Numbers Questions in Hindi

(D) भाज्य, भाजक, भागफल और शेषफल के बीच का संबंध निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
भाज्य $= (\text{भाजक} \times \text{भागफल}) + \text{शेषफल}$
दिया गया है:
भाजक $= 38$
भागफल $= 90$
शेषफल $= 19$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
भाज्य $= (38 \times 90) + 19$
भाज्य $= 3420 + 19$
भाज्य $= 3439$
अतः, वह संख्या $3439$ है।

(A) दी गई श्रृंखला एक समांतर श्रेणी है जहाँ प्रथम पद $a = 90$,अंतिम पद $l = 110$ है और पदों की संख्या $n$ का मान $n = (110 - 90) + 1 = 21$ है।
समांतर श्रेणी के योग का सूत्र $S_n = \frac{n}{2}(a + l)$ होता है।
मान रखने पर: $S_{21} = \frac{21}{2}(90 + 110)$.
$S_{21} = \frac{21}{2}(200)$.
$S_{21} = 21 \times 100 = 2100$.

(D) यदि किसी संख्या के अंकों का योग $9$ से विभाज्य है,तो वह संख्या $9$ से पूर्णतः विभाज्य होती है।
दी गई संख्या $583x437$ है।
अंकों का योग $5 + 8 + 3 + x + 4 + 3 + 7 = 30 + x$ है।
संख्या के $9$ से विभाज्य होने के लिए,$(30 + x)$ को $9$ का गुणज होना चाहिए।
$30$ से बड़े $9$ के गुणज $36, 45, \dots$ हैं।
$30 + x = 36$ रखने पर,हमें $x = 36 - 30 = 6$ प्राप्त होता है।
अतः,$x$ के स्थान पर सबसे छोटी पूर्ण संख्या $6$ है।

(A) पाँच अंकों की सबसे छोटी संख्या $10000$ है।
$88$ से विभाज्य पाँच अंकों की सबसे छोटी संख्या ज्ञात करने के लिए,हम $10000$ को $88$ से विभाजित करते हैं।
$10000 \div 88 = 113$ और शेषफल $56$ प्राप्त होता है।
$88$ का अगला गुणज ज्ञात करने के लिए,हम गणना करते हैं: $88 - 56 = 32$।
इस अंतर को पाँच अंकों की सबसे छोटी संख्या में जोड़ने पर: $10000 + 32 = 10032$।
सत्यापन: $10032 \div 88 = 114$। अतः,$10032$ वह अभीष्ट संख्या है जो $88$ से पूर्णतः विभाज्य है।

(A) कोई संख्या $11$ से विभाज्य होती है यदि विषम स्थानों पर स्थित अंकों के योग और सम स्थानों पर स्थित अंकों के योग का अंतर $0$ या $11$ का गुणज हो।
संख्या $34N$ के लिए,अंक $3, 4, N$ हैं।
एकांतर योग $(3 + N) - 4$ है।
संख्या के $11$ से विभाज्य होने के लिए,यह अंतर $0$ होना चाहिए।
$(3 + N) - 4 = 0$
$N - 1 = 0$
$N = 1$.
अतः,संख्या $341$ है,जो $11 \times 31$ है।

(C) $36$ के धनात्मक गुणनखंडों की संख्या ज्ञात करने के लिए,हम पहले इसका अभाज्य गुणनखंडन करते हैं।
$36 = 6 \times 6 = (2 \times 3) \times (2 \times 3) = 2^{2} \times 3^{2}$।
यदि किसी संख्या को $p^{a} \times q^{b}$ के रूप में व्यक्त किया जाता है,जहाँ $p$ और $q$ अभाज्य संख्याएँ हैं,तो गुणनखंडों की कुल संख्या $(a+1)(b+1)$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$a = 2$ और $b = 2$ है।
अतः,गुणनखंडों की संख्या $= (2+1) \times (2+1) = 3 \times 3 = 9$।

(B) प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं का योग ज्ञात करने का सूत्र $S = \frac{n(n+1)}{2}$ है।
$n = 12$ के लिए,योग $S = \frac{12 \times (12+1)}{2} = \frac{12 \times 13}{2} = 78$ होगा।
माना कि दो बार जोड़ी गई संख्या $x$ है।
नया योग मूल योग और अतिरिक्त संख्या का योग है: $S_{new} = S + x.$
दिया गया है कि $S_{new} = 80,$ इसलिए $80 = 78 + x.$
अतः,$x = 80 - 78 = 2.$
वह संख्या जिसे दो बार जोड़ा गया है,वह $2$ है।

(C) सबसे पहले,$1$ और $200$ के बीच $3$ से विभाज्य संख्याओं की गणना करें। यह $lfloor 200/3 floor = 66$ द्वारा प्राप्त होता है।
इसके बाद,उन संख्याओं की पहचान करें जो $3$ और $7$ दोनों से विभाज्य हैं। चूँकि $3$ और $7$ सह-अभाज्य हैं,इसलिए ये $\text{lcm}(3, 7) = 21$ के गुणज होंगे।
$1$ और $200$ के बीच $21$ से विभाज्य संख्याओं की संख्या $lfloor 200/21 floor = 9$ है।
$3$ से विभाज्य लेकिन $7$ से विभाज्य न होने वाली संख्याएँ ज्ञात करने के लिए,$3$ के गुणजों की संख्या में से $21$ के गुणजों की संख्या को घटाएं।
परिणाम $= 66 - 9 = 57$.

(C) $3401$ को $11$ से विभाजित करने पर शेषफल ज्ञात करने के लिए,हम भाग देते हैं:
$3401 \div 11 = 309$ और शेषफल $2$ प्राप्त होता है।
$3401 = 11 \times 309 + 2$।
अतः,यदि हम $3401$ में से $2$ घटाते हैं,तो प्राप्त संख्या $3399$ पूर्णतः $11$ से विभाज्य होगी $(3399 \div 11 = 309)$।

(A) जब $2468$ को $37$ से विभाजित किया जाता है,तो शेषफल ज्ञात करने के लिए हम भाग की प्रक्रिया करते हैं:
$2468 \div 37$
सबसे पहले,$246$ को $37$ से विभाजित करें: $37 \times 6 = 222$।
$246$ में से $222$ घटाएं: $246 - 222 = 24$।
अब $8$ को नीचे लाएं ताकि संख्या $248$ बन जाए।
अब,$248$ को $37$ से विभाजित करें: $37 \times 6 = 222$।
$248$ में से $222$ घटाएं: $248 - 222 = 26$।
अतः,शेषफल $26$ प्राप्त होता है।

(B) कोई संख्या $9$ से विभाज्य होती है यदि उसके अंकों का योग $9$ से विभाज्य हो।
संख्या $432P1$ के लिए,अंकों का योग $4 + 3 + 2 + P + 1 = 10 + P$ है।
इस योग को $9$ से विभाज्य होने के लिए,$10$ से बड़ी $9$ की अगली गुणज संख्या $18$ है।
अतः,$10 + P = 18$।
$P$ का मान ज्ञात करने पर,हमें $P = 18 - 10 = 8$ प्राप्त होता है।

(C) एक संख्या $12$ से विभाज्य होती है यदि वह $3$ और $4$ दोनों से विभाज्य हो,क्योंकि $12 = 3 \times 4$ होता है।
$(i)$ $3$ से विभाज्यता के लिए,अंकों का योग $3$ से विभाज्य होना चाहिए। $34M$ के अंकों का योग $3 + 4 + M = 7 + M$ है।
यदि $M = 2$ है,तो योग $= 9$ ($3$ से विभाज्य)।
यदि $M = 5$ है,तो योग $= 12$ ($3$ से विभाज्य)।
यदि $M = 8$ है,तो योग $= 15$ ($3$ से विभाज्य)।
$(ii)$ $4$ से विभाज्यता के लिए,संख्या के अंतिम दो अंक $4$ से विभाज्य होने चाहिए। अंतिम दो अंक $4M$ हैं।
$4M$ के $4$ से विभाज्य होने के लिए संभावित मान $40, 44, 48$ हैं (जहाँ $M = 0, 4, 8$ हो सकता है)।
$(i)$ और $(ii)$ की शर्तों की तुलना करने पर,$M$ के लिए एकमात्र सामान्य मान $8$ है।
अतः,$348$ संख्या $12$ से विभाज्य है $(348 / 12 = 29)$।

(D) $160$ के धनात्मक गुणनखंडों की संख्या ज्ञात करने के लिए,हम पहले $160$ का अभाज्य गुणनखंडन करते हैं।
$160 = 16 \times 10$
$160 = 2^{4} \times (2 \times 5)$
$160 = 2^{5} \times 5^{1}$
यदि किसी संख्या को $p^{a} \times q^{b}$ के रूप में व्यक्त किया जाता है,जहाँ $p$ और $q$ अभाज्य संख्याएँ हैं,तो गुणनखंडों की कुल संख्या $(a+1)(b+1)$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$a = 5$ और $b = 1$ है।
गुणनखंडों की कुल संख्या $= (5+1) \times (1+1)$
$= 6 \times 2 = 12$.

(B) $\frac{2}{3}$,$\frac{4}{5}$ और $\frac{7}{11}$ भिन्नों की तुलना करने के लिए,हम उन्हें दशमलव रूप में बदलते हैं:
$1$. $\frac{2}{3} = 0.666...$
$2$. $\frac{4}{5} = 0.8$
$3$. $\frac{7}{11} = 0.6363...$
दशमलव मानों की तुलना करने पर: $0.8 > 0.666... > 0.6363...$
अतः,सबसे बड़ा भिन्न $\frac{4}{5}$ है।

(C) $\frac{3}{7}, \frac{5}{11}$ और $\frac{6}{13}$ भिन्नों की तुलना करने के लिए,हम उन्हें दशमलव रूप में बदलते हैं:
$\frac{3}{7} \approx 0.428$
$\frac{5}{11} \approx 0.454$
$\frac{6}{13} \approx 0.461$
दशमलव मानों की तुलना करने पर,$0.461 > 0.454 > 0.428$ प्राप्त होता है।
अतः,सबसे बड़ा भिन्न $\frac{6}{13}$ है।

(C) एक अभाज्य संख्या $1$ से बड़ी वह प्राकृतिक संख्या है जिसका $1$ और स्वयं के अलावा कोई अन्य धनात्मक भाजक नहीं होता है।
सबसे बड़ी दो अंकों की अभाज्य संख्या ज्ञात करने के लिए,हम $99$ से नीचे की संख्याओं की जाँच करते हैं:
$1$. $99$ संख्या $3, 9, 11, 33$ से विभाज्य है,इसलिए यह अभाज्य नहीं है।
$2$. $98$ एक सम संख्या है,इसलिए यह $2$ से विभाज्य है,अतः यह अभाज्य नहीं है।
$3$. $97$ का $1$ और $97$ के अलावा कोई अन्य भाजक नहीं है। इसलिए,$97$ एक अभाज्य संख्या है।
अतः,सबसे बड़ी दो अंकों की अभाज्य संख्या $97$ है।

(A) दीवार बनाने के लिए आवश्यक कुल समय $70$ घंटे है।
राजमिस्त्री ने पहले ही $7$ घंटे काम कर लिया है।
दीवार को पूरा करने के लिए शेष समय $70 - 7 = 63$ घंटे है।
दीवार का जो भाग अभी बनना बाकी है,उसे शेष घंटों को कुल घंटों से विभाजित करके प्राप्त किया जा सकता है:
$\text{भाग} = \frac{63}{70} = \frac{9}{10} = 0.9$.

(C) माना पहली टोकरी में संतरों की संख्या $x$ है और दूसरी टोकरी में $y$ है।
दिया गया है कि $x + y = 640$ है।
यदि पहली टोकरी से $\frac{1}{5}$ संतरे दूसरी टोकरी में ले जाए जाते हैं,तो पहली टोकरी में बचे संतरे $x - \frac{1}{5}x = \frac{4}{5}x$ होंगे।
दूसरी टोकरी में संतरों की संख्या $y + \frac{1}{5}x$ हो जाएगी।
चूंकि दोनों टोकरियों में संतरों की संख्या बराबर हो जाती है,इसलिए $\frac{4}{5}x = y + \frac{1}{5}x$ होगा।
इसे सरल करने पर $y = \frac{3}{5}x$ प्राप्त होता है।
पहले समीकरण में $y$ का मान रखने पर: $x + \frac{3}{5}x = 640$।
$\frac{8}{5}x = 640$।
$x = 640 \times \frac{5}{8} = 80 \times 5 = 400$।
अतः,पहली टोकरी में संतरों की संख्या $400$ है।

(A) भिन्नों $\frac{3}{5}$ और $\frac{7}{9}$ को जोड़ने के लिए,हम सबसे पहले हर (denominators) $5$ और $9$ का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ ज्ञात करते हैं।
$5$ और $9$ का $LCM$ $45$ है।
अब,दोनों भिन्नों को $45$ के हर में परिवर्तित करें:
$\frac{3}{5} = \frac{3 \times 9}{5 \times 9} = \frac{27}{45}$
$\frac{7}{9} = \frac{7 \times 5}{9 \times 5} = \frac{35}{45}$
इन भिन्नों को जोड़ने पर:
$\frac{27}{45} + \frac{35}{45} = \frac{27 + 35}{45} = \frac{62}{45}$.

(D) माना कि संख्या $x$ है।
प्रश्न के अनुसार,संख्या और उसके व्युत्क्रम के दोगुने का योग $\frac{33}{4}$ है।
अतः,$x + 2(\frac{1}{x}) = \frac{33}{4}$.
हर को हटाने के लिए पूरे समीकरण को $4x$ से गुणा करने पर:
$4x^2 + 8 = 33x$.
पदों को पुनर्व्यवस्थित करके द्विघात समीकरण बनाने पर:
$4x^2 - 33x + 8 = 0$.
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$4x^2 - 32x - x + 8 = 0$.
$4x(x - 8) - 1(x - 8) = 0$.
$(4x - 1)(x - 8) = 0$.
इससे $x$ के दो संभावित मान प्राप्त होते हैं: $x = \frac{1}{4}$ या $x = 8$.
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,सही मान $8$ है।

(NONE) चरण $1$: दी गई भिन्नों के व्युत्क्रम ज्ञात कीजिए।
$\frac{6}{5}$ का व्युत्क्रम $\frac{5}{6}$ है।
$\frac{3}{7}$ का व्युत्क्रम $\frac{7}{3}$ है।
चरण $2$: इन व्युत्क्रमों का योग ज्ञात कीजिए।
योग $= \frac{5}{6} + \frac{7}{3} = \frac{5 + 14}{6} = \frac{19}{6}$.
चरण $3$: चरण $2$ में प्राप्त योग का व्युत्क्रम ज्ञात कीजिए।
$\frac{19}{6}$ का व्युत्क्रम $\frac{6}{19}$ है।

(A) माना लड़कियों की संख्या $x$ है और लड़कों की संख्या $y$ है।
कुल छात्रों की संख्या $= x + y$.
भाग लेने वाली लड़कियों की संख्या $= \frac{1}{5}x$.
भाग लेने वाले लड़कों की संख्या $= \frac{1}{8}y$.
भाग लेने वाले कुल छात्रों की संख्या $= \frac{1}{5}x + \frac{1}{8}y = \frac{8x + 5y}{40}$.
कुल छात्रों में से भाग लेने वाले छात्रों का भाग $= \frac{\text{कुल प्रतिभागी}}{\text{कुल छात्र}} = \frac{\frac{8x + 5y}{40}}{x + y} = \frac{8x + 5y}{40(x + y)}$.
नोट: यदि लड़कों और लड़कियों की संख्या समान मानी जाए $(x = y)$:
$\frac{8x + 5x}{40(x + x)} = \frac{13x}{40(2x)} = \frac{13}{80}$.

(B) माना कि भिन्न $x$ है।
प्रश्न के अनुसार,भिन्न अपने व्युत्क्रम के दोगुने से $\frac{7}{15}$ अधिक है।
अतः,समीकरण होगा: $x - 2(\frac{1}{x}) = \frac{7}{15}$.
हर को हटाने के लिए $15x$ से गुणा करने पर: $15x^2 - 30 = 7x$.
इसे मानक द्विघात समीकरण के रूप में व्यवस्थित करने पर: $15x^2 - 7x - 30 = 0$.
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $15x^2 - 25x + 18x - 30 = 0$.
$5x(3x - 5) + 6(3x - 5) = 0$.
$(5x + 6)(3x - 5) = 0$.
इससे $x = \frac{5}{3}$ या $x = -\frac{6}{5}$ प्राप्त होता है।
दिए गए विकल्पों की तुलना करने पर,सही भिन्न $\frac{5}{3}$ है।

(A) माना कि भिन्न $x$ है।
प्रश्न के अनुसार,भिन्न अपने व्युत्क्रम से $\frac{9}{20}$ अधिक है,इसलिए:
$x - \frac{1}{x} = \frac{9}{20}$
हर को हटाने के लिए पूरे समीकरण को $20x$ से गुणा करने पर:
$20x^2 - 20 = 9x$
इसे मानक द्विघात समीकरण के रूप में व्यवस्थित करने पर:
$20x^2 - 9x - 20 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$20x^2 - 16x + 25x - 20 = 0$
$4x(5x - 4) + 5(5x - 4) = 0$
$(4x + 5)(5x - 4) = 0$
इससे $x$ के दो संभावित मान प्राप्त होते हैं:
$x = -\frac{5}{4}$ या $x = \frac{4}{5}$ गलत है। आइए पुनः जाँच करें:
यदि $x = \frac{5}{4}$ है,तो इसका व्युत्क्रम $\frac{4}{5}$ होगा।
अंतर: $\frac{5}{4} - \frac{4}{5} = \frac{25 - 16}{20} = \frac{9}{20}$.
अतः,वह भिन्न $\frac{5}{4}$ है।

(D) माना कि संख्या $x$ है।
प्रश्न के अनुसार,संख्या अपने व्युत्क्रम के $58$ गुना से $\frac{3}{4}$ अधिक है।
अतः,$x - \frac{58}{x} = \frac{3}{4}$.
$4x$ से गुणा करने पर,हमें $4x^2 - 232 = 3x$ प्राप्त होता है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें द्विघात समीकरण $4x^2 - 3x - 232 = 0$ प्राप्त होता है।
द्विघात सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर,जहाँ $a = 4, b = -3, c = -232$ है:
$x = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(4)(-232)}}{8}$
$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 3712}}{8}$
$x = \frac{3 \pm 61}{8}$
धनात्मक मूल लेने पर: $x = \frac{64}{8} = 8$.
ऋणात्मक मूल लेने पर: $x = \frac{-58}{8} = -7.25$.
चूंकि $8$ दिए गए विकल्पों में से एक है,इसलिए सही संख्या $8$ है।

(B) मान लीजिए कि नातु के पास $N$ संतरे हैं और बुचकु के पास $B$ संतरे हैं।
पहले कथन के अनुसार: $N + 10 = 2(B - 10)$.
इसे सरल करने पर: $N + 10 = 2B - 20$,जिससे $2B - N = 30$ प्राप्त होता है (समीकरण $1$)।
दूसरे कथन के अनुसार: $B + 10 = N - 10$.
इसे सरल करने पर: $N - B = 20$ (समीकरण $2$)।
समीकरण $2$ से,हमें $N = B + 20$ प्राप्त होता है।
इस मान को समीकरण $1$ में रखने पर: $2B - (B + 20) = 30$.
$2B - B - 20 = 30$,अतः $B = 50$.
अब,$N = 50 + 20 = 70$.
इस प्रकार,नातु के पास $70$ संतरे और बुचकु के पास $50$ संतरे हैं।

(A) माना कि दो अंकों की संख्या $10x + y$ है,जहाँ $x$ दहाई का अंक है और $y$ इकाई का अंक है।
प्रश्न के अनुसार,दहाई का अंक इकाई के अंक से $7$ अधिक है: $x = y + 7$.
संख्या का मान $10x + y$ है।
जब अंकों को आपस में बदल दिया जाता है,तो नई संख्या $10y + x$ बन जाती है।
प्रश्न के अनुसार,मूल संख्या में से $63$ घटाने पर नई संख्या प्राप्त होती है:
$(10x + y) - 63 = 10y + x$
$9x - 9y = 63$
$x - y = 7$
$x = y + 7$ को समीकरण में रखने पर:
$(y + 7) - y = 7$,जो किसी भी $y$ के लिए सत्य है।
हालाँकि,हम जानते हैं कि $x$ और $y$ अंक हैं। चूँकि $x = y + 7$ और $x \le 9$ है,इसलिए $y$ के संभावित मान $0, 1, 2$ हैं।
यदि $y = 1$ है,तो $x = 8$ होगा। अतः संख्या $81$ है।
जाँच: $81 - 63 = 18$,जो अंकों को पलटने पर प्राप्त संख्या है। अतः,वह संख्या $81$ है।

(D) माना कि दो संख्याएँ $n$ और $n+2$ हैं। बड़ी संख्या $n+2$ है।
दिया गया है कि बड़ी संख्या हर $D$ से छोटी है,इसलिए $n+2 < D$ है।
माना भिन्न $f(n) = \frac{n(n+2)}{D}$ है।
न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,हम अंश में द्विघात व्यंजक का विश्लेषण करते हैं।
एक निश्चित हर $D$ के लिए,व्यंजक $n^2 + 2n$ एक ऊपर की ओर खुलने वाला परवलय दर्शाता है।
इस परवलय का शीर्ष $n = -b/2a = -2/2 = -1$ पर है।
यदि हम हर $D=5$ मान लें,तो भिन्न $f(n) = \frac{n^2+2n}{5}$ होगा।
$n=0$ के लिए,$f(0) = 0$ है।
$n=-1$ के लिए,$f(-1) = \frac{1-2}{5} = -\frac{1}{5}$ है।
$n=-2$ के लिए,$f(-2) = 0$ है।
अतः,न्यूनतम मान $-\frac{1}{5}$ है।

(C) दिया गया है कि शेषफल $r = 46$ है।
भाजक $d$,शेषफल $r$ का $5$ गुना है,इसलिए $d = 5 \times 46 = 230$ है।
भाजक $d$,भागफल $q$ का $10$ गुना भी है,इसलिए $10q = 230$,जिसका अर्थ है कि $q = 23$ है।
भाग के नियम का उपयोग करते हुए: $\text{भाज्य} = (\text{भाजक} \times \text{भागफल}) + \text{शेषफल}$.
मान रखने पर: $\text{भाज्य} = (230 \times 23) + 46$.
गुणनफल ज्ञात करने पर: $230 \times 23 = 5290$.
शेषफल जोड़ने पर: $5290 + 46 = 5336$.
अतः,भाज्य $5336$ है।

(C) भाज्य, भाजक, भागफल और शेषफल के बीच का संबंध इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\text{भाज्य} = (\text{भाजक} \times \text{भागफल}) + \text{शेषफल}$.
दिया गया है: $\text{भाजक} = 44$, $\text{भागफल} = 432$, $\text{शेषफल} = 0$.
अतः, $\text{भाज्य} = (44 \times 432) + 0 = 19008$.
अब, हमें $19008$ को $31$ से विभाजित करने पर प्राप्त शेषफल ज्ञात करना है।
विभाजन करने पर: $19008 \div 31 = 613$ और शेषफल प्राप्त होता है।
$19008 = 31 \times 613 + 5$.
इस प्रकार, शेषफल $5$ है।

(B) माना कि संख्या $N$ है। विभाजन एल्गोरिथ्म के अनुसार,$N = 729q + 56$,जहाँ $q$ भागफल है।
हमें $N$ को $27$ से विभाजित करने पर प्राप्त शेषफल ज्ञात करना है।
हम $N$ को इस प्रकार लिख सकते हैं: $N = (27 \times 27)q + 56$.
चूँकि $729 = 27^2$,इसलिए $729$,$27$ का एक गुणज है।
अब,$56$ को $27$ से विभाजित करने पर शेषफल प्राप्त होता है: $56 = 27 \times 2 + 2$.
अतः,$N = 27(27q + 2) + 2$.
यह दर्शाता है कि जब $N$ को $27$ से विभाजित किया जाता है,तो शेषफल $2$ प्राप्त होता है।

(D) सबसे छोटी $6$-अंकीय संख्या $100000$ है।
शेषफल ज्ञात करने के लिए $100000$ को $108$ से विभाजित करें:
$100000 \div 108 = 925$ और शेषफल $100$ प्राप्त होता है।
$108$ से विभाज्य सबसे छोटी $6$-अंकीय संख्या ज्ञात करने के लिए,हम गणना करते हैं:
$108 - \text{शेषफल} = 108 - 100 = 8$.
इस अंतर को सबसे छोटी $6$-अंकीय संख्या में जोड़ें:
$100000 + 8 = 100008$.
अतः,$100008$ वह सबसे छोटी $6$-अंकीय संख्या है जो $108$ से पूर्णतः विभाज्य है।

(C) माना कि वह संख्या $N$ है। प्रश्न के अनुसार,जब $N$ को $56$ से विभाजित किया जाता है,तो शेषफल $29$ प्राप्त होता है।
इसे $N = 56k + 29$ के रूप में लिखा जा सकता है,जहाँ $k$ एक पूर्णांक है।
हमें $N$ को $8$ से विभाजित करने पर प्राप्त शेषफल ज्ञात करना है।
व्यंजक में $N$ का मान रखने पर: $N = 8(7k) + 29.$
अब,$29$ को $8$ से विभाजित करने पर शेषफल प्राप्त होता है: $29 = 8 \times 3 + 5.$
अतः,$N = 8(7k) + 8(3) + 5 = 8(7k + 3) + 5.$
इस प्रकार,जब $N$ को $8$ से विभाजित किया जाता है,तो शेषफल $5$ प्राप्त होता है।

(B) भाजक $= 555 + 445 = 1000$
भागफल $= 2 \times (555 - 445) = 2 \times 110 = 220$
शेषफल $= 30$
विभाजन एल्गोरिथ्म का उपयोग करने पर: $\text{भाज्य} = (\text{भाजक} \times \text{भागफल}) + \text{शेषफल}$
भाज्य $= (1000 \times 220) + 30$
भाज्य $= 220000 + 30 = 220030$

(B) माना कि दूसरी संख्या $x$ है।
प्रश्न के अनुसार:
पहली संख्या $= \frac{x}{2}$
तीसरी संख्या $= \frac{x}{4}$
तीनों संख्याओं का योग $2$ है,इसलिए:
$\frac{x}{2} + x + \frac{x}{4} = 2$
$x$ का मान ज्ञात करने के लिए,हर समान करने पर (लघुत्तम समापवर्त्य $4$ लेने पर):
$\frac{2x + 4x + x}{4} = 2$
$\frac{7x}{4} = 2$
$7x = 8$
$x = \frac{8}{7}$
अतः,दूसरी संख्या $\frac{8}{7}$ है।

(A) माना कि वह संख्या $x$ है।
प्रश्न के अनुसार,संख्या में $\frac{1}{2}$ (जो $0.5$ है) जोड़ने पर $(x + 0.5)$ प्राप्त होता है।
इस योगफल को $3$ से गुणा करने पर $21$ प्राप्त होता है,अतः समीकरण $(x + 0.5) \times 3 = 21$ होगा।
दोनों पक्षों को $3$ से विभाजित करने पर,हमें $x + 0.5 = 7$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों से $0.5$ घटाने पर,हमें $x = 7 - 0.5 = 6.5$ प्राप्त होता है।
अतः,वह संख्या $6.5$ है।

(C) $x$ का मान ज्ञात करने के लिए,हम दी गई दशमलव संख्याओं को जोड़ते हैं:
$x = 0.3 + 0.6 + 0.7 + 0.8$
$x = 2.4$
अब,दशमलव $2.4$ को भिन्न में बदलें:
$2.4 = \frac{24}{10}$
अंश और हर दोनों को $2$ से विभाजित करके भिन्न को सरल करें:
$\frac{24 \div 2}{10 \div 2} = \frac{12}{5}$
विषम भिन्न $\frac{12}{5}$ को मिश्रित भिन्न में बदलें:
$\frac{12}{5} = 2 \frac{2}{5}$
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) $6, 9, 12, 15$ और $18$ से विभाजित करने पर $2$ शेषफल देने वाली सबसे छोटी संख्या ज्ञात करने के लिए,हम पहले इन संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ ज्ञात करेंगे।
अभाज्य गुणनखंडन:
$6 = 2 \times 3$
$9 = 3^2$
$12 = 2^2 \times 3$
$15 = 3 \times 5$
$18 = 2 \times 3^2$
$LCM = 2^2 \times 3^2 \times 5 = 4 \times 9 \times 5 = 180$.
चूंकि संख्या को प्रत्येक स्थिति में $2$ शेषफल देना चाहिए,इसलिए हम $LCM$ में $2$ जोड़ देंगे।
अभीष्ट संख्या $= LCM + 2 = 180 + 2 = 182$.

(D) माना कि वह संख्या $x$ है।
प्रश्न के अनुसार,$\frac{3}{4}x = \frac{1}{6}x + 7$.
दोनों पक्षों से $\frac{1}{6}x$ घटाने पर: $\frac{3}{4}x - \frac{1}{6}x = 7$.
$4$ और $6$ का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ $12$ है।
अतः,$\frac{9x - 2x}{12} = 7$.
$\frac{7x}{12} = 7$.
दोनों पक्षों को $12$ से गुणा करने पर: $7x = 84$.
$7$ से भाग देने पर: $x = 12$.
अब,उस संख्या का $5/3$ भाग ज्ञात करें: $\frac{5}{3} \times 12 = 5 \times 4 = 20$.

(D) प्रथम $n$ विषम प्राकृतिक संख्याओं का योग $S_n = n^2$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
संख्याओं का समांतर माध्य,संख्याओं के योग को कुल संख्या से विभाजित करने पर प्राप्त होता है।
प्रथम $n$ विषम प्राकृतिक संख्याओं के लिए,समांतर माध्य $\frac{S_n}{n} = \frac{n^2}{n} = n$ होता है।
यहाँ $n = 20$ दिया गया है,इसलिए समांतर माध्य $20$ होगा।

(A) प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याएँ $1, 2, 3, \dots, n$ हैं।
प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं का योग $S_n = \frac{n(n+1)}{2}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
समांतर माध्य $(A.M.)$ को प्रेक्षणों के योग को प्रेक्षणों की संख्या से विभाजित करके परिभाषित किया जाता है।
अतः,$A.M. = \frac{S_n}{n} = \frac{\frac{n(n+1)}{2}}{n} = \frac{n+1}{2}$.

(B) माना कि $2$ अंकों की संख्या $10x + y$ है,जहाँ $x$ दहाई का अंक है और $y$ इकाई का अंक है।
दिया गया है कि इकाई का अंक दहाई के अंक का दोगुना है,इसलिए $y = 2x$ है।
अंकों का योग $x + y$ है। प्रश्न के अनुसार,यदि इस योग में से $2$ घटाया जाए,तो परिणाम संख्या का $1/6$ होता है:
$x + y - 2 = \frac{1}{6}(10x + y)$
समीकरण में $y = 2x$ रखने पर:
$x + 2x - 2 = \frac{1}{6}(10x + 2x)$
$3x - 2 = \frac{1}{6}(12x)$
$3x - 2 = 2x$
$x = 2$
चूँकि $y = 2x$,इसलिए $y = 2(2) = 4$ है।
अतः,वह संख्या $10(2) + 4 = 24$ है।

(A) $12, 16, 18$ और $21$ से विभाज्य होने वाली सबसे छोटी संख्या ज्ञात करने के लिए,हमें इनका लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ ज्ञात करना होगा।
अभाज्य गुणनखंडन:
$12 = 2^2 \times 3$
$16 = 2^4$
$18 = 2 \times 3^2$
$21 = 3 \times 7$
$LCM = 2^4 \times 3^2 \times 7 = 16 \times 9 \times 7 = 1008$.
$1008$ के गुणज $1008, 2016, 3024, \dots$ हैं।
$2000$ से बड़ी $1008$ की सबसे छोटी गुणज संख्या $2016$ है।
अतः,जोड़ी जाने वाली संख्या $x = 2016 - 2000 = 16$ है।
$x$ के अंकों का योग $1 + 6 = 7$ है।

(A) $(2467)^{153} \times (341)^{72}$ का इकाई अंक ज्ञात करने के लिए,हम आधार के इकाई अंकों को देखते हैं।
$1$. $(2467)^{153}$ के लिए,इकाई का अंक $7^{153}$ के समान होता है।
$7$ की घातें $4$ के चक्र में दोहराती हैं: $7^1=7, 7^2=49, 7^3=343, 7^4=2401$।
घातांक $153$ को $4$ से विभाजित करने पर,हमें $153 = 4 \times 38 + 1$ प्राप्त होता है। अतः,$7^{153}$ का इकाई अंक $7^1$ के समान यानी $7$ है।
$2$. $(341)^{72}$ के लिए,इकाई का अंक $1^{72}$ के समान होता है।
चूंकि $1$ की कोई भी घात $1$ ही होती है,इसलिए इकाई का अंक $1$ है।
$3$. गुणनफल का इकाई अंक,इकाई अंकों का गुणनफल है: $7 \times 1 = 7$।

(B) संख्या $x$ का रूप $x = \operatorname{LCM}(5, 6, 7, 8) \times k + 3$ है,जहाँ $k$ एक धनात्मक पूर्णांक है।
सबसे पहले,$5, 6, 7$ और $8$ का लघुत्तम समापवर्त्य $(\operatorname{LCM})$ ज्ञात करें:
$5 = 5$
$6 = 2 \times 3$
$7 = 7$
$8 = 2^3$
$\operatorname{LCM}(5, 6, 7, 8) = 5 \times 3 \times 7 \times 8 = 840$.
अतः,$x = 840k + 3$.
हमें दिया गया है कि $x, 9$ से विभाज्य है। अतः,$840k + 3 \equiv 0 \pmod{9}$.
चूँकि $840 = 9 \times 93 + 3$,इसलिए $840 \equiv 3 \pmod{9}$ है।
अतः,$3k + 3 \equiv 0 \pmod{9}$,जिसका अर्थ है कि $3(k + 1) = 9n$,यानी $k + 1, 3$ का गुणज होना चाहिए।
सबसे छोटा धनात्मक पूर्णांक $k = 2$ है (क्योंकि $k=1$ के लिए $843, 9$ से विभाज्य नहीं है)।
$k = 2$ के लिए,$x = 840(2) + 3 = 1680 + 3 = 1683$.
$9$ से विभाज्यता की जाँच करने पर: $1 + 6 + 8 + 3 = 18$,जो $9$ से विभाज्य है।
$x = 1683$ के अंकों का योग $1 + 6 + 8 + 3 = 18$ है।

(B) माना कि वह संख्या $N$ है। प्रश्न के अनुसार,$N = 361q + 47$,जहाँ $q$ भागफल है।
हम $361$ को $19 \times 19$ के रूप में लिख सकते हैं। अतः,$N = 19(19q) + 47$.
जब $N$ को $19$ से विभाजित किया जाता है,तो शेषफल ज्ञात करने के लिए हम व्यंजक को $19$ से विभाजित करते हैं।
पद $19(19q)$ पूरी तरह से $19$ से विभाज्य है।
अतः,शेषफल $47$ को $19$ से विभाजित करने पर निर्भर करता है।
$47 = 19 \times 2 + 9$.
अतः,शेषफल $9$ है।

(C) संख्याओं की तुलना करने के लिए,हम उन्हें $10$ के समान घातांक के रूप में व्यक्त करते हैं:
$3^{50} = (3^5)^{10} = 243^{10}$
$4^{40} = (4^4)^{10} = 256^{10}$
$5^{30} = (5^3)^{10} = 125^{10}$
$6^{20} = (6^2)^{10} = 36^{10}$
आधार $243, 256, 125$ और $36$ की तुलना करने पर,हम देखते हैं कि $256$ सबसे बड़ी संख्या है।
अतः,$4^{40}$ सबसे बड़ी संख्या है।

(D) माना कि वह संख्या $x$ है।
प्रश्न के अनुसार,संख्या अपने दो-पांचवें भाग से $75$ अधिक है,जिसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$x - \frac{2}{5}x = 75$
भिन्नों को घटाने पर:
$\frac{5x - 2x}{5} = 75$
$\frac{3x}{5} = 75$
अब,$x$ का मान ज्ञात करने के लिए:
$3x = 75 \times 5$
$3x = 375$
$x = \frac{375}{3}$
$x = 125$
अतः,वह संख्या $125$ है।

(A) माना कि पहली संख्या $x$ है।
तब दूसरी संख्या $\frac{2}{5}x$ होगी।
प्रश्न के अनुसार,इन दो संख्याओं का योग $50$ है:
$x + \frac{2}{5}x = 50$
$\frac{5x + 2x}{5} = 50$
$\frac{7x}{5} = 50$
$7x = 250$
$x = \frac{250}{7}$
अब,दूसरी संख्या ज्ञात करें:
$\text{दूसरी संख्या} = \frac{2}{5} \times \frac{250}{7} = \frac{2 \times 50}{7} = \frac{100}{7}$
अतः,वे दो संख्याएँ $\frac{250}{7}$ और $\frac{100}{7}$ हैं।

(B) दिया गया समीकरण: $x[-2\{-4(-a)\}]+5[-2\{-2(-a)\}]=4 a$
सबसे पहले,कोष्ठक के अंदर के पदों को सरल करें:
$-4(-a) = 4a$
$-2(4a) = -8a$
अतः,पहला पद $x(-8a) = -8ax$ है।
अब,दूसरे भाग को सरल करें:
$-2(-a) = 2a$
$-2(2a) = -4a$
$5(-4a) = -20a$
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$-8ax - 20a = 4a$
दोनों पक्षों में $20a$ जोड़ने पर:
$-8ax = 24a$
दोनों पक्षों को $-8a$ से विभाजित करने पर (मान लीजिए $a \neq 0$):
$x = \frac{24a}{-8a}$
$x = -3$