Numbers Questions in Hindi

(C) मान लीजिए कि $5$ क्रमिक विषम पूर्णांक $x, x+2, x+4, x+6,$ और $x+8$ हैं।
प्रश्न के अनुसार,इन अंकों का योग $185$ है।
$x + (x+2) + (x+4) + (x+6) + (x+8) = 185$
$5x + 20 = 185$
$5x = 185 - 20$
$5x = 165$
$x = 33$
उच्चतम स्कोर $x+8 = 33 + 8 = 41$ है।

(A) दी गई संख्याओं की तुलना करने के लिए,हम उन्हें एक समान घातांक (मूल) के साथ व्यक्त करते हैं।
संख्याएँ $4^{1/3}, 2^{1/2}, 3^{1/6}, 5^{1/4}$ हैं।
घातांकों के हर $3, 2, 6, 4$ हैं। इन हरों का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ $12$ है।
अब,प्रत्येक संख्या को $1/12$ घातांक के साथ फिर से लिखें:
$4^{1/3} = 4^{4/12} = (4^4)^{1/12} = 256^{1/12}$
$2^{1/2} = 2^{6/12} = (2^6)^{1/12} = 64^{1/12}$
$3^{1/6} = 3^{2/12} = (3^2)^{1/12} = 9^{1/12}$
$5^{1/4} = 5^{3/12} = (5^3)^{1/12} = 125^{1/12}$
आधारों की तुलना करने पर: $256 > 125 > 64 > 9$।
अतः,अवरोही क्रम $\sqrt[3]{4} > \sqrt[4]{5} > \sqrt{2} > \sqrt[6]{3}$ है।

(B) माना व्यंजक $f(n) = 3^{2n} + 9n + 5$ है।
हम व्यंजक को $f(n) = 3^{2n} + 9n + 3 + 2$ के रूप में लिख सकते हैं।
अब,हम पहले तीन पदों से $3$ उभयनिष्ठ (common) ले सकते हैं:
$f(n) = 3(3^{2n-1} + 3n + 1) + 2$.
चूंकि $3(3^{2n-1} + 3n + 1)$ स्पष्ट रूप से $3$ से विभाज्य है,इसलिए $f(n)$ को $3$ से विभाजित करने पर शेषफल $2$ प्राप्त होता है।

(B) एक अभाज्य संख्या $1$ से बड़ी वह प्राकृतिक संख्या है जिसका $1$ और स्वयं के अलावा कोई अन्य धनात्मक भाजक नहीं होता है।
अभाज्य संख्याओं की श्रृंखला $2, 3, 5, 7, 11, \dots$ से शुरू होती है।
चूंकि $2$ इस श्रृंखला की पहली संख्या है,इसलिए यह सबसे छोटी अभाज्य संख्या है।
अतः,सबसे छोटी अभाज्य संख्या $2$ है।

(C) सबसे पहले,भाजक और संबंधित शेषफल के बीच का अंतर देखें:
$12 - 8 = 4$
$18 - 14 = 4$
$36 - 32 = 4$
$45 - 41 = 4$
चूंकि अंतर समान $(4)$ है,इसलिए अभीष्ट संख्या $= \operatorname{LCM}(12, 18, 36, 45) - 4$ होगी।
$12, 18, 36$ और $45$ का लघुत्तम समापवर्त्य $(\operatorname{LCM})$ ज्ञात करें:
$12 = 2^2 \times 3$
$18 = 2 \times 3^2$
$36 = 2^2 \times 3^2$
$45 = 3^2 \times 5$
$\operatorname{LCM} = 2^2 \times 3^2 \times 5 = 4 \times 9 \times 5 = 180$.
अतः,अभीष्ट संख्या $= 180 - 4 = 176$।

(C) $204 \times 197$ की गणना करने के लिए,हम बीजीय सर्वसमिका $(x + a)(x - b) = x^2 + x(a - b) - ab$ का उपयोग कर सकते हैं।
यहाँ,मान लीजिए $x = 200$,$a = 4$,और $b = 3$ है।
$204 \times 197 = (200 + 4)(200 - 3)$
$= 200^2 + 200(4 - 3) - (4 \times 3)$
$= 40000 + 200(1) - 12$
$= 40000 + 200 - 12$
$= 40200 - 12$
$= 40188$

(D) मीटर छड़ की लंबाई $1 \ m$ होती है,लेकिन यह $1 \ cm$ छोटी है। इसलिए,छड़ की वास्तविक लंबाई $100 \ cm - 1 \ cm = 99 \ cm$ है।
जब कपड़े को मापा जाता है,तो छड़ पर रीडिंग $100 \ m$ आती है। चूंकि इस त्रुटिपूर्ण छड़ पर प्रत्येक 'मीटर' वास्तव में $99 \ cm$ है,इसलिए कपड़े की कुल लंबाई $100 \times 99 \ cm = 9900 \ cm$ होगी।

(C) हम $1001$ को $(1000 + 1)$ के रूप में लिख सकते हैं।
बीजगणितीय सर्वसमिका $(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $a = 1000$ और $b = 1$ है:
$(1000 + 1)^3 = (1000)^3 + 3(1000)^2(1) + 3(1000)(1)^2 + (1)^3$
$= 1,000,000,000 + 3(1,000,000) + 3(1000) + 1$
$= 1,000,000,000 + 3,000,000 + 3,000 + 1$
$= 1,003,003,001$.

(D) दिया गया योग:
$5A7 + 335 = 8B2$
इकाई का अंक देखने पर: $7 + 5 = 12$, इसलिए अंतिम अंक $2$ है और दहाई के स्थान पर $1$ हासिल (carry) आता है।
दहाई का अंक देखने पर: $A + 3 + 1 = B$ (जहाँ $1$ इकाई के स्थान से आया हासिल है)।
अतः, $A + 4 = B$.
सैकड़े के स्थान पर: $5 + 3 = 8$, जो परिणाम से मेल खाता है।
चूँकि $8B2$, $3$ से विभाज्य है, इसलिए इसके अंकों का योग $3$ का गुणज होना चाहिए:
$8 + B + 2 = 10 + B = \text{3 का गुणज}$.
$B$ के लिए संभावित मान $2, 5, 8$ हैं।
स्थिति $1$: यदि $B = 2$ है, तो $A + 4 = 2 \Rightarrow A = -2$ (संभव नहीं क्योंकि $A$ एक अंक है)।
स्थिति $2$: यदि $B = 5$ है, तो $A + 4 = 5 \Rightarrow A = 1$.
स्थिति $3$: यदि $B = 8$ है, तो $A + 4 = 8 \Rightarrow A = 4$.
$A$ का सबसे बड़ा संभावित मान $4$ है।

(C) यदि किसी संख्या के अंतिम दो अंक $00, 25, 50,$ या $75$ हों,तो वह संख्या $25$ से विभाज्य होती है।
विकल्पों की जाँच करने पर:
$A) 303310$: अंतिम दो अंक $10$ हैं ($25$ से विभाज्य नहीं है)।
$B) 373355$: अंतिम दो अंक $55$ हैं ($25$ से विभाज्य नहीं है)।
$C) 303375$: अंतिम दो अंक $75$ हैं ($25$ से विभाज्य है)।
$D) 22040$: अंतिम दो अंक $40$ हैं ($25$ से विभाज्य नहीं है)।
अतः,$303375$ संख्या $25$ से विभाज्य है।

(D) $3 \times 38 \times 537 \times 1256$ के गुणनफल का इकाई अंक ज्ञात करने के लिए,हमें केवल प्रत्येक संख्या के इकाई अंकों का गुणा करना होगा।
यहाँ इकाई के अंक $3, 8, 7$ और $6$ हैं।
इनका गुणा करने पर: $3 \times 8 = 24$ (इकाई का अंक $4$ है)
अब,इस परिणाम को अगले इकाई अंक से गुणा करने पर: $4 \times 7 = 28$ (इकाई का अंक $8$ है)
अंत में,इस परिणाम को अंतिम इकाई अंक से गुणा करने पर: $8 \times 6 = 48$ (इकाई का अंक $8$ है)
अतः,गुणनफल का इकाई अंक $8$ है।

(D) माना कि दो अंकों की संख्या $(10x + y)$ है,जहाँ $x$ दहाई का अंक है और $y$ इकाई का अंक है।
जब अंकों के स्थान आपस में बदल दिए जाते हैं,तो नई संख्या $(10y + x)$ हो जाती है।
मूल संख्या और नई संख्या को जोड़ने पर:
$(10x + y) + (10y + x) = 11x + 11y$
$= 11(x + y)$
अतः,परिणामी संख्या हमेशा $11$ से विभाज्य होगी।

(A) $(57)^{25}$ का इकाई अंक ज्ञात करने के लिए,हम $7$ की घातों के इकाई अंकों को देखते हैं।
$7^{1} = 7$
$7^{2} = 49$ (इकाई अंक $9$ है)
$7^{3} = 343$ (इकाई अंक $3$ है)
$7^{4} = 2401$ (इकाई अंक $1$ है)
इकाई अंकों का चक्र $(7, 9, 3, 1)$ है जिसका आवर्तकाल $4$ है।
$(57)^{25}$ के लिए,हम घातांक $25$ को आवर्तकाल $4$ से विभाजित करते हैं: $25 = 4 \times 6 + 1$।
चूंकि शेषफल $1$ है,इसलिए $(57)^{25}$ का इकाई अंक $7^{1}$ के इकाई अंक के समान यानी $7$ होगा।
अतः,$[(57)^{25} - 1]$ का इकाई अंक $7 - 1 = 6$ होगा।

(C) मान लीजिए कि तीन अंकों की संख्या $N$ को $100x + 10z + y$ के रूप में दर्शाया गया है,जहाँ $x$ सैकड़े के स्थान का अंक है,$z$ दहाई के स्थान का अंक है,और $y$ इकाई के स्थान का अंक है।
दी गई अभिव्यक्ति $N - 100x - y$ में $N$ का मान रखने पर:
$N - 100x - y = (100x + 10z + y) - 100x - y$
अभिव्यक्ति को सरल करने पर:
$= 100x - 100x + 10z + y - y$
$= 10z$
चूंकि परिणाम $10z$ है,इसलिए यह अभिव्यक्ति हमेशा $10$ से विभाज्य है।

(B) दिया गया है कि $n$ एक पूर्ण संख्या है जिसे $n = 4k + 3$ के रूप में लिखा जा सकता है,जहाँ $k ge 0$ एक पूर्णांक है।
हमें $2n$ को $4$ से विभाजित करने पर प्राप्त शेषफल ज्ञात करना है।
$n$ का मान $2n$ में रखने पर:
$2n = 2(4k + 3) = 8k + 6$।
अब,$8k + 6$ को $4$ से विभाजित करने पर:
$8k + 6 = 4(2k) + 4 + 2 = 4(2k + 1) + 2$।
चूँकि $4(2k + 1)$ पूरी तरह से $4$ से विभाज्य है,इसलिए शेषफल $2$ प्राप्त होता है।
उदाहरण: मान लीजिए $n = 7$ ($7$ को $4$ से भाग देने पर शेषफल $3$ आता है)।
तब $2n = 14$ होगा।
$14$ को $4$ से भाग देने पर $14 = 4 \times 3 + 2$ प्राप्त होता है,अतः शेषफल $2$ है।

(A) हम जानते हैं कि $m^{2}-n^{2} = (m-n)(m+n)$.
दिया गया है कि $(m-n)$ एक सम संख्या है,मान लीजिए $(m-n) = 2k$,जहाँ $k$ एक पूर्णांक है।
चूँकि $(m+n) = (m-n) + 2n$,और $(m-n)$ सम है,इसलिए $(m+n)$ भी एक सम संख्या होगी क्योंकि दो सम संख्याओं का योग हमेशा सम होता है।
मान लीजिए $(m+n) = 2j$,जहाँ $j$ एक पूर्णांक है।
अतः,$(m^{2}-n^{2}) = (2k)(2j) = 4kj$.
यह दर्शाता है कि $(m^{2}-n^{2})$ हमेशा $4$ से विभाज्य है।

(C) मान लीजिए कि आइसक्रीम,कुकीज़ और पेस्ट्री की संख्या क्रमशः $I$,$C$ और $P$ है।
हमें दिया गया है कि $I \ge 9$,$C \ge 9$,और $P \ge 9$ है।
साथ ही,$I < C < P$ और $I + C + P = 32$ है।
चूंकि $I \ge 9$,$I$ का न्यूनतम संभव मान $9$ है।
यदि $I = 9$ है,तो $9 < C < P$ और $9 + C + P = 32$,जिसका अर्थ है $C + P = 23$ है।
चूंकि $C < P$ है,हम $C$ के लिए $10$ से शुरू करके मानों की जांच करते हैं:
यदि $C = 10$ है,तो $P = 23 - 10 = 13$ है। यहाँ $9 < 10 < 13$ (शर्त संतुष्ट होती है)।
यदि $C = 11$ है,तो $P = 23 - 11 = 12$ है। यहाँ $9 < 11 < 12$ (शर्त संतुष्ट होती है)।
यदि $C = 12$ है,तो $P = 23 - 12 = 11$ है। यह $C < P$ की शर्त का खंडन करता है।
यदि $I = 10$ है,तो $10 < C < P$ और $10 + C + P = 32$,जिसका अर्थ है $C + P = 22$ है।
चूंकि $C < P$ है,$C$ का न्यूनतम मान $11$ हो सकता है,तो $P = 11$ होगा,जो $C < P$ का खंडन करता है।
अतः,$C$ के लिए केवल संभावित मान $10$ या $11$ हैं।

(A) माना तीन क्रमागत सम संख्याएँ $2x, 2x+2$ और $2x+4$ हैं।
अतः,$(2x)(2x+2)(2x+4) = 4032$ $...(1)$
दिया गया है कि पहली और तीसरी संख्या का गुणनफल $252$ है,इसलिए:
$(2x)(2x+4) = 252$ $...(2)$
समीकरण $(2)$ का मान समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$(2x+2) \times 252 = 4032$
$2x+2 = \frac{4032}{252} = 16$
$2x = 16 - 2 = 14$
इस प्रकार,दूसरी संख्या $2x+2 = 16$ है।
दूसरी संख्या का पाँच गुना $5 \times 16 = 80$ है।

(D) जब $2^{23}$ को $10$ से विभाजित किया जाता है,तो शेषफल ज्ञात करने के लिए हमें $2^{23}$ का इकाई अंक ज्ञात करना होगा।
$2$ की घातों के इकाई अंकों के पैटर्न को देखें:
$2^1 = 2$
$2^2 = 4$
$2^3 = 8$
$2^4 = 16$ (इकाई अंक $6$ है)
$2^5 = 32$ (इकाई अंक $2$ है)
इकाई अंक $4$ के चक्र में दोहराते हैं: $(2, 4, 8, 6)$।
घातांक $23$ को चक्र की लंबाई $4$ से विभाजित करने पर: $23 = 4 \times 5 + 3$।
शेषफल $3$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $2^{23}$ का इकाई अंक $2^3$ के इकाई अंक के समान होगा।
चूंकि $2^3 = 8$ है,इसलिए $2^{23}$ का इकाई अंक $8$ है।
किसी भी संख्या को $10$ से विभाजित करने पर,शेषफल उसके इकाई अंक के बराबर होता है।
अतः,$2^{23}$ को $10$ से विभाजित करने पर शेषफल $8$ प्राप्त होता है।

(D) $(4387)^{245} \times (621)^{72}$ का इकाई अंक ज्ञात करने के लिए,हम आधारों के इकाई अंकों पर ध्यान केंद्रित करते हैं।
$1$. $(4387)^{245}$ के लिए,इकाई का अंक $7^{245}$ के समान है। $7$ की घातें $4$ के चक्र में दोहराती हैं: $7^1 = 7$,$7^2 = 9$,$7^3 = 3$,$7^4 = 1$।
$2$. घातांक $245$ को $4$ से विभाजित करने पर: $245 = 4 \times 61 + 1$। शेषफल $1$ प्राप्त होता है। अतः,$(4387)^{245}$ का इकाई अंक $7^1 = 7$ है।
$3$. $(621)^{72}$ के लिए,$1$ पर समाप्त होने वाली किसी भी संख्या की घात का इकाई अंक हमेशा $1$ होता है। अतः,$(621)^{72}$ का इकाई अंक $1$ है।
$4$. गुणनफल का इकाई अंक,इकाई अंकों का गुणनफल है: $7 \times 1 = 7$।

(D) मान लीजिए कि $a$ और $b$ दो विषम संख्याएँ हैं।
हम जानते हैं कि दो विषम संख्याओं का योग हमेशा एक सम संख्या होता है।
इसलिए,$a+b$ एक सम संख्या है।
साथ ही,दो विषम संख्याओं का गुणनफल हमेशा एक विषम संख्या होता है,इसलिए $ab$ एक विषम संख्या है।
अब,विकल्प $D$ पर विचार करें: $a+b+2ab$।
चूंकि $a+b$ सम है और $2ab$ भी सम है (क्योंकि किसी भी संख्या को $2$ से गुणा करने पर वह सम हो जाती है),और दो सम संख्याओं का योग हमेशा सम होता है।
इसलिए,$a+b+2ab$ एक सम संख्या है।

(C) हम $2^{16}-1$ को वर्गों के अंतर के रूप में लिख सकते हैं:
$2^{16}-1 = (2^8)^2 - 1^2$
सर्वसमिका $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(2^8 - 1)(2^8 + 1)$
चूंकि $2^8 = 256$,इसलिए:
$(256 - 1)(256 + 1) = 255 \times 257$
अब,हम दिए गए विकल्पों से विभाज्यता की जाँच करते हैं:
$255 = 15 \times 17$
अतः,चूंकि $255$,$2^{16}-1$ का एक गुणनखंड है,इसलिए यह व्यंजक $17$ से विभाज्य है।

(C) माना कि दो संख्याएँ $x$ और $y$ हैं।
दिया गया है कि संख्याओं का योग $x + y = 24$ है।
दिया गया है कि संख्याओं का गुणनफल $xy = 143$ है।
हमें उनके वर्गों का योग ज्ञात करना है,जो $x^2 + y^2$ है।
बीजगणितीय सर्वसमिका का उपयोग करते हुए: $(x + y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy$.
सर्वसमिका को $x^2 + y^2$ के लिए व्यवस्थित करने पर: $x^2 + y^2 = (x + y)^2 - 2xy$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $x^2 + y^2 = (24)^2 - 2(143)$.
वर्ग और गुणनफल की गणना करने पर: $x^2 + y^2 = 576 - 286$.
अतः,$x^2 + y^2 = 290$.

(D) $124$ का इकाई अंक $4$ है। हमें $4^{372} + 4^{373}$ का इकाई अंक ज्ञात करना है।
$4$ की घातों के पैटर्न को देखें:
$4^1 = 4$ (इकाई अंक $4$)
$4^2 = 16$ (इकाई अंक $6$)
$4^3 = 64$ (इकाई अंक $4$)
$4^4 = 256$ (इकाई अंक $6$)
यदि घात विषम (odd) है,तो इकाई अंक $4$ होता है। यदि घात सम (even) है,तो इकाई अंक $6$ होता है।
$(124)^{372}$ के लिए,घात $372$ सम है,इसलिए इकाई अंक $6$ है।
$(124)^{373}$ के लिए,घात $373$ विषम है,इसलिए इकाई अंक $4$ है।
इकाई अंकों का योग $6 + 4 = 10$ है।
अतः,योग का इकाई अंक $0$ है।

(A) माना कि दो संख्याएँ $x$ और $y$ हैं।
प्रश्न के अनुसार,संख्याओं का योग $(x + y)$ है।
योग को प्रत्येक संख्या से अलग-अलग गुणा करने पर:
$x(x + y) = 247$ $...(1)$
$y(x + y) = 114$ $...(2)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर:
$x(x + y) + y(x + y) = 247 + 114$
$(x + y)(x + y) = 361$
$(x + y)^2 = 361$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$x + y = \sqrt{361} = 19$
अतः,संख्याओं का योग $19$ है।

(A) माना कि वह संख्या $x$ है।
प्रश्न के अनुसार,संख्या का सातवां भाग उसके ग्यारहवें भाग से $100$ अधिक है।
$\Rightarrow \frac{1}{7}x - \frac{1}{11}x = 100$
$7$ और $11$ का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ $77$ लेने पर:
$\Rightarrow \frac{11x - 7x}{77} = 100$
$\Rightarrow \frac{4x}{77} = 100$
$\Rightarrow 4x = 7700$
$\Rightarrow x = \frac{7700}{4}$
$\Rightarrow x = 1925$
अतः,अभीष्ट संख्या $1925$ है।

(B) माना कि $x = \sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\cdots}}}$
चूंकि यह व्यंजक अनंत है,हम लिख सकते हैं:
$x = \sqrt{6+x}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$x^2 = 6+x$
द्विघात समीकरण के रूप में व्यवस्थित करने पर:
$x^2 - x - 6 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$(x-3)(x+2) = 0$
इससे $x = 3$ या $x = -2$ प्राप्त होता है।
चूंकि धनात्मक संख्या का वर्गमूल हमेशा धनात्मक होता है,इसलिए हम $x = -2$ को छोड़ देंगे।
अतः,$x = 3$।

(D) दिया गया है कि भाजक $= a$ और भाज्य $= b$ है।
प्रश्न के अनुसार,भाजक भागफल का $4$ गुना है,इसलिए भागफल $= \frac{a}{4}$ होगा।
भाजक शेषफल का दोगुना है,इसलिए शेषफल $= \frac{a}{2}$ होगा।
भाग एल्गोरिदम का उपयोग करते हुए: $\text{भाज्य} = (\text{भाजक} \times \text{भागफल}) + \text{शेषफल}$.
मान रखने पर: $b = (a \times \frac{a}{4}) + \frac{a}{2}$.
$b = \frac{a^2}{4} + \frac{a}{2} = \frac{a^2 + 2a}{4}$.
$4b = a^2 + 2a = a(a + 2)$.
अतः,$\frac{a(a+2)}{b} = 4$.

(C) कोई संख्या $11$ से तब विभाज्य होती है जब उसके विषम स्थानों के अंकों का योग और सम स्थानों के अंकों के योग का अंतर $0$ या $11$ का गुणज हो।
संख्या $738A6A$ के लिए:
विषम स्थानों के अंकों का योग = $A + A + 3 = 2A + 3$.
सम स्थानों के अंकों का योग = $6 + 8 + 7 = 21$.
अंतर = $(2A + 3) - 21 = 2A - 18$.
$11$ से विभाज्यता के लिए,$2A - 18 = 0$ रखने पर,
$2A = 18$
$A = 9$.

(C) माना कि दो संख्याएँ $a$ और $b$ हैं।
दिया गया है कि संख्याओं का गुणनफल $ab = 1575$ है और उनका भागफल $\frac{a}{b} = \frac{9}{7}$ है।
दोनों समीकरणों का गुणा करने पर: $(ab) \times (\frac{a}{b}) = 1575 \times \frac{9}{7}$ प्राप्त होता है।
यह सरल होकर $a^2 = 225 \times 9 = 2025$ हो जाता है।
वर्गमूल लेने पर,$a = \sqrt{2025} = 45$ प्राप्त होता है।
अब,$a = 45$ को भागफल वाले समीकरण में रखने पर: $\frac{45}{b} = \frac{9}{7}$।
$b$ का मान निकालने पर: $b = \frac{45 \times 7}{9} = 5 \times 7 = 35$।
अतः,संख्याओं का योग $a + b = 45 + 35 = 80$ है।

(C) जब $(67^{67} + 67)$ को $68$ से विभाजित किया जाता है,तो शेषफल ज्ञात करने के लिए हम शेषफल के गुणधर्म का उपयोग कर सकते हैं।
हम जानते हैं कि जब $(a - 1)^n$ को $a$ से विभाजित किया जाता है,तो शेषफल $(-1)^n$ प्राप्त होता है,जहाँ $a$ भाजक है।
यहाँ,$a = 68$ और $n = 67$ है।
अतः,$67^{67} = (68 - 1)^{67}$ होगा।
जब $(68 - 1)^{67}$ को $68$ से विभाजित किया जाता है,तो शेषफल $(-1)^{67} = -1$ प्राप्त होता है।
अब,हम शेष पद $67$ को इस शेषफल में जोड़ते हैं:
शेषफल $= -1 + 67 = 66$।
चूंकि शेषफल धनात्मक और भाजक से छोटा होना चाहिए,इसलिए अंतिम शेषफल $66$ है।

(C) माना कि दिया गया व्यंजक $E = 3011 \times 3012$ है।
हम $3012$ को $(3011 + 1)$ के रूप में लिख सकते हैं।
अतः,$E = 3011 \times (3011 + 1) = (3011)^2 + 3011$।
इस व्यंजक को पूर्ण वर्ग बनाने के लिए,हमें इसमें से एक ऐसी संख्या $x$ घटानी होगी ताकि $(3011)^2 + 3011 - x = k^2$ हो,जहाँ $k$ कोई पूर्णांक है।
यदि हम $3011$ घटाते हैं,तो हमें $(3011)^2 + 3011 - 3011 = (3011)^2$ प्राप्त होता है,जो कि एक पूर्ण वर्ग है।
अतः,घटाई जाने वाली न्यूनतम धनात्मक पूर्णांक संख्या $3011$ है।

(D) नौ क्रमागत विषम संख्याओं का औसत $\frac{621}{9} = 69$ है।
चूंकि नौ संख्याएँ हैं,इसलिए मध्य संख्या ($5$वीं संख्या) $69$ है।
क्रमागत विषम संख्याओं के लिए,दो क्रमागत पदों के बीच का अंतर $2$ होता है। अतः,समुच्चय $A$ की सबसे छोटी संख्या $69 - (4 \times 2) = 69 - 8 = 61$ होगी।
छह क्रमागत सम संख्याओं के नए समुच्चय की सबसे छोटी संख्या $61 + 15 = 76$ है।
ये छह क्रमागत सम संख्याएँ $76, 78, 80, 82, 84, 86$ हैं।
इन संख्याओं का योग $\frac{n}{2}[2a + (n-1)d]$ सूत्र द्वारा प्राप्त होता है,जहाँ $n=6, a=76, d=2$ है।
योग $= \frac{6}{2}[2(76) + (6-1)2] = 3[152 + 10] = 3[162] = 486$.

(D) मान लीजिए कि दो क्रमागत सम संख्याएँ $x$ और $x+2$ हैं।
प्रश्न के अनुसार,उनके वर्गों का योग $6500$ है।
$x^{2} + (x+2)^{2} = 6500$
$x^{2} + x^{2} + 4x + 4 = 6500$
$2x^{2} + 4x - 6496 = 0$
पूरे समीकरण को $2$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$x^{2} + 2x - 3248 = 0$
इस द्विघात समीकरण को हल करने के लिए,हम इसका गुणनखंड करते हैं:
$x^{2} + 58x - 56x - 3248 = 0$
$x(x + 58) - 56(x + 58) = 0$
$(x + 58)(x - 56) = 0$
इससे $x = 56$ या $x = -58$ प्राप्त होता है।
चूंकि हम धनात्मक सम संख्याएँ ढूँढ रहे हैं,इसलिए हम $x = 56$ लेंगे।
अतः दो क्रमागत सम संख्याएँ $56$ और $58$ हैं।
छोटी संख्या $56$ है।

(D) माना सेट-$A$ की पाँच क्रमागत सम संख्याएँ $x, x+2, x+4, x+6,$ और $x+8$ हैं।
प्रश्न के अनुसार,उनका योग $220$ है:
$x + (x+2) + (x+4) + (x+6) + (x+8) = 220$
$5x + 20 = 220$
$5x = 200$
$x = 40$.
अतः,सेट-$A$ की सबसे छोटी संख्या $40$ है।
अब,पाँच क्रमागत संख्याओं का एक अलग सेट लें। माना सबसे छोटी संख्या $y$ है। दूसरी सबसे छोटी संख्या $y+1$ है।
प्रश्न के अनुसार,दूसरी सबसे छोटी संख्या सेट-$A$ की सबसे छोटी संख्या के दोगुने से $37$ कम है:
$y+1 = (2 \times 40) - 37$
$y+1 = 80 - 37 = 43$
$y = 42$.
अतः पाँच क्रमागत संख्याएँ $42, 43, 44, 45,$ और $46$ हैं।
उनका योग $42 + 43 + 44 + 45 + 46 = 220$ है।

(A) माना कि संख्या $x$ है। विभाजन एल्गोरिथ्म के अनुसार,हम लिख सकते हैं:
$x = 296k + 75$,जहाँ $k$ एक पूर्णांक है।
हमें $x$ को $37$ से विभाजित करने पर प्राप्त शेषफल ज्ञात करना है।
हम $296$ को $37 \times 8$ और $75$ को $(37 \times 2) + 1$ के रूप में लिख सकते हैं।
इन मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$x = (37 \times 8)k + (37 \times 2) + 1$
$x = 37(8k + 2) + 1$
यह दर्शाता है कि $x$,$37m + 1$ के रूप में है,जहाँ $m = 8k + 2$ है।
अतः,जब संख्या को $37$ से विभाजित किया जाता है,तो शेषफल $1$ प्राप्त होता है।

(C) मान लीजिए कि दो संख्याएँ $a$ और $b$ हैं।
प्रश्न के अनुसार,संख्याओं का योग $a + b = 12$ है और संख्याओं का गुणनफल $ab = 35$ है।
हमें उनके व्युत्क्रमों का योग ज्ञात करना है,जो $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ है।
हर समान करने पर,हमें $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{a + b}{ab}$ प्राप्त होता है।
दिए गए मानों को रखने पर,हमें $\frac{12}{35}$ प्राप्त होता है।

(C) $\sqrt{5}, \sqrt[3]{4}, \sqrt[5]{2}, \sqrt[7]{3}$ संख्याओं की तुलना करने के लिए,हम उन्हें समान घात (मूल) में व्यक्त करते हैं।
यहाँ घात $2, 3, 5, 7$ हैं। इन घातों का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ $2 \times 3 \times 5 \times 7 = 210$ है।
अब,प्रत्येक संख्या को $210$ वें मूल में बदलें:
$1$. $\sqrt{5} = 5^{1/2} = 5^{105/210} = \sqrt[210]{5^{105}}$
$2$. $\sqrt[3]{4} = 4^{1/3} = 4^{70/210} = \sqrt[210]{4^{70}}$
$3$. $\sqrt[5]{2} = 2^{1/5} = 2^{42/210} = \sqrt[210]{2^{42}}$
$4$. $\sqrt[7]{3} = 3^{1/7} = 3^{30/210} = \sqrt[210]{3^{30}}$
आधारों की तुलना करने पर: $5^{105}$ स्पष्ट रूप से $5^{105}, 4^{70}, 2^{42}, 3^{30}$ में सबसे बड़ा मान है।
अतः,$\sqrt{5}$ सबसे बड़ी संख्या है।

(C) माना कि दो संख्याएँ $x$ और $y$ हैं।
दिया गया है कि उनके अंतर,योग और गुणनफल का अनुपात $1: 7: 24$ है।
माना कि उभयनिष्ठ गुणक $a$ है। तब:
$x - y = 1a$
$x + y = 7a$
$xy = 24a$
पहले दो समीकरणों को जोड़ने पर: $(x - y) + (x + y) = 1a + 7a \Rightarrow 2x = 8a \Rightarrow x = 4a$.
दूसरे समीकरण में से पहले को घटाने पर: $(x + y) - (x - y) = 7a - 1a \Rightarrow 2y = 6a \Rightarrow y = 3a$.
अब,$x$ और $y$ का मान गुणनफल वाले समीकरण में रखने पर:
$xy = (4a)(3a) = 12a^2$.
चूँकि $xy = 24a$,इसलिए $12a^2 = 24a$.
$12a$ से भाग देने पर ($a \neq 0$ मानते हुए),हमें $a = 2$ प्राप्त होता है।
अतः संख्याओं का गुणनफल $xy = 24a = 24 \times 2 = 48$ है।

(D) माना समुच्चय $A$ की पाँच क्रमागत सम संख्याएँ $x, x+2, x+4, x+6, x+8$ हैं।
प्रश्न के अनुसार,उनका योग $220$ है:
$x + (x+2) + (x+4) + (x+6) + (x+8) = 220$
$5x + 20 = 220$
$5x = 200$
$x = 40$.
समुच्चय $A$ की सबसे छोटी संख्या $40$ है।
माना नए समुच्चय $B$ की दूसरी सबसे छोटी संख्या $y$ है। प्रश्न के अनुसार,$y = (2 \times 40) - 37 = 80 - 37 = 43$.
चूंकि समुच्चय $B$ में पाँच क्रमागत संख्याएँ हैं,यदि दूसरी सबसे छोटी संख्या $43$ है,तो वे संख्याएँ $42, 43, 44, 45, 46$ होंगी।
इन संख्याओं का योग $42 + 43 + 44 + 45 + 46 = 220$ है।

(A) माना पहली संख्या $f$ है और दूसरी संख्या $s$ है।
प्रश्न के अनुसार,हमारे पास निम्नलिखित रैखिक समीकरण निकाय हैं:
$2f + 3s = 100$ $...(1)$
$3f + 2s = 120$ $...(2)$
इस निकाय को हल करने के लिए,समीकरण $(1)$ को $2$ से और समीकरण $(2)$ को $3$ से गुणा करें:
$4f + 6s = 200$ $...(3)$
$9f + 6s = 360$ $...(4)$
समीकरण $(4)$ में से समीकरण $(3)$ को घटाने पर:
$(9f - 4f) + (6s - 6s) = 360 - 200$
$5f = 160$
$f = 32$
अब,$f = 32$ का मान समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$2(32) + 3s = 100$
$64 + 3s = 100$
$3s = 36$
$s = 12$
अतः,दो संख्याएँ $32$ और $12$ हैं। इनकी तुलना करने पर,बड़ी संख्या $32$ है।