Boolean Algebra and Logic Gates Questions in Hindi

(C) मान लीजिए कि इनपुट $A$ और $B$ हैं।
पहले दो $NAND$ गेट्स में से प्रत्येक के इनपुट शॉर्ट किए गए हैं,जिससे वे $NOT$ गेट के रूप में कार्य करते हैं।
इसलिए,पहले $NAND$ गेट का आउटपुट $\overline{A}$ है और दूसरे $NAND$ गेट का आउटपुट $\overline{B}$ है।
ये आउटपुट $\overline{A}$ और $\overline{B}$ तीसरे $NAND$ गेट के इनपुट के रूप में दिए जाते हैं।
तीसरे $NAND$ गेट का आउटपुट $Y$,$Y = \overline{(\overline{A} \cdot \overline{B})}$ द्वारा दिया जाता है।
डी मॉर्गन के प्रमेय का उपयोग करते हुए,$\overline{X \cdot Y} = \overline{X} + \overline{Y}$ होता है।
अतः,$Y = \overline{(\overline{A})} + \overline{(\overline{B})} = A + B$।
चूंकि आउटपुट $Y = A + B$ एक $OR$ गेट को दर्शाता है,इसलिए समतुल्य लॉजिक गेट $OR$ है।

(B) इस परिपथ में एक $AND$ गेट,एक $OR$ गेट और एक $NAND$ गेट शामिल है।
मान लीजिए इनपुट $A$ और $B$ हैं।
ऊपरी $AND$ गेट को $A$ और $B$ इनपुट मिलते हैं,इसलिए इसका आउटपुट $Y_1 = A \cdot B$ है।
निचले $OR$ गेट को $B$ और $A$ इनपुट मिलते हैं,इसलिए इसका आउटपुट $Y_2 = B + A$ है।
अंतिम $NAND$ गेट को $Y_1$ और $Y_2$ इनपुट के रूप में मिलते हैं,इसलिए अंतिम आउटपुट $Y = \overline{Y_1 \cdot Y_2} = \overline{(A \cdot B) \cdot (A + B)}$ है।
बूलियन बीजगणित का उपयोग करते हुए: $Y = \overline{(A \cdot B) \cdot A + (A \cdot B) \cdot B} = \overline{(A \cdot B) + (A \cdot B)} = \overline{A \cdot B}$।
यह एक $NAND$ गेट के लिए सत्यता सारणी है:
यदि $A=0, B=0$ है,तो $Y = \overline{0 \cdot 0} = 1$।
यदि $A=0, B=1$ है,तो $Y = \overline{0 \cdot 1} = 1$।
यदि $A=1, B=0$ है,तो $Y = \overline{1 \cdot 0} = 1$।
यदि $A=1, B=1$ है,तो $Y = \overline{1 \cdot 1} = 0$।
इन परिणामों की तुलना दिए गए विकल्पों से करने पर,विकल्प $B$ सही है।

(A) मान लीजिए कि इनपुट $A$ और $B$ हैं।
प्रत्येक इनपुट एक $NOT$ गेट से होकर गुजरता है,इसलिए पहले चरण के $NAND$ गेट के लिए इनपुट $\bar{A}$ और $\bar{B}$ हो जाते हैं।
चूंकि पहले चरण के $NAND$ गेट के दोनों इनपुट एक साथ जुड़े हुए हैं,इसलिए वे $NOT$ गेट के रूप में कार्य करते हैं। इस प्रकार,पहले चरण के आउटपुट $\overline{\bar{A}} = A$ और $\overline{\bar{B}} = B$ प्राप्त होते हैं।
इन आउटपुट $A$ और $B$ को अंतिम $NAND$ गेट में भेजा जाता है।
अंतिम $NAND$ गेट का आउटपुट $Y = \overline{A \cdot B}$ है।
यह $NAND$ गेट के लिए बूलियन व्यंजक है।
इसलिए,यह परिपथ एक $NAND$ गेट के समतुल्य है।

(A) दिए गए परिपथ में दो $NOT$ गेट और उसके बाद एक $NOR$ गेट है।
मान लीजिए कि इनपुट $A$ और $B$ हैं।
दो $NOT$ गेट के आउटपुट $\bar{A}$ और $\bar{B}$ हैं।
ये $NOR$ गेट के लिए इनपुट के रूप में कार्य करते हैं।
$NOR$ गेट का आउटपुट $y = \overline{\bar{A} + \bar{B}}$ द्वारा दिया जाता है।
डी मॉर्गन के प्रमेय का उपयोग करते हुए,$\overline{\bar{A} + \bar{B}} = \overline{\bar{A}} \cdot \overline{\bar{B}} = A \cdot B$ होता है।
व्यंजक $y = A \cdot B$ एक $AND$ गेट को दर्शाता है।
अतः,यह संयोजन एक $AND$ गेट के समतुल्य है।

(C) यह परिपथ एक $NOR$ गेट और उसके बाद एक $AND$ गेट से बना है।
$1$. $NOR$ गेट का आउटपुट $y_1 = \overline{A+B}$ है।
यहाँ $A=0$ और $B=1$ दिया गया है,इसलिए $y_1 = \overline{0+1} = \overline{1} = 0$ होगा।
$2$. $AND$ गेट का आउटपुट $y_2 = y_1 \cdot C$ है।
यहाँ $y_1 = 0$ और $C=1$ है,इसलिए $y_2 = 0 \cdot 1 = 0$ होगा।
अतः,$y_1$ और $y_2$ के मान क्रमशः $0$ और $0$ हैं।

(A) इस सर्किट में $B$ और $C$ इनपुट वाला एक $NAND$ गेट है,और $\overline{A}$ तथा $y_1$ इनपुट वाला एक $NOR$ गेट है।
सबसे पहले,$y_1$ की गणना करें:
$y_1 = \overline{B \cdot C} = \overline{1 \cdot 1} = \overline{1} = 0$.
इसके बाद,$y_2$ की गणना करें:
$NOR$ गेट के इनपुट $\overline{A}$ और $y_1$ हैं।
$\overline{A} = \overline{1} = 0$.
$y_2 = \overline{\overline{A} + y_1} = \overline{0 + 0} = \overline{0} = 1$.
अतः,मान $y_1 = 0$ और $y_2 = 1$ हैं।

(A) चित्र से,$y_1$ एक $NAND$ गेट का आउटपुट है जिसके इनपुट $(A \cdot B)$ और $B$ हैं। अतः,$y_1 = \overline{(A \cdot B) \cdot B}$.
दिया गया है $A=0$ और $B=1$,तो $A \cdot B = 0 \cdot 1 = 0$.
इसलिए,$y_1 = \overline{0 \cdot 1} = \overline{0} = 1$.
$y_2$ एक $NOR$ गेट का आउटपुट है जिसके इनपुट $(B+C)$ और $B$ हैं। अतः,$y_2 = \overline{(B+C) + B}$.
दिया गया है $B=1$ और $C=1$,तो $B+C = 1+1 = 1$.
इसलिए,$y_2 = \overline{1 + 1} = \overline{1} = 0$.
अतः,$y_1$ और $y_2$ के मान क्रमशः $1$ और $0$ हैं।

(C) यह सर्किट एक $NOR$ गेट,एक $AND$ गेट और एक $NAND$ गेट से बना है।
मान लीजिए इनपुट $A$ और $B$ हैं।
$NOR$ गेट का आउटपुट $\overline{A+B}$ है।
$AND$ गेट का आउटपुट $A \cdot B$ है।
ये दोनों आउटपुट एक $NAND$ गेट में जाते हैं।
इसलिए,अंतिम आउटपुट $Y$ इस प्रकार है:
$Y = \overline{(\overline{A+B}) \cdot (A \cdot B)}$
डी मॉर्गन के नियम का उपयोग करते हुए,$\overline{X \cdot Z} = \overline{X} + \overline{Z}$:
$Y = \overline{(\overline{A+B})} + \overline{(A \cdot B)}$
$Y = (A+B) + (\overline{A} + \overline{B})$
$Y = (A + \overline{A}) + (B + \overline{B})$
चूंकि $A + \overline{A} = 1$ और $B + \overline{B} = 1$:
$Y = 1 + 1 = 1$
अतः,इनपुट $(A, B)$ के किसी भी संयोजन के लिए,आउटपुट $Y$ हमेशा $1$ रहता है।

(C) दिए गए परिपथ में दो $NOR$ गेट हैं जो $NOT$ गेट के रूप में कार्य कर रहे हैं,जिसके बाद एक $NOR$ गेट है।
$1$. पहले दो गेट $NOR$ गेट हैं जिनके दोनों इनपुट एक साथ जुड़े हुए हैं। $A$ और $A$ इनपुट वाले $NOR$ गेट का आउटपुट $\overline{A+A} = \overline{A}$ होता है।
$2$. इसी प्रकार,$B$ और $B$ इनपुट वाले दूसरे $NOR$ गेट का आउटपुट $\overline{B+B} = \overline{B}$ होता है।
$3$. इन दोनों आउटपुट को अंतिम $NOR$ गेट में इनपुट के रूप में दिया जाता है।
$4$. अंतिम $NOR$ गेट का आउटपुट $Y = \overline{\overline{A} + \overline{B}}$ है।
$5$. डी मॉर्गन के नियम के अनुसार,$\overline{\overline{A} + \overline{B}} = \overline{\overline{A}} \cdot \overline{\overline{B}} = A \cdot B$ होता है।
$6$. अतः,आउटपुट $Y = A \cdot B$ प्राप्त होता है,जो कि $AND$ गेट का बूलियन व्यंजक है।

(C) यह परिपथ दो $AND$ गेट,एक $NOT$ गेट और एक $OR$ गेट से बना है।
$1$. ऊपरी $AND$ गेट को $A$ और $B$ इनपुट मिलते हैं। इसका आउटपुट $A \cdot B = 1 \cdot 1 = 1$ है।
$2$. निचले $AND$ गेट को भी $A$ और $B$ इनपुट मिलते हैं। इसका आउटपुट $A \cdot B = 1 \cdot 1 = 1$ है।
$3$. निचले $AND$ गेट का आउटपुट $NOT$ गेट से होकर $X$ उत्पन्न करता है। अतः,$X = \overline{A \cdot B} = \overline{1} = 0$ है।
$4$. $OR$ गेट को ऊपरी $AND$ गेट का आउटपुट $(1)$ और $NOT$ गेट का आउटपुट $(X = 0)$ प्राप्त होता है।
$5$. अंतिम आउटपुट $Y$,$OR$ ऑपरेशन का परिणाम है: $Y = 1 + X = 1 + 0 = 1$ है।
अतः,$X$ और $Y$ के मान क्रमशः $0$ और $1$ हैं।

(A) यह निर्धारित करने के लिए कि इनपुट $A=0$ और $B=1$ के लिए कौन सा गेट $0$ आउटपुट देता है,हम प्रत्येक विकल्प के लिए ट्रुथ टेबल का विश्लेषण करते हैं:
$1$. $AND$ गेट: आउटपुट $Y = A \cdot B$ है। $A=0, B=1$ के लिए,$Y = 0 \cdot 1 = 0$। यह शर्त से मेल खाता है।
$2$. $OR$ गेट: आउटपुट $Y = A + B$ है। $A=0, B=1$ के लिए,$Y = 0 + 1 = 1$।
$3$. $X$-$OR$ गेट: आउटपुट $Y = A \oplus B$ है। $A=0, B=1$ के लिए,$Y = 0 \oplus 1 = 1$।
$4$. $NAND$ गेट: आउटपुट $Y = \overline{A \cdot B}$ है। $A=0, B=1$ के लिए,$Y = \overline{0 \cdot 1} = \overline{0} = 1$।
अतः,जब $A=0$ और $B=1$ होता है,तो $AND$ गेट $0$ आउटपुट प्रदान करता है।

(C) दिए गए सर्किट में,तीनों $OR$ गेट के आउटपुट को एक $AND$ गेट के इनपुट के रूप में दिया गया है।
पहले $OR$ गेट के इनपुट $\bar{A}$ और $B$ हैं क्योंकि $A$ से आने वाली इनपुट लाइन पर एक $NOT$ गेट लगा है। अतः,पहले $OR$ गेट का आउटपुट $(\bar{A}+B)$ है।
दूसरे $OR$ गेट के इनपुट $\bar{A}$ और $\bar{C}$ हैं क्योंकि $A$ और $C$ दोनों इनपुट लाइनों पर $NOT$ गेट लगे हैं। अतः,दूसरे $OR$ गेट का आउटपुट $(\bar{A}+\bar{C})$ है।
तीसरे $OR$ गेट के इनपुट $B$ और $\bar{C}$ हैं क्योंकि $C$ से आने वाली इनपुट लाइन पर एक $NOT$ गेट लगा है। अतः,तीसरे $OR$ गेट का आउटपुट $(B+\bar{C})$ है।
चूंकि $AND$ गेट का आउटपुट उसके इनपुट का गुणनफल (तार्किक गुणन) होता है,इसलिए लॉजिक सर्किट का अंतिम आउटपुट $Y$ तीनों $OR$ गेट के आउटपुट का गुणनफल है:
$Y = (\bar{A}+B) \cdot (\bar{A}+\bar{C}) \cdot (B+\bar{C})$.

(A) $1$. पहले $AND$ गेट के इनपुट $1$ और $0$ हैं,इसलिए इसका आउटपुट $1 \cdot 0 = 0$ है।
$2$. पहले $OR$ गेट के इनपुट $0$ और $1$ हैं,इसलिए इसका आउटपुट $0 + 1 = 1$ है।
$3$. दूसरा $OR$ गेट (जो $AND$ गेट और पहले $OR$ गेट से जुड़ा है) के इनपुट $0$ और $1$ हैं,इसलिए इसका आउटपुट $0 + 1 = 1$ है।
$4$. $NAND$ गेट के इनपुट $0$ और $1$ हैं,इसलिए इसका आउटपुट $Y = \overline{0 \cdot 1} = \overline{0} = 1$ है।
$5$. $NOT$ गेट का इनपुट $1$ है,इसलिए इसका आउटपुट $\overline{1} = 0$ है।
$6$. अंतिम $OR$ गेट के इनपुट $Y=1$ और $NOT$ गेट का आउटपुट $0$ है,इसलिए $Z = 1 + 0 = 1$ है।
अतः,$Y=1$ और $Z=1$ है।

(B) यह निर्धारित करने के लिए कि कौन से लॉजिक गेट केवल तभी उच्च आउटपुट $(1)$ देते हैं जब सभी इनपुट निम्न $(0)$ हों, हम दो इनपुट $A$ और $B$ के लिए उनके सत्यता सारणी (truth tables) की जांच करते हैं:
$1$. $NOR$ गेट: आउटपुट $Y = \overline{A+B}$ है। जब $A=0$ और $B=0$ होते हैं, तो $A+B=0$, इसलिए $Y=1$ प्राप्त होता है। किसी अन्य संयोजन के लिए, आउटपुट $0$ होता है।
$2$. $NAND$ गेट: आउटपुट $Y = \overline{AB}$ है। जब $A=0$ और $B=0$ होते हैं, तो $AB=0$, इसलिए $Y=1$ प्राप्त होता है। हालाँकि, $A=0, B=1$ या $A=1, B=0$ के लिए भी आउटपुट $1$ ही होता है।
प्रश्न के अनुसार: "उच्च आउटपुट प्राप्त करने के लिए सभी इनपुट का निम्न होना आवश्यक है"। $NOR$ गेट के लिए, $Y=1$ केवल तभी मिलता है जब $A=0$ और $B=0$ हों। अतः, $NOR$ और $NAND$ को सामान्यतः इस प्रकार के प्रश्नों में सही विकल्प माना जाता है।

(C) मान लीजिए कि इनपुट $A$,$B$,और $C$ हैं। सर्किट $NAND$ गेट्स और $OR$ गेट्स से बनी है।
$1$. ऊपर वाले $NAND$ गेट में इनपुट $A$ दोनों टर्मिनलों से जुड़ा है,इसलिए इसका आउटपुट $\overline{A \cdot A} = \bar{A}$ है।
$2$. बीच वाले दो $NAND$ गेट्स में इनपुट क्रमशः $(A, B)$ और $(B, C)$ हैं,जो $\overline{A \cdot B}$ और $\overline{B \cdot C}$ आउटपुट देते हैं।
$3$. ये दोनों आउटपुट एक $OR$ गेट में जाते हैं,जिसके परिणामस्वरूप $\overline{A \cdot B} + \overline{B \cdot C}$ मिलता है।
$4$. नीचे वाले $NAND$ गेट में इनपुट $C$ दोनों टर्मिनलों से जुड़ा है,इसलिए इसका आउटपुट $\overline{C \cdot C} = \bar{C}$ है।
$5$. अंत में,ये सभी सिग्नल एक $OR$ गेट द्वारा जुड़कर आउटपुट $Y$ देते हैं:
$Y = \bar{A} + (\overline{A \cdot B} + \overline{B \cdot C}) + \bar{C}$
डी मॉर्गन के प्रमेय का उपयोग करते हुए,$\overline{A \cdot B} = \bar{A} + \bar{B}$ और $\overline{B \cdot C} = \bar{B} + \bar{C}$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$Y = \bar{A} + (\bar{A} + \bar{B}) + (\bar{B} + \bar{C}) + \bar{C}$
आइडेंपोटेंट नियम $\bar{A} + \bar{A} = \bar{A}$ का उपयोग करने पर,हमें मिलता है:
$Y = \bar{A} + \bar{B} + \bar{C}$

(B) सत्यता सारणी दर्शाती है कि यदि इनपुट $A$ या इनपुट $B$ (या दोनों) में से कोई भी $1$ है,तो आउटपुट $X$ का मान $1$ प्राप्त होता है।
यह व्यवहार बूलियन व्यंजक $X = A + B$ द्वारा दर्शाया जाता है।
जो लॉजिक गेट यह ऑपरेशन करता है,उसे $OR$ गेट कहा जाता है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(D) वेवफॉर्म के लिए सत्यता सारणी (truth table) इस प्रकार है:

समय अंतराल	$A$	$B$	$Y$
$t_1-t_2$	$0$	$0$	$1$
$t_2-t_3$	$0$	$1$	$1$
$t_3-t_4$	$1$	$0$	$1$
$t_4-t_5$	$1$	$1$	$0$

सत्यता सारणी से हम देखते हैं कि आउटपुट $Y$ केवल तभी $0$ होता है जब दोनों इनपुट $A$ और $B$ का मान $1$ हो। अन्य सभी स्थितियों में,आउटपुट $1$ होता है।
यह व्यवहार बूलियन व्यंजक $Y = \overline{A \cdot B}$ के अनुरूप है।
यह $NAND$ गेट की विशिष्ट सत्यता सारणी है।

(A) परिपथ $(i)$ के लिए: शॉर्ट किए गए इनपुट वाले दो $NAND$ गेट $NOT$ गेट के रूप में कार्य करते हैं। अंतिम $NAND$ गेट के इनपुट $\bar{A}$ और $\bar{B}$ हैं।
आउटपुट $C = \overline{\bar{A} \cdot \bar{B}} = \overline{\bar{A}} + \overline{\bar{B}} = A + B$ है। यह $OR$ गेट के लिए बूलियन व्यंजक है।
परिपथ (ii) के लिए: पहला $NAND$ गेट $\overline{AB}$ उत्पन्न करता है। शॉर्ट किए गए इनपुट वाला दूसरा $NAND$ गेट $NOT$ गेट के रूप में कार्य करता है,जो सिग्नल को उलट देता है।
आउटपुट $C = \overline{\overline{AB}} = AB$ है। यह $AND$ गेट के लिए बूलियन व्यंजक है।

(C) मान लीजिए कि $OR$ गेट का आउटपुट $P = A + B$ है। दिया गया है कि $A = 1$ और $B = 1$,इसलिए $P = 1 + 1 = 1$ प्राप्त होता है।
मान लीजिए कि $NAND$ गेट का आउटपुट $Q = \overline{A \cdot B}$ है। दिया गया है कि $A = 1$ और $B = 1$,इसलिए $Q = \overline{1 \cdot 1} = \overline{1} = 0$ प्राप्त होता है।
अब,$Y_1$ एक $AND$ गेट का आउटपुट है जिसके इनपुट $P$ और $Q$ हैं। अतः,$Y_1 = P \cdot Q = 1 \cdot 0 = 0$ है।
$Y_2$ एक $OR$ गेट का आउटपुट है जिसके इनपुट $P$ और $Q$ हैं। अतः,$Y_2 = P + Q = 1 + 0 = 1$ है।
इसलिए,$Y_1 = 0$ और $Y_2 = 1$ प्राप्त होता है। सही विकल्प $(C)$ है।

(A) लॉजिक गेट्स की संख्या के आधार पर इंटीग्रेटेड सर्किट का वर्गीकरण इस प्रकार है:
$A$. स्मॉल स्केल इंटीग्रेशन $(SSI)$: इसमें $\leq 10$ लॉजिक गेट्स होते हैं। ($III$ से मेल खाता है)
$B$. मीडियम स्केल इंटीग्रेशन $(MSI)$: इसमें $< 100$ लॉजिक गेट्स होते हैं। ($I$ से मेल खाता है)
$C$. लार्ज स्केल इंटीग्रेशन $(LSI)$: इसमें $< 1000$ लॉजिक गेट्स होते हैं। ($IV$ से मेल खाता है)
$D$. वेरी लार्ज स्केल इंटीग्रेशन $(VLSI)$: इसमें $> 1000$ लॉजिक गेट्स होते हैं। ($II$ से मेल खाता है)
अतः,सही मिलान $A-III, B-I, C-IV, D-II$ है.

(D) इस सर्किट में दो $OR$ गेट हैं जिनके आउटपुट को एक $NAND$ गेट में भेजा जाता है। मान लीजिए इनपुट $A$ और $B$ हैं। दोनों $OR$ गेट का आउटपुट $X = A + B$ है। ये $NAND$ गेट के लिए इनपुट हैं। अंतिम आउटपुट $Y$,$Y = \overline{X \cdot X} = \overline{X} = \overline{A + B}$ द्वारा दिया जाता है। यह $NOR$ गेट के लिए बूलियन व्यंजक है। सत्यता सारणी इस प्रकार है:

$A$	$B$	$X = A + B$	$Y = \overline{X \cdot X}$
$0$	$0$	$0$	$1$
$0$	$1$	$1$	$0$
$1$	$0$	$1$	$0$
$1$	$1$	$1$	$0$

(B) यह सर्किट दो शाखाओं से बना है जो एक $NOR$ गेट में जाती हैं। प्रत्येक शाखा में एक $NAND$ गेट है और उसके बाद एक $NOT$ गेट है (जो मिलकर एक $AND$ गेट बनाते हैं)।
मान लीजिए कि ऊपरी शाखा का आउटपुट $Y_1$ है। ऊपरी शाखा में $A$ और $B$ इनपुट एक $NAND$ गेट में जाते हैं,जिसके बाद एक $NOT$ गेट लगा है। यह एक $AND$ गेट के बराबर है। इसलिए,$Y_1 = A \cdot B = 1 \cdot 0 = 0$।
इसी प्रकार,निचली शाखा में $A$ और $B$ इनपुट एक $NAND$ गेट में जाते हैं,जिसके बाद एक $NOT$ गेट लगा है। यह भी एक $AND$ गेट के बराबर है। इसलिए,निचली शाखा का आउटपुट $A \cdot B = 1 \cdot 0 = 0$ है।
अब,$Y_1$ ऊपरी शाखा का आउटपुट है,इसलिए $Y_1 = 0$।
अंतिम गेट एक $NOR$ गेट है जिसके दोनों इनपुट $0$ हैं।
$NOR$ गेट का आउटपुट $Y_2 = \overline{0 + 0} = \overline{0} = 1$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,$Y_1 = 0$ और $Y_2 = 1$।

(C) मान लीजिए कि पहले $NAND$ गेट का आउटपुट $C = \overline{A \cdot B}$ है।
ऊपरी $NAND$ गेट को $A$ और $C$ इनपुट मिलते हैं,इसलिए इसका आउटपुट $Y_1 = \overline{A \cdot C} = \overline{A \cdot (\overline{A \cdot B})} = \overline{A} + (A \cdot B) = \overline{A} + B$ है।
निचले $NAND$ गेट को $B$ और $C$ इनपुट मिलते हैं,इसलिए इसका आउटपुट $Y_2 = \overline{B \cdot C} = \overline{B \cdot (\overline{A \cdot B})} = \overline{B} + (A \cdot B) = \overline{B} + A$ है।
अंतिम आउटपुट $Y$,$Y_1$ और $Y_2$ का $AND$ है,इसलिए $Y = Y_1 \cdot Y_2 = (\overline{A} + B) \cdot (\overline{B} + A)$।
प्रत्येक स्थिति के लिए मूल्यांकन करने पर:
- यदि $A=0, B=1$ है: $Y = (1+1) \cdot (0+0) = 1 \cdot 0 = 0$।
- यदि $A=1, B=0$ है: $Y = (0+0) \cdot (1+1) = 0 \cdot 1 = 0$।
- यदि $A=0, B=0$ है: $Y = (1+0) \cdot (1+0) = 1 \cdot 1 = 1$।
- यदि $A=1, B=1$ है: $Y = (0+1) \cdot (0+1) = 1 \cdot 1 = 1$।
अतः,$c$ $(A=0, B=0)$ और $d$ $(A=1, B=1)$ संयोजनों के लिए $Y=1$ प्राप्त होता है।

(B) यह सर्किट एक $NAND$ गेट, एक $NOR$ गेट और आउटपुट स्टेज पर एक $NOR$ गेट से बना है।
$1$. $NAND$ गेट के इनपुट $1$ और $0$ हैं। $NAND$ गेट का आउटपुट $Y_1 = \overline{1 \cdot 0} = \overline{0} = 1$ होता है।
$2$. $NOR$ गेट के इनपुट $1$ और $0$ हैं। $NOR$ गेट का आउटपुट $Y_2 = \overline{1 + 0} = \overline{1} = 0$ होता है।
$3$. अंतिम $NOR$ गेट के इनपुट $Y_1 = 1$ और $Y_2 = 0$ हैं। अतः इसका आउटपुट $Y_3 = \overline{Y_1 + Y_2} = \overline{1 + 0} = \overline{1} = 0$ होता है।
इस प्रकार, मान $Y_1 = 1, Y_2 = 0, Y_3 = 0$ हैं।

(D) यह परिपथ एक $AND$ गेट और उसके बाद एक $NAND$ गेट से बना है। $AND$ गेट के इनपुट $A$ और $B$ हैं,इसलिए इसका आउटपुट $A \cdot B$ है।
इनपुट $C$ एक $NOT$ गेट से होकर गुजरता है,इसलिए इसका आउटपुट $\bar{C}$ है।
ये दोनों संकेत $NAND$ गेट के इनपुट हैं,जो अंतिम आउटपुट $Y$ उत्पन्न करता है।
अतः,$Y = \overline{(A \cdot B) \cdot \bar{C}}$।
डी मॉर्गन के नियम का उपयोग करते हुए,$Y = \overline{A \cdot B} + \overline{\bar{C}} = \bar{A} + \bar{B} + C$।
आउटपुट $Y$ के शून्य $(Y=0)$ होने के लिए,$\bar{A} + \bar{B} + C = 0$ होना चाहिए।
इसके लिए $\bar{A} = 0$,$\bar{B} = 0$ और $C = 0$ एक साथ होना आवश्यक है।
इसलिए,$A = 1$,$B = 1$ और $C = 0$ प्राप्त होता है।

(D) $NAND$ गेट एक $AND$ गेट और उसके बाद एक $NOT$ गेट के संयोजन से बनता है। $NAND$ गेट के लिए लॉजिक प्रतीक में $AND$ गेट के प्रतीक के आउटपुट पर एक छोटा वृत्त (इंवर्जन बबल) होता है। दिए गए विकल्पों में से,चित्र $D$ में दिया गया प्रतीक आउटपुट पर इंवर्जन बबल के साथ एक $AND$ गेट को दर्शाता है,जो $NAND$ गेट के लिए मानक प्रतीक है। इसलिए,विकल्प $D$ सही है।

(C) डिजिटल संकेत मानों को असतत (discrete) चरणों के रूप में दर्शाते हैं,न कि मानों के एक सतत सेट के रूप में। इसलिए,कथन $(i)$ गलत है,जबकि कथन (ii),(iii),और (iv) सही हैं।
डिजिटल संकेत आमतौर पर आयताकार तरंगों के रूप में होते हैं और अक्सर बाइनरी सिस्टम ($0$ और $1$) का उपयोग करते हैं।

(A) $NOR$ गेट के लिए,आउटपुट बूलियन व्यंजक $Y = \overline{A+B}$ द्वारा दिया जाता है।
यदि कोई भी इनपुट ($A$ या $B$) $1$ है,तो $A+B = 1$ होगा,और आउटपुट $Y = \overline{1} = 0$ प्राप्त होगा।
$NAND$ गेट के लिए,$Y = \overline{AB}$ होता है। यदि एक इनपुट $0$ है,तो आउटपुट $1$ होता है।
$AND$ गेट के लिए,$Y = AB$ होता है। यदि एक इनपुट $0$ है,तो आउटपुट $0$ होता है।
$OR$ गेट के लिए,$Y = A+B$ होता है। यदि एक इनपुट $1$ है,तो आउटपुट $1$ होता है।
अतः,$NOR$ गेट इस शर्त को पूरा करता है।

(B) दिए गए परिपथ में, डायोड इस प्रकार जुड़े हुए हैं कि उनके कैथोड बिंदु $Q$ पर एक साथ जुड़े हैं, जो एक प्रतिरोधक $R$ के माध्यम से $+5 \,V$ आपूर्ति से जुड़ा है。
$1$. यदि दोनों इनपुट $A$ और $B$ $0 \,V$ (लो) पर हैं, तो दोनों डायोड फॉरवर्ड-बायस में होते हैं। $Q$ पर विभव घटकर लगभग $0 \,V$ (लो) हो जाता है。
$2$. यदि एक इनपुट $0 \,V$ पर और दूसरा $+5 \,V$ पर है, तो $0 \,V$ से जुड़ा डायोड फॉरवर्ड-बायस में होता है, जो $Q$ के विभव को खींचकर लगभग $0 \,V$ (लो) पर ले आता है。
$3$. यदि दोनों इनपुट $A$ और $B$ $+5 \,V$ (हाई) पर हैं, तो दोनों डायोड रिवर्स-बायस में होते हैं। डायोड से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है, और प्रतिरोधक $R$ के माध्यम से आपूर्ति के कारण $Q$ पर विभव $+5 \,V$ (हाई) पर बना रहता है。
चूंकि आउटपुट $Q$ केवल तभी हाई होता है जब दोनों इनपुट $A$ और $B$ हाई होते हैं, इसलिए यह परिपथ $AND$ गेट के रूप में कार्य करता है।

(D) आइए सर्किट का चरण-दर-चरण विश्लेषण करें:
$1$. शीर्ष $NAND$ गेट में इनपुट $1$ और $0$ हैं। आउटपुट $(1 \cdot 0)' = 0' = 1$ है।
$2$. मध्य $AND$ गेट में इनपुट $1$ और $1$ हैं। आउटपुट $1 \cdot 1 = 1$ है।
$3$. नीचे वाले $OR$ गेट में इनपुट $0$ और $1$ हैं। आउटपुट $0 + 1 = 1$ है।
$4$. शीर्ष $NOR$ गेट $NAND$ गेट $(1)$ और $AND$ गेट $(1)$ से इनपुट प्राप्त करता है। इसका आउटपुट $y_1 = (1 + 1)' = 1' = 0$ है।
$5$. नीचे वाला $NOR$ गेट $AND$ गेट $(1)$ और $OR$ गेट $(1)$ से इनपुट प्राप्त करता है। इसका आउटपुट $y_2 = (1 + 1)' = 1' = 0$ है।
$6$. अंतिम $AND$ गेट $y_1 = 0$ और $y_2 = 0$ इनपुट प्राप्त करता है। इसका आउटपुट $y_3 = 0 \cdot 0 = 0$ है।
अतः,मान $y_1 = 0, y_2 = 0, y_3 = 0$ हैं।

(D) एक यूनिवर्सल गेट वह लॉजिक गेट है जिसका उपयोग किसी अन्य प्रकार के गेट की आवश्यकता के बिना किसी भी अन्य लॉजिक गेट या बूलियन फ़ंक्शन को लागू करने के लिए किया जा सकता है।
$NAND$ और $NOR$ गेट को यूनिवर्सल गेट के रूप में जाना जाता है।
दिए गए विकल्पों में,$NAND$ एक यूनिवर्सल गेट है।
इसलिए,सही विकल्प $D$ है।

(A) इस परिपथ में एक $NAND$ गेट,एक $NOR$ गेट और एक $AND$ गेट शामिल है।
$1$. $NAND$ गेट के इनपुट $A=1$ और $B=0$ हैं। $NAND$ गेट का आउटपुट $y_1 = \overline{A \cdot B}$ द्वारा दिया जाता है। अतः,$y_1 = \overline{1 \cdot 0} = \overline{0} = 1$.
$2$. $NOR$ गेट के इनपुट $B=0$ और $C=1$ हैं। $NOR$ गेट का आउटपुट $y_2 = \overline{B + C}$ द्वारा दिया जाता है। अतः,$y_2 = \overline{0 + 1} = \overline{1} = 0$.
$3$. $AND$ गेट के इनपुट $y_1=1$ और $y_2=0$ हैं। $AND$ गेट का आउटपुट $y_3 = y_1 \cdot y_2$ द्वारा दिया जाता है। अतः,$y_3 = 1 \cdot 0 = 0$.
इसलिए,मान $y_1=1, y_2=0, y_3=0$ हैं।

(B) यह परिपथ एक $NOR$ गेट से बना है जिसके बाद एक $AND$ गेट और एक $OR$ गेट जुड़े हैं।
मान लीजिए $NOR$ गेट का आउटपुट $C = \overline{A + B}$ है।
दिया गया है कि $A = 1$ और $B = 1$,इसलिए $NOR$ गेट का आउटपुट $C = \overline{1 + 1} = \overline{1} = 0$ होगा।
आउटपुट $y_1$ एक $AND$ गेट का आउटपुट है जिसके इनपुट $A$ और $C$ हैं। अतः,$y_1 = A \cdot C = 1 \cdot 0 = 0$।
आउटपुट $y_2$ एक $OR$ गेट का आउटपुट है जिसके इनपुट $B$ और $C$ हैं। अतः,$y_2 = B + C = 1 + 0 = 1$।
इसलिए,$y_1 = 0$ और $y_2 = 1$ प्राप्त होते हैं।

(B) यह परिपथ एक $NOR$ गेट और एक $NAND$ गेट से बना है।
$1$. $NOR$ गेट के इनपुट $A=1$ और $B=0$ हैं। $NOR$ गेट का आउटपुट $y_2 = \overline{A+B} = \overline{1+0} = \overline{1} = 0$ है।
$2$. $NAND$ गेट के इनपुट $A=1$ और $NOR$ गेट का आउटपुट $y_2=0$ हैं। $NAND$ गेट का आउटपुट $y_1 = \overline{A \cdot y_2} = \overline{1 \cdot 0} = \overline{0} = 1$ है।
अतः,$y_1$ और $y_2$ के मान क्रमशः $1$ और $0$ हैं।

(A) $NAND$ गेट $Y = \overline{A \cdot B}$ ऑपरेशन करता है।
जब इस आउटपुट को $NOT$ गेट में दिया जाता है, तो अंतिम आउटपुट $Y' = \overline{Y} = \overline{(\overline{A \cdot B})}$ हो जाता है।
डबल नेगेशन के नियम के अनुसार, $\overline{(\overline{X})} = X$. इसलिए, $Y' = A \cdot B$.
यह $AND$ गेट के लिए बूलियन समीकरण है।

इनपुट $(A, B)$	$NAND$ आउटपुट $(\overline{A \cdot B})$	$NOT$ आउटपुट $(A \cdot B)$
$0, 0$	$1$	$0$
$0, 1$	$1$	$0$
$1, 0$	$1$	$0$
$1, 1$	$0$	$1$

(A) दिए गए इनपुट $X=1$ और $Y=1$ हैं।
$1$. इनपुट $X$ एक $NOT$ गेट से गुजरता है,इसलिए $OR$ गेट के लिए इनपुट $\bar{X} = 0$ है।
$2$. इनपुट $Y$ सीधे $OR$ गेट से जुड़ा है,इसलिए इनपुट $1$ है।
$3$. $OR$ गेट का आउटपुट $P = \bar{X} + Y = 0 + 1 = 1$ है।
$4$. इनपुट $X$ सीधे $NAND$ गेट से जुड़ा है,इसलिए इनपुट $1$ है।
$5$. इनपुट $Y$ एक $NOT$ गेट से गुजरता है,इसलिए $NAND$ गेट के लिए इनपुट $\bar{Y} = 0$ है।
$6$. $NAND$ गेट का आउटपुट $Q = \overline{X \cdot \bar{Y}} = \overline{1 \cdot 0} = \overline{0} = 1$ है।
$7$. अंत में,$P$ और $Q$ एक $NOR$ गेट के इनपुट हैं जो आउटपुट $R$ देते हैं।
$8$. $R = \overline{P + Q} = \overline{1 + 1} = \overline{1} = 0$ है।
अतः,$P=1, Q=1, R=0$ है।

(A) यह सर्किट दो $NOT$ गेट, दो $AND$ गेट और एक अंतिम $AND$ गेट से बना है।
पहले $AND$ गेट के इनपुट $A$ और $\overline{B}$ हैं, इसलिए इसका आउटपुट $A \cdot \overline{B}$ है।
दूसरे $AND$ गेट के इनपुट $\overline{A}$ और $B$ हैं, इसलिए इसका आउटपुट $\overline{A} \cdot B$ है।
अंतिम आउटपुट $Y$ इन दोनों आउटपुट का $AND$ ऑपरेशन है: $Y = (A \cdot \overline{B}) \cdot (\overline{A} \cdot B)$.
बूलियन बीजगणित के गुणों का उपयोग करते हुए: $Y = A \cdot \overline{A} \cdot B \cdot \overline{B}$.
चूंकि $A \cdot \overline{A} = 0$ और $B \cdot \overline{B} = 0$, इसलिए आउटपुट $Y = 0 \cdot 0 = 0$ सभी इनपुट संयोजनों के लिए प्राप्त होता है।
अतः, आउटपुट $Y$ हमेशा $0$ रहेगा।

(D) $\text{AND}$ गेट का आउटपुट $Y = A \cdot B$ के रूप में लिखा जाता है।
$\text{NAND}$ गेट एक $\text{AND}$ गेट और उसके बाद एक $\text{NOT}$ गेट का संयोजन है। इसलिए,$\text{NAND}$ गेट का आउटपुट $Y = \overline{A \cdot B}$ होता है।
डी मॉर्गन के प्रमेय के अनुसार,$Y = \overline{A} + \overline{B}$ होता है।
$\text{NAND}$ गेट के लिए सत्यता सारणी (Truth Table) नीचे दी गई है:

$A$	$B$	$Y$
$0$	$0$	$1$
$0$	$1$	$1$
$1$	$0$	$1$
$1$	$1$	$0$

दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,जब $A=1$ और $B=1$ होता है,तो आउटपुट $Y=0$ प्राप्त होता है।

(A) मान लीजिए कि इनपुट $A$ और $B$ हैं। इस परिपथ में एक $AND$ गेट और एक $OR$ गेट है,जिनके आउटपुट को एक अंतिम $OR$ गेट में भेजा जाता है।
मान लीजिए $AND$ गेट का आउटपुट $Y_1 = A \cdot B$ है।
मान लीजिए पहले $OR$ गेट का आउटपुट $Y_2 = A + B$ है।
अंतिम आउटपुट $X$,$Y_1$ और $Y_2$ का $OR$ ऑपरेशन है:
$X = Y_1 + Y_2 = (A \cdot B) + (A + B)$.
बूलियन सर्वसमिका $(A \cdot B) + A + B = A + B$ का उपयोग करने पर,हमें $X = A + B$ प्राप्त होता है।
सत्यता सारणी (Truth Table):

$A, B$	$Y_1 = A \cdot B$	$Y_2 = A + B$	$X = Y_1 + Y_2$
$0, 0$	$0$	$0$	$0$
$0, 1$	$0$	$1$	$1$
$1, 0$	$0$	$1$	$1$
$1, 1$	$1$	$1$	$1$

चूंकि आउटपुट $X$,$OR$ गेट की सत्यता सारणी का पालन करता है,इसलिए यह परिपथ $OR$ गेट की तरह व्यवहार करता है।

(D) दिए गए परिपथ में दो बफर (या बफर के रूप में कार्य करने के लिए श्रेणीक्रम में जुड़े दो $NOT$ गेट) और उसके बाद एक $NAND$ गेट है।
$1$. इनपुट $A$ एक बफर से होकर गुजरता है,इसलिए आउटपुट $A$ प्राप्त होता है।
$2$. इनपुट $B$ एक बफर से होकर गुजरता है,इसलिए आउटपुट $B$ प्राप्त होता है।
$3$. इन दोनों आउटपुट $A$ और $B$ को एक $NAND$ गेट में दिया जाता है।
$4$. $A$ और $B$ इनपुट वाले $NAND$ गेट का आउटपुट $Y = \overline{A \cdot B}$ होता है।
$5$. यह $NAND$ गेट की परिभाषा है।
अतः,यह परिपथ एक $NAND$ गेट के समतुल्य है।

(D) दिए गए सर्किट में दो $NAND$ गेट हैं जो $NOT$ गेट के रूप में कार्य कर रहे हैं (क्योंकि उनके इनपुट शॉर्ट किए गए हैं) और उसके बाद एक $NAND$ गेट है।
मान लीजिए इनपुट $A$ और $B$ हैं।
पहले दो $NAND$ गेट इनपुट को इनवर्ट करके $\bar{A}$ और $\bar{B}$ उत्पन्न करते हैं।
अंतिम $NAND$ गेट इन्हें इनपुट के रूप में लेता है,इसलिए आउटपुट $Y = \overline{\bar{A} \cdot \bar{B}}$ द्वारा दिया जाता है।
डी मॉर्गन के प्रमेय का उपयोग करते हुए,$\overline{\bar{A} \cdot \bar{B}} = \overline{\bar{A}} + \overline{\bar{B}} = A + B$।
यह एक $OR$ गेट के लिए बूलियन व्यंजक है।
इसलिए,यह सर्किट एक $OR$ गेट की तरह व्यवहार करता है।

(C) एकीकृत परिपथों $(IC)$ का वर्गीकरण उनमें मौजूद लॉजिक गेट्स या घटकों की संख्या के आधार पर किया जाता है।
$SSI$ (स्मॉल स्केल इंटीग्रेशन) में आमतौर पर $10$ तक लॉजिक गेट होते हैं।
$MSI$ (मीडियम स्केल इंटीग्रेशन) में आमतौर पर $10$ से $100$ के बीच लॉजिक गेट होते हैं।
$LSI$ (लार्ज स्केल इंटीग्रेशन) में आमतौर पर $100$ से $1000$ के बीच लॉजिक गेट होते हैं।
$VLSI$ (वेरी लार्ज स्केल इंटीग्रेशन) में आमतौर पर $1000$ से अधिक लॉजिक गेट होते हैं।
इसलिए,$\leq 1000$ लॉजिक गेट वाले एकीकृत परिपथ को $LSI$ कहा जाता है।

(B) दिया गया सर्किट $OR$ गेट्स की एक श्रृंखला से बना है।
एक $OR$ गेट उच्च आउटपुट $(1)$ देता है यदि उसका कम से कम एक इनपुट उच्च $(1)$ हो।
पहले $OR$ गेट के इनपुट $1$ और $X$ हैं। इसका आउटपुट $1 + X = 1$ होगा।
यह आउटपुट $1$ दूसरे $OR$ गेट के इनपुट के रूप में दिया जाता है,जिसका दूसरा इनपुट $X$ है। इसका आउटपुट भी $1 + X = 1$ होगा।
इस प्रक्रिया को जारी रखते हुए,प्रत्येक बाद वाले $OR$ गेट को अपने एक इनपुट के रूप में $1$ प्राप्त होता है।
चूंकि श्रृंखला में प्रत्येक $OR$ गेट का एक इनपुट $1$ है,इसलिए अंतिम आउटपुट $Y$ हमेशा $1$ होगा,चाहे $X$ का मान कुछ भी हो।

(C) दिए गए लॉजिक परिपथ में एक $NOT$ गेट और एक $OR$ गेट शामिल है।
इनपुट $A$ को एक $NOT$ गेट से गुजारा जाता है,जो आउटपुट $\bar{A}$ उत्पन्न करता है।
यह आउटपुट $\bar{A}$ और इनपुट $B$ को फिर एक $OR$ गेट के इनपुट के रूप में दिया जाता है।
$OR$ गेट के लिए बूलियन व्यंजक उसके इनपुट का योग होता है।
इसलिए,परिपथ का अंतिम आउटपुट $Y = \bar{A} + B$ है।

(D) $NOR$ गेट के लिए बूलियन व्यंजक $Y = \overline{A+B}$ है,जहाँ $A$ और $B$ इनपुट हैं और $Y$ आउटपुट है।
$NOR$ गेट के लिए सत्यता सारणी (Truth table) इस प्रकार है:
| $A$ | $B$ | $Y = \overline{A+B}$ |
|---|---|---|
| $0$ | $0$ | $1$ |
| $0$ | $1$ | $0$ |
| $1$ | $0$ | $0$ |
| $1$ | $1$ | $0$ |
सत्यता सारणी से यह स्पष्ट है कि जब सभी इनपुट ($A$ और $B$) $LOW$ $(0)$ होते हैं,तब $NOR$ गेट का आउटपुट $HIGH$ $(1)$ होता है।

(D) $A=1, B=1$ और $D=1$ की शर्त को संतुष्ट करने के लिए,हम प्रत्येक परिपथ का मूल्यांकन करते हैं:
$(a)$ आउटपुट $D = A \cdot \bar{B} + \bar{A} \cdot B$ है। $A=1, B=1$ के लिए,$D = 1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 = 0$ होता है।
$(b)$ आउटपुट $D = \overline{(\bar{A} + B) + (A + \bar{B})}$ है। $A=1, B=1$ के लिए,$D = \overline{(0 + 1) + (1 + 0)} = \overline{1 + 1} = 0$ होता है।
$(c)$ आउटपुट $D = (A + B) \cdot (\bar{A} + \bar{B}) = A \cdot \bar{B} + \bar{A} \cdot B$ है। $A=1, B=1$ के लिए,$D = 0$ होता है।
$(d)$ आउटपुट $D = A \cdot B + \bar{A} \cdot \bar{B}$ है। $A=1, B=1$ के लिए,$D = 1 \cdot 1 + 0 \cdot 0 = 1 + 0 = 1$ होता है।
अतः,विकल्प $(d)$ में दिया गया परिपथ शर्त को संतुष्ट करता है।