કરતા $12 \text{ વર્ષ}$ નાનો છે,તેથી વસીમની હાલની ઉંમર $= 78 - 12 = 66 \text{ વર્ષ}$.
મનોજ અને વસીમની હાલની ઉંમરનો ગુણોત્તર $3:11$ છે.
ધારો કે મનોજની ઉંમર $3x$ અને વસીમની ઉંમર $11x$ છે.
આપેલ છે કે $11x = 66$,તેથી $x = 6$.
મનોજની હાલની ઉંમર $= 3 \times 6 = 18 \text{ વર્ષ}$.
મનોજના પિતા મનોજ કરતા $25 \text{ વર્ષ}$ મોટા છે.
તેથી,મનોજના પિતાની હાલની ઉંમર $= 18 + 25 = 43 \text{ વર્ષ}$.

(B) ધારો કે ઇન્દિરા અને લિઝીની હાલની ઉંમર અનુક્રમે $3x$ અને $8x$ વર્ષ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$8$ વર્ષ પછી ઇન્દિરાની ઉંમર $20$ વર્ષ થશે.
તેથી,$3x + 8 = 20$.
$3x = 20 - 8 = 12$.
$x = 4$.
તેથી,લિઝીની હાલની ઉંમર $8x = 8 \times 4 = 32$ વર્ષ છે.
$5$ વર્ષ પહેલાં લિઝીની ઉંમર $32 - 5 = 27$ વર્ષ હતી.

(D) ધારો કે સરિતાની હાલની ઉંમર $s$ વર્ષ છે.
તેથી,કવિતાની હાલની ઉંમર $2s$ વર્ષ છે.
$8$ વર્ષ પછી,સરિતાની ઉંમર $(s + 8)$ વર્ષ અને કવિતાની ઉંમર $(2s + 8)$ વર્ષ થશે.
પ્રશ્ન મુજબ,$8$ વર્ષ પછી તેમની ઉંમરનો ગુણોત્તર $22:13$ થશે.
તેથી,$\frac{2s + 8}{s + 8} = \frac{22}{13}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા: $13(2s + 8) = 22(s + 8)$.
$26s + 104 = 22s + 176$.
$26s - 22s = 176 - 104$.
$4s = 72$.
$s = 18$.
તેથી,કવિતાની હાલની ઉંમર $2s = 2 \times 18 = 36$ વર્ષ છે.

(C) ધારો કે $10 \ yr$ પહેલા $A$ અને $B$ ની ઉંમર અનુક્રમે $13x$ અને $17x$ હતી.
તેમની વર્તમાન ઉંમર $(13x + 10)$ અને $(17x + 10)$ છે.
હવે પછીના $17 \ yr$ પછી,તેમની ઉંમર $(13x + 10 + 17)$ અને $(17x + 10 + 17)$ થશે,જેનું સાદું રૂપ $(13x + 27)$ અને $(17x + 27)$ થાય છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$17 \ yr$ પછીનો ગુણોત્તર $10: 11$ છે:
$\frac{13x + 27}{17x + 27} = \frac{10}{11}$
$11(13x + 27) = 10(17x + 27)$
$143x + 297 = 170x + 270$
$297 - 270 = 170x - 143x$
$27 = 27x$
$x = 1$
તેથી,$B$ ની વર્તમાન ઉંમર $= 17x + 10 = 17(1) + 10 = 27 \ yr$.

(D) ધારો કે $10$-પૈસાના સિક્કાઓની સંખ્યા $17k$ છે અને $25$-પૈસાના સિક્કાઓની સંખ્યા $6k$ છે.
$10$-પૈસાના સિક્કાઓનું કુલ મૂલ્ય $17k \times 0.10 = 1.7k$ રૂપિયા છે.
$25$-પૈસાના સિક્કાઓનું કુલ મૂલ્ય $6k \times 0.25 = 1.5k$ રૂપિયા છે.
આપેલ છે કે કુલ રકમ $Rs. 112$ છે,તેથી:
$1.7k + 1.5k = 112$
$3.2k = 112$
$k = \frac{112}{3.2} = 35$
તેથી,$10$-પૈસાના સિક્કાઓની સંખ્યા $17 \times 35 = 595$ છે.

(C) ધારો કે પ્રથમ મિશ્રધાતુમાં તાંબાનો અંશ $\frac{1}{3}$ છે અને બીજી મિશ્રધાતુમાં $\frac{2}{5}$ છે.
અંતિમ મિશ્રધાતુમાં તાંબાનો અંશ $\frac{3}{8}$ છે.
એલિગેશનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
પ્રથમ મિશ્રધાતુ માટે તફાવત: $\frac{2}{5} - \frac{3}{8} = \frac{16-15}{40} = \frac{1}{40}$.
બીજી મિશ્રધાતુ માટે તફાવત: $\frac{3}{8} - \frac{1}{3} = \frac{9-8}{24} = \frac{1}{24}$.
બે મિશ્રધાતુઓનો જરૂરી ગુણોત્તર $\frac{1}{40} : \frac{1}{24} = 24 : 40 = 3 : 5$ છે.
આમ,બે મિશ્રધાતુઓના $3$ અને $5$ ભાગ લેવા જોઈએ.

(D) $4:1$ ના ગુણોત્તરવાળી $10 \text{ kg}$ ની પ્રથમ મિશ્રધાતુમાં,સોનાનું પ્રમાણ $\frac{4}{5} \times 10 = 8 \text{ kg}$ અને ચાંદીનું પ્રમાણ $\frac{1}{5} \times 10 = 2 \text{ kg}$ છે.
$1:3$ ના ગુણોત્તરવાળી $16 \text{ kg}$ ની બીજી મિશ્રધાતુમાં,સોનાનું પ્રમાણ $\frac{1}{4} \times 16 = 4 \text{ kg}$ અને ચાંદીનું પ્રમાણ $\frac{3}{4} \times 16 = 12 \text{ kg}$ છે.
ધારો કે ઉમેરવામાં આવેલ શુદ્ધ સોનું $x \text{ kg}$ છે.
નવી મિશ્રધાતુમાં કુલ સોનું $= 8 + 4 + x = 12 + x \text{ kg}$.
નવી મિશ્રધાતુમાં કુલ ચાંદી $= 2 + 12 = 14 \text{ kg}$.
નવી મિશ્રધાતુમાં સોના અને ચાંદીનો ગુણોત્તર $3:2$ છે,તેથી $\frac{12 + x}{14} = \frac{3}{2}$.
$2(12 + x) = 3 \times 14 \Rightarrow 24 + 2x = 42 \Rightarrow 2x = 18 \Rightarrow x = 9 \text{ kg}$.
નવી મિશ્રધાતુનું કુલ વજન $= 10 + 16 + 9 = 35 \text{ kg}$.

(B) આપેલ છે: $A = \frac{1}{2}(B + C) \Rightarrow B + C = 2A$.
કારણ કે $A + B + C = 5625$,આપણે $(B + C) = 2A$ મૂકતા: $A + 2A = 5625 \Rightarrow 3A = 5625 \Rightarrow A = 1875$.
વધુમાં આપેલ છે: $B = \frac{1}{4}(A + C) \Rightarrow A + C = 4B$.
કારણ કે $A + B + C = 5625$,આપણે $(A + C) = 4B$ મૂકતા: $4B + B = 5625 \Rightarrow 5B = 5625 \Rightarrow B = 1125$.
$A$ અને $B$ ના હિસ્સાનો સરવાળો $A + B = 1875 + 1125 = 3000$ થાય.
આમ,$A$ અને $B$ નો કુલ હિસ્સો $Rs. 3000$ છે.

(D) પ્રથમ $8$ મહિના માટે કુલ ખર્ચ $= 8 \times 2310 = 18480$.
પછીના $4$ મહિના માટે કુલ ખર્ચ $= 4 \times 1800 = 7200$.
વર્ષ માટે કુલ ખર્ચ $= 18480 + 7200 = 25680$.
સરેરાશ ખર્ચ $= \frac{25680}{12} = 2140$.
વર્ષ માટે કુલ આવક $=$ કુલ ખર્ચ $-$ લોનની રકમ $= 25680 - 1680 = 24000$.
સરેરાશ આવક $= \frac{24000}{12} = 2000$.
સરેરાશ આવક અને સરેરાશ ખર્ચનો ગુણોત્તર $= \frac{2000}{2140} = \frac{100}{107} = 100:107$.

(A) ધારો કે શરૂઆતનો ખર્ચ $5x$ અને શરૂઆતની બચત $3x$ છે.
શરૂઆતની આવક = ખર્ચ + બચત = $5x + 3x = 8x$.
નવો ખર્ચ = $5x + 5x$ ના $60\% = 5x + 3x = 8x$.
નવી આવક = $8x + 8x$ ના $25\% = 8x + 2x = 10x$.
નવી બચત = નવી આવક - નવો ખર્ચ = $10x - 8x = 2x$.
બચતમાં ઘટાડો = શરૂઆતની બચત - નવી બચત = $3x - 2x = x$.
આપેલ છે કે ઘટાડો $Rs. 3500$ છે,તેથી $x = 3500$.
વધેલી આવક $10x = 10 \times 3500 = Rs. 35000$ છે.

(A) ધારો કે $Rs. 1$,$50 \text{ પૈસા}$ અને $25 \text{ પૈસા}$ ના સિક્કાઓની સંખ્યા અનુક્રમે $12x$,$10x$ અને $7x$ છે.
$Rs. 1$ ના $12x$ સિક્કાઓની કિંમત $12x \times 1 = 12x$ રૂપિયા થાય.
$50 \text{ પૈસા}$ ના $10x$ સિક્કાઓની કિંમત $10x \times 0.5 = 5x$ રૂપિયા થાય.
$25 \text{ પૈસા}$ ના $7x$ સિક્કાઓની કિંમત $7x \times 0.25 = 1.75x$ રૂપિયા થાય.
પ્રશ્ન મુજબ,કુલ કિંમત $Rs. 75$ છે:
$12x + 5x + 1.75x = 75$
$18.75x = 75$
$x = \frac{75}{18.75} = 4$
તેથી,$25 \text{ પૈસા}$ ના સિક્કાઓની સંખ્યા $7x = 7 \times 4 = 28$ થાય.

(D) ધારો કે $H$ એ ઘોડાની કિંમત છે,$D$ એ કુતરાની કિંમત છે,$O$ એ બળદની કિંમત છે,$S$ એ ઘેટાંની કિંમત છે અને $G$ એ બકરાની કિંમત છે.
આપેલ સમીકરણો:
$2H = 5D \implies D = \frac{2}{5}H$
$6D = 8O \implies O = \frac{6}{8}D = \frac{3}{4}D$
$10O = 50S \implies S = \frac{10}{50}O = \frac{1}{5}O$
$14S = 9G \implies G = \frac{14}{9}S$
$H$ ને $G$ ના સ્વરૂપમાં મેળવવા માટે કિંમતો મૂકતા:
$S = \frac{1}{5} \times (\frac{3}{4}D) = \frac{3}{20}D$
$S = \frac{3}{20} \times (\frac{2}{5}H) = \frac{6}{100}H = \frac{3}{50}H$
$G = \frac{14}{9} \times (\frac{3}{50}H) = \frac{14}{150}H = \frac{7}{75}H$
આપેલ છે કે $G = 700$,તેથી $700 = \frac{7}{75}H$
$H = 700 \times \frac{75}{7} = 100 \times 75 = 7500$.
તેથી,એક ઘોડાની કિંમત $Rs. 7500$ છે.

(C) ધારો કે ઘટાડા પછી $A$,$B$ અને $C$ ના હિસ્સા અનુક્રમે $9x$,$13x$ અને $8x$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,ઘટાડા પહેલાની કુલ રકમ $Rs. 2186$ હતી.
તેથી,સમીકરણ આ મુજબ બનશે: $(9x + 26) + (13x + 28) + (8x + 32) = 2186$.
પદોને ભેગા કરતા: $30x + 86 = 2186$.
$30x = 2186 - 86$.
$30x = 2100$.
$x = 2100 / 30 = 70$.
$A$ ને આપવામાં આવેલી રકમ $9x + 26$ છે.
$x = 70$ મૂકતા: $9(70) + 26 = 630 + 26 = 656$.
આમ,$A$ ને આપવામાં આવેલી રકમ $Rs. 656$ છે.

(A) ધારો કે એક વર્ષ પહેલાં મારુતિ અને ફિગોની કિંમત અનુક્રમે $3x$ અને $4x$ હતી.
મારુતિ માટે વર્તમાન અને પાછલા વર્ષની કિંમતનો ગુણોત્તર $5:4$ આપેલ છે,તેથી મારુતિની વર્તમાન કિંમત $(PM)$ $= \frac{5}{4} \times 3x = 3.75x$ થાય.
ફિગો માટે વર્તમાન અને પાછલા વર્ષની કિંમતનો ગુણોત્તર $3:2$ આપેલ છે,તેથી ફિગોની વર્તમાન કિંમત $(PF)$ $= \frac{3}{2} \times 4x = 6x$ થાય.
તેમની વર્તમાન કિંમતનો સરવાળો $7.8$ લાખ છે:
$3.75x + 6x = 7.8$
$9.75x = 7.8$
$x = \frac{7.8}{9.75} = 0.8$
એક વર્ષ પહેલાં ફિગોની કિંમત $4x = 4 \times 0.8 = 3.2$ લાખ હતી.

(B) ધારો કે ગયા વર્ષે રામ અને શ્યામનો પગાર અનુક્રમે $3x$ અને $5x$ હતો.
રામના પગારનો ગુણોત્તર (ગયા વર્ષ : ચાલુ વર્ષ) $= 2:3$. તેથી,રામનો ચાલુ પગાર $= 3x \times (3/2) = 4.5x$.
શ્યામના પગારનો ગુણોત્તર (ગયા વર્ષ : ચાલુ વર્ષ) $= 4:5$. તેથી,શ્યામનો ચાલુ પગાર $= 5x \times (5/4) = 6.25x$.
ચાલુ વર્ષનો કુલ પગાર $4.5x + 6.25x = 10.75x$ છે.
આપેલ છે કે $10.75x = 8600$,તેથી $x = 8600 / 10.75 = 800$.
રામનો ચાલુ પગાર $= 4.5 \times 800 = Rs. 3600$.

(D) ધારો કે દરેક મીણબત્તીની પ્રારંભિક ઊંચાઈ $x$ છે અને વીતેલો સમય $T$ કલાક છે.
પ્રથમ મીણબત્તીના બળવાનો દર $\frac{x}{8}$ પ્રતિ કલાક છે.
બીજી મીણબત્તીના બળવાનો દર $\frac{x}{6}$ પ્રતિ કલાક છે.
$T$ કલાક પછી,પ્રથમ મીણબત્તીની બાકી રહેલી ઊંચાઈ $x - \frac{Tx}{8} = x(1 - \frac{T}{8})$ છે.
બીજી મીણબત્તીની બાકી રહેલી ઊંચાઈ $x - \frac{Tx}{6} = x(1 - \frac{T}{6})$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,ઊંચાઈનો ગુણોત્તર $2:1$ છે:
$\frac{x(1 - T/8)}{x(1 - T/6)} = \frac{2}{1}$
$\frac{1 - T/8}{1 - T/6} = 2$
$1 - \frac{T}{8} = 2(1 - \frac{T}{6})$
$1 - \frac{T}{8} = 2 - \frac{T}{3}$
$T$ માટે ઉકેલતા:
$\frac{T}{3} - \frac{T}{8} = 2 - 1$
$\frac{8T - 3T}{24} = 1$
$\frac{5T}{24} = 1$
$T = \frac{24}{5} = 4.8 \text{ કલાક}$.
$0.8 \text{ કલાક} = 0.8 \times 60 \text{ મિનિટ} = 48 \text{ મિનિટ}$,તેથી સમય $4 \text{ કલાક } 48 \text{ મિનિટ}$ થશે.

(A) ધારો કે રામ,શ્યામ અને મોહનની આવક અનુક્રમે $x$,$y$ અને $z$ છે.
રામની બચત $= (100 - 25) \% \text{ of } x = 75 \% \text{ of } x = \frac{3}{4}x$.
શ્યામની બચત $= (100 - 20) \% \text{ of } y = 80 \% \text{ of } y = \frac{4}{5}y$.
મોહનની બચત $= (100 - 50) \% \text{ of } z = 50 \% \text{ of } z = \frac{1}{2}z$.
બચતનો ગુણોત્તર $9:8:4$ આપેલ હોવાથી,તેમની બચતને અનુક્રમે $9k$,$8k$ અને $4k$ ધારો.
બચતને સરખાવતા:
$\frac{3}{4}x = 9k \Rightarrow x = 12k$.
$\frac{4}{5}y = 8k \Rightarrow y = 10k$.
$\frac{1}{2}z = 4k \Rightarrow z = 8k$.
કુલ આવક $Rs. 450$ આપેલ છે:
$x + y + z = 450 \Rightarrow 12k + 10k + 8k = 450$.
$30k = 450 \Rightarrow k = 15$.
રામની આવક $= 12k = 12 \times 15 = Rs. 180$.

(A) દૂધની શરૂઆતની માત્રા $= 1000 \, \text{લીટર}$ છે.
પગલું $1$: $100 \, \text{લીટર}$ દૂધ કાઢીને $100 \, \text{લીટર}$ પાણી ઉમેર્યા પછી, બાકી રહેલું દૂધ $900 \, \text{લીટર}$ છે. દૂધ અને પાણીનો ગુણોત્તર $900:100 = 9:1$ છે.
પગલું $2$: $200 \, \text{લીટર}$ મિશ્રણ કાઢ્યા પછી, દૂર થયેલ દૂધની માત્રા $200 \times (9/10) = 180 \, \text{લીટર}$ છે. બાકી રહેલું દૂધ $= 900 - 180 = 720 \, \text{લીટર}$ છે. કુલ મિશ્રણનું કદ $1000 \, \text{લીટર}$ રહે છે (કારણ કે $200 \, \text{લીટર}$ પાણી ઉમેરવામાં આવે છે).
પગલું $3$: દૂધ અને પાણીનો નવો ગુણોત્તર $720:280 = 18:7$ છે. કુલ ભાગ $= 18 + 7 = 25$ છે.
પગલું $4$: $400 \, \text{લીટર}$ મિશ્રણ કાઢ્યા પછી, દૂર થયેલ દૂધની માત્રા $400 \times (18/25) = 16 \times 18 = 288 \, \text{લીટર}$ છે.
દૂધની અંતિમ માત્રા $= 720 - 288 = 432 \, \text{લીટર}$ છે.

(B) ધારો કે પૃથ્વી પર જમીનનો ભાગ $x$ અને પાણીનો ભાગ $2x$ છે. પૃથ્વીનું કુલ ક્ષેત્રફળ $= 3x$ છે.
દરેક ગોળાર્ધ (ઉત્તર અને દક્ષિણ) નું કુલ ક્ષેત્રફળ કુલ ક્ષેત્રફળના અડધા એટલે કે $\frac{3x}{2}$ થાય.
ઉત્તર ગોળાર્ધમાં,જમીન અને પાણીનો ગુણોત્તર $2:3$ છે. કુલ ભાગ $2+3=5$ છે.
ઉત્તર ગોળાર્ધમાં જમીન $= \frac{2}{5} \times \frac{3x}{2} = \frac{3x}{5}$.
ઉત્તર ગોળાર્ધમાં પાણી $= \frac{3}{5} \times \frac{3x}{2} = \frac{9x}{10}$.
હવે,દક્ષિણ ગોળાર્ધમાં જમીન અને પાણીની ગણતરી કરીએ:
દક્ષિણ ગોળાર્ધમાં જમીન $= \text{કુલ જમીન} - \text{ઉત્તર ગોળાર્ધમાં જમીન} = x - \frac{3x}{5} = \frac{2x}{5}$.
દક્ષિણ ગોળાર્ધમાં પાણી $= \text{કુલ પાણી} - \text{ઉત્તર ગોળાર્ધમાં પાણી} = 2x - \frac{9x}{10} = \frac{11x}{10}$.
દક્ષિણ ગોળાર્ધમાં જમીન અને પાણીનો જરૂરી ગુણોત્તર $\frac{2x/5}{11x/10} = \frac{2}{5} \times \frac{10}{11} = \frac{4}{11}$ છે,એટલે કે $4:11$.

(A) આપેલ છે કે $A, B, C$ ની આવકનો ગુણોત્તર $3: 7: 4$ છે。
$A$ ની આવક $= Rs. 2400$.
અહીં $3$ એકમ $= 2400$, તેથી $1$ એકમ $= 800$.
$B$ ની આવક $= 7 \times 800 = Rs. 5600$.
$C$ ની આવક $= 4 \times 800 = Rs. 3200$.
$A$ નો ખર્ચ $= \text{આવક} - \text{બચત} = 2400 - 300 = Rs. 2100$.
ખર્ચનો ગુણોત્તર $4: 3: 5$ છે。
અહીં $4$ એકમ $= 2100$, તેથી $1$ એકમ $= 525$.
$B$ નો ખર્ચ $= 3 \times 525 = Rs. 1575$.
$C$ નો ખર્ચ $= 5 \times 525 = Rs. 2625$.
$B$ ની બચત $= B$ ની આવક $- B$ નો ખર્ચ $= 5600 - 1575 = Rs. 4025$.
$C$ ની બચત $= C$ ની આવક $- C$ નો ખર્ચ $= 3200 - 2625 = Rs. 575$.

(B) ધારો કે વાઇનનું પ્રારંભિક પ્રમાણ $3x$ અને પાણીનું પ્રમાણ $x$ છે. મિશ્રણનું કુલ કદ $4x$ છે.
ધારો કે $y$ જેટલું મિશ્રણ બહાર કાઢવામાં આવે છે. બહાર કાઢવામાં આવેલ વાઇન $\frac{3}{4}y$ અને પાણી $\frac{1}{4}y$ છે.
$y$ લિટર પાણી ઉમેર્યા પછી,વાઇનનું નવું પ્રમાણ $3x - \frac{3}{4}y$ થશે.
પાણીનું નવું પ્રમાણ $x - \frac{1}{4}y + y = x + \frac{3}{4}y$ થશે.
પ્રશ્ન મુજબ,નવો ગુણોત્તર $1:1$ છે,તેથી:
$3x - \frac{3}{4}y = x + \frac{3}{4}y$
$2x = \frac{6}{4}y$
$2x = \frac{3}{2}y$
$y = \frac{4}{3}x$
કુલ પ્રારંભિક કદ $4x$ હોવાથી,બદલાયેલ મિશ્રણનો ભાગ $\frac{y}{4x} = \frac{4x/3}{4x} = \frac{1}{3}$ છે.

(A) ધારો કે વાસ્તવિક મિશ્રણનું કુલ કદ $V$ લિટર છે.
પેટ્રોલનું પ્રમાણ $= 99 \text{ લિટર}$.
વાસ્તવિક મિશ્રણમાં પેટ્રોલની સાંદ્રતા $= \frac{99}{V} \times 100 \%$.
નવા મિશ્રણમાં,કુલ કદ $(V - 198) \text{ લિટર}$ છે.
નવા મિશ્રણમાં પેટ્રોલની સાંદ્રતા $= \frac{99}{V - 198} \times 100 \%$.
પ્રશ્ન મુજબ,વાસ્તવિક મિશ્રણમાં સાંદ્રતા નવા મિશ્રણ કરતા $13.33 \%$ (એટલે કે $\frac{40}{3} \%$) ઓછી છે:
$\frac{99}{V - 198} \times 100 - \frac{99}{V} \times 100 = \frac{40}{3}$.
$100$ વડે ભાગતા:
$99 \left( \frac{1}{V - 198} - \frac{1}{V} \right) = \frac{40}{300} = \frac{2}{15}$.
$99 \left( \frac{V - (V - 198)}{V(V - 198)} \right) = \frac{2}{15}$.
$99 \times \frac{198}{V(V - 198)} = \frac{2}{15}$.
$V(V - 198) = 99 \times 99 \times 15 = 147015$.
$V^2 - 198V - 147015 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણ ઉકેલતા,$V = 495$ મળે છે.
વાસ્તવિક સાંદ્રતા $= \frac{99}{495} \times 100 = \frac{1}{5} \times 100 = 20 \%$.

(A) આપેલ છે કે $A:B = 6:5$,તેથી $B = \frac{5}{6}A$ લખી શકાય.
આપેલ છે કે $B:E = 2:3$,તેથી $E = \frac{3}{2}B = \frac{3}{2} \times \frac{5}{6}A = \frac{5}{4}A$ લખી શકાય.
આપણને આપેલ છે કે $E - A = 3$. $E = \frac{5}{4}A$ મૂકતા,આપણને $\frac{5}{4}A - A = 3$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $\frac{1}{4}A = 3$ થાય છે,તેથી $A = 12$.
$A = 12$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણને $B = \frac{5}{6} \times 12 = 10$ અને $E = 15$ મળે છે.
આપણને આપેલ છે કે $F$ ની ઉંમર $A$ $(12)$ કરતા ઓછી પણ $B$ $(10)$ કરતા વધારે છે. બધી ઉંમર પૂર્ણાંક હોવાથી,$F$ ની ઉંમર $11$ હોવી જોઈએ.
તેથી,$A$ અને $F$ ની ઉંમરનો ગુણોત્તર $12:11$ છે.