Boolean Algebra and Logic Gates Questions in Gujarati

(B) આપેલા પ્રતીકોનું અવલોકન કરતા:
$(1)$ $NAND$ ગેટ દર્શાવે છે.
$(2)$ $XOR$ ગેટ દર્શાવે છે.
$(3)$ $NOR$ ગેટ દર્શાવે છે.
$(4)$ $NOT$ ગેટ દર્શાવે છે.
તેથી,$XOR$ ગેટ પ્રતીક $2$ દ્વારા અને $NOR$ ગેટ પ્રતીક $3$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) આપેલી લોજિક ગેટની આકૃતિઓનું અવલોકન કરતા:
$(1)$ એ $OR$ ગેટ દર્શાવે છે.
$(2)$ એ $AND$ ગેટ દર્શાવે છે.
$(3)$ એ $NOR$ ગેટ દર્શાવે છે.
$(4)$ એ $NAND$ ગેટ દર્શાવે છે.
તેથી,$OR$,$NOR$ અને $NAND$ ગેટ માટેની સંજ્ઞાઓ અનુક્રમે $1$,$3$ અને $4$ છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) આપેલ સત્યતા કોષ્ટક નીચે મુજબ છે:
$A=0, B=0 \implies X=0$
$A=0, B=1 \implies X=1$
$A=1, B=0 \implies X=1$
$A=1, B=1 \implies X=1$
આ વર્તણૂક $OR$ ગેટને અનુરૂપ છે,જેમાં જો ઇનપુટ $A$ અથવા $B$ માંથી ઓછામાં ઓછું એક $1$ હોય,તો આઉટપુટ $X$ એ $1$ મળે છે. $OR$ ગેટ માટેનું બુલિયન સમીકરણ $X = A + B$ છે.

(B) આપેલ ટ્રુથ ટેબલ નીચે મુજબ છે:
$A=0, B=0 \implies Y=1$
$A=1, B=0 \implies Y=0$
$A=0, B=1 \implies Y=0$
$A=1, B=1 \implies Y=0$
$NOR$ ગેટ માટે,આઉટપુટ બુલિયન સમીકરણ $Y = \overline{A + B}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
દરેક કિસ્સા માટે ગણતરી કરતા:
$1$. $A=0, B=0$ માટે: $Y = \overline{0+0} = \overline{0} = 1$.
$2$. $A=1, B=0$ માટે: $Y = \overline{1+0} = \overline{1} = 0$.
$3$. $A=0, B=1$ માટે: $Y = \overline{0+1} = \overline{1} = 0$.
$4$. $A=1, B=1$ માટે: $Y = \overline{1+1} = \overline{1} = 0$.
આ આપેલ ટ્રુથ ટેબલ સાથે મેળ ખાય છે. તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) આ સત્યતા કોષ્ટક ઇનપુટ $A$ અને $B$ માટે આઉટપુટ $Y$ નીચે મુજબ દર્શાવે છે:
જ્યારે $A=0, B=0$ હોય,ત્યારે $Y=1$.
જ્યારે $A=0, B=1$ હોય,ત્યારે $Y=0$.
જ્યારે $A=1, B=0$ હોય,ત્યારે $Y=0$.
જ્યારે $A=1, B=1$ હોય,ત્યારે $Y=1$.
આ સત્યતા કોષ્ટક $XNOR$ ગેટ માટે છે,જે ફક્ત ત્યારે જ $1$ આઉટપુટ આપે છે જ્યારે બંને ઇનપુટ સમાન હોય.
$XNOR$ ગેટ માટેનું બુલિયન સમીકરણ $Y = A \odot B = \overline{A \oplus B} = \bar{A}\bar{B} + AB$ છે.
કિંમતો તપાસતા:
$1$. $(0, 0)$ માટે: $Y = \bar{0}\cdot\bar{0} + 0\cdot 0 = 1\cdot 1 + 0 = 1$.
$2$. $(0, 1)$ માટે: $Y = \bar{0}\cdot\bar{1} + 0\cdot 1 = 1\cdot 0 + 0 = 0$.
$3$. $(1, 0)$ માટે: $Y = \bar{1}\cdot\bar{0} + 1\cdot 0 = 0\cdot 1 + 0 = 0$.
$4$. $(1, 1)$ માટે: $Y = \bar{1}\cdot\bar{1} + 1\cdot 1 = 0\cdot 0 + 1 = 1$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) આપેલ સર્કિટમાં એક $OR$ ગેટ $(G_1)$ અને ત્યારબાદ એક $NAND$ ગેટ $(G_2)$ જોડાયેલ છે.
ધારો કે $OR$ ગેટનું આઉટપુટ $Y$ છે. તેથી $Y = A + B$.
અંતિમ આઉટપુટ $D$ એ $NAND$ ગેટનું આઉટપુટ છે જેના ઇનપુટ્સ $Y$ અને $C$ છે, તેથી $D = \overline{Y \cdot C} = \overline{(A + B) \cdot C}$.
કિસ્સો $1$: $A = 0, B = 0, C = 0$.
$Y = A + B = 0 + 0 = 0$.
$D = \overline{Y \cdot C} = \overline{0 \cdot 0} = \overline{0} = 1$.
કિસ્સો $2$: $A = 1, B = 1, C = 0$.
$Y = A + B = 1 + 1 = 1$.
$D = \overline{Y \cdot C} = \overline{1 \cdot 0} = \overline{0} = 1$.
આમ, આઉટપુટ સ્થિતિઓ $1, 1$ છે.

(B) બુલિયન બીજગણિત એ બીજગણિતની એક શાખા છે જેમાં ચલના મૂલ્યો સત્ય મૂલ્યો $true$ અને $false$ હોય છે,જેને સામાન્ય રીતે અનુક્રમે $1$ અને $0$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
તે મુખ્યત્વે તર્ક (Logic) પર આધારિત છે,કારણ કે તે આ સત્ય મૂલ્યોને હેન્ડલ કરવા માટે $AND$,$OR$,અને $NOT$ જેવા તાર્કિક કાર્યો સાથે કામ કરે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) લોજિક ગેટ એ એક ઇલેક્ટ્રોનિક સર્કિટ છે જે તાર્કિક નિર્ણયો લે છે.
$A$ ડિજિટલ લોજિક ગેટ એ એક ઇલેક્ટ્રોનિક ઉપકરણ છે જે તેના ઇનપુટ્સ પર હાજર ડિજિટલ સિગ્નલોના વિવિધ સંયોજનોના આધારે તાર્કિક નિર્ણયો લે છે.
ડિજિટલ લોજિક ગેટમાં એક કરતા વધુ ઇનપુટ ($A, B, C$,વગેરે) હોઈ શકે છે,પરંતુ સામાન્ય રીતે માત્ર એક જ ડિજિટલ આઉટપુટ $(Q)$ હોય છે.
વ્યક્તિગત લોજિક ગેટને જોડીને કોમ્બિનેશનલ અથવા સિક્વન્શિયલ સર્કિટ અથવા મોટા લોજિક ગેટ ફંક્શન બનાવી શકાય છે.
લોજિક ગેટ એ ડિજિટલ સર્કિટનો પાયાનો ઘટક છે.
મોટાભાગના લોજિક ગેટમાં બે ઇનપુટ અને એક આઉટપુટ હોય છે.
કોઈપણ સમયે,દરેક ટર્મિનલ બે બાઈનરી સ્થિતિઓમાંથી એકમાં હોય છે: લો $(0)$ અથવા હાઈ $(1)$,જે વિવિધ વોલ્ટેજ સ્તરો દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
તેથી,સાચો જવાબ $A$ છે.

(D) $AND$ ગેટ માટેનું બુલિયન સમીકરણ $R = P \cdot Q$ છે.
સત્યતા કોષ્ટકમાંથી કિંમતો તપાસતા:
જ્યારે $P=1, Q=1$ હોય,ત્યારે $R = 1 \cdot 1 = 1$.
જ્યારે $P=1, Q=0$ હોય,ત્યારે $R = 1 \cdot 0 = 0$.
જ્યારે $P=0, Q=1$ હોય,ત્યારે $R = 0 \cdot 1 = 0$.
જ્યારે $P=0, Q=0$ હોય,ત્યારે $R = 0 \cdot 0 = 0$.
આમ,ગણતરી કરેલ કિંમતો આપેલ સત્યતા કોષ્ટક સાથે મેળ ખાય છે,તેથી આ $AND$ ગેટ છે.

(B) $NAND$ ગેટનો ઉપયોગ કરીને $AND$ ગેટ બનાવવા માટે,આપણે બે $NAND$ ગેટની જરૂર પડે છે.
પ્રથમ,ઇનપુટ્સ $A$ અને $B$ ને પ્રથમ $NAND$ ગેટમાં આપવામાં આવે છે,જે $\overline{A \cdot B}$ આઉટપુટ આપે છે.
આ આઉટપુટ પછી બીજા $NAND$ ગેટમાં આપવામાં આવે છે,જે $NOT$ ગેટ તરીકે કાર્ય કરે છે (કારણ કે તેના ઇનપુટ્સ એકસાથે જોડાયેલા છે).
અંતિમ આઉટપુટ $Y$ નીચે મુજબ મળે છે:
$Y = \overline{(\overline{A \cdot B}) \cdot (\overline{A \cdot B})} = \overline{\overline{A \cdot B}} = A \cdot B$
આમ,$AND$ ગેટ બનાવવા માટે બે $NAND$ ગેટની જરૂર પડે છે.

(C) ચાલો આપેલા ઇનપુટ્સ સાથે દરેક ગેટ માટે આઉટપુટનું વિશ્લેષણ કરીએ:
$(A)$ $AND$ ગેટ માટે,આઉટપુટ $Y = A \cdot B$ છે. $1$ અને $0$ ઇનપુટ સાથે,$Y = 1 \cdot 0 = 0$ મળે.
$(B)$ $NOR$ ગેટ માટે,આઉટપુટ $Y = \overline{A + B}$ છે. $0$ અને $1$ ઇનપુટ સાથે,$Y = \overline{0 + 1} = \overline{1} = 0$ મળે.
$(C)$ $NAND$ ગેટ માટે,આઉટપુટ $Y = \overline{A \cdot B}$ છે. $0$ અને $1$ ઇનપુટ સાથે,$Y = \overline{0 \cdot 1} = \overline{0} = 1$ મળે.
$(D)$ $XNOR$ ગેટ માટે,આઉટપુટ $Y = A \odot B$ (અથવા $\overline{A \oplus B}$) છે. $0$ અને $1$ ઇનપુટ સાથે,$Y = \overline{0 \oplus 1} = \overline{1} = 0$ મળે.
આમ,$NAND$ ગેટ $1$ આઉટપુટ આપે છે.

(A) $NAND$ ગેટ એ $AND$ ગેટ અને ત્યારબાદ $NOT$ ગેટના તાર્કિક સંયોજન તરીકે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે.
ગાણિતિક રીતે,જો ઇનપુટ્સ $A$ અને $B$ હોય,તો $AND$ ગેટનું આઉટપુટ $Y' = A \cdot B$ મળે છે.
આ આઉટપુટને $NOT$ ગેટમાંથી પસાર કરતા અંતિમ આઉટપુટ $Y = \overline{A \cdot B}$ મળે છે.
તેથી,સાચું પ્રતિનિધિત્વ $AND$ ગેટ અને ત્યારબાદ $NOT$ ગેટ છે.

(C) $NOT$ ગેટ એ એક લોજિક ગેટ છે જે તાર્કિક નકાર (logical negation) અમલમાં મૂકે છે. તે ઇનપુટ સિગ્નલને ઉલટાવે છે.
જો ઇનપુટ $A = 0$ હોય,તો આઉટપુટ $X = 1$ મળે છે.
જો ઇનપુટ $A = 1$ હોય,તો આઉટપુટ $X = 0$ મળે છે.
આ વર્તણૂક બુલિયન અભિવ્યક્તિ $X = \bar{A}$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
આપેલ સત્યતા કોષ્ટક સાથે સરખાવતા,તે $NOT$ ગેટની કામગીરી સાથે મેળ ખાય છે.

(B) $AND$ ગેટ માટે,આઉટપુટ $Y$ એ બુલિયન સમીકરણ $Y = A \cdot B$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
આનો અર્થ એ છે કે આઉટપુટ $1$ ત્યારે જ મળે જો બંને ઇનપુટ $A$ અને $B$ ની કિંમત $1$ હોય.
જો કોઈપણ ઇનપુટ $0$ હોય,તો આઉટપુટ $0$ મળશે.
તેથી,આઉટપુટ $1$ ત્યારે જ મળે જ્યારે $A = 1$ અને $B = 1$ હોય.

(B) $NOR$ ગેટ એ $OR$ ગેટ અને $NOT$ ગેટનું સંયોજન છે.
$1$. $A$ અને $B$ ઇનપુટ માટે $OR$ ગેટનું આઉટપુટ $Y = A + B$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$2$. $NOT$ ગેટ આ આઉટપુટને ઉલટાવે છે,જેના પરિણામે $C = \overline{Y}$ મળે છે.
$3$. $OR$ ગેટના આઉટપુટને $NOT$ ગેટના સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $C = \overline{A + B}$ મળે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

$(A)$ આપેલ સંજ્ઞા એક $NAND$ ગેટ દર્શાવે છે જેમાં બે ઇનપુટ $A$ અને $B$ ને જોડીને એક સિંગલ ઇનપુટ બનાવવામાં આવ્યું છે।
$NAND$ ગેટ માટે, આઉટપુટ $Y = \overline{A \cdot B}$ છે।
અહીં ઇનપુટ શોર્ટ કરેલા હોવાથી, $A = B = X$ થાય।
તેથી, આઉટપુટ $Y = \overline{X \cdot X} = \overline{X}$ બને છે।
આ $NOT$ ગેટ માટેનું બુલિયન સમીકરણ છે।
આમ, આ સંયોજન $NOT$ ગેટ તરીકે કાર્ય કરે છે।

(A) આપેલી આકૃતિ $AND$ ગેટ માટેની પ્રમાણિત સંજ્ઞા દર્શાવે છે.
$AND$ ગેટ એ એક ડિજિટલ લોજિક ગેટ છે જે તાર્કિક સંયોજન (logical conjunction) અમલમાં મૂકે છે; તે એવા ટ્રુથ ટેબલ મુજબ વર્તે છે જેમાં આઉટપુટ ત્યારે જ હાઈ $(1)$ મળે છે જો તેના તમામ ઇનપુટ્સ હાઈ $(1)$ હોય.

(B) આપેલ સંજ્ઞામાં એક $OR$ ગેટ છે અને તેના આઉટપુટ પર એક નાનું વર્તુળ (ઇન્વર્ઝન બબલ) છે.
$OR$ ગેટ અને $NOT$ ગેટના આ સંયોજનને $NOR$ ગેટ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) આપેલ સર્કિટમાં એક $OR$ ગેટ અને ત્યારબાદ એક $AND$ ગેટ છે. $OR$ ગેટનું આઉટપુટ $(A + B)$ છે. આ આઉટપુટને ઇનપુટ $C$ સાથે $AND$ ગેટમાં આપવામાં આવે છે. તેથી,આઉટપુટ $Y$ માટેનું બુલિયન સમીકરણ $Y = (A + B) \cdot C$ છે.
આઉટપુટ $Y = 1$ મેળવવા માટે,$AND$ ગેટના બંને ઇનપુટ $1$ હોવા જોઈએ. આનો અર્થ એ છે કે $(A + B) = 1$ અને $C = 1$ હોવું જોઈએ.
$(A + B) = 1$ માટે,$A$ અથવા $B$ માંથી ઓછામાં ઓછું એક $1$ હોવું જોઈએ.
વિકલ્પો તપાસતા:
- વિકલ્પ $A$ માટે: $A=0, B=1, C=0 \implies Y = (0+1) \cdot 0 = 0$.
- વિકલ્પ $B$ માટે: $A=1, B=0, C=0 \implies Y = (1+0) \cdot 0 = 0$.
- વિકલ્પ $C$ માટે: $A=1, B=0, C=1 \implies Y = (1+0) \cdot 1 = 1$.
- વિકલ્પ $D$ માટે: $A=1, B=1, C=0 \implies Y = (1+1) \cdot 0 = 0$.
તેથી,સાચો ઇનપુટ $A = 1, B = 0, C = 1$ છે.

(C) $NAND$ ગેટ માટે ઇનપુટ $A$ અને $B$ હોય,તો તેનું આઉટપુટ $Y$ બુલિયન સમીકરણ $Y = \overline{A \cdot B}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આઉટપુટ $0$ મેળવવા માટે,આપણે $\overline{A \cdot B} = 0$ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $A \cdot B = 1$ હોવું જોઈએ.
આ શરત ત્યારે જ સંતોષાય છે જ્યારે બંને ઇનપુટ $A$ અને $B$ નું મૂલ્ય $1$ હોય.
તેથી,જો $A = 1$ અને $B = 1$ હોય,તો $Y = \overline{1 \cdot 1} = \overline{1} = 0$ મળે છે.

(C) $NOR$ ગેટ માટે, આઉટપુટ ત્યારે જ ઉચ્ચ $(1)$ હોય છે જ્યારે તમામ ઇનપુટ લો $(0)$ હોય.
જો ઇનપુટ $A$ અને $B$ હોય, તો આઉટપુટ $Y = \overline{A+B}$ થાય.
જો $A=0$ અને $B=0$ હોય, તો $Y = \overline{0+0} = \overline{0} = 1$ મળે.
આમ, સાચો ગેટ $NOR$ ગેટ છે.
તેથી, સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) $OR$ ગેટનું આઉટપુટ $Y$ એ બુલિયન સમીકરણ $Y = A + B$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$OR$ ગેટના તર્ક મુજબ,જો ઓછામાં ઓછું એક ઇનપુટ ($A$ અથવા $B$) $1$ હોય,તો આઉટપુટ $1$ મળે છે.
તેથી,જો કોઈ એક ઇનપુટ $1$ હોય અથવા બંને ઇનપુટ $1$ હોય,તો આઉટપુટ $1$ મળે છે.

(A) આપેલી આકૃતિમાં $AND$ ગેટ દર્શાવેલ છે,જેના આઉટપુટ પર એક નાનું વર્તુળ છે,જે ઇન્વર્ઝન ($NOT$ ઓપરેશન) દર્શાવે છે.
$AND$ ગેટ અને $NOT$ ગેટના સંયોજનને $NAND$ ગેટ કહેવામાં આવે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) પ્રથમ,બાઈનરી સંખ્યાઓને દશાંશ પદ્ધતિમાં રૂપાંતરિત કરો:
$(100010)_2 = (1 \times 2^5) + (0 \times 2^4) + (0 \times 2^3) + (0 \times 2^2) + (1 \times 2^1) + (0 \times 2^0) = 32 + 0 + 0 + 0 + 2 + 0 = (34)_{10}$
$(11011)_2 = (1 \times 2^4) + (1 \times 2^3) + (0 \times 2^2) + (1 \times 2^1) + (1 \times 2^0) = 16 + 8 + 0 + 2 + 1 = (27)_{10}$
દશાંશમાં સરવાળો: $(34)_{10} + (27)_{10} = (61)_{10}$
હવે,$(61)_{10}$ ને ફરીથી બાઈનરીમાં રૂપાંતરિત કરો:

$61 \div 2 = 30$	શેષ $1$ $(LSD)$
$30 \div 2 = 15$	શેષ $0$
$15 \div 2 = 7$	શેષ $1$
$7 \div 2 = 3$	શેષ $1$
$3 \div 2 = 1$	શેષ $1$
$1 \div 2 = 0$	શેષ $1$ $(MSD)$

નીચેથી ઉપર તરફ શેષ વાંચતા,આપણને $(111101)_2$ મળે છે.

(D) $NAND$ ગેટ માટે,આઉટપુટ $C$ એ બુલિયન સમીકરણ $C = \overline{A \cdot B}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો તપાસતા:
$1$. $A = 0, B = 0$ માટે: $C = \overline{0 \cdot 0} = \overline{0} = 1$.
$2$. $A = 0, B = 1$ માટે: $C = \overline{0 \cdot 1} = \overline{0} = 1$.
$3$. $A = 1, B = 0$ માટે: $C = \overline{1 \cdot 0} = \overline{0} = 1$.
$4$. $A = 1, B = 1$ માટે: $C = \overline{1 \cdot 1} = \overline{1} = 0$.
આ પરિણામોને આપેલા કોષ્ટક સાથે સરખાવતા,આઉટપુટ $NAND$ ગેટના તર્ક સાથે મેળ ખાય છે.

(B) $OR$ ગેટ $(G_1)$ નું આઉટપુટ $(A + B)$ છે.
$NAND$ ગેટ $(G_2)$ નું આઉટપુટ $\overline{A \cdot B}$ છે.
આ બંને આઉટપુટ $AND$ ગેટ $(G_3)$ માં દાખલ કરવામાં આવે છે,તેથી અંતિમ આઉટપુટ $Y$ છે:
$Y = (A + B) \cdot (\overline{A \cdot B})$
ડી મોર્ગનના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$\overline{A \cdot B} = \bar{A} + \bar{B}$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$Y = (A + B) \cdot (\bar{A} + \bar{B})$
$Y = A \cdot \bar{A} + A \cdot \bar{B} + B \cdot \bar{A} + B \cdot \bar{B}$
કારણ કે $A \cdot \bar{A} = 0$ અને $B \cdot \bar{B} = 0$,તેથી સમીકરણ આ રીતે સરળ બને છે:
$Y = 0 + A \cdot \bar{B} + \bar{A} \cdot B + 0$
$Y = A \cdot \bar{B} + \bar{A} \cdot B$
આ $XOR$ ગેટ માટેનું બુલિયન સમીકરણ છે.

(D) આપેલ સર્કિટમાં ઇનપુટ $A$ અને $B$ પર બે $NOT$ ગેટ ($G_1$ અને $G_2$) છે,ત્યારબાદ એક $NOR$ ગેટ $(G_3)$ અને બીજો $NOT$ ગેટ $(G_4)$ છે.
$1$. $G_1$ અને $G_2$ ના આઉટપુટ અનુક્રમે $\bar{A}$ અને $\bar{B}$ છે.
$2$. આ ઇનપુટ્સ $NOR$ ગેટ $G_3$ માં જાય છે,જે આઉટપુટ આપે છે: $Y' = \overline{\bar{A} + \bar{B}}$.
$3$. ડી મોર્ગનના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$\overline{\bar{A} + \bar{B}} = \overline{\bar{A}} \cdot \overline{\bar{B}} = A \cdot B$.
$4$. આ આઉટપુટ $Y'$ ને અંતિમ $NOT$ ગેટ $G_4$ માંથી પસાર કરવામાં આવે છે,જેના પરિણામે $Y = \overline{Y'} = \overline{A \cdot B}$ મળે છે.
$5$. સમીકરણ $\overline{A \cdot B}$ એ $NAND$ ગેટનું આઉટપુટ દર્શાવે છે.
તેથી,વિકલ્પ $(d)$ સાચો છે.

(B) આ સર્કિટમાં બે $NAND$ ગેટ છે જેના આઉટપુટ $X$ અને $Y$ ને $NOR$ ગેટમાં આપવામાં આવે છે,જેનું આઉટપુટ $Z$ મળે છે.
ઇનપુટ $A, B, C$ છે. $NAND$ ગેટના આઉટપુટ $X = \overline{AB}$ અને $Y = \overline{BC}$ છે.
$NOR$ ગેટનું આઉટપુટ $Z = \overline{X + Y}$ છે.
$X$ અને $Y$ ની કિંમત મૂકતા: $Z = \overline{\overline{AB} + \overline{BC}}$.
ડી મોર્ગનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $Z = \overline{\overline{AB}} \cdot \overline{\overline{BC}} = AB \cdot BC = ABC$.
આમ,આઉટપુટ $Z = ABC$ એ $3$-ઇનપુટ $AND$ ગેટ દર્શાવે છે,તેથી આ સિસ્ટમ $AND$ ગેટને સમાન છે.

(A) આપેલ વેવફોર્મ પરથી,નીચે મુજબનું ટ્રુથ ટેબલ બનાવી શકાય છે:

સમયગાળો	ઇનપુટ $A$	ઇનપુટ $B$	આઉટપુટ $Y$
$0 \to T_1$	$0$	$0$	$0$
$T_1 \to T_2$	$0$	$1$	$0$
$T_2 \to T_3$	$1$	$0$	$0$
$T_3 \to T_4$	$1$	$1$	$1$

આ ટ્રુથ ટેબલની સરખામણી પ્રમાણિત લોજિક ગેટ્સ સાથે કરતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે આઉટપુટ $Y$ ત્યારે જ $1$ મળે છે જ્યારે બંને ઇનપુટ $A$ અને $B$ $1$ હોય. આ વર્તણૂક $AND$ ગેટને અનુરૂપ છે.

(D) નેગેટિવ લોજિક સિસ્ટમમાં,નીચા વોલ્ટેજ સ્તર $(5 \text{ V})$ ને લોજિક સ્ટેટ '$0$' અને ઊંચા વોલ્ટેજ સ્તર $(10 \text{ V})$ ને લોજિક સ્ટેટ '$1$' તરીકે લેવામાં આવે છે.
જોકે,નેગેટિવ લોજિકમાં,અર્થઘટન ઉલટું હોય છે: નીચો સિગ્નલ $(5 \text{ V})$ એ લોજિક '$1$' દર્શાવે છે અને ઊંચો સિગ્નલ $(10 \text{ V})$ એ લોજિક '$0$' દર્શાવે છે.
ચાલો સમયના અક્ષને દરેક $5 \text{ } \mu\text{s}$ ના અંતરાલમાં વિભાજિત કરીએ.
દરેક અંતરાલ માટે વોલ્ટેજ સ્તર નીચે મુજબ છે:
$0-5 \text{ } \mu\text{s}: 5 \text{ V} \rightarrow \text{લોજિક } 1$
$5-10 \text{ } \mu\text{s}: 10 \text{ V} \rightarrow \text{લોજિક } 0$
$10-15 \text{ } \mu\text{s}: 5 \text{ V} \rightarrow \text{લોજિક } 1$
$15-20 \text{ } \mu\text{s}: 10 \text{ V} \rightarrow \text{લોજિક } 0$
$20-25 \text{ } \mu\text{s}: 10 \text{ V} \rightarrow \text{લોજિક } 0$
$25-30 \text{ } \mu\text{s}: 5 \text{ V} \rightarrow \text{લોજિક } 1$
$30-35 \text{ } \mu\text{s}: 10 \text{ V} \rightarrow \text{લોજિક } 0$
$35-40 \text{ } \mu\text{s}: 5 \text{ V} \rightarrow \text{લોજિક } 1$
$40-45 \text{ } \mu\text{s}: 5 \text{ V} \rightarrow \text{લોજિક } 1$
$45-50 \text{ } \mu\text{s}: 5 \text{ V} \rightarrow \text{લોજિક } 1$
આ બધાને જોડતા,આપણને સિક્વન્સ મળે છે: $1010010111$.

(B) ડિજિટલ સિગ્નલ એવા સિગ્નલ છે જે કોઈપણ સમયે અલગ-અલગ (ડિસ્ક્રીટ) કિંમતોના ક્રમ તરીકે ડેટા રજૂ કરે છે.
$(i)$ એનાલોગ સિગ્નલથી વિપરીત,ડિજિટલ સિગ્નલ સતત કિંમતો આપતા નથી; તે અસતત હોય છે.
$(ii)$ તેઓ માહિતીને અલગ-અલગ ચરણમાં (દા.ત.,$0$ અને $1$) દર્શાવે છે.
$(iii)$ ડિજિટલ સિગ્નલ સામાન્ય રીતે બાયનરી પદ્ધતિ ($0$ અને $1$) નો ઉપયોગ કરીને દર્શાવવામાં આવે છે.
$(iv)$ જોકે તેનો ઉપયોગ ડેસિમલ સંખ્યાઓને એન્કોડ કરવા માટે થઈ શકે છે,પરંતુ ડિજિટલ સિગ્નલનું મૂળભૂત સ્વરૂપ બાયનરી છે.
તેથી,વિધાનો $(i), (ii)$ અને $(iii)$ ડિજિટલ સિગ્નલ માટે સાચા છે.

(C) ચાલો દરેક લોજિક ગેટનું વિશ્લેષણ કરીએ:
$(a)$ આ $1$ અને $1$ ઇનપુટ ધરાવતો $NOR$ ગેટ છે. $NOR$ ગેટનું આઉટપુટ $Y = \overline{A+B}$ છે. ઇનપુટ $1, 1$ માટે,$Y = \overline{1+1} = \overline{1} = 0$ થાય.
$(b)$ આ $0$ અને $1$ ઇનપુટ ધરાવતો $NOR$ ગેટ છે. ઇનપુટ $0, 1$ માટે,$Y = \overline{0+1} = \overline{1} = 0$ થાય.
$(c)$ આ $0$ અને $1$ ઇનપુટ ધરાવતો $NAND$ ગેટ છે. $NAND$ ગેટનું આઉટપુટ $Y = \overline{A \cdot B}$ છે. ઇનપુટ $0, 1$ માટે,$Y = \overline{0 \cdot 1} = \overline{0} = 1$ થાય.
$(d)$ આ $0$ અને $0$ ઇનપુટ ધરાવતો $XOR$ ગેટ છે. $XOR$ ગેટનું આઉટપુટ $Y = A \oplus B$ છે. ઇનપુટ $0, 0$ માટે,$Y = 0 \oplus 0 = 0$ થાય.
તેથી,માત્ર ગેટ $(c)$ નું આઉટપુટ $1$ છે.

(B) બુલિયન બીજગણિતમાં,કોઈ ચલ અને તેના પૂરક (complement) વચ્ચેની $OR$ પ્રક્રિયાનું પરિણામ હંમેશા $1$ મળે છે.
કિસ્સો $1$: જો $A = 1$ હોય,તો $\bar{A} = 0$ થાય. તેથી,$A + \bar{A} = 1 + 0 = 1$.
કિસ્સો $2$: જો $A = 0$ હોય,તો $\bar{A} = 1$ થાય. તેથી,$A + \bar{A} = 0 + 1 = 1$.
આમ,$A$ ની કોઈપણ કિંમત માટે,$A + \bar{A} = 1$ થાય છે.

(C) ધારો કે $OR$ ગેટના ઈનપુટ $A$ અને $B$ છે. $OR$ ગેટનું આઉટપુટ $Y_1 = A + B$ મળે છે.
આ આઉટપુટ $Y_1$ ને $NAND$ ગેટના બંને ઈનપુટ સાથે જોડવામાં આવે છે. ધારો કે $NAND$ ગેટના ઈનપુટ $X_1$ અને $X_2$ છે,જ્યાં $X_1 = X_2 = Y_1 = A + B$ છે.
$NAND$ ગેટનું આઉટપુટ $Y = \overline{X_1 \cdot X_2} = \overline{(A + B) \cdot (A + B)} = \overline{A + B}$ મળે છે.
પદાવલિ $\overline{A + B}$ એ $NOR$ ગેટની બુલિયન ક્રિયા દર્શાવે છે.
તેથી,આ સંયોજન $NOR$ ગેટને સમાન છે.

(D) યુનિવર્સલ ગેટ એ એક એવો લોજિક ગેટ છે જેનો ઉપયોગ અન્ય કોઈપણ લોજિક ગેટ અથવા બુલિયન ફંક્શનને અમલમાં મૂકવા માટે થઈ શકે છે.
$NAND$ અને $NOR$ ગેટને યુનિવર્સલ ગેટ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે કારણ કે કોઈપણ મૂળભૂત લોજિક ગેટ (જેમ કે $AND, OR, NOT$) માત્ર $NAND$ ગેટ અથવા માત્ર $NOR$ ગેટનો ઉપયોગ કરીને બનાવી શકાય છે.
તેથી,સાચી જોડી $NAND$ અને $NOR$ છે.

(A) આપેલ પરિપથમાં એક $NOT$ ગેટ અને ત્યારબાદ એક $NOR$ ગેટ છે,જ્યાં $NOR$ ગેટના બંને ઇનપુટ $NOT$ ગેટના આઉટપુટ સાથે જોડાયેલા છે.
$1$. ઇનપુટ $A$ એ $NOT$ ગેટમાંથી પસાર થાય છે,જેનું આઉટપુટ $\bar{A}$ મળે છે.
$2$. આ સિગ્નલ $\bar{A}$ ને $NOR$ ગેટના બંને ઇનપુટમાં આપવામાં આવે છે.
$3$. $X$ અને $Y$ ઇનપુટ ધરાવતા $NOR$ ગેટનું આઉટપુટ $\overline{X + Y}$ થાય છે.
$4$. અહીં,બંને ઇનપુટ $\bar{A}$ છે,તેથી આઉટપુટ $Y = \overline{\bar{A} + \bar{A}}$ થશે.
$5$. બુલિયન બીજગણિતનો ઉપયોગ કરતા,$\bar{A} + \bar{A} = \bar{A}$ થાય છે.
$6$. તેથી,$Y = \overline{\bar{A}} = A$ મળે છે.

(D) $NOR$ ગેટ એ $OR$ ગેટ અને $NOT$ ગેટનું સંયોજન છે.
$OR$ ગેટ માટેનું બુલિયન સમીકરણ $Y = A + B$ છે.
$OR$ ગેટના આઉટપુટ પર $NOT$ ઓપરેશન (ઇન્વર્ઝન) લાગુ કરવાથી,આપણને $NOR$ ગેટ માટેનું સમીકરણ મળે છે:
$Y = \overline{A + B}$

(D) $NAND$ ગેટનો ઉપયોગ કરીને $NOR$ ગેટ નીચે મુજબ બનાવી શકાય છે:
$1$. બે $NAND$ ગેટના ઇનપુટ્સને જોડીને તેમને $NOT$ ગેટ (ઇન્વર્ટર) તરીકે વાપરો.
$2$. ઇનપુટ્સ $A$ અને $B$ ને આ બે $NOT$ ગેટમાં આપતા $\bar{A}$ અને $\bar{B}$ મળે છે.
$3$. $\bar{A}$ અને $\bar{B}$ ને ત્રીજા $NAND$ ગેટના ઇનપુટમાં આપો.
$4$. આ ત્રીજા $NAND$ ગેટનું આઉટપુટ $\overline{\bar{A} \cdot \bar{B}}$ થશે.
$5$. ડી મોર્ગનના નિયમ મુજબ,$\overline{\bar{A} \cdot \bar{B}} = A + B$,જે $OR$ ગેટનું આઉટપુટ છે.
$6$. $NOR$ ગેટ મેળવવા માટે,આપણે આ આઉટપુટને ઇન્વર્ટ કરવું પડે,જેના માટે ચોથા $NAND$ ગેટને $NOT$ ગેટ તરીકે વાપરવો પડે.
$7$. આમ,$NOR$ ગેટ બનાવવા માટે ઓછામાં ઓછા $4$ $NAND$ ગેટની જરૂર પડે છે.

(D) ડિજિટલ ઇલેક્ટ્રોનિક્સમાં,$NAND$ અને $NOR$ ગેટને યુનિવર્સલ ગેટ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. આનું કારણ એ છે કે કોઈપણ મૂળભૂત લોજિક ગેટ (જેમ કે $AND$,$OR$,અથવા $NOT$) માત્ર $NAND$ ગેટ અથવા માત્ર $NOR$ ગેટનો ઉપયોગ કરીને બનાવી શકાય છે. આપેલા વિકલ્પોમાંથી,$NAND$ ગેટ એક યુનિવર્સલ ગેટ છે,જે તેને જટિલ ડિજિટલ સર્કિટ માટે પાયાનો ઘટક બનાવે છે.

(B) $XOR$ (Exclusive $OR$) ગેટ એ એક ડિજિટલ લોજિક ગેટ છે જે એક્સક્લુઝિવ ડિસજંક્શનનો અમલ કરે છે.
તેનું બુલિયન સમીકરણ $Y = A \oplus B$ છે,જે $Y = A\bar{B} + \bar{A}B$ ને સમાન છે.
બે-ઈનપુટ $XOR$ ગેટ માટેનું ટ્રુથ ટેબલ નીચે મુજબ છે:
જો $A=0, B=0$ હોય,તો $Y=0$.
જો $A=0, B=1$ હોય,તો $Y=1$.
જો $A=1, B=0$ હોય,તો $Y=1$.
જો $A=1, B=1$ હોય,તો $Y=0$.
ટ્રુથ ટેબલ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે આઉટપુટ ત્યારે જ $1$ (ઉચ્ચ) મળે છે જ્યારે ઈનપુટ $A$ અને $B$ અલગ હોય.

(C) બુલિયન બીજગણિતમાં,ચલ $A$ માત્ર બે કિંમતો ધારણ કરી શકે છે: $0$ અથવા $1$.
જો $A = 0$ હોય,તો $\overline{A} = 1$ થાય. તેથી,$A + \overline{A} = 0 + 1 = 1$.
જો $A = 1$ હોય,તો $\overline{A} = 0$ થાય. તેથી,$A + \overline{A} = 1 + 0 = 1$.
આમ,$A$ ની કોઈપણ કિંમત માટે,સંબંધ $A + \overline{A} = 1$ હંમેશા સાચો રહે છે.

(D) ડી મોર્ગનના નિયમો મુજબ:
$1$. $\overline{A.B} = \overline{A} + \overline{B}$
$2$. $\overline{A+B} = \overline{A}.\overline{B}$
દરેક વિકલ્પની ચકાસણી કરીએ:
વિકલ્પ $A$: $\overline{\overline{A}.\overline{B}} = \overline{\overline{A}} + \overline{\overline{B}} = A + B$. (સાચું)
વિકલ્પ $B$: $\overline{\overline{A} + \overline{B}} = \overline{\overline{A}} . \overline{\overline{B}} = A.B$. (સાચું)
વિકલ્પ $C$: $\overline{(\overline{A.B}).(\overline{A.B})} = \overline{\overline{A.B}} = A.B$. (સાચું)
વિકલ્પ $D$: $\overline{A} + \overline{A} = \overline{A}$. સમીકરણમાં $\overline{A} + \overline{A} = 1$ આપેલ છે,જે ખોટું છે કારણ કે તે ફક્ત ત્યારે જ સાચું હોય જો $A=0$ હોય. તેથી,વિકલ્પ $D$ એ ખોટું સમીકરણ છે.

(A) આપેલ પરિપથમાં એક $NOR$ ગેટ છે જેની પાછળ બીજો $NOR$ ગેટ જોડાયેલ છે જેના બંને ઇનપુટ એકસાથે જોડાયેલા છે.
$1$. પ્રથમ ગેટ એ $A$ અને $B$ ઇનપુટ વાળો $NOR$ ગેટ છે. તેનું આઉટપુટ $Y_1 = \overline{A+B}$ છે.
$2$. બીજો ગેટ પણ $NOR$ ગેટ છે જેના બંને ઇનપુટ $Y_1$ સાથે જોડાયેલા છે. જ્યારે $NOR$ ગેટના બંને ઇનપુટ એકસાથે જોડાયેલા હોય,ત્યારે તે $NOT$ ગેટ તરીકે કાર્ય કરે છે.
$3$. તેથી,અંતિમ આઉટપુટ $Y = \overline{Y_1} = \overline{(\overline{A+B})} = A+B$ મળે છે.
$4$. બુલિયન સમીકરણ $Y = A+B$ એ $OR$ ગેટ દર્શાવે છે.