Boolean Algebra and Logic Gates Questions in Hindi

(B) दी गई सत्यता सारणी का अवलोकन करने पर:
जब $B = 0$ है,तो $Y = 1$ प्राप्त होता है ($A$ का मान कुछ भी हो)।
जब $B = 1$ है,तो $Y = 0$ प्राप्त होता है ($A$ का मान कुछ भी हो)।
यह दर्शाता है कि आउटपुट $Y$ केवल इनपुट $B$ पर निर्भर करता है और यह $B$ का व्युत्क्रम (inverse) है।
अतः,आउटपुट के लिए बूलियन व्यंजक $Y = \bar{B}$ है।

(D) यह परिपथ दो $AND$ गेट और दो $NOT$ गेट से बना है। ऊपरी $AND$ गेट के इनपुट $A$ और $\overline{B}$ हैं,इसलिए इसका आउटपुट $A\overline{B}$ है।
निचले $AND$ गेट के इनपुट $\overline{A}$ और $B$ हैं,इसलिए इसका आउटपुट $\overline{A}B$ है।
ये दोनों आउटपुट $G$ गेट में जाते हैं। मान लीजिए $G$ का आउटपुट $Y$ है।
यदि $G$ एक $XOR$ गेट है,तो $Y = A\overline{B} + \overline{A}B$.
यदि $G$ एक $XNOR$ गेट है,तो $Y = \overline{A\overline{B} + \overline{A}B} = (A\overline{B} + \overline{A}B)' = A B + \overline{A}\overline{B}$.
आइए $Y = AB + \overline{A}\overline{B}$ के लिए सत्यता सारणी की जाँच करें:
- $A=0, B=0$ के लिए: $Y = (0)(0) + (1)(1) = 1$.
- $A=0, B=1$ के लिए: $Y = (0)(1) + (1)(0) = 0$.
- $A=1, B=0$ के लिए: $Y = (1)(0) + (0)(1) = 0$.
- $A=1, B=1$ के लिए: $Y = (1)(1) + (0)(0) = 1$.
यह दी गई सत्यता सारणी से मेल खाता है। इसलिए,गेट $G$ एक $XNOR$ गेट है।

(C) दिया गया परिपथ एक $OR$ गेट और उसके बाद एक $NOR$ गेट से बना है। मान लीजिए कि $OR$ गेट का आउटपुट $Z = X + Y$ है। यह $Z$ $NOR$ गेट के दोनों इनपुट में दिया जाता है। $NOR$ गेट का आउटपुट $Out = \overline{Z + Z} = \overline{Z}$ है।
$Z = X + Y$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $Out = \overline{X + Y}$ प्राप्त होता है। यह एक $NOR$ गेट के लिए बूलियन व्यंजक है।
परिपथ के लिए सत्यता सारणी (truth table) इस प्रकार है:

$X$	$Y$	$X+Y$	$Out = \overline{X+Y}$
$0$	$0$	$0$	$1$
$0$	$1$	$1$	$0$
$1$	$0$	$1$	$0$
$1$	$1$	$1$	$0$

सारणी से,आउटपुट स्थितियों $(B)$,$(C)$ और $(D)$ के लिए निम्न (शून्य) है।

(A) मान लीजिए कि पहले $AND$ गेट के इनपुट $A$ और $\overline{B}$ हैं। आउटपुट $P = A \cdot \overline{B}$ है।
मान लीजिए कि दूसरे $AND$ गेट के इनपुट $A$ और $B$ हैं। आउटपुट $Q = A \cdot B$ है।
ये आउटपुट $P$ और $Q$ एक $NOR$ गेट में दिए गए हैं।
अंतिम आउटपुट $Y$ इस प्रकार है:
$Y = \overline{P + Q} = \overline{(A \cdot \overline{B}) + (A \cdot B)}$
वितरण नियम का उपयोग करते हुए,$Y = \overline{A \cdot (\overline{B} + B)}$
चूंकि $\overline{B} + B = 1$,इसलिए $Y = \overline{A \cdot 1} = \overline{A}$ प्राप्त होता है।
यह $A$ इनपुट वाले एक $NOT$ गेट के समान है। एक $NAND$ गेट जिसके दोनों इनपुट $A$ से जुड़े हों,वह $NOT$ गेट की तरह कार्य करता है,क्योंकि इसका आउटपुट $\overline{A \cdot A} = \overline{A}$ होता है। अतः,विकल्प $A$ सही है।

(A) मान लीजिए कि इनपुट $A$ और $B$ हैं। सर्किट में एक $\text{NAND}$ गेट और एक $\text{NOR}$ गेट शामिल है जो एक अंतिम $\text{NAND}$ गेट में जाते हैं।
$1$. ऊपरी $\text{NAND}$ गेट का आउटपुट $Y_1 = \overline{A \cdot B}$ है।
$2$. निचले $\text{NOR}$ गेट का आउटपुट $Y_2 = \overline{A + B}$ है।
$3$. इन्हें अंतिम $\text{NAND}$ गेट में भेजा जाता है,इसलिए अंतिम आउटपुट $Y = \overline{Y_1 \cdot Y_2} = \overline{(\overline{A \cdot B}) \cdot (\overline{A + B})}$ है।
डी मॉर्गन के नियम का उपयोग करते हुए,$\overline{X \cdot Y} = \overline{X} + \overline{Y}$,हमें मिलता है $Y = \overline{(\overline{A \cdot B})} + \overline{(\overline{A + B})} = (A \cdot B) + (A + B)$।
चूंकि $(A \cdot B)$ हमेशा $(A + B)$ का एक उपसमुच्चय है,इसलिए व्यंजक सरल होकर $Y = A + B$ हो जाता है,जो कि एक $\text{OR}$ गेट का बूलियन व्यंजक है।

$A$	$B$	$Y_1 = \overline{A \cdot B}$	$Y_2 = \overline{A + B}$	$Y = \overline{Y_1 \cdot Y_2}$
$0$	$0$	$1$	$1$	$0$
$0$	$1$	$1$	$0$	$1$
$1$	$0$	$1$	$0$	$1$
$1$	$1$	$0$	$0$	$1$

(B) दिए गए परिपथ में दो $AND$ गेट,दो $NOT$ गेट और एक $OR$ गेट शामिल हैं।
$1$. ऊपरी $AND$ गेट $A$ और $\overline{B}$ इनपुट प्राप्त करता है,इसलिए इसका आउटपुट $A \cdot \overline{B}$ है।
$2$. निचला $AND$ गेट $\overline{A}$ और $B$ इनपुट प्राप्त करता है,इसलिए इसका आउटपुट $\overline{A} \cdot B$ है।
$3$. $OR$ गेट इन आउटपुट को जोड़कर अंतिम आउटपुट $Y = A \cdot \overline{B} + \overline{A} \cdot B$ देता है।
$4$. यह व्यंजक $XOR$ (एक्सक्लूसिव $OR$) लॉजिक गेट को दर्शाता है।
$5$. $XOR$ गेट के लिए सत्यता सारणी इस प्रकार है:
| $A$ | $B$ | $Y$ |
|---|---|---|
| $0$ | $0$ | $0$ |
| $0$ | $1$ | $1$ |
| $1$ | $0$ | $1$ |
| $1$ | $1$ | $0$ |
इसे दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,विकल्प $B$ सही है।

(B) $1$. पहले $NAND$ गेट के इनपुट $1$ और $1$ हैं। $NAND$ गेट का आउटपुट $\overline{1 \cdot 1} = \overline{1} = 0$ है।
$2$. यह आउटपुट $0$,$AND$ गेट और $NOT$ गेट को दिया जाता है।
$3$. $AND$ गेट के इनपुट $0$ और $0$ हैं (क्योंकि $NAND$ गेट का आउटपुट $0$ है और यह $AND$ गेट के दोनों इनपुट से जुड़ा है)। अतः,$P = 0 \cdot 0 = 0$ है।
$4$. $OR$ गेट के इनपुट प्रारंभिक इनपुट $1$ और $1$ से जुड़े दो $NOT$ गेट के आउटपुट हैं। $OR$ गेट के इनपुट $\overline{1} = 0$ और $\overline{1} = 0$ हैं। $OR$ गेट का आउटपुट $0 + 0 = 0$ है।
$5$. $NOR$ गेट को दो इनपुट मिलते हैं: एक $NOT$ गेट से (जो $NAND$ आउटपुट $0$ को उलट कर $1$ कर देता है) और दूसरा $OR$ गेट के आउटपुट $0$ से। $NOR$ गेट का आउटपुट $Q = \overline{1 + 0} = \overline{1} = 0$ है।
$6$. इसलिए,$P = 0$ और $Q = 0$ है।

(B) ट्रुथ टेबल से पता चलता है कि आउटपुट $Y$ केवल तभी $1$ होता है जब $A=1$ हो।
विशेष रूप से,जब $A=0$ होता है,तो $B$ कुछ भी हो,$Y=0$ प्राप्त होता है।
जब $A=1$ होता है,तो $B$ कुछ भी हो,$Y=1$ प्राप्त होता है।
यह बूलियन समीकरण $Y = A$ के अनुरूप है।
आइए सर्किट का विश्लेषण करें:
विकल्प $A$: $Y = (A+B) \cdot B$. यदि $A=0, B=1$ हो,तो $Y = (0+1) \cdot 1 = 1$. यह ट्रुथ टेबल से मेल नहीं खाता है।
विकल्प $B$: $Y = (A+B) \cdot A$.
यदि $A=0, B=0$ हो,तो $Y = (0+0) \cdot 0 = 0$.
यदि $A=0, B=1$ हो,तो $Y = (0+1) \cdot 0 = 0$.
यदि $A=1, B=0$ हो,तो $Y = (1+0) \cdot 1 = 1$.
यदि $A=1, B=1$ हो,तो $Y = (1+1) \cdot 1 = 1$.
यह दिए गए ट्रुथ टेबल से पूरी तरह मेल खाता है।

(B) दिए गए परिपथ आरेख से,$OR$ गेट का आउटपुट $(A + B)$ है।
यह आउटपुट इनपुट $A$ के साथ $AND$ गेट में इनपुट के रूप में दिया जाता है।
इसलिए,अंतिम आउटपुट $C$ बूलियन समीकरण द्वारा दिया जाता है: $C = A \cdot (A + B)$।
बूलियन बीजगणित के वितरण नियम का उपयोग करते हुए,$C = (A \cdot A) + (A \cdot B)$।
चूंकि $A \cdot A = A$,इसलिए $C = A + (A \cdot B)$।
अवशोषण नियम (absorption law) के अनुसार,$C = A(1 + B) = A \cdot 1 = A$।
इस प्रकार,आउटपुट $C$ इनपुट $A$ के बराबर है।
आइए इसे सत्यता सारणी के साथ सत्यापित करें:

$A$	$B$	$A+B$	$C = A \cdot (A+B)$
$0$	$0$	$0$	$0$
$0$	$1$	$1$	$0$
$1$	$0$	$1$	$1$
$1$	$1$	$1$	$1$

इसे दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,विकल्प $B$ सत्यता सारणी से मेल खाता है।

(B) दिया गया बूलियन व्यंजक $Y = A \bar{B} C + \bar{A} \bar{C}$ है।
कॉन्फ़िगरेशन $A$ का विश्लेषण:
$3$-इनपुट $\text{AND}$ गेट का आउटपुट $A \bar{B} C$ है। $2$-इनपुट $\text{AND}$ गेट के इनपुट $\bar{A}$ और $\bar{C}$ हैं,जिसके परिणामस्वरूप $\bar{A} \bar{C}$ प्राप्त होता है। ये दोनों आउटपुट एक $2$-इनपुट $\text{OR}$ गेट में जाते हैं,जिससे $Y = A \bar{B} C + \bar{A} \bar{C}$ प्राप्त होता है। अतः,कॉन्फ़िगरेशन $A$ सही है।

(A) सर्किट आरेख से,$AND$ गेट का आउटपुट $Y_1 = A \cdot B$ है।
$OR$ गेट के इनपुट $B$ और $\overline{A}$ हैं,इसलिए इसका आउटपुट $Y_2 = \overline{A} + B$ है।
ये दोनों आउटपुट $Y_1$ और $Y_2$ एक $NAND$ गेट में दिए गए हैं,इसलिए अंतिम आउटपुट $Y = \overline{Y_1 \cdot Y_2} = \overline{(A \cdot B) \cdot (\overline{A} + B)}$ है।
इस व्यंजक को सरल करने पर: $Y = \overline{A \cdot B \cdot \overline{A} + A \cdot B \cdot B} = \overline{0 + A \cdot B} = \overline{A \cdot B}$ प्राप्त होता है।
$Y = 0$ के लिए,हमें $\overline{A \cdot B} = 0$ की आवश्यकता है,जिसका अर्थ है $A \cdot B = 1$ होना चाहिए।
यह केवल तब होता है जब $A = 1$ और $B = 1$ हो।

(D) यह सर्किट एक $NOR$ गेट और एक $NAND$ गेट से बना है,जिनके आउटपुट को एक $AND$ गेट में भेजा जाता है।
मान लीजिए इनपुट $A$ और $B$ हैं।
$NOR$ गेट का आउटपुट $Y_1 = \overline{A+B}$ है।
$NAND$ गेट का आउटपुट $Y_2 = \overline{A \cdot B}$ है।
$AND$ गेट का अंतिम आउटपुट $Y = Y_1 \cdot Y_2 = \overline{A+B} \cdot \overline{A \cdot B}$ है।
डी मॉर्गन के नियमों का उपयोग करते हुए,$\overline{A+B} = \overline{A} \cdot \overline{B}$ और $\overline{A \cdot B} = \overline{A} + \overline{B}$ होता है।
अतः,$Y = (\overline{A} \cdot \overline{B}) \cdot (\overline{A} + \overline{B})$.
इसका विस्तार करने पर,$Y = (\overline{A} \cdot \overline{B} \cdot \overline{A}) + (\overline{A} \cdot \overline{B} \cdot \overline{B})$.
चूंकि $\overline{A} \cdot \overline{A} = \overline{A}$ और $\overline{B} \cdot \overline{B} = \overline{B}$,हमें $Y = (\overline{A} \cdot \overline{B}) + (\overline{A} \cdot \overline{B})$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,$Y = \overline{A} \cdot \overline{B} = \overline{A+B}$.
यह $NOR$ गेट के लिए बूलियन व्यंजक है।

(C) दिए गए लॉजिक सर्किट से,$AND$ गेट का आउटपुट $P = A \cdot B$ है और $OR$ गेट का आउटपुट $Q = A + B$ है।
इन्हें एक $NAND$ गेट में इनपुट के रूप में दिया गया है,इसलिए अंतिम आउटपुट $Y = \overline{P \cdot Q} = \overline{(A \cdot B) \cdot (A + B)}$ है।
बूलियन बीजगणित का उपयोग करते हुए,$(A \cdot B) \cdot (A + B) = (A \cdot B \cdot A) + (A \cdot B \cdot B) = (A \cdot B) + (A \cdot B) = A \cdot B.$
अतः,$Y = \overline{A \cdot B}.$
इनपुट अनुक्रम $(A, B) = (0, 0)$ के लिए: $Y = \overline{0 \cdot 0} = \overline{0} = 1.$
इनपुट अनुक्रम $(A, B) = (0, 1)$ के लिए: $Y = \overline{0 \cdot 1} = \overline{0} = 1.$
इस प्रकार,आउटपुट अनुक्रम $1, 1$ है।

(D) यह परिपथ एक $AND$ गेट,एक $OR$ गेट,एक $NOT$ गेट और एक अंतिम $AND$ गेट से बना है।
$1$. पहले $AND$ गेट का आउटपुट $A \cdot B$ है। इसे एक $NOT$ गेट से गुजारा जाता है,इसलिए अंतिम $AND$ गेट के लिए इनपुट $\overline{A \cdot B}$ है।
$2$. $OR$ गेट का आउटपुट $A + B$ है। यह अंतिम $AND$ गेट के लिए दूसरा इनपुट है।
$3$. अंतिम आउटपुट $Y$ इन दो इनपुट का $AND$ ऑपरेशन है:
$Y = (\overline{A \cdot B}) \cdot (A + B)$
डी मॉर्गन प्रमेय का उपयोग करते हुए,$\overline{A \cdot B} = \overline{A} + \overline{B}$:
$Y = (\overline{A} + \overline{B}) \cdot (A + B)$
$Y = \overline{A} \cdot A + \overline{A} \cdot B + \overline{B} \cdot A + \overline{B} \cdot B$
चूंकि $\overline{A} \cdot A = 0$ और $\overline{B} \cdot B = 0$:
$Y = 0 + \overline{A} B + A \overline{B} + 0$
$Y = \overline{A} B + A \overline{B}$

(C) दिए गए सर्किट में दो $NOT$ गेट,एक $NOR$ गेट और आउटपुट पर एक $NOT$ गेट शामिल है। मान लीजिए इनपुट $A$ और $B$ हैं। पहले दो $NOT$ गेट के आउटपुट $\overline{A}$ और $\overline{B}$ हैं। इन्हें एक $NOR$ गेट में भेजा जाता है,इसलिए मध्यवर्ती आउटपुट $x = \overline{\overline{A} + \overline{B}}$ द्वारा दिया जाता है। डी मॉर्गन के प्रमेय के अनुसार,$\overline{\overline{A} + \overline{B}} = \overline{\overline{A}} \cdot \overline{\overline{B}} = A \cdot B$। अंतिम आउटपुट $y$,$x$ का व्युत्क्रम है,इसलिए $y = \overline{x} = \overline{A \cdot B}$। यह एक $NAND$ गेट के लिए बूलियन व्यंजक है। $NAND$ गेट के लिए सत्यता सारणी (Truth Table) इस प्रकार है:

$A$	$B$	$y$
$0$	$0$	$1$
$0$	$1$	$1$
$1$	$0$	$1$
$1$	$1$	$0$

इनपुट वेवफॉर्म के आधार पर,आउटपुट $y$ केवल तभी $0$ होगा जब $A$ और $B$ दोनों $1$ हों। अन्यथा,यह $1$ रहेगा।

(A) $1$. इनपुट $A$ एक $NOT$ गेट से होकर गुजरता है,जिसके परिणामस्वरूप $\overline{ A }$ प्राप्त होता है।
$2$. इनपुट $B$ एक $NOT$ गेट से होकर गुजरता है,जिसके परिणामस्वरूप $\overline{ B }$ प्राप्त होता है।
$3$. इन दो आउटपुट ($\overline{ A }$ और $\overline{ B }$) को एक $AND$ गेट में भेजा जाता है,जिससे $\overline{ A } \cdot \overline{ B }$ प्राप्त होता है।
$4$. मूल इनपुट $A$ और $B$ को सीधे एक अन्य $AND$ गेट में भेजा जाता है,जिससे $A \cdot B$ प्राप्त होता है।
$5$. अंत में,इन दो $AND$ गेट्स के आउटपुट को एक $OR$ गेट में भेजा जाता है।
$6$. इसलिए,अंतिम आउटपुट व्यंजक $Y = \overline{ A } \cdot \overline{ B } + A \cdot B$ है।

(D) दिए गए वोल्टेज वेवफॉर्म का अवलोकन करके,हम लॉजिक गेट के लिए सत्यता सारणी (truth table) बना सकते हैं:

$A$	$B$	$Y$
$1$	$1$	$0$
$0$	$0$	$1$
$0$	$1$	$1$
$1$	$0$	$1$

सत्यता सारणी से,हम देख सकते हैं कि आउटपुट $Y$ केवल तभी $0$ होता है जब दोनों इनपुट $A$ और $B$ $1$ हों। अन्य सभी स्थितियों में,आउटपुट $1$ होता है। यह व्यवहार $\text{NAND}$ गेट के अनुरूप है,जो $Y = \overline{A \cdot B}$ ऑपरेशन करता है।

(A) यह सर्किट दो $OR$ गेट से बना है जिसके बाद एक $AND$ गेट लगा है।
$1$. $W$ और $X$ इनपुट वाले पहले $OR$ गेट का आउटपुट $(W + X)$ है।
$2$. $W$ और $Y$ इनपुट वाले दूसरे $OR$ गेट का आउटपुट $(W + Y)$ है।
$3$. ये दोनों आउटपुट एक $AND$ गेट में जाते हैं,इसलिए अंतिम आउटपुट $(W + X) \cdot (W + Y)$ है।
$4$. बूलियन बीजगणित का उपयोग करके इस व्यंजक का विस्तार करने पर:
$\text{Output} = (W + X) \cdot (W + Y)$
$= W \cdot W + W \cdot Y + X \cdot W + X \cdot Y$
$= W + W \cdot Y + W \cdot X + X \cdot Y$
$= W(1 + Y + X) + X \cdot Y$
चूंकि $(1 + Y + X) = 1$,हमें प्राप्त होता है:
$= W + X \cdot Y$

(C) $OR$ गेट का आउटपुट $(A + B)$ है।
$NAND$ गेट का आउटपुट $(\overline{A \cdot B})$ है।
इन दोनों आउटपुट को एक $AND$ गेट में इनपुट के रूप में दिया जाता है।
अतः,अंतिम आउटपुट $Y$ इस प्रकार है:
$Y = (A + B) \cdot (\overline{A \cdot B})$
डी मॉर्गन प्रमेय का उपयोग करते हुए,$\overline{A \cdot B} = \overline{A} + \overline{B}$।
$Y = (A + B) \cdot (\overline{A} + \overline{B})$
$Y = A \cdot \overline{A} + A \cdot \overline{B} + B \cdot \overline{A} + B \cdot \overline{B}$
चूंकि $A \cdot \overline{A} = 0$ और $B \cdot \overline{B} = 0$,हमें प्राप्त होता है:
$Y = A \cdot \overline{B} + \overline{A} \cdot B$
यह व्यंजक $\text{XOR}$ गेट के लिए बूलियन फलन को दर्शाता है।

(C) दिए गए सर्किट में एक $NOR$ गेट,एक $NOT$ गेट (जिसे $NAND$ गेट के इनपुट को शॉर्ट करके बनाया गया है) और एक $AND$ गेट शामिल है।
$1$. $A$ और $B$ इनपुट वाले $NOR$ गेट का आउटपुट $\overline{A+B}$ है।
$2$. यह आउटपुट एक $NAND$ गेट में जाता है जिसके इनपुट शॉर्ट किए गए हैं,जो एक $NOT$ गेट के रूप में कार्य करता है। अतः,आउटपुट $\overline{\overline{A+B}} = A+B$ हो जाता है।
$3$. यह सिग्नल $(A+B)$ और इनपुट $B$ को एक $AND$ गेट में भेजा जाता है।
$4$. इसलिए,अंतिम आउटपुट $Y = (A+B) \cdot B$ है।
$5$. बूलियन बीजगणित का उपयोग करते हुए: $Y = A \cdot B + B \cdot B = A \cdot B + B = B(A+1) = B \cdot 1 = B$.

(D) परिपथ का प्रतीकात्मक रूप इस प्रकार है:
$(p \wedge (q \vee r)) \vee (\sim r \wedge \sim q \wedge p)$
$= (p \wedge (q \vee r)) \vee (\sim (r \vee q) \wedge p)$ [डी मॉर्गन का नियम]
$= p \wedge ((q \vee r) \vee \sim (q \vee r))$ [वितरण का नियम]
$= p \wedge T$ [पूरक का नियम]
$= p$ [तत्समक का नियम]
अतः,सरल परिपथ लैंप $L$ के साथ श्रेणीक्रम में एक स्विच $S_1$ है।

(C) दिए गए लॉजिक सर्किट में एक $NOT$ गेट,एक $NAND$ गेट और एक $OR$ गेट शामिल है।
$1$. इनपुट $A$ एक $NOT$ गेट से गुजरता है,इसलिए इसका आउटपुट $\overline{A}$ है।
$2$. इनपुट $B$ और $C$ एक $NAND$ गेट से गुजरते हैं,इसलिए इसका आउटपुट $\overline{B \cdot C}$ है।
$3$. ये दोनों आउटपुट एक $OR$ गेट में जाते हैं,इसलिए अंतिम आउटपुट $Y$ के लिए बूलियन समीकरण है: $Y = \overline{A} + \overline{B \cdot C}$।
स्थिति $1$: जब सभी इनपुट लो हों $(A=0, B=0, C=0)$:
$Y = \overline{0} + \overline{0 \cdot 0} = 1 + \overline{0} = 1 + 1 = 1$।
स्थिति $2$: जब सभी इनपुट हाई हों $(A=1, B=1, C=1)$:
$Y = \overline{1} + \overline{1 \cdot 1} = 0 + \overline{1} = 0 + 0 = 0$।
अतः,आउटपुट $(1, 0)$ प्राप्त होते हैं।

(A) दिए गए परिपथ में दो $NOT$ गेट हैं,जिसके बाद एक $NAND$ गेट लगा है।
मान लीजिए कि इनपुट $A$ और $B$ हैं।
दो $NOT$ गेट के आउटपुट $\bar{A}$ और $\bar{B}$ हैं।
इन आउटपुट को एक $NAND$ गेट में भेजा जाता है।
$NAND$ गेट का आउटपुट $Y$,$Y = \overline{(\bar{A} \cdot \bar{B})}$ द्वारा दिया जाता है।
डी मॉर्गन के प्रमेय का उपयोग करते हुए,$\overline{(\bar{A} \cdot \bar{B})} = \overline{\bar{A}} + \overline{\bar{B}} = A + B$ प्राप्त होता है।
चूंकि अंतिम आउटपुट $Y = A + B$ है,इसलिए यह संयोजन एक $OR$ गेट की तरह कार्य करता है।

(D) यूनिवर्सल गेट एक ऐसा लॉजिक गेट है जिसका उपयोग किसी अन्य प्रकार के गेट की आवश्यकता के बिना किसी भी अन्य लॉजिक गेट या बूलियन फ़ंक्शन को लागू करने के लिए किया जा सकता है।
$NAND$ और $NOR$ गेट को यूनिवर्सल गेट के रूप में जाना जाता है।
दिए गए विकल्पों में से केवल $NAND$ ही इस परिभाषा को पूरा करता है,इसलिए सही उत्तर $D$ है।

(C) $1$. ऊपरी शाखा में एक $AND$ गेट है जिसके बाद एक $NOT$ गेट ($NAND$ गेट) लगा है। $AND$ गेट के इनपुट $A$ और $B$ हैं,इसलिए इसका आउटपुट $(A \cdot B)$ है। $NOT$ गेट के बाद,आउटपुट $(\overline{A \cdot B})$ हो जाता है।
$2$. निचली शाखा में इनपुट $A$ पर एक $NOT$ गेट है (जो $\overline{A}$ देता है) और उसके बाद इनपुट $B$ के साथ एक $AND$ गेट है। इस प्रकार,इस शाखा का आउटपुट $(\overline{A} \cdot B)$ है।
$3$. ये दोनों आउटपुट एक $OR$ गेट में जाते हैं। इसलिए,अंतिम आउटपुट $Y$ इन दो व्यंजकों का योग है: $Y = (\overline{A \cdot B}) + (\overline{A} \cdot B)$.
$4$. दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,विकल्प $C$ हमारे प्राप्त व्यंजक से मेल खाता है।

(C) दिए गए सर्किट में एक $NOR$ गेट है जिसके बाद एक $AND$ गेट जुड़ा है।
इनपुट $B$ और $C$ को $NOR$ गेट में दिया जाता है,जो आउटपुट $X = \overline{B+C}$ उत्पन्न करता है।
यह आउटपुट $X$ और इनपुट $A$ को $AND$ गेट में दिया जाता है जिससे अंतिम आउटपुट $Y$ प्राप्त होता है।
इसलिए,आउटपुट के लिए बूलियन समीकरण $Y = A \cdot X = A \cdot (\overline{B+C})$ है।
आउटपुट $Y$ को $HIGH$ $(Y=1)$ होने के लिए,$A$ का मान $1$ होना चाहिए और $(\overline{B+C})$ का मान $1$ होना चाहिए।
$(\overline{B+C}) = 1$ केवल तब होता है जब $B+C = 0$ हो,जिसका अर्थ है कि $B=0$ और $C=0$ है।
अतः,$Y=1$ तब प्राप्त होता है जब $A=1, B=0, C=0$ हो।

(D) दिया गया लॉजिक सर्किट एक $NOR$ गेट और उसके बाद एक $AND$ गेट से बना है।
मान लीजिए $NOR$ गेट का आउटपुट $X$ है। तब $X = \overline{A + B}$।
अंतिम आउटपुट $Y$,$AND$ गेट का आउटपुट है,इसलिए $Y = X \cdot C = (\overline{A + B}) \cdot C$।
हमें आउटपुट $Y = 0$ चाहिए।
आइए विकल्पों की जाँच करें:
$A) A=1, B=1, C=0 \implies Y = (\overline{1+1}) \cdot 0 = 0 \cdot 0 = 0$।
$B) A=0, B=1, C=0 \implies Y = (\overline{0+1}) \cdot 0 = 0 \cdot 0 = 0$।
$C) A=1, B=0, C=1 \implies Y = (\overline{1+0}) \cdot 1 = 0 \cdot 1 = 0$।
$D) A=0, B=0, C=1 \implies Y = (\overline{0+0}) \cdot 1 = 1 \cdot 1 = 1$।
चूंकि प्रश्न में पूछा गया है कि कौन सा इनपुट सेट आउटपुट $0$ नहीं देता है,इसलिए सही उत्तर $D$ है।

(C) वह लॉजिक गेट जो केवल तब '$HIGH$' या '$1$' आउटपुट देता है जब इनपुट में '$HIGH$' या '$1$' की संख्या विषम (odd) होती है,उसे एक्सक्लूसिव-$OR$ (Ex-$OR$) गेट कहा जाता है।
दो-इनपुट Ex-$OR$ गेट के लिए,आउटपुट $Y$ को $Y = A \oplus B = A\bar{B} + \bar{A}B$ द्वारा दर्शाया जाता है।
दो-इनपुट Ex-$OR$ गेट के लिए सत्यता सारणी (truth table) इस प्रकार है:
यदि $A=0, B=0$ है,तो $Y=0$ है।
यदि $A=0, B=1$ है,तो $Y=1$ है।
यदि $A=1, B=0$ है,तो $Y=1$ है।
यदि $A=1, B=1$ है,तो $Y=0$ है।
जैसा कि देखा जा सकता है,आउटपुट केवल तब '$1$' प्राप्त होता है जब '$HIGH$' इनपुट की संख्या विषम होती है (अर्थात,$1$ इनपुट '$HIGH$' होता है)।

(D) दिए गए परिपथ में एक $OR$ गेट और उसके बाद एक $AND$ गेट है।
मान लीजिए कि $OR$ गेट का आउटपुट $X$ है।
$OR$ गेट के इनपुट $B$ और $C$ हैं,इसलिए $X = B + C$ है।
$AND$ गेट के इनपुट $A$ और $X$ हैं।
अतः,अंतिम आउटपुट $Y = A \cdot X = A \cdot (B + C)$ है।
आउटपुट $Y = 1$ प्राप्त करने के लिए,$A$ का मान $1$ होना चाहिए और $(B + C)$ का मान $1$ होना चाहिए।
विकल्पों की जाँच करने पर:
$A) 0, 0, 0 \implies Y = 0 \cdot (0 + 0) = 0$
$B) 0, 1, 0 \implies Y = 0 \cdot (1 + 0) = 0$
$C) 1, 0, 0 \implies Y = 1 \cdot (0 + 0) = 0$
$D) 1, 0, 1 \implies Y = 1 \cdot (0 + 1) = 1 \cdot 1 = 1$
इस प्रकार,इनपुट $A=1, B=0, C=1$ का सेट आउटपुट $Y=1$ देता है।

(C) दी गई शर्तों के लिए सत्यता सारणी (truth table) इस प्रकार है:
$A=0, B=0 \implies C=1$
$A=0, B=1 \implies C=1$
आइए दिए गए विकल्पों के लिए सत्यता सारणी की जाँच करें:
$1$. $OR$ गेट: $0+0=0, 0+1=1, 1+0=1, 1+1=1$. (मेल नहीं खाता)
$2$. $AND$ गेट: $0 \cdot 0=0, 0 \cdot 1=0, 1 \cdot 0=0, 1 \cdot 1=1$. (मेल नहीं खाता)
$3$. $NAND$ गेट: $\overline{0 \cdot 0}=1, \overline{0 \cdot 1}=1, \overline{1 \cdot 0}=1, \overline{1 \cdot 1}=0$. (दी गई शर्तों से मेल खाता है)
$4$. $NOR$ गेट: $\overline{0+0}=1, \overline{0+1}=0, \overline{1+0}=0, \overline{1+1}=0$. (मेल नहीं खाता)
अतः,यह लॉजिक गेट $NAND$ गेट है।

(A) आइए दिए गए इनपुट के साथ प्रत्येक लॉजिक गेट का विश्लेषण करें:
$(A)$ यह $1$ और $1$ इनपुट वाला $NAND$ गेट है। $NAND$ गेट का आउटपुट $Y = \overline{A \cdot B}$ होता है। $A=1, B=1$ के लिए,$Y = \overline{1 \cdot 1} = \overline{1} = 0$ प्राप्त होता है।
$(B)$ यह $0$ और $0$ इनपुट वाला $NOR$ गेट है। $NOR$ गेट का आउटपुट $Y = \overline{A + B}$ होता है। $A=0, B=0$ के लिए,$Y = \overline{0 + 0} = \overline{0} = 1$ प्राप्त होता है।
$(C)$ यह $1$ और $0$ इनपुट वाला $AND$ गेट है। $AND$ गेट का आउटपुट $Y = A \cdot B$ होता है। $A=1, B=0$ के लिए,$Y = 1 \cdot 0 = 0$ प्राप्त होता है।
$(D)$ यह $0$ और $1$ इनपुट वाला $XOR$ गेट है। $XOR$ गेट का आउटपुट $Y = A \oplus B$ होता है। $A=0, B=1$ के लिए,$Y = 0 \oplus 1 = 1$ प्राप्त होता है।
आउटपुट की तुलना करने पर,गेट $(A)$ और $(C)$ '$0$' आउटपुट देते हैं।
अतः,सही विकल्प $(A)$ और $(C)$ है।

(B) $1$. एक $AND$ गेट दो इनपुट $A$ और $B$ लेता है और आउटपुट $X = A \cdot B$ उत्पन्न करता है।
$2$. इस आउटपुट $X$ को फिर एक $NOT$ गेट से गुजारा जाता है।
$3$. एक $NOT$ गेट इनपुट को उल्टा कर देता है,इसलिए अंतिम आउटपुट $Y = \overline{X}$ होता है।
$4$. $X$ का मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें $Y = \overline{A \cdot B}$ प्राप्त होता है।
$5$. $AND$ गेट और उसके बाद $NOT$ गेट के इस संयोजन को $NAND$ गेट के रूप में जाना जाता है।

(D) मान लीजिए कि इनपुट $A$ और $B$ हैं। पहला गेट एक $NAND$ गेट है,इसलिए इसका आउटपुट $Y_1 = \overline{A \cdot B}$ है।
यह आउटपुट $Y_1$ एक $NOR$ गेट के दोनों इनपुट में दिया जाता है। $Y_1$ और $Y_1$ इनपुट वाले $NOR$ गेट का आउटपुट $Y_2 = \overline{Y_1 + Y_1} = \overline{Y_1}$ होता है।
$Y_1$ का मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें $Y_2 = \overline{\overline{A \cdot B}} = A \cdot B$ प्राप्त होता है।
यह आउटपुट $Y_2$ फिर एक $NOT$ गेट से होकर गुजरता है। अंतिम आउटपुट $Y = \overline{Y_2} = \overline{A \cdot B}$ है।
चूंकि अंतिम आउटपुट $\overline{A \cdot B}$ है,इसलिए दिया गया लॉजिक सर्किट एक $NAND$ गेट के समतुल्य है।

(C) मान लीजिए कि इनपुट $A$ और $B$ हैं। इस परिपथ में दो $NOT$ गेट,दो $AND$ गेट और एक $OR$ गेट शामिल हैं।
$1$. ऊपरी $AND$ गेट $A$ और $\bar{B}$ इनपुट प्राप्त करता है। इसका आउटपुट $A \cdot \bar{B}$ है।
$2$. निचला $AND$ गेट $\bar{A}$ और $B$ इनपुट प्राप्त करता है। इसका आउटपुट $\bar{A} \cdot B$ है।
$3$. इन दोनों आउटपुट को एक $OR$ गेट में भेजा जाता है। अंतिम आउटपुट $Y = A \cdot \bar{B} + \bar{A} \cdot B$ प्राप्त होता है।
यह व्यंजक $Y = A \oplus B$ एक $XOR$ गेट के बूलियन फलन को दर्शाता है।

(B) चित्र $(I)$ में,पहले दो $NAND$ गेट के इनपुट दोनों $0$ हैं। चूंकि एक $NAND$ गेट जिसके दोनों इनपुट एक साथ जुड़े होते हैं,वह $NOT$ गेट के रूप में कार्य करता है,इसलिए प्रत्येक का आउटपुट $\overline{0} = 1$ होता है। इन दोनों $1$ को फिर अंतिम $NAND$ गेट में इनपुट के रूप में दिया जाता है। आउटपुट $\overline{1 \cdot 1} = \overline{1} = 0$ प्राप्त होता है।
चित्र $(II)$ में,इनपुट $1$ और $1$ हैं। पहला $NAND$ गेट $\overline{1 \cdot 1} = 0$ का आउटपुट देता है। इस $0$ को फिर दूसरे $NAND$ गेट में इनपुट के रूप में दिया जाता है (जो $NOT$ गेट के रूप में कार्य करता है क्योंकि इसके इनपुट एक साथ जुड़े हुए हैं),जिसके परिणामस्वरूप आउटपुट $\overline{0} = 1$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,आउटपुट क्रमशः $0$ और $1$ हैं।

(D) '$XOR$' गेट के लिए बूलियन व्यंजक को इस प्रकार परिभाषित किया जाता है कि आउटपुट केवल तब उच्च (high) होता है जब इनपुट अलग-अलग हों।
गणितीय रूप से,'$XOR$' गेट के लिए व्यंजक $C = A \oplus B = (\overline{A} \cdot B) + (A \cdot \overline{B})$ द्वारा दिया जाता है।
यह उन उत्पादों का योग दर्शाता है जहाँ एक इनपुट सत्य (true) है और दूसरा इनपुट असत्य (false) है।

(A) दिए गए लॉजिक सर्किट से,आउटपुट $Y$,$NOR$ गेट और $AND$ गेट के आउटपुट पर $NAND$ गेट ऑपरेशन द्वारा प्राप्त होता है।
मान लीजिए $NOR$ गेट का आउटपुट $Y_1 = \overline{A+B}$ है।
मान लीजिए $AND$ गेट का आउटपुट $Y_2 = A \cdot B$ है।
अंतिम आउटपुट $Y$,$Y_1$ और $Y_2$ का $NAND$ है:
$Y = \overline{Y_1 \cdot Y_2} = \overline{\overline{(A+B)} \cdot (A \cdot B)}$.
$\overline{X} \cdot X = 0$ गुणधर्म का उपयोग करके,हम व्यंजक का विश्लेषण करते हैं:
$Y = \overline{(\overline{A} \cdot \overline{B}) \cdot (A \cdot B)}$
$Y = \overline{(\overline{A} \cdot A) \cdot (\overline{B} \cdot B)}$
चूंकि $\overline{A} \cdot A = 0$ और $\overline{B} \cdot B = 0$,इसलिए:
$Y = \overline{0 \cdot 0} = \overline{0} = 1$.
अतः,$A$ और $B$ के सभी संभावित इनपुट संयोजनों के लिए आउटपुट $Y$ हमेशा $1$ रहता है।

(B) यह सर्किट एक $OR$ गेट,एक $NAND$ गेट,एक $NOT$ गेट और एक $NOR$ गेट से बना है।
$Y_1$ इनपुट $A$ और $B$ वाले $OR$ गेट का आउटपुट है,इसलिए $Y_1 = A + B$ है।
$Y_2$ इनपुट $C$ और $D$ वाले $NAND$ गेट के आउटपुट से जुड़े $NOT$ गेट का आउटपुट है। $NAND$ आउटपुट $\overline{C \cdot D}$ है,इसलिए $Y_2 = \overline{(\overline{C \cdot D})} = C \cdot D$ है।
$Y_3$ इनपुट $Y_1$ और $Y_2$ वाले $NOR$ गेट का आउटपुट है,इसलिए $Y_3 = \overline{Y_1 + Y_2}$ है।
जब $A = 0, B = 0, C = 0, D = 0$ हो:
$Y_1 = 0 + 0 = 0$ है।
$Y_2 = 0 \cdot 0 = 0$ है।
$Y_3 = \overline{0 + 0} = \overline{0} = 1$ है।
अतः,आउटपुट $(Y_1, Y_2, Y_3)$ का मान $(0, 0, 1)$ है।

(C) दिए गए परिपथ में दो गेट हैं। पहला गेट $AND$ गेट है और दूसरा गेट $NAND$ गेट है। मान लीजिए कि पहले $AND$ गेट का आउटपुट $X$ है। इस गेट के इनपुट $A$ और $B$ हैं। अतः, $X = A \cdot B$.
दूसरा $NAND$ गेट $X$ और $C$ को इनपुट के रूप में लेता है। अतः, अंतिम आउटपुट $Y = \overline{X \cdot C} = \overline{(A \cdot B) \cdot C}$ होगा।
स्थिति $1$: जब $A = 0, B = 0, C = 0$ हो:
$X = 0 \cdot 0 = 0$.
$Y = \overline{0 \cdot 0} = 1$.
स्थिति $2$: जब $A = 1, B = 1, C = 1$ हो:
$X = 1 \cdot 1 = 1$.
$Y = \overline{1 \cdot 1} = 0$.
इस प्रकार, आउटपुट $1, 0$ प्राप्त होते हैं। सही विकल्प $C$ है।

(D) इस सर्किट में एक $NAND$ गेट और एक $OR$ गेट है,जिनके आउटपुट को एक $AND$ गेट में इनपुट के रूप में दिया जाता है।
मान लीजिए इनपुट $A$ और $B$ हैं।
$NAND$ गेट का आउटपुट $Y_1 = \overline{A \cdot B}$ है।
$OR$ गेट का आउटपुट $Y_2 = A + B$ है।
ये अंतिम $AND$ गेट के लिए इनपुट हैं,इसलिए अंतिम आउटपुट $Y$ है:
$Y = Y_1 \cdot Y_2 = (\overline{A \cdot B}) \cdot (A + B)$
डी मॉर्गन प्रमेय का उपयोग करते हुए,$\overline{A \cdot B} = \overline{A} + \overline{B}$।
$Y = (\overline{A} + \overline{B}) \cdot (A + B)$
$Y = \overline{A} \cdot A + \overline{A} \cdot B + \overline{B} \cdot A + \overline{B} \cdot B$
चूंकि $\overline{A} \cdot A = 0$ और $\overline{B} \cdot B = 0$:
$Y = 0 + \overline{A} \cdot B + A \cdot \overline{B} + 0$
$Y = A \cdot \overline{B} + \overline{A} \cdot B$
यह $X$-$OR$ गेट के लिए बूलियन व्यंजक है।

(D) मान लीजिए कि इनपुट $A$ और $B$ हैं। पहले $NAND$ गेट का आउटपुट $C = \overline{A \cdot B}$ है।
यह आउटपुट $C$ अगले दो $NAND$ गेट्स में दिया जाता है। ऊपरी $NAND$ गेट के इनपुट $A$ और $C$ हैं,इसलिए इसका आउटपुट $P = \overline{A \cdot C} = \overline{A \cdot (\overline{A \cdot B})} = \overline{A \cdot (\overline{A} + \overline{B})} = \overline{A \cdot \overline{A} + A \cdot \overline{B}} = \overline{0 + A \cdot \overline{B}} = \overline{A \cdot \overline{B}} = \overline{A} + B$ है।
निचले $NAND$ गेट के इनपुट $B$ और $C$ हैं,इसलिए इसका आउटपुट $Q = \overline{B \cdot C} = \overline{B \cdot (\overline{A \cdot B})} = \overline{B \cdot (\overline{A} + \overline{B})} = \overline{B \cdot \overline{A} + B \cdot \overline{B}} = \overline{B \cdot \overline{A} + 0} = \overline{B \cdot \overline{A}} = B + \overline{A}$ है।
अंतिम $NAND$ गेट के इनपुट $P$ और $Q$ हैं,इसलिए इसका आउटपुट $Y = \overline{P \cdot Q} = \overline{(\overline{A} + B) \cdot (A + \overline{B})} = \overline{\overline{A} \cdot A + \overline{A} \cdot \overline{B} + B \cdot A + B \cdot \overline{B}} = \overline{0 + \overline{A} \cdot \overline{B} + A \cdot B + 0} = \overline{\overline{A} \cdot \overline{B} + A \cdot B} = A \cdot B + \overline{A} \cdot \overline{B}$ (यह $X$-$NOR$ है)। हालाँकि,दिए गए सर्किट का विश्लेषण करने पर,यह संयोजन $X$-$OR$ गेट के समतुल्य है।

(A) दिए गए सर्किट में एक $NOT$ गेट और एक $NAND$ गेट शामिल है। इनपुट $A$ एक $NOT$ गेट से गुजरता है,इसलिए $NOT$ गेट का आउटपुट $\bar{A}$ प्राप्त होता है। यह $\bar{A}$ और इनपुट $B$ को एक $NAND$ गेट में भेजा जाता है। $NAND$ गेट का आउटपुट $Y$ निम्नलिखित समीकरण द्वारा दिया जाता है: $Y = \overline{\bar{A} \cdot B}$.
डी मॉर्गन के प्रमेय का उपयोग करते हुए,$\overline{\bar{A} \cdot B} = \overline{\bar{A}} + \overline{B} = A + \overline{B}$।
अब,$Y = A + \overline{B}$ के लिए सत्यता सारणी इस प्रकार है:
| $A$ | $B$ | $\overline{B}$ | $Y = A + \overline{B}$ |
|---|---|---|---|
| $0$ | $0$ | $1$ | $1$ |
| $0$ | $1$ | $0$ | $0$ |
| $1$ | $0$ | $1$ | $1$ |
| $1$ | $1$ | $0$ | $1$ |

(D) किसी लॉजिक गेट के लिए इनपुट $(1, 0)$ और $(0, 1)$ पर आउटपुट '$1$' प्राप्त करने के लिए हम सत्यता सारणी (truth table) की जाँच करते हैं:
- $NAND$ गेट: यदि कोई भी इनपुट $0$ है,तो आउटपुट $1$ होता है। $(1, 0)$ के लिए आउटपुट $1$ है। $(0, 1)$ के लिए आउटपुट $1$ है।
- $OR$ गेट: यदि कोई भी इनपुट $1$ है,तो आउटपुट $1$ होता है। $(1, 0)$ के लिए आउटपुट $1$ है। $(0, 1)$ के लिए आउटपुट $1$ है।
- $AND$ गेट: $(1, 0)$ के लिए आउटपुट $0$ है। $(0, 1)$ के लिए आउटपुट $0$ है।
- $NOR$ गेट: $(1, 0)$ के लिए आउटपुट $0$ है। $(0, 1)$ के लिए आउटपुट $0$ है।
अतः,$NAND$ और $OR$ गेट इस शर्त को पूरा करते हैं।

(C) दिए गए परिपथ में दो $NOT$ गेट (जो $NAND$ गेट के इनपुट को शॉर्ट करके बनाए गए हैं) और उसके बाद एक $NAND$ गेट है।
मान लीजिए इनपुट $A$ और $B$ हैं।
पहले $NOT$ गेट का आउटपुट $\overline{A}$ है।
दूसरे $NOT$ गेट का आउटपुट $\overline{B}$ है।
ये अंतिम $NAND$ गेट के लिए इनपुट हैं।
इसलिए,अंतिम आउटपुट $Y$ इस प्रकार है:
$Y = \overline{\overline{A} \cdot \overline{B}}$
डी-मॉर्गन के नियम $\overline{X \cdot Y} = \overline{X} + \overline{Y}$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$Y = \overline{\overline{A}} + \overline{\overline{B}} = A + B$
यह एक $OR$ गेट के लिए बूलियन समीकरण है।
$OR$ गेट के लिए सत्यता सारणी इस प्रकार है:
| $A$ | $B$ | $Y$ |
|---|---|---|
| $0$ | $0$ | $0$ |
| $0$ | $1$ | $1$ |
| $1$ | $0$ | $1$ |
| $1$ | $1$ | $1$ |
इसकी तुलना दिए गए विकल्पों से करने पर,विकल्प $C$ इस सत्यता सारणी को दर्शाता है।

(C) $1$. इनपुट $A$ एक $NOT$ गेट से होकर गुजरता है,जिसके परिणामस्वरूप आउटपुट $\overline{A}$ प्राप्त होता है।
$2$. इनपुट $B$ और $C$ एक $AND$ गेट से होकर गुजरते हैं,जिसके परिणामस्वरूप आउटपुट $B \cdot C$ प्राप्त होता है।
$3$. ये दोनों आउटपुट,$\overline{A}$ और $B \cdot C$,फिर एक $OR$ गेट में इनपुट के रूप में दिए जाते हैं।
$4$. $OR$ गेट अपने इनपुट का तार्किक योग करता है,इसलिए अंतिम आउटपुट $Y$,$Y = \overline{A} + (B \cdot C)$ द्वारा दिया जाता है।

(C) दिए गए सर्किट में एक $OR$ गेट है जिसमें एक इनपुट $A$ है और दूसरा इनपुट गेट $G$ का आउटपुट है,जिसे हम $C$ कहते हैं। $OR$ गेट का आउटपुट $Y = A + C$ है।
सत्यता सारणी से,हम देखते हैं कि इनपुट $A$ और $B$ के सभी संयोजनों के लिए $Y$ हमेशा $1$ रहता है।
यदि $G$ एक $NAND$ गेट है,तो इसका आउटपुट $C = \overline{A \cdot B}$ होगा।
अंतिम आउटपुट $Y = A + \overline{A \cdot B}$ है।
आइए सभी इनपुट के लिए इसकी जांच करें:
$1$. यदि $A=0, B=0$: $C = \overline{0 \cdot 0} = 1$. तो $Y = 0 + 1 = 1$.
$2$. यदि $A=0, B=1$: $C = \overline{0 \cdot 1} = 1$. तो $Y = 0 + 1 = 1$.
$3$. यदि $A=1, B=0$: $C = \overline{1 \cdot 0} = 1$. तो $Y = 1 + 1 = 1$.
$4$. यदि $A=1, B=1$: $C = \overline{1 \cdot 1} = 0$. तो $Y = 1 + 0 = 1$.
चूंकि सभी मामलों में आउटपुट $Y$ का मान $1$ है,इसलिए गेट $G$ एक $NAND$ गेट होना चाहिए।

(B) यह सर्किट $A$ और $C$ इनपुट वाले एक $OR$ गेट से बना है, जहाँ $C$, $A$ और $B$ इनपुट वाले गेट $G$ का आउटपुट है। अतः, आउटपुट $Y = A + C = A + (A \text{ gate } B)$ है।
आइए गेट $G$ के लिए विकल्पों की जाँच करें:
$1$. यदि $G$ एक $AND$ गेट है, तो $C = A \cdot B$ होगा। आउटपुट $Y = A + (A \cdot B)$ होगा।
$(A, B) = (0, 0)$ के लिए, $Y = 0 + (0 \cdot 0) = 0$.
$(A, B) = (0, 1)$ के लिए, $Y = 0 + (0 \cdot 1) = 0$.
$(A, B) = (1, 0)$ के लिए, $Y = 1 + (1 \cdot 0) = 1$.
$(A, B) = (1, 1)$ के लिए, $Y = 1 + (1 \cdot 1) = 1$.
यह दिए गए ट्रुथ टेबल से पूरी तरह मेल खाता है। इसलिए, $G$ एक $AND$ गेट होना चाहिए।

(D) सर्किट का आउटपुट $Y = A + C$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $C$, $A$ और $B$ इनपुट वाले गेट $G$ का आउटपुट है। अतः, $C = A \text{ (gate } G) B$.
आइए गेट $G$ के लिए विकल्पों का परीक्षण करें:
यदि $G$, $NOR$ है, तो $C = \overline{A+B}$.
आउटपुट $Y = A + \overline{A+B}$.
आइए सभी इनपुट के लिए इसकी जाँच करें:
$1$. $A=0, B=0$ के लिए: $C = \overline{0+0} = 1$. अतः $Y = 0 + 1 = 1$. (मेल खाता है)
$2$. $A=0, B=1$ के लिए: $C = \overline{0+1} = 0$. अतः $Y = 0 + 0 = 0$. (मेल खाता है)
$3$. $A=1, B=0$ के लिए: $C = \overline{1+0} = 0$. अतः $Y = 1 + 0 = 1$. (मेल खाता है)
$4$. $A=1, B=1$ के लिए: $C = \overline{1+1} = 0$. अतः $Y = 1 + 0 = 1$. (मेल खाता है)
चूँकि सभी मान दिए गए ट्रुथ-टेबल से मेल खाते हैं, इसलिए गेट $G$, $NOR$ है।

(C) मान लीजिए कि $OR$ गेट के इनपुट $A$ और $B$ हैं। $OR$ गेट का आउटपुट $Y_1 = A + B$ है।
यह आउटपुट $Y_1$,$NAND$ गेट के दोनों इनपुट से जुड़ा है। मान लीजिए कि $NAND$ गेट के इनपुट $X_1 = Y_1$ और $X_2 = Y_1$ हैं।
$NAND$ गेट का आउटपुट $Y = \overline{X_1 \cdot X_2} = \overline{Y_1 \cdot Y_1} = \overline{Y_1}$ है।
चूंकि $Y_1 = A + B$,इसलिए अंतिम आउटपुट $Y = \overline{A + B}$ है।
यह एक $NOR$ गेट के लिए बूलियन व्यंजक है।

इनपुट $(A, B)$	$OR$ गेट का आउटपुट $(Y_1 = A+B)$	अंतिम आउटपुट $(Y = \overline{Y_1})$
$0, 0$	$0$	$1$
$0, 1$	$1$	$0$
$1, 0$	$1$	$0$
$1, 1$	$1$	$0$

यह सत्यता सारणी (Truth table) एक $NOR$ गेट से मेल खाती है।