यदि किसी त्रिभुज के एक कोण का समद्विभाजक सम्मुख भुजा को भी समद्विभाजित करता है,तो सिद्ध कीजिए कि त्रिभुज समद्विबाहु है।

(N/A) हमें $\Delta ABC$ की भुजा $BC$ पर एक बिंदु $D$ दिया गया है,इस प्रकार कि $\angle BAD = \angle CAD$ और $BD = CD$ है। हमें सिद्ध करना है कि $AB = AC$ है।
$AD$ को बिंदु $E$ तक इस प्रकार बढ़ाइए कि $AD = DE$ हो और फिर $CE$ को मिलाइए।
अब,$\Delta ABD$ और $\Delta ECD$ में:
$BD = CD$ (दिया है)
$AD = DE$ (रचना द्वारा)
$\angle ADB = \angle EDC$ (शीर्षाभिमुख कोण)
अतः,$\Delta ABD \cong \Delta ECD$ ($SAS$ सर्वांगसमता नियम)।
इसलिए,$AB = EC$ और $\angle BAD = \angle CED$ $(CPCT)$ ... $(1)$
साथ ही,$\angle BAD = \angle CAD$ (दिया है) ... $(2)$
$(1)$ और $(2)$ से,हमें $\angle CAD = \angle CED$ प्राप्त होता है।
$\Delta ACE$ में,चूँकि $\angle CAD = \angle CED$ है,इसलिए इन कोणों के सम्मुख भुजाएँ बराबर होनी चाहिए।
अतः,$AC = EC$ ... $(3)$
$(1)$ और $(3)$ से,हमें $AB = AC$ प्राप्त होता है।
अतः,$\Delta ABC$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है।