Numbers Questions in Hindi

(C) मान लीजिए कि दो प्राकृतिक संख्याएँ $x$ और $y$ हैं।
दिया गया है कि $xy = 17$ है।
चूंकि $17$ एक अभाज्य संख्या है,इसलिए केवल $1$ और $17$ ही ऐसी प्राकृतिक संख्याएँ हैं जिनका गुणनफल $17$ होता है।
अतः,$x = 1$ और $y = 17$ है।
हमें उनके वर्गों के व्युत्क्रमों का योग ज्ञात करना है,जो $\frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2}$ है।
मान रखने पर,हमें $\frac{1}{1^2} + \frac{1}{17^2} = 1 + \frac{1}{289}$ प्राप्त होता है।
योग करने पर: $1 + \frac{1}{289} = \frac{289 + 1}{289} = \frac{290}{289}$।

(C) माना कि संख्या $x$ है।
प्रश्न के अनुसार,संख्या को दोगुना करके $20$ जोड़ने पर $2x + 20$ प्राप्त होता है।
संख्या को $8$ से गुणा करके $4$ घटाने पर $8x - 4$ प्राप्त होता है।
दोनों व्यंजकों को बराबर करने पर: $2x + 20 = 8x - 4$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $8x - 2x = 20 + 4$.
$6x = 24$.
$6$ से भाग देने पर: $x = 4$.

(B) माना कि प्राकृतिक संख्या $x$ है।
प्रश्न के अनुसार,समीकरण इस प्रकार है:
$3x^2 - 4x = x + 50$
पदों को व्यवस्थित करके द्विघात समीकरण बनाने पर:
$3x^2 - 5x - 50 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$3x^2 - 15x + 10x - 50 = 0$
$3x(x - 5) + 10(x - 5) = 0$
$(3x + 10)(x - 5) = 0$
इससे $x = -\frac{10}{3}$ या $x = 5$ प्राप्त होता है।
चूंकि संख्या एक प्राकृतिक संख्या होनी चाहिए,इसलिए हम ऋणात्मक भिन्न को छोड़ देते हैं।
अतः,वह प्राकृतिक संख्या $5$ है।

(C) मान लीजिए कि चार संख्याएँ $a, b, c$ और $d$ हैं।
प्रश्न के अनुसार,$a+3 = b-3 = 3c = d/3 = k$ है।
इससे,हम प्रत्येक चर को $k$ के रूप में व्यक्त कर सकते हैं:
$a = k-3$
$b = k+3$
$c = k/3$
$d = 3k$
दिया गया है कि संख्याओं का योग $64$ है:
$(k-3) + (k+3) + (k/3) + 3k = 64$
$5k + k/3 = 64$
$(15k + k)/3 = 64$
$16k/3 = 64$
$k = (64 \times 3) / 16 = 12.$
अब,संख्याएँ ज्ञात करने के लिए $k=12$ का मान रखने पर:
$a = 12-3 = 9$
$b = 12+3 = 15$
$c = 12/3 = 4$
$d = 3 \times 12 = 36.$
संख्याएँ $9, 15, 4$ और $36$ हैं।
सबसे बड़ी संख्या $36$ है और सबसे छोटी संख्या $4$ है।
अंतर $36 - 4 = 32$ है।

(B) माना दहाई का अंक $x$ है और इकाई का अंक $y$ है। मूल संख्या $10x + y$ है।
प्रश्न के अनुसार,$y = 2x + 1$ (समीकरण $1$)।
जब अंकों को आपस में बदल दिया जाता है,तो नई संख्या $10y + x$ हो जाती है।
नई संख्या और मूल संख्या के बीच का अंतर $(10y + x) - (10x + y) = 9y - 9x$ है।
प्रश्न के अनुसार,यह अंतर मूल संख्या से $1$ कम है:
$9y - 9x = (10x + y) - 1$
$8y - 19x = -1$ (समीकरण $2$)।
समीकरण $2$ में $y = 2x + 1$ रखने पर:
$8(2x + 1) - 19x = -1$
$16x + 8 - 19x = -1$
$-3x = -9$
$x = 3$।
अब,समीकरण $1$ का उपयोग करके $y$ ज्ञात करें:
$y = 2(3) + 1 = 7$।
अतः,मूल संख्या $10(3) + 7 = 37$ है।

(B) मान लीजिए कि दो अंकों की संख्या $10x + y$ है,जहाँ $x$ दहाई का अंक है और $y$ इकाई का अंक है।
प्रश्न के अनुसार,यदि इकाई के अंक को आधा $(y/2)$ कर दिया जाए और दहाई के अंक को दोगुना $(2x)$ कर दिया जाए,तो नई संख्या $10(2x) + y/2$ बनती है।
यह नई संख्या अंकों को आपस में बदलने पर प्राप्त संख्या $(10y + x)$ के बराबर है।
अतः,$10(2x) + y/2 = 10y + x$.
$20x + y/2 = 10y + x$.
भिन्न को हटाने के लिए पूरे समीकरण को $2$ से गुणा करने पर: $40x + y = 20y + 2x$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $40x - 2x = 20y - y$.
$38x = 19y$.
दोनों पक्षों को $19$ से भाग देने पर,हमें $2x = y$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है कि इकाई के स्थान का अंक $(y)$,दहाई के स्थान के अंक $(x)$ का दोगुना है।

(B) मान लीजिए कि तीन क्रमागत विषम संख्याएँ $(x-2)$,$x$ और $(x+2)$ हैं।
प्रश्न के अनुसार,इन तीन संख्याओं का योग पहली संख्या से $20$ अधिक है:
$(x-2) + x + (x+2) = (x-2) + 20$
बाएँ पक्ष को सरल करने पर: $3x = x + 18$
दोनों पक्षों से $x$ घटाने पर: $2x = 18$
$2$ से भाग देने पर: $x = 9$
अतः,मध्य संख्या $9$ है।

(B) माना कि दो संख्याएँ $x$ और $y$ हैं।
प्रश्न के अनुसार,हमारे पास निम्नलिखित समीकरण हैं:
$(1) \quad \frac{1}{5} x = \frac{5}{8} y$
$(2) \quad x + 35 = 4 y$
समीकरण $(1)$ से,हम $x$ को $y$ के पदों में व्यक्त कर सकते हैं:
$x = \frac{5}{8} y \times 5 = \frac{25}{8} y$
अब,$x$ के इस मान को समीकरण $(2)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{25}{8} y + 35 = 4 y$
$y$ के लिए हल करने हेतु पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$35 = 4 y - \frac{25}{8} y$
$35 = \left( \frac{32 - 25}{8} \right) y$
$35 = \frac{7}{8} y$
$y = \frac{35 \times 8}{7}$
$y = 5 \times 8 = 40$
अतः,दूसरी संख्या $40$ है।

(D) माना कि संख्या $x$ है।
प्रश्न के अनुसार,संख्या और उसके वर्ग का योग $182$ है।
अतः,$x^2 + x = 182$.
समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $x^2 + x - 182 = 0$ प्राप्त होता है।
इस द्विघात समीकरण को हल करने के लिए,हम ऐसी दो संख्याएँ ढूँढते हैं जिनका गुणनफल $-182$ हो और योग $1$ हो।
ये संख्याएँ $14$ और $-13$ हैं।
अतः,$x^2 + 14x - 13x - 182 = 0$.
$x(x + 14) - 13(x + 14) = 0$.
$(x - 13)(x + 14) = 0$.
इससे हमें $x = 13$ या $x = -14$ प्राप्त होता है।
चूँकि विकल्पों में $13$ दिया गया है,इसलिए सही संख्या $13$ है।

(B) माना कि संख्या $x$ है।
प्रश्न के अनुसार,समीकरण इस प्रकार है:
$\frac{x-4}{6} = 8$
दोनों पक्षों को $6$ से गुणा करने पर:
$x - 4 = 8 \times 6$
$x - 4 = 48$
$x$ का मान ज्ञात करने के लिए दोनों पक्षों में $4$ जोड़ने पर:
$x = 48 + 4 = 52$
अब,हमें वह परिणाम ज्ञात करना है यदि संख्या में से $2$ घटाया जाए और फिर उसे $5$ से विभाजित किया जाए:
$\frac{x - 2}{5} = \frac{52 - 2}{5}$
$= \frac{50}{5} = 10$

(B) माना कि दो अंकों की संख्या $10x + y$ है,जहाँ $x$ दहाई का अंक है और $y$ इकाई का अंक है।
प्रश्न के अनुसार,अंकों का गुणनफल $8$ है,इसलिए $xy = 8$ है।
जब संख्या में $18$ जोड़ा जाता है,तो अंकों का स्थान बदल जाता है,जिसका अर्थ है कि नई संख्या $10y + x$ हो जाती है।
अतः,$(10x + y) + 18 = 10y + x$ है।
पदों को व्यवस्थित करने पर: $10y - y + x - 10x = 18$,जो सरल होकर $9y - 9x = 18$ हो जाता है।
$9$ से भाग देने पर,हमें $y - x = 2$ प्राप्त होता है,या $y = x + 2$ है।
$y = x + 2$ को गुणनफल समीकरण $xy = 8$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$x(x + 2) = 8$
$x^2 + 2x - 8 = 0$
$(x + 4)(x - 2) = 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि $x$ एक धनात्मक अंक होना चाहिए,इसलिए $x = 2$ है।
तब $y = 2 + 2 = 4$ है।
अतः संख्या $10(2) + 4 = 24$ है।

(B) माना कि दो अंकों की संख्या $10x + y$ है,जहाँ $x$ दहाई का अंक है और $y$ इकाई का अंक है।
प्रश्न के अनुसार,संख्या और उसके अंकों को बदलने पर प्राप्त संख्या के बीच का अंतर $36$ है:
$| (10x + y) - (10y + x) | = 36$
$| 9x - 9y | = 36$
$| x - y | = 4$
अंकों का अनुपात $1:2$ दिया गया है,इसलिए $y/x = 1/2$ या $x/y = 1/2$। अतः $x = 2y$ या $y = 2x$।
$x = 2y$ को $| x - y | = 4$ में रखने पर,हमें $| 2y - y | = 4$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $y = 4$। तब $x = 2(4) = 8$।
अतः अंक $8$ और $4$ हैं।
अंकों का योग $x + y = 8 + 4 = 12$ है।
अंकों का अंतर $x - y = 8 - 4 = 4$ है।
अंकों के योग और अंतर के बीच का अंतर $12 - 4 = 8$ है।

(D) माना कि तीन क्रमागत विषम पूर्णांक $x$,$(x+2)$,और $(x+4)$ हैं।
प्रश्न के अनुसार,पहली संख्या का तीन गुना,तीसरी संख्या के दोगुने से $3$ अधिक है।
$3x = 2(x+4) + 3$
$3x = 2x + 8 + 3$
$3x - 2x = 11$
$x = 11$
अतः,तीन क्रमागत विषम पूर्णांक $11$,$13$,और $15$ हैं।
तीसरी संख्या $x + 4 = 11 + 4 = 15$ है।

(D) माना कि दो अंकों की संख्या के अंक $x$ और $y$ हैं।
दिया गया है कि अंकों का योग $x + y = 15$ $(1)$ है।
दिया गया है कि अंकों के बीच का अंतर $x - y = 3$ $(2)$ या $y - x = 3$ $(3)$ है।
स्थिति $1$: समीकरण $(1)$ और $(2)$ को हल करने पर:
समीकरणों को जोड़ने पर,$2x = 18 \Rightarrow x = 9$ प्राप्त होता है।
$x = 9$ को $(1)$ में रखने पर,$9 + y = 15 \Rightarrow y = 6$ प्राप्त होता है।
अतः,संख्या $96$ है।
स्थिति $2$: समीकरण $(1)$ और $(3)$ को हल करने पर:
समीकरणों को जोड़ने पर,$2y = 18 \Rightarrow y = 9$ प्राप्त होता है।
$y = 9$ को $(1)$ में रखने पर,$x + 9 = 15 \Rightarrow x = 6$ प्राप्त होता है।
अतः,संख्या $69$ है।
चूंकि $96$ और $69$ दोनों दी गई शर्तों को पूरा करते हैं,इसलिए विशिष्ट दो अंकों की संख्या निर्धारित नहीं की जा सकती है।
अतः,सही विकल्प $(d)$ है।

(B) माना कि दो संख्याएँ $x$ और $y$ हैं।
दिया गया है कि संख्याओं का गुणनफल $xy = 45$ है और उनके वर्गों का योग $x^2 + y^2 = 106$ है।
हम जानते हैं कि सर्वसमिका $(x + y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy$ होती है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $(x + y)^2 = 106 + 2(45) = 106 + 90 = 196$।
अतः,$x + y = \sqrt{196} = 14$।
हमारे पास $x + y = 14$ और $xy = 45$ है।
ये द्विघात समीकरण $t^2 - (x+y)t + xy = 0$ के मूल हैं,जो कि $t^2 - 14t + 45 = 0$ है।
समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(t - 9)(t - 5) = 0$।
इसलिए,वे संख्याएँ $5$ और $9$ हैं।

(B) माना कि दो संख्याएँ $x$ और $y$ हैं।
दिया गया है कि संख्याओं का गुणनफल $x y = 120$ है।
दिया गया है कि उनके वर्गों का योग $x^2 + y^2 = 289$ है।
हम बीजगणितीय सर्वसमिका $(x + y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy$ जानते हैं।
इस सर्वसमिका में दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$(x + y)^2 = 289 + 2(120)$
$(x + y)^2 = 289 + 240$
$(x + y)^2 = 529$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,हमें $x + y = \sqrt{529} = 23$ प्राप्त होता है।
अतः,संख्याओं का योग $23$ है।

(C) माना दूसरी संख्या $x$ है।
प्रश्न के अनुसार:
पहली संख्या $= 2x$
तीसरी संख्या $= \frac{1}{3} \times (2x) = \frac{2}{3}x$
तीनों संख्याओं का योग $264$ है,इसलिए:
$2x + x + \frac{2}{3}x = 264$
पदों को जोड़ने पर:
$3x + \frac{2}{3}x = 264$
$\frac{9x + 2x}{3} = 264$
$\frac{11x}{3} = 264$
$x$ का मान ज्ञात करने पर:
$11x = 264 \times 3$
$11x = 792$
$x = \frac{792}{11} = 72$
अतः,दूसरी संख्या $72$ है।

(B) माना कि संख्या $x$ है।
प्रश्न के अनुसार,समीकरण इस प्रकार है:
$\frac{2}{3}x - 50 = \frac{x}{4} + 40$
$x$ वाले पदों को एक तरफ व्यवस्थित करने पर:
$\frac{2}{3}x - \frac{x}{4} = 50 + 40$
$\frac{2}{3}x - \frac{x}{4} = 90$
बाईं ओर के भिन्नों का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ $12$ लेने पर:
$\frac{8x - 3x}{12} = 90$
$\frac{5x}{12} = 90$
दोनों पक्षों को $12$ से गुणा करने पर:
$5x = 90 \times 12$
$5x = 1080$
$5$ से भाग देने पर:
$x = \frac{1080}{5}$
$x = 216$
अतः,वह संख्या $216$ है।

(B) माना कि संख्या $x$ है।
प्रश्न के अनुसार,समीकरण इस प्रकार है:
$\left[\left(x + 2 \frac{1}{2}\right) \times 4 \frac{1}{2} + 3\right] \div 1 \frac{1}{5} = 25$
मिश्रित भिन्नों को अनुचित भिन्नों में बदलने पर:
$\left[\left(x + \frac{5}{2}\right) \times \frac{9}{2} + 3\right] \div \frac{6}{5} = 25$
दोनों पक्षों को $\frac{6}{5}$ से गुणा करने पर:
$\left(x + \frac{5}{2}\right) \times \frac{9}{2} + 3 = 25 \times \frac{6}{5}$
$\left(x + \frac{5}{2}\right) \times \frac{9}{2} + 3 = 30$
दोनों पक्षों से $3$ घटाने पर:
$\left(x + \frac{5}{2}\right) \times \frac{9}{2} = 27$
दोनों पक्षों को $\frac{2}{9}$ से गुणा करने पर:
$x + \frac{5}{2} = 27 \times \frac{2}{9}$
$x + \frac{5}{2} = 6$
दोनों पक्षों से $\frac{5}{2}$ घटाने पर:
$x = 6 - \frac{5}{2} = \frac{12 - 5}{2} = \frac{7}{2} = 3 \frac{1}{2}$

(A) माना दहाई का अंक $x$ है और इकाई का अंक $y$ है। संख्या $10x + y$ है।
दिया गया है कि इकाई का अंक दहाई के अंक से $2$ अधिक है, इसलिए $y = x + 2$ है।
अंकों का योग $x + y = x + (x + 2) = 2x + 2$ है।
संख्या और उसके अंकों के योग का गुणनफल $144$ है, इसलिए $(10x + y)(x + y) = 144$ है।
समीकरण में $y = x + 2$ प्रतिस्थापित करने पर:
$(10x + x + 2)(x + x + 2) = 144$
$(11x + 2)(2x + 2) = 144$
$(11x + 2) \cdot 2(x + 1) = 144$
$(11x + 2)(x + 1) = 72$
$11x^2 + 11x + 2x + 2 = 72$
$11x^2 + 13x - 70 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$(11x + 35)(x - 2) = 0$
चूंकि $x$ एक धनात्मक पूर्णांक होना चाहिए, इसलिए $x = 2$ है।
अतः $y = x + 2 = 2 + 2 = 4$ है।
इस प्रकार, संख्या $10(2) + 4 = 24$ है।

(B) माना कि दो संख्याएँ $x$ और $y$ हैं।
प्रश्न के अनुसार,संख्याओं का योग $x + y = 22$ है (समीकरण $1$)।
साथ ही,एक संख्या का पाँच गुना दूसरी संख्या के $6$ गुने के बराबर है,इसलिए $5x = 6y$ (समीकरण $2$)।
समीकरण $2$ से,हम $x$ को $x = \frac{6}{5}y$ के रूप में लिख सकते हैं।
इस मान को समीकरण $1$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{6}{5}y + y = 22$
$\frac{6y + 5y}{5} = 22$
$\frac{11y}{5} = 22$
$11y = 110$
$y = 10$.
अब,$y = 10$ का मान समीकरण $1$ में रखने पर:
$x + 10 = 22$
$x = 12$.
अतः,दो संख्याएँ $12$ और $10$ हैं। बड़ी संख्या $12$ है।

(A) माना कि दो संख्याएँ $x$ और $y$ हैं,जहाँ $x > y$ है।
प्रश्न के अनुसार:
$x + y = 33$ --- $(1)$
$x - y = 15$ --- $(2)$
समीकरण $(1)$ में से समीकरण $(2)$ को घटाने पर:
$(x + y) - (x - y) = 33 - 15$
$2y = 18$
$y = 9$
$y = 9$ का मान समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$x + 9 = 33$
$x = 33 - 9 = 24$
अतः,दो संख्याएँ $24$ और $9$ हैं। इसलिए छोटी संख्या $9$ है।

(C) माना कि वह संख्या $x$ है।
प्रश्न के अनुसार,संख्या के आधे और पांचवें भाग का योग उस संख्या के एक-तिहाई भाग से $7 \frac{1}{3} = \frac{22}{3}$ अधिक है।
अतः,समीकरण इस प्रकार है: $\frac{x}{2} + \frac{x}{5} = \frac{x}{3} + \frac{22}{3}$.
$x$ का मान ज्ञात करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर: $\frac{x}{2} + \frac{x}{5} - \frac{x}{3} = \frac{22}{3}$.
$2, 5,$ और $3$ का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ $30$ है।
$\frac{15x + 6x - 10x}{30} = \frac{22}{3}$.
$\frac{11x}{30} = \frac{22}{3}$.
$x = \frac{22}{3} \times \frac{30}{11} = 2 \times 10 = 20$.
अतः,वह संख्या $20$ है।

(A) माना कि धनात्मक संख्या $x$ है।
प्रश्न के अनुसार,संख्या का दो-तिहाई उसके व्युत्क्रम के $\frac{25}{216}$ भाग के बराबर है।
अतः,$\frac{2}{3} x = \frac{25}{216} \times \frac{1}{x}$.
दोनों पक्षों को $x$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{2}{3} x^2 = \frac{25}{216}$.
अब,$x^2 = \frac{25}{216} \times \frac{3}{2}$.
$x^2 = \frac{25}{72 \times 2} = \frac{25}{144}$.
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,$x = \sqrt{\frac{25}{144}} = \frac{5}{12}$ (चूंकि संख्या धनात्मक है)।

(A) दी गई व्यंजक $7372 \times 7372 + 7372 \times 628$ है।
योग पर गुणन के वितरण नियम का उपयोग करते हुए,$a \times b + a \times c = a \times (b + c)$।
यहाँ,$a = 7372$,$b = 7372$,और $c = 628$ है।
अतः,व्यंजक $7372 \times (7372 + 628)$ हो जाता है।
कोष्ठक के अंदर का योग करने पर: $7372 + 628 = 8000$।
अब,गुणा करने पर: $7372 \times 8000 = 58976000$।
इस प्रकार,सही विकल्प $A$ है।

(A) माना कि लुप्त संख्या $x$ है।
तब,समीकरण इस प्रकार है: $9999 + 8888 + 777 + x = 19700$.
सबसे पहले,दी गई संख्याओं का योग ज्ञात करें: $9999 + 8888 + 777 = 19664$.
अब,इस योग को समीकरण में रखें: $19664 + x = 19700$.
$x$ का मान ज्ञात करने के लिए,$19700$ में से $19664$ घटाएं: $x = 19700 - 19664$.
अतः,$x = 36$.

(A) माना कि लुप्त अंक $x$ है,अतः अभिव्यक्ति $(60x6) \times 111 = 666666$ हो जाती है।
दोनों पक्षों को $111$ से विभाजित करने पर:
$60x6 = \frac{666666}{111}$
भाग देने पर:
$666666 \div 111 = 6006$
$60x6$ की तुलना $6006$ से करने पर,हम पाते हैं कि लुप्त अंक $x = 0$ है।

(A) माना कि लुप्त अंक $x$ है। समीकरण $3149 \times (100 + 10x + 5) = 425115$ है।
दोनों पक्षों को $3149$ से विभाजित करने पर:
$100 + 10x + 5 = \frac{425115}{3149}$
$105 + 10x = 135$
$10x = 135 - 105$
$10x = 30$
$x = 3$
अतः,लुप्त अंक $3$ है।

(D) माना श्री मनोज की आयु $(10x + y)$ वर्ष है।
अतः,उनकी पत्नी की आयु $(10y + x)$ वर्ष होगी।
प्रश्न के अनुसार,उनकी आयु के योग का $\frac{1}{11}$ भाग उनकी आयु के अंतर के बराबर है:
$\frac{1}{11} (10x + y + 10y + x) = (10x + y) - (10y + x)$
$\frac{1}{11} (11x + 11y) = 9x - 9y$
$x + y = 9(x - y)$
$x + y = 9x - 9y$
$10y = 8x$
$\frac{x}{y} = \frac{10}{8} = \frac{5}{4}$
चूंकि $x$ और $y$ एकल अंक हैं,इसलिए हम $x = 5$ और $y = 4$ लेते हैं।
अतः,श्री मनोज की आयु $54$ वर्ष और उनकी पत्नी की आयु $45$ वर्ष है।
उनकी आयु के बीच का अंतर $54 - 45 = 9$ वर्ष है।

(B) माना कि $d$ भाजक है और $q$ भागफल है।
लंबी भाग प्रक्रिया में,भाज्य $D$ को $D = d \times q + r_{last}$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
दिया गया है $D = 380606$ और $r_{last} = 413$,इसलिए $d \times q = 380606 - 413 = 380193$ है।
चूंकि $380193$ एक विषम संख्या है,इसलिए भाजक $d$ भी विषम होना चाहिए। यह $d = 3372$ विकल्प को हटा देता है।
साथ ही,$380193$ का अंत $0$ या $5$ से नहीं होता है,इसलिए $d$ का $5$ का गुणज होना संभव नहीं है। यह $c = 4215$ विकल्प को हटा देता है।
अब हमारे पास $451$ और $843$ बचे हैं। हम भाग के पहले चरण की जाँच करते हैं:
यदि $d = 843$ है,तो भाज्य का पहला भाग $3806$ को $843$ से भाग देने पर $3806 = 843 \times 4 + 434$ प्राप्त होता है। यह पहले शेषफल $434$ से मेल खाता है।
यदि $d = 451$ है,तो $3806 = 451 \times 8 + 198$ प्राप्त होता है। यह पहले शेषफल $434$ से मेल नहीं खाता है।
अतः,भाजक $843$ है।

(C) दिया गया है कि $\frac{x}{y} = \frac{3}{4}$,अतः हम $x = \frac{3}{4}y$ लिख सकते हैं।
$\frac{y-x}{y+x}$ व्यंजक में $x = \frac{3}{4}y$ रखने पर:
$\frac{y - \frac{3}{4}y}{y + \frac{3}{4}y} = \frac{\frac{1}{4}y}{\frac{7}{4}y} = \frac{1}{7}$।
अब,इस मान को पहले पद में जोड़ने पर:
$\frac{6}{7} + \frac{1}{7} = \frac{7}{7} = 1$।

(C) माना कि तीन क्रमागत सम प्राकृतिक संख्याएँ $2n, 2n+2$ और $2n+4$ हैं,जहाँ $n$ एक प्राकृतिक संख्या है।
गुणनफल $P = 2n(2n+2)(2n+4) = 8n(n+1)(n+2)$ है।
चूँकि $n, (n+1)$ और $(n+2)$ तीन क्रमागत पूर्णांक हैं,उनका गुणनफल $n(n+1)(n+2)$ हमेशा $3! = 6$ से विभाज्य होता है।
इसलिए,गुणनफल $P$ हमेशा $8 \times 6 = 48$ से विभाज्य है।
प्रथम तीन क्रमागत सम संख्याओं के साथ जाँच करने पर: $2 \times 4 \times 6 = 48$ प्राप्त होता है।
अगली संख्याओं के साथ जाँच करने पर: $4 \times 6 \times 8 = 192$,जो $48 \times 4$ है।
अतः,वह सबसे बड़ी प्राकृतिक संख्या जो हमेशा गुणनफल को विभाजित करती है,$48$ है।

(B) माना कि लुप्त संख्या $x$ है।
तब समीकरण $\frac{x}{21} \times \frac{x}{189} = 1$ हो जाता है।
अंश और हर का गुणा करने पर,हमें $\frac{x^2}{21 \times 189} = 1$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$x^2 = 21 \times 189$.
हम $189$ का गुणनखंड $21 \times 9$ के रूप में कर सकते हैं।
अतः,$x^2 = 21 \times (21 \times 9) = 21^2 \times 3^2$.
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,$x = 21 \times 3 = 63$।

(D) माना भाजक $= D$,भागफल $= Q$ और शेषफल $= R$ है।
दिया गया है कि $R = 48$ है।
प्रश्न के अनुसार,भाजक शेषफल का $5$ गुना है,इसलिए $D = 5 \times R = 5 \times 48 = 240$ है।
साथ ही,भाजक भागफल का $12$ गुना है,इसलिए $D = 12 \times Q$ है।
$D$ का मान रखने पर,हमें $240 = 12 \times Q$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $Q = 240 / 12 = 20$ है।
भाज्य का सूत्र है: $\text{भाज्य} = (\text{भाजक} \times \text{भागफल}) + \text{शेषफल}$।
मान रखने पर: $\text{भाज्य} = (240 \times 20) + 48 = 4800 + 48 = 4848$।

(B) $9, 11$ और $13$ से विभाजित करने पर $6$ शेषफल प्राप्त करने वाली संख्या ज्ञात करने के लिए,हम पहले $9, 11$ और $13$ का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ ज्ञात करेंगे।
चूंकि $9, 11$ और $13$ सह-अभाज्य हैं,इसलिए उनका $LCM = 9 \times 11 \times 13 = 1287$ होगा।
वह संख्या जिसे $9, 11$ और $13$ से विभाजित करने पर $6$ शेषफल प्राप्त होता है,वह $(LCM + 6) = 1287 + 6 = 1293$ के रूप में होगी।
हमें $1294$ में से वह संख्या घटानी है जिससे $1293$ प्राप्त हो।
अभीष्ट संख्या $= 1294 - 1293 = 1$।

(B) माना कि पहला भाग $x$ है और दूसरा भाग $(24 - x)$ है।
प्रश्न के अनुसार,पहले भाग का $7$ गुना और दूसरे भाग का $5$ गुना जोड़ने पर $146$ प्राप्त होता है।
अतः,समीकरण इस प्रकार है: $7x + 5(24 - x) = 146$.
समीकरण का विस्तार करने पर: $7x + 120 - 5x = 146$.
पदों को सरल करने पर: $2x + 120 = 146$.
दोनों पक्षों से $120$ घटाने पर: $2x = 146 - 120$.
$2x = 26$.
$2$ से भाग देने पर: $x = 13$.
अतः,पहला भाग $13$ है।

(A) माना कि वह संख्या $x$ है।
प्रश्न के अनुसार,संख्या के $\frac{1}{3}$ भाग में से संख्या का $\frac{1}{4}$ भाग घटाने पर $12$ प्राप्त होता है।
अतः,समीकरण इस प्रकार है: $\frac{1}{3}x - \frac{1}{4}x = 12$.
$x$ का मान ज्ञात करने के लिए,भिन्नों का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ $12$ लेते हैं।
$\frac{4x}{12} - \frac{3x}{12} = 12$.
$\frac{x}{12} = 12$.
दोनों पक्षों को $12$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है $x = 12 \times 12 = 144$.
अतः,वह संख्या $144$ है।

(B) माना कि वह संख्या $x$ है।
प्रश्न के अनुसार,$\frac{4}{3} \times x = 64$ है।
$x$ का मान ज्ञात करने के लिए,दोनों पक्षों को $\frac{3}{4}$ से गुणा करें:
$x = 64 \times \frac{3}{4} = 16 \times 3 = 48$ है।
अब,हमें उस संख्या का आधा भाग ज्ञात करना है:
$\frac{1}{2} \times x = \frac{1}{2} \times 48 = 24$ है।

(D) माना कि अभीष्ट भिन्न $\frac{x}{y}$ है।
पहली शर्त के अनुसार,अंश और हर दोनों में $1$ जोड़ने पर $4$ प्राप्त होता है:
$\frac{x+1}{y+1} = 4 \Rightarrow x+1 = 4y+4 \Rightarrow x-4y = 3$ (समीकरण $1$)।
दूसरी शर्त के अनुसार,अंश और हर दोनों से $1$ घटाने पर $7$ प्राप्त होता है:
$\frac{x-1}{y-1} = 7 \Rightarrow x-1 = 7y-7 \Rightarrow x-7y = -6$ (समीकरण $2$)।
समीकरण $1$ में से समीकरण $2$ को घटाने पर:
$(x-4y) - (x-7y) = 3 - (-6)$
$3y = 9 \Rightarrow y = 3$।
$y=3$ का मान समीकरण $1$ में रखने पर:
$x - 4(3) = 3 \Rightarrow x - 12 = 3 \Rightarrow x = 15$।
अतः भिन्न $\frac{15}{3}$ है। इसलिए अंश $15$ है।

(C) मान लीजिए कि तीन संख्याएँ $3x$,$4x$ और $5x$ हैं।
प्रश्न के अनुसार,सबसे बड़ी संख्या $(5x)$ और सबसे छोटी संख्या $(3x)$ का योग तीसरी संख्या $(4x)$ और $52$ के योग के बराबर है।
अतः,समीकरण है: $5x + 3x = 4x + 52$.
समीकरण को सरल करने पर: $8x = 4x + 52$.
दोनों पक्षों से $4x$ घटाने पर: $4x = 52$.
$4$ से भाग देने पर: $x = 13$.
सबसे छोटी संख्या $3x = 3 \times 13 = 39$ है।

(A) मान लीजिए कि तीन संख्याएँ $a, b,$ और $c$ हैं।
दिए गए अनुपात $\frac{a}{b} = \frac{2}{3}$ और $\frac{b}{c} = \frac{5}{3}$ हैं।
संयुक्त अनुपात $a:b:c$ ज्ञात करने के लिए,हम दोनों अनुपातों में $b$ का मान समान बनाएंगे।
पहले अनुपात को $5$ से और दूसरे अनुपात को $3$ से गुणा करने पर:
$\frac{a}{b} = \frac{2 \times 5}{3 \times 5} = \frac{10}{15}$
$\frac{b}{c} = \frac{5 \times 3}{3 \times 3} = \frac{15}{9}$
अतः,$a:b:c = 10:15:9$ है।
मान लीजिए कि संख्याएँ $10x, 15x,$ और $9x$ हैं।
संख्याओं का योग $68$ है,इसलिए:
$10x + 15x + 9x = 68$
$34x = 68$
$x = 2$
दूसरी संख्या $15x = 15 \times 2 = 30$ है।

(C) माना कि अभीष्ट भिन्न $\frac{x}{y}$ है।
पहली शर्त के अनुसार,हर में $1$ जोड़ने पर $\frac{x}{y+1} = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
इसे सरल करने पर $2x = y + 1$,या $2x - y = 1$ (समीकरण $1$) प्राप्त होता है।
दूसरी शर्त के अनुसार,अंश में $1$ जोड़ने पर $\frac{x+1}{y} = 1$ प्राप्त होता है।
इसे सरल करने पर $x + 1 = y$,या $x - y = -1$ (समीकरण $2$) प्राप्त होता है।
समीकरण $1$ में से समीकरण $2$ को घटाने पर:
$(2x - y) - (x - y) = 1 - (-1)$
$2x - y - x + y = 1 + 1$
$x = 2$.
$x = 2$ का मान समीकरण $2$ में रखने पर:
$2 - y = -1$
$y = 3$.
अतः,वह भिन्न $\frac{2}{3}$ है।

(B) माना कि वह संख्या $x$ है।
प्रश्न के अनुसार,$\frac{4}{5}x - \frac{2}{3}x = 8$.
इसे हल करने के लिए,भिन्नों का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ $15$ लें।
$\frac{12x - 10x}{15} = 8$.
$\frac{2x}{15} = 8$.
दोनों पक्षों को $15$ से गुणा करने पर:
$2x = 8 \times 15 = 120$.
$2$ से भाग देने पर:
$x = 60$.

(C) $60$ और $80$ के बीच की सभी अभाज्य संख्याओं का योग ज्ञात करने के लिए,हम पहले इस सीमा में आने वाली अभाज्य संख्याओं की पहचान करते हैं।
अभाज्य संख्याएँ वे संख्याएँ होती हैं जो $1$ से बड़ी होती हैं और जिनके केवल दो गुणनखंड होते हैं: $1$ और वह संख्या स्वयं।
$60$ और $80$ के बीच की अभाज्य संख्याएँ $61, 67, 71, 73$ और $79$ हैं।
अब,हम इनका योग करते हैं:
$61 + 67 + 71 + 73 + 79 = 351$.
अतः,$60$ से $80$ तक की सभी अभाज्य संख्याओं का योग $351$ है।

(B) भाज्य,भाजक,भागफल और शेषफल के बीच का संबंध निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
भाज्य = (भाजक $\times$ भागफल) + शेषफल
दिया गया है:
भाज्य = $24446$
भागफल = $79$
शेषफल = $35$
माना कि भाजक $x$ है।
$24446 = (x \times 79) + 35$
$24446 - 35 = 79x$
$24411 = 79x$
$x = 24411 \div 79$
$x = 309$
अतः,भाजक $309$ है।

(A) भाज्य,भाजक,भागफल और शेषफल के बीच का संबंध निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\text{भाज्य} = (\text{भाजक} \times \text{भागफल}) + \text{शेषफल}$
दिया गया है:
$\text{भाजक} = 456$
$\text{भागफल} = 120$
$\text{शेषफल} = 333$
सूत्र में मान रखने पर:
$\text{भाज्य} = (456 \times 120) + 333$
$\text{भाज्य} = 54720 + 333$
$\text{भाज्य} = 55053$

(B) भाज्य, भाजक, भागफल और शेषफल के बीच का संबंध निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
भाज्य $= (\text{भाजक} \times \text{भागफल}) + \text{शेषफल}$
दिया गया है:
भाजक $= 62$
भागफल $= 463$
शेषफल $= 60$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
भाज्य $= (62 \times 463) + 60$
भाज्य $= 28706 + 60$
भाज्य $= 28766$
अतः, वह संख्या $28766$ है।

(C) माना कि वह संख्या $N$ है। प्रश्न के अनुसार,$N = 221q + 43$,जहाँ $q$ भागफल है।
हमें $N$ को $17$ से विभाजित करने पर प्राप्त शेषफल ज्ञात करना है।
$N = (13 \times 17)q + 43$.
चूँकि $(13 \times 17)q$ पूर्णतः $17$ से विभाज्य है,इसलिए शेषफल केवल $43$ को $17$ से विभाजित करने पर निर्भर करेगा।
$43 = 17 \times 2 + 9$.
अतः,शेषफल $9$ है।

(A) अभाज्य संख्या $1$ से बड़ी वह प्राकृतिक संख्या है जिसका $1$ और स्वयं के अलावा कोई अन्य धनात्मक भाजक नहीं होता है।
तीन अंकों की सबसे बड़ी अभाज्य संख्या ज्ञात करने के लिए,हम सबसे बड़ी तीन अंकों की संख्या $999$ से जाँच करना शुरू करते हैं।
$1$. $999$,$3$ से विभाज्य है $(999 = 3 \times 333)$,इसलिए यह अभाज्य नहीं है।
$2$. $998$ एक सम संख्या है,इसलिए यह $2$ से विभाज्य है,अतः यह अभाज्य नहीं है।
$3$. $997$,$\sqrt{997} \approx 31.57$ तक की किसी भी अभाज्य संख्या (जैसे $2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31$) से विभाज्य नहीं है।
चूंकि $997$ इनमें से किसी भी अभाज्य संख्या से विभाज्य नहीं है,इसलिए यह एक अभाज्य संख्या है।
अतः,$997$ तीन अंकों की सबसे बड़ी अभाज्य संख्या है।

(A) मान लीजिए कि वह संख्या $x$ है। प्रश्न के अनुसार,$7 \times x = 555...5$ (एक ऐसी संख्या जिसमें केवल पाँच अंक हों)।
ऐसी न्यूनतम संख्या ज्ञात करने के लिए,हम $n$ पाँचों वाली संख्याओं का परीक्षण करना शुरू करते हैं,जहाँ $n = 1, 2, 3, ...$
हमें सबसे छोटा $n$ ज्ञात करना है ताकि $55...5$ ($n$ बार) $7$ से विभाज्य हो।
$5/7$ (शेष $5$)
$55/7 = 7$ शेष $6$
$555/7 = 79$ शेष $2$
$5555/7 = 793$ शेष $4$
$55555/7 = 7936$ शेष $3$
$555555/7 = 79365$ शेष $0$.
चूँकि $555555$ पाँचों से बनी सबसे छोटी संख्या है जो $7$ से विभाज्य है,इसलिए भागफल $79365$ ही ऐसी न्यूनतम संख्या है।
अतः,न्यूनतम संख्या $79365$ है।