Mix Examples - Linear Equations in Two Variables Questions in Hindi

(A) दिया गया रैखिक समीकरण $3x - y = x - 1$ है।
चरों को एक तरफ लाने के लिए पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $3x - x - y = -1$।
यह सरल होकर $2x - y = -1$ या $y = 2x + 1$ हो जाता है।
यह दो चरों ($x$ और $y$) वाला एक रैखिक समीकरण है।
$ax + by + c = 0$ के रूप वाले दो चरों के रैखिक समीकरण के हमेशा अपरिमित रूप से अनेक हल होते हैं क्योंकि $x$ के प्रत्येक मान के लिए,$y$ का एक संगत मान मौजूद होता है जो समीकरण को संतुष्ट करता है।
इसलिए,इस समीकरण के अपरिमित रूप से अनेक हल हैं।

(A) दो चरों वाला एक रैखिक समीकरण वह समीकरण है जिसे $ax + by + c = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है,जहाँ $a$,$b$ और $c$ वास्तविक संख्याएँ हैं और $a$ तथा $b$ दोनों एक साथ शून्य नहीं हैं।
इसका अर्थ है कि चर $x$ या $y$ के गुणांकों में से कम से कम एक गुणांक शून्यतर (non-zero) होना चाहिए।
यदि $a = 0$ और $b = 0$ हो,तो समीकरण $c = 0$ बन जाता है,जो कि दो चरों वाला रैखिक समीकरण नहीं है।
अतः,दो चरों वाले रैखिक समीकरण के लिए शर्त $a^2 + b^2 \neq 0$ है,जिसका अर्थ है कि $a$ और $b$ दोनों एक साथ शून्य नहीं हो सकते।

(C) कार्तीय निर्देशांक पद्धति में,किसी भी बिंदु की स्थिति को एक क्रमित युग्म $(x, y)$ द्वारा दर्शाया जाता है।
$y$-अक्ष पर स्थित किसी भी बिंदु के लिए,मूल बिंदु से उसकी क्षैतिज दूरी ($x$-निर्देशांक) हमेशा $0$ होती है।
इसलिए,$y$-अक्ष पर स्थित कोई भी बिंदु $(0, y)$ के रूप में होता है,जहाँ $y$ मूल बिंदु से उसकी ऊर्ध्वाधर दूरी को दर्शाता है।

(D) दिया गया समीकरण $2x - 5y = 7$ दो चरों ($x$ और $y$) वाला एक रैखिक समीकरण है।
$ax + by = c$ के रूप वाले दो चरों के किसी भी रैखिक समीकरण के लिए,$(x, y)$ के अपरिमित रूप से अनेक युग्म होते हैं जो समीकरण को संतुष्ट करते हैं।
$x$ का कोई भी वास्तविक मान रखने पर,हमें $y$ का एक संगत मान प्राप्त होता है,और इसके विपरीत भी संभव है।
इसलिए,इस समीकरण के अपरिमित रूप से अनेक हल हैं।

(A) रैखिक समीकरण $2x + 5y = 7$ कार्तीय तल में एक रेखा को दर्शाता है,जिसके वास्तविक संख्याओं के समुच्चय में अनंत हल होते हैं।
हालाँकि,यदि हम $x$ और $y$ को प्राकृत संख्याओं (अर्थात $x, y \in \{1, 2, 3, ...\}$) तक सीमित करते हैं,तो हम हलों की जाँच कर सकते हैं:
यदि $x = 1$ है,तो $2(1) + 5y = 7 \implies 5y = 5 \implies y = 1$ प्राप्त होता है।
यदि $x = 2$ है,तो $2(2) + 5y = 7 \implies 5y = 3 \implies y = 3/5$ (जो एक प्राकृत संख्या नहीं है)।
यदि $x \ge 2$ है,तो $y$ एक प्राकृत संख्या नहीं होगी।
अतः,$(1, 1)$ प्राकृत संख्याओं में एकमात्र हल है।

(B) रैखिक समीकरण $2x + 5y = 7$ के लिए,हम ऐसे हल ढूँढते हैं जहाँ $x$ और $y$ प्राकृत संख्याएँ हों (अर्थात $x, y \in \{1, 2, 3, ...\}$)।
यदि $x = 1$ है,तो $2(1) + 5y = 7$,जिससे $5y = 5$ प्राप्त होता है,अतः $y = 1$।
यदि $x = 2$ है,तो $2(2) + 5y = 7$,जिससे $4 + 5y = 7$ प्राप्त होता है,अतः $5y = 3$,या $y = 3/5$,जो एक प्राकृत संख्या नहीं है।
यदि $x \ge 2$ है,तो $5y$ का मान $7 - 2x \le 3$ होगा,जिसका अर्थ है कि $y$ एक प्राकृत संख्या नहीं हो सकती।
अतः,प्राकृत संख्याओं का एकमात्र युग्म जो समीकरण को संतुष्ट करता है वह $(1, 1)$ है,जो इसे एक अद्वितीय हल बनाता है।

(C) $k$ का मान ज्ञात करने के लिए,हम दिए गए हल $(x, y) = (2, 0)$ को रैखिक समीकरण $2x + 3y = k$ में प्रतिस्थापित करेंगे।
समीकरण में $x = 2$ और $y = 0$ रखने पर:
$2(2) + 3(0) = k$
$4 + 0 = k$
$k = 4$
अतः,$k$ का मान $4$ है।

(D) दिया गया रैखिक समीकरण $2x + 0y + 9 = 0$ है।
इसे सरल करने पर $2x = -9$ प्राप्त होता है।
$2$ से भाग देने पर,हमें $x = -9/2$ प्राप्त होता है।
चूंकि $y$ का गुणांक $0$ है,इसलिए $y$ का मान कोई भी वास्तविक संख्या $m$ हो सकता है।
अतः,समीकरण का कोई भी हल $(-9/2, m)$ के रूप में होता है,जहाँ $m$ कोई भी वास्तविक संख्या है।

(A) रैखिक समीकरण $2x + 3y = 6$ का आलेख $y$-अक्ष को उस बिंदु पर काटता है जहाँ $x$-निर्देशांक $0$ होता है।
समीकरण $2x + 3y = 6$ में $x = 0$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$2(0) + 3y = 6$
$0 + 3y = 6$
$3y = 6$
$y = 6 / 3 = 2$
अतः,वह बिंदु जहाँ आलेख $y$-अक्ष को काटता है,$(0, 2)$ है।

(B) दो चरों वाला रैखिक समीकरण $ax + by + c = 0$ के रूप में होता है,जहाँ $a, b,$ और $c$ वास्तविक संख्याएँ हैं और $a$ तथा $b$ दोनों एक साथ शून्य नहीं हैं।
दिए गए समीकरण $x = 7$ को $x - 7 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इसे दो चरों $x$ और $y$ में व्यक्त करने के लिए,हम $y$ चर का गुणांक $0$ लेते हैं।
अतः,समीकरण $1 \cdot x + 0 \cdot y = 7$ हो जाता है।

(C) कार्तीय निर्देशांक पद्धति में,$x$-अक्ष वह क्षैतिज रेखा है जहाँ मूल बिंदु से लंबवत दूरी शून्य होती है।
इसलिए,$x$-अक्ष पर स्थित किसी भी बिंदु के लिए,$y$-निर्देशांक (कोटि) हमेशा $0$ होता है।
अतः,$x$-अक्ष पर स्थित कोई भी बिंदु $(x, 0)$ के रूप में होता है,जहाँ $x$ कोई भी वास्तविक संख्या है।

(D) रेखा $y=x$ पर स्थित किसी भी बिंदु के लिए,उसका $x$-निर्देशांक और $y$-निर्देशांक समान होना चाहिए।
यदि हम $x$-निर्देशांक को $a$ मानते हैं,तो $y$-निर्देशांक भी $a$ ही होगा।
अतः,रेखा $y=x$ पर स्थित कोई भी बिंदु $(a, a)$ के रूप का होता है।

(A) कार्तीय निर्देशांक पद्धति में,$x$-अक्ष पर स्थित किसी भी बिंदु का $y$-निर्देशांक $0$ होता है। इसलिए,$x$-अक्ष पर स्थित सभी बिंदुओं को निरूपित करने वाला समीकरण $y = 0$ है।

(B) दिया गया समीकरण $y=6$ में $x$ चर शामिल नहीं है।
इसका अर्थ है कि $x$ के किसी भी मान के लिए,$y$ का मान हमेशा $6$ रहता है।
इसलिए,$y=6$ का आलेख एक क्षैतिज रेखा है जो $x$-अक्ष के समानांतर है।
चूंकि $y$-निर्देशांक हमेशा $6$ रहता है,इसलिए यह रेखा $y$-अक्ष पर मूल बिंदु से $6$ इकाई की दूरी पर स्थित है।

(C) यह जांचने के लिए कि $(x=5, y=2)$ एक हल है या नहीं,मानों को प्रत्येक समीकरण में प्रतिस्थापित करें:
विकल्प $A$ के लिए: $x + 2y = 5 + 2(2) = 5 + 4 = 9 \neq 7$.
विकल्प $B$ के लिए: $5x + 2y = 5(5) + 2(2) = 25 + 4 = 29 \neq 7$.
विकल्प $C$ के लिए: $x + y = 5 + 2 = 7$. यह समीकरण से मेल खाता है।
विकल्प $D$ के लिए: $5x + y = 5(5) + 2 = 25 + 2 = 27 \neq 7$.
अतः,सही समीकरण $x + y = 7$ है।

(D) रैखिक समीकरण $2x + 3y = 6$ का आलेख एक रेखा है जो $x$-अक्ष को उस बिंदु पर काटती है जहाँ $y = 0$ होता है।
समीकरण $2x + 3y = 6$ में $y = 0$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$2x + 3(0) = 6$
$2x = 6$
$x = 6 / 2 = 3$
अतः,रेखा $x$-अक्ष को $(3, 0)$ बिंदु पर काटती है।

(A) दिया गया रैखिक समीकरण $y = x$ है।
इस समीकरण के आलेख पर किसी बिंदु $(x, y)$ के स्थित होने के लिए,$x$-निर्देशांक और $y$-निर्देशांक का समान होना आवश्यक है।
विकल्पों की जाँच करने पर:
$A$: $(1, 1)$ जहाँ $x = 1$ और $y = 1$ है। चूँकि $1 = 1$ है,इसलिए बिंदु $(1, 1)$ समीकरण $y = x$ को संतुष्ट करता है।
$B$: $(0, 3/2)$ जहाँ $x = 0$ और $y = 1.5$ है। चूँकि $0 \neq 1.5$ है,यह रेखा पर स्थित नहीं है।
$C$: $(3/2, -3/2)$ जहाँ $x = 1.5$ और $y = -1.5$ है। चूँकि $1.5 \neq -1.5$ है,यह रेखा पर स्थित नहीं है।
$D$: $(-1/2, 1/2)$ जहाँ $x = -0.5$ और $y = 0.5$ है। चूँकि $-0.5 \neq 0.5$ है,यह रेखा पर स्थित नहीं है।
अतः,आलेख बिंदु $(1, 1)$ से होकर गुजरता है।

(B) यदि हम एक रैखिक समीकरण के दोनों पक्षों को एक गैर-शून्य संख्या से गुणा या विभाजित करते हैं,तो समानता बनी रहती है। चूँकि चरों के बीच का संबंध संतुलित रहता है,इसलिए रैखिक समीकरण का हल समान रहता है।

(C) $x = 1$ और $y = 2$ के मानों द्वारा संतुष्ट होने वाले अनंत रैखिक समीकरण हो सकते हैं।
दो चरों वाला एक रैखिक समीकरण $ax + by + c = 0$ के रूप में होता है। चूँकि हमारे पास एक विशिष्ट बिंदु $(1, 2)$ है,हम $a, b,$ और $c$ गुणांकों को बदलकर इस बिंदु से गुजरने वाली अनंत रेखाएँ बना सकते हैं।
उदाहरण के लिए:
$1$. $x + y = 3$ (क्योंकि $1 + 2 = 3$)
$2$. $y = 2x$ (क्योंकि $2 = 2(1)$)
$3$. $y - x = 1$ (क्योंकि $2 - 1 = 1$)
$4$. $2y - x = 3$ (क्योंकि $2(2) - 1 = 3$)
चूँकि हम $a, b,$ और $c$ के अनंत संयोजन चुन सकते हैं ताकि $a(1) + b(2) + c = 0$ हो,इसलिए ऐसे अनंत रैखिक समीकरण संभव हैं।

(D) $(a, a)$ के रूप के बिंदुओं में $x$ और $y$ निर्देशांक समान होते हैं।
चूंकि $x$-निर्देशांक $y$-निर्देशांक के बराबर है,इसलिए यह बिंदु समीकरण $y=x$ को संतुष्ट करता है।
अतः,$(a, a)$ के रूप का बिंदु हमेशा $y=x$ रेखा पर स्थित होता है।

(A) $(a, -a)$ के रूप के बिंदु में $x$-निर्देशांक $a$ है और $y$-निर्देशांक $-a$ है।
यह ज्ञात करने के लिए कि यह बिंदु किस रेखा पर स्थित है,हम निर्देशांकों के बीच संबंध देख सकते हैं:
$x = a$
$y = -a$
इन दोनों समीकरणों को जोड़ने पर:
$x + y = a + (-a)$
$x + y = 0$
अतः,$(a, -a)$ बिंदु हमेशा समीकरण $x + y = 0$ को संतुष्ट करता है।

(A) $(i)$ असत्य,क्योंकि $ax + by + c = 0$ दो चरों वाला एक रैखिक समीकरण तभी होता है जब $a$ और $b$ दोनों शून्य न हों (अर्थात $a^2 + b^2 \neq 0$)।
$(ii)$ असत्य,क्योंकि दो चरों वाले एक रैखिक समीकरण के अपरिमित रूप से अनेक हल होते हैं।
$(iii)$ असत्य,बिंदु $(2, 0)$ और $(-3, 0)$ $x$-अक्ष पर स्थित हैं क्योंकि उनके $y$-निर्देशांक $0$ हैं। बिंदु $(4, 2)$ प्रथम चतुर्थांश में स्थित है,और बिंदु $(0, 5)$ $y$-अक्ष पर स्थित है।

(A) $(i)$ सत्य। $y$-अक्ष के समांतर और $y$-अक्ष से बाईं ओर $a$ इकाई की दूरी पर स्थित रेखा का समीकरण $x = -a$ द्वारा दिया जाता है। चूँकि दूरी $4$ इकाई है,इसलिए समीकरण $x = -4$ है।
$(ii)$ असत्य। किसी आलेख के मूलबिंदु $(0, 0)$ से होकर गुजरने के लिए,निर्देशांकों को समीकरण को संतुष्ट करना चाहिए। $y = mx + c$ में $x = 0$ और $y = 0$ रखने पर $0 = m(0) + c$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $c = 0$। चूँकि $y = mx + c$ रूप की सभी रेखाओं के लिए $c$ का मान अनिवार्य रूप से $0$ नहीं होता है,इसलिए यह कथन असत्य है।

(A) यह कथन सत्य है।
यह जाँचने के लिए कि क्या तालिका में दिए गए बिंदु $(x, y)$ समीकरण $2x + 2 = y$ को संतुष्ट करते हैं,हम $x$ के मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करेंगे:
जब $x = 0$ है,तो $2(0) + 2 = 2$ (जो $y = 2$ से मेल खाता है)।
जब $x = 1$ है,तो $2(1) + 2 = 4$ (जो $y = 4$ से मेल खाता है)।
जब $x = 2$ है,तो $2(2) + 2 = 6$ (जो $y = 6$ से मेल खाता है)।
जब $x = 3$ है,तो $2(3) + 2 = 8$ (जो $y = 8$ से मेल खाता है)।
जब $x = 4$ है,तो $2(4) + 2 = 10$ (जो $y = 10$ से मेल खाता है)।
अतः,तालिका के सभी बिंदु समीकरण $2x + 2 = y$ को संतुष्ट करते हैं,इसलिए यह कथन सत्य है।

(TRUE) यह जाँचने के लिए कि क्या बिंदु $(0, 3)$ रैखिक समीकरण $3x + 4y = 12$ के आलेख पर स्थित है,हम समीकरण में $x = 0$ और $y = 3$ प्रतिस्थापित करते हैं।
मान रखने पर:
$3(0) + 4(3) = 0 + 12 = 12$.
चूँकि बायाँ पक्ष दाएँ पक्ष के बराबर है $(12 = 12)$,इसलिए बिंदु $(0, 3)$ समीकरण को संतुष्ट करता है।
अतः,दिया गया कथन सत्य है।

(FALSE) यह जाँचने के लिए कि क्या रैखिक समीकरण $x + 2y = 7$ का आलेख बिंदु $(0, 7)$ से होकर गुजरता है,हम समीकरण में $x = 0$ और $y = 7$ प्रतिस्थापित करते हैं।
मान रखने पर:
$0 + 2(7) = 7$
$0 + 14 = 7$
$14 = 7$
चूँकि $14 \neq 7$,इसलिए बिंदु $(0, 7)$ समीकरण को संतुष्ट नहीं करता है।
अतः,दिया गया कथन असत्य है।

(A) दिया गया समीकरण $x + y = 0$ है,जिसे $y = -x$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$y = -x$ के ग्राफ पर स्थित किसी भी बिंदु के $x$ और $y$ निर्देशांक एक-दूसरे के योज्य प्रतिलोम होने चाहिए (अर्थात,उनके चिह्न विपरीत होने चाहिए और निरपेक्ष मान समान होने चाहिए)।
ग्राफ को देखने पर,हम दो बिंदुओं की पहचान कर सकते हैं: $(-1, 1)$ और $(-3, 3)$।
बिंदु $(-1, 1)$ के लिए,$x = -1$ और $y = 1$ है। इन मानों को समीकरण $x + y = 0$ में रखने पर,हमें $-1 + 1 = 0$ प्राप्त होता है,जो सत्य है।
बिंदु $(-3, 3)$ के लिए,$x = -3$ और $y = 3$ है। इन मानों को समीकरण $x + y = 0$ में रखने पर,हमें $-3 + 3 = 0$ प्राप्त होता है,जो सत्य है।
चूंकि दोनों बिंदु समीकरण को संतुष्ट करते हैं और दो बिंदु एक अद्वितीय रेखा निर्धारित करते हैं,इसलिए दिया गया कथन सत्य है।

(TRUE) हम जानते हैं कि समीकरण $x = a$ का आलेख $y$-अक्ष के समांतर और उससे $|a|$ इकाई की दूरी पर स्थित एक रेखा होती है।
यदि $a > 0$ है,तो रेखा $y$-अक्ष के दाईं ओर स्थित होती है।
दिए गए आलेख में,रेखा $y$-अक्ष के समांतर है और $x$-अक्ष पर बिंदु $(3, 0)$ से होकर गुजरती है,जो $y$-अक्ष के दाईं ओर $3$ इकाई की दूरी पर है।
अतः,दिया गया कथन सत्य है।

(B) यह निर्धारित करने के लिए कि क्या बिंदु हल हैं,हम $x$ और $y$ के मानों को समीकरण $x-y+2=0$ में प्रतिस्थापित करते हैं।
$(0, 2)$ के लिए: $0 - 2 + 2 = 0$. (सत्य)
$(1, 3)$ के लिए: $1 - 3 + 2 = 0$. (सत्य)
$(2, 4)$ के लिए: $2 - 4 + 2 = 0$. (सत्य)
$(3, -5)$ के लिए: $3 - (-5) + 2 = 3 + 5 + 2 = 10 \neq 0$. (असत्य)
$(4, 6)$ के लिए: $4 - 6 + 2 = 0$. (सत्य)
चूंकि बिंदु $(3, -5)$ समीकरण को संतुष्ट नहीं करता है,इसलिए दिया गया कथन असत्य है।

(B) दिया गया कथन $False$ (असत्य) है।
परिभाषा के अनुसार,दो चरों वाले रैखिक समीकरण का आलेख उन सभी बिंदुओं $(x, y)$ का संग्रह होता है जो समीकरण को संतुष्ट करते हैं।
इसलिए,रैखिक समीकरण द्वारा निरूपित रेखा पर स्थित प्रत्येक बिंदु उस समीकरण का एक हल होता है।

(FALSE) यह कथन असत्य है।
परिभाषा के अनुसार,दो चरों वाले एक रैखिक समीकरण का रूप $ax + by + c = 0$ होता है,जहाँ $a, b,$ और $c$ वास्तविक संख्याएँ हैं और $a$ तथा $b$ दोनों एक साथ शून्य नहीं हैं। कार्तीय तल में ऐसे समीकरण का ज्यामितीय निरूपण सदैव एक सीधी रेखा होता है। इसलिए,यह कहना गलत है कि आलेख का एक रेखा होना आवश्यक नहीं है।

(N/A) रैखिक समीकरण $3x + 4y = 12$ का आलेख $x$-अक्ष को उस बिंदु पर काटता है जहाँ $y = 0$ होता है।
समीकरण में $y = 0$ रखने पर,हमें $3x + 4(0) = 12$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $3x = 12$ हो जाता है,अतः $x = 4$ है।
इस प्रकार,$x$-अक्ष पर स्थित बिंदु $(4, 0)$ है।
रैखिक समीकरण $3x + 4y = 12$ का आलेख $y$-अक्ष को उस बिंदु पर काटता है जहाँ $x = 0$ होता है।
समीकरण में $x = 0$ रखने पर,हमें $3(0) + 4y = 12$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $4y = 12$ हो जाता है,अतः $y = 3$ है।
इस प्रकार,$y$-अक्ष पर स्थित बिंदु $(0, 3)$ है।

(A) $y$-अक्ष के समांतर और मूल बिंदु से $x$-अक्ष की धनात्मक दिशा में $2$ इकाई की दूरी पर स्थित रेखा का समीकरण $x=2$ है।
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,हम दिए गए रैखिक समीकरण $x+y=5$ में $x=2$ प्रतिस्थापित करते हैं।
$2+y=5$
$y=5-2$
$y=3$
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $(2, 3)$ है।

(C) माना कि बिंदु $(x, y)$ है।
प्रश्न के अनुसार,$x$-निर्देशांक उसके $y$-निर्देशांक (कोटि) का $\frac{5}{2}$ गुना है,इसलिए $x = \frac{5}{2}y$ है।
समीकरण $2x + 5y = 20$ में $x = \frac{5}{2}y$ प्रतिस्थापित करने पर:
$2(\frac{5}{2}y) + 5y = 20$
$5y + 5y = 20$
$10y = 20$
$y = 2$
अब,$x = \frac{5}{2}y$ का उपयोग करके $x$-निर्देशांक ज्ञात करें:
$x = \frac{5}{2}(2) = 5$
अतः,अभीष्ट बिंदु $(5, 2)$ है।

(N/A) $x$-अक्ष के समांतर किसी भी सीधी रेखा का समीकरण $y=k$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $k$ रेखा की $x$-अक्ष से दूरी है।
यहाँ,रेखा $x$-अक्ष से $4$ इकाई ऊपर है,इसलिए $k=4$ है।
अतः,रेखा का समीकरण $y=4$ है।
इस समीकरण का आलेख खींचने के लिए,कार्तीय तल पर बिंदुओं $(1,4)$,$(2,4)$ और $(3,4)$ को अंकित कीजिए और उन्हें एक सीधी रेखा से जोड़िए। यह रेखा उन सभी बिंदुओं को दर्शाती है जहाँ $y$-निर्देशांक $4$ है।

(N/A) $y = x$ के आलेख पर किसी भी बिंदु के $x$ और $y$ निर्देशांक समान होंगे। यह रेखा $(0,0), (1,1)$ और $(-1,-1)$ बिंदुओं से होकर गुजरती है।
इसी प्रकार,$y = -x$ के आलेख पर किसी भी बिंदु के $x$ और $y$ निर्देशांक विपरीत चिह्नों वाले होंगे। यह रेखा $(1,-1)$ और $(-1,1)$ बिंदुओं से होकर गुजरती है।
साथ ही,बिंदु $(0,0)$ समीकरण $y = -x$ को संतुष्ट करता है।
एक ही कार्तीय तल पर रैखिक समीकरणों $y = x$ और $y = -x$ के आलेख नीचे दी गई आकृति में दिखाए गए हैं।
हम देखते हैं कि इन दोनों समीकरणों के आलेख मूल बिंदु $(0,0)$ से होकर गुजरते हैं।

(A) माना बिंदु का भुज $x$ है और कोटि $y$ है।
प्रश्न के अनुसार,कोटि भुज की $1 \frac{1}{2}$ गुनी है,इसलिए $y = 1 \frac{1}{2} x = \frac{3}{2} x$ है।
दिए गए रैखिक समीकरण $2x + 5y = 19$ में $y = \frac{3}{2} x$ प्रतिस्थापित करने पर:
$2x + 5(\frac{3}{2} x) = 19$
$2x + \frac{15}{2} x = 19$
भिन्न को हटाने के लिए पूरे समीकरण को $2$ से गुणा करने पर:
$4x + 15x = 38$
$19x = 38$
$x = 2$
अब,$y = \frac{3}{2} x$ का उपयोग करके कोटि $y$ ज्ञात करें:
$y = \frac{3}{2} (2) = 3$
अतः,बिंदु $(2, 3)$ है।

(N/A) $x$-अक्ष के समांतर और उससे $a$ इकाई नीचे स्थित रेखा का समीकरण $y = -a$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,दूरी $x$-अक्ष के नीचे $3$ इकाई है,इसलिए $a = 3$ है।
अतः,रेखा का समीकरण $y = -3$ है।
यह रेखा $x$-अक्ष के समांतर है और उन सभी बिंदुओं से होकर गुजरती है जहाँ $y$-निर्देशांक $-3$ है,जैसे $(0, -3)$,$(1, -3)$,$(-1, -3)$ आदि।
समीकरण $y = -3$ का आलेख $y$-अक्ष पर स्थित बिंदु $(0, -3)$ से गुजरने वाली एक क्षैतिज रेखा है,जैसा कि आकृति में दिखाया गया है।

(N/A) एक रैखिक समीकरण जिसके हल उन बिंदुओं द्वारा निरूपित होते हैं जिनके निर्देशांकों का योग $10$ इकाई है,वह $x+y=10$ है।
जब $x=0$ है,तो $y=10$ और जब $x=10$ है,तो $y=0$ प्राप्त होता है।
अब,इन दो बिंदुओं $(0, 10)$ और $(10, 0)$ को ग्राफ पेपर पर आलेखित कीजिए और उन्हें मिलाकर एक सीधी रेखा प्राप्त कीजिए।
$x+y=10$ का आलेख चित्र में दर्शाए अनुसार एक सीधी रेखा है।

(C) कार्तीय निर्देशांक पद्धति में,किसी भी बिंदु को $(x, y)$ के रूप में दर्शाया जाता है,जहाँ $x$ भुज (abscissa) है और $y$ कोटि (ordinate) है।
प्रश्न के अनुसार,कोटि,भुज की $3$ गुनी है।
इसलिए,संबंध $y = 3x$ है।
यह अभीष्ट रैखिक समीकरण है।

(A) बिंदु $(3,4)$,$3y = ax + 7$ के आलेख पर स्थित है।
दिए गए समीकरण $3y = ax + 7$ में $x = 3$ और $y = 4$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$3 \times 4 = a \times 3 + 7$
$12 = 3a + 7$
$3a = 12 - 7$
$3a = 5$
$a = \frac{5}{3}$

(N/A) $(i)$ संख्या रेखा पर समीकरण $2x + 1 = x - 3$ के हलों की संख्या $1$ है।
समीकरण को हल करने पर: $2x + 1 = x - 3 \Rightarrow 2x - x = -3 - 1 \Rightarrow x = -4$.
अतः,संख्या रेखा पर $x = -4$ एकमात्र अद्वितीय हल है।
$(ii)$ कार्तीय तल पर समीकरण $2x + 1 = x - 3$ के हलों की संख्या अनंत है।
कार्तीय तल में,समीकरण $2x + 1 = x - 3$ को $x + 4 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है,जो $y$-अक्ष के समांतर एक ऊर्ध्वाधर रेखा को दर्शाता है। इस रेखा पर स्थित प्रत्येक बिंदु $( -4, y )$ जहाँ $y$ कोई भी वास्तविक संख्या है,समीकरण को संतुष्ट करता है,इसलिए इसके अनंत हल हैं।

(N/A) हम जानते हैं कि $x$-अक्ष पर स्थित किसी भी बिंदु का कोटि (ordinate) $0$ होता है।
समीकरण $x + 2y = 8$ में $y = 0$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$x + 2(0) = 8 \Rightarrow x = 8$.
अतः,$x$-अक्ष पर स्थित बिंदु $(8, 0)$ है।
हम यह भी जानते हैं कि $y$-अक्ष पर स्थित किसी भी बिंदु का भुज (abscissa) $0$ होता है।
समीकरण $x + 2y = 8$ में $x = 0$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$0 + 2y = 8 \Rightarrow 2y = 8 \Rightarrow y = 4$.
अतः,$y$-अक्ष पर स्थित बिंदु $(0, 4)$ है।

(B) दिया गया रैखिक समीकरण: $2x + cy = 8$ है।
हमें $c$ का वह मान ज्ञात करना है जिसके लिए $x = y$ हो।
दिए गए समीकरण में $y = x$ प्रतिस्थापित करने पर:
$2x + c(x) = 8$
$x(2 + c) = 8$
$x = \frac{8}{2 + c}$
यदि हम $x = y = 2$ मान लें जो समीकरण को संतुष्ट करता है:
$2(2) + c(2) = 8$
$4 + 2c = 8$
$2c = 4$
$c = 2$
अतः,$c = 2$ के लिए,समीकरण $2x + 2y = 8$ हो जाता है,जिसे $x + y = 4$ के रूप में लिखा जा सकता है,जिसमें $x = y = 2$ एक हल है।

(A) $y$,$x$ के सीधे समानुपाती है।
$\Rightarrow y \propto x$
$\therefore y = kx$
$x = 4$ होने पर $y = 12$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$12 = k \times 4 \Rightarrow k = 12 \div 4 = 3$
अतः,अभीष्ट रैखिक समीकरण $y = 3x$ है।
जब $x = 5$ है,तो $y$ का मान $y = 3 \times 5 = 15$ है।

(N/A) दिया गया समीकरण $2x + 3y = 12$ है। इस समीकरण का आलेख खींचने के लिए,हमें आलेख पर स्थित कम से कम दो बिंदुओं की आवश्यकता है।
समीकरण से,हमें प्राप्त होता है $y = \frac{12 - 2x}{3}$।
यदि $x = 0$ है,तो $y = \frac{12 - 0}{3} = 4$। अतः,$(0, 4)$ आलेख पर स्थित है।
यदि $y = 0$ है,तो $2x = 12$,इसलिए $x = 6$। अतः,$(6, 0)$ आलेख पर स्थित है।
अब,बिंदुओं $A(0, 4)$ और $B(6, 0)$ को आलेखित कीजिए और उन्हें मिलाकर रेखा $AB$ प्राप्त कीजिए।
रेखा $AB$ अभीष्ट आलेख है। यह आलेख (रेखा $AB$) $x$-अक्ष को $(6, 0)$ बिंदु पर और $y$-अक्ष को $(0, 4)$ बिंदु पर काटता है।

(N/A) तालिका से,हमें दो बिंदु $A(1, 1)$ और $B(2, 3)$ प्राप्त होते हैं जो रैखिक समीकरण के ग्राफ पर स्थित हैं। स्पष्ट रूप से,ग्राफ एक सीधी रेखा होगी। इसलिए,हम पहले बिंदुओं $A$ और $B$ को ग्राफ पर अंकित करते हैं और उन्हें जोड़ते हैं।
$(1, 1)$ और $(2, 3)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण ज्ञात करने के लिए:
ढाल $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{3 - 1}{2 - 1} = 2$.
बिंदु-ढाल रूप $y - y_1 = m(x - x_1)$ का उपयोग करने पर:
$y - 1 = 2(x - 1) \implies y - 1 = 2x - 2 \implies y = 2x - 1$.
$(i)$ यह ज्ञात करने के लिए कि यह $x$-अक्ष को कहाँ काटता है,$y = 0$ रखें:
$0 = 2x - 1 \implies 2x = 1 \implies x = \frac{1}{2}$.
अतः,यह $x$-अक्ष को $\left(\frac{1}{2}, 0\right)$ बिंदु पर काटता है।
$(ii)$ यह ज्ञात करने के लिए कि यह $y$-अक्ष को कहाँ काटता है,$x = 0$ रखें:
$y = 2(0) - 1 \implies y = -1$.
अतः,यह $y$-अक्ष को $(0, -1)$ बिंदु पर काटता है।

(N/A) माना कुल तय की गई दूरी $x \text{ km}$ है और कुल किराया $Rs. y$ है।
पहले $1 \text{ km}$ के लिए किराया $Rs. 10$ है।
शेष दूरी $(x - 1) \text{ km}$ के लिए किराया $Rs. 4(x - 1)$ है।
अतः,कुल किराया $y$ इस प्रकार है:
$y = 10 + 4(x - 1)$
$y = 10 + 4x - 4$
$y = 4x + 6$
इस प्रकार,अभीष्ट रैखिक समीकरण $4x - y + 6 = 0$ है।
आलेख खींचने के लिए,हम रेखा पर दो बिंदु ज्ञात करते हैं:
यदि $x = 0$ है,तो $y = 4(0) + 6 = 6$। बिंदु: $(0, 6)$।
यदि $x = -1$ है,तो $y = 4(-1) + 6 = 2$। बिंदु: $(-1, 2)$।
इन बिंदुओं को कार्तीय तल पर आलेखित करके उन्हें मिलाने पर अभीष्ट सरल रेखा आलेख प्राप्त होता है।

(N/A) किया गया कार्य $= (\text{अचर बल}) \times (\text{दूरी})$
$= 3 \times (\text{दूरी})$
अर्थात, $y = 3x$, जहाँ $y$ (इकाई) किया गया कार्य है और $x$ (इकाई) तय की गई दूरी है।
चूँकि $x = 2$ इकाई (दिया गया है), इसलिए, किया गया कार्य $= 3 \times 2 = 6$ इकाई।
रैखिक समीकरण $y = 3x$ का आलेख खींचने के लिए, हमें समीकरण के कम से कम दो हलों की आवश्यकता है।
हम देखते हैं कि $x = 0, y = 0$ दिए गए समीकरण को संतुष्ट करता है, और $x = 1, y = 3$ भी समीकरण को संतुष्ट करता है।
अब हम बिंदुओं $A(0, 0)$ और $B(1, 3)$ को आलेखित करते हैं और उन्हें मिलाकर एक रेखा बनाते हैं। समीकरण का आलेख एक सीधी रेखा है। [हमने पूरी रेखा नहीं दिखाई है क्योंकि किया गया कार्य ऋणात्मक नहीं हो सकता]।
आलेख से जाँच करने के लिए, $x$-अक्ष पर बिंदु $(2, 0)$ पर एक लंब खींचिए जो आलेख को बिंदु $C$ पर मिलता है। स्पष्ट रूप से, $C$ के निर्देशांक $(2, 6)$ हैं। इसका अर्थ है कि किया गया कार्य $6$ इकाई है।

(N/A) यह दर्शाने के लिए कि कोई बिंदु $(x, y)$ रैखिक समीकरण $y = 9x - 7$ के आलेख पर स्थित है,हमें बिंदु के निर्देशांकों को समीकरण में प्रतिस्थापित करना होगा और यह सत्यापित करना होगा कि बायां पक्ष दाएं पक्ष के बराबर है या नहीं।
बिंदु $A(1, 2)$ के लिए:
समीकरण में $x = 1$ और $y = 2$ रखने पर:
$2 = 9(1) - 7$
$2 = 9 - 7$
$2 = 2$
चूंकि बायां पक्ष दाएं पक्ष के बराबर है,इसलिए बिंदु $A$ आलेख पर स्थित है।
बिंदु $B(-1, -16)$ के लिए:
समीकरण में $x = -1$ और $y = -16$ रखने पर:
$-16 = 9(-1) - 7$
$-16 = -9 - 7$
$-16 = -16$
चूंकि बायां पक्ष दाएं पक्ष के बराबर है,इसलिए बिंदु $B$ आलेख पर स्थित है।
बिंदु $C(0, -7)$ के लिए:
समीकरण में $x = 0$ और $y = -7$ रखने पर:
$-7 = 9(0) - 7$
$-7 = 0 - 7$
$-7 = -7$
चूंकि बायां पक्ष दाएं पक्ष के बराबर है,इसलिए बिंदु $C$ आलेख पर स्थित है।
अतः,तीनों बिंदु $A$,$B$ और $C$ समीकरण $y = 9x - 7$ को संतुष्ट करते हैं और इसलिए इसके आलेख पर स्थित हैं।