Ratio and Proportion Questions in Gujarati

(C) આપેલ સમીકરણ $3A = 4B = 5C = k$ છે (જ્યાં $k$ એક અચળાંક છે).
તેથી,$A = k/3$,$B = k/4$,અને $C = k/5$ થાય.
ગુણોત્તર $A : B : C$ શોધવા માટે:
$A : B : C = k/3 : k/4 : k/5$.
$k$ વડે ભાગતા,આપણને $1/3 : 1/4 : 1/5$ મળે છે.
સરળ બનાવવા માટે,દરેક પદને $3, 4,$ અને $5$ ના લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ એટલે કે $60$ વડે ગુણો.
$A : B : C = (60/3) : (60/4) : (60/5) = 20 : 15 : 12$.

(A) આપેલ સમીકરણો $3 A = 5 B$ અને $2 B = 3 C$ છે.
$3 A = 5 B$ પરથી,આપણને $\frac{A}{B} = \frac{5}{3}$ મળે છે,તેથી $A : B = 5 : 3$.
$2 B = 3 C$ પરથી,આપણને $\frac{B}{C} = \frac{3}{2}$ મળે છે,તેથી $B : C = 3 : 2$.
$A : C$ શોધવા માટે,આપણે ગુણોત્તરનો ગુણાકાર કરીએ:
$A : C = \frac{A}{B} \times \frac{B}{C} = \frac{5}{3} \times \frac{3}{2} = \frac{5}{2}$.
તેથી,$A : C = 5 : 2$.

(A) ધારો કે અજય,અમન,સુમન અને ગીતાનો હિસ્સો અનુક્રમે $A, B, C$ અને $D$ છે.
આપણને આપેલ છે: $A:B = 8:15$,$B:C = 5:8$ અને $C:D = 4:5$.
સંયુક્ત ગુણોત્તર $A:B:C:D$ શોધવા માટે,આપણે સામાન્ય પદોને સમાન કરીએ:
$A:B = 8:15$
$B:C = 5:8 = (5 \times 3) : (8 \times 3) = 15:24$
હવે આપણી પાસે $A:B:C = 8:15:24$ છે.
આગળ,$C:D = 4:5 = (4 \times 6) : (5 \times 6) = 24:30$.
આમ,સંયુક્ત ગુણોત્તર $A:B:C:D = 8:15:24:30$ છે.
ભાડાના કુલ ભાગ $8 + 15 + 24 + 30 = 77$ છે.
સુમનનો હિસ્સો $C$ ભાગને અનુરૂપ છે,જે $24$ છે.
તેથી,સુમન દ્વારા ચૂકવવામાં આવતો ભાડાનો ભાગ $\frac{24}{77}$ છે.

(B) આપેલ છે કે,અંજુ $(A)$ અને સંજુ $(S)$ પાસે રહેલા નાણાંનો ગુણોત્તર $A:S = 4:5$ છે.
સંજુ $(S)$ અને મંજુ $(M)$ પાસે રહેલા નાણાંનો ગુણોત્તર $S:M = 5:6$ છે.
અહીં સંજુનો હિસ્સો બંને ગુણોત્તરમાં સમાન $(5)$ હોવાથી,આપણે તેને સીધી રીતે $A:S:M = 4:5:6$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
ધારો કે તેમની પાસે રહેલી રકમ અનુક્રમે $4x$,$5x$ અને $6x$ છે.
અંજુ પાસે $₹280$ હોવાથી,$4x = 280$ થાય.
$x$ ની કિંમત શોધતા,$x = \frac{280}{4} = 70$ મળે.
તેથી,મંજુ પાસે રહેલી રકમ $6x = 6 \times 70 = ₹420$ થાય.

(B) આપેલ છે કે,$A:B = 3:5$ અને $B:C = 4:7$.
સંયુક્ત ગુણોત્તર $A:B:C$ શોધવા માટે,આપણે બંને ગુણોત્તરમાં $B$ ની કિંમત સમાન કરીએ છીએ.
$5$ અને $4$ નો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ $20$ છે.
પ્રથમ ગુણોત્તરને $4$ વડે ગુણતા $A:B = 12:20$ મળે છે.
બીજા ગુણોત્તરને $5$ વડે ગુણતા $B:C = 20:35$ મળે છે.
આમ,સંયુક્ત ગુણોત્તર $A:B:C = 12:20:35$ થાય છે.
ગુણોત્તરના ભાગોનો સરવાળો $12 + 20 + 35 = 67$ છે.
વિદ્યાર્થીઓની કુલ સંખ્યા $201$ છે.
વિભાગ $A$ માં વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા $\frac{12}{67} \times 201 = 12 \times 3 = 36$ થાય.

(A) ધારો કે ત્રણ સંખ્યાઓ $A, B,$ અને $C$ છે.
આપણને ગુણોત્તર $A:B = 2:3$ અને $B:C = 7:9$ આપેલ છે.
સંયુક્ત ગુણોત્તર $A:B:C$ મેળવવા માટે,આપણે બંને ગુણોત્તરમાં $B$ ની કિંમત સમાન કરીશું.
$3$ અને $7$ નો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ $21$ છે.
પ્રથમ ગુણોત્તરને $7$ વડે અને બીજા ગુણોત્તરને $3$ વડે ગુણતા:
$A:B = (2 \times 7) : (3 \times 7) = 14:21$
$B:C = (7 \times 3) : (9 \times 3) = 21:27$
આમ,$A:B:C = 14:21:27$.
ધારો કે સંખ્યાઓ $14x, 21x,$ અને $27x$ છે.
સંખ્યાઓનો સરવાળો $124$ છે,તેથી $14x + 21x + 27x = 124$.
$62x = 124$,જેનો અર્થ છે કે $x = 2$.
ત્રીજી સંખ્યા $27x = 27 \times 2 = 54$ છે.

(B) આપેલ ગુણોત્તર $A:B = 3:2$,$B:C = 5:4$,અને $C:D = 3:7$ છે.
સંયુક્ત ગુણોત્તર $A:B:C:D$ શોધવા માટે,આપણે સામાન્ય પદોને સમાન કરીએ:
$A:B = 3:2 = 15:10$
$B:C = 5:4 = 15:12$
$A:B:C = 15:10:8$ થાય.
હવે,$A:B:C = 15:10:8$ અને $C:D = 3:7$ છે.
$C$ ને સમાન કરવા માટે,$A:B:C$ ને $3$ વડે અને $C:D$ ને $8$ વડે ગુણતા:
$A:B:C = 45:30:24$
$C:D = 24:56$
તેથી,$A:B:C:D = 45:30:24:56$ મળે.
ગુણોત્તરના ભાગોનો સરવાળો $45 + 30 + 24 + 56 = 155$ થાય.
$B$ નો હિસ્સો $= (30 / 155) \times 77500 = 30 \times 500 = ₹ 15000$.

(A) ધારો કે બે સંખ્યાઓ $3x$ અને $5x$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,જો દરેક સંખ્યામાં $10$ ઉમેરવામાં આવે,તો નવો ગુણોત્તર $5: 7$ થાય છે.
તેથી,$\frac{3x + 10}{5x + 10} = \frac{5}{7}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા: $7(3x + 10) = 5(5x + 10)$.
$21x + 70 = 25x + 50$.
પદોને ગોઠવતા: $70 - 50 = 25x - 21x$.
$20 = 4x$,જેનો અર્થ છે $x = 5$.
સંખ્યાઓ $3x = 3 \times 5 = 15$ અને $5x = 5 \times 5 = 25$ છે.
તેથી,તે સંખ્યાઓ $15$ અને $25$ છે.

(B) ધારો કે બે સંખ્યાઓ $2x$ અને $3x$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,જો દરેક સંખ્યામાં $4$ ઉમેરવામાં આવે,તો નવો ગુણોત્તર $5: 7$ થાય છે.
તેથી,$\frac{2x + 4}{3x + 4} = \frac{5}{7}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા: $7(2x + 4) = 5(3x + 4)$.
$14x + 28 = 15x + 20$.
પદોને ગોઠવતા: $28 - 20 = 15x - 14x$.
$x = 8$.
તેથી,પ્રથમ સંખ્યા $2x = 2 \times 8 = 16$ છે.
બીજી સંખ્યા $3x = 3 \times 8 = 24$ છે.
આમ,તે સંખ્યાઓ $16$ અને $24$ છે.

(A) ધારો કે બે સંખ્યાઓ $5x$ અને $6x$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,જો દરેકમાંથી $5$ બાદ કરવામાં આવે,તો ગુણોત્તર $4:5$ થાય છે.
તેથી,$\frac{5x - 5}{6x - 5} = \frac{4}{5}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા: $5(5x - 5) = 4(6x - 5)$.
$25x - 25 = 24x - 20$.
$25x - 24x = 25 - 20$.
$x = 5$.
તેથી,પ્રથમ સંખ્યા $5 \times 5 = 25$ અને બીજી સંખ્યા $6 \times 5 = 30$ છે.
આમ,તે સંખ્યાઓ $25$ અને $30$ છે.

(C) ધારો કે સુરેશ અને મહેશની હાલની ઉંમર અનુક્રમે $7x$ અને $5x$ વર્ષ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$6$ વર્ષ પછી તેમની ઉંમરનો ગુણોત્તર $4:3$ થશે.
તેથી,$\frac{7x + 6}{5x + 6} = \frac{4}{3}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા: $3(7x + 6) = 4(5x + 6)$.
$21x + 18 = 20x + 24$.
$21x - 20x = 24 - 18$.
$x = 6$.
મહેશની હાલની ઉંમર $5x = 5 \times 6 = 30$ વર્ષ છે.

(A) ધારો કે સીતા અને ગીતાની હાલની ઉંમર અનુક્રમે $4x$ અને $3x$ વર્ષ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$4$ વર્ષ પહેલાં,તેમની ઉંમર અનુક્રમે $(4x - 4)$ અને $(3x - 4)$ હતી.
$4$ વર્ષ પહેલાં તેમની ઉંમરનો ગુણોત્તર $2:1$ હતો.
તેથી,$\frac{4x - 4}{3x - 4} = \frac{2}{1}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા,આપણને મળે છે: $4x - 4 = 2(3x - 4)$.
$4x - 4 = 6x - 8$.
પદોને ગોઠવતા: $8 - 4 = 6x - 4x$.
$4 = 2x$,જેનો અર્થ છે કે $x = 2$.
સીતાની હાલની ઉંમર $4x = 4 \times 2 = 8$ વર્ષ છે.

(B) ધારો કે બે સંખ્યાઓ $5x$ અને $8x$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,દરેક સંખ્યામાં $12$ ઉમેરતા ગુણોત્તર $3: 4$ મળે છે.
$\frac{5x + 12}{8x + 12} = \frac{3}{4}$
ચોકડી ગુણાકાર કરતા:
$4(5x + 12) = 3(8x + 12)$
$20x + 48 = 24x + 36$
$48 - 36 = 24x - 20x$
$12 = 4x$
$x = 3$
તેથી,પ્રથમ સંખ્યા $5 \times 3 = 15$ અને બીજી સંખ્યા $8 \times 3 = 24$ છે.
બંને સંખ્યાઓનો સરવાળો $15 + 24 = 39$ થાય છે.

(C) ધારો કે બે સંખ્યાઓ $5x$ અને $7x$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,જો દરેકમાંથી $25$ બાદ કરવામાં આવે,તો ગુણોત્તર $35: 59$ થાય છે.
$\frac{5x - 25}{7x - 25} = \frac{35}{59}$
ચોકડી ગુણાકાર કરતા:
$59(5x - 25) = 35(7x - 25)$
$295x - 1475 = 245x - 875$
$295x - 245x = 1475 - 875$
$50x = 600$
$x = 12$
તેથી,પ્રથમ સંખ્યા $5 \times 12 = 60$ અને બીજી સંખ્યા $7 \times 12 = 84$ છે.
બંને સંખ્યાઓ વચ્ચેનો તફાવત $84 - 60 = 24$ છે.

(C) આપેલ ગુણોત્તર $7: 13$ છે. ધારો કે દરેક પદમાં $x$ ઉમેરવામાં આવે છે.
પ્રશ્ન મુજબ,નવો ગુણોત્તર $\frac{7+x}{13+x} = \frac{2}{3}$ થાય છે.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા: $3(7+x) = 2(13+x)$.
પદોનું વિસ્તરણ કરતા: $21 + 3x = 26 + 2x$.
બંને બાજુથી $2x$ બાદ કરતા: $21 + x = 26$.
બંને બાજુથી $21$ બાદ કરતા: $x = 26 - 21 = 5$.
તેથી,$x$ નું મૂલ્ય $5$ છે.

(A) ધારો કે બાદ કરવાની સંખ્યા $x$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,આપણી પાસે સમીકરણ છે:
$\frac{12 - x}{17 - x} = \frac{2}{3}$
પદોનો ક્રોસ-ગુણાકાર કરતા:
$3(12 - x) = 2(17 - x)$
$36 - 3x = 34 - 2x$
$x$ માટે ઉકેલવા માટે પદોની ગોઠવણી કરતા:
$36 - 34 = 3x - 2x$
$x = 2$
તેથી,જરૂરી સંખ્યા $2$ છે.

(B) જો ચાર સંખ્યાઓ $a, b, c$ અને $d$ માં અચળ સંખ્યા $k$ ઉમેર્યા પછી તે પ્રમાણમાં હોય,તો શરત $\frac{a+k}{b+k} = \frac{c+k}{d+k}$ થાય.
અહીં $a=7, b=16, c=43, d=79$ આપેલ છે.
આ કિંમતો મૂકતા: $\frac{7+k}{16+k} = \frac{43+k}{79+k}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા: $(7+k)(79+k) = (16+k)(43+k)$.
બંને બાજુ વિસ્તરણ કરતા: $553 + 7k + 79k + k^2 = 688 + 16k + 43k + k^2$.
સાદુરૂપ આપતા: $553 + 86k = 688 + 59k$.
પદોને ગોઠવતા: $86k - 59k = 688 - 553$.
$27k = 135$.
$k = \frac{135}{27} = 5$.
આમ,$k$ ની કિંમત $5$ છે.

(A) ધારો કે બાદ કરવાની સંખ્યા $x$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$(15-x), (28-x), (20-x)$ અને $(38-x)$ સંખ્યાઓ પ્રમાણમાં છે.
તેથી,$\frac{15-x}{28-x} = \frac{20-x}{38-x}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા: $(15-x)(38-x) = (20-x)(28-x)$.
બંને બાજુ વિસ્તરણ કરતા: $570 - 15x - 38x + x^2 = 560 - 20x - 28x + x^2$.
સાદુરૂપ આપતા: $570 - 53x = 560 - 48x$.
પદોની ગોઠવણી કરતા: $570 - 560 = 53x - 48x$.
$10 = 5x$.
$x = 2$.
આમ,જરૂરી સંખ્યા $2$ છે.

(A) ધારો કે ઉમેરવાની સંખ્યા $x$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,પ્રથમ બે સંખ્યાઓનો ગુણોત્તર અને છેલ્લી બે સંખ્યાઓનો ગુણોત્તર સમાન થાય છે:
$\frac{8+x}{21+x} = \frac{13+x}{31+x}$
ચોકડી ગુણાકાર કરતા:
$(8+x)(31+x) = (13+x)(21+x)$
$248 + 8x + 31x + x^2 = 273 + 13x + 21x + x^2$
$248 + 39x = 273 + 34x$
બંને બાજુથી $34x$ બાદ કરતા:
$248 + 5x = 273$
બંને બાજુથી $248$ બાદ કરતા:
$5x = 273 - 248$
$5x = 25$
$x = 5$
તેથી,જરૂરી સંખ્યા $5$ છે.

(B) ધારો કે $A$ અને $B$ ની આવક અનુક્રમે $3x$ અને $2x$ છે.
ધારો કે $A$ અને $B$ નો ખર્ચ અનુક્રમે $5y$ અને $3y$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\text{આવક} - \text{ખર્ચ} = \text{બચત}$.
$A$ માટે: $3x - 5y = 1000$ ---$(1)$
$B$ માટે: $2x - 3y = 1000$ ---$(2)$
સમીકરણ $(1)$ ને $3$ વડે અને સમીકરણ $(2)$ ને $5$ વડે ગુણતા:
$9x - 15y = 3000$ ---$(3)$
$10x - 15y = 5000$ ---$(4)$
સમીકરણ $(4)$ માંથી સમીકરણ $(3)$ બાદ કરતા:
$(10x - 9x) = 5000 - 3000$
$x = 2000$
$A$ ની આવક $3x = 3 \times 2000 = ₹ 6000$ છે.

(A) ધારો કે પુરુષ અને તેની પત્નીની આવક અનુક્રમે $5x$ અને $3x$ છે.
ધારો કે પુરુષ અને તેની પત્નીનો ખર્ચ અનુક્રમે $3y$ અને $1y$ છે.
આપેલ છે કે તેઓ સમાન બચત કરે છે,ધારો કે દરેકની બચત $S$ છે. કુલ બચત ₹ $4000$ હોવાથી,દરેકની બચત $S = 4000 / 2 = ₹ 2000$ થશે.
પુરુષ માટે: $5x - 3y = 2000$ (સમીકરણ $1$)
પત્ની માટે: $3x - y = 2000$ (સમીકરણ $2$)
સમીકરણ $2$ પરથી,$y = 3x - 2000$.
$y$ ની કિંમત સમીકરણ $1$ માં મૂકતા: $5x - 3(3x - 2000) = 2000$.
$5x - 9x + 6000 = 2000$.
$-4x = -4000$,તેથી $x = 1000$.
પુરુષની આવક = $5x = 5 \times 1000 = ₹ 5000$.
પત્નીની આવક = $3x = 3 \times 1000 = ₹ 3000$.

(D) ધારો કે ગુપ્તા અને વર્માની આવક અનુક્રમે $9x$ અને $4x$ છે.
ધારો કે ગુપ્તા અને વર્માનો ખર્ચ અનુક્રમે $7y$ અને $3y$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\text{આવક} - \text{ખર્ચ} = \text{બચત}$.
ગુપ્તા માટે: $9x - 7y = 2000$ ---$(1)$
વર્મા માટે: $4x - 3y = 2000$ ---$(2)$
સમીકરણ $(2)$ પરથી,$4x = 2000 + 3y$,તેથી $x = \frac{2000 + 3y}{4}$.
$x$ ની કિંમત $(1)$ માં મૂકતા: $9(\frac{2000 + 3y}{4}) - 7y = 2000$.
બંને બાજુ $4$ વડે ગુણતા: $9(2000 + 3y) - 28y = 8000$.
$18000 + 27y - 28y = 8000$.
$-y = 8000 - 18000 = -10000$.
$y = 10000$.
ગુપ્તાનો ખર્ચ $7y = 7 \times 10000 = ₹ 70000$ થાય.

(C) શરૂઆતનું કુલ મિશ્રણ = $60 \, \text{litres}$.
દૂધ અને પાણીનો ગુણોત્તર = $2:1$.
દૂધ = $\frac{2}{3} \times 60 = 40 \, \text{litres}$.
પાણી = $\frac{1}{3} \times 60 = 20 \, \text{litres}$.
ધારો કે ઉમેરવામાં આવતા પાણીની માત્રા $x \, \text{litres}$ છે.
દૂધ અને પાણીનો નવો ગુણોત્તર = $\frac{40}{20 + x} = \frac{1}{2}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા: $40 \times 2 = 1 \times (20 + x)$.
$80 = 20 + x$.
$x = 80 - 20 = 60 \, \text{litres}$.
તેથી,$60 \, \text{litres}$ પાણી ઉમેરવું જોઈએ.

(D) ધારો કે આલ્કોહોલનું પ્રમાણ $12x$ અને પાણીનું પ્રમાણ $5x$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,જ્યારે $14 \text{ લિટર}$ પાણી ઉમેરવામાં આવે છે,ત્યારે ગુણોત્તર $4: 3$ થાય છે.
તેથી,$\frac{12x}{5x + 14} = \frac{4}{3}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા,$3 \times 12x = 4 \times (5x + 14)$.
$36x = 20x + 56$.
$36x - 20x = 56$.
$16x = 56$.
$x = \frac{56}{16} = 3.5$.
આલ્કોહોલનું પ્રમાણ $12x = 12 \times 3.5 = 42 \text{ લિટર}$ છે.
આમ,$42$ વિકલ્પોમાં આપેલ ન હોવાથી,સાચો જવાબ $D$ (આમાંથી કોઈ નહીં) છે.

(B) તાંબા અને ચાંદીનો ગુણોત્તર $3:7$ છે.
મિશ્રધાતુમાં કુલ ભાગ $= 3 + 7 = 10$ છે.
ચાંદીનું પ્રમાણ કુલ $10$ ભાગમાંથી $7$ ભાગ છે.
ચાંદીની ટકાવારી $= (\frac{7}{10}) \times 100 \% = 70 \%$ થાય.

(C) ધારો કે બે મિશ્રધાતુઓ $x:y$ ના ગુણોત્તરમાં ભેળવવામાં આવે છે.
પ્રથમ મિશ્રધાતુમાં ઝિંકનો ભાગ $\frac{2}{2+1} = \frac{2}{3}$ છે.
બીજી મિશ્રધાતુમાં ઝિંકનો ભાગ $\frac{4}{4+1} = \frac{4}{5}$ છે.
નવા મિશ્રણમાં ઝિંકનો ભાગ $\frac{3}{3+1} = \frac{3}{4}$ હોવો જોઈએ.
એલિગેશનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
બીજી મિશ્રધાતુ અને અંતિમ મિશ્રણ વચ્ચેનો તફાવત: $\frac{4}{5} - \frac{3}{4} = \frac{16-15}{20} = \frac{1}{20}$.
અંતિમ મિશ્રણ અને પ્રથમ મિશ્રધાતુ વચ્ચેનો તફાવત: $\frac{3}{4} - \frac{2}{3} = \frac{9-8}{12} = \frac{1}{12}$.
ગુણોત્તર $x:y$ એ આ તફાવતોનો ગુણોત્તર છે:
$x:y = \frac{1}{20} : \frac{1}{12} = 12 : 20 = 3 : 5$.
આમ,મિશ્રધાતુઓને $3:5$ ના ગુણોત્તરમાં ભેળવવી જોઈએ.

(A) ધારો કે પ્રથમ પાત્રમાં દૂધ અને પાણીનો ગુણોત્તર $5:1$ છે. દૂધનો અપૂર્ણાંક $\frac{5}{6}$ છે.
ધારો કે બીજા પાત્રમાં દૂધ અને પાણીનો ગુણોત્તર $7:2$ છે. દૂધનો અપૂર્ણાંક $\frac{7}{9}$ છે.
ધારો કે મિશ્રણને $x:y$ ના ગુણોત્તરમાં ભેળવવામાં આવે છે. અંતિમ મિશ્રણમાં દૂધનો અપૂર્ણાંક $80\% = \frac{80}{100} = \frac{4}{5}$ છે.
ભારિત સરેરાશના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{x(\frac{5}{6}) + y(\frac{7}{9})}{x+y} = \frac{4}{5}$
છેદ દૂર કરવા માટે $90(x+y)$ વડે ગુણતા:
$15(5x) + 10(7y) = 72(x+y)$
$75x + 70y = 72x + 72y$
$3x = 2y$
$\frac{x}{y} = \frac{2}{3}$
આમ,જરૂરી ગુણોત્તર $2:3$ છે.

(B) દૈનિક કલેક્શનની ગણતરી આ રીતે થાય છે: $\text{દૈનિક કલેક્શન} = \text{એક ટિકિટની કિંમત} \times \text{મુલાકાતીઓની સંખ્યા}$.
ટિકિટના ભાવમાં ફેરફારનો ગુણોત્તર $7:9$ છે અને મુલાકાતીઓની સંખ્યામાં ફેરફારનો ગુણોત્તર $13:11$ છે.
તેથી,ફેરફાર પહેલાં અને પછીના દૈનિક કલેક્શનનો ગુણોત્તર $(7 \times 13) : (9 \times 11) = 91 : 99$ થશે.
આપેલ છે કે ભાવ વધારા પહેલાં દૈનિક કલેક્શન $₹ 2,27,500$ હતું,તેથી આપણે સમીકરણ બનાવી શકીએ:
$\frac{\text{જૂનું કલેક્શન}}{\text{નવું કલેક્શન}} = \frac{91}{99}$.
નવું દૈનિક કલેક્શન $= 2,27,500 \times \left(\frac{99}{91}\right)$.
પ્રથમ,$2,27,500$ ને $91$ વડે ભાગતા: $2,27,500 / 91 = 2,500$.
ત્યારબાદ,$99$ વડે ગુણતા: $2,500 \times 99 = 2,47,500$.
આમ,નવું દૈનિક કલેક્શન $₹ 2,47,500$ છે.

(C) ધારો કે પસંદ થયેલા ઉમેદવારોની સંખ્યા $2x$ છે અને પસંદ ન થયેલા ઉમેદવારોની સંખ્યા $x$ છે.
કુલ અરજી કરનાર ઉમેદવારો = $2x + x = 3x$.
પ્રશ્ન મુજબ,જો $50$ ઉમેદવારો ઓછાએ અરજી કરી હોત,તો નવી કુલ સંખ્યા $3x - 50$ થાય.
જો $25$ ઉમેદવારો ઓછા પસંદ થયા હોત,તો પસંદ થયેલા ઉમેદવારોની નવી સંખ્યા $2x - 25$ થાય.
પસંદ ન થયેલા ઉમેદવારોની નવી સંખ્યા $(3x - 50) - (2x - 25) = x - 25$ થાય.
પસંદ થયેલા અને પસંદ ન થયેલા ઉમેદવારોનો ગુણોત્તર $9:4$ આપેલ છે,તેથી:
$\frac{2x - 25}{x - 25} = \frac{9}{4}$
$4(2x - 25) = 9(x - 25)$
$8x - 100 = 9x - 225$
$x = 125$.
કુલ અરજી કરનાર ઉમેદવારોની સંખ્યા $3x = 3 \times 125 = 375$ છે.

(A) ધારો કે ટેન્કની પ્રારંભિક સંખ્યા $5x$ અને વિમાનોની સંખ્યા $3x$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$1000$ ટેન્ક અને $800$ વિમાનો નાશ પામ્યા પછી,ગુણોત્તર $2:1$ થાય છે.
તેથી,$\frac{5x - 1000}{3x - 800} = \frac{2}{1}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા,આપણને મળે છે: $5x - 1000 = 2(3x - 800)$.
$5x - 1000 = 6x - 1600$.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા: $1600 - 1000 = 6x - 5x$.
$x = 600$.
યુદ્ધ પછી ટેન્કની સંખ્યા $5x - 1000 = 5(600) - 1000 = 3000 - 1000 = 2000$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ $3 A = 6 B = 9 C$ છે.
ધારો કે $3 A = 6 B = 9 C = x$.
તેથી,$A = \frac{x}{3}$,$B = \frac{x}{6}$,અને $C = \frac{x}{9}$ થાય.
ગુણોત્તર $A : B : C$ શોધવા માટે:
$A : B : C = \frac{x}{3} : \frac{x}{6} : \frac{x}{9}$.
આને સરળ બનાવવા માટે,છેદ $3, 6,$ અને $9$ નો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ શોધીએ,જે $18$ છે.
દરેક પદને $18$ વડે ગુણતા:
$A : B : C = (\frac{x}{3} \times 18) : (\frac{x}{6} \times 18) : (\frac{x}{9} \times 18)$.
$A : B : C = 6x : 3x : 2x$.
સામાન્ય ચલ $x$ ને દૂર કરતા,આપણને $A : B : C = 6 : 3 : 2$ મળે છે.

(D) આપેલ સમીકરણ $6 A = 4 B = 9 C = k$ છે,જ્યાં $k$ એક અચળાંક છે.
તેથી,$A = \frac{k}{6}$,$B = \frac{k}{4}$,અને $C = \frac{k}{9}$ થાય.
તેથી,ગુણોત્તર $A : B : C = \frac{k}{6} : \frac{k}{4} : \frac{k}{9}$ મળે.
$k$ વડે ભાગતા,આપણને $A : B : C = \frac{1}{6} : \frac{1}{4} : \frac{1}{9}$ મળે.
ગુણોત્તરને સરળ બનાવવા માટે,દરેક પદને $6, 4,$ અને $9$ ના લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ એટલે કે $36$ વડે ગુણો.
$A : B : C = (\frac{1}{6} \times 36) : (\frac{1}{4} \times 36) : (\frac{1}{9} \times 36)$.
$A : B : C = 6 : 9 : 4$.

(C) ધારો કે ચોથું પ્રમાણિત પદ $d$ છે.
પ્રમાણની વ્યાખ્યા મુજબ,જો $a, b, c$ એ $d$ ના પ્રમાણમાં હોય,તો $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ થાય.
અહીં,$a = 189$,$b = 273$,અને $c = 153$ છે.
તેથી,$\frac{189}{273} = \frac{153}{d}$.
$\frac{189}{273}$ અપૂર્ણાંકને $21$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{189 \div 21}{273 \div 21} = \frac{9}{13}$ મળે છે.
હવે,સમીકરણ $\frac{9}{13} = \frac{153}{d}$ બને છે.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા,$9d = 153 \times 13$ મળે.
$d = \frac{153 \times 13}{9}$.
કારણ કે $153 \div 9 = 17$ થાય છે,તેથી $d = 17 \times 13 = 221$.
આમ,ચોથું પ્રમાણિત પદ $221$ છે.

(D) ધારો કે $Z$ ને મળતી રકમ $z$ છે.
તેથી,$Y$ ને મળતી રકમ $\frac{2}{3}z$ છે.
અને $X$ ને મળતી રકમ $\frac{4}{5} \times (\frac{2}{3}z) = \frac{8}{15}z$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,તેમના હિસ્સાનો સરવાળો $11550$ છે:
$\frac{8}{15}z + \frac{2}{3}z + z = 11550$
$\frac{8z + 10z + 15z}{15} = 11550$
$\frac{33z}{15} = 11550$
$33z = 11550 \times 15$
$z = \frac{173250}{33} = 5250$.
આમ,$Z = 5250$.
$X = \frac{8}{15} \times 5250 = 8 \times 350 = 2800$.
$Z$ અને $X$ વચ્ચેનો તફાવત $5250 - 2800 = 2450$ છે.

(A) ધારો કે પુત્રની હાલની ઉંમર $S$ વર્ષ છે.
જ્યારે પુત્રનો જન્મ થયો ત્યારે પુત્રની ઉંમર $0$ હતી. તે સમયે પિતાની ઉંમર $11x$ અને માતાની ઉંમર $10x$ ધારો.
પુત્રનો જન્મ $S$ વર્ષ પહેલાં થયો હોવાથી,પિતા અને માતાની હાલની ઉંમર અનુક્રમે $(11x + S)$ અને $(10x + S)$ થશે.
જ્યારે પુત્ર તેની હાલની ઉંમર કરતાં બમણી ઉંમરનો થશે,ત્યારે તેની ઉંમર $2S$ હશે. આ ઘટના આજથી $S$ વર્ષ પછી બનશે.
તે સમયે,પિતાની ઉંમર $(11x + S + S) = 11x + 2S$ અને માતાની ઉંમર $(10x + S + S) = 10x + 2S$ થશે.
પ્રશ્ન મુજબ,તે સમયે ગુણોત્તર $19: 18$ છે:
$\frac{11x + 2S}{10x + 2S} = \frac{19}{18}$
$18(11x + 2S) = 19(10x + 2S)$
$198x + 36S = 190x + 38S$
$8x = 2S \implies S = 4x$
હવે,$S = 4x$ ને હાલની ઉંમરના સમીકરણમાં મૂકતા:
પિતાની હાલની ઉંમર $= 11x + 4x = 15x$
માતાની હાલની ઉંમર $= 10x + 4x = 14x$
તેમની હાલની ઉંમરનો ગુણોત્તર $\frac{15x}{14x} = 15: 14$ છે.

(A) ધારો કે $A$,$B$ અને $C$ ના ભાગ અનુક્રમે $A$,$B$ અને $C$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$\frac{1}{2} A = \frac{1}{3} B = \frac{1}{6} C = k$ (જ્યાં $k$ એક અચળાંક છે).
તેથી,$A = 2k$,$B = 3k$ અને $C = 6k$.
કુલ રકમ $A + B + C = 1980$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $2k + 3k + 6k = 1980$.
$11k = 1980$.
$k = \frac{1980}{11} = 180$.
$B$ નો ભાગ $3k = 3 \times 180 = ₹ 540$ છે.

(C) ધારો કે બે સંખ્યાઓ $5x$ અને $3x$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,જો દરેકમાંથી $9$ બાદ કરવામાં આવે,તો ગુણોત્તર $9:5$ થાય છે.
તેથી,સમીકરણ આ મુજબ છે: $\frac{5x - 9}{3x - 9} = \frac{9}{5}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા: $5(5x - 9) = 9(3x - 9)$.
$25x - 45 = 27x - 81$.
પદોને ગોઠવતા: $81 - 45 = 27x - 25x$.
$36 = 2x$.
$x = 18$.
તેથી,બે સંખ્યાઓ $5 \times 18 = 90$ અને $3 \times 18 = 54$ છે.

(A) આપેલ છે કે $\frac{1}{2} A = \frac{2}{5} B = \frac{1}{3} C = k$.
આના પરથી,આપણે $A, B,$ અને $C$ ને $k$ ના સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકીએ છીએ:
$A = 2k$
$B = \frac{5k}{2}$
$C = 3k$
હવે,$A : B : C$ નો ગુણોત્તર શોધો:
$A : B : C = 2k : \frac{5k}{2} : 3k$
$k$ વડે ભાગતા:
$A : B : C = 2 : \frac{5}{2} : 3$
ગુણોત્તરને સરળ બનાવવા માટે,દરેક પદને $2$ વડે ગુણો:
$A : B : C = (2 \times 2) : (\frac{5}{2} \times 2) : (3 \times 2)$
$A : B : C = 4 : 5 : 6$

(D) ધારો કે બે સંખ્યાઓ $4x$ અને $5x$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,જો બંને સંખ્યાઓમાં $4$ ઉમેરવામાં આવે,તો નવો ગુણોત્તર $5:6$ થાય છે.
તેથી,$\frac{4x + 4}{5x + 4} = \frac{5}{6}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા: $6(4x + 4) = 5(5x + 4)$.
$24x + 24 = 25x + 20$.
પદોને ગોઠવતા: $24x - 25x = 20 - 24$.
$-x = -4$,જેનો અર્થ છે કે $x = 4$.
તેથી બે સંખ્યાઓ $4(4) = 16$ અને $5(4) = 20$ છે.
આ બે સંખ્યાઓનો સરવાળો $16 + 20 = 36$ થાય છે.

(B) ધારો કે બે સંખ્યાઓ $3x$ અને $5x$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,જો બંને સંખ્યાઓમાં $8$ ઉમેરવામાં આવે,તો ગુણોત્તર $13:19$ થાય છે.
તેથી,સમીકરણ આ મુજબ બનશે: $\frac{3x + 8}{5x + 8} = \frac{13}{19}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા: $19(3x + 8) = 13(5x + 8)$.
$57x + 152 = 65x + 104$.
પદોને ગોઠવતા: $65x - 57x = 152 - 104$.
$8x = 48$.
$x = 6$.
તેથી,સંખ્યાઓ $3(6) = 18$ અને $5(6) = 30$ છે.
બંને સંખ્યાઓનો સરવાળો $18 + 30 = 48$ થાય છે.

(A) ધારો કે ત્રણ સંખ્યાઓ $2x$,$5x$ અને $7x$ છે,જ્યાં $x$ એ સામાન્ય ગુણક છે.
પ્રશ્ન મુજબ,સૌથી નાની $(2x)$ અને સૌથી મોટી $(7x)$ સંખ્યાનો સરવાળો એ બીજી સંખ્યા $(5x)$ અને $16$ ના સરવાળા જેટલો છે.
તેથી,આપણે સમીકરણ આ રીતે લખી શકીએ: $2x + 7x = 5x + 16$.
સમીકરણનું સાદુંરૂપ આપતા: $9x = 5x + 16$.
બંને બાજુથી $5x$ બાદ કરતા: $4x = 16$.
$4$ વડે ભાગતા: $x = 4$.
સૌથી નાની સંખ્યા $2x = 2(4) = 8$ છે.

(D) ધારો કે ત્રણ સંખ્યાઓ $3x$,$6x$ અને $8x$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,તેમનો ગુણાકાર $9216$ છે.
તેથી,$(3x) \times (6x) \times (8x) = 9216$.
$144x^3 = 9216$.
બંને બાજુ $144$ વડે ભાગતા:
$x^3 = \frac{9216}{144} = 64$.
બંને બાજુ ઘનમૂળ લેતા:
$x = \sqrt[3]{64} = 4$.
તેથી ત્રણ સંખ્યાઓ $3(4) = 12$,$6(4) = 24$ અને $8(4) = 32$ છે.
ત્રણ સંખ્યાઓનો સરવાળો $12 + 24 + 32 = 68$ થાય છે.

(C) ધારો કે ત્રણ સંખ્યાઓ $2x, 3x$ અને $5x$ છે.
આપેલ છે કે આ સંખ્યાઓનો સરવાળો $275$ છે.
તેથી,$2x + 3x + 5x = 275$.
$10x = 275$.
$x = 275 / 10 = 27.5$.
સૌથી મોટી સંખ્યા $5x$ છે.
સૌથી મોટી સંખ્યા $= 5 \times 27.5 = 137.5$.

(C) આપેલ ગુણોત્તર: $\frac{x+y}{x-y} = \frac{11}{1}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા: $x+y = 11(x-y)$.
સમીકરણનું વિસ્તરણ કરતા: $x+y = 11x - 11y$.
$x$ ને $y$ ના સ્વરૂપમાં મેળવવા માટે પદોને ગોઠવતા: $11y + y = 11x - x$,જેનું સાદું રૂપ $12y = 10x$ થાય છે.
$2$ વડે ભાગતા,આપણને $6y = 5x$ અથવા $x = \frac{6y}{5}$ મળે છે.
હવે,$x = \frac{6y}{5}$ ને $\frac{5x+3y}{x-2y}$ પદાવલિમાં મૂકતા:
અંશ: $5(\frac{6y}{5}) + 3y = 6y + 3y = 9y$.
છેદ: $\frac{6y}{5} - 2y = \frac{6y - 10y}{5} = \frac{-4y}{5}$.
તેથી,કિંમત $\frac{9y}{-4y/5} = 9y \times (\frac{-5}{4y}) = \frac{-45}{4}$ થાય છે.

(B) આપેલ સમીકરણ $6 A = 11 B = 7 C = k$ છે,જ્યાં $k$ એક અચળાંક છે.
તેથી,$A = k/6$,$B = k/11$,અને $C = k/7$ મળે.
ગુણોત્તર $A : B : C$ શોધવા માટે:
$A : B : C = k/6 : k/11 : k/7$
$k$ વડે ભાગતા,આપણને $1/6 : 1/11 : 1/7$ મળે.
સરળ બનાવવા માટે,$6, 11,$ અને $7$ નો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ શોધો,જે $6 \times 11 \times 7 = 462$ છે.
$A : B : C = (462/6) : (462/11) : (462/7)$
$A : B : C = 77 : 42 : 66$.

(A) આપેલ સમીકરણ $5A = 12B = 13C = k$ છે (જ્યાં $k$ એક અચળાંક છે).
તેથી,$A = k/5$,$B = k/12$,અને $C = k/13$ થાય.
ગુણોત્તર $A:B:C$ શોધવા માટે,આપણી પાસે $k/5 : k/12 : k/13$ છે.
$k$ વડે ભાગતા,આપણને $1/5 : 1/12 : 1/13$ મળે છે.
આ ગુણોત્તરને સરળ બનાવવા માટે,દરેક પદને $5, 12,$ અને $13$ ના લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ વડે ગુણો.
$LCM(5, 12, 13) = 5 \times 12 \times 13 = 780$.
દરેક પદને $780$ વડે ગુણતા:
$A = 780 / 5 = 156$
$B = 780 / 12 = 65$
$C = 780 / 13 = 60$
તેથી,$A:B:C = 156: 65: 60$.

(D) ધારો કે બે સંખ્યાઓ $a$ અને $b$ છે.
આપેલ છે કે મધ્યપ્રમાણ $10$ છે,તેથી $\sqrt{ab} = 10$,જેનો અર્થ છે કે $ab = 100$.
આપેલ છે કે ત્રીજું પ્રમાણ $1024$ છે,બે સંખ્યાઓ $a$ અને $b$ માટે,ત્રીજું પ્રમાણ $c$ એ $a:b = b:c$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થાય છે,તેથી $c = b^2/a = 1024$.
$ab = 100$ પરથી,આપણને $a = 100/b$ મળે છે.
$a$ ની કિંમત ત્રીજા પ્રમાણના સમીકરણમાં મૂકતા: $b^2 / (100/b) = 1024$,જેનું સાદું રૂપ $b^3 / 100 = 1024$ થાય છે.
આમ,$b^3 = 102400$. આ કિંમત વિકલ્પો સાથે મેળ ખાતી નથી.
જો પ્રશ્નમાં મધ્યપ્રમાણ $16$ અને ત્રીજું પ્રમાણ $128$ હોય,તો $\sqrt{ab}=16 \implies ab=256$ અને $b^2/a=128 \implies b=32, a=8$ મળે છે. તેથી સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણો $3P = 2Q$ અને $2Q = 3R$ છે.
$3P = 2Q$ પરથી,આપણને ગુણોત્તર $P:Q = 2:3$ મળે છે.
$2Q = 3R$ પરથી,આપણને ગુણોત્તર $Q:R = 3:2$ મળે છે.
અહીં બંને ગુણોત્તરમાં $Q$ ની કિંમત $3$ સમાન હોવાથી,આપણે તેમને સીધી રીતે જોડી શકીએ છીએ.
તેથી,$P:Q:R = 2:3:2$ થાય.

(C) આપેલ છે કે $\frac{A}{3} = \frac{B}{2} = \frac{C}{5} = k$ (જ્યાં $k$ એક અચળાંક છે).
તેથી,$A = 3k$,$B = 2k$,અને $C = 5k$ થાય.
આપણે ગુણોત્તર $(C+A)^{2} : (A+B)^{2} : (B+C)^{2}$ શોધવાનો છે.
$A, B,$ અને $C$ ની કિંમતો $k$ ના સ્વરૂપમાં મૂકતા:
$(C+A)^{2} = (5k + 3k)^{2} = (8k)^{2} = 64k^{2}$.
$(A+B)^{2} = (3k + 2k)^{2} = (5k)^{2} = 25k^{2}$.
$(B+C)^{2} = (2k + 5k)^{2} = (7k)^{2} = 49k^{2}$.
આમ,ગુણોત્તર $64k^{2} : 25k^{2} : 49k^{2}$ મળે છે.
$k^{2}$ વડે ભાગતા,આપણને $64 : 25 : 49$ મળે છે.

(D) આપેલ ગુણોત્તર $A: B = 2: 5$,$B: C = 4: 3$ અને $C: D = 2: 1$ છે.
$A: B: C$ શોધવા માટે,આપણે બંને ગુણોત્તરમાં $B$ નું મૂલ્ય સમાન કરીએ છીએ. $A: B$ ને $4$ વડે અને $B: C$ ને $5$ વડે ગુણતા:
$A: B = (2 \times 4) : (5 \times 4) = 8: 20$
$B: C = (4 \times 5) : (3 \times 5) = 20: 15$
તેથી,$A: B: C = 8: 20: 15$.
હવે,$A: B: C: D$ શોધવા માટે,આપણે $C: D = 2: 1$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ. આપણે $A: B: C$ માં $C$ નું મૂલ્ય $(15)$ અને $C: D$ માં $C$ નું મૂલ્ય $(2)$ સમાન કરીએ છીએ. $A: B: C$ ને $2$ વડે અને $C: D$ ને $15$ વડે ગુણતા:
$A: B: C = (8 \times 2) : (20 \times 2) : (15 \times 2) = 16: 40: 30$
$C: D = (2 \times 15) : (1 \times 15) = 30: 15$
આમ,$A: B: C: D = 16: 40: 30: 15$.
તેથી,$A: C: D = 16: 30: 15$.