Probability Questions in Hindi

(C) जब $4$ सिक्कों को उछाला जाता है,तो कुल संभावित परिणामों की संख्या $2^4 = 16$ होती है।
$4$ सिक्कों में से ठीक $2$ पट (tails) प्राप्त करने के तरीकों की संख्या संचय सूत्र $^nC_r$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $n=4$ और $r=2$ है।
$^4C_2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$.
अनुकूल परिणाम हैं: $HHTT, HTHT, HTTH, THHT, THTH, TTHH$.
अतः,ठीक $2$ पट प्राप्त करने की प्रायिकता $P = \frac{\text{अनुकूल परिणाम}}{\text{कुल परिणाम}} = \frac{6}{16} = \frac{3}{8}$ है।

(B) जब $4$ सिक्कों को उछाला जाता है, तो कुल संभावित परिणामों की संख्या $2^4 = 16$ होती है।
'कम से कम $1$ टेल' आने की घटना, 'कोई टेल न आने' (अर्थात सभी हेड आने) की घटना की पूरक घटना है।
कोई टेल न आने का केवल $1$ परिणाम है, जो $(H, H, H, H)$ है।
$P(\text{सभी हेड}) = \frac{1}{16}$.
$P(\text{कम से कम } 1 \text{ टेल}) = 1 - P(\text{सभी हेड})$.
$P(\text{कम से कम } 1 \text{ टेल}) = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}$.

(C) जब $2$ पासे फेंके जाते हैं,तो कुल संभावित परिणामों की संख्या $6 \times 6 = 36$ होती है।
मान लीजिए $E$,$3$ या $5$ का योग प्राप्त करने की घटना है।
$3$ का योग देने वाले परिणाम हैं: $(1, 2)$ और $(2, 1)$।
$5$ का योग देने वाले परिणाम हैं: $(1, 4), (2, 3), (3, 2),$ और $(4, 1)$।
कुल अनुकूल परिणाम $= 2 + 4 = 6$।
प्रायिकता $P(E) = \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल परिणामों की संख्या}} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$।

(A) जब $2$ पासों को फेंका जाता है,तो कुल संभावित परिणामों की संख्या $6 \times 6 = 36$ होती है।
योग $12$ प्राप्त करने के लिए अनुकूल परिणाम केवल $(6, 6)$ है।
अतः,अनुकूल परिणामों की संख्या $1$ है।
इसलिए,अभीष्ट प्रायिकता $= \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल संभावित परिणामों की संख्या}} = \frac{1}{36}$।

(B) जब $2$ पासे फेंके जाते हैं,तो कुल संभावित परिणामों की संख्या $6 \times 6 = 36$ होती है।
वे परिणाम जिनका योग $11$ है,$(5, 6)$ और $(6, 5)$ हैं।
अतः,अनुकूल परिणामों की संख्या $2$ है।
किसी घटना की प्रायिकता अनुकूल परिणामों की संख्या और कुल संभावित परिणामों की संख्या का अनुपात होती है।
$\text{अभीष्ट प्रायिकता} = \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल परिणामों की संख्या}} = \frac{2}{36} = \frac{1}{18}$.

(A) जब $2$ पासे फेंके जाते हैं,तो कुल संभावित परिणामों की संख्या $6 \times 6 = 36$ होती है।
योग $8$ प्राप्त करने के अनुकूल परिणाम $5$ हैं: $(2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2).$
अतः,अनुकूल परिणामों की संख्या $5$ है।
अभीष्ट प्रायिकता का सूत्र है: $\text{प्रायिकता} = \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल संभावित परिणामों की संख्या}}.$
$\text{प्रायिकता} = \frac{5}{36}.$

(C) जब $2$ पासे फेंके जाते हैं,तो कुल संभावित परिणामों की संख्या $6 \times 6 = 36$ होती है।
योग $7$ प्राप्त करने के लिए अनुकूल परिणाम हैं: $(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)$।
ऐसे कुल $6$ अनुकूल परिणाम हैं।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $= \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल परिणामों की संख्या}} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$।

(A) 'डबलेट' का अर्थ है कि दोनों पासों की ऊपरी सतहों पर समान अंक दिखाई दें।
जब $2$ पासे फेंके जाते हैं, तो कुल संभावित परिणामों की संख्या $6 \times 6 = 36$ होती है।
डबलेट प्राप्त करने की घटना के लिए अनुकूल परिणाम हैं:
$(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)$
अतः, अनुकूल परिणामों की संख्या $= 6$ है।
इसलिए, डबलेट प्राप्त करने की प्रायिकता है:
$P(\text{doublet}) = \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल संभावित परिणामों की संख्या}} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$.

(C) जब $2$ पासे फेंके जाते हैं,तो कुल संभावित परिणामों की संख्या $6 \times 6 = 36$ होती है।
मान लीजिए $A$ पहले पासे पर $2$ का गुणज प्राप्त करने की घटना है: $A = \{2, 4, 6\}$।
मान लीजिए $B$ दूसरे पासे पर $3$ का गुणज प्राप्त करने की घटना है: $B = \{3, 6\}$।
हमें एक पासे पर $2$ का गुणज और दूसरे पर $3$ का गुणज प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात करनी है।
मान लीजिए $E_1$ उन परिणामों का समुच्चय है जहाँ पहला पासा $2$ का गुणज और दूसरा $3$ का गुणज है: $E_1 = \{(2,3), (2,6), (4,3), (4,6), (6,3), (6,6)\}$।
मान लीजिए $E_2$ उन परिणामों का समुच्चय है जहाँ पहला पासा $3$ का गुणज और दूसरा $2$ का गुणज है: $E_2 = \{(3,2), (3,4), (3,6), (6,2), (6,4), (6,6)\}$।
$E_1 \cup E_2$ अनुकूल परिणामों को दर्शाता है। ध्यान दें कि $(6,6)$ दोनों समुच्चयों में उभयनिष्ठ है।
$E_1 \cup E_2 = \{(2,3), (2,6), (4,3), (4,6), (6,3), (6,6), (3,2), (3,4), (6,2), (6,4)\}$।
अद्वितीय परिणामों को गिनने पर,अनुकूल परिणामों की संख्या $11$ है।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $\frac{11}{36}$ है।

(C) $2$ पासे फेंकने पर कुल संभावित परिणामों की संख्या $6 \times 6 = 36$ है।
माना $A$ पहले पासे पर विषम संख्या और दूसरे पासे पर $3$ का गुणज प्राप्त करने की घटना है।
पासे पर विषम संख्याएँ ${1, 3, 5}$ हैं। पासे पर $3$ के गुणज ${3, 6}$ हैं।
$(A, B)$ के लिए संभावित परिणाम जहाँ $A \in {1, 3, 5}$ और $B \in {3, 6}$ हैं: $(1,3), (1,6), (3,3), (3,6), (5,3), (5,6)$। (कुल $6$ परिणाम)।
माना $C$ पहले पासे पर $3$ का गुणज और दूसरे पासे पर विषम संख्या प्राप्त करने की घटना है।
$(C, D)$ के लिए संभावित परिणाम जहाँ $C \in {3, 6}$ और $D \in {1, 3, 5}$ हैं: $(3,1), (3,3), (3,5), (6,1), (6,3), (6,5)$। (कुल $6$ परिणाम)।
परिणाम $(3,3)$ दोनों समूहों में उभयनिष्ठ है।
समावेशन-अपवर्जन सिद्धांत का उपयोग करते हुए,कुल अनुकूल परिणामों की संख्या $6 + 6 - 1 = 11$ है।
अनुकूल परिणाम हैं: $(1,3), (1,6), (3,3), (3,6), (5,3), (5,6), (3,1), (3,5), (6,1), (6,3), (6,5)$।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $\frac{11}{36}$ है।

(C) जब $2$ पासे फेंके जाते हैं,तो कुल संभावित परिणामों की संख्या $n(S) = 6 \times 6 = 36$ होती है।
सम संख्याओं के द्विक का अर्थ है कि दोनों पासों पर समान सम संख्या आए।
इस घटना $A$ के लिए संभावित परिणाम हैं: $A = \{(2, 2), (4, 4), (6, 6)\}$.
अनुकूल परिणामों की संख्या $n(A) = 3$ है।
प्रायिकता $P(A)$ का सूत्र है: $P(A) = \frac{n(A)}{n(S)}$.
मान रखने पर: $P(A) = \frac{3}{36} = \frac{1}{12}$.

(B) जब $2$ पासे फेंके जाते हैं,तो कुल संभावित परिणामों की संख्या $n(S) = 6 \times 6 = 36$ होती है।
माना $A$ योग $6$ से कम प्राप्त करने की घटना है।
योग $6$ से कम होने के लिए संभावित परिणाम इस प्रकार हैं:
योग $= 2: (1, 1)$
योग $= 3: (1, 2), (2, 1)$
योग $= 4: (1, 3), (2, 2), (3, 1)$
योग $= 5: (1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)$
इनकी गणना करने पर,हमें $n(A) = 1 + 2 + 3 + 4 = 10$ प्राप्त होता है।
प्रायिकता $P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{10}{36} = \frac{5}{18}$ है।

(D) जब $2$ पासे फेंके जाते हैं,तो कुल संभावित परिणामों की संख्या $n(S) = 6 \times 6 = 36$ होती है।
मान लीजिए $A$ योग $7$ से अधिक प्राप्त करने की घटना है। संभावित परिणाम इस प्रकार हैं:
योग $= 8: (2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2)$ ($5$ परिणाम)
योग $= 9: (3,6), (4,5), (5,4), (6,3)$ ($4$ परिणाम)
योग $= 10: (4,6), (5,5), (6,4)$ ($3$ परिणाम)
योग $= 11: (5,6), (6,5)$ ($2$ परिणाम)
योग $= 12: (6,6)$ ($1$ परिणाम)
कुल अनुकूल परिणाम $n(A) = 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15$ हैं।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{15}{36} = \frac{5}{12}$ है।

(A) जब $2$ पासे फेंके जाते हैं,तो कुल संभावित परिणामों की संख्या $n(S) = 6 \times 6 = 36$ होती है।
माना $A$ योग $10$ से अधिक प्राप्त करने की घटना है। इस घटना के लिए संभावित परिणाम $(5, 6), (6, 5),$ और $(6, 6)$ हैं।
अतः,अनुकूल परिणामों की संख्या $n(A) = 3$ है।
घटना $A$ की प्रायिकता $P(A) = \frac{n(A)}{n(S)}$ द्वारा दी जाती है।
$P(A) = \frac{3}{36} = \frac{1}{12}$.

(B) जब $2$ पासे फेंके जाते हैं,तो कुल संभावित परिणामों की संख्या $n(S) = 6 \times 6 = 36$ होती है।
मान लीजिए $A$ कम से कम $10$ का योग प्राप्त करने की घटना है (अर्थात,योग $10, 11,$ या $12$ है)।
अनुकूल परिणाम इस प्रकार हैं:
योग $= 10$ के लिए: $(4, 6), (5, 5), (6, 4)$
योग $= 11$ के लिए: $(5, 6), (6, 5)$
योग $= 12$ के लिए: $(6, 6)$
इस प्रकार,अनुकूल परिणामों का समुच्चय $A = \{(4, 6), (5, 5), (6, 4), (5, 6), (6, 5), (6, 6)\}$ है।
अनुकूल परिणामों की संख्या $n(A) = 6$ है।
प्रायिकता $P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$ है।

(D) जब $2$ पासे फेंके जाते हैं,तो कुल संभावित परिणामों की संख्या $n(S) = 6 \times 6 = 36$ होती है।
मान लीजिए $A$ योग के रूप में एक विषम संख्या प्राप्त करने की घटना है।
दो पासों का योग विषम तब होता है जब एक पासे पर सम संख्या और दूसरे पर विषम संख्या हो।
विषम योग के लिए संभावित परिणाम हैं:
$(1,2), (1,4), (1,6), (2,1), (2,3), (2,5), (3,2), (3,4), (3,6), (4,1), (4,3), (4,5), (5,2), (5,4), (5,6), (6,1), (6,3), (6,5)$.
इनकी गणना करने पर,हमें $n(A) = 18$ प्राप्त होता है।
घटना $A$ की प्रायिकता $P(A) = \frac{n(A)}{n(S)}$ द्वारा दी जाती है।
$P(A) = \frac{18}{36} = \frac{1}{2}$.

(C) जब दो पासे फेंके जाते हैं,तो कुल परिणामों की संख्या $n(S) = 6 \times 6 = 36$ होती है।
दो पासों पर प्राप्त संख्याओं का योग सम तब होता है जब दोनों संख्याएँ सम हों या दोनों संख्याएँ विषम हों।
मान लीजिए $A$ सम योग प्राप्त करने की घटना है।
सम योग प्राप्त करने वाले परिणाम इस प्रकार हैं:
$(1,1), (1,3), (1,5), (2,2), (2,4), (2,6), (3,1), (3,3), (3,5), (4,2), (4,4), (4,6), (5,1), (5,3), (5,5), (6,2), (6,4), (6,6)$।
इनकी गणना करने पर,हमें $n(A) = 18$ प्राप्त होता है।
अतः,प्रायिकता $P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{18}{36} = \frac{1}{2}$ है।

(A) जब $2$ पासे फेंके जाते हैं,तो कुल संभावित परिणामों की संख्या $n(S) = 6 \times 6 = 36$ होती है।
मान लीजिए $A$ दो पासों पर प्राप्त संख्याओं का गुणनफल $6$ होने की घटना है।
वे युग्म $(x, y)$ जिनके लिए $x \times y = 6$ है,वे $(1, 6), (6, 1), (2, 3),$ और $(3, 2)$ हैं।
अतः,अनुकूल परिणामों की संख्या $n(A) = 4$ है।
घटना $A$ की प्रायिकता $P(A) = \frac{n(A)}{n(S)}$ द्वारा दी जाती है।
$P(A) = \frac{4}{36} = \frac{1}{9}$.

(B) जब $2$ पासे फेंके जाते हैं,तो कुल संभावित परिणामों की संख्या $n(S) = 6 \times 6 = 36$ होती है।
मान लीजिए $A$ योग के रूप में $3$ का गुणज प्राप्त करने की घटना है। संभावित योग $3, 6, 9, 12$ हैं।
योग $= 3$: $(1, 2), (2, 1)$ ($2$ परिणाम)
योग $= 6$: $(1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)$ ($5$ परिणाम)
योग $= 9$: $(3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3)$ ($4$ परिणाम)
योग $= 12$: $(6, 6)$ ($1$ परिणाम)
कुल अनुकूल परिणाम $n(A) = 2 + 5 + 4 + 1 = 12$ हैं।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{12}{36} = \frac{1}{3}$ है।

(B) जब $2$ पासे फेंके जाते हैं,तो कुल संभावित परिणामों की संख्या $n(S) = 6 \times 6 = 36$ होती है।
मान लीजिए $A$ वह घटना है जिसमें गुणनफल एक पूर्ण वर्ग है।
वे युग्म $(x, y)$ जिनके लिए $x \times y$ एक पूर्ण वर्ग है,इस प्रकार हैं:
$(1, 1) \rightarrow 1 \times 1 = 1 = 1^2$
$(1, 4) \rightarrow 1 \times 4 = 4 = 2^2$
$(2, 2) \rightarrow 2 \times 2 = 4 = 2^2$
$(3, 3) \rightarrow 3 \times 3 = 9 = 3^2$
$(4, 1) \rightarrow 4 \times 1 = 4 = 2^2$
$(4, 4) \rightarrow 4 \times 4 = 16 = 4^2$
$(5, 5) \rightarrow 5 \times 5 = 25 = 5^2$
$(6, 6) \rightarrow 6 \times 6 = 36 = 6^2$
अतः,अनुकूल परिणामों का समुच्चय $A = \{(1, 1), (1, 4), (2, 2), (3, 3), (4, 1), (4, 4), (5, 5), (6, 6)\}$ है।
अनुकूल परिणामों की संख्या $n(A) = 8$ है।
प्रायिकता $P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{8}{36} = \frac{2}{9}$।

(C) जब दो पासे फेंके जाते हैं,तो कुल संभावित परिणामों की संख्या $n(S) = 6 \times 6 = 36$ होती है।
माना $A$ दो संख्याओं में से कम से कम एक संख्या $4$ प्राप्त करने की घटना है।
अनुकूल परिणाम हैं: $(1,4), (2,4), (3,4), (4,4), (5,4), (6,4), (4,1), (4,2), (4,3), (4,5), (4,6)$.
इनकी गणना करने पर,हमें $n(A) = 11$ प्राप्त होता है।
प्रायिकता $P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{11}{36}$ है।

(A) जब $2$ पासे फेंके जाते हैं,तो कुल परिणामों की संख्या $n(S) = 6 \times 6 = 36$ होती है।
संभावित योग $2$ से $12$ तक होते हैं। इस सीमा में अभाज्य संख्याएँ $2, 3, 5, 7, 11$ हैं।
मान लीजिए $A$ योग के अभाज्य संख्या होने की घटना है:
- योग $= 2$: $(1, 1)$ $\rightarrow 1$ परिणाम
- योग $= 3$: $(1, 2), (2, 1)$ $\rightarrow 2$ परिणाम
- योग $= 5$: $(1, 4), (4, 1), (2, 3), (3, 2)$ $\rightarrow 4$ परिणाम
- योग $= 7$: $(1, 6), (6, 1), (2, 5), (5, 2), (3, 4), (4, 3)$ $\rightarrow 6$ परिणाम
- योग $= 11$: $(5, 6), (6, 5)$ $\rightarrow 2$ परिणाम
कुल अनुकूल परिणाम $n(A) = 1 + 2 + 4 + 6 + 2 = 15$ हैं।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{15}{36} = \frac{5}{12}$ है।

(A) $3$ पासों को फेंकने पर कुल संभावित परिणामों की संख्या $6 \times 6 \times 6 = 216$ है।
योग $18$ प्राप्त करने के लिए केवल एक ही संभावित परिणाम है: $(6, 6, 6)$,जो $1$ स्थिति है।
योग $17$ प्राप्त करने के लिए संभावित परिणाम $(5, 6, 6), (6, 5, 6), (6, 6, 5)$ हैं,जो $3$ स्थितियाँ हैं।
अतः,$17$ या $18$ का योग प्राप्त करने के लिए अनुकूल परिणामों की कुल संख्या $1 + 3 = 4$ है।
प्रायिकता = $\frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल परिणामों की संख्या}} = \frac{4}{216} = \frac{1}{54}$.

(C) $3$ पासों को फेंकने पर कुल संभावित परिणामों की संख्या $6 \times 6 \times 6 = 216$ है।
हमें उन परिणामों को ज्ञात करना है जहाँ $3$ पासों पर संख्याओं का योग $5$ हो।
संभावित संयोजन इस प्रकार हैं:
$(1, 1, 3)$ जिसे $3$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है: $(1, 1, 3), (1, 3, 1), (3, 1, 1)$।
$(1, 2, 2)$ जिसे $3$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है: $(1, 2, 2), (2, 1, 2), (2, 2, 1)$।
कुल अनुकूल परिणाम $= 3 + 3 = 6$।
अतः,प्रायिकता $P = \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल परिणामों की संख्या}} = \frac{6}{216} = \frac{1}{36}$।

(A) $3$ पासों को फेंकने पर कुल संभावित परिणामों की संख्या $6^3 = 216$ है।
अधिकतम $5$ योग का अर्थ है कि $3$ पासों पर अंकों का योग $3, 4$ या $5$ हो।
योग $3$ प्राप्त करने के अनुकूल मामले: $(1, 1, 1)$ - $1$ मामला।
योग $4$ प्राप्त करने के अनुकूल मामले: $(1, 1, 2), (1, 2, 1), (2, 1, 1)$ - $3$ मामले।
योग $5$ प्राप्त करने के अनुकूल मामले: $(1, 1, 3), (1, 3, 1), (3, 1, 1), (1, 2, 2), (2, 1, 2), (2, 2, 1)$ - $6$ मामले।
कुल अनुकूल परिणाम = $1 + 3 + 6 = 10$.
अतः,योग अधिकतम $5$ होने की प्रायिकता $\frac{10}{216} = \frac{5}{108}$ है।

(C) $3$ पासों को फेंकने पर कुल परिणामों की संख्या $6^3 = 216$ है।
माना $E$ योग कम से कम $5$ प्राप्त करने की घटना है। पूरक घटना $E'$ की प्रायिकता ज्ञात करना आसान है,जिसका अर्थ है योग $5$ से कम प्राप्त करना (अर्थात $3$ या $4$ प्राप्त करना)।
योग $3$ प्राप्त करने के संभावित परिणाम: $(1, 1, 1)$ - $1$ स्थिति।
योग $4$ प्राप्त करने के संभावित परिणाम: $(1, 1, 2), (1, 2, 1), (2, 1, 1)$ - $3$ स्थितियाँ।
$E'$ के लिए कुल परिणाम (योग $3$ या $4$) $= 1 + 3 = 4$.
$P(E') = \frac{4}{216} = \frac{1}{54}$.
अतः,$P(E) = 1 - P(E') = 1 - \frac{1}{54} = \frac{53}{54}$.

(B) एक लीप वर्ष में $366$ दिन होते हैं,जो $52$ सप्ताह और $2$ अतिरिक्त दिनों के बराबर है।
इन $2$ अतिरिक्त दिनों के लिए संभावित संयोजन इस प्रकार हैं:
$(i)$ रविवार और सोमवार
$(ii)$ सोमवार और मंगलवार
$(iii)$ मंगलवार और बुधवार
$(iv)$ बुधवार और गुरुवार
$(v)$ गुरुवार और शुक्रवार
$(vi)$ शुक्रवार और शनिवार
$(vii)$ शनिवार और रविवार
कुल संभावित परिणामों की संख्या $n = 7$ है।
वर्ष में $53$ रविवार होने के लिए,$2$ अतिरिक्त दिनों में से एक रविवार होना चाहिए। अनुकूल परिणाम $(i)$ (रविवार और सोमवार) और $(vii)$ (शनिवार और रविवार) हैं।
अनुकूल परिणामों की संख्या $m = 2$ है।
अतः,$53$ रविवार होने की प्रायिकता $P = m/n = 2/7$ है।

(A) माना $S$ $100$ कार्डों में से एक कार्ड निकालने का प्रतिदर्श समष्टि है। अतः,$n(S) = 100$.
माना $A$ एक ऐसी संख्या निकालने की घटना है जो एक पूर्ण वर्ग है।
$1$ से $100$ के बीच पूर्ण वर्ग संख्याएँ हैं: $1^2=1, 2^2=4, 3^2=9, 4^2=16, 5^2=25, 6^2=36, 7^2=49, 8^2=64, 9^2=81, 10^2=100$.
अतः,$A = \{1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100\}$.
अनुकूल परिणामों की संख्या $n(A) = 10$ है।
प्रायिकता $P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{10}{100} = \frac{1}{10}$ है।

(C) $SOCIETY$ शब्द में $7$ अलग-अलग अक्षर हैं: $S, O, C, I, E, T, Y$। इन $7$ अक्षरों को व्यवस्थित करने के कुल तरीके $7! = 5040$ हैं।
शब्द में $3$ स्वर हैं: $O, I, E$। उन व्यवस्थाओं की संख्या ज्ञात करने के लिए जहाँ ये $3$ स्वर एक साथ आते हैं,हम $(O, I, E)$ समूह को एक इकाई के रूप में मानते हैं।
अब,हमारे पास व्यवस्थित करने के लिए $5$ इकाइयाँ हैं: $(OIE), S, C, T, Y$। इन $5$ इकाइयों को $5!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
समूह के भीतर के $3$ स्वरों को भी $3!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
अतः,अनुकूल व्यवस्थाओं की कुल संख्या $= 5! \times 3! = 120 \times 6 = 720$ है।
आवश्यक प्रायिकता $= \frac{\text{अनुकूल व्यवस्थाएं}}{\text{कुल व्यवस्थाएं}} = \frac{5! \times 3!}{7!} = \frac{120 \times 6}{5040} = \frac{720}{5040} = \frac{1}{7}$।

(A) $'UNIVERSITY'$ शब्द में $10$ अक्षर हैं, जिसमें $I$ अक्षर $2$ बार आता है।
कुल क्रमचयों (permutations) की संख्या $= \frac{10!}{2!}$ है।
यह ज्ञात करने के लिए कि दोनों $I$ एक साथ हों, हम दोनों $I$ को एक इकाई के रूप में मानते हैं। अब, हमारे पास $9$ इकाइयाँ हैं (ब्लॉक $(II)$ और अन्य $8$ अक्षर), जिन्हें $9!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
दोनों $I$ के एक साथ होने की व्यवस्थाओं की संख्या $= 9!$ है।
दोनों $I$ के एक साथ न होने की व्यवस्थाओं की संख्या $= \text{कुल व्यवस्थाएं} - \text{दोनों } I \text{ के एक साथ होने की व्यवस्थाएं}$.
$= \frac{10!}{2} - 9! = \frac{10 \times 9!}{2} - 9! = 9!(5 - 1) = 4 \times 9!$.
अभीष्ट प्रायिकता $= \frac{4 \times 9!}{\frac{10!}{2}} = \frac{4 \times 9! \times 2}{10!} = \frac{8 \times 9!}{10 \times 9!} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$.

(C) $PENCIL$ शब्द में $6$ अलग-अलग अक्षर हैं। इन $6$ अक्षरों को व्यवस्थित करने के कुल तरीके $6! = 720$ हैं।
उन व्यवस्थाओं की संख्या ज्ञात करने के लिए जहाँ $N$,$E$ के बगल में है,हम $(NE)$ को एक इकाई मानते हैं। अब,हमारे पास व्यवस्थित करने के लिए $5$ इकाइयाँ हैं: $(NE), P, C, I, L$। इन $5$ इकाइयों को $5! = 120$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
$(NE)$ इकाई के भीतर,$N$ और $E$ अक्षरों को $2! = 2$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है (अर्थात $NE$ या $EN$)।
इसलिए,अनुकूल परिणामों की कुल संख्या $5! \times 2! = 120 \times 2 = 240$ है।
प्रायिकता $= \frac{\text{अनुकूल परिणाम}}{\text{कुल परिणाम}} = \frac{240}{720} = \frac{1}{3}$.

(A) जब $2$ पासे फेंके जाते हैं,तो कुल संभावित परिणामों की संख्या $6 \times 6 = 36$ होती है।
मान लीजिए $A$ योग $4$ प्राप्त करने की घटना है।
योग $4$ प्राप्त करने के लिए संभावित परिणाम $(1, 3), (3, 1), (2, 2)$ हैं।
अतः,अनुकूल परिणामों की संख्या $n(A) = 3$ है।
प्रतिकूल परिणामों की संख्या $36 - 3 = 33$ है।
किसी घटना के पक्ष में ऑड्स अनुकूल परिणामों और प्रतिकूल परिणामों का अनुपात होता है।
इसलिए,योग $4$ प्राप्त करने के पक्ष में ऑड्स $= \frac{3}{33} = \frac{1}{11}$,जिसे $1:11$ के रूप में व्यक्त किया जाता है।

(B) जब $2$ पासे फेंके जाते हैं,तो कुल संभावित परिणामों की संख्या $6 \times 6 = 36$ होती है।
माना $A$ योग $5$ प्राप्त करने की घटना है।
अनुकूल परिणाम $(1, 4), (4, 1), (2, 3), (3, 2)$ हैं।
अनुकूल परिणामों की संख्या $n(A) = 4$ है।
प्रतिकूल परिणामों की संख्या = कुल परिणाम - अनुकूल परिणाम = $36 - 4 = 32$ है।
किसी घटना के पक्ष में ऑड्स (odds in favour) को अनुकूल परिणामों की संख्या और प्रतिकूल परिणामों की संख्या के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
$\therefore \text{योग } 5 \text{ के पक्ष में ऑड्स} = \frac{n(A)}{n(A^c)} = \frac{4}{32} = \frac{1}{8}$ या $1:8$ है।

(C) जब $2$ पासे फेंके जाते हैं,तो कुल संभावित परिणामों की संख्या $6 \times 6 = 36$ होती है।
माना $A$ योग $6$ प्राप्त करने की घटना है।
घटना $A$ के लिए अनुकूल परिणाम हैं: $(1, 5), (5, 1), (2, 4), (4, 2), (3, 3)$।
अतः,अनुकूल परिणामों की संख्या $n(A) = 5$ है।
प्रतिकूल परिणामों की संख्या कुल परिणामों में से अनुकूल परिणामों को घटाकर प्राप्त की जाती है: $36 - 5 = 31$।
किसी घटना के प्रतिकूल संयोगानुपात (odds against) को प्रतिकूल परिणामों और अनुकूल परिणामों के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
इसलिए,योग $6$ प्राप्त करने के प्रतिकूल संयोगानुपात $31:5$ हैं।

(B) मान लीजिए $A$ रानी निकालने की घटना है और $B$ इक्का निकालने की घटना है।
ताश की गड्डी में कुल पत्तों की संख्या $52$ है।
गड्डी में रानियों की संख्या $4$ है,इसलिए $P(A) = \frac{4}{52}$।
गड्डी में इक्कों की संख्या $4$ है,इसलिए $P(B) = \frac{4}{52}$।
चूंकि कोई भी पत्ता एक ही समय में रानी और इक्का दोनों नहीं हो सकता,इसलिए ये घटनाएं परस्पर अपवर्जी हैं,जिसका अर्थ है $P(A \cap B) = 0$।
रानी या इक्का निकालने की प्रायिकता $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ द्वारा दी जाती है।
$P(A \cup B) = \frac{4}{52} + \frac{4}{52} - 0 = \frac{8}{52}$।
भिन्न को सरल करने पर,हमें $\frac{8}{52} = \frac{2}{13}$ प्राप्त होता है।

(C) मान लीजिए $A$ वह घटना है कि रोल नंबर $5$ का गुणज है,और $B$ वह घटना है कि रोल नंबर $7$ का गुणज है।
$1$ से $25$ तक के रोल नंबरों का समुच्चय $S = \{1, 2, 3, ..., 25\}$ है,इसलिए कुल परिणामों की संख्या $n(S) = 25$ है।
इस सीमा में $5$ के गुणज $A = \{5, 10, 15, 20, 25\}$ हैं,इसलिए $n(A) = 5$ है।
इस सीमा में $7$ के गुणज $B = \{7, 14, 21\}$ हैं,इसलिए $n(B) = 3$ है।
चूंकि $1$ से $25$ की सीमा में $5$ और $7$ का कोई उभयनिष्ठ गुणज नहीं है,इसलिए $A \cap B = \emptyset$,जिसका अर्थ है $n(A \cap B) = 0$ है।
दो घटनाओं के संघ की प्रायिकता $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ द्वारा दी जाती है।
$P(A) = \frac{5}{25}$,$P(B) = \frac{3}{25}$,और $P(A \cap B) = 0$ है।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $P(A \cup B) = \frac{5}{25} + \frac{3}{25} - 0 = \frac{8}{25}$ है।

(A) मान लीजिए $A$ वह घटना है कि चुना गया पूर्णांक $6$ से विभाज्य है,और $B$ वह घटना है कि चुना गया पूर्णांक $8$ से विभाज्य है।
कुल परिणामों की संख्या $n(S) = 200$ है।
$6$ से विभाज्य पूर्णांकों की संख्या $n(A) = \lfloor \frac{200}{6} \rfloor = 33$ है।
$8$ से विभाज्य पूर्णांकों की संख्या $n(B) = \lfloor \frac{200}{8} \rfloor = 25$ है।
$6$ और $8$ दोनों से विभाज्य पूर्णांक $\text{lcm}(6, 8) = 24$ से विभाज्य होते हैं। ऐसे पूर्णांकों की संख्या $n(A \cap B) = \lfloor \frac{200}{24} \rfloor = 8$ है।
समावेशन-अपवर्जन सिद्धांत का उपयोग करते हुए,$6$ या $8$ से विभाज्य पूर्णांकों की संख्या $n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B) = 33 + 25 - 8 = 50$ है।
प्रायिकता $P(A \cup B) = \frac{n(A \cup B)}{n(S)} = \frac{50}{200} = \frac{1}{4}$ है।

(C) जब $2$ पासे फेंके जाते हैं,तो कुल परिणामों की संख्या $6 \times 6 = 36$ होती है।
मान लीजिए $A$ वह घटना है कि योग $3$ से विभाज्य है। संभावित योग $3, 6, 9, 12$ हैं।
$A$ के लिए परिणाम हैं: $(1,2), (2,1), (1,5), (5,1), (2,4), (4,2), (3,3), (3,6), (6,3), (4,5), (5,4), (6,6)$।
$A$ में परिणामों की संख्या,$n(A) = 12$ है।
मान लीजिए $B$ वह घटना है कि योग $4$ से विभाज्य है। संभावित योग $4, 8, 12$ हैं।
$B$ के लिए परिणाम हैं: $(1,3), (3,1), (2,2), (2,6), (6,2), (3,5), (5,3), (4,4), (6,6)$।
$B$ में परिणामों की संख्या,$n(B) = 9$ है।
सर्वनिष्ठ $A \cap B$ वह घटना है कि योग $3$ और $4$ दोनों से विभाज्य है (अर्थात $12$ से विभाज्य)।
$12$ योग वाला एकमात्र परिणाम $(6,6)$ है।
इसलिए,$n(A \cap B) = 1$ है।
प्रायिकता $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = \frac{12}{36} + \frac{9}{36} - \frac{1}{36} = \frac{20}{36} = \frac{5}{9}$।

(A) $2$ पासों को फेंकने पर कुल परिणामों की संख्या $6 \times 6 = 36$ है।
घटना $A$: योग $11$ प्राप्त करना।
अनुकूल परिणाम $(5, 6)$ और $(6, 5)$ हैं।
अतः,$n(A) = 2$,और $P(A) = \frac{2}{36}$।
घटना $B$: प्रत्येक पासे पर विषम संख्या प्राप्त करना।
पासे पर विषम संख्याएँ ${1, 3, 5}$ हैं।
अनुकूल परिणाम $(1, 1), (1, 3), (1, 5), (3, 1), (3, 3), (3, 5), (5, 1), (5, 3), (5, 5)$ हैं।
अतः,$n(B) = 9$,और $P(B) = \frac{9}{36}$।
सर्वनिष्ठ $A \cap B$: योग $11$ प्राप्त करना और प्रत्येक पासे पर विषम संख्या प्राप्त करना।
दो विषम संख्याओं का योग हमेशा सम होता है,इसलिए यदि दोनों पासों पर विषम संख्याएँ हैं तो योग $11$ (जो विषम है) प्राप्त करना असंभव है।
अतः,$A \cap B = \emptyset$,और $P(A \cap B) = 0$।
प्रायिकता के योग नियम का उपयोग करते हुए:
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$
$P(A \cup B) = \frac{2}{36} + \frac{9}{36} - 0 = \frac{11}{36}$।

(B) माना $A$ वह घटना है कि संख्या $3$ से विभाज्य है।
$A = \{3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36\}$,अतः $n(A) = 12$.
माना $B$ वह घटना है कि संख्या एक पूर्ण वर्ग है।
$B = \{1, 4, 9, 16, 25, 36\}$,अतः $n(B) = 6$.
सर्वनिष्ठ $A \cap B$ में वे संख्याएँ हैं जो $3$ से विभाज्य हैं और पूर्ण वर्ग भी हैं।
$A \cap B = \{9, 36\}$,अतः $n(A \cap B) = 2$.
कुल परिणामों की संख्या $36$ है।
प्रायिकता के योग नियम का उपयोग करते हुए: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
$P(A \cup B) = \frac{12}{36} + \frac{6}{36} - \frac{2}{36} = \frac{16}{36} = \frac{4}{9}$.

(C) कुल वस्तुएं $= 50 + 150 = 200$.
जंग लगे बोल्टों की संख्या $= 50 / 2 = 25$.
जंग लगे नटों की संख्या $= 150 / 2 = 75$.
कुल जंग लगी वस्तुएं $= 25 + 75 = 100$.
मान लीजिए $A$ जंग लगी वस्तु चुनने की घटना है और $B$ बोल्ट चुनने की घटना है।
$P(A) = 100 / 200 = 1/2$.
$P(B) = 50 / 200 = 1/4$.
$P(A \cap B)$ जंग लगे बोल्ट को चुनने की प्रायिकता है,जो $25 / 200 = 1/8$ है।
प्रायिकता के योग नियम का उपयोग करते हुए: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
$P(A \cup B) = 100/200 + 50/200 - 25/200 = 125/200 = 5/8$.

(A) माना $A$ द्विक प्राप्त करने की घटना है और $B$ योग $10$ प्राप्त करने की घटना है।
प्रतिदर्श समष्टि $S$ में $6 \times 6 = 36$ परिणाम हैं।
द्विक का समुच्चय $A = \{(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)\}$ है,इसलिए $n(A) = 6$ है।
योग $10$ वाले परिणामों का समुच्चय $B = \{(4,6), (5,5), (6,4)\}$ है,इसलिए $n(B) = 3$ है।
सर्वनिष्ठ $A \cap B = \{(5,5)\}$ है,इसलिए $n(A \cap B) = 1$ है।
$A \cup B$ की प्रायिकता $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = \frac{6}{36} + \frac{3}{36} - \frac{1}{36} = \frac{8}{36} = \frac{2}{9}$ द्वारा दी जाती है।
न तो द्विक और न ही योग $10$ प्राप्त होने की प्रायिकता $1 - P(A \cup B) = 1 - \frac{2}{9} = \frac{7}{9}$ है।

(B) मान लीजिए $A$ योग $9$ प्राप्त करने की घटना है और $B$ योग $11$ प्राप्त करने की घटना है।
$2$ पासे फेंकने पर कुल संभावित परिणाम $6 \times 6 = 36$ हैं।
घटना $A$ (योग $= 9$) के लिए परिणाम: $(3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3)$ हैं। अतः,$n(A) = 4$.
घटना $B$ (योग $= 11$) के लिए परिणाम: $(5, 6), (6, 5)$ हैं। अतः,$n(B) = 2$.
चूंकि $A$ और $B$ परस्पर अपवर्जी घटनाएं हैं,इसलिए $P(A \cup B) = P(A) + P(B) = \frac{4}{36} + \frac{2}{36} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$.
योग के $9$ या $11$ न होने की प्रायिकता $1 - P(A \cup B) = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$ है।

(D) माना $A$ हुकुम का पत्ता प्राप्त करने की घटना है,$B$ इक्का प्राप्त करने की घटना है और $C$ लाल रंग का पत्ता प्राप्त करने की घटना है।
कुल पत्तों की संख्या $52$ है।
$P(A) = \frac{13}{52}$,$P(B) = \frac{4}{52}$,$P(C) = \frac{26}{52}$.
उभयनिष्ठ प्रायिकताएँ:
$P(A \cap B) = \frac{1}{52}$ (हुकुम का इक्का)।
$P(B \cap C) = \frac{2}{52}$ (पान का इक्का और ईंट का इक्का)।
$P(C \cap A) = 0$ (कोई भी पत्ता लाल और हुकुम का एक साथ नहीं हो सकता)।
$P(A \cap B \cap C) = 0$.
समावेशन-अपवर्जन सिद्धांत का उपयोग करते हुए:
$P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A \cap B) - P(B \cap C) - P(C \cap A) + P(A \cap B \cap C)$
$= \frac{13}{52} + \frac{4}{52} + \frac{26}{52} - \frac{1}{52} - \frac{2}{52} - 0 + 0$
$= \frac{40}{52} = \frac{10}{13}$.

(A) माना $A,$ $B,$ और $C$ वे घटनाएँ हैं कि संख्या क्रमशः $2,$ $3,$ और $5$ से विभाज्य है।
कुल टिकटों की संख्या $n(S) = 200$ है।
$n(A) = \lfloor \frac{200}{2} \rfloor = 100, n(B) = \lfloor \frac{200}{3} \rfloor = 66, n(C) = \lfloor \frac{200}{5} \rfloor = 40.$
$n(A \cap B) = \lfloor \frac{200}{LCM(2,3)} \rfloor = \lfloor \frac{200}{6} \rfloor = 33.$
$n(B \cap C) = \lfloor \frac{200}{LCM(3,5)} \rfloor = \lfloor \frac{200}{15} \rfloor = 13.$
$n(C \cap A) = \lfloor \frac{200}{LCM(5,2)} \rfloor = \lfloor \frac{200}{10} \rfloor = 20.$
$n(A \cap B \cap C) = \lfloor \frac{200}{LCM(2,3,5)} \rfloor = \lfloor \frac{200}{30} \rfloor = 6.$
समावेशन-अपवर्जन सिद्धांत का उपयोग करते हुए:
$n(A \cup B \cup C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A \cap B) - n(B \cap C) - n(C \cap A) + n(A \cap B \cap C)$
$n(A \cup B \cup C) = 100 + 66 + 40 - 33 - 13 - 20 + 6 = 146.$
अभीष्ट प्रायिकता $= \frac{n(A \cup B \cup C)}{n(S)} = \frac{146}{200} = \frac{73}{100}.$

(B) हम जानते हैं कि $P(A) = 1 - P(\bar{A})$.
दिया गया है $P(\bar{A}) = 0.65$,इसलिए $P(A) = 1 - 0.65 = 0.35$.
परस्पर अपवर्जी घटनाओं के लिए,$P(A \cap B) = 0$ होता है।
प्रायिकता का योग नियम $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $0.65 = 0.35 + p - 0$.
$p$ के लिए हल करने पर: $p = 0.65 - 0.35 = 0.30$.

(A) प्रायिकता कि न तो $A$ और न ही $B$ घटित हो,$P(A' \cap B') = 1 - P(A \cup B)$ द्वारा दी जाती है।
चूँकि $A$ और $B$ परस्पर अपवर्जी घटनाएँ हैं,इसलिए $P(A \cap B) = 0$ है।
अतः,$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = 0.5 + 0.3 - 0 = 0.8$ है।
अब,अभीष्ट प्रायिकता $1 - P(A \cup B) = 1 - 0.8 = 0.2$ है।

(C) कम से कम $B$ ग्रेड प्राप्त करने के लिए, छात्र को या तो $A$ ग्रेड या $B$ ग्रेड प्राप्त करना होगा।
$P(\text{कम से कम } B \text{ ग्रेड}) = P(B \text{ ग्रेड}) + P(A \text{ ग्रेड})$
दिया गया है, $P(A \text{ ग्रेड}) = 0.30$ और $P(B \text{ ग्रेड}) = 0.38$।
$P(\text{कम से कम } B \text{ ग्रेड}) = 0.38 + 0.30 = 0.68$।

(C) मान लीजिए $A$ वह घटना है कि ठेकेदार को प्लंबिंग अनुबंध मिलता है और $B$ वह घटना है कि उसे इलेक्ट्रिक अनुबंध मिलता है।
दिया गया है: $P(A) = 2/3$.
उसे इलेक्ट्रिक अनुबंध न मिलने की प्रायिकता $P(\bar{B}) = 5/9$ है। इसलिए,$P(B) = 1 - P(\bar{B}) = 1 - 5/9 = 4/9$.
कम से कम $1$ अनुबंध मिलने की प्रायिकता $P(A \cup B) = 4/5$ है।
हम सूत्र का उपयोग करते हैं: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
मान रखने पर: $4/5 = 2/3 + 4/9 - P(A \cap B)$.
$P(A \cap B) = 2/3 + 4/9 - 4/5$.
हर समान करने पर $(45)$: $P(A \cap B) = (30 + 20 - 36) / 45 = 14/45$.
अतः,उसके दोनों अनुबंध प्राप्त करने की प्रायिकता $14/45$ है।

(A) माना $A$ हुकुम का पत्ता निकलने की घटना है और $B$ इक्का निकलने की घटना है।
ताश की गड्डी में कुल पत्तों की संख्या $= 52$.
हुकुम के पत्तों की संख्या $= 13$.
इक्कों की संख्या $= 4$.
हुकुम का इक्का होने वाले पत्तों की संख्या $= 1$.
शर्त जीतने की प्रायिकता $= P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
$P(A \cup B) = \frac{13}{52} + \frac{4}{52} - \frac{1}{52} = \frac{16}{52} = \frac{4}{13}$.
शर्त हारने की प्रायिकता $= 1 - P(A \cup B) = 1 - \frac{4}{13} = \frac{9}{13}$.
शर्त जीतने के विरुद्ध ऑड्स,हारने की प्रायिकता और जीतने की प्रायिकता का अनुपात होता है।
विरुद्ध ऑड्स $= \frac{9}{13} : \frac{4}{13} = 9 : 4$.