Boolean Algebra and Logic Gates Questions in Hindi

(A) दिए गए परिपथ में एक $AND$ गेट और एक $OR$ गेट शामिल है।
मान लीजिए इनपुट $A$ और $B$ हैं।
$AND$ गेट का आउटपुट $A \cdot B$ है।
यह आउटपुट $OR$ गेट के इनपुट के रूप में जाता है,जबकि दूसरा इनपुट सीधे $A$ है।
इसलिए,अंतिम आउटपुट $Y$ बूलियन समीकरण $Y = A + (A \cdot B)$ द्वारा दिया जाता है।
बूलियन बीजगणित के नियम $A + (A \cdot B) = A(1 + B) = A \cdot 1 = A$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है कि $Y = A$।
आइए इसे सत्यता सारणी के साथ सत्यापित करें:
- यदि $A=0, B=0$ है: $Y = 0 + (0 \cdot 0) = 0 + 0 = 0$।
- यदि $A=0, B=1$ है: $Y = 0 + (0 \cdot 1) = 0 + 0 = 0$।
- यदि $A=1, B=0$ है: $Y = 1 + (1 \cdot 0) = 1 + 0 = 1$।
- यदि $A=1, B=1$ है: $Y = 1 + (1 \cdot 1) = 1 + 1 = 1$।
इन परिणामों की तुलना दिए गए विकल्पों से करने पर,विकल्प $A$ इस सत्यता सारणी से मेल खाता है।

(B) मान लीजिए इनपुट $A$ और $B$ हैं।
$1$. पहला $NAND$ गेट आउटपुट $C = \overline{A \cdot B}$ देता है।
$2$. दूसरा $NAND$ गेट (ऊपरी) इनपुट $A$ और $C$ लेता है, जो $D = \overline{A \cdot C} = \overline{A \cdot (\overline{A \cdot B})} = \overline{A \cdot (\overline{A} + \overline{B})} = \overline{A \cdot \overline{A} + A \cdot \overline{B}} = \overline{0 + A \cdot \overline{B}} = \overline{A \cdot \overline{B}} = \overline{A} + B$ देता है।
$3$. तीसरा $NAND$ गेट (निचला) इनपुट $B$ और $C$ लेता है, जो $E = \overline{B \cdot C} = \overline{B \cdot (\overline{A \cdot B})} = \overline{B \cdot (\overline{A} + \overline{B})} = \overline{B \cdot \overline{A} + B \cdot \overline{B}} = \overline{B \cdot \overline{A} + 0} = \overline{B \cdot \overline{A}} = \overline{B} + A$ देता है।
$4$. अंतिम $NAND$ गेट इनपुट $D$ और $E$ लेता है, जो $Y = \overline{D \cdot E} = \overline{(\overline{A} + B) \cdot (A + \overline{B})} = \overline{\overline{A} \cdot A + \overline{A} \cdot \overline{B} + B \cdot A + B \cdot \overline{B}} = \overline{0 + \overline{A} \cdot \overline{B} + A \cdot B + 0} = \overline{\overline{A} \cdot \overline{B} + A \cdot B} = A \oplus B$ ($XOR$ गेट) देता है।
अतः, सत्यता सारणी $B$ के अनुसार है।

(B) दिए गए परिपथ में दो $NOT$ गेट (दो $NOR$ गेट के इनपुट को शॉर्ट करके बनाए गए) और उसके बाद एक $NOR$ गेट शामिल है।
मान लीजिए इनपुट $A$ और $B$ हैं।
$A$ और $A$ इनपुट वाले पहले $NOR$ गेट का आउटपुट $Y_1 = \overline{A+A} = \overline{A}$ है।
$B$ और $B$ इनपुट वाले दूसरे $NOR$ गेट का आउटपुट $Y_2 = \overline{B+B} = \overline{B}$ है।
ये आउटपुट $Y_1$ और $Y_2$ अंतिम $NOR$ गेट में दिए जाते हैं।
अंतिम आउटपुट $Y = \overline{Y_1 + Y_2} = \overline{\overline{A} + \overline{B}}$ द्वारा दिया जाता है।
डी मॉर्गन प्रमेय का उपयोग करते हुए,$\overline{\overline{A} + \overline{B}} = \overline{\overline{A}} \cdot \overline{\overline{B}} = A \cdot B$।
अतः,अंतिम आउटपुट $Y = A \cdot B$ है,जो एक $AND$ गेट को दर्शाता है।

(D) मान लीजिए कि पहले $NAND$ गेट का आउटपुट $P = \overline{A \cdot B}$ है।
ऊपरी $NAND$ गेट के इनपुट $A$ और $P$ हैं,इसलिए इसका आउटपुट $Q = \overline{A \cdot P} = \overline{A \cdot \overline{A \cdot B}} = \overline{A} + (A \cdot B) = \overline{A} + B$ है।
निचले $NAND$ गेट के इनपुट $P$ और $B$ हैं,इसलिए इसका आउटपुट $R = \overline{P \cdot B} = \overline{\overline{A \cdot B} \cdot B} = (A \cdot B) + \overline{B} = A + \overline{B}$ है।
अंतिम आउटपुट $Y$ अंतिम $NAND$ गेट का आउटपुट है जिसके इनपुट $Q$ और $R$ हैं:
$Y = \overline{Q \cdot R} = \overline{Q} + \overline{R} = \overline{\overline{A} + B} + \overline{A + \overline{B}} = (A \cdot \overline{B}) + (\overline{A} \cdot B)$.
यह एक $XOR$ गेट का व्यंजक है।
$1$. $(A = 1, B = 0)$ के लिए: $Y = (1 \cdot \overline{0}) + (\overline{1} \cdot 0) = (1 \cdot 1) + (0 \cdot 0) = 1 + 0 = 1$.
$2$. $(A = 1, B = 1)$ के लिए: $Y = (1 \cdot \overline{1}) + (\overline{1} \cdot 1) = (1 \cdot 0) + (0 \cdot 1) = 0 + 0 = 0$.
$3$. $(A = 0, B = 0)$ के लिए: $Y = (0 \cdot \overline{0}) + (\overline{0} \cdot 0) = (0 \cdot 1) + (1 \cdot 0) = 0 + 0 = 0$.
अतः,आउटपुट $1, 0, 0$ हैं।

(A) यह परिपथ तीन $NAND$ गेट से बना है। ऊपरी $NAND$ गेट इनपुट $A$ के साथ जुड़ा है, जो एक $NOT$ गेट के रूप में कार्य करता है, इसलिए इसका आउटपुट $Y_1 = \overline{A}$ है।
निचला $NAND$ गेट इनपुट $B$ के साथ जुड़ा है, जो भी एक $NOT$ गेट के रूप में कार्य करता है, इसलिए इसका आउटपुट $Y_2 = \overline{B}$ है।
ये दोनों आउटपुट तीसरे $NAND$ गेट में जाते हैं, इसलिए अंतिम आउटपुट $C = \overline{Y_1 \cdot Y_2} = \overline{\overline{A} \cdot \overline{B}}$ है।
डी मॉर्गन के प्रमेय के अनुसार, $\overline{\overline{A} \cdot \overline{B}} = \overline{\overline{A}} + \overline{\overline{B}} = A + B$.
अतः, यह परिपथ एक $OR$ गेट को दर्शाता है।

(D) यह परिपथ चार $NOR$ गेट $(G_1, G_2, G_3, G_4)$ से बना है।
$G_1$ और $G_2$ $NOT$ गेट के रूप में कार्य करते हैं क्योंकि उनके इनपुट एक साथ जुड़े हुए हैं। अतः,आउटपुट क्रमशः $\bar{A}$ और $\bar{B}$ प्राप्त होते हैं।
ये आउटपुट $G_3$ में जाते हैं,जो एक $NOR$ गेट है। इसका आउटपुट $\overline{\bar{A} + \bar{B}} = \overline{\bar{A}} \cdot \overline{\bar{B}} = A \cdot B$ (डी मॉर्गन के नियम के अनुसार) होता है।
यह आउटपुट $G_4$ में जाता है,जो $NOT$ गेट के रूप में कार्य करता है। इसका आउटपुट $\overline{A \cdot B}$ प्राप्त होता है।
अतः,अंतिम आउटपुट $Y = \overline{A \cdot B}$ है,जो $NAND$ गेट का बूलियन व्यंजक है।

(D) यह परिपथ एक $OR$ गेट $(G_1)$ और उसके बाद एक $NAND$ गेट $(G_2)$ से बना है।
मान लीजिए $OR$ गेट का आउटपुट $Y$ है। तब $Y = A + B$ होगा।
अंतिम आउटपुट $D$ $NAND$ गेट का आउटपुट है, जो $D = \overline{Y \cdot C} = \overline{(A + B) \cdot C}$ है।
स्थिति $1$: $A=0, B=0, C=0$.
$Y = 0 + 0 = 0$.
$D = \overline{0 \cdot 0} = \overline{0} = 1$.
स्थिति $2$: $A=1, B=1, C=0$.
$Y = 1 + 1 = 1$.
$D = \overline{1 \cdot 0} = \overline{0} = 1$.
अतः, आउटपुट $1, 1$ प्राप्त होता है।

(B) दिए गए वोल्टेज वेवफॉर्म का अवलोकन करके,हम इनपुट $A$ और $B$ तथा आउटपुट $C$ के लिए सत्यता सारणी (truth table) बना सकते हैं:

$A$	$B$	$C$
$1$	$1$	$1$
$1$	$0$	$0$
$0$	$1$	$0$
$0$	$0$	$0$

इस सत्यता सारणी की तुलना लॉजिक गेट्स की मानक सत्यता सारणी से करने पर,हम पाते हैं कि आउटपुट $C$ केवल तभी $1$ होता है जब दोनों इनपुट $A$ और $B$ $1$ हों। यह $AND$ गेट का विशिष्ट व्यवहार है। अतः,दिया गया लॉजिक सर्किट गेट $AND$ गेट है।

(C) इस परिपथ में एक $NOR$ गेट है जिसके बाद एक और $NOR$ गेट लगा है जो $NOT$ गेट की तरह कार्य करता है (क्योंकि दोनों इनपुट एक साथ जुड़े हुए हैं)।
मान लीजिए कि पहले $NOR$ गेट का आउटपुट $Y^{\prime} = \overline{A + B}$ है।
दूसरा गेट एक $NOR$ गेट है जिसके दोनों इनपुट $Y^{\prime}$ हैं,इसलिए इसका आउटपुट $Y = \overline{Y^{\prime} + Y^{\prime}} = \overline{Y^{\prime}} = \overline{\overline{A + B}} = A + B$ होगा।
यह एक $OR$ गेट के लिए बूलियन व्यंजक है।
$Y = A + B$ के लिए सत्यता सारणी इस प्रकार है:

$A$	$B$	$Y$
$0$	$0$	$0$
$0$	$1$	$1$
$1$	$0$	$1$
$1$	$1$	$1$

इसे दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,विकल्प $C$ सही है।

(A) मान लीजिए कि इनपुट $A$ और $B$ हैं।
$1$. पहला गेट $NOR$ गेट है,इसलिए इसका आउटपुट $X = \overline{A+B}$ है।
$2$. दूसरा गेट $NAND$ गेट है जिसके दोनों इनपुट एक साथ जुड़े हुए हैं। जब $NAND$ गेट के इनपुट आपस में जुड़े होते हैं,तो यह $NOT$ गेट की तरह कार्य करता है। अतः,$NAND$ गेट का आउटपुट $Z = \overline{X \cdot X} = \overline{X}$ है।
$3$. $Z$ में $X = \overline{A+B}$ रखने पर,हमें $Z = \overline{\overline{A+B}} = A+B$ प्राप्त होता है।
$4$. तीसरा गेट $NOT$ गेट है,इसलिए इसका अंतिम आउटपुट $Y = \overline{Z} = \overline{A+B}$ है।
$5$. व्यंजक $\overline{A+B}$ एक $NOR$ गेट को दर्शाता है।
अतः,यह सर्किट $NOR$ गेट के समतुल्य है।

(A) दिए गए लॉजिक गेट प्रतीकों का अवलोकन करने पर:
$(i)$ एक $NAND$ गेट को दर्शाता है।
(ii) एक $NOT$ गेट को दर्शाता है।
(iii) एक $AND$ गेट को दर्शाता है।
(iv) एक $OR$ गेट को दर्शाता है।
अतः,$OR$,$NOT$ और $NAND$ गेट के प्रतीक क्रमशः $(iv)$,$(ii)$ और $(i)$ हैं।

(D) दिए गए वोल्टेज वेवफॉर्म का अवलोकन करके,हम लॉजिक गेट के लिए सत्यता सारणी (truth table) बना सकते हैं:

$A$	$B$	$Y$
$1$	$1$	$0$
$0$	$0$	$1$
$0$	$1$	$1$
$1$	$0$	$1$

सत्यता सारणी से यह स्पष्ट है कि आउटपुट $Y$ केवल तभी $0$ होता है जब दोनों इनपुट $A$ और $B$ $1$ हों। अन्य सभी स्थितियों में,आउटपुट $1$ होता है। यह व्यवहार $NAND$ गेट के अनुरूप है।

(D) मानक लॉजिक गेट प्रतीकों के आधार पर:
$(i)$ एक $OR$ गेट को दर्शाता है।
(ii) एक $AND$ गेट को दर्शाता है।
(iii) एक $NOT$ गेट को दर्शाता है।
(iv) एक $NAND$ गेट को दर्शाता है।
इसलिए,$AND, NAND$ और $NOT$ गेट के लिए सही क्रम क्रमशः $(ii), (iv)$ और $(iii)$ है।

(A) लॉजिक गेट की पहचान करने के लिए,हम दिए गए वेवफॉर्म से सत्यता सारणी (truth table) का विश्लेषण करते हैं:

समय अंतराल	इनपुट $A$	इनपुट $B$	आउटपुट $C$
$0$ से $t_1$	$0$	$0$	$0$
$t_1$ से $t_2$	$1$	$0$	$1$
$t_2$ से $t_3$	$1$	$1$	$1$
$t_3$ से $t_4$	$0$	$1$	$1$
$t_4$ से $t_5$	$0$	$0$	$0$
$t_5$ से $t_6$	$1$	$0$	$1$

इसे मानक गेट्स की सत्यता सारणी के साथ तुलना करने पर:
- $OR$ गेट के लिए,यदि कम से कम एक इनपुट $1$ है तो आउटपुट $1$ होता है।
- प्रेक्षित आउटपुट $C$ इस शर्त का पालन करता है: यदि $A=1$ या $B=1$ है तो $C=1$,और यदि $A=0$ और $B=0$ है तो $C=0$ है।
- यह $OR$ गेट की सत्यता सारणी के साथ बिल्कुल मेल खाता है।

(C) पहला गेट $A$ और $B$ इनपुट वाला एक $NAND$ गेट है। इसका आउटपुट $\overline{A.B}$ है।
यह आउटपुट एक $NOT$ गेट में दिया गया है (एक $NAND$ गेट जिसके दोनों इनपुट एक साथ जुड़े हों,वह $NOT$ गेट के रूप में कार्य करता है)।
यदि $NOT$ गेट का इनपुट $Y$ है,तो आउटपुट $\overline{Y}$ होता है।
यहाँ,$Y = \overline{A.B}$ है,इसलिए अंतिम आउटपुट $X = \overline{\overline{A.B}}$ होगा।
बूलियन बीजगणित के गुण $\overline{\overline{Z}} = Z$ का उपयोग करने पर,हमें $X = A.B$ प्राप्त होता है।

(C) दिए गए परिपथ में एक $OR$ गेट और उसके बाद एक $AND$ गेट है।
मान लीजिए $OR$ गेट का आउटपुट $X$ है। तब $X = A + B$ होगा।
अंतिम आउटपुट $Y$ $AND$ गेट का आउटपुट है,जो $X$ और $C$ को इनपुट के रूप में लेता है।
इसलिए,$Y = X \cdot C = (A + B) \cdot C$ होगा।
आउटपुट $Y=1$ प्राप्त करने के लिए,$AND$ गेट के दोनों इनपुट $1$ होने चाहिए।
इसका अर्थ है कि $X = 1$ और $C = 1$ होना चाहिए।
चूंकि $X = A + B$ है,इसलिए $X=1$ होने के लिए $A$ या $B$ में से कम से कम एक का $1$ होना आवश्यक है।
विकल्पों की जाँच करने पर:
विकल्प $A$: $A=1, B=0, C=0 \implies Y = (1+0) \cdot 0 = 0$।
विकल्प $B$: $A=1, B=1, C=0 \implies Y = (1+1) \cdot 0 = 0$।
विकल्प $C$: $A=1, B=0, C=1 \implies Y = (1+0) \cdot 1 = 1 \cdot 1 = 1$।
विकल्प $D$: $A=0, B=1, C=0 \implies Y = (0+1) \cdot 0 = 0$।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(D) मान लीजिए कि इनपुट $A$ और $B$ हैं। दो $NOT$ गेट के आउटपुट $\overline{A}$ और $\overline{B}$ हैं।
इन्हें एक $NOR$ गेट में भेजा जाता है,इसलिए $NOR$ गेट का आउटपुट $\overline{\overline{A} + \overline{B}}$ है।
डी मॉर्गन के प्रमेय के अनुसार,$\overline{\overline{A} + \overline{B}} = \overline{\overline{A}} \cdot \overline{\overline{B}} = A \cdot B$.
यह आउटपुट $(A \cdot B)$ और इनपुट $B$ को एक $NAND$ गेट में भेजा जाता है।
अंतिम आउटपुट $Y = \overline{(A \cdot B) \cdot B} = \overline{A \cdot (B \cdot B)}$.
चूंकि $B \cdot B = B$,इसलिए $Y = \overline{A \cdot B}$.
यह $NAND$ गेट के लिए बूलियन व्यंजक है।

(D) इस सर्किट में एक $NOR$ गेट है,जिसके बाद एक और $NOR$ गेट है जो $NOT$ गेट के रूप में कार्य करता है (दोनों इनपुट एक साथ जुड़े हुए हैं),और अंत में एक $NOT$ गेट है।
मान लीजिए कि पहले $NOR$ गेट का आउटपुट $C = \overline{A+B}$ है।
यह सिग्नल $C$ दूसरे $NOR$ गेट में भेजा जाता है,जो $NOT$ गेट के रूप में कार्य करता है,जिससे $\overline{C} = \overline{\overline{A+B}} = A+B$ प्राप्त होता है।
अंत में,इस सिग्नल को एक $NOT$ गेट से गुजारा जाता है,जिससे अंतिम आउटपुट $Y = \overline{\overline{C}} = \overline{A+B}$ प्राप्त होता है।
अतः,यह सर्किट $NOR$ गेट के समतुल्य है।

(B) दिए गए सर्किट में दो $AND$ गेट,दो $NOT$ गेट और एक $OR$ गेट शामिल हैं।
$1$. ऊपरी $AND$ गेट $A$ और $\overline{B}$ इनपुट प्राप्त करता है (क्योंकि $B$ एक $NOT$ गेट से होकर गुजरता है)। इसका आउटपुट $A \cdot \overline{B}$ है।
$2$. निचला $AND$ गेट $\overline{A}$ (क्योंकि $A$ एक $NOT$ गेट से होकर गुजरता है) और $B$ इनपुट प्राप्त करता है। इसका आउटपुट $\overline{A} \cdot B$ है।
$3$. इन दोनों आउटपुट को एक $OR$ गेट में दिया जाता है। इसलिए,अंतिम आउटपुट $Y$ इन दो व्यंजकों का योग है: $Y = A \cdot \overline{B} + \overline{A} \cdot B$.
यह एक $XOR$ (एक्सक्लूसिव-$OR$) गेट के लिए बूलियन व्यंजक है।

(B) डी मॉर्गन के नियम का उपयोग करते हुए,$\overline {\bar A \cdot \bar B} = \overline{\bar A} + \overline{\bar B} = A + B$।
इस मान को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: $(A + B) \cdot A$।
व्यंजक का विस्तार करने पर: $A \cdot A + B \cdot A$।
चूंकि $A \cdot A = A$,हमें $A + AB$ प्राप्त होता है।
$A$ को कॉमन लेने पर: $A(1 + B)$।
चूंकि $(1 + B) = 1$,व्यंजक का सरलीकृत रूप $A \cdot 1 = A$ होता है।

(A) दिए गए परिपथ में,इनपुट $A$ और $B$ को $OR$ गेट में भेजने से पहले $NOT$ गेट से गुजारा जाता है।
मान लीजिए $A$ और $B$ इनपुट सिग्नल हैं जहाँ $1$ का अर्थ उच्च (high) और $0$ का अर्थ निम्न (low) है।
वेवफॉर्म से,$A$ के लिए अनुक्रम $1, 0, 1, 0$ है और $B$ के लिए $1, 1, 0, 0$ है।
$NOT$ गेट से गुजरने के बाद,$OR$ गेट के लिए इनपुट $A' = 0, 1, 0, 1$ और $B' = 0, 0, 1, 1$ हो जाते हैं।
$OR$ गेट $Y = A' + B'$ ऑपरेशन करता है।
आउटपुट अनुक्रम की गणना:
पहले अंतराल के लिए: $0 + 0 = 0$
दूसरे अंतराल के लिए: $1 + 0 = 1$
तीसरे अंतराल के लिए: $0 + 1 = 1$
चौथे अंतराल के लिए: $1 + 1 = 1$
इस प्रकार,$Y$ के लिए परिणामी अनुक्रम $0, 1, 1, 1$ है। यह विकल्प $A$ के अनुरूप है।

(A) दिए गए परिपथ में दो डायोड समानांतर क्रम में जुड़े हैं,जिनका उभयनिष्ठ सिरा ग्राउंड से जुड़े एक प्रतिरोधक के साथ जुड़ा है।
इस परिपथ के लिए सत्यता सारणी (truth table) नीचे दी गई है:

$A$	$B$	$C$
$0$	$0$	$0$
$0$	$1$	$1$
$1$	$0$	$1$
$1$	$1$	$1$

$1$. जब दोनों इनपुट $A$ और $B$ निम्न विभव $(0)$ पर होते हैं,तो दोनों डायोड रिवर्स बायस में होते हैं (या चालन नहीं करते हैं),इसलिए आउटपुट $C$ ग्राउंड विभव $(0)$ पर रहता है।
$2$. जब $A$ या $B$ में से कोई भी एक उच्च विभव $(1)$ पर होता है,तो संबंधित डायोड फॉरवर्ड बायस में आ जाता है और चालन करता है,जिससे आउटपुट $C$ उच्च विभव $(1)$ पर चला जाता है।
$3$. यह व्यवहार बूलियन व्यंजक $C = A + B$ के अनुरूप है,जो $OR$ गेट की विशिष्ट कार्यप्रणाली है।

(D) दिए गए सर्किट में दो $NOT$ गेट और उसके बाद एक $NOR$ गेट है।
मान लीजिए इनपुट $A$ और $B$ हैं। $NOT$ गेट के आउटपुट $\bar{A}$ और $\bar{B}$ हैं।
ये $NOR$ गेट में जाते हैं,इसलिए अंतिम आउटपुट $Y$ है:
$Y = \overline{\bar{A} + \bar{B}}$
डी मॉर्गन के प्रमेय का उपयोग करते हुए,$\overline{\bar{A} + \bar{B}} = \overline{\bar{A}} \cdot \overline{\bar{B}} = A \cdot B$.
अतः,यह सर्किट $AND$ गेट के रूप में कार्य करता है।
$AND$ गेट के लिए सत्यता सारणी (truth table) इस प्रकार है:

$A$	$B$	$Y$
$0$	$0$	$0$
$0$	$1$	$0$
$1$	$0$	$0$
$1$	$1$	$1$

इनपुट वेवफॉर्म $A$ और $B$ की तुलना $AND$ गेट लॉजिक से करने पर,आउटपुट $Y$ केवल तभी उच्च $(1)$ होता है जब $A$ और $B$ दोनों उच्च $(1)$ हों। दिए गए वेवफॉर्म को देखने पर,यह विकल्प $D$ के अनुरूप है।

(B) इस सर्किट में दो $NAND$ गेट हैं जो $NOT$ गेट के रूप में कार्य करते हैं (क्योंकि उनके इनपुट शॉर्ट किए गए हैं) और उसके बाद एक $NAND$ गेट है।
मान लीजिए इनपुट $A$ और $B$ हैं।
पहले $NAND$ गेट का आउटपुट $\bar{A}$ है।
दूसरे $NAND$ गेट का आउटपुट $\bar{B}$ है।
ये दोनों आउटपुट तीसरे $NAND$ गेट में दिए जाते हैं।
अंतिम आउटपुट $X$ बूलियन व्यंजक द्वारा दिया जाता है:
$X = \overline{\bar{A} \cdot \bar{B}}$
डी मॉर्गन के प्रमेय का उपयोग करते हुए,$\overline{\bar{A} \cdot \bar{B}} = \overline{\bar{A}} + \overline{\bar{B}} = A + B$.
चूंकि व्यंजक $X = A + B$ एक $OR$ गेट को दर्शाता है,इसलिए सही विकल्प $B$ है।

(B) मान लीजिए कि पहले $NAND$ गेट का आउटपुट $Y_1 = \overline{A \cdot B}$ है।
यह $Y_1$ अगले दो $NAND$ गेटों में इनपुट के रूप में दिया जाता है।
दूसरे $NAND$ गेट का आउटपुट $Y_2 = \overline{A \cdot Y_1} = \overline{A \cdot (\overline{A \cdot B})} = \overline{A} + (A \cdot B) = \overline{A} + B$ है।
तीसरे $NAND$ गेट का आउटपुट $Y_3 = \overline{B \cdot Y_1} = \overline{B \cdot (\overline{A \cdot B})} = \overline{B} + (A \cdot B) = \overline{B} + A$ है।
अंतिम आउटपुट $Y$, $Y_2$ और $Y_3$ का $NAND$ है:
$Y = \overline{Y_2 \cdot Y_3} = \overline{(\overline{A} + B) \cdot (\overline{B} + A)} = \overline{(\overline{A} \cdot \overline{B} + \overline{A} \cdot A + B \cdot \overline{B} + B \cdot A)} = \overline{(\overline{A} \cdot \overline{B} + 0 + 0 + A \cdot B)} = \overline{\overline{A} \cdot \overline{B}} + \overline{A \cdot B} = (A + B) \cdot (\overline{A} + \overline{B}) = A \cdot \overline{B} + B \cdot \overline{A}$.
यह एक $XOR$ गेट के लिए बूलियन व्यंजक है।
$XOR$ गेट के लिए सत्यता सारणी इस प्रकार है:
यदि $A=0, B=0$, तो $Y=0$ है।
यदि $A=0, B=1$, तो $Y=1$ है।
यदि $A=1, B=0$, तो $Y=1$ है।
यदि $A=1, B=1$, तो $Y=0$ है।
यह विकल्प $B$ से मेल खाता है।

(A) समय ग्राफ का अवलोकन करके,हम इनपुट $a, b, c, d$ और आउटपुट $x$ के बीच के संबंध का विश्लेषण कर सकते हैं।
दिए गए ग्राफ में,आउटपुट $x$ उच्च $(1)$ हो जाता है जैसे ही कोई भी इनपुट $(a, b, c, d)$ उच्च $(1)$ होता है।
विशेष रूप से,शुरुआत में,सभी इनपुट $0$ हैं और आउटपुट $x$ भी $0$ है।
जैसे ही इनपुट $d$ में पहली पल्स आती है,आउटपुट $x$ बदलकर $1$ हो जाता है और शेष अवधि के लिए $1$ ही रहता है,चाहे अन्य इनपुट की स्थिति कुछ भी हो।
यह व्यवहार,जिसमें यदि कम से कम एक इनपुट $1$ है तो आउटपुट $1$ प्राप्त होता है,$OR$ गेट की विशिष्ट सत्यता सारणी का व्यवहार है।
इसलिए,यह गेट $OR$ गेट है।

(D) प्रथम सर्किट के लिए,इनपुट $A$ और $B$ को $NOT$ गेट के रूप में कार्य करने वाले $NAND$ गेट से गुजारा जाता है,जिसके परिणामस्वरूप $\bar{A}$ और $\bar{B}$ प्राप्त होते हैं। इन्हें फिर एक $NAND$ गेट में दिया जाता है,जिससे $\overline{\bar{A} \cdot \bar{B}} = A + B$ प्राप्त होता है। इसे फिर एक अन्य $NOT$ गेट ($NAND$ के रूप में $NOT$) से गुजारा जाता है,जिससे $C_1 = \overline{A + B} = \bar{A} \cdot \bar{B}$ प्राप्त होता है। इस प्रकार,$C_1$ केवल तब हाई $(1)$ होता है जब $A$ और $B$ दोनों लो $(0)$ हों। इनपुट ग्राफ को देखने पर,$A=0$ और $B=0$ केवल $t = 4 \ s$ से $5 \ s$ के अंतराल में हैं। इसलिए,$C_1$,$4 \ s$ से $5 \ s$ तक हाई है।
दूसरे सर्किट के लिए,इनपुट $A$ और $B$ को $NOR$ गेट के रूप में कार्य करने वाले $NOT$ गेट से गुजारा जाता है,जिसके परिणामस्वरूप $\bar{A}$ और $\bar{B}$ प्राप्त होते हैं। इन्हें फिर एक $NOR$ गेट में दिया जाता है,जिससे $C_2 = \overline{\bar{A} + \bar{B}} = A \cdot B$ प्राप्त होता है। इस प्रकार,$C_2$ केवल तब हाई $(1)$ होता है जब $A$ और $B$ दोनों हाई $(1)$ हों। इनपुट ग्राफ को देखने पर,$A=1$ और $B=1$ केवल $t = 1 \ s$ से $2 \ s$ के अंतराल में हैं। इसलिए,$C_2$,$1 \ s$ से $2 \ s$ तक हाई है।
इसे दिए गए विकल्पों के साथ मिलाने पर,सही आउटपुट सिग्नल विकल्प $D$ से मेल खाते हैं।

(C) दिए गए सर्किट में इनपुट पर दो $NOT$ गेट,उसके बाद एक $NOR$ गेट और अंत में आउटपुट पर एक और $NOT$ गेट लगा है।
मान लीजिए इनपुट $A$ और $B$ हैं।
पहले दो $NOT$ गेट के आउटपुट $\bar{A}$ और $\bar{B}$ हैं।
इन्हें एक $NOR$ गेट में भेजा जाता है,इसलिए इसका आउटपुट $\overline{\bar{A} + \bar{B}}$ होता है।
डी मॉर्गन के नियम के अनुसार,$\overline{\bar{A} + \bar{B}} = \overline{\bar{A}} \cdot \overline{\bar{B}} = A \cdot B$ होता है।
यह आउटपुट फिर एक अंतिम $NOT$ गेट से होकर गुजरता है,इसलिए अंतिम आउटपुट $Y = \overline{A \cdot B}$ प्राप्त होता है।
यह एक $NAND$ गेट के लिए बूलियन व्यंजक है।
$NAND$ गेट केवल तभी कम आउटपुट $(0)$ देता है जब दोनों इनपुट उच्च $(1)$ हों। अन्य सभी मामलों में,आउटपुट उच्च $(1)$ होता है।
इस तर्क की तुलना दिए गए इनपुट वेवफॉर्म से करने पर,आउटपुट वेवफॉर्म विकल्प $C$ के अनुरूप है।

(D) सही सर्किट खोजने के लिए, हम दिए गए सत्य तालिका (truth table) की शर्तों का विश्लेषण करते हैं जहाँ $Y = 0$ है:
$1$. $(A, B, C) = (0, 0, 0)$ के लिए, $Y = 0$.
$2$. $(A, B, C) = (0, 0, 1)$ के लिए, $Y = 0$.
$3$. $(A, B, C) = (0, 1, 0)$ के लिए, $Y = 0$.
आइए विकल्प $D$ (चित्र $814-$d281) में सर्किट का मूल्यांकन करें, जिसमें $B$ और $C$ इनपुट के साथ एक $AND$ गेट है, जिसके बाद $A$ और $AND$ गेट के आउटपुट के साथ एक $OR$ गेट है। बूलियन समीकरण $Y = A + (B \cdot C)$ है।
इनपुट की जाँच करने पर:
- $(0, 0, 0)$ के लिए: $Y = 0 + (0 \cdot 0) = 0 + 0 = 0$.
- $(0, 0, 1)$ के लिए: $Y = 0 + (0 \cdot 1) = 0 + 0 = 0$.
- $(0, 1, 0)$ के लिए: $Y = 0 + (1 \cdot 0) = 0 + 0 = 0$.
- $(0, 1, 1)$ के लिए: $Y = 0 + (1 \cdot 1) = 0 + 1 = 1$.
- $(1, 0, 0)$ के लिए: $Y = 1 + (0 \cdot 0) = 1 + 0 = 1$.
- $(1, 0, 1)$ के लिए: $Y = 1 + (0 \cdot 1) = 1 + 0 = 1$.
- $(1, 1, 0)$ के लिए: $Y = 1 + (1 \cdot 0) = 1 + 0 = 1$.
- $(1, 1, 1)$ के लिए: $Y = 1 + (1 \cdot 1) = 1 + 1 = 1$.
यह आवश्यक आउटपुट शर्तों के साथ पूरी तरह मेल खाता है। इसलिए, सही सर्किट $D$ है।

(A) दिए गए परिपथ में एक $OR$ गेट और एक $AND$ गेट शामिल है।
$1$. $OR$ गेट के इनपुट $A$ और $B$ हैं। इसलिए,$OR$ गेट का आउटपुट $(A + B)$ प्राप्त होता है।
$2$. $AND$ गेट के इनपुट $A$ और $OR$ गेट का आउटपुट $(A + B)$ हैं।
$3$. $AND$ गेट का आउटपुट $Y$ इसके इनपुट का गुणनफल है: $Y = A \cdot (A + B)$।
$4$. बूलियन बीजगणित के अवशोषण नियम (law of absorption) का उपयोग करते हुए,$A \cdot (A + B) = A$ होता है।
$5$. इसलिए,अंतिम आउटपुट $Y = A$ प्राप्त होता है।

(B) मान लीजिए कि पहले $NAND$ गेट का आउटपुट $P = \overline{A \cdot B}$ है।
ऊपरी $NAND$ गेट के इनपुट $A$ और $P$ हैं, इसलिए इसका आउटपुट $Q = \overline{A \cdot P}$ है।
निचले $NAND$ गेट के इनपुट $P$ और $B$ हैं, इसलिए इसका आउटपुट $R = \overline{P \cdot B}$ है।
अंतिम आउटपुट $Y$, $Q$ और $R$ इनपुट वाले $NAND$ गेट का आउटपुट है, इसलिए $Y = \overline{Q \cdot R}$ है।
डी मॉर्गन के नियम का उपयोग करते हुए: $Y = \overline{Q} + \overline{R} = \overline{\overline{A \cdot P}} + \overline{\overline{P \cdot B}} = (A \cdot P) + (P \cdot B) = P \cdot (A + B)$।
$P = \overline{A \cdot B} = \overline{A} + \overline{B}$ प्रतिस्थापित करने पर, हमें $Y = (\overline{A} + \overline{B}) \cdot (A + B) = \overline{A} \cdot B + A \cdot \overline{B}$ प्राप्त होता है।
यह एक $XOR$ गेट का व्यंजक है।
$A = 0, B = 0$ के लिए: $Y = 0 \oplus 0 = 0$।
$A = 1, B = 1$ के लिए: $Y = 1 \oplus 1 = 0$।
$A = 0, B = 1$ के लिए: $Y = 0 \oplus 1 = 1$।
अतः, आउटपुट $(0, 0, 1)$ हैं।

(D) मान लीजिए कि दो $NAND$ गेट के इनपुट $P$ और $Q$ हैं।
सर्किट आरेख से,ऊपरी $NAND$ गेट के इनपुट $\bar A$ और $B$ हैं। इसका आउटपुट $P = \overline{\bar A \cdot B} = A + \bar B$ है।
निचले $NAND$ गेट के इनपुट $A$ और $\bar B$ हैं। इसका आउटपुट $Q = \overline{A \cdot \bar B} = \bar A + B$ है।
अंतिम गेट एक $NOR$ गेट है,इसलिए आउटपुट $y = \overline{P + Q}$ है।
$P$ और $Q$ के मान रखने पर:
$y = \overline{(A + \bar B) + (\bar A + B)}$
$y = \overline{(A + \bar A) + (B + \bar B)}$
चूंकि $A + \bar A = 1$ और $B + \bar B = 1$:
$y = \overline{1 + 1} = \overline{1} = 0$.
अतः,आउटपुट $y = 0$ है।

(D) मान लीजिए कि इनपुट $X$ और $Y$ हैं। ऊपरी शाखा में एक $NOT$ गेट और उसके बाद एक $NOR$ गेट है। $NOR$ गेट के इनपुट $\bar{X}$ और $Y$ हैं। अतः,$P = \overline{\bar{X} + Y} = X \cdot \bar{Y}$.
निचली शाखा में $X$ और $\bar{Y}$ इनपुट वाला एक $NAND$ गेट है। अतः,$Q = \overline{X \cdot \bar{Y}} = \bar{X} + Y$.
अंतिम गेट $P$ और $Q$ इनपुट वाला एक $NOR$ गेट है। अतः,$R = \overline{P + Q} = \overline{(X \cdot \bar{Y}) + (\bar{X} + Y)}$.
डी मॉर्गन के नियमों का उपयोग करते हुए,$R = \overline{(X \cdot \bar{Y})} \cdot \overline{(\bar{X} + Y)} = (\bar{X} + Y) \cdot (X \cdot \bar{Y})$.
इसका विस्तार करने पर,$R = (\bar{X} \cdot X \cdot \bar{Y}) + (Y \cdot X \cdot \bar{Y}) = 0 + 0 = 0$.
चूंकि आउटपुट $R$ इनपुट $X$ और $Y$ की परवाह किए बिना हमेशा $0$ रहता है,इसलिए $R$ पर उच्च आउटपुट $(1)$ प्राप्त करना संभव नहीं है।

(B) लॉजिक सर्किट का आउटपुट बूलियन व्यंजक द्वारा दिया गया है: $Y = AB + \bar{A}\bar{B} + \bar{A}BC$.
आइए प्रत्येक विकल्प के लिए आउटपुट का मूल्यांकन करें:
$A$. $A = 1, B = 0, C = 0$ के लिए: $Y = (1)(0) + (0)(1) + (0)(0)(0) = 0 + 0 + 0 = 0$. (गलत)
$B$. $A = 0, B = 1, C = 1$ के लिए: $Y = (0)(1) + (1)(0) + (1)(1)(1) = 0 + 0 + 1 = 1$. (सही)
$C$. $A = 1, B = 1, C = 0$ के लिए: $Y = (1)(1) + (0)(0) + (0)(1)(0) = 1 + 0 + 0 = 1$. (गलत)
$D$. $A = 0, B = 1, C = 1$ के लिए: $Y = (0)(1) + (1)(0) + (1)(1)(1) = 0 + 0 + 1 = 1$. (गलत)
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(B) इस सर्किट में दो $NPN$ ट्रांजिस्टर समानांतर (parallel) रूप में जुड़े हुए हैं। कलेक्टर $+V_{cc}$ से जुड़े हैं और उत्सर्जक (emitters) एक आउटपुट टर्मिनल से जुड़े हैं,जो एक प्रतिरोधक के माध्यम से ग्राउंड किया गया है।
$1$. यदि दोनों इनपुट $A$ और $B$ कम वोल्टेज $(0)$ पर हैं,तो दोनों ट्रांजिस्टर कट-ऑफ स्थिति में होते हैं। आउटपुट प्रतिरोधक के माध्यम से ग्राउंड से जुड़ा होता है,इसलिए $Out = 0$ प्राप्त होता है।
$2$. यदि इनपुट $A$ उच्च $(1)$ और $B$ कम $(0)$ है,तो ऊपरी ट्रांजिस्टर संचालित होता है और आउटपुट वोल्टेज उच्च $(1)$ हो जाता है।
$3$. यदि इनपुट $A$ कम $(0)$ और $B$ उच्च $(1)$ है,तो निचला ट्रांजिस्टर संचालित होता है और आउटपुट वोल्टेज उच्च $(1)$ हो जाता है।
$4$. यदि दोनों इनपुट $A$ और $B$ उच्च $(1)$ हैं,तो दोनों ट्रांजिस्टर संचालित होते हैं और आउटपुट वोल्टेज उच्च $(1)$ हो जाता है।
यह सत्यता सारणी (truth table) $OR$ गेट के अनुरूप है।

(A) मान लीजिए कि $NAND$ गेट का आउटपुट $C$ है। $C$ के लिए बूलियन व्यंजक $C = \overline{A \cdot B}$ है।
इसके बाद, ऊपर वाला $AND$ गेट $A$ और $C$ इनपुट लेता है, जिससे आउटपुट $D = A \cdot C = A \cdot (\overline{A \cdot B})$ प्राप्त होता है।
इसी प्रकार, नीचे वाला $AND$ गेट $B$ और $C$ इनपुट लेता है, जिससे आउटपुट $E = B \cdot C = B \cdot (\overline{A \cdot B})$ प्राप्त होता है।
अंतिम आउटपुट $X$, $D$ और $E$ का $OR$ गेट है, इसलिए $X = D + E = A \cdot (\overline{A \cdot B}) + B \cdot (\overline{A \cdot B}) = (A + B) \cdot (\overline{A \cdot B})$.
सत्यता सारणी का उपयोग करते हुए:

$A$	$B$	$C = \overline{A \cdot B}$	$D = A \cdot C$	$E = B \cdot C$	$X = D + E$
$0$	$0$	$1$	$0$	$0$	$0$
$0$	$1$	$1$	$0$	$1$	$1$
$1$	$0$	$1$	$1$	$0$	$1$
$1$	$1$	$0$	$0$	$0$	$0$

यह सत्यता सारणी $XOR$ गेट के अनुरूप है।

(B) प्रश्न के अनुसार, जब पानी का स्तर निर्धारित मान से नीचे होता है तो सेंसर का आउटपुट $0$ होता है और अन्यथा $1$ होता है।
हम चाहते हैं कि यदि कम से कम एक टैंक में पानी का स्तर निर्धारित मान से नीचे हो तो पंप चालू $(P = 1)$ हो जाए।
इसका अर्थ है कि यदि $S_1 = 0$ या $S_2 = 0$ हो तो $P = 1$ होना चाहिए।
बूलियन बीजगणित का उपयोग करते हुए, यह $P = \overline{S_1} + \overline{S_2}$ के बराबर है।
डी मॉर्गन के नियम के अनुसार, $\overline{S_1} + \overline{S_2} = \overline{S_1 \cdot S_2}$।
यह $NAND$ गेट के लिए बूलियन समीकरण है।
विकल्पों को देखने पर:
विकल्प $A$ दो $AND$ गेट द्वारा संचालित $OR$ गेट है: $P = (S_1 \cdot S_2) + (S_1 \cdot S_2) = S_1 \cdot S_2$।
विकल्प $B$ दो $NAND$ गेट द्वारा संचालित $OR$ गेट है: $P = \overline{S_1 \cdot S_2} + \overline{S_1 \cdot S_2} = \overline{S_1 \cdot S_2}$।
यह हमारी आवश्यकता $P = \overline{S_1 \cdot S_2}$ से मेल खाता है।
अतः, सही परिपथ $B$ है।

(C) दिए गए परिपथ में,आउटपुट तभी उच्च (high) होता है जब परिपथ बंद हो।
मान लीजिए कि जब स्विच $A$,$3$ पर है तो $A=0$ है,और जब स्विच $A$,$4$ पर है तो $A=1$ है।
मान लीजिए कि जब स्विच $B$,$1$ पर है तो $B=0$ है,और जब स्विच $B$,$2$ पर है तो $B=1$ है।
परिपथ तब बंद होता है जब पथ पूरा हो जाता है। यह तब होता है जब $A$ और $B$ अलग-अलग अवस्थाओं में हों (अर्थात,एक $1/3$ पर और दूसरा $2/4$ पर हो)।
विशेष रूप से,परिपथ तब बंद होता है यदि ($A=1$ और $B=0$) या ($A=0$ और $B=1$) हो।
यह बूलियन व्यंजक $A \cdot \bar{B} + B \cdot \bar{A}$ के अनुरूप है,जो $XOR$ गेट के लिए तर्क है।

(D) लॉजिक सर्किट में एक $NOR$ गेट है जिसके बाद एक $AND$ गेट जुड़ा है। $NOR$ गेट के इनपुट $A$ और $B$ हैं। $NOR$ गेट का आउटपुट $\overline{A+B}$ है।
यह आउटपुट फिर इनपुट $B$ के साथ $AND$ गेट में जाता है। इसलिए,अंतिम आउटपुट $C$ इस प्रकार है:
$C = (\overline{A+B}) \cdot B$
इस समीकरण के लिए ट्रुथ टेबल का विश्लेषण करते हैं:
यदि $A=0, B=0$ है,तो $C = (\overline{0+0}) \cdot 0 = 1 \cdot 0 = 0$.
यदि $A=1, B=0$ है,तो $C = (\overline{1+0}) \cdot 0 = 0 \cdot 0 = 0$.
यदि $A=0, B=1$ है,तो $C = (\overline{0+1}) \cdot 1 = 0 \cdot 1 = 0$.
यदि $A=1, B=1$ है,तो $C = (\overline{1+1}) \cdot 1 = 0 \cdot 1 = 0$.
इस प्रकार,आउटपुट हमेशा $0$ रहता है।

(D) यह सर्किट दो $NAND$ गेट से बना है जिनके आउटपुट एक $NOR$ गेट में जाते हैं। मान लीजिए इनपुट $X, Y, Z$ हैं। पहले $NAND$ गेट का आउटपुट $A = \overline{X \cdot Y}$ है और दूसरे $NAND$ गेट का आउटपुट $B = \overline{Y \cdot Z}$ है। ये $NOR$ गेट के इनपुट हैं,इसलिए अंतिम आउटपुट $R = \overline{A + B} = \overline{\overline{X \cdot Y} + \overline{Y \cdot Z}}$ है। डी मॉर्गन प्रमेय का उपयोग करते हुए,$R = \overline{\overline{X \cdot Y}} \cdot \overline{\overline{Y \cdot Z}} = (X \cdot Y) \cdot (Y \cdot Z) = X \cdot Y \cdot Z$। यह तीन इनपुट वाले $AND$ गेट का बूलियन व्यंजक है। अतः,यह प्रणाली $AND$ गेट के समतुल्य है।

(D) दिए गए परिपथ में दो डायोड हैं जिनके कैथोड एक सामान्य आउटपुट टर्मिनल $C$ से जुड़े हैं,जो एक प्रतिरोधक $R_2$ के माध्यम से ग्राउंड से जुड़ा है।
यदि हम इनपुट $A$ और $B$ लागू करते हैं (जहाँ $0$ निम्न वोल्टेज और $1$ उच्च वोल्टेज दर्शाता है),तो आउटपुट $C$ को इस प्रकार निर्धारित किया जाता है:

$A$	$B$	$C$
$0$	$0$	$0$
$0$	$1$	$1$
$1$	$0$	$1$
$1$	$1$	$1$

जब $A$ और $B$ दोनों $0$ (लो) होते हैं,तो दोनों डायोड रिवर्स बायस में होते हैं या समान विभव पर होते हैं,जिसके परिणामस्वरूप $C = 0$ प्राप्त होता है। यदि $A$ या $B$ में से कोई भी $1$ (हाई) होता है,तो संबंधित डायोड फॉरवर्ड बायस में आ जाता है,जो आउटपुट $C$ को हाई स्टेट $(1)$ पर ले जाता है। यह सत्यता सारणी $OR$ गेट के अनुरूप है।

(B) डी मॉर्गन के नियम का उपयोग करते हुए,$\overline {\bar A \cdot \bar B} = \overline{\bar A} + \overline{\bar B} = A + B$ होता है।
इस मान को व्यंजक में रखने पर:
$(A + B) \cdot A = A \cdot A + B \cdot A$ प्राप्त होता है।
चूंकि $A \cdot A = A$,इसलिए $A + AB$ प्राप्त होता है।
$A$ को कॉमन लेने पर,$A(1 + B)$ प्राप्त होता है।
चूंकि $(1 + B) = 1$,इसलिए व्यंजक का सरल रूप $A \cdot 1 = A$ होता है।

(C) यह सर्किट दो $AND$ गेट और एक $OR$ गेट से बना है। मान लीजिए इनपुट $A$ और $B$ हैं।
$1$. ऊपरी $AND$ गेट को $A$ और $B$ इनपुट मिलते हैं। इसका आउटपुट $C = A \cdot B$ है।
$2$. निचले $AND$ गेट को $\bar{A}$ ($NOT$ गेट से) और $B$ इनपुट मिलते हैं। इसका आउटपुट $D = \bar{A} \cdot B$ है।
$3$. अंतिम आउटपुट $E$,$C$ और $D$ का $OR$ संयोजन है,इसलिए $E = C + D = (A \cdot B) + (\bar{A} \cdot B)$ है।
$4$. $B$ को कॉमन लेने पर,हमें $E = B(A + \bar{A})$ प्राप्त होता है। चूंकि $A + \bar{A} = 1$,इसलिए समीकरण सरल होकर $E = B \cdot 1 = B$ हो जाता है।
$5$. सत्यता सारणी बनाने पर:
- यदि $A=0, B=0$,तो $E=0$ है।
- यदि $A=0, B=1$,तो $E=1$ है।
- यदि $A=1, B=0$,तो $E=0$ है।
- यदि $A=1, B=1$,तो $E=1$ है।
यह सत्यता सारणी दर्शाती है कि $E$ का मान $B$ के समान है।

(C) मान लीजिए कि इनपुट $A$ और $B$ हैं। पहला गेट एक $OR$ गेट है जिसमें एक इनपुट इनवर्टेड है,इसलिए इसका आउटपुट $Y' = \bar{A} + B$ है।
दूसरा गेट एक $AND$ गेट है जिसके इनपुट $Y'$,$A$ और $B$ हैं। इसका आउटपुट $Y'' = Y' \cdot A \cdot B = (\bar{A} + B) \cdot A \cdot B$ है।
बूलियन बीजगणित का उपयोग करते हुए: $Y'' = (\bar{A} \cdot A \cdot B) + (B \cdot A \cdot B) = (0 \cdot B) + (A \cdot B) = A \cdot B$ है।
अंतिम गेट एक $NOT$ गेट है,इसलिए अंतिम आउटपुट $Y = \overline{Y''} = \overline{A \cdot B}$ है।
यह $NAND$ गेट के लिए बूलियन व्यंजक है।
परिपथ के लिए सत्यता सारणी (Truth table):

$A$	$B$	$\bar{A}$	$Y' = \bar{A} + B$	$Y'' = Y' \cdot A \cdot B$	$Y = \overline{Y''}$
$0$	$0$	$1$	$1$	$0$	$1$
$0$	$1$	$1$	$1$	$0$	$1$
$1$	$0$	$0$	$0$	$0$	$1$
$1$	$1$	$0$	$1$	$1$	$0$

(D) यह परिपथ एक $NAND$ गेट और एक $OR$ गेट से बना है जो एक अंतिम $OR$ गेट में जाते हैं।
मान लीजिए इनपुट $A$ और $B$ हैं।
$NAND$ गेट का आउटपुट $\overline{AB}$ है।
$OR$ गेट का आउटपुट $A+B$ है।
अंतिम आउटपुट $Y$ इन दोनों का $OR$ संयोजन है: $Y = (A+B) + \overline{AB}$।
बूलियन बीजगणित का उपयोग करते हुए: $Y = A + B + \bar{A} + \bar{B}$।
चूंकि $A + \bar{A} = 1$ और $B + \bar{B} = 1$,इसलिए व्यंजक $Y = 1 + 1 = 1$ में सरल हो जाता है।
इस प्रकार,सभी इनपुट संयोजनों $(A, B)$ के लिए,आउटपुट $Y$ हमेशा $1$ रहता है।
अतः,सही सत्यता सारणी विकल्प $D$ है।

(A) $NOR$ गेट एक $OR$ गेट और एक $NOT$ गेट का संयोजन है।
$OR$ गेट के लिए बूलियन व्यंजक $Y = A + B$ है।
$NOR$ गेट के लिए बूलियन व्यंजक $Y = \overline{A + B}$ है।
इस व्यंजक के अनुसार, यदि दोनों इनपुट $A$ और $B$ का मान $0$ (निम्न) है, तो $Y = \overline{0 + 0} = \overline{0} = 1$ (उच्च) प्राप्त होता है।
यदि कोई भी इनपुट $1$ (उच्च) है, तो आउटपुट $0$ (निम्न) हो जाता है।
इसलिए, $NOR$ गेट केवल तभी उच्च आउटपुट देता है जब दोनों इनपुट निम्न हों।

(C) मान लीजिए कि दो $NOT$ गेट के इनपुट $A$ और $B$ हैं।
$NOT$ गेट के आउटपुट क्रमशः $\bar{A}$ और $\bar{B}$ हैं।
इन आउटपुट को एक $EX-OR$ गेट में भेजा जाता है।
$EX-OR$ गेट का आउटपुट $Y$ बूलियन व्यंजक द्वारा दिया जाता है:
$Y = \bar{A} \oplus \bar{B}$
$EX-OR$ गेट के गुण का उपयोग करते हुए,$X \oplus Y = X\bar{Y} + \bar{X}Y$,हमें प्राप्त होता है:
$Y = \bar{A}(\overline{\bar{B}}) + (\overline{\bar{A}})\bar{B}$
$Y = \bar{A}B + A\bar{B}$
यह एक $EX-OR$ गेट के लिए बूलियन व्यंजक है।
अतः,दिया गया संयोजन एक $EX-OR$ गेट के समतुल्य है।

(A) मान लीजिए कि परिपथ का आउटपुट $y$ है। यह परिपथ तीन $NAND$ गेट $(G_1, G_2, G_3)$ और दो $NOT$ गेट से बना है।
$1$. पहले $NOT$ गेट का इनपुट $1$ है,इसलिए इसका आउटपुट $0$ है। यह $0$ दूसरे $NOT$ गेट में जाता है,जिससे उसका आउटपुट $1$ हो जाता है। अतः,गेट $G_2$ का इनपुट $B = 1$ है।
$2$. गेट $G_3$ का इनपुट $0$ (पहले $NOT$ गेट से) और $y$ (आउटपुट से फीडबैक) है। $G_3$ का आउटपुट $\overline{0 \cdot y} = \overline{0} = 1$ प्राप्त होता है।
$3$. गेट $G_1$ के इनपुट $0$ और $y$ हैं। इसका आउटपुट $\overline{0 \cdot y} = \overline{0} = 1$ प्राप्त होता है। यह आउटपुट $1$,गेट $G_2$ का इनपुट $A$ है।
$4$. अब,गेट $G_2$ के इनपुट $A = 1$ और $B = 1$ हैं। इसका आउटपुट $y = \overline{A \cdot B} = \overline{1 \cdot 1} = \overline{1} = 0$ प्राप्त होता है।
$5$. चूंकि आउटपुट $y = 0$ है,इसलिए परिपथ सुसंगत है। अतः,$y$ का मान $0$ है।

(C) $NAND$ गेट $Y = \overline{A \cdot B}$ ऑपरेशन करता है।
यदि दो इनपुट $A$ और $B$ को शॉर्ट कर दिया जाए, तो $A = B = X$ होगा।
इस मान को $NAND$ समीकरण में रखने पर, हमें $Y = \overline{X \cdot X}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $X \cdot X = X$ होता है, इसलिए समीकरण $Y = \overline{X}$ बन जाता है।
यह $NOT$ गेट का बूलियन समीकरण है।
अतः, शॉर्ट किए गए इनपुट वाला $NAND$ गेट $NOT$ गेट के रूप में कार्य करता है।

(A) दिए गए लॉजिक सर्किट में दो $NOT$ गेट,दो $AND$ गेट और एक $OR$ गेट शामिल हैं। आउटपुट समीकरण इस प्रकार प्राप्त किया जाता है:
$1$. ऊपरी शाखा का आउटपुट $\overline{A} \cdot B$ है।
$2$. निचली शाखा का आउटपुट $A \cdot \overline{B}$ है।
$3$. अंतिम $OR$ गेट इन दोनों को जोड़कर $Y = \overline{A}B + A\overline{B}$ देता है,जो एक $XOR$ गेट का बूलियन समीकरण है।
सत्यता सारणी इस प्रकार है:

$A$	$B$	$\overline{A}$	$\overline{B}$	$\overline{A} \cdot B$	$A \cdot \overline{B}$	$Y = \overline{A}B + A\overline{B}$
$0$	$0$	$1$	$1$	$0$	$0$	$0$
$0$	$1$	$1$	$0$	$1$	$0$	$1$
$1$	$0$	$0$	$1$	$0$	$1$	$1$
$1$	$1$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$