Numbers Questions in Hindi

(C) दिया गया है, शेषफल $= 46$.
प्रश्न के अनुसार, भाजक शेषफल का $5$ गुना है।
भाजक $= 5 \times 46 = 230$.
साथ ही, भाजक भागफल का $10$ गुना है।
$10 \times \text{भागफल} = 230$.
भागफल $= 230 / 10 = 23$.
भाज्य का सूत्र है: $\text{भाज्य} = (\text{भाजक} \times \text{भागफल}) + \text{शेषफल}$.
भाज्य $= (230 \times 23) + 46$.
भाज्य $= 5290 + 46 = 5336$.

(B) चार अंकों की सबसे छोटी संख्या $1000$ है।
$71$ से विभाज्य चार अंकों की सबसे छोटी संख्या ज्ञात करने के लिए,हम पहले $1000$ को $71$ से विभाजित करते हैं।
$1000 \div 71 = 14$ और शेषफल $6$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है कि $71 \times 14 = 994$,जो कि तीन अंकों की संख्या है।
$71$ का अगला गुणज $71 \times 15$ होगा।
$71 \times 15 = 1065$।
वैकल्पिक रूप से,$71$ से विभाज्य चार अंकों की सबसे छोटी संख्या की गणना $1000 + (71 - 6) = 1000 + 65 = 1065$ के रूप में की जा सकती है।

(A) $100$ तक की $7$ से विभाज्य संख्याओं को ज्ञात करने के लिए,हम $100 \div 7$ का भाग करते हैं।
प्राप्त भागफल $14$ है और शेषफल $2$ है $(100 = 7 \times 14 + 2)$।
अतः,$1$ और $100$ के बीच $7$ के $14$ गुणज हैं (जैसे $7, 14, 21, \dots, 98$)।

(C) $500$ तक $23$ से विभाज्य संख्याओं की संख्या ज्ञात करने के लिए,हम $500 \div 23$ का भाग करते हैं।
$500 = 23 \times 21 + 17$.
प्राप्त भागफल $21$ है।
अतः,$500$ तक कुल $21$ संख्याएँ ऐसी हैं जो $23$ से विभाज्य हैं।

(B) एक संख्या $2$ और $3$ दोनों से तभी विभाज्य होती है जब वह उनके लघुत्तम समापवर्त्य $(L.C.M.)$ से विभाज्य हो।
$2$ और $3$ का $L.C.M.$ $6$ है।
$200$ तक की ऐसी संख्याएँ ज्ञात करने के लिए जो $6$ से विभाज्य हैं,हम $200$ को $6$ से विभाजित करेंगे और भागफल प्राप्त करेंगे।
$200 \div 6 = 33.33...$
भागफल का पूर्णांक भाग $33$ है।
अतः,$200$ तक ऐसी $33$ संख्याएँ हैं जो $2$ और $3$ दोनों से विभाज्य हैं।

(A) $100$ और $300$ के बीच $11$ से विभाज्य पूर्णांकों की संख्या ज्ञात करने के लिए,हम इस सीमा में $11$ के पहले और अंतिम गुणज की पहचान करते हैं।
$100$ से बड़ी $11$ की पहली गुणज संख्या $110$ $(11 \times 10)$ है।
$300$ से छोटी $11$ की अंतिम गुणज संख्या $286$ $(11 \times 26)$ है।
यह एक समांतर श्रेणी बनाती है: $110, 121, 132, \dots, 286$।
समांतर श्रेणी के $n$ वें पद का सूत्र उपयोग करने पर: $a_n = a + (n - 1)d$,जहाँ $a = 110$,$d = 11$,और $a_n = 286$ है।
$286 = 110 + (n - 1)11$
$176 = (n - 1)11$
$n - 1 = 16$
$n = 17$।
वैकल्पिक रूप से,$N$ तक $k$ के गुणजों की संख्या $\lfloor N/k \rfloor$ द्वारा दी जाती है।
$300$ तक $11$ के गुणजों की संख्या $\lfloor 300/11 \rfloor = 27$ है।
$100$ तक $11$ के गुणजों की संख्या $\lfloor 100/11 \rfloor = 9$ है।
अतः,$100$ और $300$ के बीच $11$ के गुणजों की संख्या $27 - 9 = 18$ है।

(B) $2, 3$ और $7$ से विभाज्य संख्या उनके ल.स.प. ($L$.$C$.$M$.) से भी विभाज्य होती है।
चूंकि $2, 3$ और $7$ अभाज्य संख्याएँ हैं,इसलिए उनका ल.स.प. $= 2 \times 3 \times 7 = 42$ होगा।
हमें $150$ और $500$ के बीच $42$ के गुणजों की संख्या ज्ञात करनी है।
सबसे पहले,$150$ से बड़ी $42$ की सबसे छोटी गुणज संख्या ज्ञात करें: $42 \times 4 = 168$।
इसके बाद,$500$ से छोटी $42$ की सबसे बड़ी गुणज संख्या ज्ञात करें: $500 \div 42 \approx 11.9$,इसलिए $42 \times 11 = 462$।
ये गुणज $42 \times 4, 42 \times 5, \dots, 42 \times 11$ हैं।
ऐसी संख्याओं की कुल संख्या $11 - 4 + 1 = 8$ है।

(A) छह अंकों की सबसे छोटी संख्या $100000$ है।
सबसे पहले,हम शेषफल ज्ञात करने के लिए $100000$ को $357$ से विभाजित करते हैं:
$100000 \div 357 = 280$ और शेषफल $40$ प्राप्त होता है।
$357$ से विभाज्य छह अंकों की सबसे छोटी संख्या ज्ञात करने के लिए,हम भाजक और शेषफल के अंतर को भाज्य में जोड़ते हैं:
$100000 + (357 - 40) = 100000 + 317 = 100317$.
अब,हमें वह संख्या ज्ञात करनी है जिसे $5555$ में जोड़ने पर $100317$ प्राप्त हो:
$x + 5555 = 100317$
$x = 100317 - 5555 = 94762$.
अतः,अभीष्ट संख्या $94762$ है।

(A) $58701$ के सबसे निकटतम $567$ से विभाज्य संख्या ज्ञात करने के लिए,हम पहले $58701$ को $567$ से विभाजित करते हैं।
$58701 \div 567 = 103$ और शेषफल $300$ प्राप्त होता है।
चूंकि शेषफल $300$,भाजक $(567)$ के आधे $(567 / 2 = 283.5)$ से अधिक है,
इसलिए हम मूल संख्या में अंतर $(567 - 300) = 267$ जोड़ देंगे।
निकटतम संख्या $= 58701 + 267 = 58968$।

(A) माना संख्या $N = 3422213xy$ है,जहाँ $x$ और $y$ लुप्त अंक हैं।
$N$ के $99$ से विभाज्य होने के लिए,इसे $9$ और $11$ दोनों से विभाज्य होना चाहिए।
$9$ से विभाज्यता के लिए,अंकों का योग $9$ का गुणज होना चाहिए:
$3+4+2+2+2+1+3+x+y = 17+x+y$। इसके $9$ से विभाज्य होने के लिए,$x+y$ का मान $1, 10$ या $19$ होना चाहिए। चूँकि $x, y$ अंक हैं,इसलिए $x+y=10$ (क्योंकि $17+10=27$,जो $9$ से विभाज्य है)।
$11$ से विभाज्यता के लिए,विषम स्थानों पर अंकों के योग और सम स्थानों पर अंकों के योग का अंतर $0$ या $11$ का गुणज होना चाहिए:
दाहिनी ओर से विषम स्थानों पर अंकों का योग: $y+1+2+4 = y+7$।
दाहिनी ओर से सम स्थानों पर अंकों का योग: $x+3+2+2+3 = x+10$।
अंतर: $(y+7) - (x+10) = y-x-3$।
$11$ से विभाज्यता के लिए,$y-x-3 = 0$ या $y-x-3 = -11$।
स्थिति $1$: $y-x = 3$। हमारे पास $x+y=10$ और $y-x=3$ है। दोनों को जोड़ने पर,$2y=13$ (कोई पूर्णांक हल नहीं)।
स्थिति $2$: $y-x-3 = -11 \implies y-x = -8$। हमारे पास $x+y=10$ और $y-x=-8$ है। दोनों को जोड़ने पर,$2y=2 \implies y=1$। अतः $x=9$।
इस प्रकार,अंक $9$ और $1$ हैं।

(A) कोई संख्या $11$ से विभाज्य होती है यदि विषम स्थानों पर स्थित अंकों के योग और सम स्थानों पर स्थित अंकों के योग का अंतर $0$ या $11$ का गुणज हो।
माना लुप्त अंक $x$ है।
संख्या $5x3457$ है।
विषम स्थानों पर अंकों का योग (दाहिनी ओर से) $= 7 + 4 + x = 11 + x$.
सम स्थानों पर अंकों का योग (दाहिनी ओर से) $= 5 + 3 + 5 = 13$.
संख्या के $11$ से विभाज्य होने के लिए,अंतर $0$ या $11$ का गुणज होना चाहिए।
$(11 + x) - 13 = 0$ या $(11 + x) - 13 = 11$.
स्थिति $1$: $x - 2 = 0 \implies x = 2$.
स्थिति $2$: $x - 2 = 11 \implies x = 13$ (संभव नहीं है क्योंकि $x$ एक एकल अंक होना चाहिए)।
अतः,न्यूनतम मान $2$ है।

(B) $1,000,000$ के सबसे निकटतम $537$ से विभाज्य संख्या ज्ञात करने के लिए,हम पहले $1,000,000$ को $537$ से विभाजित करते हैं।
$1,000,000 \div 537 = 1862$ और शेषफल $106$ प्राप्त होता है।
चूंकि शेषफल $106$ भाजक के आधे $(537 / 2 = 268.5)$ से कम है,इसलिए निकटतम गुणज प्राप्त करने के लिए हम $1,000,000$ में से शेषफल को घटाएंगे।
$1,000,000 - 106 = 999,894$.
अतः,सबसे निकटतम पूर्ण संख्या $999,894$ है।

(B) $400$ और $500$ के बीच $9$ से विभाज्य सबसे छोटी संख्या ज्ञात करने के लिए,हम पहले $400$ को $9$ से विभाजित करते हैं।
$400 \div 9 = 44$ और शेषफल $4$ प्राप्त होता है।
$400$ से बड़ी $9$ की अगली गुणज संख्या ज्ञात करने के लिए,हम भाजक में से शेषफल को घटाते हैं और उसे संख्या में जोड़ देते हैं:
$9 - 4 = 5$।
इसे $400$ में जोड़ने पर,हमें $400 + 5 = 405$ प्राप्त होता है।
चूंकि $405$,$400$ और $500$ के बीच स्थित है और $9$ से विभाज्य है,इसलिए यह सबसे छोटी संख्या है।

(A) पाँच अंकों की सबसे बड़ी संख्या $99,999$ है।
$231$ से विभाज्य पाँच अंकों की सबसे बड़ी संख्या ज्ञात करने के लिए,हम $99,999$ को $231$ से विभाजित करते हैं।
$99,999 \div 231 = 432$ और शेषफल प्राप्त होता है।
$99,999 = 231 \times 432 + 207$.
यहाँ शेषफल $207$ है।
अभीष्ट संख्या ज्ञात करने के लिए,हम पाँच अंकों की सबसे बड़ी संख्या में से शेषफल को घटाते हैं:
$99,999 - 207 = 99,792$.
अतः,$99,792$ वह सबसे बड़ी पाँच अंकों की संख्या है जो $231$ से विभाज्य है।

(D) $16386$ के निकटतम ऐसी संख्या ज्ञात करने के लिए जो $425$ से विभाज्य हो,हम पहले $16386$ को $425$ से विभाजित करते हैं।
$16386 \div 425 = 38$ और शेषफल $361$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है कि $16386 = (425 \times 38) + 361$।
$16386$ के सबसे निकट $425$ के दो गुणज $(425 \times 38) = 16150$ और $(425 \times 39) = 16575$ हैं।
वैकल्पिक रूप से,हम निकटतम गुणज तक की दूरी की गणना कर सकते हैं:
शेषफल $361$ है। अगले गुणज तक की दूरी $425 - 361 = 64$ है।
पिछले गुणज तक की दूरी $361$ है।
चूंकि $64 < 361$ है,इसलिए निकटतम गुणज $16386 + 64 = 16450$ है।

(C) घटाने वाली संख्या ज्ञात करने के लिए,हम $9269$ को $73$ से विभाजित करते हैं।
$9269 \div 73 = 126$ और शेषफल प्राप्त होता है।
$9269 = 73 \times 126 + 71$.
चूंकि शेषफल $71$ है,इसलिए $9269$ में से $71$ घटाने पर प्राप्त संख्या $73$ से पूर्णतः विभाज्य होगी।
अतः,अभीष्ट न्यूनतम संख्या $71$ है।

(A) जोड़ी जाने वाली संख्या ज्ञात करने के लिए,सबसे पहले $15463$ को $107$ से विभाजित करें।
$15463 \div 107 = 144$ और शेषफल $55$ प्राप्त होता है।
चूंकि शेषफल $55$ है,इसलिए $15463$ में जोड़ी जाने वाली वह संख्या जो इसे $107$ से पूर्णतः विभाज्य बना दे,भाजक और शेषफल का अंतर होगी।
आवश्यक संख्या $= 107 - 55 = 52$।

(C) $5000$ से ठीक बड़ी वह संख्या ज्ञात करने के लिए जो $73$ से पूर्णतः विभाज्य हो,हम पहले $5000$ को $73$ से विभाजित करते हैं।
$5000 \div 73 = 68$ और शेषफल $36$ प्राप्त होता है।
$5000$ से बड़ी $73$ की अगली गुणज संख्या ज्ञात करने के लिए,हम भाजक और शेषफल के बीच का अंतर निकालते हैं: $73 - 36 = 37$।
इस अंतर को मूल संख्या में जोड़ने पर: $5000 + 37 = 5037$।
अतः,अभीष्ट संख्या $5037$ है।

(D) माना कि दो संख्याएँ $a$ और $b$ हैं।
दिया गया है कि संख्याओं का योग $a + b = 100$ है।
दिया गया है कि संख्याओं का अंतर $a - b = 37$ है।
हमें उनके वर्गों का अंतर ज्ञात करना है,जो $a^2 - b^2$ है।
बीजगणितीय सर्वसमिका $a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$ का उपयोग करते हुए,
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $a^2 - b^2 = 100 \times 37$।
अतः,$a^2 - b^2 = 3700$।

(B) माना कि $79$ को $n$ बार घटाया जाता है।
प्रश्न के अनुसार,हमारे पास समीकरण है:
$50000 - (n \times 79) = 43759$
$n$ का मान ज्ञात करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$n \times 79 = 50000 - 43759$
$n \times 79 = 6241$
$n = \frac{6241}{79}$
$n = 79$
अतः,$79$ को $79$ बार घटाया जाना चाहिए।

(C) माना कि दो संख्याएँ $3x$ और $4x$ हैं,जहाँ $x$ एक सामान्य गुणक है।
प्रश्न के अनुसार,इन दो संख्याओं का योग $420$ है।
अतः,$3x + 4x = 420$.
$7x = 420$.
$x = 420 / 7 = 60$.
इस प्रकार,दो संख्याएँ $3 \times 60 = 180$ और $4 \times 60 = 240$ हैं।
इसलिए,दोनों संख्याओं में से बड़ी संख्या $240$ है।

(C) माना कि दो क्रमागत संख्याएँ $x$ और $(x+1)$ हैं।
प्रश्न के अनुसार,उनके वर्गों का अंतर $35$ है।
अतः,$(x+1)^{2} - x^{2} = 35$.
वर्ग का विस्तार करने पर: $(x^{2} + 2x + 1) - x^{2} = 35$.
समीकरण को सरल करने पर: $2x + 1 = 35$.
दोनों पक्षों से $1$ घटाने पर: $2x = 34$.
$2$ से भाग देने पर: $x = 17$.
अतः,वे दो क्रमागत संख्याएँ $17$ और $17+1 = 18$ हैं।

(B) माना कि वह संख्या $x$ है।
प्रश्न के अनुसार,$x$ के एक-पाँचवें भाग का तीन-चौथाई $60$ है।
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: $\frac{3}{4} \times \frac{1}{5} \times x = 60$.
समीकरण को सरल करने पर: $\frac{3}{20} \times x = 60$.
दोनों पक्षों को $20$ से गुणा करने पर: $3x = 60 \times 20$.
$3x = 1200$.
$3$ से भाग देने पर: $x = \frac{1200}{3} = 400$.
अतः,वह संख्या $400$ है।

(A) माना कि दो संख्याएँ $a$ और $b$ हैं।
दिया गया है कि उनके वर्गों का योग $a^2 + b^2 = 80$ है।
साथ ही,उनके अंतर का वर्ग $(a - b)^2 = 36$ है।
हम जानते हैं कि बीजीय सर्वसमिका $(a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab$ होती है।
इस सर्वसमिका में दिए गए मानों को रखने पर:
$36 = 80 - 2ab$.
$2ab$ का मान ज्ञात करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$2ab = 80 - 36 = 44$.
गुणनफल $ab$ ज्ञात करने के लिए $2$ से भाग देने पर:
$ab = 22$.
अतः,उन दो संख्याओं का गुणनफल $22$ है।

(A) माना कि संख्या $N$ है और भागफल $K$ है।
विभाजन एल्गोरिथ्म के अनुसार,$N = 357 \times K + 37.$
हमें $N$ को $17$ से विभाजित करने पर प्राप्त शेषफल ज्ञात करना है।
$N = (17 \times 21) \times K + (17 \times 2 + 3).$
$N = 17 \times (21K + 2) + 3.$
चूंकि $N$ को $17 \times Q' + R$ के रूप में व्यक्त किया गया है,जहाँ $Q' = 21K + 2$ और $R = 3$ है,इसलिए शेषफल $3$ है।

(B) माना कि दो संख्याएँ $a$ और $b$ हैं।
दिया गया है कि संख्याओं का गुणनफल $ab = 120$ है।
दिया गया है कि उनके वर्गों का योग $a^2 + b^2 = 289$ है।
हम बीजगणितीय सर्वसमिका जानते हैं: $(a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$.
सर्वसमिका में दिए गए मानों को रखने पर:
$(a + b)^2 = 289 + 2(120)$.
$(a + b)^2 = 289 + 240$.
$(a + b)^2 = 529$.
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,हमें प्राप्त होता है $a + b = \sqrt{529} = 23$.
अतः,दो संख्याओं का योग $23$ है।

(C) माना कि तीन संख्याएँ $4x$,$5x$ और $6x$ हैं।
इन संख्याओं का औसत निकालने का सूत्र है: $\frac{\text{संख्याओं का योग}}{\text{संख्याओं की कुल गिनती}} = \text{औसत}$.
दिए गए मानों को रखने पर: $\frac{4x + 5x + 6x}{3} = 25$.
समीकरण को सरल करने पर: $\frac{15x}{3} = 25$,जिससे $5x = 25$ प्राप्त होता है।
$x$ का मान ज्ञात करने पर: $x = \frac{25}{5} = 5$.
सबसे बड़ी संख्या $6x$ है। $x$ का मान रखने पर: $6 \times 5 = 30$.

(A) माना कि अभीष्ट संख्या $x$ है।
प्रश्न के अनुसार,वह संख्या अपने $20 \%$ से $40$ अधिक है।
इसे समीकरण के रूप में इस प्रकार लिखा जा सकता है: $x - 0.20x = 40$.
समीकरण को सरल करने पर: $0.80x = 40$.
$x$ का मान ज्ञात करने पर: $x = \frac{40}{0.80} = \frac{4000}{80} = 50$.
अतः,वह संख्या $50$ है।

(C) माना कि वह संख्या $x$ है।
प्रश्न के अनुसार,$x$ के $40 \%$ का $16 \%$ मान $8$ है।
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: $\frac{16}{100} \times \frac{40}{100} \times x = 8$.
व्यंजक को सरल करने पर: $\frac{16 \times 40}{10000} \times x = 8$.
$\frac{640}{10000} \times x = 8$.
$0.064 \times x = 8$.
$x = \frac{8}{0.064}$.
$x = \frac{8000}{64}$.
$x = 125$.

(B) माना संख्या $N = d_2 d_1 d_0 341$ है,जहाँ $d_2, d_1, d_0$ लुप्त अंक हैं।
चूँकि $4767$,$N$ को पूर्णतः विभाजित करता है,हम लिख सकते हैं $N = 4767 \times Q$।
$N$ का अंतिम अंक $1$ है और $4767$ का अंतिम अंक $7$ है।
गुणनफल का अंतिम अंक $1$ प्राप्त करने के लिए,भागफल $Q$ का अंतिम अंक $3$ होना चाहिए (क्योंकि $7 \times 3 = 21$)।
आइए $xxx,341$ को $4767$ से विभाजित करके भागफल $Q$ का अनुमान लगाएँ।
$4767 \times 100 = 476700$.
$N - 476700 = xxx,341 - 476,700 = yyy,641$.
अब,$4767 \times 20 = 95340$.
$N - 476700 - 95340 = 586341 - 572040 = 14301$.
अंत में,$4767 \times 3 = 14301$.
अतः,$Q = 100 + 20 + 3 = 123$.
$N = 4767 \times 123 = 586341$.
लुप्त अंक $5, 8, 6$ हैं।

(A) माना संख्या $N$ है और भाजक $D$ है।
विभाजन एल्गोरिथ्म के अनुसार,$N = D \times q_1 + 241$,जहाँ $q_1$ भागफल है।
इसका अर्थ है $N > 241$,इसलिए $D > 241$ होगा।
जब $2N$ को $D$ से विभाजित किया जाता है,तो शेषफल $112$ प्राप्त होता है।
अतः,$2N = D \times q_2 + 112$।
पहले समीकरण से $N$ का मान रखने पर: $2(D \times q_1 + 241) = D \times q_2 + 112$।
$2D \times q_1 + 482 = D \times q_2 + 112$।
$482 - 112 = D \times q_2 - 2D \times q_1$।
$370 = D(q_2 - 2q_1)$।
यह दर्शाता है कि $D$,$370$ का एक गुणनखंड होना चाहिए।
चूंकि $D > 241$,इसलिए $370$ का $241$ से बड़ा एकमात्र गुणनखंड $370$ ही है।
अतः,भाजक $370$ है।

(B) माना कि दो संख्याएँ $N_1$ और $N_2$ हैं और भाजक $d$ है।
प्रश्न के अनुसार,$N_1 = q_1d + 43$ और $N_2 = q_2d + 37$,जहाँ $q_1$ और $q_2$ भागफल हैं।
संख्याओं का योग $N_1 + N_2 = (q_1 + q_2)d + (43 + 37) = (q_1 + q_2)d + 80$ है।
जब योग को $d$ से विभाजित किया जाता है,तो शेषफल $13$ प्राप्त होता है। अतः,$80$ को $d$ से विभाजित करने पर शेषफल $13$ आना चाहिए।
इसका अर्थ है कि $80 = kd + 13$,जहाँ $k$ एक पूर्णांक है।
$kd = 80 - 13 = 67$.
चूँकि $67$ एक अभाज्य संख्या है,इसलिए भाजक $d$ का मान $67$ होना चाहिए (क्योंकि शेषफल $13$ भाजक $d$ से छोटा होना चाहिए,और $13 < 67$ सत्य है)।

(D) माना कि दो संख्याएँ $3x$ और $5x$ हैं।
प्रश्न के अनुसार,यदि प्रत्येक संख्या में $10$ जोड़ा जाता है,तो नया अनुपात $5:7$ हो जाता है।
अतः,$\frac{3x + 10}{5x + 10} = \frac{5}{7}$.
तिर्यक गुणा (cross-multiplication) करने पर,$7(3x + 10) = 5(5x + 10)$.
$21x + 70 = 25x + 50$.
$25x - 21x = 70 - 50$.
$4x = 20$.
$x = 5$.
इसलिए,वे संख्याएँ $3(5) = 15$ और $5(5) = 25$ हैं।

(A) माना कि दो भाग $x$ और $(50 - x)$ हैं।
प्रश्न के अनुसार,उनके व्युत्क्रमों का योग $1/12$ है:
$\frac{1}{x} + \frac{1}{50 - x} = \frac{1}{12}$
बाईं ओर लघुत्तम समापवर्त्य (common denominator) लेने पर:
$\frac{(50 - x) + x}{x(50 - x)} = \frac{1}{12}$
$\frac{50}{50x - x^2} = \frac{1}{12}$
वज्र-गुणन (cross-multiplication) करने पर:
$50 \times 12 = 50x - x^2$
$600 = 50x - x^2$
इसे मानक द्विघात समीकरण के रूप में व्यवस्थित करने पर:
$x^2 - 50x + 600 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$(x - 30)(x - 20) = 0$
अतः,$x = 30$ या $x = 20$ है।
यदि $x = 30$ है,तो दूसरा भाग $50 - 30 = 20$ होगा। यदि $x = 20$ है,तो दूसरा भाग $50 - 20 = 30$ होगा।
इसलिए,दो भाग $20$ और $30$ हैं।

(A) मान लीजिए कि सात संख्याएँ $n_1, n_2, n_3, n_4, n_5, n_6, n_7$ हैं।
सात संख्याओं का योग $n_1 + n_2 + n_3 + n_4 + n_5 + n_6 + n_7 = 235$ दिया गया है।
पहली तीन संख्याओं का औसत $23$ है,इसलिए उनका योग $n_1 + n_2 + n_3 = 23 \times 3 = 69$ है।
अंतिम तीन संख्याओं का औसत $42$ है,इसलिए उनका योग $n_5 + n_6 + n_7 = 42 \times 3 = 126$ है।
इन योगों को कुल योग के समीकरण में रखने पर:
$69 + n_4 + 126 = 235$
$195 + n_4 = 235$
$n_4 = 235 - 195 = 40$.
अतः,चौथी संख्या $40$ है।

(A) माना कि दो संख्याएँ $a$ और $b$ हैं।
दिया गया है कि उनके वर्गों का योग $a^2 + b^2 = 68$ है।
साथ ही,उनके अंतर का वर्ग $(a - b)^2 = 36$ है।
हम बीजगणितीय सर्वसमिका जानते हैं: $(a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab$.
इस सर्वसमिका में दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$36 = 68 - 2ab$.
$2ab$ का मान ज्ञात करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$2ab = 68 - 36$.
$2ab = 32$.
$2$ से भाग देने पर:
$ab = 16$.
अतः,उन दो संख्याओं का गुणनफल $16$ है।

(A) कोई संख्या $9$ से विभाज्य होती है यदि उसके अंकों का योग $9$ से विभाज्य हो।
$6735K1$ के अंकों का योग $= 6 + 7 + 3 + 5 + K + 1 = 22 + K$ है।
संख्या के $9$ से विभाज्य होने के लिए,योग $22 + K$ को $9$ का गुणज होना चाहिए।
$9$ के गुणज $9, 18, 27, 36, \dots$ हैं।
चूंकि $K$ एक अंक $(0-9)$ है,इसलिए $22 + K$ का मान कम से कम $22$ और अधिकतम $22 + 9 = 31$ हो सकता है।
$22$ से $31$ के बीच $9$ का एकमात्र गुणज $27$ है।
अतः,$22 + K = 27$ होगा।
$K = 27 - 22 = 5$।
इस प्रकार,$K$ का न्यूनतम मान $5$ है।

(A) कोई संख्या $8$ से विभाज्य होती है यदि उसके अंतिम तीन अंकों से बनी संख्या $8$ से विभाज्य हो।
दी गई संख्या $7236K2$ में,अंतिम तीन अंक $6K2$ हैं।
हमें यह जांचना है कि $K$ के किस मान के लिए $6K2$,$8$ से विभाज्य है।
यदि $K = 3$ है,तो संख्या $632$ बनती है। चूंकि $632 / 8 = 79$,इसलिए यह $8$ से विभाज्य है।
यदि $K = 7$ है,तो संख्या $672$ बनती है। चूंकि $672 / 8 = 84$,इसलिए यह $8$ से विभाज्य है।
दिए गए विकल्पों की तुलना करने पर,$7$ एक विकल्प के रूप में मौजूद है।

(A) एक संख्या $88$ से विभाज्य होती है यदि वह $8$ और $11$ दोनों से विभाज्य हो,क्योंकि $88 = 8 \times 11$ और $\gcd(8, 11) = 1$ है।
सबसे पहले,$8$ की विभाज्यता का नियम लागू करें। यदि किसी संख्या के अंतिम तीन अंक $8$ से विभाज्य हैं,तो वह संख्या $8$ से विभाज्य होती है। अंतिम तीन अंक $23y$ हैं।
$23y$ के $8$ से विभाज्य होने के लिए,हम देखते हैं कि $230 \div 8 = 28$ और शेषफल $6$ बचता है। $230$ में $2$ जोड़ने पर $232$ प्राप्त होता है,जो $8 \times 29 = 232$ है। अतः,$y = 2$ सबसे छोटा मान है।
अब संख्या $5x4232$ है। $11$ की विभाज्यता का नियम लागू करें। यदि विषम स्थानों पर अंकों का योग और सम स्थानों पर अंकों के योग का अंतर $0$ या $11$ का गुणज हो,तो वह संख्या $11$ से विभाज्य होती है।
विषम स्थानों पर अंकों का योग (दाहिनी ओर से): $2 + 2 + x = x + 4$.
सम स्थानों पर अंकों का योग (दाहिनी ओर से): $3 + 4 + 5 = 12$.
अंतर: $(x + 4) - 12 = x - 8$.
संख्या के $11$ से विभाज्य होने के लिए,$x - 8 = 0$,जिससे $x = 8$ प्राप्त होता है।
अतः,न्यूनतम मान $x = 8$ और $y = 2$ हैं।

(A) माना कि पहला भाग $x$ है। तब दूसरा भाग $(24 - x)$ होगा।
प्रश्न के अनुसार,पहले भाग का $7$ गुना और दूसरे भाग का $5$ गुना जोड़ने पर $146$ प्राप्त होता है।
अतः,$7x + 5(24 - x) = 146$.
समीकरण का विस्तार करने पर: $7x + 120 - 5x = 146$.
सरल करने पर: $2x + 120 = 146$.
दोनों पक्षों से $120$ घटाने पर: $2x = 26$.
$2$ से भाग देने पर: $x = 13$.
अतः,पहला भाग $13$ है।

(B) माना दूसरी संख्या $x$ है।
तब,पहली संख्या $2x$ है।
तीसरी संख्या पहली संख्या की एक-तिहाई है,जो कि $\frac{1}{3} \times 2x = \frac{2x}{3}$ है।
प्रश्न के अनुसार,इन तीन संख्याओं का योग $132$ है:
$2x + x + \frac{2x}{3} = 132$
भिन्न को हटाने के लिए पूरे समीकरण को $3$ से गुणा करने पर:
$6x + 3x + 2x = 396$
$11x = 396$
$x = \frac{396}{11} = 36$.
अतः,दूसरी संख्या $36$ है।

(C) $5$ और $9$ दोनों से विभाज्य होने के लिए,संख्या को उनके लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ से विभाज्य होना चाहिए।
चूंकि $5$ और $9$ सह-अभाज्य हैं,इसलिए उनका $LCM = 5 \times 9 = 45$ है।
अब,शेषफल ज्ञात करने के लिए $7231$ को $45$ से विभाजित करें:
$7231 \div 45 = 160$ और शेषफल $31$ प्राप्त होता है।
संख्या को $45$ से पूर्णतः विभाज्य बनाने के लिए,हमें भाजक और शेषफल के अंतर को मूल संख्या में जोड़ना होगा।
आवश्यक संख्या $= 45 - 31 = 14$।

(A) $3$ और $11$ दोनों से विभाज्य होने वाली संख्या उनके लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ यानी $33$ से भी विभाज्य होगी।
निकटतम संख्या ज्ञात करने के लिए,हम $9231$ को $33$ से विभाजित करते हैं।
$9231 \div 33 = 279$ और शेषफल $24$ प्राप्त होता है।
चूंकि शेषफल $24$,भाजक $33$ के आधे $(16.5)$ से अधिक है,इसलिए अगली संख्या प्राप्त करने के लिए हम $33 - 24 = 9$ जोड़ेंगे।
अतः,निकटतम संख्या $9231 + 9 = 9240$ होगी।

(A) पहली चार अभाज्य संख्याएँ $2, 3, 5$ और $7$ हैं।
उनका गुणनफल $2 \times 3 \times 5 \times 7 = 210$ है।
$12199$ के सबसे निकटतम $210$ से विभाज्य संख्या ज्ञात करने के लिए,हम $12199$ को $210$ से विभाजित करते हैं:
$12199 \div 210 = 58$ और शेषफल $19$ प्राप्त होता है।
चूंकि शेषफल $19$,भाजक $(210)$ के आधे $(105)$ से कम है,इसलिए निकटतम गुणज प्राप्त करने के लिए हम भाज्य में से शेषफल को घटा देंगे।
अतः,अभीष्ट संख्या $12199 - 19 = 12180$ है।

(A) माना कि दो संख्याएँ $x$ और $y$ हैं।
प्रश्न के अनुसार:
$x^{2} + y^{2} = 90$ $.....(1)$
$(x - y)^{2} = 46$ $.....(2)$
हम जानते हैं कि $(x - y)^{2} = x^{2} + y^{2} - 2xy$ होता है।
समीकरण $(1)$ और $(2)$ के मानों को इस सर्वसमिका में रखने पर:
$46 = 90 - 2xy$
$xy$ का मान ज्ञात करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$2xy = 90 - 46$
$2xy = 44$
$xy = 22$
अतः,दो संख्याओं का गुणनफल $22$ है।

(A) माना कि वह संख्या $x$ है।
दिया गया है कि $x$ का $40 \% = 360$ है।
अतः,$\frac{40}{100} \times x = 360$।
$x = \frac{360 \times 100}{40} = 9 \times 100 = 900$।
अब,हमें इस संख्या $x$ का $15 \%$ ज्ञात करना है।
$900$ का $15 \% = \frac{15}{100} \times 900 = 15 \times 9 = 135$।

(A) माना कि दो अंकों की संख्या $10x + y$ है,जहाँ $x$ दहाई का अंक है और $y$ इकाई का अंक है।
प्रश्न के अनुसार,अंकों का योग $x + y = 8$ है $...(1)$.
जब अंकों को उलट दिया जाता है,तो नई संख्या $10y + x$ हो जाती है।
दिया गया है कि नई संख्या मूल संख्या से $54$ अधिक है: $10y + x = (10x + y) + 54$.
इस समीकरण को सरल करने पर: $9y - 9x = 54$,जिसका अर्थ है $y - x = 6$ $...(2)$.
समीकरण $(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर: $(x + y) + (y - x) = 8 + 6$,इसलिए $2y = 14$,जिसका अर्थ है $y = 7$.
समीकरण $(1)$ में $y = 7$ रखने पर: $x + 7 = 8$,इसलिए $x = 1$.
मूल संख्या $10x + y = 10(1) + 7 = 17$ है।

(A) माना संख्या $N$ है। भाजक $3, 4, 6$ हैं और क्रमशः शेषफल $1, 2, 4$ हैं।
भाजक और शेषफल के बीच का अंतर देखें:
$3 - 1 = 2$
$4 - 2 = 2$
$6 - 4 = 2$
यहाँ समान अंतर $2$ है।
$N$ ज्ञात करने के लिए,हम पहले $3, 4, 6$ का ल.स.प. $(LCM)$ निकालते हैं,जो $12$ है।
संख्या का सामान्य रूप $N = 12k - 2$ है,जहाँ $k$ एक पूर्णांक है।
दो अंकों की सबसे बड़ी संख्या के लिए,हम $12k - 2 < 100$ लेते हैं,जिससे $12k < 102$ प्राप्त होता है,अतः $k < 8.5$ है।
$k = 8$ लेने पर,हमें $N = 12(8) - 2 = 96 - 2 = 94$ प्राप्त होता है।
अब,जब $N = 94$ को $5$ से विभाजित किया जाता है,तो शेषफल ज्ञात करते हैं।
$94 = 5 \times 18 + 4$.
अतः,शेषफल $4$ है।

(C) दिया गया समीकरण: $A + B + AB = 65$ है।
व्यंजक का गुणनखंड करने के लिए दोनों पक्षों में $1$ जोड़ें:
$A + B + AB + 1 = 65 + 1$
$A(1 + B) + 1(1 + B) = 66$
$(A + 1)(B + 1) = 66$
चूंकि $A$ और $B$ धनात्मक पूर्णांक हैं,इसलिए $(A + 1)$ और $(B + 1)$ को $66$ के $1$ से बड़े गुणनखंड होने चाहिए।
$66$ के गुणनखंडों के जोड़े $(1, 66), (2, 33), (3, 22), (6, 11)$ हैं।
चूंकि $A, B \leq 15$ है,इसलिए $(A + 1) \leq 16$ और $(B + 1) \leq 16$ होगा।
इस शर्त को पूरा करने वाला एकमात्र जोड़ा $(6, 11)$ है।
अतः,$A + 1 = 6$ और $B + 1 = 11$ (या इसके विपरीत)।
$A = 5$ और $B = 10$ प्राप्त होता है।
$A$ और $B$ के बीच का अंतर $|10 - 5| = 5$ है।

(D) भिन्नों की तुलना करने के लिए,हम प्रत्येक भिन्न का व्युत्क्रम (reciprocal) ज्ञात कर सकते हैं और उनके मानों की तुलना कर सकते हैं। जिस भिन्न का व्युत्क्रम सबसे छोटा होगा,वह भिन्न सबसे बड़ी होगी।
$1$. $\frac{5}{113}$ का व्युत्क्रम $\frac{113}{5} = 22.6$ है।
$2$. $\frac{7}{120}$ का व्युत्क्रम $\frac{120}{7} \approx 17.14$ है।
$3$. $\frac{13}{145}$ का व्युत्क्रम $\frac{145}{13} \approx 11.15$ है।
$4$. $\frac{17}{160}$ का व्युत्क्रम $\frac{160}{17} \approx 9.41$ है।
परिणामों की तुलना करने पर: $22.6 > 17.14 > 11.15 > 9.41$।
चूंकि $\frac{160}{17}$ व्युत्क्रमों में सबसे छोटा मान है,इसलिए $\frac{17}{160}$ सबसे बड़ी भिन्न है।