Boolean Algebra and Logic Gates Questions in Hindi

(B) दिए गए प्रतीकों का अवलोकन करने पर:
$(1)$ $NAND$ गेट को दर्शाता है।
$(2)$ $XOR$ गेट को दर्शाता है।
$(3)$ $NOR$ गेट को दर्शाता है।
$(4)$ $NOT$ गेट को दर्शाता है।
अतः,$XOR$ गेट प्रतीक $2$ द्वारा और $NOR$ गेट प्रतीक $3$ द्वारा दर्शाया गया है।
इसलिए,सही विकल्प $B$ है।

(C) दिए गए लॉजिक गेट प्रतीकों का अवलोकन करने पर:
$(1)$ एक $OR$ गेट को दर्शाता है।
$(2)$ एक $AND$ गेट को दर्शाता है।
$(3)$ एक $NOR$ गेट को दर्शाता है।
$(4)$ एक $NAND$ गेट को दर्शाता है।
अतः,$OR$,$NOR$ और $NAND$ गेट के लिए प्रतीक क्रमशः $1$,$3$ और $4$ हैं।
इस प्रकार,सही विकल्प $C$ है।

(B) दी गई सत्यता सारणी इस प्रकार है:
$A=0, B=0 \implies X=0$
$A=0, B=1 \implies X=1$
$A=1, B=0 \implies X=1$
$A=1, B=1 \implies X=1$
यह व्यवहार $OR$ गेट के अनुरूप है,जहाँ आउटपुट $X$ का मान $1$ होता है यदि इनपुट $A$ या $B$ में से कम से कम एक $1$ हो। $OR$ गेट के लिए बूलियन व्यंजक $X = A + B$ है।

(B) दी गई सत्यता सारणी इस प्रकार है:
$A=0, B=0 \implies Y=1$
$A=1, B=0 \implies Y=0$
$A=0, B=1 \implies Y=0$
$A=1, B=1 \implies Y=0$
$NOR$ गेट के लिए,आउटपुट बूलियन व्यंजक $Y = \overline{A + B}$ द्वारा परिभाषित होता है।
प्रत्येक स्थिति के लिए गणना करने पर:
$1$. $A=0, B=0$ के लिए: $Y = \overline{0+0} = \overline{0} = 1$.
$2$. $A=1, B=0$ के लिए: $Y = \overline{1+0} = \overline{1} = 0$.
$3$. $A=0, B=1$ के लिए: $Y = \overline{0+1} = \overline{1} = 0$.
$4$. $A=1, B=1$ के लिए: $Y = \overline{1+1} = \overline{1} = 0$.
यह दी गई सत्यता सारणी से मेल खाता है। अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) यह सत्यता सारणी इनपुट $A$ और $B$ के लिए आउटपुट $Y$ को इस प्रकार दर्शाती है:
जब $A=0, B=0$ है,तो $Y=1$ है।
जब $A=0, B=1$ है,तो $Y=0$ है।
जब $A=1, B=0$ है,तो $Y=0$ है।
जब $A=1, B=1$ है,तो $Y=1$ है।
यह सत्यता सारणी $XNOR$ गेट के लिए है,जो केवल तभी $1$ आउटपुट देता है जब दोनों इनपुट समान होते हैं।
$XNOR$ गेट के लिए बूलियन व्यंजक $Y = A \odot B = \overline{A \oplus B} = \bar{A}\bar{B} + AB$ है।
मानों की जाँच करने पर:
$1$. $(0, 0)$ के लिए: $Y = \bar{0}\cdot\bar{0} + 0\cdot 0 = 1\cdot 1 + 0 = 1$।
$2$. $(0, 1)$ के लिए: $Y = \bar{0}\cdot\bar{1} + 0\cdot 1 = 1\cdot 0 + 0 = 0$।
$3$. $(1, 0)$ के लिए: $Y = \bar{1}\cdot\bar{0} + 1\cdot 0 = 0\cdot 1 + 0 = 0$।
$4$. $(1, 1)$ के लिए: $Y = \bar{1}\cdot\bar{1} + 1\cdot 1 = 0\cdot 0 + 1 = 1$।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(D) दिए गए परिपथ में एक $OR$ गेट $(G_1)$ और उसके बाद एक $NAND$ गेट $(G_2)$ जुड़ा हुआ है।
मान लीजिए $OR$ गेट का आउटपुट $Y$ है। तब $Y = A + B$ होगा।
अंतिम आउटपुट $D$ $NAND$ गेट का आउटपुट है जिसके इनपुट $Y$ और $C$ हैं, इसलिए $D = \overline{Y \cdot C} = \overline{(A + B) \cdot C}$ होगा।
स्थिति $1$: $A = 0, B = 0, C = 0$ के लिए।
$Y = A + B = 0 + 0 = 0$।
$D = \overline{Y \cdot C} = \overline{0 \cdot 0} = \overline{0} = 1$।
स्थिति $2$: $A = 1, B = 1, C = 0$ के लिए।
$Y = A + B = 1 + 1 = 1$।
$D = \overline{Y \cdot C} = \overline{1 \cdot 0} = \overline{0} = 1$।
अतः, आउटपुट स्थितियाँ $1, 1$ हैं।

(B) बूलियन बीजगणित बीजगणित की एक शाखा है जिसमें चरों के मान सत्य मान $true$ और $false$ होते हैं,जिन्हें आमतौर पर क्रमशः $1$ और $0$ द्वारा दर्शाया जाता है।
यह अनिवार्य रूप से तर्क (Logic) पर आधारित है,क्योंकि यह इन सत्य मानों को संचालित करने के लिए $AND$,$OR$,और $NOT$ जैसे तार्किक कार्यों के साथ काम करता है।
इसलिए,सही विकल्प $B$ है।

(A) लॉजिक गेट एक ऐसा इलेक्ट्रॉनिक सर्किट है जो तार्किक निर्णय लेता है।
$A$ डिजिटल लॉजिक गेट एक इलेक्ट्रॉनिक उपकरण है जो अपने इनपुट पर मौजूद डिजिटल संकेतों के विभिन्न संयोजनों के आधार पर तार्किक निर्णय लेता है।
डिजिटल लॉजिक गेट में एक से अधिक इनपुट ($A, B, C$,आदि) हो सकते हैं,लेकिन आमतौर पर केवल एक डिजिटल आउटपुट $(Q)$ होता है।
व्यक्तिगत लॉजिक गेट को जोड़कर कॉम्बिनेशनल या सीक्वेंशियल सर्किट या बड़े लॉजिक गेट फंक्शन बनाए जा सकते हैं।
लॉजिक गेट एक डिजिटल सर्किट का प्राथमिक निर्माण खंड है।
अधिकांश लॉजिक गेट में दो इनपुट और एक आउटपुट होता है।
किसी भी क्षण,प्रत्येक टर्मिनल दो बाइनरी स्थितियों में से एक में होता है: लो $(0)$ या हाई $(1)$,जिसे विभिन्न वोल्टेज स्तरों द्वारा दर्शाया जाता है।
इसलिए,सही उत्तर $A$ है।

(D) $AND$ गेट के लिए बूलियन व्यंजक $R = P \cdot Q$ है।
सत्यता सारणी से मानों की जाँच करने पर:
जब $P=1, Q=1$ हो,तो $R = 1 \cdot 1 = 1$।
जब $P=1, Q=0$ हो,तो $R = 1 \cdot 0 = 0$।
जब $P=0, Q=1$ हो,तो $R = 0 \cdot 1 = 0$।
जब $P=0, Q=0$ हो,तो $R = 0 \cdot 0 = 0$।
चूँकि गणना किए गए मान दी गई सत्यता सारणी से मेल खाते हैं,इसलिए यह $AND$ गेट है।

(B) $NAND$ गेट का उपयोग करके $AND$ गेट बनाने के लिए,हमें दो $NAND$ गेट की आवश्यकता होती है।
सबसे पहले,इनपुट $A$ और $B$ को पहले $NAND$ गेट में भेजा जाता है,जो $\overline{A \cdot B}$ का आउटपुट देता है।
यह आउटपुट फिर दूसरे $NAND$ गेट में भेजा जाता है,जो एक $NOT$ गेट के रूप में कार्य करता है (क्योंकि इसके इनपुट एक साथ जुड़े होते हैं)।
अंतिम आउटपुट $Y$ इस प्रकार दिया जाता है:
$Y = \overline{(\overline{A \cdot B}) \cdot (\overline{A \cdot B})} = \overline{\overline{A \cdot B}} = A \cdot B$
इस प्रकार,$AND$ गेट बनाने के लिए दो $NAND$ गेट की आवश्यकता होती है।

(C) आइए दिए गए इनपुट के साथ प्रत्येक गेट के लिए आउटपुट का विश्लेषण करें:
$(A)$ $AND$ गेट के लिए,आउटपुट $Y = A \cdot B$ है। $1$ और $0$ इनपुट के साथ,$Y = 1 \cdot 0 = 0$ प्राप्त होता है।
$(B)$ $NOR$ गेट के लिए,आउटपुट $Y = \overline{A + B}$ है। $0$ और $1$ इनपुट के साथ,$Y = \overline{0 + 1} = \overline{1} = 0$ प्राप्त होता है।
$(C)$ $NAND$ गेट के लिए,आउटपुट $Y = \overline{A \cdot B}$ है। $0$ और $1$ इनपुट के साथ,$Y = \overline{0 \cdot 1} = \overline{0} = 1$ प्राप्त होता है।
$(D)$ $XNOR$ गेट के लिए,आउटपुट $Y = A \odot B$ (या $\overline{A \oplus B}$) है। $0$ और $1$ इनपुट के साथ,$Y = \overline{0 \oplus 1} = \overline{1} = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,$NAND$ गेट $1$ का आउटपुट देता है।

(A) $NAND$ गेट को $AND$ गेट और उसके बाद $NOT$ गेट के तार्किक संयोजन के रूप में परिभाषित किया गया है।
गणितीय रूप से,यदि इनपुट $A$ और $B$ हैं,तो $AND$ गेट का आउटपुट $Y' = A \cdot B$ होता है।
इसे $NOT$ गेट से गुजारने पर अंतिम आउटपुट $Y = \overline{A \cdot B}$ प्राप्त होता है।
अतः,सही प्रतिनिधित्व $AND$ गेट और उसके बाद $NOT$ गेट है।

(C) $NOT$ गेट एक लॉजिक गेट है जो तार्किक निषेध (logical negation) को लागू करता है। यह इनपुट सिग्नल को उलट देता है।
यदि इनपुट $A = 0$ है,तो आउटपुट $X = 1$ प्राप्त होता है।
यदि इनपुट $A = 1$ है,तो आउटपुट $X = 0$ प्राप्त होता है।
यह व्यवहार बूलियन व्यंजक $X = \bar{A}$ द्वारा दर्शाया जाता है।
दी गई सत्यता सारणी के साथ तुलना करने पर,यह $NOT$ गेट के संचालन से मेल खाता है।

(B) $AND$ गेट के लिए,आउटपुट $Y$ को बूलियन व्यंजक $Y = A \cdot B$ द्वारा परिभाषित किया जाता है।
इसका अर्थ है कि आउटपुट $1$ तभी होता है जब दोनों इनपुट $A$ और $B$ का मान $1$ हो।
यदि कोई भी इनपुट $0$ है,तो आउटपुट $0$ होगा।
इसलिए,आउटपुट $1$ केवल तब होता है जब $A = 1$ और $B = 1$ हो।

(B) $NOR$ गेट एक $OR$ गेट और एक $NOT$ गेट का संयोजन है।
$1$. $A$ और $B$ इनपुट के लिए $OR$ गेट का आउटपुट $Y = A + B$ द्वारा दिया जाता है।
$2$. $NOT$ गेट इस आउटपुट को उलट देता है,जिसके परिणामस्वरूप $C = \overline{Y}$ प्राप्त होता है।
$3$. $OR$ गेट के आउटपुट को $NOT$ गेट के समीकरण में रखने पर,हमें $C = \overline{A + B}$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

$(A)$ दिया गया प्रतीक एक $NAND$ गेट को दर्शाता है जहाँ दो इनपुट $A$ और $B$ को आपस में जोड़कर एक एकल इनपुट बनाया गया है।
$NAND$ गेट के लिए, आउटपुट $Y = \overline{A \cdot B}$ होता है।
चूँकि इनपुट शॉर्ट किए गए हैं, इसलिए $A = B = X$ होगा।
अतः, आउटपुट $Y = \overline{X \cdot X} = \overline{X}$ हो जाता है।
यह $NOT$ गेट के लिए बूलियन व्यंजक है।
इस प्रकार, यह संयोजन $NOT$ गेट की तरह कार्य करता है।

(A) दिया गया आरेख $AND$ गेट के लिए मानक प्रतीक को दर्शाता है।
$AND$ गेट एक डिजिटल लॉजिक गेट है जो तार्किक संयोजन (logical conjunction) को लागू करता है; यह उस सत्य सारणी (truth table) के अनुसार व्यवहार करता है जिसमें आउटपुट केवल तभी उच्च $(1)$ होता है जब इसके सभी इनपुट उच्च $(1)$ हों।

(B) दिए गए प्रतीक में एक $OR$ गेट है और उसके आउटपुट पर एक छोटा वृत्त (इन्वर्जन बबल) है।
$OR$ गेट और $NOT$ गेट के इस संयोजन को $NOR$ गेट के रूप में जाना जाता है।
इसलिए,सही विकल्प $B$ है।

(C) दिए गए परिपथ में एक $OR$ गेट और उसके बाद एक $AND$ गेट है। $OR$ गेट का आउटपुट $(A + B)$ है। इस आउटपुट को इनपुट $C$ के साथ $AND$ गेट में भेजा जाता है। अतः,आउटपुट $Y$ के लिए बूलियन व्यंजक $Y = (A + B) \cdot C$ है।
आउटपुट $Y = 1$ प्राप्त करने के लिए,$AND$ गेट के दोनों इनपुट $1$ होने चाहिए। इसका अर्थ है कि $(A + B) = 1$ और $C = 1$ होना चाहिए।
$(A + B) = 1$ के लिए,$A$ या $B$ में से कम से कम एक $1$ होना चाहिए।
विकल्पों की जाँच करने पर:
- विकल्प $A$ के लिए: $A=0, B=1, C=0 \implies Y = (0+1) \cdot 0 = 0$.
- विकल्प $B$ के लिए: $A=1, B=0, C=0 \implies Y = (1+0) \cdot 0 = 0$.
- विकल्प $C$ के लिए: $A=1, B=0, C=1 \implies Y = (1+0) \cdot 1 = 1$.
- विकल्प $D$ के लिए: $A=1, B=1, C=0 \implies Y = (1+1) \cdot 0 = 0$.
अतः,सही इनपुट $A = 1, B = 0, C = 1$ है।

(C) $NAND$ गेट के लिए इनपुट $A$ और $B$ होने पर,आउटपुट $Y$ को बूलियन व्यंजक $Y = \overline{A \cdot B}$ द्वारा दर्शाया जाता है।
आउटपुट $0$ प्राप्त करने के लिए,हमारे पास $\overline{A \cdot B} = 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि $A \cdot B = 1$ होना चाहिए।
यह स्थिति केवल तभी संतुष्ट होती है जब दोनों इनपुट $A$ और $B$ का मान $1$ हो।
अतः,यदि $A = 1$ और $B = 1$ है,तो $Y = \overline{1 \cdot 1} = \overline{1} = 0$ प्राप्त होता है।

(C) $NOR$ गेट के लिए, आउटपुट तभी उच्च $(1)$ होता है जब सभी इनपुट निम्न $(0)$ हों।
यदि इनपुट $A$ और $B$ हैं, तो आउटपुट $Y = \overline{A+B}$ होता है।
यदि $A=0$ और $B=0$ है, तो $Y = \overline{0+0} = \overline{0} = 1$ प्राप्त होता है।
अतः, सही गेट $NOR$ गेट है।
इसलिए, सही विकल्प $C$ है।

(B) $OR$ गेट का आउटपुट $Y$ बूलियन व्यंजक $Y = A + B$ द्वारा दिया जाता है।
$OR$ गेट के तर्क के अनुसार,आउटपुट $1$ होता है यदि कम से कम एक इनपुट ($A$ या $B$) $1$ हो।
इसलिए,यदि कोई एक इनपुट $1$ है या दोनों इनपुट $1$ हैं,तो आउटपुट $1$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया चित्र एक $AND$ गेट को दर्शाता है जिसके आउटपुट पर एक छोटा वृत्त है,जो इनवर्जन ($NOT$ ऑपरेशन) को प्रदर्शित करता है।
एक $AND$ गेट और एक $NOT$ गेट के संयोजन को $NAND$ गेट कहा जाता है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(A) सबसे पहले,बाइनरी संख्याओं को दशमलव प्रणाली में बदलें:
$(100010)_2 = (1 \times 2^5) + (0 \times 2^4) + (0 \times 2^3) + (0 \times 2^2) + (1 \times 2^1) + (0 \times 2^0) = 32 + 0 + 0 + 0 + 2 + 0 = (34)_{10}$
$(11011)_2 = (1 \times 2^4) + (1 \times 2^3) + (0 \times 2^2) + (1 \times 2^1) + (1 \times 2^0) = 16 + 8 + 0 + 2 + 1 = (27)_{10}$
दशमलव में योग: $(34)_{10} + (27)_{10} = (61)_{10}$
अब,$(61)_{10}$ को वापस बाइनरी में बदलें:

$61 \div 2 = 30$	शेषफल $1$ $(LSD)$
$30 \div 2 = 15$	शेषफल $0$
$15 \div 2 = 7$	शेषफल $1$
$7 \div 2 = 3$	शेषफल $1$
$3 \div 2 = 1$	शेषफल $1$
$1 \div 2 = 0$	शेषफल $1$ $(MSD)$

नीचे से ऊपर की ओर शेषफल को पढ़ने पर,हमें $(111101)_2$ प्राप्त होता है।

(D) $NAND$ गेट के लिए,आउटपुट $C$ को बूलियन व्यंजक $C = \overline{A \cdot B}$ द्वारा दिया जाता है।
मानों की जाँच करने पर:
$1$. $A = 0, B = 0$ के लिए: $C = \overline{0 \cdot 0} = \overline{0} = 1$.
$2$. $A = 0, B = 1$ के लिए: $C = \overline{0 \cdot 1} = \overline{0} = 1$.
$3$. $A = 1, B = 0$ के लिए: $C = \overline{1 \cdot 0} = \overline{0} = 1$.
$4$. $A = 1, B = 1$ के लिए: $C = \overline{1 \cdot 1} = \overline{1} = 0$.
इन परिणामों की दी गई तालिका से तुलना करने पर,आउटपुट $NAND$ गेट के तर्क से मेल खाता है।

(B) $OR$ गेट $(G_1)$ का आउटपुट $(A + B)$ है।
$NAND$ गेट $(G_2)$ का आउटपुट $\overline{A \cdot B}$ है।
ये दोनों आउटपुट $AND$ गेट $(G_3)$ में इनपुट के रूप में दिए जाते हैं,इसलिए अंतिम आउटपुट $Y$ है:
$Y = (A + B) \cdot (\overline{A \cdot B})$
डी मॉर्गन प्रमेय का उपयोग करते हुए,$\overline{A \cdot B} = \bar{A} + \bar{B}$।
इस मान को समीकरण में रखने पर:
$Y = (A + B) \cdot (\bar{A} + \bar{B})$
$Y = A \cdot \bar{A} + A \cdot \bar{B} + B \cdot \bar{A} + B \cdot \bar{B}$
चूंकि $A \cdot \bar{A} = 0$ और $B \cdot \bar{B} = 0$,इसलिए समीकरण सरल होकर प्राप्त होता है:
$Y = 0 + A \cdot \bar{B} + \bar{A} \cdot B + 0$
$Y = A \cdot \bar{B} + \bar{A} \cdot B$
यह $XOR$ गेट के लिए बूलियन व्यंजक है।

(D) दी गई सर्किट में इनपुट $A$ और $B$ पर दो $NOT$ गेट ($G_1$ और $G_2$) लगे हैं,जिसके बाद एक $NOR$ गेट $(G_3)$ और एक और $NOT$ गेट $(G_4)$ है।
$1$. $G_1$ और $G_2$ के आउटपुट क्रमशः $\bar{A}$ और $\bar{B}$ हैं।
$2$. ये इनपुट $NOR$ गेट $G_3$ में जाते हैं,जो आउटपुट देता है: $Y' = \overline{\bar{A} + \bar{B}}$।
$3$. डी मॉर्गन के प्रमेय का उपयोग करते हुए,$\overline{\bar{A} + \bar{B}} = \overline{\bar{A}} \cdot \overline{\bar{B}} = A \cdot B$।
$4$. इस आउटपुट $Y'$ को अंतिम $NOT$ गेट $G_4$ से गुजारा जाता है,जिसके परिणामस्वरूप $Y = \overline{Y'} = \overline{A \cdot B}$ प्राप्त होता है।
$5$. व्यंजक $\overline{A \cdot B}$ एक $NAND$ गेट का आउटपुट दर्शाता है।
अतः,विकल्प $(d)$ सही है।

(B) इस परिपथ में दो $NAND$ गेट हैं जिनके आउटपुट $X$ और $Y$ को एक $NOR$ गेट में इनपुट के रूप में दिया जाता है,जिससे आउटपुट $Z$ प्राप्त होता है।
इनपुट $A, B, C$ हैं। $NAND$ गेट के आउटपुट $X = \overline{AB}$ और $Y = \overline{BC}$ हैं।
$NOR$ गेट का आउटपुट $Z = \overline{X + Y}$ है।
$X$ और $Y$ का मान रखने पर: $Z = \overline{\overline{AB} + \overline{BC}}$.
डी मॉर्गन के नियम का उपयोग करने पर: $Z = \overline{\overline{AB}} \cdot \overline{\overline{BC}} = AB \cdot BC = ABC$.
चूंकि आउटपुट $Z = ABC$ एक $3$-इनपुट $AND$ गेट के समान है,इसलिए यह प्रणाली $AND$ गेट के समतुल्य है।

(A) दिए गए वेवफॉर्म से,निम्नलिखित सत्यता सारणी (truth table) बनाई जा सकती है:

समय अंतराल	इनपुट $A$	इनपुट $B$	आउटपुट $Y$
$0 \to T_1$	$0$	$0$	$0$
$T_1 \to T_2$	$0$	$1$	$0$
$T_2 \to T_3$	$1$	$0$	$0$
$T_3 \to T_4$	$1$	$1$	$1$

इस सत्यता सारणी की तुलना मानक लॉजिक गेट्स से करने पर,हम पाते हैं कि आउटपुट $Y$ केवल तभी $1$ होता है जब दोनों इनपुट $A$ और $B$ $1$ हों। यह व्यवहार $AND$ गेट के अनुरूप है।

(D) नेगेटिव लॉजिक सिस्टम में,निचले वोल्टेज स्तर $(5 \text{ V})$ को लॉजिक स्टेट '$0$' और उच्च वोल्टेज स्तर $(10 \text{ V})$ को लॉजिक स्टेट '$1$' माना जाता है।
हालाँकि,नेगेटिव लॉजिक में,व्याख्या उल्टी होती है: कम सिग्नल $(5 \text{ V})$ लॉजिक '$1$' का प्रतिनिधित्व करता है और उच्च सिग्नल $(10 \text{ V})$ लॉजिक '$0$' का प्रतिनिधित्व करता है।
आइए समय अक्ष को प्रत्येक $5 \text{ } \mu\text{s}$ के अंतराल में विभाजित करें।
प्रत्येक अंतराल के लिए वोल्टेज स्तर इस प्रकार हैं:
$0-5 \text{ } \mu\text{s}: 5 \text{ V} \rightarrow \text{लॉजिक } 1$
$5-10 \text{ } \mu\text{s}: 10 \text{ V} \rightarrow \text{लॉजिक } 0$
$10-15 \text{ } \mu\text{s}: 5 \text{ V} \rightarrow \text{लॉजिक } 1$
$15-20 \text{ } \mu\text{s}: 10 \text{ V} \rightarrow \text{लॉजिक } 0$
$20-25 \text{ } \mu\text{s}: 10 \text{ V} \rightarrow \text{लॉजिक } 0$
$25-30 \text{ } \mu\text{s}: 5 \text{ V} \rightarrow \text{लॉजिक } 1$
$30-35 \text{ } \mu\text{s}: 10 \text{ V} \rightarrow \text{लॉजिक } 0$
$35-40 \text{ } \mu\text{s}: 5 \text{ V} \rightarrow \text{लॉजिक } 1$
$40-45 \text{ } \mu\text{s}: 5 \text{ V} \rightarrow \text{लॉजिक } 1$
$45-50 \text{ } \mu\text{s}: 5 \text{ V} \rightarrow \text{लॉजिक } 1$
इन सबको जोड़ने पर,हमें अनुक्रम मिलता है: $1010010111$.

(B) डिजिटल सिग्नल वे सिग्नल होते हैं जो किसी भी समय पर डिस्क्रीट मानों के अनुक्रम के रूप में डेटा का प्रतिनिधित्व करते हैं।
$(i)$ एनालॉग सिग्नल के विपरीत,डिजिटल सिग्नल निरंतर मान प्रदान नहीं करते हैं; वे असतत होते हैं।
$(ii)$ वे जानकारी को अलग-अलग चरणों (जैसे,$0$ और $1$) में दर्शाते हैं।
$(iii)$ डिजिटल सिग्नल आमतौर पर बाइनरी सिस्टम ($0$ और $1$) का उपयोग करके दर्शाए जाते हैं।
$(iv)$ हालांकि उनका उपयोग दशमलव संख्याओं को एनकोड करने के लिए किया जा सकता है,लेकिन डिजिटल सिग्नल की मौलिक प्रकृति बाइनरी होती है।
इसलिए,कथन $(i), (ii)$ और $(iii)$ डिजिटल सिग्नल के लिए सही विवरण हैं।

(C) आइए प्रत्येक लॉजिक गेट का विश्लेषण करें:
$(a)$ यह $1$ और $1$ इनपुट वाला एक $NOR$ गेट है। $NOR$ गेट का आउटपुट $Y = \overline{A+B}$ होता है। इनपुट $1, 1$ के लिए,$Y = \overline{1+1} = \overline{1} = 0$ होता है।
$(b)$ यह $0$ और $1$ इनपुट वाला एक $NOR$ गेट है। इनपुट $0, 1$ के लिए,$Y = \overline{0+1} = \overline{1} = 0$ होता है।
$(c)$ यह $0$ और $1$ इनपुट वाला एक $NAND$ गेट है। $NAND$ गेट का आउटपुट $Y = \overline{A \cdot B}$ होता है। इनपुट $0, 1$ के लिए,$Y = \overline{0 \cdot 1} = \overline{0} = 1$ होता है।
$(d)$ यह $0$ और $0$ इनपुट वाला एक $XOR$ गेट है। $XOR$ गेट का आउटपुट $Y = A \oplus B$ होता है। इनपुट $0, 0$ के लिए,$Y = 0 \oplus 0 = 0$ होता है।
अतः,केवल गेट $(c)$ का आउटपुट $1$ है।

(B) बूलियन बीजगणित में,एक चर और उसके पूरक (complement) के बीच $OR$ संक्रिया का परिणाम हमेशा $1$ होता है।
स्थिति $1$: यदि $A = 1$ है,तो $\bar{A} = 0$ होगा। इसलिए,$A + \bar{A} = 1 + 0 = 1$.
स्थिति $2$: यदि $A = 0$ है,तो $\bar{A} = 1$ होगा। इसलिए,$A + \bar{A} = 0 + 1 = 1$.
अतः,$A$ के किसी भी मान के लिए,$A + \bar{A} = 1$ होता है।

(C) मान लीजिए कि $OR$ गेट के इनपुट $A$ और $B$ हैं। $OR$ गेट का आउटपुट $Y_1 = A + B$ प्राप्त होता है।
यह आउटपुट $Y_1$ एक $NAND$ गेट के दोनों इनपुट से जुड़ा है। मान लीजिए $NAND$ गेट के इनपुट $X_1$ और $X_2$ हैं,जहाँ $X_1 = X_2 = Y_1 = A + B$ है।
$NAND$ गेट का आउटपुट $Y = \overline{X_1 \cdot X_2} = \overline{(A + B) \cdot (A + B)} = \overline{A + B}$ प्राप्त होता है।
व्यंजक $\overline{A + B}$ एक $NOR$ गेट की बूलियन क्रिया को दर्शाता है।
अतः,यह संयोजन $NOR$ गेट के समतुल्य है।

(D) एक यूनिवर्सल गेट वह लॉजिक गेट है जिसका उपयोग किसी भी अन्य लॉजिक गेट या बूलियन फ़ंक्शन को लागू करने के लिए किया जा सकता है।
$NAND$ और $NOR$ गेट को यूनिवर्सल गेट के रूप में जाना जाता है क्योंकि किसी भी बुनियादी लॉजिक गेट (जैसे $AND, OR, NOT$) को केवल $NAND$ गेट या केवल $NOR$ गेट का उपयोग करके बनाया जा सकता है।
इसलिए,सही जोड़ा $NAND$ और $NOR$ है।

(A) दिए गए सर्किट में एक $NOT$ गेट और उसके बाद एक $NOR$ गेट है,जहाँ $NOR$ गेट के दोनों इनपुट $NOT$ गेट के आउटपुट से जुड़े हुए हैं।
$1$. इनपुट $A$,$NOT$ गेट से गुजरता है,जिससे आउटपुट $\bar{A}$ प्राप्त होता है।
$2$. यह सिग्नल $\bar{A}$,$NOR$ गेट के दोनों इनपुट में दिया जाता है।
$3$. $X$ और $Y$ इनपुट वाले $NOR$ गेट का आउटपुट $\overline{X + Y}$ होता है।
$4$. यहाँ,दोनों इनपुट $\bar{A}$ हैं,इसलिए आउटपुट $Y = \overline{\bar{A} + \bar{A}}$ होगा।
$5$. बूलियन बीजगणित का उपयोग करते हुए,$\bar{A} + \bar{A} = \bar{A}$ होता है।
$6$. इसलिए,$Y = \overline{\bar{A}} = A$ प्राप्त होता है।

(D) $NOR$ गेट,$OR$ गेट और $NOT$ गेट का संयोजन है।
$OR$ गेट के लिए बूलियन व्यंजक $Y = A + B$ होता है।
$OR$ गेट के आउटपुट पर $NOT$ ऑपरेशन (इनवर्जन) लागू करने पर,हमें $NOR$ गेट के लिए व्यंजक प्राप्त होता है:
$Y = \overline{A + B}$

(D) $NAND$ गेट का उपयोग करके $NOR$ गेट को निम्नलिखित चरणों द्वारा बनाया जा सकता है:
$1$. दो $NAND$ गेट के इनपुट को एक साथ जोड़कर उन्हें $NOT$ गेट (इनवर्टर) के रूप में उपयोग करें।
$2$. इनपुट $A$ और $B$ को इन दो $NOT$ गेट में देने पर $\bar{A}$ और $\bar{B}$ प्राप्त होते हैं।
$3$. $\bar{A}$ और $\bar{B}$ को तीसरे $NAND$ गेट के इनपुट से जोड़ें।
$4$. इस तीसरे $NAND$ गेट का आउटपुट $\overline{\bar{A} \cdot \bar{B}}$ होगा।
$5$. डी मॉर्गन के नियम के अनुसार,$\overline{\bar{A} \cdot \bar{B}} = A + B$,जो कि एक $OR$ गेट का आउटपुट है।
$6$. $NOR$ गेट प्राप्त करने के लिए,हमें इस आउटपुट को इनवर्ट करना होगा,जिसके लिए चौथे $NAND$ गेट को $NOT$ गेट के रूप में उपयोग करना पड़ता है।
$7$. इस प्रकार,$NOR$ गेट बनाने के लिए न्यूनतम $4$ $NAND$ गेट की आवश्यकता होती है।

(D) डिजिटल इलेक्ट्रॉनिक्स में,$NAND$ और $NOR$ गेट को यूनिवर्सल गेट के रूप में जाना जाता है। इसका कारण यह है कि किसी भी बुनियादी लॉजिक गेट (जैसे $AND$,$OR$,या $NOT$) को केवल $NAND$ गेट या केवल $NOR$ गेट का उपयोग करके कार्यान्वित किया जा सकता है। दिए गए विकल्पों में से,$NAND$ गेट एक यूनिवर्सल गेट है,जो इसे जटिल डिजिटल सर्किट के लिए मूलभूत घटक बनाता है।

(B) $XOR$ (Exclusive $OR$) गेट एक डिजिटल लॉजिक गेट है जो एक्सक्लूसिव डिसजंक्शन को लागू करता है।
इसका बूलियन व्यंजक $Y = A \oplus B$ है,जो $Y = A\bar{B} + \bar{A}B$ के बराबर है।
दो-इनपुट $XOR$ गेट के लिए सत्यता सारणी (truth table) इस प्रकार है:
यदि $A=0, B=0$ है,तो $Y=0$ है।
यदि $A=0, B=1$ है,तो $Y=1$ है।
यदि $A=1, B=0$ है,तो $Y=1$ है।
यदि $A=1, B=1$ है,तो $Y=0$ है।
सत्यता सारणी से यह स्पष्ट है कि आउटपुट केवल तब $1$ (उच्च) होता है जब इनपुट $A$ और $B$ अलग-अलग होते हैं।

(C) बूलियन बीजगणित में,चर $A$ केवल दो मान ले सकता है: $0$ या $1$।
यदि $A = 0$ है,तो $\overline{A} = 1$ होगा। अतः,$A + \overline{A} = 0 + 1 = 1$।
यदि $A = 1$ है,तो $\overline{A} = 0$ होगा। अतः,$A + \overline{A} = 1 + 0 = 1$।
इसलिए,$A$ के किसी भी मान के लिए,संबंध $A + \overline{A} = 1$ हमेशा सत्य होता है।

(D) डी मॉर्गन के नियमों के अनुसार:
$1$. $\overline{A.B} = \overline{A} + \overline{B}$
$2$. $\overline{A+B} = \overline{A}.\overline{B}$
प्रत्येक विकल्प का मूल्यांकन करते हैं:
विकल्प $A$: $\overline{\overline{A}.\overline{B}} = \overline{\overline{A}} + \overline{\overline{B}} = A + B$. (सही)
विकल्प $B$: $\overline{\overline{A} + \overline{B}} = \overline{\overline{A}} . \overline{\overline{B}} = A.B$. (सही)
विकल्प $C$: $\overline{(\overline{A.B}).(\overline{A.B})} = \overline{\overline{A.B}} = A.B$. (सही)
विकल्प $D$: $\overline{A} + \overline{A} = \overline{A}$. समीकरण में $\overline{A} + \overline{A} = 1$ दिया गया है,जो गलत है क्योंकि यह केवल तभी सत्य है यदि $A=0$ हो। अतः,विकल्प $D$ गलत समीकरण है।

(A) दिए गए परिपथ में एक $NOR$ गेट है जिसके बाद एक और $NOR$ गेट जुड़ा है जिसके दोनों इनपुट एक साथ जुड़े हुए हैं।
$1$. पहला गेट $A$ और $B$ इनपुट वाला $NOR$ गेट है। इसका आउटपुट $Y_1 = \overline{A+B}$ है।
$2$. दूसरा गेट भी $NOR$ गेट है जिसके दोनों इनपुट $Y_1$ से जुड़े हैं। जब $NOR$ गेट के दोनों इनपुट एक साथ जुड़े होते हैं,तो यह $NOT$ गेट की तरह कार्य करता है।
$3$. इसलिए,अंतिम आउटपुट $Y = \overline{Y_1} = \overline{(\overline{A+B})} = A+B$ प्राप्त होता है।
$4$. बूलियन समीकरण $Y = A+B$ एक $OR$ गेट को दर्शाता है।