Boolean Algebra and Logic Gates Questions in Hindi

(D) $NAND$ गेट एक $AND$ गेट और उसके बाद एक $NOT$ गेट का संयोजन है।
सबसे पहले,इनपुट $A$ और $B$ पर $AND$ ऑपरेशन किया जाता है,जिसका परिणाम $A \cdot B$ होता है।
इसके बाद,इस परिणाम पर $NOT$ ऑपरेशन लागू किया जाता है,जो आउटपुट को उलट देता है।
इसलिए,$NAND$ गेट का आउटपुट $Y$ बूलियन समीकरण $Y = \overline{A \cdot B}$ द्वारा दिया जाता है।

(C) दिए गए सर्किट में एक $NAND$ गेट और एक $NOT$ गेट है,जिनके आउटपुट को एक $OR$ गेट में भेजा जाता है।
$1$. इनपुट $A$ और $B$ को $NAND$ गेट में भेजा जाता है। $NAND$ गेट का आउटपुट $\overline{A \cdot B}$ है।
$2$. इनपुट $C$ को $NOT$ गेट में भेजा जाता है। $NOT$ गेट का आउटपुट $\overline{C}$ है।
$3$. इन दोनों आउटपुट को फिर एक $OR$ गेट में भेजा जाता है। दो इनपुट $X$ और $Z$ का $OR$ ऑपरेशन $X+Z$ होता है।
$4$. इसलिए,अंतिम आउटपुट $Y$ पिछले दो आउटपुट का $OR$ योग है: $Y = \overline{A \cdot B} + \overline{C}$.

(D) यह सर्किट एक $NAND$ गेट और उसके बाद एक $AND$ गेट से बना है।
दिए गए चित्र में,$NAND$ गेट का आउटपुट $AND$ गेट के केवल एक इनपुट टर्मिनल से जुड़ा है।
$AND$ गेट एक मल्टी-इनपुट लॉजिक गेट है जिसे अपना लॉजिकल कार्य करने के लिए कम से कम दो इनपुट सिग्नल की आवश्यकता होती है।
चूंकि इस सर्किट में $AND$ गेट को केवल एक ही इनपुट मिल रहा है,इसलिए यह एक मानक लॉजिक गेट के रूप में कार्य नहीं कर सकता है।
अतः,यह गेट कार्यशील नहीं है।

(C) दिए गए परिपथ में एक $OR$ गेट और एक $NAND$ गेट है,जिनके आउटपुट को एक $AND$ गेट में इनपुट के रूप में दिया गया है।
मान लीजिए इनपुट $A$ और $B$ हैं।
$OR$ गेट का आउटपुट $(A + B)$ है।
$NAND$ गेट का आउटपुट $(\overline{A \cdot B})$ है।
ये अंतिम $AND$ गेट के लिए इनपुट हैं।
इसलिए,अंतिम आउटपुट $Y$ इस प्रकार है:
$Y = (A + B) \cdot (\overline{A \cdot B})$
डी मॉर्गन प्रमेय का उपयोग करते हुए,$\overline{A \cdot B} = \bar{A} + \bar{B}$।
$Y = (A + B) \cdot (\bar{A} + \bar{B})$
$Y = A \cdot \bar{A} + A \cdot \bar{B} + B \cdot \bar{A} + B \cdot \bar{B}$
चूंकि $A \cdot \bar{A} = 0$ और $B \cdot \bar{B} = 0$,इसलिए:
$Y = 0 + A \cdot \bar{B} + B \cdot \bar{A} + 0$
$Y = A \cdot \bar{B} + \bar{A} \cdot B$
यह $XOR$ गेट के लिए बूलियन व्यंजक है।

(D) यह सर्किट एक $NAND$ गेट,एक $NOT$ गेट और दो $NOR$ गेट से मिलकर बना है।
माना ऊपरी $NAND$ गेट का आउटपुट $Y_1 = \overline{A \cdot B}$ है।
माना निचली शाखा ($NOT$ गेट और उसके बाद $NOR$ गेट) का आउटपुट $Y_2 = \overline{\overline{A} + B}$ है।
अंतिम आउटपुट $Y$,$Y_1$ और $Y_2$ इनपुट वाले $NOR$ गेट का आउटपुट है,इसलिए $Y = \overline{Y_1 + Y_2} = \overline{(\overline{A \cdot B}) + (\overline{\overline{A} + B})}$।
विकल्पों की जाँच करने पर:
$A=1, B=1$ के लिए:
$Y_1 = \overline{1 \cdot 1} = 0$
$Y_2 = \overline{\overline{1} + 1} = \overline{0 + 1} = 0$
$Y = \overline{0 + 0} = 1$।
अतः,$A=1, B=1$ के लिए आउटपुट $Y$,$1$ प्राप्त होता है।

(C) $NAND$ गेट के दो इनपुट होते हैं,मान लीजिए $A$ और $B$,और इसका आउटपुट $Y = \overline{A \cdot B}$ द्वारा दिया जाता है।
यदि दोनों इनपुट को शॉर्ट कर दिया जाए,तो $A = B$ होगा। मान लीजिए कि यह सामान्य इनपुट $A$ है।
इस मान को $NAND$ व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $Y = \overline{A \cdot A}$ प्राप्त होता है।
चूंकि बूलियन बीजगणित में $A \cdot A = A$ होता है,इसलिए व्यंजक $Y = \overline{A}$ हो जाता है।
व्यंजक $Y = \overline{A}$ एक $NOT$ गेट की क्रिया को दर्शाता है।
अतः,जब एक $NAND$ गेट के इनपुट को शॉर्ट किया जाता है,तो यह एक $NOT$ गेट के रूप में कार्य करता है।

(C) दिए गए परिपथ में दो $NOT$ गेट,दो $AND$ गेट और एक $OR$ गेट शामिल हैं।
$1$. इनपुट $A$ एक $NOT$ गेट से गुजरकर $\overline{A}$ बन जाता है और इनपुट $B$ सीधे पहले $AND$ गेट में जाता है। इस $AND$ गेट का आउटपुट $\overline{A} \cdot B$ है।
$2$. इनपुट $B$ एक $NOT$ गेट से गुजरकर $\overline{B}$ बन जाता है और इनपुट $A$ सीधे दूसरे $AND$ गेट में जाता है। इस $AND$ गेट का आउटपुट $A \cdot \overline{B}$ है।
$3$. इन दोनों आउटपुट को एक $OR$ गेट में भेजा जाता है। अंतिम आउटपुट $Y$ इन दो व्यंजकों का योग है: $Y = (\overline{A} \cdot B) + (A \cdot \overline{B})$.
यह एक $XOR$ गेट के लिए बूलियन व्यंजक है।

(D) दिए गए परिपथ में दो $NOR$ गेट हैं जिनके आउटपुट एक $OR$ गेट में जाते हैं। मान लीजिए इनपुट $A$ और $B$ हैं। ऊपरी $NOR$ गेट का आउटपुट $C = \overline{A+B}$ है और निचले $NOR$ गेट का आउटपुट $D = \overline{A+B}$ है। इन्हें एक $OR$ गेट में देने पर,अंतिम आउटपुट $Y = C + D = \overline{A+B} + \overline{A+B} = \overline{A+B}$ प्राप्त होता है।
इस संयोजन के लिए सत्यता सारणी (truth table) नीचे दी गई है:

$A$	$B$	$C = \overline{A+B}$	$D = \overline{A+B}$	$Y = C + D$
$0$	$0$	$1$	$1$	$1$
$0$	$1$	$0$	$0$	$0$
$1$	$0$	$0$	$0$	$0$
$1$	$1$	$0$	$0$	$0$

इस सत्यता सारणी की तुलना मानक लॉजिक गेट्स से करने पर,आउटपुट $Y$ केवल तब $1$ होता है जब $A$ और $B$ दोनों $0$ हों,जो कि एक $NOR$ गेट का विशिष्ट व्यवहार है।

(A) दी गई सर्किट में $A$ और $B$ इनपुट वाला $NAND$ गेट, $C$ इनपुट वाला $NOT$ गेट और उनके आउटपुट को जोड़ने वाला $OR$ गेट है।
आउटपुट $Y$ के लिए बूलियन समीकरण $Y = (\overline{A \cdot B}) + \overline{C}$ है।
स्थिति $1$: जब तीनों इनपुट $A, B, C$ लो $(0, 0, 0)$ हों:
$A = 0, B = 0 \implies A \cdot B = 0 \implies \overline{A \cdot B} = 1$.
$C = 0 \implies \overline{C} = 1$.
$Y = 1 + 1 = 1$.
स्थिति $2$: जब तीनों इनपुट $A, B, C$ हाई $(1, 1, 1)$ हों:
$A = 1, B = 1 \implies A \cdot B = 1 \implies \overline{A \cdot B} = 0$.
$C = 1 \implies \overline{C} = 0$.
$Y = 0 + 0 = 0$.
अतः, आउटपुट क्रम $1, 0$ है।

(C) $NAND$ गेट एक $AND$ गेट और उसके बाद एक $NOT$ गेट का संयोजन है。
$NAND$ गेट के लिए बूलियन व्यंजक $Y = \overline{A \cdot B}$ है。
आइए $A$ और $B$ के सभी संभावित इनपुट संयोजनों के लिए आउटपुट $Y$ का मूल्यांकन करें:
$1$. यदि $A = 0, B = 0$ है, तो $A \cdot B = 0$, इसलिए $Y = \overline{0} = 1$ है。
$2$. यदि $A = 0, B = 1$ है, तो $A \cdot B = 0$, इसलिए $Y = \overline{0} = 1$ है。
$3$. यदि $A = 1, B = 0$ है, तो $A \cdot B = 0$, इसलिए $Y = \overline{0} = 1$ है。
$4$. यदि $A = 1, B = 1$ है, तो $A \cdot B = 1$, इसलिए $Y = \overline{1} = 0$ है。
दी गई सारणियों के साथ तुलना करने पर:
- सारणी $(P)$ एक $OR$ गेट को दर्शाती है。
- सारणी $(Q)$ एक $XOR$ गेट को दर्शाती है。
- सारणी $(R)$ एक $AND$ गेट को दर्शाती है。
- सारणी $(S)$ एक $NAND$ गेट को दर्शाती है。
अतः, सही सत्यता सारणी $(S)$ है。

(D) इस लॉजिक सर्किट में एक $NOR$ गेट और उसके बाद एक $AND$ गेट जुड़ा है।
$NOR$ गेट के इनपुट $B$ और $C$ हैं,इसलिए इसका आउटपुट $\overline{B+C}$ प्राप्त होता है।
इस आउटपुट को इनपुट $A$ के साथ $AND$ गेट में दिया जाता है।
अतः,अंतिम आउटपुट $Y$ के लिए बूलियन व्यंजक: $Y = A \cdot \overline{(B+C)}$ है।
आउटपुट $Y$ के ' $HIGH$ ' $(Y=1)$ होने के लिए,$A=1$ होना चाहिए और $\overline{(B+C)}=1$ होना चाहिए।
$\overline{(B+C)} = 1$ का अर्थ है कि $(B+C) = 0$,जिसका अर्थ है कि $B=0$ और $C=0$ दोनों होने चाहिए।
इस प्रकार,जब $A=1, B=0$ और $C=0$ होता है,तब $Y=1$ प्राप्त होता है।

(A) एक यूनिवर्सल गेट वह लॉजिक गेट है जिसका उपयोग किसी अन्य प्रकार के गेट की आवश्यकता के बिना किसी भी अन्य लॉजिक गेट या बूलियन फ़ंक्शन को लागू करने के लिए किया जा सकता है।
$NAND$ और $NOR$ दोनों गेटों को यूनिवर्सल गेट के रूप में वर्गीकृत किया गया है।
चूंकि दिए गए विकल्पों में से $NOR$ इस परिभाषा के अनुरूप है,इसलिए सही उत्तर $NOR$ है।

(D) दिए गए सर्किट में एक $OR$ गेट और उसके बाद एक $NAND$ गेट है।
$OR$ गेट का आउटपुट $Y = A + B$ है।
यह आउटपुट $Y$ $NAND$ गेट के इनपुट में से एक है,और दूसरा इनपुट $C$ है।
$NAND$ गेट का अंतिम आउटपुट $D = \overline{Y \cdot C} = \overline{(A + B) \cdot C}$ है।
स्थिति $1$: $A=0, B=0, C=0$
$Y = 0 + 0 = 0$
$D = \overline{0 \cdot 0} = \overline{0} = 1$
स्थिति $2$: $A=1, B=1, C=0$
$Y = 1 + 1 = 1$
$D = \overline{1 \cdot 0} = \overline{0} = 1$
अतः,आउटपुट $D$ की लॉजिक स्थितियाँ $1, 1$ हैं।

(C) $OR$ गेट एक बुनियादी लॉजिक गेट है जो तार्किक योग (logical addition) करता है।
$A$ और $B$ इनपुट वाले $OR$ गेट के लिए,आउटपुट $Y$ को बूलियन व्यंजक $Y = A + B$ द्वारा दर्शाया जाता है।
$OR$ गेट की सत्य सारणी (truth table) के अनुसार,यदि कम से कम एक इनपुट $1$ है,तो आउटपुट $1$ प्राप्त होता है।
विशेष रूप से,यदि इनपुट $A$ का मान $1$ है या इनपुट $B$ का मान $1$ है,या यदि दोनों इनपुट $A$ और $B$ का मान $1$ है,तो आउटपुट $Y$ का मान $1$ होगा।

(B) दिया गया बूलियन व्यंजक: $\overline{(A+B) \cdot(A \cdot B)}=1$ है।
दोनों पक्षों का पूरक (complement) लेने पर,हमें प्राप्त होता है: $(A+B) \cdot(A \cdot B) = 0$।
हम दिए गए विकल्पों की जाँच करते हैं:
विकल्प $B$ $(A=0, B=0)$ के लिए: $(0+0) \cdot (0 \cdot 0) = 0 \cdot 0 = 0$। चूँकि यह समीकरण को संतुष्ट करता है,इसलिए इनपुट $(0, 0)$ है।
विकल्प $A$ $(A=1, B=0)$ के लिए: $(1+0) \cdot (1 \cdot 0) = 1 \cdot 0 = 0$। यह भी $0$ परिणाम देता है,लेकिन मूल व्यंजक में $\overline{0} = 1$ होता है।
विकल्प $D$ $(A=1, B=1)$ के लिए: $(1+1) \cdot (1 \cdot 1) = 1 \cdot 1 = 1$। अतः $\overline{1} = 0 \neq 1$।
इस प्रकार,$(0, 0)$ सही विकल्प है।

(B) मान लीजिए कि इनपुट $A, B$ और $C$ सर्किट को दिए गए हैं।
गेट-$I$ एक $AND$ गेट है और गेट-$II$ एक $NAND$ गेट है।
$AND$ गेट का आउटपुट $X = A \cdot B$ है।
अंतिम आउटपुट $Y$,$X$ और $C$ का $NAND$ है,इसलिए $Y = \overline{X \cdot C} = \overline{(A \cdot B) \cdot C}$।
जब $A=1, B=1, C=1$ (सभी हाई):
$Y = \overline{(1 \cdot 1) \cdot 1} = \overline{1 \cdot 1} = \overline{1} = 0$।
जब $A=0, B=0, C=0$ (सभी लो):
$Y = \overline{(0 \cdot 0) \cdot 0} = \overline{0 \cdot 0} = \overline{0} = 1$।

(B) दिए गए लॉजिक सर्किट में एक $OR$ गेट और उसके बाद एक $AND$ गेट है। मान लीजिए कि $OR$ गेट का आउटपुट $X$ है। तो $X = A + B$ होगा।
अंतिम आउटपुट $Y$ $AND$ गेट से प्राप्त होता है,जहाँ $Y = X \cdot C = (A + B) \cdot C$ होता है।
आउटपुट $Y = 1$ प्राप्त करने के लिए,$AND$ गेट के दोनों इनपुट $1$ होने चाहिए। इसलिए,$X = 1$ और $C = 1$ होना आवश्यक है।
चूँकि $X = A + B = 1$,इसलिए $A$ या $B$ में से कम से कम एक $1$ होना चाहिए।
विकल्पों की जाँच करने पर:
$A) A=1, B=0, C=0 \implies Y = (1+0) \cdot 0 = 0$
$B) A=1, B=0, C=1 \implies Y = (1+0) \cdot 1 = 1$
$C) A=1, B=1, C=0 \implies Y = (1+1) \cdot 0 = 0$
$D) A=0, B=0, C=1 \implies Y = (0+0) \cdot 1 = 0$
अतः,विकल्प $B$ सही है।

(C) Ex-$OR$ गेट के लिए सत्यता सारणी (Truth table) इस प्रकार है:
| इनपुट $A$ | इनपुट $B$ | आउटपुट $Y = A \oplus B$ |
| :--- | :--- | :--- |
| $0$ | $0$ | $0$ |
| $0$ | $1$ | $1$ |
| $1$ | $0$ | $1$ |
| $1$ | $1$ | $0$ |
Ex-$OR$ गेट के लिए आउटपुट समीकरण $Y = A \oplus B = (\bar{A} \cdot B) + (A \cdot \bar{B})$ है।
याद रखने योग्य मुख्य बिंदु:
$(1)$ जब दोनों इनपुट समान होते हैं तो आउटपुट लो $(0)$ होता है।
$(2)$ जब दोनों इनपुट अलग-अलग होते हैं तो आउटपुट हाई $(1)$ होता है।

(A) दिए गए इनपुट $P = 0$,$Q = 1$,$R = 0$ और $S = 1$ हैं।
$1$. आउटपुट $X$,$P$ और $Q$ इनपुट वाले $AND$ गेट से प्राप्त होता है। अतः,$X = P \cdot Q = 0 \cdot 1 = 0$.
$2$. $NOT$ गेट का इनपुट,$R$ और $S$ इनपुट वाले $AND$ गेट का आउटपुट है। मान लीजिए यह $W$ है। अतः,$W = R \cdot S = 0 \cdot 1 = 0$. आउटपुट $Y$,$W$ का $NOT$ है,इसलिए $Y = \overline{W} = \overline{0} = 1$.
$3$. आउटपुट $Z$,$X$ और $Y$ इनपुट वाले $NOR$ गेट से प्राप्त होता है। अतः,$Z = \overline{X + Y} = \overline{0 + 1} = \overline{1} = 0$.
अतः,आउटपुट $X = 0$,$Y = 1$ और $Z = 0$ हैं।

(D) Exclusive-$OR$ (Ex-$OR$) गेट के लिए बूलियन व्यंजक इस प्रकार है:
$Y = A \oplus B = \bar{A} \cdot B + A \cdot \bar{B}$
Ex-$OR$ गेट का आउटपुट केवल तब $HIGH$ $(1)$ होता है जब इसके दोनों इनपुट अलग-अलग लॉजिक स्तर पर हों। यदि दोनों इनपुट समान हैं ($0,0$ या $1,1$),तो आउटपुट $LOW$ $(0)$ होता है।
सत्यता सारणी का मूल्यांकन:
$1$. $A=0, B=0$ के लिए: $Y = 0 \oplus 0 = 0$
$2$. $A=0, B=1$ के लिए: $Y = 0 \oplus 1 = 1$
$3$. $A=1, B=0$ के लिए: $Y = 1 \oplus 0 = 1$
$4$. $A=1, B=1$ के लिए: $Y = 1 \oplus 1 = 0$
इन परिणामों की तुलना दी गई सारणियों से करने पर,सारणी $(S)$ इस सत्यता सारणी से मेल खाती है।

(B) $NAND$ गेट के लिए बूलियन व्यंजक $Y = \overline{A \cdot B}$ है।
$1$. $A = 0, B = 1$ के लिए: $Y = \overline{0 \cdot 1} = \overline{0} = 1$. अतः, $C = 1$.
$2$. $A = 0, B = 0$ के लिए: $Y = \overline{0 \cdot 0} = \overline{0} = 1$. अतः, $D = 1$.
$3$. $A = 1, B = 0$ के लिए: $Y = \overline{1 \cdot 0} = \overline{0} = 1$. अतः, $E = 1$.
$4$. $A = 1, B = 1$ के लिए: $Y = \overline{1 \cdot 1} = \overline{1} = 0$. अतः, $F = 0$.
इसलिए, मान $C = 1, D = 1, E = 1, F = 0$ हैं।

(D) दी गई सर्किट में दो $NAND$ गेट का उपयोग $NOT$ गेट के रूप में (क्योंकि उनके इनपुट शॉर्ट किए गए हैं) और उसके बाद एक $NAND$ गेट का उपयोग किया गया है।
मान लीजिए इनपुट $A$ और $B$ हैं।
पहले $NAND$ गेट का आउटपुट (जो $NOT$ गेट के रूप में कार्य करता है) $\bar{A}$ है।
दूसरे $NAND$ गेट का आउटपुट (जो $NOT$ गेट के रूप में कार्य करता है) $\bar{B}$ है।
ये दोनों आउटपुट तीसरे $NAND$ गेट में दिए जाते हैं।
अंतिम आउटपुट $Y$,$Y = \overline{(\bar{A} \cdot \bar{B})}$ द्वारा दिया जाता है।
डी मॉर्गन के प्रमेय का उपयोग करते हुए,$\overline{(\bar{A} \cdot \bar{B})} = \overline{\bar{A}} + \overline{\bar{B}} = A + B$ प्राप्त होता है।
यह $OR$ गेट के लिए बूलियन समीकरण है।
इसलिए,यह संयोजन $OR$ गेट के रूप में कार्य करता है।

(D) $OR$ गेट तार्किक योग (logical addition) की प्रक्रिया करता है। $A$ और $B$ इनपुट वाले $OR$ गेट के लिए बूलियन व्यंजक $Y = A + B$ है।
$OR$ गेट की सत्यता सारणी (truth table) के अनुसार:
- यदि $A = 0$ और $B = 0$ है,तो $Y = 0$ प्राप्त होता है।
- यदि $A = 0$ और $B = 1$ है,तो $Y = 1$ प्राप्त होता है।
- यदि $A = 1$ और $B = 0$ है,तो $Y = 1$ प्राप्त होता है।
- यदि $A = 1$ और $B = 1$ है,तो $Y = 1$ प्राप्त होता है।
अतः,यदि इनपुट $A$ या इनपुट $B$ (या दोनों) में से कोई भी $1$ है,तो आउटपुट $1$ होता है।

(D) $AND$ गेट के लिए,आउटपुट $1$ तभी होता है जब दोनों इनपुट $1$ हों। अतः,$(0,1)$ और $(1,0)$ इनपुट के लिए आउटपुट $0$ प्राप्त होता है।
$OR$ गेट के लिए,आउटपुट $0$ तभी होता है जब दोनों इनपुट $0$ हों। अतः,$(0,1)$ और $(1,0)$ इनपुट के लिए आउटपुट $1$ प्राप्त होता है।
$NAND$ गेट के लिए,आउटपुट $0$ तभी होता है जब दोनों इनपुट $1$ हों। अतः,$(0,1)$ और $(1,0)$ इनपुट के लिए आउटपुट $1$ प्राप्त होता है।
$NOR$ गेट के लिए,आउटपुट $1$ तभी होता है जब दोनों इनपुट $0$ हों। अतः,$(0,1)$ और $(1,0)$ इनपुट के लिए आउटपुट $0$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,$AND$ और $NOR$ दोनों गेट दिए गए इनपुट संयोजनों $(0,1)$ और $(1,0)$ के लिए $0$ आउटपुट प्रदान करते हैं।

(C) दो $NAND$ गेट जिनके इनपुट एक साथ जुड़े हुए हैं, वे $NOT$ गेट की तरह कार्य करते हैं। मान लीजिए इनपुट $A$ और $B$ हैं। पहले दो $NAND$ गेटों के आउटपुट $y_1 = \overline{A}$ और $y_2 = \overline{B}$ हैं। इन्हें तीसरे $NAND$ गेट में इनपुट के रूप में दिया जाता है। अंतिम आउटपुट $y = \overline{y_1 \cdot y_2} = \overline{\overline{A} \cdot \overline{B}}$ है। डी मॉर्गन के प्रमेय के अनुसार, $y = \overline{\overline{A}} + \overline{\overline{B}} = A + B$। यह एक $OR$ गेट के लिए बूलियन व्यंजक है। सत्यता सारणी इस प्रकार है:
| $A$ | $B$ | $y_1$ | $y_2$ | $y$ |
|---|---|---|---|---|
| $0$ | $0$ | $1$ | $1$ | $0$ |
| $0$ | $1$ | $1$ | $0$ | $1$ |
| $1$ | $0$ | $0$ | $1$ | $1$ |
| $1$ | $1$ | $0$ | $0$ | $1$ |
अतः, यह संयोजन एक $OR$ गेट के समतुल्य है।

(D) $X-OR$ (एक्सक्लूसिव-$OR$) गेट एक डिजिटल लॉजिक गेट है जो एक्सक्लूसिव डिसजंक्शन को लागू करता है।
इसका आउटपुट '$HIGH$' $(1)$ केवल तब होता है जब इनपुट अलग-अलग हों (अर्थात,एक इनपुट $0$ और दूसरा $1$ हो)।
यदि दोनों इनपुट समान हैं ($0,0$ या $1,1$),तो आउटपुट '$LOW$' $(0)$ होता है।
इसलिए,$X-OR$ गेट इस शर्त को पूरा करता है कि यह '$HIGH$' आउटपुट केवल तभी देता है जब इसके दो इनपुट टर्मिनल अलग-अलग लॉजिक स्तर पर हों।

(A) आइए प्रत्येक गेट का उसके सत्यता सारणी (truth table) के आधार पर विश्लेषण करें:
$(I)$ यह गेट $1, 1$ इनपुट वाला $NAND$ गेट है। आउटपुट $Y = \overline{A \cdot B} = \overline{1 \cdot 1} = \overline{1} = 0$ प्राप्त होता है।
$(II)$ यह गेट $0, 0$ इनपुट वाला $NOR$ गेट है। आउटपुट $Y = \overline{A + B} = \overline{0 + 0} = \overline{0} = 1$ प्राप्त होता है।
$(III)$ यह गेट $0, 1$ इनपुट वाला $NAND$ गेट है। आउटपुट $Y = \overline{A \cdot B} = \overline{0 \cdot 1} = \overline{0} = 1$ प्राप्त होता है।
$(IV)$ यह गेट $1, 0$ इनपुट वाला $EX$-$NOR$ गेट है। आउटपुट $Y = A \odot B = 1 \odot 0 = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,गेट $II$ और $III$ ' $1$ ' आउटपुट प्रदान करते हैं।

(B) दिए गए सर्किट में एक $OR$ गेट और उसके बाद एक $NOT$ गेट जुड़ा है, जो मिलकर एक $NOR$ गेट बनाते हैं।
मान लीजिए $OR$ गेट का आउटपुट $Y'$ है। $NOR$ गेट का आउटपुट $Y = \overline{A + B}$ है।
अंतिम आउटपुट $Y$ को ' $1$ ' होने के लिए, $NOT$ गेट का इनपुट ' $0$ ' होना चाहिए।
इसका अर्थ है कि $OR$ गेट का आउटपुट $Y' = A + B$ ' $0$ ' होना चाहिए।
$OR$ गेट केवल तभी ' $0$ ' आउटपुट देता है जब उसके दोनों इनपुट ' $0$ ' हों।
इसलिए, $A = 0$ और $B = 0$ होने चाहिए।

(C) दिए गए परिपथ में,हमारे पास $NOT$ गेट और $OR$ गेट का संयोजन है।
$NOT$ गेट के लिए,इनपुट $A$ है,इसलिए आउटपुट $X = \bar{A}$ प्राप्त होता है।
यह आउटपुट $X$,$OR$ गेट के एक इनपुट के रूप में कार्य करता है,जबकि $B$ दूसरा इनपुट है।
$OR$ गेट के लिए,आउटपुट $Y$ इसके इनपुट का योग है:
$Y = X + B$
$NOT$ गेट से $X$ का मान रखने पर:
$Y = \bar{A} + B$
अतः,दिए गए परिपथ के लिए बूलियन समीकरण $Y = \bar{A} + B$ है।

(B) $AND$ गेट के लिए लॉजिक ऑपरेशन बूलियन समीकरण $Y = A \cdot B$ द्वारा परिभाषित होता है।
इसका अर्थ है कि आउटपुट $Y$ केवल तभी $1$ होता है जब दोनों इनपुट $A$ और $B$ $1$ हों। अन्यथा,आउटपुट $Y$ $0$ होता है।
आइए दी गई प्रविष्टियों का मूल्यांकन करें:
प्रविष्टि $1$: $A=0, B=1$. $Y = 0 \cdot 1 = 0$. यह सही है।
प्रविष्टि $2$: $A=1, B=0$. $Y = 1 \cdot 0 = 0$. यह सही है।
प्रविष्टि $3$: $A=1, B=1$. $Y = 1 \cdot 1 = 1$. यह सही है।
प्रविष्टि $4$: $A=0, B=0$. $Y = 0 \cdot 0 = 0$. सारणी में $Y=1$ दिखाया गया है,जो गलत है।
इसलिए,प्रविष्टियाँ $1, 2$ और $3$ सही हैं।

(D) दिए गए परिपथ में दो $NOT$ गेट ($G_1$ और $G_2$) और एक $NOR$ गेट $(G_3)$ शामिल हैं।
$1$. इनपुट $A$,$NOT$ गेट $G_1$ से होकर गुजरता है,इसलिए $C$ पर आउटपुट $C = \overline{A}$ है।
$2$. इनपुट $B$,$NOT$ गेट $G_2$ से होकर गुजरता है,इसलिए $D$ पर आउटपुट $D = \overline{B}$ है।
$3$. ये आउटपुट $C$ और $D$ को $NOR$ गेट $G_3$ में इनपुट के रूप में दिया जाता है। $NOR$ गेट का आउटपुट $Y$,उसके इनपुट के $OR$ का पूरक (complement) होता है।
$4$. इसलिए,$Y = \overline{C + D}$।
$5$. $C$ और $D$ के मान रखने पर,हमें $Y = \overline{\overline{A} + \overline{B}}$ प्राप्त होता है।
$6$. डी मॉर्गन के प्रमेय के अनुसार,$\overline{\overline{A} + \overline{B}} = \overline{\overline{A}} \cdot \overline{\overline{B}} = A \cdot B$।
$7$. बूलियन व्यंजक $Y = A \cdot B$ एक $AND$ गेट को दर्शाता है।
अतः,परिणामी गेट एक $AND$ गेट है जिसका व्यंजक $A \cdot B$ है।

(A) वह लॉजिक गेट जिसके लिए आउटपुट उच्च $(1)$ होता है यदि और केवल यदि सभी इनपुट उच्च $(1)$ हों,उसे $AND$ गेट कहते हैं।
$A$ और $B$ इनपुट वाले $AND$ गेट के लिए,आउटपुट $Y$ को $Y = A \cdot B$ द्वारा दर्शाया जाता है।
यदि $A = 1$ और $B = 1$ है,तो $Y = 1 \cdot 1 = 1$ प्राप्त होता है।
इनपुट के किसी अन्य संयोजन के लिए,आउटपुट निम्न $(0)$ होता है।

(B) $NAND$ गेट का उपयोग करके $AND$ गेट बनाने के लिए,हम पहले इनपुट $A$ और $B$ को एक $NAND$ गेट से गुजारते हैं जिससे $\overline{A \cdot B}$ प्राप्त होता है।
इसके बाद,इस आउटपुट को दूसरे $NAND$ गेट से गुजारते हैं जो $NOT$ गेट के रूप में कॉन्फ़िगर किया गया है (इसके इनपुट को शॉर्ट करके)।
मान लीजिए कि पहले $NAND$ गेट का आउटपुट $X = \overline{A \cdot B}$ है।
दूसरा $NAND$ गेट $NOT$ गेट के रूप में कार्य करता है,इसलिए इसका आउटपुट $Y = \overline{X \cdot X} = \overline{X} = \overline{\overline{A \cdot B}} = A \cdot B$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,$AND$ गेट बनाने के लिए दो $NAND$ गेट की आवश्यकता होती है।

(C) $NAND$ गेट को एक $AND$ गेट और उसके बाद एक $NOT$ गेट के संयोजन के रूप में परिभाषित किया जाता है। $A$ और $B$ इनपुट वाले $NAND$ गेट के लिए बूलियन व्यंजक $Y = \overline{A \cdot B}$ है।
जब दोनों इनपुट को शॉर्ट किया जाता है,तो $A = B$ होता है। इस मान को व्यंजक में रखने पर,हमें $Y = \overline{A \cdot A} = \overline{A}$ प्राप्त होता है।
यह एक $NOT$ गेट का बूलियन व्यंजक है।
इस विन्यास के लिए सत्यता सारणी (truth table) नीचे दी गई है:

$A$	$Y = \overline{A \cdot A}$
$0$	$1$
$1$	$0$

चूंकि आउटपुट इनपुट का व्युत्क्रम है,इसलिए परिणामी गेट $NOT$ गेट है।

(C) सत्यता सारणी सभी संभावित इनपुट संयोजनों के लिए लॉजिक गेट के आउटपुट को परिभाषित करती है।
दी गई सारणी के लिए:
- जब $A=0, B=0$ हो,तो आउटपुट $Y=1$ है।
- जब $A=0, B=1$ हो,तो आउटपुट $Y=1$ है।
- जब $A=1, B=0$ हो,तो आउटपुट $Y=1$ है।
- जब $A=1, B=1$ हो,तो आउटपुट $Y=0$ है।
यह व्यवहार $NAND$ गेट के अनुरूप है,जो $AND$ गेट का उल्टा (inverse) होता है। $NAND$ गेट के लिए बूलियन व्यंजक $Y = \overline{A \cdot B}$ है।

(D) दिए गए सर्किट में दो $NOR$ गेट हैं जो $NOT$ गेट के रूप में कार्य कर रहे हैं, जिसके बाद एक $NOR$ गेट लगा है। मान लीजिए इनपुट $A$ और $B$ हैं।
पहले दो गेट $NOR$ गेट हैं जिनके दोनों इनपुट एक साथ जुड़े हुए हैं। पहले गेट का आउटपुट $\overline{A+A} = \bar{A}$ है।
दूसरे गेट का आउटपुट $\overline{B+B} = \bar{B}$ है।
ये आउटपुट अंतिम $NOR$ गेट में दिए जाते हैं। आउटपुट $Y$ इस प्रकार है:
$Y = \overline{\bar{A} + \bar{B}}$
डी मॉर्गन के प्रमेय का उपयोग करते हुए, $\overline{\bar{A} + \bar{B}} = \overline{\bar{A}} \cdot \overline{\bar{B}} = A \cdot B$.
अतः, यह सर्किट $AND$ गेट को दर्शाता है।

$A$	$B$	$Y = A \cdot B$
$0$	$0$	$0$
$0$	$1$	$0$
$1$	$0$	$0$
$1$	$1$	$1$

(D) दिए गए लॉजिक सर्किट में एक $NOR$ गेट और एक $AND$ गेट है,जिसका आउटपुट एक $NAND$ गेट में जाता है। मान लीजिए इनपुट $A$ और $B$ हैं।
$1$. $NOR$ गेट का आउटपुट $\overline{A+B}$ है।
$2$. $AND$ गेट का आउटपुट $A \cdot B$ है।
$3$. ये दोनों आउटपुट एक $NAND$ गेट में जाते हैं। अंतिम आउटपुट $Y$ इस प्रकार है:
$Y = \overline{(\overline{A+B}) \cdot (A \cdot B)}$
डी मॉर्गन के नियम का उपयोग करते हुए,$\overline{X \cdot Y} = \overline{X} + \overline{Y}$:
$Y = \overline{(\overline{A+B})} + \overline{(A \cdot B)}$
$Y = (A+B) + (\overline{A} + \overline{B})$
$Y = (A + \overline{A}) + (B + \overline{B})$
चूंकि $A + \overline{A} = 1$ और $B + \overline{B} = 1$:
$Y = 1 + 1 = 1$
इस प्रकार,इनपुट $A$ और $B$ के सभी संयोजनों के लिए आउटपुट $Y$ हमेशा $1$ रहता है। इसलिए,सत्यता सारणी में आउटपुट $Y$ के लिए सभी पंक्तियों में $1$ होगा। दिए गए विकल्पों की तुलना करने पर,विकल्प $(D)$ सही है।

(B) दिए गए परिपथ में दो $NAND$ गेट श्रेणीक्रम में जुड़े हुए हैं,जहाँ दूसरा $NAND$ गेट एक $NOT$ गेट की तरह कार्य करता है क्योंकि इसके इनपुट आपस में शॉर्ट किए गए हैं।
मान लीजिए कि पहले $NAND$ गेट के इनपुट $A$ और $B$ हैं। पहले $NAND$ गेट का आउटपुट $\overline{A \cdot B}$ है।
यह आउटपुट दूसरे $NAND$ गेट के इनपुट के रूप में दिया जाता है। चूँकि दूसरे $NAND$ गेट के दोनों इनपुट एक ही सिग्नल से जुड़े हैं,इसलिए इसका आउटपुट $Y$ इस प्रकार होगा:
$Y = \overline{(\overline{A \cdot B}) \cdot (\overline{A \cdot B})}$
बूलियन बीजगणित के गुण $\overline{X \cdot X} = \overline{X}$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$Y = \overline{(\overline{A \cdot B})} = A \cdot B$
अतः,यह परिपथ $AND$ गेट की क्रिया करता है।

(B) यह परिपथ दो क्रॉस-कपल्ड $NAND$ गेट्स से बना है, जो एक $S-R$ लैच का निर्माण करते हैं।
मान लीजिए कि इनपुट $S=1$ और $R=0$ हैं।
आउटपुट $P$ का मान $P = \overline{1 \cdot Q} = \overline{Q}$ द्वारा दिया जाता है।
आउटपुट $Q$ का मान $Q = \overline{0 \cdot P} = \overline{0} = 1$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $Q=1$, इसे $P$ के समीकरण में रखने पर $P = \overline{1} = 0$ प्राप्त होता है।
अतः, परिपथ की स्थिर अवस्था $P=0$ और $Q=1$ है।

(A) यह परिपथ दो क्रॉस-कपल्ड $NOR$ गेट से बना है जो एक $SR$ लैच बनाते हैं।
$NOR$ गेट के लिए,आउटपुट $Y = \overline{A+B}$ होता है।
मान लीजिए कि ऊपरी गेट $1$ है और निचला गेट $2$ है।
गेट $1$ के इनपुट $1$ और $Q$ हैं। अतः,$P = \overline{1+Q} = 0$।
गेट $2$ के इनपुट $0$ और $P$ हैं। अतः,$Q = \overline{0+P}$ है।
$Q$ के समीकरण में $P=0$ रखने पर,हमें $Q = \overline{0+0} = \overline{0} = 1$ प्राप्त होता है।
अतः,$P=0$ और $Q=1$ है।

(A) दिया गया है कि $ A=1 $ और $ B=0 $ है।
बूलियन बीजगणित में,$ A $ का पूरक $ \bar{A} = \bar{1} = 0 $ होता है।
अब,इन मानों को व्यंजक $ \bar{A}+B $ में प्रतिस्थापित करने पर:
$ \bar{A}+B = 0 + 0 = 0 $.
चूंकि $ B=0 $ है,हम देख सकते हैं कि $ \bar{A}+B = B $ है।
अतः,सही विकल्प $ A $ है।

(D) मान लीजिए कि $OR$ गेट के इनपुट $A$ और $B$ हैं। $OR$ गेट का आउटपुट $Y = A + B$ है।
यह आउटपुट $Y$ एक $NAND$ गेट के दोनों इनपुट से जुड़ा है। मान लीजिए कि $NAND$ गेट के इनपुट $X_1$ और $X_2$ हैं,जहाँ $X_1 = X_2 = Y = A + B$ है।
$X_1$ और $X_2$ इनपुट वाले $NAND$ गेट का आउटपुट $\overline{X_1 \cdot X_2}$ द्वारा दिया जाता है।
$X_1 = X_2 = A + B$ प्रतिस्थापित करने पर,अंतिम आउटपुट $Y^{\prime} = \overline{(A + B) \cdot (A + B)}$ प्राप्त होता है।
बूलियन पहचान $X \cdot X = X$ का उपयोग करने पर,हमें $Y^{\prime} = \overline{A + B}$ प्राप्त होता है।
व्यंजक $\overline{A + B}$ एक $NOR$ गेट के बूलियन ऑपरेशन को दर्शाता है।
इसलिए,यह संयोजन एक $NOR$ गेट के रूप में कार्य करता है।

(D) दी गई सत्यता सारणी का विश्लेषण करते हैं:
$1$. जब $A=1, B=0$ है,तो आउटपुट = $1$ है।
$2$. जब $A=1, B=1$ है,तो आउटपुट = $0$ है।
$3$. जब $A=0, B=1$ है,तो आउटपुट = $1$ है।
$4$. जब $A=0, B=0$ है,तो आउटपुट = $0$ है।
इसे मानक लॉजिक गेट्स के साथ तुलना करने पर:
- $XOR$ गेट के लिए,आउटपुट केवल तब $1$ होता है जब इनपुट अलग-अलग होते हैं $(A \neq B)$।
- इस तालिका में,जब $(A=1, B=0)$ या $(A=0, B=1)$ होता है तो आउटपुट $1$ मिलता है,और जब $(A=1, B=1)$ या $(A=0, B=0)$ होता है तो आउटपुट $0$ मिलता है।
- यह व्यवहार $XOR$ गेट (Exclusive-$OR$ gate) से पूरी तरह मेल खाता है,जिसका बूलियन समीकरण $Y = A \oplus B$ है।

(C) दिए गए सर्किट में दो $OR$ गेट और उसके बाद एक $AND$ गेट शामिल है।
$1$. पहले $OR$ गेट के इनपुट $A$ और $B$ हैं। इसलिए,इसका आउटपुट $(A+B)$ है।
$2$. दूसरे $OR$ गेट के इनपुट $A$ और $C$ हैं। इसलिए,इसका आउटपुट $(A+C)$ है।
$3$. इन दोनों आउटपुट $(A+B)$ और $(A+C)$ को अंतिम $AND$ गेट के इनपुट के रूप में दिया जाता है।
$4$. $AND$ गेट का आउटपुट $Y$ इसके इनपुट का गुणनफल है: $Y = (A+B) \cdot (A+C)$।

(A) दिए गए परिपथ में एक $NOR$ गेट है,जिसके बाद एक और $NOR$ गेट लगा है जिसके इनपुट आपस में जुड़े हुए हैं,जो एक $NOT$ गेट की तरह कार्य करता है।
मान लीजिए कि पहले $NOR$ गेट के इनपुट $A$ और $B$ हैं। पहले $NOR$ गेट का आउटपुट $Y' = \overline{A+B}$ है।
यह आउटपुट $Y'$ दूसरे $NOR$ गेट के दोनों इनपुट में दिया जाता है। दूसरे $NOR$ गेट का आउटपुट $Y = \overline{Y' + Y'} = \overline{Y'} = \overline{\overline{A+B}}$ है।
डबल निगेशन के नियम का उपयोग करते हुए,$\overline{\overline{X}} = X$,हमें $Y = A+B$ प्राप्त होता है।
यह $OR$ गेट के लिए बूलियन व्यंजक है।

(A) परिपथ $A$ के लिए: $NAND$ गेट के इनपुट $1$ और $1$ हैं,इसलिए इसका आउटपुट $0$ है। यह $0$ एक $NOT$ गेट से गुजरता है,जिससे यह $1$ हो जाता है। $OR$ गेट को $1$ और $0$ इनपुट मिलते हैं,जिसके परिणामस्वरूप आउटपुट $1$ प्राप्त होता है।
परिपथ $B$ के लिए: इनपुट $0$ और $1$ $NOT$ गेट से गुजरते हैं,जिससे वे क्रमशः $1$ और $0$ हो जाते हैं। ये $NAND$ गेट के इनपुट हैं। चूंकि $1 \text{ AND } 0 = 0$ होता है,इसलिए $NAND$ गेट का आउटपुट $1$ प्राप्त होता है।
परिपथ $C$ के लिए: $OR$ गेट को $1$ और $1$ इनपुट मिलते हैं,जिससे आउटपुट $1$ होता है। हालाँकि,आरेख में $OR$ गेट के बाद एक $NOT$ बबल दिखाया गया है (जो इसे $NOR$ गेट बनाता है),इसलिए आउटपुट $0$ है। इस $0$ और इनपुट $1$ को $AND$ गेट में देने पर आउटपुट $0$ प्राप्त होता है।
अतः,आउटपुट क्रमशः $1, 1, 0$ हैं।

(C) दिए गए परिपथ में एक $OR$ गेट और उसके बाद एक $AND$ गेट है। आउटपुट $Y$ के लिए बूलियन व्यंजक $Y = (A + B) \cdot C$ है।
आउटपुट $Y = 1$ प्राप्त करने के लिए,$AND$ गेट के दोनों इनपुट $1$ होने चाहिए। इसलिए,$(A + B) = 1$ और $C = 1$ होना आवश्यक है।
विकल्पों की जाँच करने पर:
विकल्प $C$ के लिए: $A = 1, B = 0, C = 1$ है।
इन मानों को रखने पर: $Y = (1 + 0) \cdot 1 = 1 \cdot 1 = 1$ प्राप्त होता है।
अतः,इनपुट $A = 1, B = 0, C = 1$ लेने पर आउटपुट $Y = 1$ प्राप्त होता है।

(D) दी गई सत्यता सारणी दर्शाती है कि जब $A$ या $B$ या दोनों $0$ होते हैं,तो आउटपुट $Y$ का मान $1$ होता है,और जब दोनों इनपुट $A$ और $B$ का मान $1$ होता है,तभी आउटपुट $Y$ का मान $0$ होता है।
यह व्यवहार बूलियन व्यंजक $Y = \overline{A \cdot B}$ के अनुरूप है।
यह $NAND$ गेट की विशिष्ट सत्यता सारणी है,जो एक $AND$ गेट और उसके बाद एक $NOT$ गेट का संयोजन है।

(D) एक यूनिवर्सल गेट वह लॉजिक गेट है जिसका उपयोग किसी अन्य प्रकार के गेट की आवश्यकता के बिना किसी भी अन्य लॉजिक गेट को बनाने के लिए किया जा सकता है। $NAND$ गेट और $NOR$ गेट को यूनिवर्सल गेट के रूप में जाना जाता है। दिए गए विकल्पों में,$NAND$ गेट एक यूनिवर्सल गेट है क्योंकि किसी भी बुनियादी लॉजिक गेट ($AND$,$OR$,$NOT$) को केवल $NAND$ गेट का उपयोग करके बनाया जा सकता है।

(A) मान लीजिए कि इनपुट $A=0, B=1, C=0$ हैं।
$1$. ऊपरी $NAND$ गेट में इनपुट $A=0$ और $B=1$ हैं। इसका आउटपुट $\overline{0 \cdot 1} = \overline{0} = 1$ है।
$2$. दूसरे $NAND$ गेट में इनपुट $A=0$ और पहले $NAND$ गेट का आउटपुट $(1)$ है। इसका आउटपुट $y_1 = \overline{0 \cdot 1} = \overline{0} = 1$ है।
$3$. निचले $NOR$ गेट में इनपुट $B=1$ और $C=0$ हैं। इसका आउटपुट $\overline{1 + 0} = \overline{1} = 0$ है।
$4$. दूसरे $NOR$ गेट में इनपुट $C=0$ और पहले $NOR$ गेट का आउटपुट $(0)$ है। इसका आउटपुट $y_2 = \overline{0 + 0} = \overline{0} = 1$ है।
$5$. अंतिम $OR$ गेट में इनपुट $y_1=1$ और $y_2=1$ हैं। इसका आउटपुट $y_3 = 1 + 1 = 1$ है।
अतः,मान $y_1=1, y_2=1, y_3=1$ हैं।