Textbook - Probability Questions in Gujarati

(A) સિક્કાને $1000$ વખત ઉછાળવામાં આવે છે,તેથી કુલ પ્રયત્નોની સંખ્યા $1000$ છે.
ધારો કે $E$ એ છાપ મળવાની ઘટના છે અને $F$ એ કાંટો મળવાની ઘટના છે.
છાપ મળવાની સંખ્યા $455$ છે.
ઘટના $E$ ની સંભાવના $P(E) = \frac{\text{છાપની સંખ્યા}}{\text{કુલ પ્રયત્નોની સંખ્યા}} = \frac{455}{1000} = 0.455$ થાય.
કાંટો મળવાની સંખ્યા $545$ છે.
ઘટના $F$ ની સંભાવના $P(F) = \frac{\text{કાંટાની સંખ્યા}}{\text{કુલ પ્રયત્નોની સંખ્યા}} = \frac{545}{1000} = 0.545$ થાય.
આમ,સંભાવનાઓ અનુક્રમે $0.455$ અને $0.545$ છે.

(N/A) ધારો કે બે છાપ,એક છાપ અને એક પણ છાપ ન મળે તેવી ઘટનાઓને અનુક્રમે $E_1, E_2$ અને $E_3$ વડે દર્શાવીએ.
કુલ પ્રયત્નોની સંખ્યા $500$ છે.
$E_1$ (બે છાપ) માટે: $P(E_1) = \frac{105}{500} = 0.21$
$E_2$ (એક છાપ) માટે: $P(E_2) = \frac{275}{500} = 0.55$
$E_3$ (એક પણ છાપ નહીં) માટે: $P(E_3) = \frac{120}{500} = 0.24$
અહીં નોંધો કે $P(E_1) + P(E_2) + P(E_3) = 0.21 + 0.55 + 0.24 = 1.0$. આ ઘટનાઓ પ્રયોગના તમામ શક્ય પરિણામોને આવરી લે છે.

(N/A) ધારો કે $E_i$ એ પરિણામ $i$ મેળવવાની ઘટના દર્શાવે છે,જ્યાં $i = 1, 2, 3, 4, 5, 6$ છે.
ઘટનાની સંભાવનાનું સૂત્ર આ મુજબ છે: $P(E) = \frac{\text{ઘટના બની હોય તેવા પ્રયત્નોની સંખ્યા}}{\text{કુલ પ્રયત્નોની સંખ્યા}}$.
અહીં,કુલ પ્રયત્નોની સંખ્યા $1000$ છે.
$P(E_1) = \frac{179}{1000} = 0.179$
$P(E_2) = \frac{150}{1000} = 0.150$
$P(E_3) = \frac{157}{1000} = 0.157$
$P(E_4) = \frac{149}{1000} = 0.149$
$P(E_5) = \frac{175}{1000} = 0.175$
$P(E_6) = \frac{190}{1000} = 0.190$
નોંધો કે તમામ સંભાવનાઓનો સરવાળો $0.179 + 0.150 + 0.157 + 0.149 + 0.175 + 0.190 = 1$ થાય છે.

(D) કોઈપણ ઘટનાની સંભાવના શોધવાનું સૂત્ર છે: $P(E) = \frac{\text{ઘટના બની હોય તેવા પ્રયત્નોની સંખ્યા}}{\text{કુલ પ્રયત્નોની સંખ્યા}}$.
અહીં,ટેલિફોન નંબરની કુલ સંખ્યા $200$ છે.
એકમના સ્થાન પર અંક $6$ હોય તેની આવૃત્તિ $14$ છે.
તેથી,એકમના સ્થાન પર અંક $6$ હોય તેની સંભાવના:
$P(\text{અંક } 6) = \frac{14}{200} = \frac{7}{100} = 0.07$.

(A) કુલ દિવસોની સંખ્યા જેના માટે રેકોર્ડ ઉપલબ્ધ છે $= 250$.
$(i)$ જે દિવસોમાં પૂર્વાનુમાન સાચું હતું તેની સંખ્યા $= 175$.
$P$ (કોઈ આપેલ દિવસે પૂર્વાનુમાન સાચું હોવાની સંભાવના) $= \frac{\text{પૂર્વાનુમાન સાચું હોય તેવા દિવસોની સંખ્યા}}{\text{કુલ દિવસોની સંખ્યા}} = \frac{175}{250} = 0.7$.
$(ii)$ જે દિવસોમાં પૂર્વાનુમાન સાચું ન હતું તેની સંખ્યા $= 250 - 175 = 75$.
$P$ (કોઈ આપેલ દિવસે પૂર્વાનુમાન સાચું ન હોવાની સંભાવના) $= \frac{\text{પૂર્વાનુમાન સાચું ન હોય તેવા દિવસોની સંખ્યા}}{\text{કુલ દિવસોની સંખ્યા}} = \frac{75}{250} = 0.3$.

(N/A) $(i)$ કુલ પ્રયત્નોની સંખ્યા $= 1000$.
$4000 \, km$ કાપ્યા પહેલા બદલવાની જરૂર હોય તેવા ટાયરની આવૃત્તિ $20$ છે。
તેથી,$P(\text{\text{ટાયર }} 4000 \, km \text{ \text{કાપ્યા પહેલા બદલવું પડે}}) = \frac{20}{1000} = 0.02$.
$(ii)$ $9000 \, km$ થી વધુ ચાલતા ટાયરની આવૃત્તિ એ $9001$ થી $14000$ અને $14000$ થી વધુની શ્રેણીઓ માટેની આવૃત્તિઓનો સરવાળો છે,જે $325 + 445 = 770$ છે。
તેથી,$P(\text{\text{ટાયર }} 9000 \, km \text{ \text{થી વધુ ચાલશે}}) = \frac{770}{1000} = 0.77$.
$(iii)$ $4000 \, km$ અને $14000 \, km$ ની વચ્ચે બદલવાની જરૂર હોય તેવા ટાયરની આવૃત્તિ એ $4000$ થી $9000$ અને $9001$ થી $14000$ ની શ્રેણીઓ માટેની આવૃત્તિઓનો સરવાળો છે,જે $210 + 325 = 535$ છે。
તેથી,$P(\text{\text{ટાયર }} 4000 \, km \text{ \text{અને }} 14000 \, km \text{ \text{ની વચ્ચે બદલવું પડે}}) = \frac{535}{1000} = 0.535$.

(C) લેવામાં આવેલી કુલ એકમ કસોટીઓની સંખ્યા $5$ છે.
એકમ કસોટીઓમાં મેળવેલ ગુણની ટકાવારી $69, 71, 73, 68, 74$ છે.
જે એકમ કસોટીઓમાં વિદ્યાર્થીએ $70\%$ થી વધુ ગુણ મેળવ્યા છે તે $II$ $(71\%)$,$III$ $(73\%)$,અને $V$ $(74\%)$ છે.
આમ,જે એકમ કસોટીઓમાં વિદ્યાર્થીએ $70\%$ થી વધુ ગુણ મેળવ્યા હોય તેવી સંખ્યા $3$ છે.
ઘટનાની સંભાવના $P$ શોધવાનું સૂત્ર: $P = \frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ પરિણામોની સંખ્યા}}$.
તેથી,$P$ ($70\%$ થી વધુ ગુણ મેળવવાની સંભાવના) $= \frac{3}{5} = 0.6$.

(N/A) ડ્રાઇવરોની કુલ સંખ્યા $= 2000$.
$(i)$ $18-29$ વર્ષની ઉંમર ધરાવતા અને એક વર્ષમાં બરાબર $3$ અકસ્માત થયા હોય તેવા ડ્રાઇવરોની સંખ્યા $61$ છે.
તેથી,$P$ (ડ્રાઇવર $18-29$ વર્ષની ઉંમરનો હોય અને બરાબર $3$ અકસ્માત થયા હોય) $= \frac{61}{2000} = 0.0305$.
$(ii)$ $30-50$ વર્ષની ઉંમર ધરાવતા અને એક વર્ષમાં એક કે તેથી વધુ અકસ્માત થયા હોય તેવા ડ્રાઇવરોની સંખ્યા $= 125 + 60 + 22 + 18 = 225$.
તેથી,$P$ (ડ્રાઇવર $30-50$ વર્ષની ઉંમરનો હોય અને એક કે તેથી વધુ અકસ્માત થયા હોય) $= \frac{225}{2000} = 0.1125$.
$(iii)$ એક વર્ષમાં કોઈ અકસ્માત ન થયો હોય તેવા ડ્રાઇવરોની સંખ્યા $= 440 + 505 + 360 = 1305$.
તેથી,$P$ (કોઈ અકસ્માત ન થયો હોય તેવા ડ્રાઇવરો) $= \frac{1305}{2000} = 0.6525$.

(A) $(i)$ કુલ વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા $38$ છે. $46-50 \, kg$ ના અંતરાલમાં વજન ધરાવતા વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા $3$ છે.
તેથી,સંભાવના $P = \frac{3}{38} \approx 0.079$ થાય.
$(ii)$ $0$ સંભાવના ધરાવતી ઘટના અશક્ય ઘટના છે. ઉદાહરણ તરીકે,કોઈ વિદ્યાર્થીનું વજન $30 \, kg$ હોય તેવી ઘટના (કારણ કે કોષ્ટકમાં કોઈ પણ વિદ્યાર્થીનું વજન આટલું નથી),તેની સંભાવના $0$ છે.
$1$ સંભાવના ધરાવતી ઘટના ચોક્કસ ઘટના છે. ઉદાહરણ તરીકે,કોઈ વિદ્યાર્થીનું વજન $30 \, kg$ થી વધુ હોય તેવી ઘટના (કારણ કે બધા $38$ વિદ્યાર્થીઓનું વજન $30 \, kg$ થી વધુ છે),તેની સંભાવના $\frac{38}{38} = 1$ છે.

(A-D) કુલ થેલાઓની સંખ્યા $5$ છે.
$(i)$ જે થેલાઓમાં $40$ થી વધુ બીજ અંકુરિત થયા હોય તેવા થેલાઓની સંખ્યા $3$ છે (થેલા $2, 3,$ અને $5$).
સંભાવના $= \frac{\text{સાધ્ય પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ પરિણામોની સંખ્યા}} = \frac{3}{5} = 0.6$.
$(ii)$ જે થેલાઓમાં $49$ બીજ અંકુરિત થયા હોય તેવા થેલાઓની સંખ્યા $0$ છે.
સંભાવના $= \frac{0}{5} = 0$.
$(iii)$ જે થેલાઓમાં $35$ થી વધુ બીજ અંકુરિત થયા હોય તેવા થેલાઓની સંખ્યા $5$ છે (બધા જ થેલા).
સંભાવના $= \frac{5}{5} = 1$.

(C) બેટ્સવુમન બાઉન્ડ્રી ફટકારે તે વખતની સંખ્યા $= 6$.
કુલ રમેલા બોલની સંખ્યા $= 30$.
બેટ્સવુમન બાઉન્ડ્રી ન ફટકારે તે વખતની સંખ્યા $= 30 - 6 = 24$.
તે બાઉન્ડ્રી ન ફટકારે તેની સંભાવના $P$ એ બાઉન્ડ્રી ન ફટકારી હોય તેવા બોલની સંખ્યા અને કુલ રમેલા બોલની સંખ્યાનો ગુણોત્તર છે.
$P(\text{બાઉન્ડ્રી ન ફટકારે}) = \frac{24}{30}$.
અંશ અને છેદને $6$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$P(\text{બાઉન્ડ્રી ન ફટકારે}) = \frac{4}{5}$.

(N/A) કુલ પરિવારોની સંખ્યા $= 475 + 814 + 211 = 1500$.
$(i)$ $2$ છોકરીઓ ધરાવતા પરિવારોની સંખ્યા $= 475$.
યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરેલા પરિવારમાં $2$ છોકરીઓ હોય તેની સંભાવના $(P_1)$ $= \frac{475}{1500} = \frac{19}{60}$.
$(ii)$ $1$ છોકરી ધરાવતા પરિવારોની સંખ્યા $= 814$.
યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરેલા પરિવારમાં $1$ છોકરી હોય તેની સંભાવના $(P_2)$ $= \frac{814}{1500} = \frac{407}{750}$.
$(iii)$ એક પણ છોકરી ન હોય તેવા પરિવારોની સંખ્યા $= 211$.
યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરેલા પરિવારમાં એક પણ છોકરી ન હોય તેની સંભાવના $(P_3)$ $= \frac{211}{1500}$.
આ તમામ સંભાવનાઓનો સરવાળો $= P_1 + P_2 + P_3 = \frac{475}{1500} + \frac{814}{1500} + \frac{211}{1500} = \frac{475 + 814 + 211}{1500} = \frac{1500}{1500} = 1$.
તેથી,આ તમામ સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ છે.

(A) આપેલ સ્તંભ આલેખ પરથી,ઓગસ્ટ મહિનામાં જન્મેલા વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા $6$ છે.
વિદ્યાર્થીઓની કુલ સંખ્યા એ બધા મહિનામાં જન્મેલા વિદ્યાર્થીઓનો સરવાળો છે:
$3 + 4 + 2 + 2 + 5 + 1 + 2 + 6 + 3 + 4 + 4 + 4 = 40$.
વિદ્યાર્થીનો જન્મ ઓગસ્ટમાં થયો હોય તેની સંભાવના $P$ નીચે મુજબ છે:
$P(\text{ઓગસ્ટ}) = \frac{\text{ઓગસ્ટમાં જન્મેલા વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા}}{\text{વિદ્યાર્થીઓની કુલ સંખ્યા}}$
$P(\text{ઓગસ્ટ}) = \frac{6}{40} = \frac{3}{20}$.

(B) $2$ છાપ મળે તેવા પ્રયત્નોની સંખ્યા $= 72$ છે.
સિક્કા ઉછાળવાના કુલ પ્રયત્નોની સંખ્યા $= 200$ છે.
કોઈપણ ઘટનાની સંભાવના એ સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા અને કુલ પ્રયત્નોની સંખ્યાનો ગુણોત્તર છે.
$P(2 \text{ છાપ}) = \frac{2 \text{ છાપ મળે તેવા પ્રયત્નોની સંખ્યા}}{\text{કુલ પ્રયત્નોની સંખ્યા}}$
$P(2 \text{ છાપ}) = \frac{72}{200}$
અંશ અને છેદને $8$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$P(2 \text{ છાપ}) = \frac{9}{25}$

(N/A) સર્વેક્ષણ કરેલા પરિવારોની કુલ સંખ્યા $= 2400$.
$(i)$ દર મહિને રૂ. $10000 - 13000$ કમાતા અને બરાબર $2$ વાહનો ધરાવતા પરિવારોની સંખ્યા $= 29$.
સંભાવના $= \frac{29}{2400}$.
$(ii)$ દર મહિને રૂ. $16000$ કે તેથી વધુ કમાતા અને બરાબર $1$ વાહન ધરાવતા પરિવારોની સંખ્યા $= 579$.
સંભાવના $= \frac{579}{2400}$.
$(iii)$ દર મહિને રૂ. $7000$ થી ઓછી કમાણી કરતા અને કોઈ વાહન ન ધરાવતા પરિવારોની સંખ્યા $= 10$.
સંભાવના $= \frac{10}{2400} = \frac{1}{240}$.
$(iv)$ દર મહિને રૂ. $13000 - 16000$ કમાતા અને $2$ થી વધુ વાહનો ધરાવતા પરિવારોની સંખ્યા $= 25$.
સંભાવના $= \frac{25}{2400} = \frac{1}{96}$.
$(v)$ $1$ થી વધુ વાહન ન ધરાવતા પરિવારોની સંખ્યા (એટલે કે $0$ અથવા $1$ વાહન) $= (10 + 160) + (0 + 305) + (1 + 535) + (2 + 469) + (1 + 579) = 170 + 305 + 536 + 471 + 580 = 2062$.
સંભાવના $= \frac{2062}{2400} = \frac{1031}{1200}$.

(D) વિદ્યાર્થીઓની કુલ સંખ્યા $= 90$.
$(i)$ $20$ થી ઓછા ગુણ મેળવનાર વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા (જે $100$ ના $20\%$ છે) $= 7$.
સંભાવના $P = \frac{20 \text{ થી ઓછા ગુણ મેળવનાર વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા}}{\text{વિદ્યાર્થીઓની કુલ સંખ્યા}} = \frac{7}{90}$.
$(ii)$ $60$ કે તેથી વધુ ગુણ મેળવનાર વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા $= (60-70 \text{ માં વિદ્યાર્થીઓ}) + (70 \text{ અને તેથી વધુમાં વિદ્યાર્થીઓ}) = 15 + 8 = 23$.
સંભાવના $P = \frac{60 \text{ કે તેથી વધુ ગુણ મેળવનાર વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા}}{\text{વિદ્યાર્થીઓની કુલ સંખ્યા}} = \frac{23}{90}$.

(A) વિદ્યાર્થીઓની કુલ સંખ્યા $= 135 + 65 = 200$.
$(i)$ આંકડાશાસ્ત્ર ગમતા વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા $= 135$.
સંભાવના (વિદ્યાર્થીને આંકડાશાસ્ત્ર ગમે છે) $= \frac{\text{આંકડાશાસ્ત્ર ગમતા વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા}}{\text{વિદ્યાર્થીઓની કુલ સંખ્યા}} = \frac{135}{200} = \frac{27}{40}$.
$(ii)$ આંકડાશાસ્ત્ર ન ગમતા વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા $= 65$.
સંભાવના (વિદ્યાર્થીને આંકડાશાસ્ત્ર ગમતું નથી) $= \frac{\text{આંકડાશાસ્ત્ર ન ગમતા વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા}}{\text{વિદ્યાર્થીઓની કુલ સંખ્યા}} = \frac{65}{200} = \frac{13}{40}$.

(A) $(i)$ એન્જિનિયરોની કુલ સંખ્યા $= 40$.
કાર્યસ્થળથી $7 \, km$ કરતા ઓછું અંતર ધરાવતા એન્જિનિયરોની સંખ્યા $= 8$ છે.
તેથી,જરૂરી સંભાવના $P = \frac{8}{40} = \frac{1}{5} = 0.2$.
$(ii)$ કાર્યસ્થળથી $7 \, km$ કે તેથી વધુ અંતર ધરાવતા એન્જિનિયરોની સંખ્યા $= 40 - 8 = 32$.
તેથી,જરૂરી સંભાવના $P = \frac{32}{40} = \frac{4}{5} = 0.8$.
$(iii)$ કાર્યસ્થળથી $\frac{1}{2} \, km$ ની અંદર રહેતા એન્જિનિયરોની સંખ્યા $= 0$.
તેથી,જરૂરી સંભાવના $P = 0$.

(N/A) સંભાવના શોધવા માટે નીચેના પગલાં અનુસરો:
$1$. ધારો કે $n_1$ એ ટુ-વ્હીલરની સંખ્યા છે, $n_2$ એ થ્રી-વ્હીલરની સંખ્યા છે અને $n_3$ એ ફોર-વ્હીલરની સંખ્યા છે.
$2$. અવલોકન કરેલા કુલ વાહનોની સંખ્યા ગણો: $N = n_1 + n_2 + n_3$.
$3$. ટુ-વ્હીલર પસંદ કરવાની સંભાવના $P$ એ ટુ-વ્હીલરની સંખ્યા અને કુલ વાહનોની સંખ્યાના ગુણોત્તર દ્વારા મળે છે.
$4$. સૂત્ર: $P(\text{ટુ-વ્હીલર}) = \frac{n_1}{N} = \frac{n_1}{n_1 + n_2 + n_3}$.

(A) $3$ અંકની કુલ સંખ્યાઓ $100$ થી $999$ સુધીની હોય છે.
$3$ અંકની કુલ સંખ્યાઓની સંખ્યા $999 - 100 + 1 = 900$ છે.
જો કોઈ સંખ્યાના અંકોનો સરવાળો $3$ વડે વિભાજ્ય હોય,તો તે સંખ્યા $3$ વડે વિભાજ્ય છે.
કોઈપણ $3$ ક્રમિક પૂર્ણાંકોની શ્રેણીમાં,બરાબર એક સંખ્યા $3$ વડે વિભાજ્ય હોય છે.
$900$ એ $3$ નો ગુણક હોવાથી,આ સંખ્યાઓમાંથી બરાબર ત્રીજા ભાગની સંખ્યાઓ $3$ વડે વિભાજ્ય છે.
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $= \frac{900}{3} = 300$.
સંભાવના $P$ એ સાનુકૂળ પરિણામો અને કુલ પરિણામોના ગુણોત્તર દ્વારા મળે છે.
$P = \frac{300}{900} = \frac{1}{3}$.

(A) થેલીઓની કુલ સંખ્યા $= 11$.
$5 \,kg$ કરતા વધુ લોટ ધરાવતી થેલીઓ છે: $5.05, 5.08, 5.03, 5.06, 5.08, 5.04, 5.07$.
$5 \,kg$ કરતા વધુ લોટ ધરાવતી થેલીઓની સંખ્યા $= 7$.
ઘટનાની સંભાવના $= \frac{\text{સાધ્ય પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ પરિણામોની સંખ્યા}}$.
તેથી,જરૂરી સંભાવના $P = \frac{7}{11}$ છે.

(B) સંભાવના શોધવા માટે,આપણે સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $P(E) = \frac{\text{સાધ્ય પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ પરિણામોની સંખ્યા}}$.
આપેલ આવૃત્તિ વિતરણ કોષ્ટક પરથી:
$1$. સલ્ફર ડાયોક્સાઇડની સાંદ્રતા $0.12 - 0.16$ ના અંતરાલમાં હોય તેવા દિવસોની સંખ્યા $2$ છે.
$2$. કુલ દિવસોની સંખ્યા $30$ છે.
તેથી,જરૂરી સંભાવના $P$ છે:
$P = \frac{2}{30} = \frac{1}{15}$.

(C) વર્ગમાં વિદ્યાર્થીઓની કુલ સંખ્યા $30$ છે.
રુધિરજૂથ $AB$ ધરાવતા વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા $3$ છે.
કોઈ ઘટનાની સંભાવના $P$ શોધવાનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$P = \frac{\text{સાધ્ય પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા}}$
અહીં,સાધ્ય પરિણામોની સંખ્યા ($AB$ રુધિરજૂથ ધરાવતા વિદ્યાર્થીઓ) $3$ છે અને કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા (કુલ વિદ્યાર્થીઓ) $30$ છે.
તેથી,સંભાવના $P = \frac{3}{30} = \frac{1}{10}$ થાય.