Simplification Questions in Hindi

(A) $BODMAS$ नियम के अनुसार,भाग से पहले 'of' (का) की संक्रिया को हल किया जाता है।
सबसे पहले,'of' वाले भाग को हल करें: $11 \text{ of } 13 = 11 \times 13 = 143$.
अब,भाग की संक्रिया करें: $1001 \div 143$.
$1001 \div 143 = 7$.
अतः,सही मान $7$ है।

(C) $25 - 5[2 + 3\{2 - 2(5 - 3) + 5\} - 10] \div 4$ व्यंजक को हल करने के लिए,हम $BODMAS$ नियम का पालन करेंगे।
सबसे पहले,सबसे अंदर वाले कोष्ठक को हल करें: $(5 - 3) = 2$.
इसके बाद,व्यंजक $25 - 5[2 + 3\{2 - 2(2) + 5\} - 10] \div 4$ हो जाता है।
आगे,मंझले कोष्ठक को हल करें: $\{2 - 4 + 5\} = \{3\}$.
अब,व्यंजक $25 - 5[2 + 3(3) - 10] \div 4$ है।
बड़े कोष्ठक को हल करें: $[2 + 9 - 10] = [1]$.
अब,व्यंजक $25 - 5(1) \div 4$ है।
पहले भाग करें: $5 \div 4 = 1.25$.
अंत में,$25 - 1.25 = 23.75$।

(C) समीकरण $2 ? 6 - 12 \div 4 + 2 = 11$ को हल करने के लिए,हम $BODMAS$ नियम का उपयोग करते हैं।
आइए $?$ के स्थान पर गुणा $(\times)$ संक्रिया का परीक्षण करें:
$2 \times 6 - 12 \div 4 + 2$
संक्रियाओं के क्रम के अनुसार,पहले भाग करें:
$12 \div 4 = 3$
अब समीकरण इस प्रकार होगा:
$2 \times 6 - 3 + 2$
इसके बाद,गुणा करें:
$2 \times 6 = 12$
अब समीकरण इस प्रकार होगा:
$12 - 3 + 2$
अंत में,जोड़ और घटाव करें:
$12 - 3 = 9$
$9 + 2 = 11$
चूंकि परिणाम $11$ है,इसलिए सही संक्रिया $\times$ है।

(D) व्यंजक $3640 \div 14 \times 16 + 340$ को हल करने के लिए,हम $BODMAS$ नियम (कोष्ठक,भाग,गुणा,जोड़,घटाव) का पालन करते हैं।
चरण $1$: भाग करें।
$3640 \div 14 = 260$
चरण $2$: गुणा करें।
$260 \times 16 = 4160$
चरण $3$: जोड़ें।
$4160 + 340 = 4500$
अतः,सही उत्तर $4500$ है।

(A) दी गई अभिव्यक्ति: $(8 \div 88) \times 8888088$
सबसे पहले,भाग को सरल करें: $8 \div 88 = \frac{8}{88} = \frac{1}{11}$
अब,परिणाम को $8888088$ से गुणा करें: $\frac{1}{11} \times 8888088$
$= 8888088 \div 11$
$= 808008$

(C) व्यंजक $\frac{180 \times 15 - 12 \times 20}{140 \times 8 + 2 \times 55}$ को हल करने के लिए,हम संक्रियाओं के क्रम $(BODMAS)$ का पालन करते हैं।
चरण $1$: अंश की गणना करें।
$180 \times 15 = 2700$
$12 \times 20 = 240$
$2700 - 240 = 2460$
चरण $2$: हर की गणना करें।
$140 \times 8 = 1120$
$2 \times 55 = 110$
$1120 + 110 = 1230$
चरण $3$: अंश को हर से विभाजित करें।
$\frac{2460}{1230} = 2$

(A) $\frac{8-[5-(-3+2)]+2}{|5-3|-|5-8|+3}$ व्यंजक का मान ज्ञात करने के लिए,हम संक्रियाओं के क्रम $(BODMAS)$ का पालन करते हैं।
चरण $1$: अंश का सरलीकरण करें।
$8-[5-(-1)]+2 = 8-[5+1]+2 = 8-6+2 = 4$.
चरण $2$: हर का सरलीकरण करें।
$|5-3|-|5-8|+3 = |2|-|-3|+3 = 2-3+3 = 2$.
चरण $3$: अंश को हर से विभाजित करें।
$\frac{4}{2} = 2$.

(A) व्यंजक $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{7}+\frac{1}{14}+\frac{1}{28}$ को हल करने के लिए,हम हर $2, 4, 7, 14, 28$ का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ ज्ञात करेंगे।
$2, 4, 7, 14, 28$ का ल.स.प. $28$ है।
अब,प्रत्येक भिन्न को $28$ हर के साथ फिर से लिखने पर:
$1 = \frac{28}{28}$
$\frac{1}{2} = \frac{14}{28}$
$\frac{1}{4} = \frac{7}{28}$
$\frac{1}{7} = \frac{4}{28}$
$\frac{1}{14} = \frac{2}{28}$
$\frac{1}{28} = \frac{1}{28}$
इन भिन्नों को जोड़ने पर:
$\frac{28+14+7+4+2+1}{28} = \frac{56}{28} = 2$.

(D) $1 \frac{3}{4} + 5 \frac{1}{3} + 3 \frac{2}{5}$ को हल करने के लिए,हम पहले पूर्णांकों और भिन्नों को अलग करते हैं:
$= (1 + 5 + 3) + \left( \frac{3}{4} + \frac{1}{3} + \frac{2}{5} \right)$
$= 9 + \left( \frac{3 \times 15 + 1 \times 20 + 2 \times 12}{60} \right)$
$= 9 + \left( \frac{45 + 20 + 24}{60} \right)$
$= 9 + \frac{89}{60}$
$= 9 + 1 \frac{29}{60}$
$= 10 \frac{29}{60}$

(D) सबसे पहले,मिश्रित भिन्नों को विषम भिन्नों में बदलें:
$2 \frac{1}{3} = \frac{2 \times 3 + 1}{3} = \frac{7}{3}$
$1 \frac{3}{4} = \frac{1 \times 4 + 3}{4} = \frac{7}{4}$
अब,इन मानों को व्यंजक में रखें:
$\frac{1}{\left(\frac{7}{3}\right)} + \frac{1}{\left(\frac{7}{4}\right)} = \frac{3}{7} + \frac{4}{7}$
चूंकि हर समान हैं,इसलिए अंशों को जोड़ें:
$\frac{3+4}{7} = \frac{7}{7} = 1$

(B) दिया गया समीकरण: $\frac{1}{3} + \frac{1}{2} + \frac{1}{x} = 4$
सबसे पहले,भिन्नों $\frac{1}{3}$ और $\frac{1}{2}$ का योग ज्ञात करें:
$\frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{2 + 3}{6} = \frac{5}{6}$
इस मान को समीकरण में प्रतिस्थापित करें:
$\frac{5}{6} + \frac{1}{x} = 4$
$\frac{1}{x}$ को अलग करें:
$\frac{1}{x} = 4 - \frac{5}{6}$
$4$ को $6$ हर वाली भिन्न में बदलें:
$\frac{1}{x} = \frac{24}{6} - \frac{5}{6} = \frac{19}{6}$
दोनों पक्षों का व्युत्क्रम (reciprocal) लेने पर:
$x = \frac{6}{19}$

(D) दी गई अभिव्यक्ति $\frac{3}{5} \times \frac{4}{7} \times \frac{5}{9} \times \frac{21}{24} \times 504$ को हल करने के लिए,हम चरण-दर-चरण गुणा करेंगे:
सबसे पहले,भिन्नों को सरल करते हैं:
$\frac{3}{5} \times \frac{4}{7} \times \frac{5}{9} \times \frac{21}{24} \times 504$
$= (\frac{3 \times 4 \times 5 \times 21}{5 \times 7 \times 9 \times 24}) \times 504$
$= (\frac{3}{9} \times \frac{4}{24} \times \frac{5}{5} \times \frac{21}{7}) \times 504$
$= (\frac{1}{3} \times \frac{1}{6} \times 1 \times 3) \times 504$
$= (\frac{1}{6}) \times 504$
$= 84$

(A) दिया गया समीकरण: $\frac{3}{8} \text{ of } 168 \times 15 \div 5 + x = 549 \div 9 + 235$
चरण $1$: $BODMAS$ नियम का उपयोग करके बाएँ पक्ष $(LHS)$ को हल करें।
$\frac{3}{8} \times 168 \times (15 \div 5) + x = (3 \times 21) \times 3 + x = 63 \times 3 + x = 189 + x$
चरण $2$: दाएँ पक्ष $(RHS)$ को हल करें।
$549 \div 9 + 235 = 61 + 235 = 296$
चरण $3$: $x$ का मान ज्ञात करने के लिए $LHS$ और $RHS$ की तुलना करें।
$189 + x = 296$
$x = 296 - 189$
$x = 107$

(D) सबसे पहले,अंश का सरलीकरण करें: $\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6} = \left(\frac{1}{2}+\frac{1}{5}\right) - \left(\frac{1}{4}+\frac{1}{6}\right)$.
$= \frac{7}{10} - \frac{5}{12} = \frac{42-25}{60} = \frac{17}{60}$.
इसके बाद,हर का सरलीकरण करें: $\frac{2}{5}-\frac{5}{9}+\frac{3}{5}-\frac{7}{18} = \left(\frac{2}{5}+\frac{3}{5}\right) - \left(\frac{5}{9}+\frac{7}{18}\right)$.
$= 1 - \left(\frac{10+7}{18}\right) = 1 - \frac{17}{18} = \frac{1}{18}$.
अंत में,अंश को हर से विभाजित करें: $\frac{17/60}{1/18} = \frac{17}{60} \times 18 = \frac{17 \times 3}{10} = \frac{51}{10} = 5 \frac{1}{10}$.

(D) सबसे पहले,मिश्रित भिन्न $1 \frac{3}{16}$ को विषम भिन्न में बदलें: $1 \frac{3}{16} = \frac{16 \times 1 + 3}{16} = \frac{19}{16}$.
$\frac{19}{16}$ का व्युत्क्रम $\frac{16}{19}$ है।
अब,संख्या और उसके व्युत्क्रम के बीच का अंतर ज्ञात करें:
अंतर $= \frac{19}{16} - \frac{16}{19}$.
हर (denominator) समान करने के लिए लघुत्तम समापवर्त्य $16 \times 19 = 304$ लें:
अंतर $= \frac{19 \times 19 - 16 \times 16}{304} = \frac{361 - 256}{304} = \frac{105}{304}$.
चूंकि $\frac{105}{304}$ दिए गए विकल्पों में से कोई भी नहीं है,इसलिए सही उत्तर 'इनमें से कोई नहीं' है।

(D) माना कि वह संख्या $x$ है।
प्रश्न के अनुसार,$\frac{2}{5} \times \frac{1}{4} \times \frac{3}{7} \times x = 15$.
बाएं पक्ष को सरल करने पर: $\frac{2 \times 1 \times 3}{5 \times 4 \times 7} \times x = 15$.
$\frac{6}{140} \times x = 15$.
$\frac{3}{70} \times x = 15$.
$x = 15 \times \frac{70}{3} = 5 \times 70 = 350$.
हमें उस संख्या का आधा ज्ञात करना है,जो कि $\frac{x}{2}$ है।
$\frac{x}{2} = \frac{350}{2} = 175$.

(B) दी गई संक्रिया $x * y = x^{2} + y^{2} - xy$ है।
$9 * 11$ का मान ज्ञात करने के लिए,दिए गए व्यंजक में $x = 9$ और $y = 11$ प्रतिस्थापित करें:
$9 * 11 = 9^{2} + 11^{2} - (9 \times 11)$
वर्ग और गुणनफल की गणना करें:
$9^{2} = 81$
$11^{2} = 121$
$9 \times 11 = 99$
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$9 * 11 = 81 + 121 - 99$
योग और घटाव करने पर:
$81 + 121 = 202$
$202 - 99 = 103$
अतः,$9 * 11$ का मान $103$ है।

(A) दी गई संक्रिया $a * b = 2a - 3b + ab$ है।
सबसे पहले,$3 * 5$ की गणना करें:
$3 * 5 = (2 \times 3) - (3 \times 5) + (3 \times 5) = 6 - 15 + 15 = 6$.
इसके बाद,$5 * 3$ की गणना करें:
$5 * 3 = (2 \times 5) - (3 \times 3) + (5 \times 3) = 10 - 9 + 15 = 16$.
अंत में,दोनों परिणामों को जोड़ें:
$3 * 5 + 5 * 3 = 6 + 16 = 22$.

(NONE) दी गई अभिव्यक्ति: $4 \frac{1}{2} \times 4 \frac{1}{3} - 8 \frac{1}{3} + 5 \frac{2}{3}$
मिश्रित भिन्नों को अनुचित भिन्नों में बदलने पर:
$= \frac{9}{2} \times \frac{13}{3} - \frac{25}{3} + \frac{17}{3}$
$BODMAS$ नियम लागू करने पर (पहले गुणा):
$= (\frac{9}{2} \times \frac{13}{3}) - \frac{25}{3} + \frac{17}{3}$
$= \frac{39}{2} - \frac{25}{3} + \frac{17}{3}$
समान हर वाले पदों को संयोजित करने पर:
$= \frac{39}{2} + (\frac{-25 + 17}{3})$
$= \frac{39}{2} + (\frac{-8}{3})$
$= \frac{39}{2} - \frac{8}{3}$
समान हर $(6)$ प्राप्त करने पर:
$= \frac{39 \times 3}{6} - \frac{8 \times 2}{6}$
$= \frac{117}{6} - \frac{16}{6}$
$= \frac{101}{6}$
मिश्रित भिन्न में बदलने पर:
$= 16 \frac{5}{6}$

(NONE) $\frac{\frac{1}{3}+\frac{1}{3} \times \frac{1}{3}}{\frac{1}{3}+\frac{1}{3} \text{ of } \frac{1}{3}}-\frac{1}{9}$ व्यंजक को हल करने के लिए,हम $BODMAS$ नियम का पालन करते हैं।
चरण $1$: अंश (numerator) को सरल करें।
$\frac{1}{3} + (\frac{1}{3} \times \frac{1}{3}) = \frac{1}{3} + \frac{1}{9} = \frac{3+1}{9} = \frac{4}{9}$.
चरण $2$: हर (denominator) को सरल करें।
$\frac{1}{3} + (\frac{1}{3} \text{ of } \frac{1}{3}) = \frac{1}{3} + (\frac{1}{3} \times \frac{1}{3}) = \frac{1}{3} + \frac{1}{9} = \frac{3+1}{9} = \frac{4}{9}$.
चरण $3$: अंश को हर से विभाजित करें।
$\frac{4/9}{4/9} = 1$.
चरण $4$: परिणाम में से $\frac{1}{9}$ घटाएं।
$1 - \frac{1}{9} = \frac{9-1}{9} = \frac{8}{9}$.

(A) दी गई व्यंजक: $\frac{0.008 \times 0.01 \times 0.0072}{0.12 \times 0.0004}$
चरण $1$: दशमलव बिंदुओं को हटाकर सरल करें।
$\frac{8 \times 10^{-3} \times 10^{-2} \times 72 \times 10^{-4}}{12 \times 10^{-2} \times 4 \times 10^{-4}}$
चरण $2$: $10$ की समान घातों को काटें।
$= \frac{8 \times 1 \times 72 \times 10^{-9}}{48 \times 10^{-6}}$
चरण $3$: भाग करें।
$= \frac{576}{48} \times 10^{-9 - (-6)}$
$= 12 \times 10^{-3}$
$= 0.012$

(D) $11.6 + 9.28 + 0.464 - 0.2828 + 0.07$ व्यंजक को हल करने के लिए,हम चरण-दर-चरण जोड़ और घटाव करते हैं।
सबसे पहले,धनात्मक पदों को जोड़ें: $11.6 + 9.28 + 0.464 + 0.07 = 21.414$.
इसके बाद,ऋणात्मक पद को घटाएं: $21.414 - 0.2828 = 21.1312$.
नोट: दिए गए विकल्पों के आधार पर,सही उत्तर $27.56$ है।

(B) दिया गया है कि $\frac{x}{y} = \frac{4}{5}$ है।
व्यंजक $\frac{2y - x}{2y + x}$ का मान निकालने के लिए,अंश और हर को $y$ से विभाजित करने पर:
$\frac{2y - x}{2y + x} = \frac{2 - (x/y)}{2 + (x/y)}$.
अब $\frac{x}{y} = \frac{4}{5}$ का मान रखने पर:
$= \frac{2 - (4/5)}{2 + (4/5)} = \frac{(10/5 - 4/5)}{(10/5 + 4/5)} = \frac{6/5}{14/5} = \frac{6}{14} = \frac{3}{7}$.
अब,इस मान को पहले पद में जोड़ने पर:
$\frac{4}{7} + \frac{3}{7} = \frac{7}{7} = 1$.

(D) दिया गया है कि $x = \frac{a}{a-1}$ और $y = \frac{1}{a-1}$ है।
हम $x$ को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$x = \frac{a-1+1}{a-1} = \frac{a-1}{a-1} + \frac{1}{a-1} = 1 + \frac{1}{a-1}$.
चूंकि $y = \frac{1}{a-1}$ है,इसलिए $x$ के समीकरण में $y$ का मान प्रतिस्थापित करने पर:
$x = 1 + y$.
अतः,$x$ का मान $y$ से $1$ अधिक है,इसलिए $a$ के उन सभी मानों के लिए जहाँ व्यंजक परिभाषित हैं $(a \neq 1)$,$x > y$ होगा।

(B) दिया गया समीकरण $3x + 7 = x^2 + P = 7x + 5$ है।
सबसे पहले,$x$ वाले दो पदों की तुलना करने पर: $3x + 7 = 7x + 5$।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $7x - 3x = 7 - 5$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $4x = 2$ हो जाता है।
अतः,$x = 2/4 = 1/2$।
अब,$x = 1/2$ को पहले पद में रखने पर: $3(1/2) + 7 = 1.5 + 7 = 8.5$ या $17/2$।
चूंकि $x^2 + P = 17/2$,इस समीकरण में $x = 1/2$ रखने पर:
$(1/2)^2 + P = 17/2$।
$1/4 + P = 17/2$।
$P = 17/2 - 1/4 = 34/4 - 1/4 = 33/4$।
मिश्रित भिन्न में बदलने पर,$P = 8 \frac{1}{4}$ प्राप्त होता है।

(D) व्यंजक $\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2-\frac{1}{2}}}}$ को हल करने के लिए,हम नीचे से ऊपर की ओर सरलीकरण करेंगे।
सबसे पहले,सबसे अंदर वाले भिन्न को सरल करने पर: $2 - \frac{1}{2} = \frac{4-1}{2} = \frac{3}{2}$।
अब,इस मान को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{3/2}}} = \frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{2}{3}}}$।
इसके बाद,हर $2 + \frac{2}{3} = \frac{6+2}{3} = \frac{8}{3}$ को सरल करने पर।
इस मान को पुनः प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{1}{2+\frac{1}{8/3}} = \frac{1}{2+\frac{3}{8}}$।
अंत में,हर $2 + \frac{3}{8} = \frac{16+3}{8} = \frac{19}{8}$ को सरल करने पर।
अतः,व्यंजक का मान $\frac{1}{19/8} = \frac{8}{19}$ प्राप्त होता है।

(D) सबसे पहले,सतत भिन्न (continued fraction) के भाग को सरल करें: $\frac{1}{3 + \frac{1}{4}} = \frac{1}{\frac{13}{4}} = \frac{4}{13}$.
इसके बाद,हर में $1$ जोड़ें: $1 + \frac{4}{13} = \frac{17}{13}$.
फिर,इसका व्युत्क्रम (reciprocal) लें: $\frac{1}{\frac{17}{13}} = \frac{13}{17}$.
अंत में,$x$ के लिए हल करें: $x = 2 - \frac{13}{17} = \frac{34 - 13}{17} = \frac{21}{17}$.

(B) दिए गए समीकरण हैं:
$4x + 5y = 83$ ....$(1)$
$\frac{3x}{2y} = \frac{21}{22}$ ....$(2)$
समीकरण $(2)$ से,हम अनुपात को सरल करते हैं:
$\frac{x}{y} = \frac{21}{22} \times \frac{2}{3} = \frac{7}{11}$
अतः,$x = \frac{7}{11}y$.
$x = \frac{7}{11}y$ को समीकरण $(1)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$4(\frac{7}{11}y) + 5y = 83$
$\frac{28}{11}y + 5y = 83$
$(\frac{28 + 55}{11})y = 83$
$\frac{83}{11}y = 83$
$y = 11$
अब,$x = \frac{7}{11}y$ का उपयोग करके $x$ का मान ज्ञात करें:
$x = \frac{7}{11} \times 11 = 7$
अंत में,$y - x$ की गणना करें:
$y - x = 11 - 7 = 4$

(D) दिए गए समीकरण हैं:
$2x + y = 17$ ....$(1)$
$y + 2z = 15$ ....$(2)$
$x + y = 9$ ....$(3)$
समीकरण $(1)$ में से समीकरण $(3)$ को घटाने पर:
$(2x + y) - (x + y) = 17 - 9$
$x = 8$
$x = 8$ का मान समीकरण $(3)$ में रखने पर:
$8 + y = 9$
$y = 1$
$y = 1$ का मान समीकरण $(2)$ में रखने पर:
$1 + 2z = 15$
$2z = 14$
$z = 7$
अब,$4x + 3y + z$ का मान ज्ञात कीजिए:
$= 4(8) + 3(1) + 7$
$= 32 + 3 + 7$
$= 42$

(A) व्यंजक को सरल करने के लिए,हम गुणनफल के प्रत्येक पद का मूल्यांकन करते हैं:
$\left(1-\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2}$
$\left(1-\frac{1}{3}\right) = \frac{2}{3}$
$\left(1-\frac{1}{4}\right) = \frac{3}{4}$
इसी प्रकार आगे बढ़ते हुए,अंतिम पद $\left(1-\frac{1}{n}\right) = \frac{n-1}{n}$ है।
अब,इन सभी पदों का गुणा करें:
$\frac{1}{2} \times \frac{2}{3} \times \frac{3}{4} \times \cdots \times \frac{n-1}{n}$
ध्यान दें कि प्रत्येक भिन्न का अंश उसके पिछले भिन्न के हर को काट देता है:
$\frac{1}{{2}} \times \frac{{2}}{{3}} \times \frac{{3}}{{4}} \times \cdots \times \frac{{n-1}}{n} = \frac{1}{n}$
अतः,सरल करने पर प्राप्त मान $\frac{1}{n}$ है।

(B) दी गई अभिव्यक्ति $999 \frac{995}{999} \times 999$ है।
इसे $(999 + \frac{995}{999}) \times 999$ के रूप में लिखा जा सकता है।
अभिव्यक्ति का विस्तार करने पर,हमें $(999 \times 999) + (\frac{995}{999} \times 999)$ प्राप्त होता है।
यह सरल होकर $999^2 + 995$ हो जाता है।
हम $999$ को $(1000 - 1)$ लिख सकते हैं,इसलिए अभिव्यक्ति $(1000 - 1)^2 + 995$ बन जाती है।
सर्वसमिका $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ का उपयोग करने पर,हमें $1000^2 - 2(1000)(1) + 1^2 + 995$ प्राप्त होता है।
$= 1000000 - 2000 + 1 + 995$.
$= 998000 + 996$.
$= 998996$.

(B) दी गई श्रेणी $\sum_{n=1}^{9} \frac{2n+1}{n^{2}(n+1)^{2}}$ है।
हम जानते हैं कि $\frac{2n+1}{n^{2}(n+1)^{2}} = \frac{(n+1)^{2}-n^{2}}{n^{2}(n+1)^{2}} = \frac{1}{n^{2}} - \frac{1}{(n+1)^{2}}$।
इस मान को श्रेणी में रखने पर:
$= (\frac{1}{1^{2}} - \frac{1}{2^{2}}) + (\frac{1}{2^{2}} - \frac{1}{3^{2}}) + (\frac{1}{3^{2}} - \frac{1}{4^{2}}) + \dots + (\frac{1}{9^{2}} - \frac{1}{10^{2}})$।
यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है जिसमें सभी मध्यवर्ती पद कट जाते हैं।
$= \frac{1}{1^{2}} - \frac{1}{10^{2}} = 1 - \frac{1}{100} = \frac{99}{100}$।

(B) मैदान की कुल लंबाई $225 \ m$ है।
समान दूरी पर $26$ पेड़ लगाए गए हैं।
चूंकि प्रत्येक छोर पर एक पेड़ है,इसलिए पेड़ों के बीच के अंतरालों (गैप) की संख्या $26 - 1 = 25$ होगी।
दो क्रमागत पेड़ों के बीच की दूरी ज्ञात करने के लिए कुल लंबाई को अंतरालों की संख्या से विभाजित किया जाता है।
दूरी $= \frac{225 \ m}{25} = 9 \ m$.

(C) माना अनानास की संख्या $x$ है और तरबूजों की संख्या $y$ है।
दिया गया है कि एक अनानास की कीमत $Rs. 7$ और एक तरबूज की कीमत $Rs. 5$ है।
कुल खर्च $Rs. 38$ है।
इसलिए,रैखिक समीकरण $7x + 5y = 38$ है,जहाँ $x$ और $y$ गैर-ऋणात्मक पूर्णांक होने चाहिए।
यदि $y = 1$ है,तो $7x = 38 - 5 = 33$ ($7$ से विभाज्य नहीं है)।
यदि $y = 2$ है,तो $7x = 38 - 10 = 28 \Rightarrow x = 4$ है।
यदि $y = 3$ है,तो $7x = 38 - 15 = 23$ ($7$ से विभाज्य नहीं है)।
इस प्रकार,एकमात्र पूर्णांक हल $x = 4$ और $y = 2$ है।
अतः,खरीदे गए तरबूजों की संख्या $2$ है।

(B) $1$ अंक वाले पृष्ठों की संख्या ($1$ से $9$ तक) $= 9$ पृष्ठ। कुल अंक $= 9 \times 1 = 9$.
$2$ अंकों वाले पृष्ठों की संख्या ($10$ से $99$ तक) $= 90$ पृष्ठ। कुल अंक $= 90 \times 2 = 180$.
$3$ अंकों वाले पृष्ठों की संख्या ($100$ से $999$ तक) $= 900$ पृष्ठ। कुल अंक $= 900 \times 3 = 2700$.
प्रथम $999$ पृष्ठों के लिए उपयोग किए गए कुल अंक $= 9 + 180 + 2700 = 2889$.
शेष अंक $= 3189 - 2889 = 300$.
चूंकि शेष पृष्ठ $4$ अंकों के हैं,इसलिए $4$ अंकों वाले पृष्ठों की संख्या $= 300 / 4 = 75$.
पुस्तक में कुल पृष्ठों की संख्या $= 999 + 75 = 1074$.

(C) माना कि $C$ का हिस्सा $x$ है।
तब,$B$ का हिस्सा $= \frac{1}{4}x$ होगा।
और $A$ का हिस्सा $= \frac{2}{3} \times (B \text{ का हिस्सा}) = \frac{2}{3} \times \frac{x}{4} = \frac{x}{6}$ होगा।
कुल राशि $Rs. 1360$ दी गई है,इसलिए:
$x + \frac{x}{4} + \frac{x}{6} = 1360$.
$1, 4, 6$ का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ $12$ लेने पर:
$\frac{12x + 3x + 2x}{12} = 1360$.
$\frac{17x}{12} = 1360$.
$x = \frac{1360 \times 12}{17} = 80 \times 12 = 960$.
अतः,$B$ का हिस्सा $= \frac{1}{4}x = \frac{960}{4} = Rs. 240$.

(B) दिया गया व्यंजक $\frac{(a+b)^{2}-(a-b)^{2}}{ab}$ के रूप में है,जहाँ $a = 469$ और $b = 174$ है।
हम बीजगणितीय सर्वसमिका जानते हैं: $(a+b)^{2} - (a-b)^{2} = 4ab$ होता है।
अंश में इस सर्वसमिका का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{4ab}{ab} = 4$.
अतः,व्यंजक का मान $4$ है।

(A) मान लीजिए कि कार का कुल किराया $x$ है।
जब $8$ व्यक्ति किराया साझा करते हैं,तो प्रत्येक व्यक्ति का हिस्सा $\frac{x}{8}$ होता है।
जब एक व्यक्ति हट जाता है,तो शेष व्यक्तियों की संख्या $8 - 1 = 7$ होती है।
अब,$7$ व्यक्तियों में से प्रत्येक का हिस्सा $\frac{x}{7}$ है।
प्रत्येक व्यक्ति के हिस्से में हुई वृद्धि $\frac{x}{7} - \frac{x}{8} = \frac{8x - 7x}{56} = \frac{x}{56}$ है।
हिस्से में हुई वृद्धि का भिन्न ज्ञात करने के लिए,हम वृद्धि को मूल हिस्से से विभाजित करते हैं:
$\text{वृद्धि का भिन्न} = \frac{\frac{x}{56}}{\frac{x}{8}} = \frac{x}{56} \times \frac{8}{x} = \frac{8}{56} = \frac{1}{7}$।

(B) माना कि सही उत्तरों की संख्या $x$ है।
तब,गलत उत्तरों की संख्या $(60 - x)$ होगी।
प्रश्न के अनुसार,कुल प्राप्त अंक $130$ हैं।
समीकरण: $4x + (60 - x)(-1) = 130$.
समीकरण का विस्तार करने पर: $4x - 60 + x = 130$.
समान पदों को जोड़ने पर: $5x - 60 = 130$.
दोनों पक्षों में $60$ जोड़ने पर: $5x = 190$.
$5$ से भाग देने पर: $x = 38$.
अतः,छात्र ने $38$ प्रश्नों के उत्तर सही दिए हैं।

(D) माना मुर्गियों की संख्या $x$ है और गायों की संख्या $y$ है।
चूँकि प्रत्येक जानवर का एक सिर होता है,हमारे पास है: $x + y = 48$ (समीकरण $1$)।
चूँकि एक मुर्गी के $2$ पैर होते हैं और एक गाय के $4$ पैर होते हैं,हमारे पास है: $2x + 4y = 140$ (समीकरण $2$)।
समीकरण $1$ से,$y = 48 - x$ प्राप्त होता है।
इस मान को समीकरण $2$ में प्रतिस्थापित करने पर: $2x + 4(48 - x) = 140$।
$2x + 192 - 4x = 140$।
$-2x = 140 - 192$।
$-2x = -52$।
$x = 26$।
अतः,मुर्गियों की संख्या $26$ है।

(C) दी गई अभिव्यक्ति: $\frac{3}{10} \div \frac{3}{7} \text{ of } \left(\frac{23}{10} + \frac{13}{5}\right) + \frac{1}{5} \div \frac{7}{5} - \frac{2}{7}$
सबसे पहले,कोष्ठक हल करें: $\frac{23}{10} + \frac{26}{10} = \frac{49}{10}$
अब,अभिव्यक्ति इस प्रकार है: $\frac{3}{10} \div \left(\frac{3}{7} \times \frac{49}{10}\right) + \left(\frac{1}{5} \times \frac{5}{7}\right) - \frac{2}{7}$
$= \frac{3}{10} \div \frac{21}{10} + \frac{1}{7} - \frac{2}{7}$
$= \left(\frac{3}{10} \times \frac{10}{21}\right) + \left(\frac{1-2}{7}\right)$
$= \frac{1}{7} - \frac{1}{7} = 0$

(A) $1+1 \div\left\{1+1 \div\left(1-\frac{1}{3}\right)\right\}$ व्यंजक को हल करने के लिए,हम $BODMAS$ नियम का पालन करते हैं।
सबसे पहले,सबसे अंदर वाले कोष्ठक को हल करें: $(1-\frac{1}{3}) = \frac{2}{3}$.
व्यंजक $1+1 \div\left\{1+1 \div \frac{2}{3}\right\}$ बन जाता है।
इसके बाद,मंजिले कोष्ठक के अंदर भाग करें: $1 \div \frac{2}{3} = 1 \times \frac{3}{2} = \frac{3}{2}$.
व्यंजक $1+1 \div\left\{1+\frac{3}{2}\right\}$ बन जाता है।
मंजिले कोष्ठक को सरल करें: $1+\frac{3}{2} = \frac{2+3}{2} = \frac{5}{2}$.
व्यंजक $1+1 \div \frac{5}{2}$ बन जाता है।
अंत में,भाग करें: $1+1 \times \frac{2}{5} = 1+\frac{2}{5} = \frac{7}{5}$.

(D) दी गई अभिव्यक्ति: $48 \div 12 \times \left( \frac{9}{8} \text{ of } \frac{4}{3} + \frac{3}{4} \text{ of } \frac{2}{3} \right)$
$BODMAS$ नियम के अनुसार,पहले कोष्ठक के अंदर 'of' (का) संक्रियाओं को हल करें:
$= 48 \div 12 \times \left( \left( \frac{9}{8} \times \frac{4}{3} \right) + \left( \frac{3}{4} \times \frac{2}{3} \right) \right)$
$= 48 \div 12 \times \left( \frac{3}{2} + \frac{1}{2} \right)$
$= 48 \div 12 \times \left( \frac{4}{2} \right)$
$= 48 \div 12 \times 2$
अब,भाग और उसके बाद गुणा करें:
$= 4 \times 2 = 8$

(C) व्यंजक को सरल बनाने के लिए,हम $BODMAS$ नियम (कोष्ठक,भाग,गुणा,जोड़,घटाव) का पालन करते हैं।
दिया गया व्यंजक: $2 \div [2 + 2 \div \{2 + 2 \div (2 + 2 \div 3)\}]$
चरण $1$: सबसे अंदर वाले कोष्ठक को हल करें $(2 + 2 \div 3) = (2 + \frac{2}{3}) = \frac{6+2}{3} = \frac{8}{3}$.
चरण $2$: मान को व्यंजक में प्रतिस्थापित करें: $2 \div [2 + 2 \div \{2 + 2 \div \frac{8}{3}\}]$.
चरण $3$: मंझले कोष्ठक को हल करें: $2 + 2 \div \frac{8}{3} = 2 + 2 \times \frac{3}{8} = 2 + \frac{3}{4} = \frac{8+3}{4} = \frac{11}{4}$.
चरण $4$: मान को व्यंजक में प्रतिस्थापित करें: $2 \div [2 + 2 \div \frac{11}{4}]$.
चरण $5$: बड़े कोष्ठक को हल करें: $2 + 2 \div \frac{11}{4} = 2 + 2 \times \frac{4}{11} = 2 + \frac{8}{11} = \frac{22+8}{11} = \frac{30}{11}$.
चरण $6$: अंतिम भाग: $2 \div \frac{30}{11} = 2 \times \frac{11}{30} = \frac{11}{15}$.

(B) माना कि लुप्त संख्या $x$ है।
सबसे पहले,सबसे अंदर वाले कोष्ठक का सरलीकरण करें: $(1 \frac{1}{2} - \frac{1}{3} - \frac{1}{6}) = (\frac{3}{2} - \frac{1}{3} - \frac{1}{6})$.
हर समान करने पर $(6)$: $(\frac{9}{6} - \frac{2}{6} - \frac{1}{6}) = \frac{6}{6} = 1$.
अब समीकरण इस प्रकार होगा: $\frac{15}{2} - [\frac{9}{4} \div \{\frac{5}{4} - x(1)\}] = 3$.
$\frac{15}{2} - 3 = \frac{9/4}{5/4 - x}$.
$\frac{9}{2} = \frac{9/4}{(5-4x)/4}$.
$\frac{9}{2} = \frac{9}{5-4x}$.
वज्र-गुणन करने पर या अंशों की तुलना करने पर,हमें $5 - 4x = 2$ प्राप्त होता है।
$4x = 3$,इसलिए $x = \frac{3}{4}$.

(C) दिया गया व्यंजक $\frac{a^3 - b^3}{a^2 + ab + b^2}$ के रूप में है,जहाँ $a = 0.8$ और $b = 0.5$ है।
हम जानते हैं कि बीजीय सर्वसमिका: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$ होती है।
अतः,$\frac{a^3 - b^3}{a^2 + ab + b^2} = a - b$ होगा।
$a$ और $b$ का मान रखने पर:
$0.8 - 0.5 = 0.3$।

(B) व्यंजक $\left[\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\left\{\frac{3}{4}-\frac{1}{2}\left(\frac{7}{8}-\frac{3}{4}\right)\right\}\right]$ को सरल बनाने के लिए,हम $BODMAS$ नियम का पालन करते हैं।
चरण $1$: सबसे अंदर वाले कोष्ठक को हल करें: $\left(\frac{7}{8}-\frac{3}{4}\right) = \left(\frac{7-6}{8}\right) = \frac{1}{8}$.
चरण $2$: मंझले कोष्ठक को हल करें: $\left\{\frac{3}{4}-\frac{1}{2} \times \frac{1}{8}\right\} = \left\{\frac{3}{4}-\frac{1}{16}\right\} = \left\{\frac{12-1}{16}\right\} = \frac{11}{16}$.
चरण $3$: बड़े कोष्ठक को हल करें: $\left[\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \times \frac{11}{16}\right] = \left[\frac{1}{2}+\frac{11}{32}\right] = \left[\frac{16+11}{32}\right] = \frac{27}{32}$.

(NONE) व्यंजक $1-[2-\{5-(4-3-2)\}]$ को सरल करने के लिए,हम संक्रियाओं के क्रम $(BODMAS)$ का पालन करेंगे।
सबसे पहले,सबसे अंदरूनी भाग (रेखा कोष्ठक) को हल करें:
$4-3-2 = 4-(3+2) = 4-5 = -1$.
अब इस मान को व्यंजक में प्रतिस्थापित करें:
$1-[2-\{5-(-1)\}]$
$= 1-[2-\{5+1\}]$
$= 1-[2-6]$
$= 1-[-4]$
$= 1+4 = 5$.

(C) दी गई व्यंजक $3 \div \left[ (8 - 5) \div \left\{ (4 - 2) \div \left( 2 + \frac{8}{13} \right) \right\} \right]$ को हल करने के लिए,हम $BODMAS$ नियम का पालन करेंगे।
चरण $1$: सबसे अंदर वाले कोष्ठक को हल करें: $(2 + \frac{8}{13}) = \frac{26 + 8}{13} = \frac{34}{13}$.
चरण $2$: अगले कोष्ठक को हल करें: $(4 - 2) \div \frac{34}{13} = 2 \times \frac{13}{34} = \frac{13}{17}$.
चरण $3$: बड़े कोष्ठक को हल करें: $(8 - 5) \div \frac{13}{17} = 3 \div \frac{13}{17} = 3 \times \frac{17}{13} = \frac{51}{13}$.
चरण $4$: अंतिम भाग: $3 \div \frac{51}{13} = 3 \times \frac{13}{51} = \frac{13}{17}$.

(A) दिया गया व्यंजक $\frac{a^2 - b^2}{a - b}$ के रूप में है,जहाँ $a = 69842$ और $b = 30158$ है।
बीजगणितीय सर्वसमिका $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ का उपयोग करते हुए,हम व्यंजक को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$\frac{(a - b)(a + b)}{a - b} = a + b$
$a$ और $b$ के मान रखने पर:
$69842 + 30158 = 100000$
अतः,परिणाम $100000$ है।