Boolean Algebra and Logic Gates Questions in Hindi

(D) यूनिवर्सल गेट एक ऐसा लॉजिक गेट है जिसका उपयोग किसी अन्य प्रकार के गेट की आवश्यकता के बिना किसी भी अन्य लॉजिक गेट या बूलियन फ़ंक्शन को लागू करने के लिए किया जा सकता है।
$NAND$ और $NOR$ गेट को यूनिवर्सल गेट के रूप में जाना जाता है।
चूंकि विकल्पों में $NAND$ गेट दिया गया है,इसलिए यह सही उत्तर है।

(A) दिए गए इनपुट $A = 0$ और $B = 1$ हैं।
$1$. इनपुट $A=0$ $NOR$ गेट और एक $NOT$ गेट में जाता है। इस $NOT$ गेट का आउटपुट $1$ है।
$2$. इनपुट $B=1$ एक $NOT$ गेट में जाता है,इसलिए इसका आउटपुट $0$ है। यह $0$ $NAND$ गेट और एक अन्य $NOT$ गेट में जाता है,जो $1$ आउटपुट देता है।
$3$. $NOR$ गेट को $A=0$ और दूसरे $NOT$ गेट का आउटपुट $(1)$ प्राप्त होता है। अतः,$NOR$ गेट का आउटपुट $\overline{0+1} = \overline{1} = 0$ है।
$4$. $NAND$ गेट को पहले $NOT$ गेट का आउटपुट $(1)$ और $B$ से जुड़े $NOT$ गेट का आउटपुट $(0)$ प्राप्त होता है। अतः,$NAND$ गेट का आउटपुट $\overline{1 \cdot 0} = \overline{0} = 1$ है।
$5$. अंत में,$AND$ गेट को $NOR$ गेट का आउटपुट $(0)$ और $NAND$ गेट का आउटपुट $(1)$ प्राप्त होता है। इसलिए,आउटपुट $Y = 0 \cdot 1 = 0$ है।
अतः,$x = 0$ है।

(B) $1$. पहले दो गेट $NOT$ गेट हैं (क्योंकि इनपुट $A$ और $B$ को $NOR$ गेट के दोनों टर्मिनलों से जोड़ा गया है)। अतः,आउटपुट $\bar{A}$ और $\bar{B}$ प्राप्त होते हैं।
$2$. इन आउटपुट को एक $NOR$ गेट में भेजा जाता है। इस गेट का आउटपुट $\overline{\bar{A} + \bar{B}}$ है।
$3$. डी मॉर्गन के प्रमेय के अनुसार,$\overline{\bar{A} + \bar{B}} = \overline{\bar{A}} \cdot \overline{\bar{B}} = A \cdot B$.
$4$. इस परिणाम $(A \cdot B)$ को फिर एक अंतिम $NOT$ गेट (शॉर्ट किए गए इनपुट वाले $NOR$ गेट) में भेजा जाता है। अंतिम आउटपुट $Y = \overline{A \cdot B}$ प्राप्त होता है।
$5$. व्यंजक $\overline{A \cdot B}$ एक $NAND$ गेट को दर्शाता है।

(A) मान लीजिए कि इनपुट $A$ और $B$ हैं। पहले दो $NAND$ गेट $NOT$ गेट के रूप में कार्य करते हैं क्योंकि उनके इनपुट शॉर्ट किए गए हैं। अतः,इन गेटों के आउटपुट क्रमशः $\bar{A}$ और $\bar{B}$ हैं।
इन्हें तीसरे $NAND$ गेट में भेजा जाता है,जो आउटपुट $Y' = \overline{\bar{A} \cdot \bar{B}} = A + B$ उत्पन्न करता है (डी मॉर्गन के नियम के अनुसार)।
यह आउटपुट $Y'$ फिर एक अंतिम $NAND$ गेट में भेजा जाता है जो $NOT$ गेट के रूप में कार्य करता है,जिसके परिणामस्वरूप अंतिम आउटपुट $Y = \overline{Y'} = \overline{A + B}$ प्राप्त होता है।
बूलियन व्यंजक $Y = \overline{A + B}$ एक $NOR$ गेट के अनुरूप है।
सत्यता सारणी:

$A$	$B$	$Y$
$0$	$0$	$1$
$0$	$1$	$0$
$1$	$0$	$0$
$1$	$1$	$0$

(D) मान लीजिए कि इनपुट $A$ और $B$ हैं।
$1$. ऊपरी शाखा में एक $AND$ गेट और उसके बाद एक $NOT$ गेट है,जो एक $NAND$ गेट है। इसका आउटपुट $\overline{A \cdot B}$ है।
$2$. निचली शाखा में एक $OR$ गेट है। इसका आउटपुट $(A + B)$ है।
$3$. इन दोनों आउटपुट को एक अंतिम $AND$ गेट में भेजा जाता है।
$4$. अंतिम आउटपुट $Y = \overline{A \cdot B} \cdot (A + B)$ है।
$5$. बूलियन बीजगणित का उपयोग करते हुए: $Y = (\overline{A} + \overline{B}) \cdot (A + B) = \overline{A}A + \overline{A}B + \overline{B}A + \overline{B}B$.
$6$. चूंकि $\overline{A}A = 0$ और $\overline{B}B = 0$,हमें $Y = \overline{A}B + A\overline{B}$ प्राप्त होता है।
$7$. यह $XOR$ गेट के लिए बूलियन व्यंजक है।

(B) दिए गए सर्किट में एक $OR$ गेट है जहाँ इनपुट $B$ को एक $NOT$ गेट के माध्यम से गुजारा जाता है,और $OR$ गेट के आउटपुट को एक अन्य $NOT$ गेट के माध्यम से गुजारा जाता है।
मान लीजिए इनपुट $A$ और $B$ हैं। $OR$ गेट के लिए इनपुट $A$ और $\bar{B}$ हो जाते हैं।
$OR$ गेट का आउटपुट $Y' = A + \bar{B}$ है।
अंतिम आउटपुट $C$,$Y'$ का इनवर्जन है,इसलिए $C = \overline{A + \bar{B}}$।
डी मॉर्गन के नियम का उपयोग करते हुए,$C = \bar{A} \cdot \overline{\bar{B}} = \bar{A} \cdot B$।
यह व्यंजक $\bar{A} \cdot B$ इनपुट $A$ के इनवर्जन के साथ एक $AND$ गेट को दर्शाता है।

(B) दिए गए सर्किट में दो $AND$ गेट,एक $OR$ गेट और एक $NOT$ गेट (आउटपुट पर $NOR$ गेट बनाते हुए) शामिल हैं। पहले $AND$ गेट के इनपुट $A$ और $\bar{B}$ हैं। दूसरे $AND$ गेट के इनपुट $\bar{A}$ और $B$ हैं।
$OR$ गेट का आउटपुट $(A \cdot \bar{B} + \bar{A} \cdot B)$ है।
अंतिम आउटपुट $Y$ इसका व्युत्क्रम है,इसलिए $Y = \overline{(A \cdot \bar{B} + \bar{A} \cdot B)}$।
डी मॉर्गन प्रमेय का उपयोग करते हुए,$Y = \overline{(A \cdot \bar{B})} \cdot \overline{(\bar{A} \cdot B)} = (\bar{A} + B) \cdot (A + \bar{B})$।
इसका विस्तार करने पर,$Y = \bar{A} \cdot A + \bar{A} \cdot \bar{B} + B \cdot A + B \cdot \bar{B} = 0 + \bar{A} \cdot \bar{B} + A \cdot B + 0 = A \cdot B + \bar{A} \cdot \bar{B}$।
यह एक $XNOR$ गेट के लिए बूलियन व्यंजक है।

$A$	$B$	$Y$
$0$	$0$	$1$
$0$	$1$	$0$
$1$	$0$	$0$
$1$	$1$	$1$

(D) दी गई सर्किट में एक $NAND$ गेट,एक $OR$ गेट और एक $NOT$ गेट है। मान लीजिए इनपुट $A$ और $B$ हैं। $NAND$ गेट का आउटपुट $\overline{A \cdot A} = \overline{A}$ है।
यह आउटपुट $\overline{A}$ और इनपुट $B$ को एक $OR$ गेट में दिया जाता है,जिससे मध्यवर्ती आउटपुट $Z = \overline{A} + B$ प्राप्त होता है।
अंत में,इसे एक $NOT$ गेट से गुजारा जाता है ताकि अंतिम आउटपुट $Y = \overline{Z} = \overline{\overline{A} + B}$ प्राप्त हो सके।
डी मॉर्गन के नियम का उपयोग करते हुए,$\overline{\overline{A} + B} = \overline{\overline{A}} \cdot \overline{B} = A \cdot \overline{B}$।
अब,$Y = A \cdot \overline{B}$ के लिए सत्यता सारणी (truth table) का विश्लेषण करते हैं:
- $t = 0$ से $1$ s के लिए: $A=1, B=0 \implies Y = 1 \cdot \overline{0} = 1 \cdot 1 = 1$।
- $t = 1$ से $2$ s के लिए: $A=1, B=1 \implies Y = 1 \cdot \overline{1} = 1 \cdot 0 = 0$।
- $t = 2$ से $3$ s के लिए: $A=0, B=0 \implies Y = 0 \cdot \overline{0} = 0 \cdot 1 = 0$।
- $t = 3$ से $4$ s के लिए: $A=1, B=1 \implies Y = 1 \cdot \overline{1} = 1 \cdot 0 = 0$।
- $t = 4$ से $5$ s के लिए: $A=1, B=0 \implies Y = 1 \cdot \overline{0} = 1 \cdot 1 = 1$।
इस प्रकार,आउटपुट $Y$,$t = 0$ से $1$ s और $t = 4$ से $5$ s के बीच हाई $(1)$ है,और बाकी समय में लो $(0)$ है। यह विकल्प $D$ में दिखाए गए सिग्नल से मेल खाता है।

(C) दिए गए परिपथ में दो $NAND$ गेट हैं जिनके इनपुट एक साथ जुड़े हुए हैं,जो $NOT$ गेट के रूप में कार्य करते हैं,जिसके बाद एक $AND$ गेट है।
मान लीजिए इनपुट $A$ और $B$ हैं।
दो $NOT$ गेट के आउटपुट $X = \overline{A}$ और $Y = \overline{B}$ हैं।
अंतिम आउटपुट $Z$,$X$ और $Y$ का $AND$ ऑपरेशन है:
$Z = X \cdot Y = \overline{A} \cdot \overline{B}$.
डी मॉर्गन के प्रमेय का उपयोग करते हुए,$\overline{A} \cdot \overline{B} = \overline{A + B}$.
यह एक $NOR$ गेट के लिए बूलियन व्यंजक है।
सत्यता सारणी:

$A, B$	$X, Y$	$Z$
$0, 0$	$1, 1$	$1$
$0, 1$	$1, 0$	$0$
$1, 0$	$0, 1$	$0$
$1, 1$	$0, 0$	$0$

(B) मान लीजिए कि पहले $NOR$ गेट का आउटपुट $C = \overline{A+B}$ है।
यह सिग्नल $C$ क्रमशः इनपुट $A$ और $B$ के साथ अगले दो $NOR$ गेट्स में दिया जाता है।
इन दो गेट्स के आउटपुट $D = \overline{A+C} = \overline{A+\overline{A+B}}$ और $E = \overline{B+C} = \overline{B+\overline{A+B}}$ हैं।
डी मॉर्गन प्रमेय का उपयोग करते हुए,$D = \overline{A} \cdot (A+B) = \overline{A}A + \overline{A}B = 0 + \overline{A}B = \overline{A}B$.
इसी प्रकार,$E = \overline{B} \cdot (A+B) = \overline{B}A + \overline{B}B = A\overline{B} + 0 = A\overline{B}$.
अंतिम आउटपुट $Y$,$D$ और $E$ का $NOR$ है: $Y = \overline{D+E} = \overline{\overline{A}B + A\overline{B}}$.
यह $XOR$ गेट के लिए व्यंजक है,जो $A \oplus B$ है।
$A \oplus B$ के लिए सत्यता सारणी इस प्रकार है:

$A, B$	$Y$
$0, 0$	$0$
$0, 1$	$1$
$1, 0$	$1$
$1, 1$	$0$

(A) दिए गए सर्किट में एक $AND$ गेट,एक $OR$ गेट और एक $NAND$ गेट शामिल है।
$AND$ गेट के इनपुट $A$ और $B$ हैं,इसलिए इसका आउटपुट $A \cdot B$ है।
$OR$ गेट के इनपुट $A$ और $B$ हैं,इसलिए इसका आउटपुट $A + B$ है।
ये दोनों आउटपुट एक $NAND$ गेट में जाते हैं,इसलिए अंतिम आउटपुट $Y$ इस प्रकार है:
$Y = \overline{(A \cdot B) \cdot (A + B)}$
अब,प्रत्येक इनपुट क्रम $(A, B)$ के लिए $Y$ की गणना करते हैं:
$1$. $(0,0)$ के लिए: $Y = \overline{(0 \cdot 0) \cdot (0 + 0)} = \overline{0 \cdot 0} = \overline{0} = 1$
$2$. $(0,1)$ के लिए: $Y = \overline{(0 \cdot 1) \cdot (0 + 1)} = \overline{0 \cdot 1} = \overline{0} = 1$
$3$. $(1,0)$ के लिए: $Y = \overline{(1 \cdot 0) \cdot (1 + 0)} = \overline{0 \cdot 1} = \overline{0} = 1$
$4$. $(1,1)$ के लिए: $Y = \overline{(1 \cdot 1) \cdot (1 + 1)} = \overline{1 \cdot 1} = \overline{1} = 0$
अतः,आउटपुट $Y$ का क्रम $1, 1, 1, 0$ है।

(B) परिपथ $(A)$ के लिए:
${V}_{A} = 5\, V \Rightarrow A = 1$,${V}_{A} = 0\, V \Rightarrow A = 0$
${V}_{B} = 5\, V \Rightarrow B = 1$,${V}_{B} = 0\, V \Rightarrow B = 0$
यदि $A = B = 0$ है,तो दोनों डायोड रिवर्स बायस में होते हैं,इसलिए ${V}_{0} = 0\, V$।
यदि $A = 1, B = 0$ है,तो डायोड ${D}_{1}$ फॉरवर्ड बायस में होता है,इसलिए ${V}_{0} = 5\, V$।
यदि $A = 0, B = 1$ है,तो डायोड ${D}_{2}$ फॉरवर्ड बायस में होता है,इसलिए ${V}_{0} = 5\, V$।
यदि $A = 1, B = 1$ है,तो दोनों डायोड फॉरवर्ड बायस में होते हैं,इसलिए ${V}_{0} = 5\, V$।
यह सत्यता सारणी (truth table) $OR$ गेट के अनुरूप है।
परिपथ $(B)$ के लिए:
यह एक कॉमन-एमिटर $npn$ ट्रांजिस्टर विन्यास है।
जब इनपुट वोल्टेज $0\, V$ $(A = 0)$ होता है,तो बेस-एमिटर जंक्शन फॉरवर्ड बायस में नहीं होता है,ट्रांजिस्टर कट-ऑफ में होता है और ${V}_{0} = 5\, V$ (लॉजिक $1$) प्राप्त होता है।
जब इनपुट वोल्टेज $5\, V$ $(A = 1)$ होता है,तो बेस-एमिटर जंक्शन फॉरवर्ड बायस में होता है,ट्रांजिस्टर सैचुरेशन में चला जाता है और ${V}_{0} \approx 0\, V$ (लॉजिक $0$) प्राप्त होता है।
यह इनवर्जन व्यवहार $NOT$ गेट के अनुरूप है।
अतः,ये गेट $OR$ और $NOT$ हैं।

(D) परिपथ में एक $AND$ गेट और एक $NAND$ गेट शामिल है,जिनके आउटपुट को एक $OR$ गेट में भेजा जाता है। मान लीजिए इनपुट $A, B, C$ हैं। $AND$ गेट का आउटपुट $A \cdot B$ है। $NAND$ गेट का आउटपुट $\overline{B \cdot C}$ है। $OR$ गेट का अंतिम आउटपुट $Y = (A \cdot B) + \overline{(B \cdot C)}$ है।
प्रत्येक अंतराल के लिए सत्यता सारणी (truth table) का विश्लेषण:
- अंतराल $0-t_1$: $A=0, B=0, C=1$. $Y = (0 \cdot 0) + \overline{(0 \cdot 1)} = 0 + 1 = 1$.
- अंतराल $t_1-t_2$: $A=1, B=0, C=1$. $Y = (1 \cdot 0) + \overline{(0 \cdot 1)} = 0 + 1 = 1$.
- अंतराल $t_2-t_3$: $A=0, B=1, C=0$. $Y = (0 \cdot 1) + \overline{(1 \cdot 0)} = 0 + 1 = 1$.
- अंतराल $t_3-t_4$: $A=1, B=1, C=0$. $Y = (1 \cdot 1) + \overline{(1 \cdot 0)} = 1 + 1 = 1$.
- अंतराल $t_4-t_5$: $A=0, B=0, C=1$. $Y = (0 \cdot 0) + \overline{(0 \cdot 1)} = 0 + 1 = 1$.
- अंतराल $t_5-t_6$: $A=1, B=0, C=1$. $Y = (1 \cdot 0) + \overline{(0 \cdot 1)} = 0 + 1 = 1$.
चूंकि आउटपुट सभी अंतरालों के लिए $1$ $(5 \text{ V})$ है,इसलिए सही उत्तर एक निरंतर $5 \text{ V}$ सिग्नल है।

(D) दिए गए परिपथ में दो $NAND$ गेट हैं जो $NOT$ गेट के रूप में कार्य कर रहे हैं (क्योंकि उनके इनपुट शॉर्ट किए गए हैं) और उसके बाद एक $NOR$ गेट है।
मान लीजिए इनपुट $A$ और $B$ हैं।
पहले $NAND$ गेट का आउटपुट ($NOT$ के रूप में कार्य करते हुए) $\bar{A}$ है।
दूसरे $NAND$ गेट का आउटपुट ($NOT$ के रूप में कार्य करते हुए) $\bar{B}$ है।
ये दोनों आउटपुट एक $NOR$ गेट में दिए जाते हैं।
$NOR$ गेट का आउटपुट $Y$,$Y = \overline{\bar{A} + \bar{B}}$ द्वारा दिया जाता है।
डी मॉर्गन प्रमेय का उपयोग करते हुए,$\overline{\bar{A} + \bar{B}} = \overline{\bar{A}} \cdot \overline{\bar{B}} = A \cdot B$ प्राप्त होता है।
अतः,यह परिपथ $AND$ संक्रिया करता है।

(B) दिए गए परिपथ में एक $AND$ गेट,एक $NOT$ गेट और एक $OR$ गेट शामिल है।
$AND$ गेट के इनपुट $A$ और $B$ हैं,इसलिए इसका आउटपुट $A \cdot B$ है।
$NOT$ गेट का इनपुट $B$ है,इसलिए इसका आउटपुट $\bar{B}$ है।
ये दोनों आउटपुट एक $OR$ गेट में जाते हैं,इसलिए अंतिम आउटपुट $Y = A \cdot B + \bar{B}$ है।
बूलियन बीजगणित का उपयोग करते हुए,$Y = A \cdot B + \bar{B} = (A + \bar{B}) \cdot (B + \bar{B}) = (A + \bar{B}) \cdot 1 = A + \bar{B}$.
अब,हम सत्यता सारणी बनाते हैं:

$A$	$B$	$A \cdot B$	$\bar{B}$	$Y = A \cdot B + \bar{B}$
$0$	$0$	$0$	$1$	$1$
$0$	$1$	$0$	$0$	$0$
$1$	$0$	$0$	$1$	$1$
$1$	$1$	$1$	$0$	$1$

(B) यह सर्किट दो $NAND$ गेट से बना है जिनके आउटपुट एक $AND$ गेट में जाते हैं। मान लीजिए इनपुट $A$ और $B$ हैं। ऊपरी $NAND$ गेट $A$ और $B$ इनपुट प्राप्त करता है,इसलिए इसका आउटपुट $\overline{A \cdot B}$ है। निचला $NAND$ गेट $\bar{A}$ ($NOT$ गेट से) और $B$ इनपुट प्राप्त करता है,इसलिए इसका आउटपुट $\overline{\bar{A} \cdot B}$ है। अंतिम आउटपुट $C$ इन दो आउटपुट का $AND$ ऑपरेशन है: $C = (\overline{A \cdot B}) \cdot (\overline{\bar{A} \cdot B})$.
डी मॉर्गन प्रमेय का उपयोग करते हुए,$\overline{A \cdot B} = \bar{A} + \bar{B}$ और $\overline{\bar{A} \cdot B} = A + \bar{B}$.
अतः,$C = (\bar{A} + \bar{B}) \cdot (A + \bar{B})$.
वितरण नियम का उपयोग करते हुए,$C = \bar{A}A + \bar{A}\bar{B} + \bar{B}A + \bar{B}\bar{B}$.
चूंकि $\bar{A}A = 0$ और $\bar{B}\bar{B} = \bar{B}$,हमें प्राप्त होता है $C = 0 + \bar{B}(\bar{A} + A) + \bar{B} = \bar{B}(1) + \bar{B} = \bar{B} + \bar{B} = \bar{B}$.
इसलिए,आउटपुट $C$,$B$ का $NOT$ $(\bar{B})$ है।
| $A$ | $B$ | $C$ |
|---|---|---|
| $0$ | $0$ | $1$ |
| $0$ | $1$ | $0$ |
| $1$ | $0$ | $1$ |
| $1$ | $1$ | $0$ |

(A) यह परिपथ दो $NOR$ गेट से बना है जिनके इनपुट शॉर्ट किए गए हैं,जिसके बाद एक और $NOR$ गेट लगा है।
$1$. पहले दो गेट $NOR$ गेट हैं जिनके इनपुट क्रमशः $A$ और $A$,तथा $B$ और $B$ हैं। उनके आउटपुट $\overline{A+A} = \overline{A}$ और $\overline{B+B} = \overline{B}$ हैं।
$2$. इन आउटपुट को अंतिम $NOR$ गेट में भेजा जाता है।
$3$. आउटपुट $Y$ का मान $Y = \overline{\overline{A} + \overline{B}}$ है।
$4$. डी मॉर्गन के नियम का उपयोग करते हुए,$\overline{\overline{A} + \overline{B}} = \overline{\overline{A}} \cdot \overline{\overline{B}} = A \cdot B$ प्राप्त होता है।
$5$. व्यंजक $Y = A \cdot B$ एक $AND$ गेट को दर्शाता है।

(A) लॉजिक गेट की पहचान करने के लिए,हम दिए गए टाइमिंग डायग्राम से ट्रुथ टेबल का विश्लेषण करते हैं:

$A$	$B$	$Y$
$0$	$0$	$0$
$0$	$1$	$1$
$1$	$0$	$1$
$1$	$1$	$1$

ट्रुथ टेबल से,हम देखते हैं कि यदि $A$ या $B$ (या दोनों) में से कोई भी $1$ है,तो आउटपुट $Y$ का मान $1$ प्राप्त होता है। यह $OR$ गेट का विशिष्ट व्यवहार है। $OR$ गेट के लिए व्यंजक $Y = A + B$ है।

(C) इस परिपथ में दो डायोड $D_1$ और $D_2$ हैं जो इनपुट $A$ और $B$ से जुड़े हैं,जिसके बाद एक $npn$ ट्रांजिस्टर लगा है।
यदि दोनों इनपुट $A$ और $B$ निम्न विभव $(0)$ पर हैं,तो डायोड फॉरवर्ड बायस में होते हैं और बिंदु $X$ पर विभव निम्न होता है। ट्रांजिस्टर कट-ऑफ स्थिति में रहता है,इसलिए आउटपुट $Y$ उच्च विभव $(1)$ पर होता है।
यदि $A$ या $B$ में से कोई एक उच्च विभव $(1)$ पर है,तो संबंधित डायोड रिवर्स बायस में होता है,लेकिन दूसरा डायोड या प्रतिरोधक पथ $X$ पर विभव को इतना कम रखता है कि ट्रांजिस्टर बंद रहता है,जिसके परिणामस्वरूप $Y = 1$ प्राप्त होता है।
यदि दोनों $A$ और $B$ उच्च विभव $(1)$ पर हैं,तो $X$ पर विभव इतना बढ़ जाता है कि ट्रांजिस्टर $ON$ हो जाता है। जब ट्रांजिस्टर $ON$ होता है,तो कलेक्टर-एमिटर पथ ग्राउंड के साथ शॉर्ट सर्किट की तरह कार्य करता है,जो आउटपुट $Y$ को निम्न विभव $(0)$ पर खींच लेता है।
यह व्यवहार $NAND$ गेट लॉजिक के अनुरूप है,जहाँ $Y = \overline{AB}$।

(A) दिए गए परिपथ में,यदि इनपुट $A$ या $B$ में से कोई भी $0 \, V$ (तार्किक $0$) पर है,तो संबंधित डायोड ($D_1$ या $D_2$) अग्र-अभिनत (forward-biased) हो जाता है। यह आउटपुट विभव $Y$ को लगभग $0 \, V$ (तार्किक $0$) पर खींच लेता है।
यदि दोनों इनपुट $A$ और $B$ $5 \, V$ (तार्किक $1$) पर हैं,तो दोनों डायोड पश्च-अभिनत (reverse-biased) हो जाते हैं। डायोड से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है,और आउटपुट $Y$ प्रतिरोध $R$ के माध्यम से $5 \, V$ (तार्किक $1$) पर खिंच जाता है।
यह व्यवहार $AND$ गेट के अनुरूप है,जहाँ आउटपुट $1$ तभी होता है जब दोनों इनपुट $1$ हों। सत्यता सारणी इस प्रकार है:

$A$	$B$	$Y$
$0$	$0$	$0$
$0$	$1$	$0$
$1$	$0$	$0$
$1$	$1$	$1$

(A) दिए गए वोल्टेज वेवफॉर्म का विश्लेषण करके,हम इनपुट $A, B$ और आउटपुट $Y$ के लिए सत्यता सारणी (Truth Table) बना सकते हैं:

$A$	$B$	$Y$
$0$	$0$	$0$
$0$	$1$	$0$
$1$	$0$	$0$
$1$	$1$	$1$

इस सत्यता सारणी की तुलना मानक लॉजिक गेट्स के साथ करने पर:
- $AND$ गेट के लिए,आउटपुट केवल तब $1$ होता है जब दोनों इनपुट $1$ हों।
- देखी गई सत्यता सारणी $AND$ गेट के व्यवहार से बिल्कुल मेल खाती है।
इसलिए,लॉजिक गेट $AND$ गेट है।

(D) बूलियन बीजगणित के वितरण नियम का उपयोग करते हुए,व्यंजक को इस प्रकार सरल किया जा सकता है:
$P + \overline{P}Q = (P + \overline{P}) \cdot (P + Q)$
चूँकि $(P + \overline{P}) = 1$,व्यंजक बन जाता है:
$1 \cdot (P + Q) = P + Q$
व्यंजक $P + Q$ एक $OR$ गेट के आउटपुट को दर्शाता है।
वैकल्पिक रूप से,हम सत्यता सारणी बना सकते हैं:

$P$	$Q$	$\overline{P}$	$\overline{P}Q$	$P + \overline{P}Q$
$0$	$0$	$1$	$0$	$0$
$1$	$0$	$0$	$0$	$1$
$0$	$1$	$1$	$1$	$1$
$1$	$1$	$0$	$0$	$1$

$P + \overline{P}Q$ के लिए आउटपुट कॉलम $OR$ गेट की सत्यता सारणी से मेल खाता है। अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) $1$. यह परिपथ एक $OR$ गेट,एक $NOT$ गेट और एक $AND$ गेट से बना है।
$2$. $OR$ गेट के इनपुट $A$ और $B$ हैं,इसलिए इसका आउटपुट $Y' = A + B$ है।
$3$. इनपुट $B$ को एक $NOT$ गेट से गुजारा जाता है,इसलिए इसका आउटपुट $\overline{B}$ है।
$4$. $AND$ गेट $Y'$ और $\overline{B}$ को इनपुट के रूप में लेता है।
$5$. इसलिए,अंतिम आउटपुट $D = Y' \cdot \overline{B} = (A + B) \cdot \overline{B}$ है।

(B) दिए गए परिपथ में,स्विच $A_1$ और $B_1$ समानांतर क्रम में जुड़े हुए हैं। आउटपुट $Y$ को ग्राउंड से जुड़े प्रतिरोधक के सिरों पर लिया जाता है।
जब दोनों स्विच $A_1$ और $B_1$ खुले होते हैं (लॉजिक $0$),तो आउटपुट $Y$ $+5 \text{V}$ (लॉजिक $1$) से जुड़ा होता है।
जब $A_1$ या $B_1$ में से कोई एक बंद होता है (लॉजिक $1$),तो आउटपुट $Y$ $+5 \text{V}$ (लॉजिक $1$) पर ही रहता है।
जब दोनों स्विच $A_1$ और $B_1$ बंद होते हैं (लॉजिक $1$),तो परिपथ ग्राउंड के साथ शॉर्ट हो जाता है और आउटपुट $Y$ $0 \text{V}$ (लॉजिक $0$) हो जाता है।
सत्यता सारणी इस प्रकार है:
| $A_1$ | $B_1$ | $Y$ |
|---|---|---|
| $0$ | $0$ | $1$ |
| $0$ | $1$ | $1$ |
| $1$ | $0$ | $1$ |
| $1$ | $1$ | $0$ |
यह सत्यता सारणी $NAND$ गेट के अनुरूप है,जहाँ $Y = \overline{A_1 \cdot B_1}$।

(C) दिए गए परिपथ में दो $NOT$ गेट,दो $AND$ गेट और एक $OR$ गेट शामिल हैं। मान लीजिए इनपुट $A$ और $B$ हैं।
$1$. ऊपरी $AND$ गेट को $\bar{A}$ और $B$ इनपुट मिलते हैं। इसका आउटपुट $Y_1 = \bar{A} \cdot B$ है।
$2$. निचले $AND$ गेट को $A$ और $\bar{B}$ इनपुट मिलते हैं। इसका आउटपुट $Y_2 = A \cdot \bar{B}$ है।
$3$. अंतिम $OR$ गेट इन आउटपुट को जोड़ता है: $X = Y_1 + Y_2 = \bar{A}B + A\bar{B}$।
यह एक $XOR$ गेट के लिए बूलियन व्यंजक है।
$XOR$ गेट के लिए सत्यता सारणी इस प्रकार है:
- यदि $A=0, B=0$ है,तो $X = 0 \cdot 0 + 0 \cdot 1 = 0$।
- यदि $A=0, B=1$ है,तो $X = 1 \cdot 1 + 0 \cdot 0 = 1$।
- यदि $A=1, B=0$ है,तो $X = 0 \cdot 0 + 1 \cdot 1 = 1$।
- यदि $A=1, B=1$ है,तो $X = 0 \cdot 1 + 1 \cdot 0 = 0$।
अतः,सही सत्यता सारणी वह है जिसमें $X=1$ केवल तब होता है जब $A$ और $B$ अलग-अलग होते हैं,जो विकल्प $C$ के अनुरूप है।

(D) इस सर्किट में दो $NAND$ गेट्स $NOT$ गेट के रूप में (क्योंकि दोनों इनपुट एक साथ जुड़े हुए हैं) और उसके बाद एक $NAND$ गेट शामिल है।
$1$. $A$ और $A$ इनपुट वाला पहला $NAND$ गेट $Y_1 = \overline{A \cdot A} = \overline{A}$ आउटपुट देता है।
$2$. $B$ और $B$ इनपुट वाला दूसरा $NAND$ गेट $Y_2 = \overline{B \cdot B} = \overline{B}$ आउटपुट देता है।
$3$. अंतिम $NAND$ गेट $Y_1$ और $Y_2$ को इनपुट के रूप में लेता है,इसलिए अंतिम आउटपुट $Y = \overline{Y_1 \cdot Y_2} = \overline{\overline{A} \cdot \overline{B}}$ होता है।
$4$. डी मॉर्गन के प्रमेय का उपयोग करते हुए,$\overline{\overline{A} \cdot \overline{B}} = \overline{\overline{A}} + \overline{\overline{B}} = A + B$ प्राप्त होता है।
$5$. इस प्रकार,यह सर्किट $OR$ गेट के रूप में कार्य करता है।
$6$. इनपुट वेवफॉर्म का विश्लेषण करने पर:
- $t < t_1$ के लिए: $A=0, B=0 \implies Y = 0+0 = 0$.
- $t_1 < t < t_2$ के लिए: $A=1, B=0 \implies Y = 1+0 = 1$.
- $t_2 < t < t_3$ के लिए: $A=1, B=1 \implies Y = 1+1 = 1$.
- $t_3 < t < t_4$ के लिए: $A=0, B=1 \implies Y = 0+1 = 1$.
- $t_4 < t < t_5$ के लिए: $A=0, B=0 \implies Y = 0+0 = 0$.
- $t_5 < t < t_6$ के लिए: $A=1, B=0 \implies Y = 1+0 = 1$.
- $t > t_6$ के लिए: $A=0, B=0 \implies Y = 0+0 = 0$.
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,वेवफॉर्म विकल्प $D$ से मेल खाता है।

(D) दिया गया परिपथ चार $NAND$ गेट से बना है। मान लीजिए इनपुट $A$ और $B$ हैं।
$1$. पहला $NAND$ गेट (ऊपर वाला) $A$ और बीच वाले $NAND$ गेट के आउटपुट को इनपुट के रूप में लेता है। बीच वाले गेट का आउटपुट $C = \overline{A \cdot B}$ है।
$2$. ऊपर वाले $NAND$ गेट का आउटपुट $Y_1 = \overline{A \cdot C} = \overline{A \cdot (\overline{A \cdot B})} = \overline{A} + B$ होता है।
$3$. इसी प्रकार, नीचे वाले $NAND$ गेट का आउटपुट $Y_2 = \overline{B \cdot C} = \overline{B \cdot (\overline{A \cdot B})} = \overline{B} + A$ होता है।
$4$. अंतिम $NAND$ गेट का आउटपुट $Y = \overline{Y_1 \cdot Y_2} = \overline{(\overline{A} + B) \cdot (\overline{B} + A)} = A \oplus B$ होता है।
इस प्रकार, यह परिपथ एक $XOR$ गेट को दर्शाता है। $XOR$ गेट के लिए सत्यता सारणी विकल्प $D$ में दी गई है।

(A) दिए गए परिपथ में,दो स्विच $LED$ के साथ समानांतर क्रम में जुड़े हुए हैं। $LED$ तब जलता है जब इसमें से विद्युत धारा प्रवाहित होती है,जो तब होता है जब कम से कम एक स्विच बंद $(1)$ हो। यदि दोनों स्विच खुले $(0)$ हैं,तो परिपथ अधूरा रहता है और $LED$ नहीं जलता है $(0)$।

$A$	$B$	$LED$
$0$	$0$	$0$
$0$	$1$	$1$
$1$	$0$	$1$
$1$	$1$	$1$

यह सत्यता सारणी $OR$ गेट के अनुरूप है।

(B) दिए गए परिपथ में,स्विच $A$ और $B$ को एक प्रतिरोधक $R$ के माध्यम से ग्राउंड के साथ समानांतर में जोड़ा गया है। आउटपुट $Y$ को प्रतिरोधक $R$ के सिरों पर लिया जाता है।
जब दोनों स्विच $A$ और $B$ खुले होते हैं (लॉजिक $0$),तो $+5 \text{V}$ स्रोत से धारा प्रतिरोधक $R$ से होकर बहती है,जिससे $LED$ जलती है (लॉजिक $1$)।
जब स्विच $A$ या स्विच $B$ (या दोनों) बंद होते हैं (लॉजिक $1$),तो धारा सीधे ग्राउंड हो जाती है और प्रतिरोधक $R$ से कोई धारा नहीं बहती है,इसलिए $LED$ नहीं जलती है (लॉजिक $0$)।
सत्यता सारणी (Truth Table) इस प्रकार है:
$A=0, B=0 \Rightarrow Y=1$
$A=0, B=1 \Rightarrow Y=0$
$A=1, B=0 \Rightarrow Y=0$
$A=1, B=1 \Rightarrow Y=0$
यह सत्यता सारणी $NOR$ गेट के अनुरूप है।

(D) दिए गए सर्किट में इनपुट पर दो $NAND$ गेट हैं और उसके बाद एक और $NAND$ गेट है। मान लीजिए इनपुट $A$ और $B$ हैं। पहले दो $NAND$ गेट का आउटपुट क्रमशः $\overline{A}$ और $\overline{B}$ है (क्योंकि वे $NOT$ गेट के रूप में कार्य करते हैं)। अंतिम $NAND$ गेट $\overline{A}$ और $\overline{B}$ को इनपुट के रूप में लेता है। आउटपुट $Y$,$Y = \overline{\overline{A} \cdot \overline{B}}$ द्वारा दिया जाता है। डी मॉर्गन के प्रमेय के अनुसार,$Y = \overline{\overline{A}} + \overline{\overline{B}} = A + B$। इस प्रकार,यह सर्किट $OR$ गेट के रूप में कार्य करता है।
वेवफॉर्म का विश्लेषण:
$t=0$ से $1$ के लिए: $A=0, B=0 \implies Y = 0+0 = 0$।
$t=1$ से $2$ के लिए: $A=0, B=1 \implies Y = 0+1 = 1$।
$t=2$ से $3$ के लिए: $A=1, B=0 \implies Y = 1+0 = 1$।
$t=3$ से $4$ के लिए: $A=1, B=1 \implies Y = 1+1 = 1$।
अतः,आउटपुट $Y$,$t=0$ से $1$ तक $0$ है और $t=1$ से $4$ तक $1$ है।

(A) इस परिपथ में इनपुट पर $NOT$ गेट के रूप में उपयोग किए गए दो $NOR$ गेट हैं,जिसके बाद आउटपुट पर एक $NOR$ गेट है।
इनपुट $a$ को एक $NOR$ गेट में दिया जाता है जिसके दोनों इनपुट एक साथ जुड़े हुए हैं,जिसके परिणामस्वरूप आउटपुट $\bar{a}$ प्राप्त होता है।
इनपुट $b$ को एक $NOR$ गेट में दिया जाता है जिसके दोनों इनपुट एक साथ जुड़े हुए हैं,जिसके परिणामस्वरूप आउटपुट $\bar{b}$ प्राप्त होता है।
इन आउटपुट $\bar{a}$ और $\bar{b}$ को फिर एक अंतिम $NOR$ गेट में दिया जाता है।
अंतिम आउटपुट $Y = \overline{\bar{a} + \bar{b}}$ द्वारा दिया जाता है।
डी मॉर्गन के प्रमेय का उपयोग करते हुए,$\overline{\bar{a} + \bar{b}} = \overline{\bar{a}} \cdot \overline{\bar{b}} = a \cdot b$।
यह $AND$ गेट के लिए बूलियन व्यंजक है।
अतः,यह परिपथ $AND$ गेट के समतुल्य है।

(A) सर्किट के इनपुट $A$ और $B$ हैं।
$OR$ गेट का आउटपुट $(A+B)$ है।
$AND$ गेट का आउटपुट $(A \cdot B)$ है।
ये दोनों आउटपुट एक $NAND$ गेट में जाते हैं,जो आउटपुट $Z = \overline{(A+B) \cdot (A \cdot B)}$ उत्पन्न करता है।
यह आउटपुट $Z$ फिर एक $NOT$ गेट से होकर गुजरता है,जिससे अंतिम आउटपुट $Y = \bar{Z} = \overline{\overline{(A+B) \cdot (A \cdot B)}} = (A+B) \cdot (A \cdot B)$ प्राप्त होता है।
बूलियन बीजगणित के वितरण नियम का उपयोग करते हुए,$(A+B) \cdot (A \cdot B) = (A \cdot A \cdot B) + (B \cdot A \cdot B) = (A \cdot B) + (A \cdot B) = A \cdot B$।
अतः,$Y = A \cdot B$,जो $AND$ गेट के लिए बूलियन व्यंजक है।

(B) इस परिपथ में दो $OR$ गेट और उसके बाद एक $NAND$ गेट है। आरेख को ध्यान से देखने पर, ऊपर वाला गेट $NOR$ गेट है और नीचे वाला गेट $OR$ गेट है। इसलिए, ऊपर वाले गेट का आउटपुट $Y_1 = \overline{A+B}$ है। नीचे वाले गेट का आउटपुट $Y_2 = B+B = B$ है। अंतिम गेट एक $NAND$ गेट है, इसलिए आउटपुट $Y = \overline{Y_1 \cdot Y_2} = \overline{\overline{(A+B)} \cdot B} = (A+B) + \bar{B} = A + B + \bar{B} = A + 1 = 1$ है। इस प्रकार, इनपुट $A$ और $B$ कुछ भी हों, आउटपुट $Y$ हमेशा $1$ रहता है।

(D) $NAND$ गेट केवल तभी लो आउटपुट $(0)$ देता है जब दोनों इनपुट हाई $(1)$ हों। अन्यथा, यह हाई आउटपुट $(1)$ देता है। $NAND$ गेट के लिए सत्यता सारणी (truth table) इस प्रकार है:
| $A$ | $B$ | $Y = \overline{A \cdot B}$ |
|---|---|---|
| $0$ | $0$ | $1$ |
| $0$ | $1$ | $1$ |
| $1$ | $0$ | $1$ |
| $1$ | $1$ | $0$ |
विभिन्न समय अंतरालों पर $A$ और $B$ के लिए इनपुट वेवफॉर्म का विश्लेषण करने पर:
$1$. पहले अंतराल के लिए, $A=1, B=1$, इसलिए $Y=0$ है।
$2$. दूसरे अंतराल के लिए, $A=0, B=0$, इसलिए $Y=1$ है।
$3$. तीसरे अंतराल के लिए, $A=0, B=1$, इसलिए $Y=1$ है।
$4$. चौथे अंतराल के लिए, $A=1, B=0$, इसलिए $Y=1$ है।
$5$. पांचवें अंतराल के लिए, $A=1, B=1$, इसलिए $Y=0$ है।
$6$. छठे अंतराल के लिए, $A=0, B=0$, इसलिए $Y=1$ है।
$7$. सातवें अंतराल के लिए, $A=0, B=1$, इसलिए $Y=1$ है।
इस अनुक्रम $(0, 1, 1, 1, 0, 1, 1)$ की तुलना दिए गए विकल्पों से करने पर, चित्र $D$ में दर्शाया गया वेवफॉर्म इस आउटपुट से मेल खाता है।

(C) दिए गए सर्किट में दो $NOT$ गेट हैं जिसके बाद एक $NAND$ गेट जुड़ा हुआ है।
मान लीजिए इनपुट $A$ और $B$ हैं।
$NOT$ गेट के आउटपुट $\bar{A}$ और $\bar{B}$ प्राप्त होते हैं।
ये $NAND$ गेट के लिए इनपुट के रूप में कार्य करते हैं।
इसलिए,आउटपुट $Y = \overline{\bar{A} \cdot \bar{B}}$ होगा।
डी मॉर्गन के प्रमेय का उपयोग करते हुए,$\overline{\bar{A} \cdot \bar{B}} = \overline{\bar{A}} + \overline{\bar{B}} = A + B$ प्राप्त होता है।
यह $OR$ गेट के लिए बूलियन समीकरण है।
$OR$ गेट के लिए सत्यता सारणी नीचे दी गई है:

$A$	$B$	$Y$
$0$	$0$	$0$
$0$	$1$	$1$
$1$	$0$	$1$
$1$	$1$	$1$

(B) यह सर्किट दो $AND$ गेट,दो $NOT$ गेट और एक $OR$ गेट से बना है।
पहले $AND$ गेट के इनपुट $A$ और $\overline{B}$ हैं,इसलिए इसका आउटपुट $A \cdot \overline{B}$ है।
दूसरे $AND$ गेट के इनपुट $\overline{A}$ और $B$ हैं,इसलिए इसका आउटपुट $\overline{A} \cdot B$ है।
अंतिम $OR$ गेट इन आउटपुट को जोड़कर $Y = A \cdot \overline{B} + \overline{A} \cdot B$ देता है।
यह एक $XOR$ गेट के लिए बूलियन व्यंजक है।
$XOR$ गेट के लिए सत्यता सारणी इस प्रकार है:
- यदि $A=0, B=0$ है,तो $Y=0$ है।
- यदि $A=0, B=1$ है,तो $Y=1$ है।
- यदि $A=1, B=0$ है,तो $Y=1$ है।
- यदि $A=1, B=1$ है,तो $Y=0$ है।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,विकल्प $B$ सही है।

(B) दिए गए परिपथ में दो $AND$ गेट और एक $OR$ गेट शामिल हैं। पहले $AND$ गेट के इनपुट $A$ और $B$ हैं,इसलिए इसका आउटपुट $A \cdot B$ है।
इनपुट $A$ एक $NOT$ गेट से होकर गुजरता है,जिससे यह $\overline{A}$ बन जाता है। यह $\overline{A}$ और इनपुट $B$ दूसरे $AND$ गेट में जाते हैं,इसलिए इसका आउटपुट $\overline{A} \cdot B$ है।
ये दोनों आउटपुट एक $OR$ गेट में जाते हैं,जिससे अंतिम आउटपुट $Y = (A \cdot B) + (\overline{A} \cdot B)$ प्राप्त होता है।
बूलियन बीजगणित का उपयोग करते हुए: $Y = (A + \overline{A}) \cdot B$.
चूंकि $A + \overline{A} = 1$,हमें $Y = 1 \cdot B = B$ प्राप्त होता है।
अतः,आउटपुट $Y$ इनपुट $B$ के बराबर है। $Y = B$ के लिए सत्यता सारणी की जाँच करने पर:
यदि $A=0, B=0$,तो $Y=0$ है।
यदि $A=0, B=1$,तो $Y=1$ है।
यदि $A=1, B=0$,तो $Y=0$ है।
यदि $A=1, B=1$,तो $Y=1$ है।
यह विकल्प $B$ से मेल खाता है।

(C) इस परिपथ में इनपुट $A$ और $B$ से जुड़े दो $NOT$ गेट हैं,जिसके बाद एक $NAND$ गेट लगा है।
$1$. $NAND$ गेट के इनपुट $\overline{A}$ और $\overline{B}$ हैं।
$2$. $NAND$ गेट का आउटपुट $Y$,$Y = \overline{\overline{A} \cdot \overline{B}}$ द्वारा दिया जाता है।
$3$. डी-मॉर्गन के नियम के अनुसार,$\overline{X \cdot Y} = \overline{X} + \overline{Y}$ होता है।
$4$. इस नियम को लागू करने पर: $Y = \overline{\overline{A}} + \overline{\overline{B}} = A + B$ प्राप्त होता है।
$5$. समीकरण $Y = A + B$ एक $OR$ लॉजिक ऑपरेशन को दर्शाता है।

(C) यह परिपथ दो $OR$ गेट से बना है जिनके इनपुट $NOT$ गेट द्वारा संशोधित किए गए हैं,और उनके आउटपुट को एक $NOR$ गेट में भेजा जाता है।
मान लीजिए इनपुट $A$ और $B$ हैं।
ऊपरी $OR$ गेट में $A$ और $\overline{B}$ इनपुट हैं,इसलिए इसका आउटपुट $Y_1 = A + \overline{B}$ है।
निचले $OR$ गेट में $B$ और $\overline{A}$ इनपुट हैं,इसलिए इसका आउटपुट $Y_2 = \overline{A} + B$ है।
इन आउटपुट $Y_1$ और $Y_2$ को एक $NOR$ गेट में भेजा जाता है,इसलिए अंतिम आउटपुट $Y = \overline{Y_1 + Y_2} = \overline{(A + \overline{B}) + (\overline{A} + B)}$ है।
आइए सत्यता सारणी (truth table) बनाएं:
$1$. यदि $A=0, B=0$: $Y_1 = 0 + \overline{0} = 1$,$Y_2 = \overline{0} + 0 = 1$. $Y = \overline{1+1} = 0$.
$2$. यदि $A=1, B=0$: $Y_1 = 1 + \overline{0} = 1$,$Y_2 = \overline{1} + 0 = 0$. $Y = \overline{1+0} = 0$.
$3$. यदि $A=0, B=1$: $Y_1 = 0 + \overline{1} = 0$,$Y_2 = \overline{0} + 1 = 1$. $Y = \overline{0+1} = 0$.
$4$. यदि $A=1, B=1$: $Y_1 = 1 + \overline{1} = 1$,$Y_2 = \overline{1} + 1 = 1$. $Y = \overline{1+1} = 0$.
इस प्रकार,सभी इनपुट के लिए,आउटपुट $Y$ का मान $0$ है।

(D) इस परिपथ में इनपुट $A$ और $B$ से जुड़े दो $NOT$ गेट हैं,जिसके बाद एक $AND$ गेट लगा है।
$1$. $AND$ गेट के इनपुट $\overline{A}$ और $\overline{B}$ हैं।
$2$. $AND$ गेट का आउटपुट $Y$ बूलियन व्यंजक द्वारा दिया जाता है: $Y = \overline{A} \cdot \overline{B}$।
$3$. डी मॉर्गन के नियम के अनुसार,$\overline{A} \cdot \overline{B} = \overline{A + B}$ होता है।
$4$. इसलिए,व्यंजक $Y = \overline{A + B}$ हो जाता है,जो कि $NOR$ गेट का बूलियन व्यंजक है।
अतः,यह परिपथ एक $NOR$ गेट को दर्शाता है।

(B) बल्ब तभी जलेगा जब उसके सिरों पर विभवांतर होगा। इसका मतलब है कि बल्ब का एक सिरा उच्च विभव $(1)$ पर और दूसरा सिरा निम्न विभव $(0)$ पर होना चाहिए।
मान लीजिए $X$ पहले $NOR$ गेट का आउटपुट है,$Y$ $NAND$ गेट का आउटपुट है,और $Z$ प्रतिरोधक से जुड़े अंतिम $NOR$ गेट का आउटपुट है।
$X = \overline{A+A} = \overline{A}$
$Y = \overline{B \cdot C}$
$Z = \overline{X+Y} = \overline{\overline{A} + \overline{B \cdot C}} = A \cdot (B \cdot C) = A \cdot B \cdot C$
मान लीजिए $W$ नीचे वाले $NOR$ गेट का आउटपुट है: $W = \overline{D+D} = \overline{D}$.
बल्ब तब जलता है यदि $Z$ और $W$ के बीच विभवांतर $1$ हो,अर्थात $(Z=1, W=0)$ या $(Z=0, W=1)$ हो।
विकल्प $(B)$ की जाँच करने पर: $A=1, B=0, C=0, D=0$.
$Z = 1 \cdot 0 \cdot 0 = 0$
$W = \overline{0} = 1$
चूंकि $Z=0$ और $W=1$ है,इसलिए विभवांतर मौजूद है,अतः बल्ब जलेगा।

(B) दिए गए सर्किट में एक $OR$ गेट,एक $AND$ गेट और एक अंतिम $OR$ गेट शामिल है।
मान लीजिए इनपुट $A$ और $B$ हैं। तीसरा इनपुट $1$ पर स्थिर है।
पहले $OR$ गेट का आउटपुट $(A + B)$ है।
$AND$ गेट का आउटपुट $(B \cdot 1) = B$ है।
अंतिम आउटपुट $Y$ इन दो आउटपुट का $OR$ ऑपरेशन है:
$Y = (A + B) + B$
बूलियन बीजगणित के नियमों का उपयोग करते हुए,विशेष रूप से आइडेंपोटेंट नियम $(B + B = B)$,हम व्यंजक को सरल बनाते हैं:
$Y = A + (B + B) = A + B$
हम आउटपुट $Y$ को $0$ प्राप्त करना चाहते हैं। $OR$ गेट के लिए,आउटपुट $0$ केवल तभी होता है जब सभी इनपुट $0$ हों।
इसलिए,$A + B = 0$ का अर्थ है $A = 0$ और $B = 0$।
अतः,आउटपुट $0$ तब होता है जब $A = 0$ और $B = 0$ हो।

(B) दिए गए लॉजिक सर्किट में एक $AND$ गेट,एक $NOT$ गेट और एक $OR$ गेट शामिल है।
इनपुट $A$ एक $NOT$ गेट से जुड़ा है,इसलिए इसका आउटपुट $\bar{A}$ है।
इनपुट $A$ और $B$ एक $AND$ गेट से जुड़े हैं,इसलिए इसका आउटपुट $A \cdot B$ है।
ये दोनों आउटपुट फिर एक $OR$ गेट में जाते हैं।
इसलिए,अंतिम आउटपुट $Y$ बूलियन व्यंजक द्वारा दिया जाता है: $Y = \bar{A} + (A \cdot B)$।
बूलियन बीजगणित के वितरण नियम का उपयोग करते हुए,$Y = (\bar{A} + A) \cdot (\bar{A} + B)$।
चूंकि $\bar{A} + A = 1$,हमें $Y = 1 \cdot (\bar{A} + B) = \bar{A} + B$ प्राप्त होता है।
अब,$Y = \bar{A} + B$ के लिए सत्यता सारणी बनाते हैं:
- यदि $A=0, B=0$: $Y = \bar{0} + 0 = 1 + 0 = 1$।
- यदि $A=0, B=1$: $Y = \bar{0} + 1 = 1 + 1 = 1$।
- यदि $A=1, B=0$: $Y = \bar{1} + 0 = 0 + 0 = 0$।
- यदि $A=1, B=1$: $Y = \bar{1} + 1 = 0 + 1 = 1$।
इसे दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,विकल्प $B$ गणना की गई सत्यता सारणी से मेल खाता है।

(C) मान लीजिए इनपुट $A$ और $B$ हैं। इस सर्किट में एक $OR$ गेट,एक $AND$ गेट और दो $NOT$ गेट शामिल हैं।
$1$. ऊपरी भाग में $A$ और $\bar{B}$ इनपुट के साथ एक $OR$ गेट है। इसका आउटपुट $(A + \bar{B})$ है।
$2$. निचले भाग में $B$ और $\bar{A}$ इनपुट के साथ एक $AND$ गेट है। इसका आउटपुट $(B \cdot \bar{A})$ है।
$3$. अंतिम आउटपुट $Y$ इन दो आउटपुट का $AND$ ऑपरेशन है: $Y = (A + \bar{B}) \cdot (B \cdot \bar{A})$.
$4$. इस व्यंजक का विस्तार करने पर: $Y = (A \cdot B \cdot \bar{A}) + (\bar{B} \cdot B \cdot \bar{A})$.
$5$. चूंकि $A \cdot \bar{A} = 0$ और $B \cdot \bar{B} = 0$,इसलिए हमें $Y = 0 + 0 = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,आउटपुट $Y$ हमेशा $0$ रहता है।

(A) दिए गए परिपथ में एक $AND$ गेट,दो $NOT$ गेट,एक अन्य $AND$ गेट और एक $NOR$ गेट शामिल हैं।
मान लीजिए इनपुट $A$ और $B$ हैं। पहले $AND$ गेट का आउटपुट $A \cdot B$ है।
दूसरे $AND$ गेट के इनपुट $\bar{A}$ और $\bar{B}$ हैं,इसलिए इसका आउटपुट $\bar{A} \cdot \bar{B}$ है।
ये दोनों आउटपुट एक $NOR$ गेट में जाते हैं,इसलिए अंतिम आउटपुट $E = \overline{(A \cdot B) + (\bar{A} \cdot \bar{B})}$ है।
$X$ के लिए: $A = 0, B = 1$.
$E = \overline{(0 \cdot 1) + (\bar{0} \cdot \bar{1})} = \overline{0 + (1 \cdot 0)} = \overline{0 + 0} = \overline{0} = 1$. अतः,$X = 1$.
$Y$ के लिए: $A = 1, B = 0$.
$E = \overline{(1 \cdot 0) + (\bar{1} \cdot \bar{0})} = \overline{0 + (0 \cdot 1)} = \overline{0 + 0} = \overline{0} = 1$. अतः,$Y = 1$.
इसलिए,$X$ और $Y$ के मान $1, 1$ हैं।

(C) मान लीजिए कि पहले $NAND$ गेट के इनपुट $A$ और $A$ हैं। आउटपुट $Y_1 = \overline{A \cdot A} = \bar{A}$ है।
मान लीजिए कि $NOR$ गेट के इनपुट $B$ और $B$ हैं। आउटपुट $Y_2 = \overline{B+B} = \bar{B}$ है।
अंतिम गेट एक $NOR$ गेट है जिसके इनपुट $Y_1$ और $Y_2$ हैं। आउटपुट $Y$ इस प्रकार है:
$Y = \overline{Y_1 + Y_2}$
$Y_1$ और $Y_2$ के मान रखने पर:
$Y = \overline{\bar{A} + \bar{B}}$
डी मॉर्गन प्रमेय का उपयोग करते हुए,$\overline{\bar{A} + \bar{B}} = \overline{\bar{A}} \cdot \overline{\bar{B}} = A \cdot B$.
अतः,आउटपुट $Y = A \cdot B$ है,जो कि $AND$ गेट का आउटपुट है।