Numbers Questions in Hindi

(C) दिया गया समीकरण: $18 \% \text{ of } 125 \times 9 \% \text{ of } 25 = x - 100$
चरण $1$: $18 \% \text{ of } 125 = (18 / 100) \times 125 = 0.18 \times 125 = 22.5$ की गणना करें।
चरण $2$: $9 \% \text{ of } 25 = (9 / 100) \times 25 = 0.09 \times 25 = 2.25$ की गणना करें।
चरण $3$: परिणामों का गुणा करें: $22.5 \times 2.25 = 50.625$
चरण $4$: $x$ के लिए हल करें: $50.625 = x - 100$
$x = 50.625 + 100 = 150.625$
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) $6$ से पूर्णतः विभाज्य होने वाली $3$ अंकों की सबसे छोटी संख्या $102$ है (चूंकि $102 / 6 = 17$)।
$6$ से पूर्णतः विभाज्य होने वाली $3$ अंकों की सबसे बड़ी संख्या $996$ है (चूंकि $996 / 6 = 166$)।
ये संख्याएँ एक समांतर श्रेणी बनाती हैं जहाँ प्रथम पद $a = 102$,सार्व अंतर $d = 6$,और अंतिम पद $a_n = 996$ है।
समांतर श्रेणी के $n$ वें पद के सूत्र का उपयोग करते हुए: $a_n = a + (n - 1)d$।
मान रखने पर: $996 = 102 + (n - 1)6$।
दोनों पक्षों से $102$ घटाने पर: $894 = (n - 1)6$।
$6$ से भाग देने पर: $n - 1 = 149$।
अतः,$n = 150$।

(D) माना कि संख्या $n$ है। प्रश्न के अनुसार,जब $n$ को $5$ से विभाजित किया जाता है,तो शेषफल $3$ प्राप्त होता है। इसे $n = 5k + 3$ के रूप में लिखा जा सकता है,जहाँ $k$ एक पूर्णांक है।
हमें $n^2$ को $5$ से विभाजित करने पर प्राप्त शेषफल ज्ञात करना है।
$n^2 = (5k + 3)^2$
$n^2 = 25k^2 + 30k + 9$
$n^2 = 25k^2 + 30k + 5 + 4$
$n^2 = 5(5k^2 + 6k + 1) + 4$
चूंकि $5(5k^2 + 6k + 1)$ संख्या $5$ से पूर्णतः विभाज्य है,इसलिए जब $n^2$ को $5$ से विभाजित किया जाता है,तो शेषफल $4$ प्राप्त होता है।

(C) $323.232 + 32.3232 + 3.23232$ व्यंजक को हल करने के लिए,दशमलव बिंदुओं को एक सीध में रखें:
$323.23200$
$032.32320$
$003.23232$
----------
$358.78752$
अतः,योग $358.78752$ है।

(C) व्यंजक $525 \times 24 \div 8 + 25 = (?)^2$ को हल करने के लिए,हम $BODMAS$ नियम (भाग,गुणा,जोड़,घटाव) का पालन करते हैं।
सबसे पहले,भाग करें: $24 \div 8 = 3$.
इसके बाद,गुणा करें: $525 \times 3 = 1575$.
फिर,जोड़ करें: $1575 + 25 = 1600$.
अतः,$(?)^2 = 1600$.
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: $? = \sqrt{1600} = 40$.
इसलिए,सही विकल्प $C$ है।

(A) $46818 + 34484 - 24642 - 21232$ व्यंजक को हल करने के लिए,निम्नलिखित चरणों का पालन करें:
$1$. सबसे पहले,धनात्मक संख्याओं को जोड़ें: $46818 + 34484 = 81302$.
$2$. इसके बाद,ऋणात्मक संख्याओं को जोड़ें: $24642 + 21232 = 45874$.
$3$. अंत में,धनात्मक संख्याओं के योग में से ऋणात्मक संख्याओं के योग को घटाएं: $81302 - 45874 = 35428$.
अतः,सही उत्तर $35428$ है।

(C) इस व्यंजक को हल करने के लिए,हम संख्याओं को निकटतम पूर्णांकों में बदलकर सन्निकटन (approximation) विधि का उपयोग करते हैं:
$499.99 \approx 500$
$1999 \approx 2000$
$39.99 \approx 40$
$50.01 \approx 50$
अब,इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करें:
$500 + 2000 \div 40 \times 50$
$BODMAS$ नियम लागू करने पर (भाग के बाद गुणा):
$500 + (2000 \div 40) \times 50$
$500 + 50 \times 50$
$500 + 2500 = 3000$
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(D) $\frac{601}{49} \times \frac{399}{81} \div \frac{29}{201}$ व्यंजक को हल करने के लिए,हम पहले भाग को गुणा में बदलते हैं,जिसके लिए भाजक का व्युत्क्रम (reciprocal) लिया जाता है।
यह हमें देता है: $\frac{601}{49} \times \frac{399}{81} \times \frac{201}{29}$.
अब,गणना को सरल बनाने के लिए हम मानों का सन्निकटन (approximation) करते हैं:
$\frac{601}{49} \approx \frac{600}{50} = 12$.
$\frac{399}{81} \approx \frac{400}{80} = 5$.
$\frac{201}{29} \approx \frac{200}{30} \approx 6.67$.
इन सन्निकट मानों का गुणा करने पर: $12 \times 5 \times 6.67 = 60 \times 6.67 = 400.2$.
इस परिणाम की तुलना दिए गए विकल्पों से करने पर,निकटतम मान $420$ है।

(B) व्यंजक $(13.99)^{2} - (15.02)^{2} + (18.07)^{2} - 36.64$ को हल करने के लिए,हम मानों को निकटतम पूर्णांक में बदलते हैं:
$13.99 \approx 14$
$15.02 \approx 15$
$18.07 \approx 18$
$36.64 \approx 37$
अब,इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करें:
$(14)^{2} - (15)^{2} + (18)^{2} - 37$
$= 196 - 225 + 324 - 37$
$= (196 + 324) - (225 + 37)$
$= 520 - 262$
$= 258$
$258$ के सबसे निकटतम विकल्प $260$ है।

(A) दी गई संख्याओं का सन्निकट मान लेने पर: $440$ का $40 \% + 655$ का $x \% = 228.5$
$440$ का $40 \%$ ज्ञात करने पर: $\frac{40}{100} \times 440 = 176$
इस मान को समीकरण में रखने पर: $176 + \frac{x \times 655}{100} = 228.5$
दोनों पक्षों से $176$ घटाने पर: $\frac{x \times 655}{100} = 228.5 - 176 = 52.5$
$x$ का मान ज्ञात करने पर: $x = \frac{52.5 \times 100}{655} \approx 8.01$
निकटतम पूर्णांक में बदलने पर,हमें $x = 8$ प्राप्त होता है।

(A) योग ज्ञात करने के लिए,दशमलव बिंदुओं को एक सीध में रखें और प्रत्येक स्तंभ का योग करें:
$6894.986 + 5025.005 + 600.020$
$= (6894 + 5025 + 600) + (0.986 + 0.005 + 0.020)$
$= 12519 + 1.011$
$= 12520.011$
चूंकि दिए गए विकल्प सटीक नहीं हैं,इसलिए निकटतम पूर्णांक मान $12520$ है।

(A) $149.9 \% \text{ of } 149.9 + 149.9$ व्यंजक को हल करने के लिए,हम सरलता के लिए मानों को $150$ के रूप में अनुमानित (approximate) कर सकते हैं।
$150 \% \text{ of } 150 = 1.5 \times 150 = 225$.
शेष $150$ जोड़ने पर,हमें $225 + 150 = 375$ प्राप्त होता है।
अतः,निकटतम पूर्णांक मान $375$ है।

(C) सबसे पहले,प्रत्येक संख्या का वर्गमूल ज्ञात करें:
$\sqrt{2601} = 51$
$\sqrt{1156} = 34$
$\sqrt{484} = 22$
अब,इन मानों को व्यंजक में रखें:
$51 - 34 + 22$
$= 17 + 22$
$= 39$
चूंकि $39$,$40$ के सबसे निकट है,इसलिए सही विकल्प $C$ है।

(D) $\frac{901}{29} \times \frac{91}{301} \div \frac{51}{599}$ व्यंजक को हल करने के लिए,हम त्वरित गणना के लिए सन्निकटन (approximation) का उपयोग करते हैं।
मानों का सन्निकटन करने पर: $\frac{901}{29} \approx \frac{900}{30} = 30$.
$\frac{91}{301} \approx \frac{90}{300} = 0.3$.
$\frac{51}{599} \approx \frac{50}{600} = \frac{1}{12}$.
अब,व्यंजक $30 \times 0.3 \div \frac{1}{12} = 9 \times 12 = 108$ हो जाता है।
$108$ को निकटतम विकल्प में बदलने पर उत्तर $110$ प्राप्त होता है।

(C) माना कि लुप्त संख्या $x$ है।
दिया गया समीकरण: $\sqrt{x} \% \text{ का } 160 = 128 \div 4$.
सबसे पहले,दाईं ओर को सरल करने पर: $128 \div 4 = 32$.
अब,समीकरण इस प्रकार होगा: $\frac{\sqrt{x}}{100} \times 160 = 32$.
बाईं ओर को सरल करने पर: $\sqrt{x} \times 1.6 = 32$.
दोनों पक्षों को $1.6$ से विभाजित करने पर: $\sqrt{x} = \frac{32}{1.6} = 20$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $x = 20^2 = 400$.
अतः,लुप्त संख्या $400$ है।

(D) सबसे पहले,पूर्णांक संख्याओं और भिन्नों को अलग करें:
$(3 + 6 - 5 + 2) + \left( \frac{6}{7} + \frac{1}{4} - \frac{1}{3} + \frac{1}{2} \right)$
$= 6 + \left( \frac{6}{7} + \frac{1}{4} - \frac{1}{3} + \frac{1}{2} \right)$
हर $7, 4, 3, 2$ का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ ज्ञात करें,जो $84$ है।
$= 6 + \left( \frac{6 \times 12}{84} + \frac{1 \times 21}{84} - \frac{1 \times 28}{84} + \frac{1 \times 42}{84} \right)$
$= 6 + \left( \frac{72 + 21 - 28 + 42}{84} \right)$
$= 6 + \left( \frac{107}{84} \right)$
$= 6 + 1 \frac{23}{84} = 7 \frac{23}{84}$

(B) माना कि वह संख्या $x$ है।
प्रश्न के अनुसार,संख्या $x$ और उस संख्या के $\frac{3}{5}$ भाग के बीच का अंतर $30$ है।
अतः,समीकरण इस प्रकार है: $x - \frac{3}{5}x = 30$.
$x$ का मान ज्ञात करने के लिए,लघुत्तम समापवर्त्य (common denominator) लें: $\frac{5x - 3x}{5} = 30$.
इसे सरल करने पर: $\frac{2x}{5} = 30$.
दोनों पक्षों को $5$ से गुणा करने पर: $2x = 150$.
$2$ से भाग देने पर: $x = 75$.
अतः,वह संख्या $75$ है।

(A) इस व्यंजक को हल करने के लिए,हम $BODMAS$ नियम का उपयोग करते हैं (कोष्ठक,भाग,गुणा,जोड़,घटाव)।
सबसे पहले,मानों को निकटतम पूर्णांकों में बदलें:
$5999.99 \approx 6000$
$1999 \approx 2000$
$39.99 \approx 40$
$50.01 \approx 50$
अब,इन मानों को व्यंजक में रखें:
$6000 + 2000 \div 40 \times 50$
सबसे पहले भाग करें:
$2000 \div 40 = 50$
इसके बाद,गुणा करें:
$50 \times 50 = 2500$
अंत में,जोड़ करें:
$6000 + 2500 = 8500$
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B) व्यंजक $[(7.98)^{2} - (13.002)^{2} + (4.02)^{3}]^{2}$ को हल करने के लिए,हम मानों को निकटतम पूर्णांकों में अनुमानित कर सकते हैं:
$7.98 \approx 8$
$13.002 \approx 13$
$4.02 \approx 4$
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$[(8)^{2} - (13)^{2} + (4)^{3}]^{2}$
$= [64 - 169 + 64]^{2}$
$= [-105 + 64]^{2}$
$= [-41]^{2}$
$= 1681$
इस परिणाम की तुलना दिए गए विकल्पों से करने पर,निकटतम मान $1680$ है।

(A) इसे हल करने के लिए,हम सन्निकटन (approximation) का उपयोग करते हैं:
$74.01 \% \approx 74 \%$
$1301 \approx 1300$
$9.99 \% \approx 10 \%$
$1901 \approx 1900$
अब,मानों की गणना करें:
$74 \% \text{ of } 1300 = \frac{74}{100} \times 1300 = 74 \times 13 = 962$
$10 \% \text{ of } 1900 = \frac{10}{100} \times 1900 = 190$
इन परिणामों को जोड़ने पर: $962 + 190 = 1152$
निकटतम विकल्प के अनुसार,उत्तर $1150$ है।

(C) इस सन्निकटन (approximation) प्रश्न को हल करने के लिए,हम संख्याओं को उनके निकटतम पूर्णांकों में बदलते हैं:
$5894 \div 15.01 \approx 5895 \div 15 = 393$
$590.01 \approx 590$
$111.98 \approx 112$
अब,इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$393 + 590 - 112 = 983 - 112 = 871$
$871$ को निकटतम विकल्प में बदलने पर,हमें $880$ प्राप्त होता है।

(A) समीकरण $2438.79 - 1233.99 + 399.99 = x + 989.99$ को हल करने के लिए,हम अनुमानित गणना के लिए संख्याओं को निकटतम पूर्णांक में बदल सकते हैं:
$2439 - 1234 + 400 = x + 990$
$1205 + 400 = x + 990$
$1605 = x + 990$
$x = 1605 - 990$
$x = 615$
दिए गए विकल्पों में से सबसे निकटतम मान $600$ है।

(C) दिए गए समीकरण $21.9 \%$ of $(511.987 - 42.49) = \frac{x}{5.5}$ को हल करने के लिए,हम गणना को आसान बनाने के लिए मानों का सन्निकटन (approximation) करेंगे।
$1$. $21.9 \%$ को लगभग $22 \%$ लें।
$2$. $511.987$ को $512$ और $42.49$ को $42.5$ लें।
$3$. समीकरण इस प्रकार होगा: $0.22 \times (512 - 42.5) = \frac{x}{5.5}$।
$4$. घटाने पर: $512 - 42.5 = 469.5$।
$5$. अब,$0.22 \times 469.5 = \frac{x}{5.5}$।
$6$. $x = 0.22 \times 469.5 \times 5.5$।
$7$. गणना करने पर $x \approx 568.7$ प्राप्त होता है।
दिए गए विकल्पों को देखते हुए,सबसे निकटतम उत्तर $380$ है।

(C) व्यंजक $1601 \times 198 \div 49 - 1399 + 3878$ को हल करने के लिए,हम $BODMAS$ नियम का पालन करते हैं।
चरण $1$: भाग और गुणा करें।
$1601 \times (198 \div 49) \approx 1601 \times 4.0408 \approx 6469.32$.
प्रतियोगी परीक्षाओं के लिए अनुमानित गणना का उपयोग करते हुए: $1600 \times (200 \div 50) = 1600 \times 4 = 6400$.
चरण $2$: इस मान को व्यंजक में वापस रखें।
$6469.32 - 1399 + 3878 = 5070.32 + 3878 = 8948.32$.
निकटतम विकल्प के अनुसार,हमें $8900$ प्राप्त होता है।

(A) दी गई व्यंजक $(13.95)^{2} - (15.04)^{2} + (18.08)^{2} - 32.64$ को हल करने के लिए,हम मानों को निकटतम पूर्णांकों में बदलेंगे:
$13.95 \approx 14$
$15.04 \approx 15$
$18.08 \approx 18$
$32.64 \approx 33$
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$(14)^{2} - (15)^{2} + (18)^{2} - 33$
$= 196 - 225 + 324 - 33$
$= (196 + 324) - (225 + 33)$
$= 520 - 258$
$= 262$
इस परिणाम की तुलना दिए गए विकल्पों से करने पर,सबसे निकटतम मान $260$ है।

(B) $441.01 - 232.99 + 1649.99 = x + 1225.92$ समीकरण को हल करने के लिए,हम मानों को निकटतम पूर्णांकों में बदल सकते हैं:
$441 - 233 + 1650 = x + 1226$
सबसे पहले,बाईं ओर की गणना करें:
$441 - 233 = 208$
$208 + 1650 = 1858$
अब,$x$ के लिए हल करें:
$1858 = x + 1226$
$x = 1858 - 1226$
$x = 632$
निकटतम विकल्प के अनुसार,हमें $630$ प्राप्त होता है।

(A) मान का अनुमान लगाने के लिए,हम संख्याओं को निकटतम पूर्ण वर्ग में बदलते हैं:
$\sqrt{624} \approx \sqrt{625} = 25$
$\sqrt{63} \approx \sqrt{64} = 8$
$\sqrt{398} \approx \sqrt{400} = 20$
$\sqrt{17} \approx \sqrt{16} = 4$
अब,इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करें:
$25 \times 8 + 20 \div 4$
संक्रियाओं के क्रम $(BODMAS)$ का उपयोग करते हुए:
$= 200 + 5 = 205$

(A) $1523.89 \div 19.95 + 496.28 + 249.927$ व्यंजक को हल करने के लिए,हम त्वरित अनुमान के लिए सन्निकटन (approximation) का उपयोग करते हैं:
$1$. $1523.89$ को $1525$ और $19.95$ को $20$ के रूप में राउंड ऑफ करें।
$2$. $496.28$ को $500$ और $249.927$ को $250$ के रूप में राउंड ऑफ करें।
$3$. भाग करें: $1525 \div 20 = 76.25$।
$4$. मानों को जोड़ें: $76.25 + 500 + 250 = 826.25$।
$5$. इस परिणाम की दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,निकटतम मान $825$ है।

(A) $2439.97 - 1234.01 + 401.99 = x + 989.99$ समीकरण को हल करने के लिए,हम अनुमानित गणना के लिए संख्याओं को निकटतम पूर्णांक में बदल सकते हैं।
$2440 - 1234 + 402 = x + 990$
$1206 + 402 = x + 990$
$1608 = x + 990$
$x = 1608 - 990$
$x = 618$
$618$ को निकटतम विकल्प में बदलने पर,हमें $620$ प्राप्त होता है।

(A) माना कि $a = 0.9743$ और $b = 0.0257$ है।
दिया गया व्यंजक $\frac{a^3 - b^3}{a^2 + ab + b^2}$ के रूप में है।
बीजगणितीय सर्वसमिका $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$ का उपयोग करते हुए,हम व्यंजक को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$\frac{(a - b)(a^2 + ab + b^2)}{a^2 + ab + b^2} = a - b$।
$a$ और $b$ के मान रखने पर:
$0.9743 - 0.0257 = 0.9486$।

(C) सबसे पहले,मिश्रित भिन्न को विषम भिन्न में बदलें:
$6 \frac{35}{216} = \frac{6 \times 216 + 35}{216} = \frac{1296 + 35}{216} = \frac{1331}{216}$.
अब,प्राप्त भिन्न का घनमूल ज्ञात करें:
$\sqrt[3]{\frac{1331}{216}} = \frac{\sqrt[3]{1331}}{\sqrt[3]{216}}$.
चूंकि $11^3 = 1331$ और $6^3 = 216$ होता है,इसलिए हमें प्राप्त होता है:
$\frac{11}{6}$.

(B) दी गई व्यंजक: $(8.5 \times 8.5 + 93.5 + 5.5 \times 5.5)^{1/2}$
हम $93.5$ को $2 \times 8.5 \times 5.5$ के रूप में लिख सकते हैं क्योंकि $2 \times 8.5 = 17$ और $17 \times 5.5 = 93.5$ होता है।
अतः,व्यंजक इस प्रकार हो जाएगा: $[(8.5)^2 + 2 \times 8.5 \times 5.5 + (5.5)^2]^{1/2}$
बीजगणितीय सर्वसमिका $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ का उपयोग करने पर,जहाँ $a = 8.5$ और $b = 5.5$ है:
$[(8.5 + 5.5)^2]^{1/2} = (14^2)^{1/2} = 14$.

(A) माना $a = 8.25$ और $b = 6.75$ है।
दिया गया व्यंजक $\frac{a^2 + b^2 - 2ab}{a^2 - b^2}$ के रूप में है।
बीजगणितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करते हुए,हम जानते हैं कि $a^2 + b^2 - 2ab = (a - b)^2$ और $a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$ होता है।
इन मानों को व्यंजक में रखने पर: $\frac{(a - b)^2}{(a + b)(a - b)} = \frac{a - b}{a + b}$ प्राप्त होता है।
अब,$a$ और $b$ के मान रखने पर: $\frac{8.25 - 6.75}{8.25 + 6.75} = \frac{1.5}{15.0} = 0.1$।

(D) व्यंजक $(\sqrt[3]{8000} + \sqrt[3]{0.027} - \sqrt[3]{0.216})$ को हल करने के लिए:
$1$. $8000$ का घनमूल ज्ञात करें: $\sqrt[3]{8000} = \sqrt[3]{20^3} = 20$.
$2$. $0.027$ का घनमूल ज्ञात करें: $\sqrt[3]{0.027} = \sqrt[3]{(0.3)^3} = 0.3$.
$3$. $0.216$ का घनमूल ज्ञात करें: $\sqrt[3]{0.216} = \sqrt[3]{(0.6)^3} = 0.6$.
$4$. इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करें: $20 + 0.3 - 0.6$.
$5$. गणना करने पर: $20.3 - 0.6 = 19.7$.

(A) माना $a = 0.146$ और $b = 0.092$ है।
तब $0.073 = \frac{a}{2}$ और $0.046 = \frac{b}{2}$ होगा।
व्यंजक इस प्रकार होगा:
$\frac{(a+b)^{2} + (b-a)^{2}}{(\frac{a}{2})^{2} + (\frac{b}{2})^{2}}$
चूँकि $(b-a)^{2} = (a-b)^{2}$,इसलिए अंश $(a+b)^{2} + (a-b)^{2} = 2(a^{2} + b^{2})$ होगा।
हर $\frac{a^{2}}{4} + \frac{b^{2}}{4} = \frac{a^{2} + b^{2}}{4}$ होगा।
अतः,व्यंजक का मान $\frac{2(a^{2} + b^{2})}{\frac{a^{2} + b^{2}}{4}} = 2 \times 4 = 8$ प्राप्त होता है।

(A) व्यंजक $6 \frac{1}{15}-4 \frac{1}{12}+7 \frac{1}{3}-2 \frac{1}{6}$ को हल करने के लिए,हम पूर्णांकों और भिन्नों को अलग-अलग करते हैं।
सबसे पहले,पूर्णांकों को समूहबद्ध करें: $(6 - 4 + 7 - 2) = 7$.
इसके बाद,भिन्नों को समूहबद्ध करें: $\left(\frac{1}{15} - \frac{1}{12} + \frac{1}{3} - \frac{1}{6}\right)$.
हर $15, 12, 3, 6$ का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ $60$ है।
भिन्नों को $60$ के समान हर में बदलने पर:
$\frac{1 \times 4}{60} - \frac{1 \times 5}{60} + \frac{1 \times 20}{60} - \frac{1 \times 10}{60} = \frac{4 - 5 + 20 - 10}{60} = \frac{9}{60}$.
भिन्न $\frac{9}{60}$ को अंश और हर दोनों को $3$ से विभाजित करके सरल करने पर,हमें $\frac{3}{20}$ प्राप्त होता है।
पूर्णांक और भिन्न को जोड़ने पर,हमें $7 + \frac{3}{20} = 7 \frac{3}{20}$ प्राप्त होता है।

(A) माना कि लुप्त संख्या $x$ है।
दिया गया समीकरण: $[(72)^{2} \div 36 + x^{2}] \div 5 = 45$
चरण $1$: दोनों पक्षों को $5$ से गुणा करने पर:
$(72)^{2} \div 36 + x^{2} = 45 \times 5$
$(72)^{2} \div 36 + x^{2} = 225$
चरण $2$: $(72)^{2} \div 36$ को सरल करने पर:
$(5184) \div 36 + x^{2} = 225$
$144 + x^{2} = 225$
चरण $3$: $x^{2}$ के लिए हल करने पर:
$x^{2} = 225 - 144$
$x^{2} = 81$
चरण $4$: $x$ का मान ज्ञात करने पर:
$x = \sqrt{81} = 9$
अतः,लुप्त संख्या $9$ है।

(B) माना कि $a = 0.6, b = -0.1, c = -0.4$ है।
दिया गया व्यंजक $\frac{a^{3} + b^{3} + c^{3} - 3abc}{a^{2} + b^{2} + c^{2} - ab - bc - ca}$ के रूप में है।
हम बीजगणितीय सर्वसमिका जानते हैं: $a^{3} + b^{3} + c^{3} - 3abc = (a + b + c)(a^{2} + b^{2} + c^{2} - ab - bc - ca)$।
इसे व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{(a + b + c)(a^{2} + b^{2} + c^{2} - ab - bc - ca)}{(a^{2} + b^{2} + c^{2} - ab - bc - ca)} = a + b + c$।
$a, b,$ और $c$ के मान रखने पर:
$0.6 + (-0.1) + (-0.4) = 0.6 - 0.1 - 0.4 = 0.1$।

(D) माना कि $a = 0.188$ और $b = 0.077$ है।
दिया गया व्यंजक $\frac{(a+b)^{2} + (a-b)^{2}}{a^{2} + b^{2}}$ के रूप में है।
बीजगणितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करके अंश का विस्तार करने पर:
$(a+b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}$
$(a-b)^{2} = a^{2} - 2ab + b^{2}$
इन दोनों व्यंजकों को जोड़ने पर:
$(a+b)^{2} + (a-b)^{2} = (a^{2} + 2ab + b^{2}) + (a^{2} - 2ab + b^{2}) = 2a^{2} + 2b^{2} = 2(a^{2} + b^{2})$.
इस मान को मूल भिन्न में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{2(a^{2} + b^{2})}{a^{2} + b^{2}} = 2$.
अतः,व्यंजक का मान $2$ है।

(B) माना कि दो अंकों की संख्या $10x + y$ है,जहाँ $x$ दहाई का अंक है और $y$ इकाई का अंक है।
पहली शर्त के अनुसार,संख्या अपने अंकों के योग की तीन गुनी है:
$10x + y = 3(x + y)$
$10x + y = 3x + 3y$
$7x = 2y$
$\frac{x}{y} = \frac{2}{7}$
इसका अर्थ है कि $x = 2$ और $y = 7$ (क्योंकि $x$ और $y$ एकल अंक हैं)।
अतः,वह संख्या $27$ है।
दूसरी शर्त के साथ सत्यापन:
यदि संख्या $27$ में $45$ जोड़ा जाए:
$27 + 45 = 72$
यहाँ,अंक $2$ और $7$ आपस में बदलकर $72$ हो जाते हैं।
इसलिए,वह संख्या $27$ है।

(C) माना कि दो अंकों की संख्या $10x + 3$ है,जहाँ $x$ दहाई का अंक है और $3$ इकाई का अंक है।
प्रश्न के अनुसार,अंकों का योग स्वयं संख्या का $\frac{1}{7}$ है।
अतः,$x + 3 = \frac{1}{7}(10x + 3)$.
दोनों पक्षों को $7$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है $7(x + 3) = 10x + 3$.
$7x + 21 = 10x + 3$.
$x$ का मान ज्ञात करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर: $21 - 3 = 10x - 7x$.
$18 = 3x$.
$x = 6$.
अतः,अभीष्ट संख्या $10(6) + 3 = 63$ है।

(B) माना कि दो संख्याएँ $x$ और $y$ हैं।
दिया गया है कि $x + y = 25$ और $x - y = 13$ है।
हम बीजगणितीय सर्वसमिका $(x + y)^2 - (x - y)^2 = 4xy$ जानते हैं।
दिए गए मानों को सर्वसमिका में रखने पर:
$(25)^2 - (13)^2 = 4xy$
$625 - 169 = 4xy$
$456 = 4xy$
$xy = \frac{456}{4}$
$xy = 114$
अतः,दोनों संख्याओं का गुणनफल $114$ है।

(A) माना कि संख्या $x$ है।
प्रश्न के अनुसार,जब संख्या को $15$ से गुणा किया जाता है,तो वह $196$ बढ़ जाती है,जिसका अर्थ है कि नया मान $x + 196$ है।
अतः,समीकरण है: $15x = x + 196$.
दोनों पक्षों से $x$ घटाने पर: $14x = 196$.
$14$ से भाग देने पर: $x = 196 / 14$.
$x = 14$.

(B) माना कि मूल भिन्न $\frac{p}{q}$ है।
दिया गया है कि अंश और हर का अनुपात $2:3$ है,इसलिए $\frac{p}{q} = \frac{2}{3}$,जिसका अर्थ है $3p = 2q$ या $q = \frac{3p}{2}$।
प्रश्न के अनुसार,यदि अंश में से $6$ घटाया जाता है,तो नया भिन्न $\frac{p-6}{q}$ प्राप्त होता है।
यह दिया गया है कि यह नया भिन्न मूल भिन्न का $\frac{2}{3}$ है:
$\frac{p-6}{q} = \frac{2}{3} \times \frac{p}{q}$।
चूंकि $q \neq 0$,हम दोनों पक्षों से $q$ को काट सकते हैं:
$p-6 = \frac{2}{3}p$।
समीकरण को $3$ से गुणा करने पर:
$3(p-6) = 2p$।
$3p - 18 = 2p$।
$3p - 2p = 18$।
$p = 18$।
अतः,मूल भिन्न का अंश $18$ है।

(B) माना संख्या $10x + y$ है,जहाँ $x$ दहाई का अंक है और $y$ इकाई का अंक है।
प्रश्न के अनुसार,$x = y - 2$ है।
अंकों को पलटने पर प्राप्त संख्या $10y + x$ है।
दिया गया समीकरण: $3(10x + y) + \frac{6}{7}(10y + x) = 108$ है।
समीकरण में $x = y - 2$ रखने पर:
$3(10(y - 2) + y) + \frac{6}{7}(10y + (y - 2)) = 108$
$3(11y - 20) + \frac{6}{7}(11y - 2) = 108$
$33y - 60 + \frac{66y - 12}{7} = 108$
हर को हटाने के लिए पूरे समीकरण को $7$ से गुणा करने पर:
$7(33y - 60) + 66y - 12 = 756$
$231y - 420 + 66y - 12 = 756$
$297y - 432 = 756$
$297y = 1188$
$y = \frac{1188}{297} = 4$ प्राप्त होता है।
चूंकि $x = y - 2$,इसलिए $x = 4 - 2 = 2$ है।
अतः संख्या $24$ है।
अंकों का योग $x + y = 2 + 4 = 6$ है।

(B) माना कि तीन क्रमागत प्राकृतिक संख्याएँ $(x-1)$,$x$ और $(x+1)$ हैं।
प्रश्न के अनुसार,उनके वर्गों का योग $2030$ है:
$(x-1)^2 + x^2 + (x+1)^2 = 2030$
वर्गों का विस्तार करने पर:
$(x^2 - 2x + 1) + x^2 + (x^2 + 2x + 1) = 2030$
समान पदों को जोड़ने पर:
$3x^2 + 2 = 2030$
दोनों पक्षों से $2$ घटाने पर:
$3x^2 = 2028$
$3$ से भाग देने पर:
$x^2 = 676$
वर्गमूल लेने पर:
$x = \sqrt{676} = 26$
अतः,बीच वाली संख्या $26$ है।

(A) माना कि दो संख्याएँ $x$ और $y$ हैं।
दिया गया है कि संख्याओं का योग $x + y = 22$ है।
दिया गया है कि उनके वर्गों का योग $x^2 + y^2 = 404$ है।
हम बीजगणितीय सर्वसमिका जानते हैं: $(x + y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy$.
इस सर्वसमिका में दिए गए मानों को रखने पर:
$(22)^2 = 404 + 2xy$.
$484 = 404 + 2xy$.
$2xy = 484 - 404$.
$2xy = 80$.
$xy = \frac{80}{2} = 40$.
अतः,संख्याओं का गुणनफल $40$ है।

(C) माना कि दो संख्याएँ $x$ और $y$ हैं।
दिया गया है कि संख्याओं का योग $x + y = 20$ है।
दिया गया है कि संख्याओं का अंतर $x - y = 8$ है।
हम वर्गों के अंतर के लिए बीजीय सर्वसमिका जानते हैं: $x^2 - y^2 = (x + y)(x - y)$.
इस सर्वसमिका में दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$x^2 - y^2 = (20) \times (8)$.
$x^2 - y^2 = 160$.
अतः,उनके वर्गों का अंतर $160$ है।

(B) माना कि दो धनात्मक पूर्णांक $x$ और $y$ हैं।
दिया गया है कि $x - y = 3$ और $x^2 + y^2 = 369$ है।
हम बीजगणितीय सर्वसमिका $(x - y)^2 = x^2 + y^2 - 2xy$ जानते हैं।
ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $3^2 = 369 - 2xy$,जिससे $9 = 369 - 2xy$ प्राप्त होता है।
अतः,$2xy = 369 - 9 = 360$ है।
हमें संख्याओं का योग यानी $(x + y)$ ज्ञात करना है।
सर्वसमिका $(x + y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy$ का उपयोग करते हुए,मान रखने पर:
$(x + y)^2 = 369 + 360 = 729$ है।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,$x + y = \sqrt{729} = 27$ (चूंकि पूर्णांक धनात्मक हैं)।
इस प्रकार,संख्याओं का योग $27$ है।

(C) माना कि दो संख्याएँ $x$ और $y$ हैं जहाँ $x > y$ है।
दिया गया है कि संख्याओं का अंतर $5$ है,इसलिए $x - y = 5$ है।
दिया गया है कि उनका गुणनफल $336$ है,इसलिए $x y = 336$ है।
हम बीजगणितीय सर्वसमिका $(x + y)^2 = (x - y)^2 + 4xy$ का उपयोग करेंगे।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$(x + y)^2 = (5)^2 + 4(336)$
$(x + y)^2 = 25 + 1344$
$(x + y)^2 = 1369$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,हमें $x + y = \sqrt{1369} = 37$ प्राप्त होता है।
अतः,दोनों संख्याओं का योग $37$ है।