Simplification Questions in Hindi

(C) योग ज्ञात करने के लिए,दशमलव बिंदुओं को एक सीध में रखें और संख्याओं को जोड़ें:
$34.950$
$240.016$
$23.980$
----------
$298.946$
अतः,$34.95 + 240.016 + 23.98 = 298.946$ है।

(D) दिया गया समीकरण: $3889 + 12.952 - ? = 3854.002$
$?$ का मान ज्ञात करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$? = (3889 + 12.952) - 3854.002$
सबसे पहले,योग ज्ञात करें:
$3889 + 12.952 = 3901.952$
इसके बाद,इस योग में से $3854.002$ घटाएं:
$3901.952 - 3854.002 = 47.95$
अतः,$?$ का मान $47.95$ है।

(C) व्यंजक $337.62 + 8.591 + 34.4$ को हल करने के लिए,हम दशमलव बिंदुओं को एक सीध में रखते हैं और संख्याओं को जोड़ते हैं:
$337.620$
$+\quad 8.591$
$+\quad 34.400$
. . . . . .
$380.611$
अतः,योग $380.611$ है।

(A) श्रेणी का $n$-वां पद $T_n = \frac{1}{(n+4)(n+5)}$ द्वारा दिया गया है।
हम इसे $T_n = \frac{1}{n+4} - \frac{1}{n+5}$ के रूप में लिख सकते हैं।
प्रथम $20$ पदों के लिए,योग $S_{20} = \sum_{n=1}^{20} \left( \frac{1}{n+4} - \frac{1}{n+5} \right)$ होगा।
योग का विस्तार करने पर: $S_{20} = \left( \frac{1}{5} - \frac{1}{6} \right) + \left( \frac{1}{6} - \frac{1}{7} \right) + \left( \frac{1}{7} - \frac{1}{8} \right) + \cdots + \left( \frac{1}{24} - \frac{1}{25} \right)$.
यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है जिसमें मध्यवर्ती पद कट जाते हैं।
$S_{20} = \frac{1}{5} - \frac{1}{25}$.
$S_{20} = \frac{5 - 1}{25} = \frac{4}{25}$.
$S_{20} = \frac{16}{100} = 0.16$.

(C) दिया गया है कि $\frac{52416}{312} = 168.$
हमें $x = \frac{52.416}{0.0168}$ का मान ज्ञात करना है।
सरल बनाने के लिए,हम दशमलव को भिन्न के रूप में लिख सकते हैं:
$x = \frac{52416 / 1000}{168 / 10000}$
$x = \frac{52416}{1000} \times \frac{10000}{168}$
$x = \frac{52416}{168} \times \frac{10000}{1000}$
चूंकि $\frac{52416}{312} = 168,$ इसलिए $\frac{52416}{168} = 312$ होगा।
इस मान को प्रतिस्थापित करने पर:
$x = 312 \times 10 = 3120.$

(C) भिन्नों को आरोही क्रम में व्यवस्थित करने के लिए,प्रत्येक भिन्न को दशमलव रूप में बदलें:
$\frac{2}{3} = 0.666...$
$\frac{3}{5} = 0.6$
$\frac{7}{9} = 0.777...$
$\frac{9}{11} = 0.8181...$
$\frac{8}{9} = 0.888...$
इन मानों की तुलना करने पर: $0.6 < 0.666... < 0.777... < 0.8181... < 0.888...$
अतः,आरोही क्रम इस प्रकार है: $\frac{3}{5} < \frac{2}{3} < \frac{7}{9} < \frac{9}{11} < \frac{8}{9}$.

(C) दिया गया व्यंजक है: $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{8} + \frac{1}{64} + \frac{1}{1024}$
चरण $1$: प्रत्येक पद की गणना करें:
$1 = 1.0000$
$\frac{1}{2} = 0.5000$
$\frac{1}{8} = 0.1250$
$\frac{1}{64} = 0.015625$
$\frac{1}{1024} \approx 0.000976$
चरण $2$: इन मानों का योग करें:
$1 + 0.5 + 0.125 + 0.015625 + 0.000976 = 1.641601$
दशमलव के चार स्थानों तक पूर्णांकित करने पर,हमें $1.6416$ प्राप्त होता है।

(A) माना कि अंश $x$ है और हर $x+3$ है।
भिन्न को $\frac{x}{x+3}$ के रूप में दर्शाया गया है।
प्रश्न के अनुसार,यदि अंश और हर दोनों में $4$ जोड़ दिया जाए,तो नया भिन्न $\frac{4}{5}$ हो जाता है।
अतः,$\frac{x+4}{(x+3)+4} = \frac{4}{5}$.
$\frac{x+4}{x+7} = \frac{4}{5}$.
तिर्यक गुणा (cross-multiplication) करने पर: $5(x+4) = 4(x+7)$.
$5x + 20 = 4x + 28$.
$5x - 4x = 28 - 20$.
$x = 8$.
इसलिए,अंश $8$ है और हर $8+3 = 11$ है।
मूल भिन्न $\frac{8}{11}$ है।

(B) माना कि दो भिन्न $x$ और $y$ हैं,जहाँ $x > y$ है।
दिया गया है:
$x y = \frac{14}{15}$ ............$(1)$
$\frac{x}{y} = \frac{35}{24}$ ............$(2)$
$x$ और $y$ का मान ज्ञात करने के लिए,$(1)$ और $(2)$ का गुणा करें:
$(x y) \times (\frac{x}{y}) = \frac{14}{15} \times \frac{35}{24}$
$x^2 = \frac{14 \times 35}{15 \times 24} = \frac{2 \times 7 \times 5 \times 7}{3 \times 5 \times 3 \times 8} = \frac{49}{36}$
$x = \sqrt{\frac{49}{36}} = \frac{7}{6}$
अब,$x = \frac{7}{6}$ का मान $(1)$ में रखने पर:
$(\frac{7}{6}) y = \frac{14}{15}$
$y = \frac{14}{15} \times \frac{6}{7} = \frac{2 \times 2}{5} = \frac{4}{5}$
$x = \frac{7}{6} \approx 1.166$ और $y = \frac{4}{5} = 0.8$ की तुलना करने पर,बड़ी भिन्न $\frac{7}{6}$ है।

(A) माना कि भिन्न $\frac{x}{y}$ है।
पहली शर्त के अनुसार,$\frac{x+2}{y+3} = \frac{7}{9}$ है।
तिर्यक गुणा करने पर $9(x+2) = 7(y+3)$ प्राप्त होता है,जिसे सरल करने पर $9x + 18 = 7y + 21$ या $9x - 7y = 3$ मिलता है ..........$(1)$
दूसरी शर्त के अनुसार,$\frac{x-1}{y-1} = \frac{4}{5}$ है।
तिर्यक गुणा करने पर $5(x-1) = 4(y-1)$ प्राप्त होता है,जिसे सरल करने पर $5x - 5 = 4y - 4$ या $5x - 4y = 1$ मिलता है ..........$(2)$
समीकरणों को हल करने के लिए,$(1)$ को $4$ से और $(2)$ को $7$ से गुणा करें:
$36x - 28y = 12$ ..........$(3)$
$35x - 28y = 7$ ..........$(4)$
$(3)$ में से $(4)$ को घटाने पर $x = 5$ प्राप्त होता है।
$x = 5$ का मान $(2)$ में रखने पर:
$5(5) - 4y = 1 \Rightarrow 25 - 4y = 1 \Rightarrow 4y = 24 \Rightarrow y = 6$.
अतः,मूल भिन्न $\frac{5}{6}$ है।

(C) माना भिन्न $B$ का मान $x$ है और भिन्न $A$ का मान $2x$ है।
दिया गया है कि दोनों भिन्नों का गुणनफल $\frac{2}{25}$ है।
अतः,$x \times 2x = \frac{2}{25}.$
इसे सरल करने पर $2x^2 = \frac{2}{25}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों को $2$ से विभाजित करने पर,$x^2 = \frac{1}{25}$ प्राप्त होता है।
वर्गमूल लेने पर,$x = \frac{1}{5}$ (धनात्मक भिन्नों को ध्यान में रखते हुए)।
इस प्रकार,भिन्न $A$ का मान $2x = 2 \times \frac{1}{5} = \frac{2}{5}$ है।

(B) माना कि भिन्न $\frac{x}{y}$ है।
प्रश्न के अनुसार,अंश और हर के बीच का अंतर $5$ है,इसलिए $x - y = 5$,जिसका अर्थ है $x = y + 5$।
जब हर में $5$ जोड़ा जाता है,तो नया भिन्न $\frac{x}{y+5}$ हो जाता है।
यह दिया गया है कि भिन्न $1 \frac{1}{4} = \frac{5}{4}$ कम हो जाता है,इसलिए:
$\frac{x}{y} - \frac{x}{y+5} = \frac{5}{4}$।
समीकरण में $x = y + 5$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{y+5}{y} - \frac{y+5}{y+5} = \frac{5}{4}$
$\frac{y+5}{y} - 1 = \frac{5}{4}$
$\frac{y+5}{y} = 1 + \frac{5}{4} = \frac{9}{4}$
$4(y+5) = 9y$
$4y + 20 = 9y$
$5y = 20 \Rightarrow y = 4$।
चूंकि $x = y + 5$,इसलिए $x = 4 + 5 = 9$।
अतः,अभीष्ट भिन्न $\frac{x}{y} = \frac{9}{4} = 2 \frac{1}{4}$ है।

(B) माना कि भिन्न $\frac{x}{y}$ है।
पहली शर्त के अनुसार,हर में $1$ जोड़ने पर $\frac{x}{y+1} = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $2x = y + 1$,या $2x - y = 1$ ........$(1)$.
दूसरी शर्त के अनुसार,अंश में $1$ जोड़ने पर $\frac{x+1}{y} = 1$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x + 1 = y$,या $y - x = 1$ ........$(2)$.
समीकरण $(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर:
$(2x - y) + (y - x) = 1 + 1$
$x = 2$.
$x = 2$ का मान समीकरण $(2)$ में रखने पर:
$y - 2 = 1$
$y = 3$.
अतः,अभीष्ट भिन्न $\frac{x}{y} = \frac{2}{3}$ है।