Boolean Algebra and Logic Gates Questions in Hindi

(B) दिए गए लॉजिक सर्किट में एक $NOR$ गेट के इनपुट पर दो $NOT$ गेट और आउटपुट पर एक और $NOT$ गेट लगा है।
मान लीजिए इनपुट $A$ और $B$ हैं। पहले दो $NOT$ गेट के आउटपुट $\bar{A}$ और $\bar{B}$ हैं।
ये एक $NOR$ गेट में जाते हैं,इसलिए मध्यवर्ती आउटपुट $Y_1 = \overline{\bar{A} + \bar{B}}$ होगा।
डी मॉर्गन के प्रमेय के अनुसार,$\overline{\bar{A} + \bar{B}} = \overline{\bar{A}} \cdot \overline{\bar{B}} = A \cdot B$ होता है।
अंत में,यह आउटपुट $Y_1$ एक और $NOT$ गेट से गुजरता है,इसलिए अंतिम आउटपुट $Y = \bar{Y_1} = \overline{A \cdot B}$ होगा।
बूलियन व्यंजक $Y = \overline{A \cdot B}$ एक $NAND$ गेट को दर्शाता है।
अतः,दिए गए सर्किट की सत्यता सारणी $NAND$ गेट के समान है।

(D) दी गई सत्य सारणी इस प्रकार है:
- जब इनपुट $A=0, B=0$ होते हैं, तो आउटपुट $Y=1$ होता है।
- जब इनपुट $A=0, B=1$ होते हैं, तो आउटपुट $Y=1$ होता है।
- जब इनपुट $A=1, B=0$ होते हैं, तो आउटपुट $Y=1$ होता है।
- जब इनपुट $A=1, B=1$ होते हैं, तो आउटपुट $Y=0$ होता है।
यह व्यवहार बूलियन व्यंजक $Y = \overline{A \cdot B}$ के अनुरूप है।
यह $NAND$ गेट की विशिष्ट सत्य सारणी है, जिसमें आउटपुट केवल तभी कम $(0)$ होता है जब दोनों इनपुट उच्च $(1)$ होते हैं।
अतः, सही विकल्प $D$ है।

(B) सर्किट का कार्यात्मक रूप निर्धारित करने के लिए,हम इनपुट $(A, B, C)$ और आउटपुट $(Y)$ के बीच के संबंध का विश्लेषण करते हैं।
सत्य सारणी को देखने पर:
- जब $B = 0$ होता है,तो $A$ और $C$ के मानों की परवाह किए बिना आउटपुट $Y = 1$ होता है।
- जब $B = 1$ होता है,तो $A$ और $C$ के मानों की परवाह किए बिना आउटपुट $Y = 0$ होता है।
यह व्यवहार दर्शाता है कि आउटपुट $Y$,इनपुट $A$ और $C$ से स्वतंत्र है और पूरी तरह से इनपुट $B$ पर निर्भर करता है। विशेष रूप से,$Y$,$B$ का लॉजिकल $NOT$ है।
इसलिए,सर्किट का कार्यात्मक रूप $Y = \bar{B}$ है।

(D) दिया गया है:
$(i)$ साइन वेव,$50 \ Hz, 2 \ V$ और स्क्वायर वेव,$100 \ Hz, 6 \ V$.
$(ii)$ साइन वेव,$100 \ Hz, 8 \ V$ और स्क्वायर वेव,$100 \ Hz, 6 \ V$.
एक $AND$ गेट केवल तभी उच्च आउटपुट (लॉजिक $1$) देता है जब दोनों इनपुट लॉजिक $1$ पर हों (अर्थात वोल्टेज $\ge 5 \ V$)।
चित्र $(i)$ में,दोनों इनपुट तरंगों की आवृत्ति अलग-अलग ($50 \ Hz$ और $100 \ Hz$) है। चूंकि आवृत्तियाँ समान नहीं हैं,इसलिए इनपुट स्थिर आउटपुट उत्पन्न करने के लिए समान कला में नहीं रहेंगे,जिसके परिणामस्वरूप $E$ पर कोई सार्थक आउटपुट नहीं मिलेगा।
चित्र $(ii)$ में,दोनों तरंगों की आवृत्ति $100 \ Hz$ समान है। चूंकि वे समान कला में हैं और दोनों $5 \ V$ की सीमा से अधिक हैं,इसलिए $AND$ गेट इन संकेतों को संसाधित करेगा,जिसके परिणामस्वरूप $F$ पर $100 \ Hz$ की आवृत्ति वाली पल्स वेव आउटपुट प्राप्त होगी।

(A) दिए गए लॉजिक सर्किट आरेख से:
$1$. इनपुट $Y$ एक $\text{NOT}$ गेट से होकर गुजरता है,जिससे आउटपुट $\bar{Y}$ प्राप्त होता है।
$2$. इसके बाद,सिग्नल $\bar{Y}$ और $Z$ को एक $\text{AND}$ गेट के इनपुट के रूप में दिया जाता है। इस $\text{AND}$ गेट का आउटपुट $(\bar{Y} \cdot Z)$ होता है।
$3$. अंत में,सिग्नल $X$ और $(\bar{Y} \cdot Z)$ को एक $\text{OR}$ गेट के इनपुट के रूप में दिया जाता है। अंतिम आउटपुट $F$ इन इनपुट का योग है।
अतः,आउटपुट $F = X + (\bar{Y} \cdot Z)$ है।

(B) दिए गए परिपथ में एक $NAND$ गेट है जिसके बाद एक $NOR$ गेट जुड़ा है,जहाँ $NOR$ गेट के दोनों इनपुट $NAND$ गेट के आउटपुट से जुड़े हैं।
मान लीजिए इनपुट $A$ और $B$ हैं। $NAND$ गेट का आउटपुट $Y_1 = \overline{A \cdot B}$ है।
यह $Y_1$ $NOR$ गेट के दोनों इनपुट के रूप में दिया जाता है। $X$ और $X$ इनपुट वाले $NOR$ गेट का आउटपुट $Y = \overline{X + X} = \overline{X}$ होता है।
$X = Y_1 = \overline{A \cdot B}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $Y = \overline{\overline{A \cdot B}} = A \cdot B$ प्राप्त होता है।
यह व्यंजक $Y = A \cdot B$ एक $AND$ गेट की तर्क संक्रिया को दर्शाता है।

(D) दिए गए परिपथ में एक $NAND$ गेट है जिसके बाद एक $NOT$ गेट लगा है (चूंकि दूसरा गेट एक $OR$ गेट है जिसके दोनों इनपुट एक साथ जुड़े हुए हैं,इसलिए यह एक $NOT$ गेट के रूप में कार्य करता है)।
अतः,यह परिपथ एक $NAND$ गेट और उसके बाद एक $NOT$ गेट के समतुल्य है,जो एक $AND$ गेट बनाता है।
आउटपुट $Y$ को $Y = A \cdot B$ द्वारा दिया जाता है।
$AND$ गेट के लिए सत्यता सारणी (Truth table):
| $A$ | $B$ | $Y = A \cdot B$ |
|---|---|---|
| $0$ | $0$ | $0$ |
| $0$ | $1$ | $0$ |
| $1$ | $0$ | $0$ |
| $1$ | $1$ | $1$ |
$Y = A \cdot B$ तर्क के आधार पर,आउटपुट $Y$ केवल तभी उच्च $(1)$ होता है जब दोनों इनपुट $A$ और $B$ उच्च $(1)$ हों। अन्यथा,आउटपुट निम्न $(0)$ होता है।

(D) $NAND$ गेट को एक $AND$ गेट और उसके बाद एक $NOT$ गेट (इनवर्टर) के संयोजन के रूप में परिभाषित किया गया है। इसका लॉजिक प्रतीक एक $AND$ गेट के आकार और उसके आउटपुट पर एक छोटे वृत्त (बबल) से बना होता है,जो इनवर्जन को दर्शाता है। दिए गए विकल्पों में से,विकल्प $D$ में दिखाया गया प्रतीक मानक $NAND$ गेट का है।

(B) दिए गए लॉजिक सर्किट में दो $NOT$ गेट,दो $AND$ गेट और एक $OR$ गेट शामिल हैं। आउटपुट $Y$ बूलियन व्यंजक द्वारा दिया जाता है: $Y = \bar{A} \cdot B + A \cdot \bar{B}$। यह एक $XOR$ गेट के लिए व्यंजक है। सत्यता सारणी इस प्रकार है:

$A$	$B$	$Y$
$0$	$0$	$0$
$0$	$1$	$1$
$1$	$0$	$1$
$1$	$1$	$0$

दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,विकल्प $B$ सही सत्यता सारणी को दर्शाता है।

(B) दी गई सर्किट में $A$ और $B$ इनपुट से जुड़े दो $NOT$ गेट हैं,जिसके बाद एक $NOR$ गेट है।
$1$. दो $NOT$ गेट के आउटपुट $\overline{A}$ और $\overline{B}$ हैं।
$2$. इन्हें $NOR$ गेट के इनपुट के रूप में दिया जाता है।
$3$. $NOR$ गेट का आउटपुट $Y = \overline{\overline{A} + \overline{B}}$ द्वारा दिया जाता है।
$4$. डी मॉर्गन के प्रमेय का उपयोग करते हुए,$\overline{\overline{A} + \overline{B}} = \overline{\overline{A}} \cdot \overline{\overline{B}} = A \cdot B$।
$5$. व्यंजक $A \cdot B$ एक $AND$ गेट के संचालन को दर्शाता है।
अतः,यह संयोजन एक $AND$ गेट को दर्शाता है।

(D) आइए लॉजिक गेट्स के आउटपुट को चरण-दर-चरण ट्रैक करें।
चरण $1$: पहला $AND$ गेट $X_0$ और $X_1$ इनपुट लेता है,जिससे आउटपुट $Y_1 = X_0 X_1$ प्राप्त होता है।
चरण $2$: पहला $OR$ गेट $Y_1$ और $X_2$ इनपुट लेता है,जिससे आउटपुट $Y_2 = X_0 X_1 + X_2$ प्राप्त होता है।
चरण $3$: अगला $AND$ गेट $Y_2$ और $X_3$ इनपुट लेता है,जिससे आउटपुट $Y_3 = (X_0 X_1 + X_2) X_3 = X_0 X_1 X_3 + X_2 X_3$ प्राप्त होता है।
चरण $4$: अगला $OR$ गेट $Y_3$ और $X_4$ इनपुट लेता है,जिससे आउटपुट $Y_4 = X_0 X_1 X_3 + X_2 X_3 + X_4$ प्राप्त होता है।
इस पैटर्न को जारी रखते हुए,$n$ सम होने पर,अंतिम आउटपुट $Q$ इस रूप में होगा: $Q = X_0 X_1 X_3 X_5 \ldots X_{n-1} + X_2 X_3 X_5 \ldots X_{n-1} + X_4 X_5 \ldots X_{n-1} + \ldots + X_{n-2} X_{n-1} + X_n$.

(C) दिए गए लॉजिक सर्किट का आउटपुट $Y$ इस प्रकार निर्धारित होता है:
$1$. इनपुट $A$ एक $NOT$ गेट से गुजरकर $\overline{A}$ बन जाता है।
$2$. इनपुट $\overline{A}$ और $B$ को $NAND$ गेट में देने पर,$\overline{\overline{A} \cdot B}$ प्राप्त होता है।
$3$. इनपुट $C$ एक $NOT$ गेट से गुजरकर $\overline{C}$ बन जाता है।
$4$. आउटपुट $\overline{\overline{A} \cdot B}$ और $\overline{C}$ को $NOR$ गेट में देने पर,$Y = \overline{(\overline{\overline{A} \cdot B}) + \overline{C}}$ प्राप्त होता है।
$5$. डी मॉर्गन प्रमेय का उपयोग करने पर,$Y = \overline{(\overline{\overline{A} \cdot B})} \cdot \overline{(\overline{C})} = (\overline{A} \cdot B) \cdot C = \overline{A} \cdot B \cdot C$.
$6$. आउटपुट $Y=1$ केवल तब प्राप्त होता है जब $\overline{A}=1, B=1, C=1$ हो,जिसका अर्थ है $A=0, B=1, C=1$।
$7$. इनपुट $A, B, C$ के लिए कुल $2^3 = 8$ संभावित संयोजन हैं।
$8$. चूंकि $Y=1$ केवल $1$ संयोजन के लिए है,इसलिए $Y=0$ प्राप्त करने वाले संयोजनों की संख्या $8 - 1 = 7$ है।

(C) दिया गया सर्किट एक $XOR$ गेट को दर्शाता है,जो $Y = A \oplus B = A \cdot \overline{B} + \overline{A} \cdot B$ ऑपरेशन करता है।
इनपुट $(A=0, B=1)$ के लिए:
$Y = 0 \cdot \overline{1} + \overline{0} \cdot 1 = 0 \cdot 0 + 1 \cdot 1 = 0 + 1 = 1$.
इनपुट $(A=0, B=0)$ के लिए:
$Y = 0 \cdot \overline{0} + \overline{0} \cdot 0 = 0 \cdot 1 + 1 \cdot 0 = 0 + 0 = 0$.
अतः,आउटपुट क्रमशः $1$ और $0$ हैं।

(B) डी मॉर्गन के पहले नियम के अनुसार,दो चरों के योग का पूरक उनके व्यक्तिगत पूरकों के गुणनफल के बराबर होता है।
गणितीय रूप से,इसे इस प्रकार व्यक्त किया जाता है: $\overline{A+B} = \bar{A} \cdot \bar{B}$।
इसलिए,व्यंजक $\bar{A} \cdot \bar{B}$ का मान $\overline{A+B}$ के बराबर है।

(C) यह परिपथ दो क्रॉस-कपल्ड $NAND$ गेट से बना है, जो एक $S-R$ लैच का निर्माण करते हैं।
यहाँ $A=1$ और $B=0$ दिया गया है।
निचले $NAND$ गेट का आउटपुट $Y = \overline{B \cdot X} = \overline{0 \cdot X} = \overline{0} = 1$ होता है।
अब, $Y$ के इस मान का उपयोग ऊपरी $NAND$ गेट में करने पर, आउटपुट $X = \overline{A \cdot Y} = \overline{1 \cdot 1} = \overline{1} = 0$ प्राप्त होता है।
अतः, स्थिर अवस्था $X=0$ और $Y=1$ है।

(B) यह परिपथ दो $AND$ गेट, दो $NOT$ गेट और एक $NOR$ गेट से बना है। आउटपुट $Y$ के लिए बूलियन व्यंजक $Y = \overline{(A \cdot B) + (\overline{A} \cdot \overline{B})}$ है।
स्थिति $1$: जब $A = 1$ और $B = 1$ है, तो ऊपरी $AND$ गेट का आउटपुट $1 \cdot 1 = 1$ है। निचले $AND$ गेट का आउटपुट $\overline{1} \cdot \overline{1} = 0 \cdot 0 = 0$ है। $NOR$ गेट को $1$ और $0$ इनपुट मिलते हैं, इसलिए $Y = \overline{1 + 0} = \overline{1} = 0$ होगा।
स्थिति $2$: जब $A = 0$ और $B = 0$ है, तो ऊपरी $AND$ गेट का आउटपुट $0 \cdot 0 = 0$ है। निचले $AND$ गेट का आउटपुट $\overline{0} \cdot \overline{0} = 1 \cdot 1 = 1$ है। $NOR$ गेट को $0$ और $1$ इनपुट मिलते हैं, इसलिए $Y = \overline{0 + 1} = \overline{1} = 0$ होगा।
अतः, आउटपुट $0$ और $0$ हैं।

(C) दिए गए डिजिटल सर्किट में एक $NAND$ गेट और एक $NOT$ गेट है,जिनके आउटपुट एक $OR$ गेट में जाते हैं।
$1$. $A$ और $B$ इनपुट वाले $NAND$ गेट का आउटपुट $\overline{AB}$ है।
$2$. $C$ इनपुट वाले $NOT$ गेट का आउटपुट $\bar{C}$ है।
$3$. ये दोनों आउटपुट एक $OR$ गेट में जाते हैं,इसलिए अंतिम आउटपुट $Y = \overline{AB} + \bar{C}$ है।
$4$. डी मॉर्गन के प्रमेय के अनुसार,$\overline{AB} = \bar{A} + \bar{B}$ होता है।
$5$. इस मान को $Y$ के समीकरण में रखने पर,हमें $Y = \bar{A} + \bar{B} + \bar{C}$ प्राप्त होता है।

(B) इनपुट $A$ एक $NOT$ गेट से गुजरता है,जिसके परिणामस्वरूप $\bar{A}$ प्राप्त होता है।
इस $\bar{A}$ को इनपुट $B$ के साथ एक $AND$ गेट में भेजा जाता है,जिससे आउटपुट $\bar{A} \cdot B$ प्राप्त होता है।
इस परिणाम $(\bar{A} \cdot B)$ और मूल $\bar{A}$ को एक $OR$ गेट में भेजा जाता है।
इसलिए,अंतिम आउटपुट $Y$ इस प्रकार है:
$Y = \bar{A} + (\bar{A} \cdot B)$
बूलियन बीजगणित के अवशोषण (absorption) नियम का उपयोग करते हुए,जो कहता है कि $X + (X \cdot Y) = X$,हम व्यंजक को सरल बना सकते हैं:
$Y = \bar{A} \cdot (1 + B)$
चूंकि $(1 + B) = 1$,हमें प्राप्त होता है:
$Y = \bar{A} \cdot 1 = \bar{A}$

(D) मान लीजिए कि $NOR$ गेट का आउटपुट $Y$ है। $NOR$ गेट $Y = \overline{A+B}$ ऑपरेशन करता है। इसके बाद $NAND$ गेट $Y$ और $C$ को इनपुट के रूप में लेकर आउटपुट $D = \overline{Y \cdot C}$ प्रदान करता है।
स्थिति $1$: $A=0, B=0, C=0$
$Y = \overline{0+0} = \overline{0} = 1$
$D = \overline{Y \cdot C} = \overline{1 \cdot 0} = \overline{0} = 1$
स्थिति $2$: $A=1, B=0, C=1$
$Y = \overline{1+0} = \overline{1} = 0$
$D = \overline{Y \cdot C} = \overline{0 \cdot 1} = \overline{0} = 1$
अतः,आउटपुट क्रमशः $1$ और $1$ हैं।

(D) दी गई सत्यता सारणी इस प्रकार है:
| इनपुट $A$ | इनपुट $B$ | आउटपुट $Q$ |
| :--- | :--- | :--- |
| $0$ | $0$ | $1$ |
| $0$ | $1$ | $1$ |
| $1$ | $0$ | $1$ |
| $1$ | $1$ | $0$ |
सत्यता सारणी का विश्लेषण:
$1$. जब दोनों इनपुट $A$ और $B$ $1$ होते हैं, तो आउटपुट $Q$ $0$ होता है।
$2$. अन्य सभी इनपुट संयोजनों ($0,0$; $0,1$; $1,0$) के लिए, आउटपुट $Q$ $1$ होता है।
यह व्यवहार $NAND$ गेट के अनुरूप है, जो एक $AND$ गेट और उसके बाद एक $NOT$ गेट के संयोजन के बराबर है। इस गेट के लिए बूलियन व्यंजक $Q = \overline{A \cdot B}$ है।

(B) दशमलव संख्या को बाइनरी में बदलने के लिए,हम संख्या को बार-बार $2$ से विभाजित करते हैं और शेषफल को नोट करते हैं।
$37 \div 2 = 18$ शेषफल $1$
$18 \div 2 = 9$ शेषफल $0$
$9 \div 2 = 4$ शेषफल $1$
$4 \div 2 = 2$ शेषफल $0$
$2 \div 2 = 1$ शेषफल $0$
$1 \div 2 = 0$ शेषफल $1$
शेषफल को नीचे से ऊपर की ओर पढ़ने पर,$37$ का बाइनरी निरूपण $(100101)_2$ प्राप्त होता है।
$(100101)_2$ में अंकों की गणना करने पर,हमें $6$ अंक मिलते हैं।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(D) दिए गए सर्किट में,डायोड इस तरह से जुड़े हैं कि उनके कैथोड इनपुट $A$ और $B$ से जुड़े हैं,और उनके एनोड आउटपुट $C$ और $V_{dc} = 5 \text{ V}$ से जुड़े पुल-अप प्रतिरोध $R$ से जुड़े हैं।
$1$. यदि $A = 0$ या $B = 0$ (लो लेवल) है,तो संबंधित डायोड फॉरवर्ड-बायस हो जाता है। यह आउटपुट $C$ को लो वोल्टेज लेवल $(C = 0)$ पर खींचता है।
$2$. यदि $A = 1$ और $B = 1$ (हाई लेवल) है,तो दोनों डायोड रिवर्स-बायस हो जाते हैं। डायोड के माध्यम से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है,और आउटपुट $C$ प्रतिरोध $R$ के माध्यम से $V_{dc}$ तक खिंच जाता है,जिसके परिणामस्वरूप $C = 1$ प्राप्त होता है।
$3$. इस सर्किट के लिए सत्यता सारणी (truth table) इस प्रकार है:
| $A$ | $B$ | $C$ |
|---|---|---|
| $0$ | $0$ | $0$ |
| $0$ | $1$ | $0$ |
| $1$ | $0$ | $0$ |
| $1$ | $1$ | $1$ |
यह सत्यता सारणी $AND$ गेट के अनुरूप है।

(D) यह सर्किट $A$ और $A$ इनपुट वाले एक $AND$ गेट (जो बफर के रूप में कार्य करता है,आउटपुट $A$),$A$ और $B$ इनपुट वाले एक $NAND$ गेट (आउटपुट $\overline{A \cdot B}$),और $NAND$ आउटपुट से जुड़े एक $NOT$ गेट से बना है।
पहले $AND$ गेट का आउटपुट $Y_1 = A \cdot A = A$ है।
$NAND$ गेट का आउटपुट $Y_2 = \overline{A \cdot B}$ है।
यह $Y_2$ एक $NOT$ गेट से गुजरता है,इसलिए अंतिम $AND$ गेट का इनपुट $\overline{\overline{A \cdot B}} = A \cdot B$ है।
अतः,अंतिम आउटपुट $Y = Y_1 \cdot (A \cdot B) = A \cdot (A \cdot B) = A \cdot B$ है।
$Y = A \cdot B$ के लिए सत्यता सारणी इस प्रकार है:

$A$	$B$	$Y$
$0$	$0$	$0$
$0$	$1$	$0$
$1$	$0$	$0$
$1$	$1$	$1$

(B) लॉजिक सर्किट में एक $AND$ गेट $(A, B)$,उसके बाद एक $NOT$ गेट,एक $OR$ गेट $(C, D)$,एक $AND$ गेट और अंत में एक $NOT$ गेट है।
मान लीजिए कि पहले $AND$ गेट का आउटपुट $A \cdot B$ है। $NOT$ गेट के बाद,यह $\overline{A \cdot B}$ हो जाता है।
$OR$ गेट का आउटपुट $C + D$ है।
ये दोनों सिग्नल एक $AND$ गेट में जाते हैं,जिससे $(\overline{A \cdot B}) \cdot (C + D)$ प्राप्त होता है।
अंतिम $NOT$ गेट आउटपुट $Y = \overline{(\overline{A \cdot B}) \cdot (C + D)}$ देता है।
डी मॉर्गन के नियम का उपयोग करते हुए,$Y = \overline{(\overline{A \cdot B})} + \overline{(C + D)} = (A \cdot B) + (\overline{C + D})$।
दिए गए इनपुट के लिए गणना करने पर:
$1$. $A=1, B=1, C=0, D=1$: $Y = (1 \cdot 1) + \overline{(0+1)} = 1 + 0 = 1$.
$2$. $A=0, B=0, C=1, D=1$: $Y = (0 \cdot 0) + \overline{(1+1)} = 0 + 0 = 0$.
$3$. $A=1, B=0, C=1, D=0$: $Y = (1 \cdot 0) + \overline{(1+0)} = 0 + 0 = 0$.
$4$. $A=1, B=1, C=1, D=1$: $Y = (1 \cdot 1) + \overline{(1+1)} = 1 + 0 = 1$.
विकल्पों के साथ तुलना करने पर,विकल्प $B$ सही है।

(D) $LED$ तब प्रकाशित होता है जब यह फॉरवर्ड बायस में होता है, जिसका अर्थ है कि बिंदु $P$ पर विभव उच्च $(1)$ और बिंदु $Q$ पर विभव निम्न $(0)$ होना चाहिए。
मान लीजिए कि पहले $NOR$ गेट का आउटपुट $Y_1 = \overline{A+A} = \overline{A}$ है और दूसरे $NOR$ गेट का आउटपुट $Y_2 = \overline{B+B} = \overline{B}$ है。
$P$ पर आउटपुट एक $NAND$ गेट का आउटपुट है: $P = \overline{Y_1 \cdot Y_2} = \overline{\overline{A} \cdot \overline{B}} = A + B$.
$P = 1$ के लिए, हमें $A+B = 1$ की आवश्यकता है, जिसका अर्थ है कि $A$ या $B$ में से कम से कम एक $1$ होना चाहिए。
$Q$ पर आउटपुट एक $NOR$ गेट का आउटपुट है: $Q = \overline{C+D}$.
$Q = 0$ के लिए, हमें $\overline{C+D} = 0$ की आवश्यकता है, जिसका अर्थ है कि $C+D = 1$, यानी $C$ या $D$ में से कम से कम एक $1$ होना चाहिए。
विकल्पों की जाँच करने पर:
$A) 0100: A=0, B=1, C=0, D=0 \implies P=1, Q=1$ (प्रकाशित नहीं होगा)
$B) 0011: A=0, B=0, C=1, D=1 \implies P=0, Q=0$ (प्रकाशित नहीं होगा)
$C) 1000: A=1, B=0, C=0, D=0 \implies P=1, Q=1$ (प्रकाशित नहीं होगा)
$D) 1101: A=1, B=1, C=0, D=1 \implies P=1, Q=0$ ($LED$ प्रकाशित होगा)。
अतः, सही संयोजन $1101$ है。

(C) मान लीजिए कि इनपुट $A$ और $B$ हैं। पहले दो $NOR$ गेट $NOT$ गेट के रूप में कार्य करते हैं क्योंकि उनके इनपुट शॉर्ट किए गए हैं।
$P = \overline{A+A} = \overline{A}$
$Q = \overline{B+B} = \overline{B}$
ये तीसरे $NOR$ गेट के इनपुट हैं,इसलिए आउटपुट $R$ है:
$R = \overline{P+Q} = \overline{\overline{A} + \overline{B}}$
डी मॉर्गन के नियम का उपयोग करते हुए,$\overline{\overline{A} + \overline{B}} = \overline{\overline{A}} \cdot \overline{\overline{B}} = A \cdot B$
यह $R$ अंतिम $NOR$ गेट का इनपुट है,जो $NOT$ गेट के रूप में कार्य करता है:
$S = \overline{R+R} = \overline{R} = \overline{A \cdot B}$
चूंकि अंतिम आउटपुट $\overline{A \cdot B}$ है,इसलिए यह परिपथ $NAND$ गेट के रूप में कार्य करता है।

(C) दोनों $LED$ को प्रकाशित करने के लिए,उनसे जुड़े गेट्स का आउटपुट उच्च $(1)$ होना चाहिए।
सर्किट आरेख का विश्लेषण:
$1$. $LED-1$,$OR$ गेट के आउटपुट से जुड़ा है। मान लीजिए $OR$ गेट का आउटपुट $Y_1 = A + B$ है। $LED-1$ के जलने के लिए $Y_1 = 1$ होना चाहिए।
$2$. $LED-2$,अंतिम $AND$ गेट के आउटपुट से जुड़ा है। इस $AND$ गेट के इनपुट $OR$ गेट का आउटपुट $(Y_1)$ और इनपुट $A$ हैं। आरेख के अनुसार,मध्य $AND$ गेट के इनपुट $Y_1$ और $C$ हैं,इसलिए $Y_{middle} = (A + B) \cdot C$। अंतिम $AND$ गेट के इनपुट $Y_{middle}$ और $A$ हैं। अतः,$Y_{LED2} = ((A + B) \cdot C) \cdot A$।
$3$. $LED-1$ के जलने के लिए,$A + B = 1$ होना चाहिए।
$4$. $LED-2$ के जलने के लिए,$(A + B) \cdot C \cdot A = 1$ होना चाहिए। इसके लिए $A=1, C=1$ और $(A+B)=1$ होना आवश्यक है। चूंकि $A=1$ है,इसलिए $B$ का मान कुछ भी हो,$(A+B)=1$ की शर्त पूरी हो जाती है।
$5$. विकल्पों की जाँच करने पर:
- $A=1, B=0, C=1$ के लिए: $Y_{LED1} = 1+0 = 1$ (प्रकाशित होगा),$Y_{LED2} = (1+0) \cdot 1 \cdot 1 = 1$ (प्रकाशित होगा)।
अतः,विकल्प $C$ सही है।

(C) इस सर्किट में एक $NOT$ गेट,एक $OR$ गेट,एक $AND$ गेट और एक $NOR$ गेट शामिल है।
मान लीजिए कि $NOT$ गेट का आउटपुट $A'$ है। अतः,$A' = \overline{A}$।
पहले $OR$ गेट के इनपुट $A'$ और $B$ हैं। अतः,इसका आउटपुट $X = A' + B = \overline{A} + B$ है।
$AND$ गेट के इनपुट $A'$ और $B$ हैं। अतः,इसका आउटपुट $Z = A' \cdot B = \overline{A} \cdot B$ है।
अंतिम गेट एक $NOR$ गेट है जिसके इनपुट $X$ और $Z$ हैं। अतः,अंतिम आउटपुट $Y = \overline{X + Z} = \overline{(\overline{A} + B) + (\overline{A} \cdot B)}$ है।
बूलियन बीजगणित का उपयोग करते हुए,$Y = \overline{\overline{A} + B + \overline{A} \cdot B} = \overline{\overline{A} + B} = A \cdot \overline{B}$।
$(A=1, B=1)$ के लिए: $Y = 1 \cdot \overline{1} = 1 \cdot 0 = 0$।
$(A=0, B=1)$ के लिए: $Y = 0 \cdot \overline{1} = 0 \cdot 0 = 0$।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(D) यह परिपथ दो $AND$ गेट और एक $OR$ गेट से बना है। ऊपरी $AND$ गेट $A$ और $B$ इनपुट प्राप्त करता है,जिससे आउटपुट $Y_1 = A \cdot B$ मिलता है। निचला $AND$ गेट $A$ और $\bar{B}$ इनपुट प्राप्त करता है ($NOT$ गेट/इंवर्जन बबल के कारण),जिससे आउटपुट $Y_2 = A \cdot \bar{B}$ मिलता है। अंतिम $OR$ गेट इन्हें जोड़कर $Y = Y_1 + Y_2 = A \cdot B + A \cdot \bar{B}$ देता है।
बूलियन बीजगणित का उपयोग करने पर: $Y = A(B + \bar{B}) = A(1) = A$.
अतः,आउटपुट वेवफॉर्म $Y$,इनपुट वेवफॉर्म $A$ के समान होना चाहिए।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,$A$ के लिए वेवफॉर्म $t=0$ से $1$ तक $0$ है,$t=1$ से $2$ तक $1$ है,और $t=2$ से $3$ तक $1$ है। विकल्प $D$ इस व्यवहार से मेल खाता है।

(D) यह परिपथ तीन $NAND$ गेट से बना है। मान लीजिए इनपुट $X$ और $Y$ हैं।
$1$. पहले दो $NAND$ गेट $NOT$ गेट के रूप में कार्य करते हैं क्योंकि उनके इनपुट एक साथ जुड़े (shorted) हुए हैं। अतः,पहले चरण के आउटपुट $\overline{X}$ और $\overline{Y}$ हैं।
$2$. ये आउटपुट दूसरे $NAND$ गेट में दिए जाते हैं। इस गेट का आउटपुट $\overline{(\overline{X} \cdot \overline{Y})}$ है।
$3$. डी मॉर्गन के नियम के अनुसार,$\overline{(\overline{X} \cdot \overline{Y})} = X + Y$। यह एक $OR$ ऑपरेशन को दर्शाता है।
$4$. अंतिम $NAND$ गेट $NOT$ गेट के रूप में कार्य करता है,इसलिए अंतिम आउटपुट $\overline{X + Y}$ प्राप्त होता है,जो कि $NOR$ गेट का तर्क है।

(C) यह सर्किट इनपुट $A$ पर लागू एक $NOT$ गेट से बना है,जिसके बाद एक $NAND$ गेट है जो $NOT$ गेट के आउटपुट और इनपुट $B$ को अपने इनपुट के रूप में लेता है।
मान लीजिए $A = 1101$ और $B = 1010$ है।
$NOT$ गेट का आउटपुट $\overline{A} = \text{NOT}(1101) = 0010$ है।
$NAND$ गेट का आउटपुट $Y = \overline{\overline{A} \cdot B}$ द्वारा दिया जाता है।
सबसे पहले,बिटवाइज़ $AND$ ऑपरेशन की गणना करें: $\overline{A} \cdot B = 0010 \cdot 1010 = 0010$ है।
फिर,परिणाम पर $NOT$ ऑपरेशन करें: $Y = \overline{0010} = 1101$ है।
यदि सर्किट इनपुट $A$ और $B$ के साथ एक $NAND$ गेट है,तो $Y = \overline{A \cdot B} = \overline{1101 \cdot 1010} = \overline{1000} = 0111$ है।
दिए गए विकल्पों के अनुसार,सही उत्तर $0111$ (विकल्प $C$) है।