Boolean Algebra and Logic Gates Questions in Hindi

(D) बूलियन बीजगणित में,निम्नलिखित नियम मौलिक हैं:
$1$. आइडेंपोटेंट नियम: $A + A = A$ और $A \cdot A = A$। अतः,विकल्प $A$ सही है।
$2$. $OR$ नियम: $A + 1 = 1$ (क्योंकि किसी भी इनपुट का $1$ के साथ $OR$ ऑपरेशन हमेशा $1$ देता है)। अतः,विकल्प $B$ सही है।
$3$. कॉम्प्लीमेंट नियम: $A \cdot \overline{A} = 0$ (क्योंकि दोनों चरों में से एक का $0$ होना अनिवार्य है)। अतः,विकल्प $C$ सही है।
चूंकि दिए गए सभी संबंध मानक बूलियन पहचान हैं,इसलिए सही उत्तर $D$ है।

(D) वह लॉजिक गेट जिसका आउटपुट निम्न $(0)$ होता है जब कोई भी एक इनपुट उच्च $(1)$ होता है,उसे $NAND$ गेट कहते हैं।
$NAND$ गेट के लिए,आउटपुट $Y = \overline{A \cdot B}$ होता है।
यदि $A = 1$ या $B = 1$ है,तो $A \cdot B = 1$ होगा,इसलिए $Y = \overline{1} = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,जब कम से कम एक इनपुट उच्च होता है तो आउटपुट निम्न प्राप्त होता है।

(C) $1$. पहला गेट एक $NOR$ गेट है जिसके दोनों इनपुट $A$ से जुड़े हैं। इस $NOR$ गेट का आउटपुट $\overline{A + A} = \bar{A}$ प्राप्त होता है।
$2$. दूसरा गेट एक $NOT$ गेट है। इस गेट का इनपुट $\bar{A}$ है,इसलिए इसका आउटपुट $\overline{\bar{A}} = A$ प्राप्त होता है।
$3$. तीसरा गेट एक $NAND$ गेट है जिसके दोनों इनपुट $NOT$ गेट के आउटपुट (जो $A$ है) से जुड़े हैं। इस $NAND$ गेट का आउटपुट $\overline{A \cdot A} = \bar{A}$ प्राप्त होता है।
$4$. अतः,सर्किट के लिए अंतिम बूलियन व्यंजक $Y = \bar{A}$ है।

(A) $NAND$ गेट का बूलियन व्यंजक $Y = \overline{A \cdot B}$ होता है।
यदि सभी इनपुट एक साथ जुड़े हुए हैं,तो $A = B = X$ होगा।
इस मान को व्यंजक में रखने पर,हमें $Y = \overline{X \cdot X}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $X \cdot X = X$ होता है,इसलिए व्यंजक सरल होकर $Y = \overline{X}$ हो जाता है।
यह $NOT$ गेट का बूलियन व्यंजक है।
अतः,$NAND$ गेट के सभी इनपुट को जोड़ने पर वह $NOT$ गेट की तरह कार्य करता है।

(C) लॉजिक गेट किसी भी डिजिटल सर्किट या सिस्टम के आधारभूत घटक (building blocks) होते हैं। वे एक या अधिक बाइनरी इनपुट पर बुनियादी तार्किक कार्य (जैसे $AND$,$OR$,$NOT$,$NAND$,$NOR$,$XOR$,और $XNOR$) करके एक एकल बाइनरी आउटपुट प्रदान करते हैं। चूंकि डिजिटल सिस्टम बाइनरी सिग्नल ($0$ और $1$) पर काम करते हैं,इसलिए कंप्यूटर,कैलकुलेटर और अन्य इलेक्ट्रॉनिक उपकरणों में सूचनाओं के प्रसंस्करण के लिए लॉजिक गेट अनिवार्य हैं।

(D) यूनिवर्सल गेट एक ऐसा लॉजिक गेट है जिसका उपयोग किसी भी अन्य लॉजिक गेट (जैसे $AND, OR, NOT, XOR, XNOR$) को बनाने के लिए किया जा सकता है,जिसमें अन्य प्रकार के गेट्स की आवश्यकता नहीं होती है।
$NAND$ और $NOR$ गेट को यूनिवर्सल गेट के रूप में जाना जाता है।
दिए गए विकल्पों में,$NAND$ एक यूनिवर्सल गेट है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) दिए गए लॉजिक गेट प्रतीक में एक $AND$ गेट है जिसके बाद एक $NOT$ ऑपरेशन (आउटपुट पर छोटे वृत्त द्वारा दर्शाया गया है) है।
इस संयोजन को $NAND$ गेट के रूप में जाना जाता है।
$NAND$ गेट के लिए बूलियन व्यंजक $Y = \overline{A \cdot B}$ है।

(C) प्रत्येक लॉजिक गेट का विश्लेषण करते हैं:
$(a)$ यह एक $NOR$ गेट है जिसके इनपुट $1$ और $1$ हैं। $NOR$ गेट का आउटपुट $Y = \overline{A+B}$ होता है। अतः,$Y = \overline{1+1} = \overline{1} = 0$ है।
$(b)$ यह एक $NOR$ गेट है जिसके इनपुट $0$ और $1$ हैं। आउटपुट $Y = \overline{0+1} = \overline{1} = 0$ है।
$(c)$ यह एक $NAND$ गेट है जिसके इनपुट $0$ और $1$ हैं। $NAND$ गेट का आउटपुट $Y = \overline{A \cdot B}$ होता है। अतः,$Y = \overline{0 \cdot 1} = \overline{0} = 1$ है।
$(d)$ यह एक $NAND$ गेट है जिसके इनपुट $0$ और $1$ हैं। आउटपुट $Y = \overline{0 \cdot 1} = \overline{0} = 1$ है।
इस प्रकार,गेट $(c)$ और $(d)$ का आउटपुट $1$ प्राप्त होता है।

(A) प्रत्येक व्यंजक के लिए $A=0$ और $A=1$ रखकर जाँच करते हैं:
$(A)$ $A \cdot \overline{A}$:
$A=0$ के लिए: $0 \cdot \overline{0} = 0 \cdot 1 = 0$.
$A=1$ के लिए: $1 \cdot \overline{1} = 1 \cdot 0 = 0$.
चूँकि दोनों स्थितियों में परिणाम $0$ है,इसलिए यह व्यंजक हमेशा शून्य है।
$(B)$ $A \cdot 0$:
$A=0$ के लिए: $0 \cdot 0 = 0$.
$A=1$ के लिए: $1 \cdot 0 = 0$.
यह व्यंजक भी हमेशा शून्य है।
$(C)$ $\overline{A + \overline{A}}$:
$A=0$ के लिए: $\overline{0 + \overline{0}} = \overline{0 + 1} = \overline{1} = 0$.
$A=1$ के लिए: $\overline{1 + \overline{1}} = \overline{1 + 0} = \overline{1} = 0$.
यह व्यंजक भी हमेशा शून्य है।
$(D)$ $\overline{\overline{A} \cdot 0}$:
$A=0$ के लिए: $\overline{\overline{0} \cdot 0} = \overline{1 \cdot 0} = \overline{0} = 1$.
$A=1$ के लिए: $\overline{\overline{1} \cdot 0} = \overline{0 \cdot 0} = \overline{0} = 1$.
यह व्यंजक हमेशा $1$ है।

(D) बूलियन बीजगणित में,हम दिए गए व्यंजकों का मूल्यांकन करते हैं:
$1$. $A(B + \overline{B}) = A$ के लिए: चूंकि $B + \overline{B} = 1$,इसलिए व्यंजक $A(1) = A$ हो जाता है। यह सही है।
$2$. $A + AB = A$ के लिए: हम $A$ को कॉमन ले सकते हैं जिससे $A(1 + B) = A$ प्राप्त होता है। चूंकि $1 + B = 1$,इसलिए व्यंजक $A(1) = A$ हो जाता है। यह सही है।
$3$. $A + 0 = A$ के लिए: यह बूलियन बीजगणित का तत्समक नियम (Identity Law) है,जो सही है।
चूंकि तीनों संबंध सही हैं,इसलिए सही विकल्प $D$ है।

(A) दिया गया परिपथ दो $NAND$ गेट से बना है। पहले $NAND$ गेट के इनपुट $A$ और $B$ हैं,जिससे आउटपुट $X = \overline{A \cdot B}$ प्राप्त होता है। यह आउटपुट $X$ दूसरे $NAND$ गेट में जाता है,जिसके दोनों इनपुट आपस में जुड़े हुए हैं। जब $NAND$ गेट के दोनों इनपुट शॉर्ट किए जाते हैं,तो यह $NOT$ गेट की तरह कार्य करता है। इसलिए,अंतिम आउटपुट $Y = \overline{X \cdot X} = \overline{X} = \overline{(\overline{A \cdot B})} = A \cdot B$ प्राप्त होता है। यह $AND$ गेट का बूलियन व्यंजक है। अतः,यह संयोजन $AND$ गेट को दर्शाता है।

(B) डी मॉर्गन के पहले प्रमेय के अनुसार,दो चरों के योग का पूरक उनके व्यक्तिगत पूरकों के गुणनफल के बराबर होता है।
गणितीय रूप से,इसे इस प्रकार व्यक्त किया जाता है: $\overline{A + B} = \overline{A} \cdot \overline{B}$।
अतः,व्यंजक $\overline{A} \cdot \overline{B}$,$\overline{A + B}$ के बराबर है।

(A) दिया गया परिपथ दो $NOR$ गेट से बना है। पहले $NOR$ गेट के इनपुट $A$ और $B$ हैं,इसलिए इसका आउटपुट $Y_1 = \overline{A+B}$ होगा।
दूसरे $NOR$ गेट के दोनों इनपुट $Y_1$ से जुड़े हुए हैं। जब एक $NOR$ गेट के दोनों इनपुट एक साथ जोड़ दिए जाते हैं,तो यह $NOT$ गेट की तरह कार्य करता है।
इसलिए,अंतिम आउटपुट $Y = \overline{Y_1 + Y_1} = \overline{Y_1} = \overline{(\overline{A+B})} = A+B$ प्राप्त होता है।
बूलियन व्यंजक $Y = A+B$ एक $OR$ गेट को दर्शाता है।
अतः,यह परिपथ $OR$ गेट के समतुल्य है।

(B) दिए गए लॉजिक गेट प्रतीकों का विश्लेषण करने पर:
$(a)$ एक $NAND$ गेट को दर्शाता है।
$(b)$ एक $XOR$ गेट को दर्शाता है।
$(c)$ एक $NOR$ गेट को दर्शाता है।
$(d)$ एक $NOT$ गेट को दर्शाता है।
अतः,$XOR$ गेट $(b)$ है और $NOR$ गेट $(c)$ है।

(B) $NOR$ गेट,एक $OR$ गेट और उसके बाद एक $NOT$ गेट का संयोजन है।
$NOR$ गेट के लिए बूलियन व्यंजक $Y = \overline{A + B}$ है।
यदि दोनों इनपुट $A$ और $B$ निम्न $(0, 0)$ हैं,तो $A + B = 0$ होगा,और $Y = \overline{0} = 1$ (उच्च आउटपुट) प्राप्त होगा।
यदि कोई भी इनपुट उच्च है,तो आउटपुट निम्न हो जाता है।
इसलिए,$NOR$ गेट केवल तभी उच्च आउटपुट देता है जब दोनों इनपुट निम्न हों।

(C) दी गई सत्यता सारणी इस प्रकार है:
$A=0, B=0 \implies Y=0$
$A=0, B=1 \implies Y=1$
$A=1, B=0 \implies Y=1$
$A=1, B=1 \implies Y=1$
यह सत्यता सारणी दर्शाती है कि यदि इनपुट ($A$ या $B$) में से कम से कम एक इनपुट $1$ है,तो आउटपुट $Y$ का मान $1$ प्राप्त होता है।
यह $OR$ गेट की विशेषता है,जहाँ यदि कोई भी इनपुट उच्च $(1)$ होता है,तो आउटपुट भी उच्च $(1)$ होता है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) दिया गया बूलियन व्यंजक $Y = A \cdot \bar B$ है। यह ज्ञात करने के लिए कि किन इनपुट के लिए $Y = 1$ प्राप्त होता है,हम सत्यता सारणी (Truth Table) बनाते हैं:

$A$	$B$	$\bar B$	$Y = A \cdot \bar B$
$1$	$1$	$0$	$0$
$1$	$0$	$1$	$1$
$0$	$1$	$0$	$0$
$0$	$0$	$1$	$0$

इस सत्यता सारणी से यह स्पष्ट है कि आउटपुट $Y = 1$ केवल तभी प्राप्त होता है जब $A = 1$ और $B = 0$ हो।

(B) चित्र $(a)$ के लिए: यह गेट इनवर्टेड इनपुट वाला एक $OR$ गेट है। आउटपुट $Y = \bar{A} + \bar{B}$ है। डी मॉर्गन के प्रमेय के अनुसार,$\bar{A} + \bar{B} = \overline{A \cdot B}$। यह एक $NAND$ गेट के लिए बूलियन व्यंजक है।
चित्र $(b)$ के लिए: यह गेट इनवर्टेड इनपुट वाला एक $AND$ गेट है। आउटपुट $Y = \bar{A} \cdot \bar{B}$ है। डी मॉर्गन के प्रमेय के अनुसार,$\bar{A} \cdot \bar{B} = \overline{A + B}$। यह एक $NOR$ गेट के लिए बूलियन व्यंजक है।
अतः,$(a)$ एक $NAND$ गेट के समतुल्य है और $(b)$ एक $NOR$ गेट के समतुल्य है।

(C) यह परिपथ तीन $NAND$ गेट और एक $NOR$ गेट से बना है।
मान लीजिए इनपुट $A$ और $B$ हैं।
पहले दो $NAND$ गेट $NOT$ गेट के रूप में कार्य करते हैं क्योंकि उनके इनपुट शॉर्ट किए गए हैं।
अतः,पहले दो गेट्स के आउटपुट $\bar{A}$ और $\bar{B}$ हैं।
इन्हें तीसरे $NAND$ गेट में इनपुट के रूप में दिया जाता है।
तीसरे $NAND$ गेट का आउटपुट $Y' = \overline{\bar{A} \cdot \bar{B}} = A + B$ है।
इस $Y'$ को फिर एक $NOR$ गेट से गुजारा जाता है।
अंतिम आउटपुट $Y = \overline{Y' + 0} = \overline{A + B}$ प्राप्त होता है।
यह $NOR$ गेट के लिए बूलियन व्यंजक है।

(A) दी गई सत्यता सारणी इस प्रकार है:
$A=0, B=0 \implies Y=1$
$A=0, B=1 \implies Y=1$
$A=1, B=0 \implies Y=1$
$A=1, B=1 \implies Y=0$
यह सत्यता सारणी दर्शाती है कि आउटपुट $Y$ केवल तभी $0$ होता है जब दोनों इनपुट $A$ और $B$ $1$ हों। अन्य सभी स्थितियों में आउटपुट $1$ प्राप्त होता है।
यह $NAND$ गेट का विशिष्ट व्यवहार है,जो $AND$ गेट का उल्टा (inverse) होता है।
$NAND$ गेट के लिए बूलियन व्यंजक $Y = \overline{A \cdot B}$ है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(D) लॉजिक गेट की पहचान करने के लिए,हम दिए गए वेवफॉर्म से सत्यता सारणी (truth table) का विश्लेषण करते हैं:
$1$. शुरुआत में,$A=0, B=0$,और आउटपुट $C=0$ है।
$2$. इसके बाद,$A=1, B=0$,और आउटपुट $C=1$ है।
$3$. फिर,$A=1, B=1$,और आउटपुट $C=0$ है।
$4$. अंत में,$A=0, B=1$,और आउटपुट $C=1$ है।
सत्यता सारणी का सारांश:

$A$	$B$	$C$
$0$	$0$	$0$
$1$	$0$	$1$
$1$	$1$	$0$
$0$	$1$	$1$

इसे मानक लॉजिक गेट्स के साथ तुलना करने पर:
- $OR$ गेट के लिए,$C = A + B$ होता है। यहाँ,$1+1=1$ है,लेकिन आउटपुट $0$ है। अतः,यह $OR$ गेट नहीं है।
- $AND$ गेट के लिए,$C = A \cdot B$ होता है। यहाँ,$1 \cdot 0 = 0$ है,लेकिन आउटपुट $1$ है। अतः,यह $AND$ गेट नहीं है।
- $NOR$ गेट के लिए,$C = \overline{A+B}$ होता है। यहाँ,$0+0=1$ है,लेकिन आउटपुट $0$ है। अतः,यह $NOR$ गेट नहीं है।
- $XOR$ गेट के लिए,$C = A \oplus B$ होता है। सत्यता सारणी $XOR$ गेट से मेल खाती है,क्योंकि आउटपुट केवल तब $1$ होता है जब इनपुट अलग-अलग होते हैं।
अतः,सही लॉजिक गेट $XOR$ गेट है।

(D) दी गई सत्यता सारणी इस प्रकार है:
$A=1, B=1 \implies Y=0$
$A=0, B=1 \implies Y=1$
$A=1, B=0 \implies Y=1$
$A=0, B=0 \implies Y=1$
आउटपुट $Y$ का विश्लेषण करने पर,हम देख सकते हैं कि आउटपुट केवल तभी $0$ होता है जब दोनों इनपुट $A$ और $B$ $1$ हों। अन्य सभी स्थितियों में,आउटपुट $1$ होता है।
यह $NAND$ गेट का विशिष्ट व्यवहार है,जहाँ $Y = \overline{A \cdot B}$ होता है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) दिए गए परिपथ में दो $NOT$ गेट हैं जिसके बाद एक $NOR$ गेट जुड़ा हुआ है।
मान लीजिए इनपुट $A$ और $B$ हैं। $NOT$ गेट के आउटपुट $\bar{A}$ और $\bar{B}$ प्राप्त होते हैं।
ये दोनों $NOR$ गेट में जाते हैं,इसलिए अंतिम आउटपुट $Y$ के लिए बूलियन समीकरण:
$Y = \overline{\bar{A} + \bar{B}}$
डी मॉर्गन के नियम के अनुसार,$\overline{\bar{A} + \bar{B}} = \overline{\bar{A}} \cdot \overline{\bar{B}} = A \cdot B$.
इस प्रकार,यह परिपथ एक $AND$ गेट के रूप में कार्य करता है।
इनपुट तरंग रूपों का विश्लेषण करने पर:
$1$. जब $A$ और $B$ दोनों $1$ (उच्च) होते हैं,तो आउटपुट $Y$ का मान $1$ होता है।
$2$. अन्य सभी स्थितियों में,आउटपुट $Y$ का मान $0$ होता है।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,जो तरंग रूप $A$ और $B$ के $AND$ ऑपरेशन को दर्शाता है,वह सही है।

(A) दिए गए सर्किट में एक $OR$ गेट और उसके बाद एक $AND$ गेट है।
मान लीजिए $OR$ गेट का आउटपुट $X$ है। तो $X = A + B$ होगा।
अंतिम आउटपुट $Y$,$AND$ गेट का आउटपुट है,जो $X$ और $C$ को इनपुट के रूप में लेता है। अतः,$Y = X \cdot C = (A + B) \cdot C$ होगा।
आउटपुट $Y = 1$ के लिए,$AND$ गेट के दोनों इनपुट $1$ होने चाहिए। इसलिए,$X = 1$ और $C = 1$ होना चाहिए।
चूंकि $X = A + B = 1$,इसलिए $A$ या $B$ में से कम से कम एक $1$ होना चाहिए।
विकल्पों की जाँच करने पर:
$A) 101: A=1, B=0, C=1 \implies Y = (1+0) \cdot 1 = 1 \cdot 1 = 1$.
$B) 100: A=1, B=0, C=0 \implies Y = (1+0) \cdot 0 = 1 \cdot 0 = 0$.
$C) 110: A=1, B=1, C=0 \implies Y = (1+1) \cdot 0 = 1 \cdot 0 = 0$.
$D) 010: A=0, B=1, C=0 \implies Y = (0+1) \cdot 0 = 1 \cdot 0 = 0$.
अतः,सही इनपुट $101$ है।

(D) द्विआधारी संख्या को दशमलव में बदलने के लिए,हम प्रत्येक अंक को द्विआधारी बिंदु से उसकी स्थिति के आधार पर $2$ की घात से गुणा करते हैं।
द्विआधारी संख्या $1011.01$ के लिए:
$1 \times 2^3 + 0 \times 2^2 + 1 \times 2^1 + 1 \times 2^0 + 0 \times 2^{-1} + 1 \times 2^{-2}$
$= 8 + 0 + 2 + 1 + 0 + 0.25$
$= 11.25$
अतः,दशमलव समतुल्य संख्या $11.25$ है।

(B) दिए गए सर्किट में दो $AND$ गेट,दो $NOT$ गेट और एक $OR$ गेट शामिल हैं।
मान लीजिए कि इनपुट $A$ और $B$ हैं।
ऊपरी $AND$ गेट $A$ और $\overline{B}$ इनपुट प्राप्त करता है,इसलिए इसका आउटपुट $A\overline{B}$ है।
निचला $AND$ गेट $\overline{A}$ और $B$ इनपुट प्राप्त करता है,इसलिए इसका आउटपुट $\overline{A}B$ है।
$OR$ गेट इन दोनों आउटपुट को जोड़ता है।
इसलिए,अंतिम आउटपुट $Y$ बूलियन समीकरण द्वारा दिया जाता है: $Y = A\overline{B} + \overline{A}B$.
यह समीकरण $XOR$ (Exclusive-$OR$) लॉजिक गेट के अनुरूप है।

(C) दिए गए परिपथ में दो $NOT$ गेट और उसके बाद एक $NOR$ गेट है।
मान लीजिए कि इनपुट $A$ और $B$ हैं।
दो $NOT$ गेट के आउटपुट $\overline{A}$ और $\overline{B}$ प्राप्त होते हैं।
ये $NOR$ गेट के इनपुट के रूप में कार्य करते हैं।
$NOR$ गेट का आउटपुट $Y$ इस प्रकार दिया जाता है:
$Y = \overline{\overline{A} + \overline{B}}$
डी मॉर्गन के प्रमेय का उपयोग करते हुए,$\overline{X + Y} = \overline{X} \cdot \overline{Y}$।
इसलिए,$Y = \overline{\overline{A}} \cdot \overline{\overline{B}}$
चूंकि $\overline{\overline{A}} = A$ और $\overline{\overline{B}} = B$,हमें प्राप्त होता है:
$Y = A \cdot B$
यह $AND$ गेट के लिए बूलियन व्यंजक है।

(A) बूलियन बीजगणित में,चर $A$ केवल दो मान ले सकता है: $0$ या $1$।
यदि $A = 0$ है,तो $\bar{A} = 1$ होगा। इसलिए,$A \cdot \bar{A} = 0 \cdot 1 = 0$ होगा।
यदि $A = 1$ है,तो $\bar{A} = 0$ होगा। इसलिए,$A \cdot \bar{A} = 1 \cdot 0 = 0$ होगा।
दोनों संभावित स्थितियों में,परिणाम $0$ प्राप्त होता है। अतः,$A \cdot \bar{A} = 0$।

(C) इस सर्किट में एक $OR$ गेट और एक $NAND$ गेट है,जिनके आउटपुट एक $AND$ गेट में जाते हैं।
मान लीजिए इनपुट $A$ और $B$ हैं।
$OR$ गेट का आउटपुट $(A + B)$ है।
$NAND$ गेट का आउटपुट $(\overline{A \cdot B})$ है।
$AND$ गेट का अंतिम आउटपुट $Y$ इस प्रकार है:
$Y = (A + B) \cdot (\overline{A \cdot B})$
डी मॉर्गन के प्रमेय के अनुसार,$\overline{A \cdot B} = \overline{A} + \overline{B}$।
अतः,$Y = (A + B) \cdot (\overline{A} + \overline{B})$
$Y = A \cdot \overline{A} + A \cdot \overline{B} + B \cdot \overline{A} + B \cdot \overline{B}$
चूंकि $A \cdot \overline{A} = 0$ और $B \cdot \overline{B} = 0$,हमें प्राप्त होता है:
$Y = A \cdot \overline{B} + B \cdot \overline{A}$
यह $XOR$ गेट के लिए बूलियन समीकरण है।

(D) चित्र में दिखाया गया लॉजिक गेट एक $3$-इनपुट $AND$ गेट है।
$AND$ गेट के लिए,आउटपुट $Y$ केवल तभी $1$ होता है जब सभी इनपुट $1$ हों।
इसलिए,$Y = 1$ प्राप्त करने के लिए,इनपुट $A = 1, B = 1$ और $C = 1$ होने चाहिए।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) यह परिपथ एक $OR$ गेट और उसके बाद एक $AND$ गेट से बना है।
$1$. $OR$ गेट के इनपुट $A$ और $B$ हैं। इसलिए,$OR$ गेट का आउटपुट $(A + B)$ है।
$2$. $AND$ गेट के इनपुट $A$ और $OR$ गेट का आउटपुट $(A + B)$ हैं।
$3$. $AND$ गेट का अंतिम आउटपुट $Y$ बूलियन व्यंजक द्वारा दिया जाता है: $Y = A \cdot (A + B)$.
$4$. बूलियन बीजगणित के वितरण नियम का उपयोग करते हुए: $Y = A \cdot A + A \cdot B$.
$5$. चूंकि $A \cdot A = A$ होता है,इसलिए $Y = A + A \cdot B$.
$6$. $A$ को कॉमन लेने पर,हमें $Y = A \cdot (1 + B)$ प्राप्त होता है।
$7$. चूंकि $(1 + B) = 1$ होता है,इसलिए अंतिम व्यंजक $Y = A \cdot 1 = A$ है।

(B) $NAND$ गेट का उपयोग करके $AND$ गेट बनाने के लिए,हम पहले इनपुट $A$ और $B$ को एक $NAND$ गेट से गुजारते हैं। इस पहले गेट का आउटपुट $Y_1 = \overline{A \cdot B}$ प्राप्त होता है।
इसके बाद,इस आउटपुट $Y_1$ को दूसरे $NAND$ गेट से गुजारते हैं जिसके दोनों इनपुट टर्मिनल शॉर्ट किए गए हैं। शॉर्ट किए गए इनपुट वाला $NAND$ गेट $NOT$ गेट के रूप में कार्य करता है। इसलिए,अंतिम आउटपुट $Y = \overline{Y_1} = \overline{(\overline{A \cdot B})} = A \cdot B$ प्राप्त होता है।
अतः,$AND$ गेट बनाने के लिए $2$ $NAND$ गेट की आवश्यकता होती है.

(A) पहले परिपथ में,दो $NAND$ गेट इस प्रकार जुड़े हैं कि दूसरा गेट $NOT$ गेट के रूप में कार्य करता है (क्योंकि इसके इनपुट शॉर्ट किए गए हैं)। पहले $NAND$ गेट का आउटपुट $\overline{A \cdot B}$ है। इसे $NOT$ गेट से गुजारने पर $Y = \overline{\overline{A \cdot B}} = A \cdot B$ प्राप्त होता है,जो $AND$ ऑपरेशन है।
दूसरे परिपथ में,तीन $NAND$ गेट हैं। इनपुट $A$ और $B$ को $NOT$ गेट के रूप में कार्य करने वाले $NAND$ गेट से गुजारा जाता है,जिससे $\overline{A}$ और $\overline{B}$ प्राप्त होते हैं। इन्हें फिर तीसरे $NAND$ गेट में भेजा जाता है। आउटपुट $Y = \overline{\overline{A} \cdot \overline{B}}$ है। डी मॉर्गन के नियम के अनुसार,$Y = \overline{\overline{A}} + \overline{\overline{B}} = A + B$,जो $OR$ ऑपरेशन है।
अतः,ये परिपथ क्रमशः $AND$ और $OR$ ऑपरेशनों को दर्शाते हैं।

(C) दिया गया बूलियन व्यंजक $Y = A + \bar B$ है।
उन इनपुट को खोजने के लिए जिनके लिए $Y = 0$ है,हम सत्यता सारणी (truth table) बनाते हैं:

$A$	$B$	$\bar B$	$Y = A + \bar B$
$1$	$1$	$0$	$1 + 0 = 1$
$1$	$0$	$1$	$1 + 1 = 1$
$0$	$1$	$0$	$0 + 0 = 0$
$0$	$0$	$1$	$0 + 1 = 1$

सत्यता सारणी से यह स्पष्ट है कि आउटपुट $Y = 0$ केवल तब प्राप्त होता है जब $A = 0$ और $B = 1$ हो।

(B) इस परिपथ में दो $NAND$ गेट का उपयोग $NOT$ गेट के रूप में (क्योंकि उनके इनपुट शॉर्ट किए गए हैं) और उसके बाद एक $NAND$ गेट का उपयोग किया गया है।
मान लीजिए इनपुट $A$ और $B$ हैं।
पहले $NAND$ गेट का आउटपुट (जो $NOT$ गेट के रूप में कार्य करता है) $\overline{A}$ है।
दूसरे $NAND$ गेट का आउटपुट (जो $NOT$ गेट के रूप में कार्य करता है) $\overline{B}$ है।
इन्हें अंतिम $NAND$ गेट में इनपुट के रूप में दिया जाता है।
अतः आउटपुट $X = \overline{(\overline{A} \cdot \overline{B})}$ प्राप्त होता है।
डी मॉर्गन के नियम के अनुसार,$X = \overline{\overline{A}} + \overline{\overline{B}} = A + B$।
इस प्रकार,यह संयोजन $OR$ गेट के रूप में कार्य करता है।

(C) दिए गए लॉजिक सर्किट में एक $NOR$ गेट है जिसके बाद एक $NOT$ गेट (जो शॉर्ट किए गए इनपुट वाले $NOR$ गेट द्वारा दर्शाया गया है) जुड़ा है।
मान लीजिए कि पहले $NOR$ गेट का आउटपुट $Y' = \overline{A + B}$ है।
यह आउटपुट $Y'$ दूसरे $NOR$ गेट में दिया जाता है जिसके इनपुट शॉर्ट किए गए हैं,जो एक $NOT$ गेट के रूप में कार्य करता है।
अतः,अंतिम आउटपुट $Y = \overline{Y'} = \overline{\overline{A + B}} = A + B$ प्राप्त होता है।
यह $OR$ गेट का बूलियन समीकरण है।
$OR$ गेट के लिए ट्रुथ टेबल विकल्प $C$ में दी गई है।

(D) $NOR$ गेट के इनपुट $A$ और $B$ के व्युत्क्रम (inverted) इनपुट हैं। मान लीजिए कि $NOR$ गेट के इनपुट $A' = \bar{A}$ और $B' = \bar{B}$ हैं।
$NOR$ गेट का आउटपुट $Y = \overline{A' + B'}$ द्वारा दिया जाता है।
$A'$ और $B'$ के मान रखने पर, हमें $Y = \overline{\bar{A} + \bar{B}}$ प्राप्त होता है।
डी मॉर्गन के प्रमेय के अनुसार, $\overline{\bar{A} + \bar{B}} = \overline{\bar{A}} \cdot \overline{\bar{B}} = A \cdot B$ होता है।
अतः, आउटपुट $Y = A \cdot B$ है, जो कि $AND$ गेट के लिए बूलियन व्यंजक है।

(C) दिए गए परिपथ में एक $NOR$ गेट है जिसके बाद एक $NOT$ गेट जुड़ा हुआ है (दूसरा गेट जिसके इनपुट शॉर्ट किए गए हैं,वह $NOT$ गेट के रूप में कार्य करता है)।
$1$. पहले $NOR$ गेट का आउटपुट $C = \overline{A+B}$ है।
$2$. दूसरा गेट एक $NOT$ गेट है (क्योंकि दोनों इनपुट एक साथ जुड़े हुए हैं),इसलिए इसका आउटपुट $Y = \overline{C}$ है।
$3$. $C$ का मान रखने पर,हमें $Y = \overline{(\overline{A+B})} = A+B$ प्राप्त होता है।
$4$. यह एक $OR$ गेट के लिए बूलियन व्यंजक है।
$5$. $OR$ गेट के लिए सत्य सारणी इस प्रकार है:
- यदि $A=0, B=0$,तो $Y=0$।
- यदि $A=0, B=1$,तो $Y=1$।
- यदि $A=1, B=0$,तो $Y=1$।
- यदि $A=1, B=1$,तो $Y=1$।
यह विकल्प $C$ से मेल खाता है।

(C) द्विआधारी संख्या $1000101.101$ को दशमलव में बदलने के लिए,हम इसे $2$ की घातों का उपयोग करके विस्तारित करते हैं:
$1000101.101 = (1 \times 2^6) + (0 \times 2^5) + (0 \times 2^4) + (0 \times 2^3) + (1 \times 2^2) + (0 \times 2^1) + (1 \times 2^0) + (1 \times 2^{-1}) + (0 \times 2^{-2}) + (1 \times 2^{-3})$
$= 64 + 0 + 0 + 0 + 4 + 0 + 1 + 0.5 + 0 + 0.125$
$= 69 + 0.625$
$= 69.625$
अतः,दशमलव समतुल्य $69.625$ है।

(C) दिए गए सर्किट में दो $NOT$ गेट, दो $AND$ गेट और एक $OR$ गेट शामिल हैं।
मान लीजिए इनपुट $A$ और $B$ हैं।
पहले $AND$ गेट का आउटपुट $Y_1 = (\text{NOT } A) \text{ AND } B = \bar{A} \cdot B$ है।
दूसरे $AND$ गेट का आउटपुट $Y_2 = A \text{ AND } (\text{NOT } B) = A \cdot \bar{B}$ है।
अंतिम आउटपुट $Y$, $Y_1$ और $Y_2$ का $OR$ संयोजन है: $Y = Y_1 + Y_2 = \bar{A}B + A\bar{B}$।
यह एक $XOR$ गेट के लिए बूलियन व्यंजक है।
$XOR$ गेट के लिए सत्यता सारणी इस प्रकार है:
- यदि $A=0, B=0$ है, तो $Y = \bar{0} \cdot 0 + 0 \cdot \bar{0} = 1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 = 0 + 0 = 0$।
- यदि $A=0, B=1$ है, तो $Y = \bar{0} \cdot 1 + 0 \cdot \bar{1} = 1 \cdot 1 + 0 \cdot 0 = 1 + 0 = 1$।
- यदि $A=1, B=0$ है, तो $Y = \bar{1} \cdot 0 + 1 \cdot \bar{0} = 0 \cdot 0 + 1 \cdot 1 = 0 + 1 = 1$।
- यदि $A=1, B=1$ है, तो $Y = \bar{1} \cdot 1 + 1 \cdot \bar{1} = 0 \cdot 1 + 1 \cdot 0 = 0 + 0 = 0$।
अतः, सही सत्यता सारणी विकल्प $C$ है।

(B) $NAND$ गेट $Y = \overline{A \cdot B}$ ऑपरेशन करता है।
इनपुट वेवफॉर्म के आधार पर:
$t = 0-2 \ s$ के लिए: $A=1, B=0 \implies A \cdot B = 0 \implies Y = \overline{0} = 1$.
$t = 2-4 \ s$ के लिए: $A=0, B=0 \implies A \cdot B = 0 \implies Y = \overline{0} = 1$.
$t = 4-6 \ s$ के लिए: $A=1, B=0 \implies A \cdot B = 0 \implies Y = \overline{0} = 1$.
$t = 6-8 \ s$ के लिए: $A=1, B=1 \implies A \cdot B = 1 \implies Y = \overline{1} = 0$.
$t > 8 \ s$ के लिए: $A=0, B=0 \implies A \cdot B = 0 \implies Y = \overline{0} = 1$.
इस प्रकार,आउटपुट $Y$,$0-6 \ s$ के लिए $1$,$6-8 \ s$ के लिए $0$ और $t > 8 \ s$ के लिए $1$ है। यह विकल्प $B$ में दिखाए गए वेवफॉर्म से मेल खाता है।

(D) सत्यता सारणी दर्शाती है कि आउटपुट $Y$ केवल तभी $1$ होता है जब दोनों इनपुट $A$ और $B$ शून्य $(0)$ हों।
इनपुट के अन्य सभी संयोजनों ($1,1$; $1,0$; $0,1$) के लिए,आउटपुट $Y$ का मान $0$ है।
यह व्यवहार बूलियन व्यंजक $Y = \overline{A + B}$ के अनुरूप है।
यह $NOR$ गेट की परिभाषा है,जो एक $OR$ गेट और उसके बाद एक $NOT$ गेट का संयोजन है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(B) दी गई सत्यता सारणी इस प्रकार है:
$A=0, B=0 \implies Y=0$
$A=0, B=1 \implies Y=1$
$A=1, B=0 \implies Y=1$
$A=1, B=1 \implies Y=0$
यह सत्यता सारणी $XOR$ (Exclusive-$OR$) गेट के लिए है।
$XOR$ गेट में,यदि इनपुट अलग-अलग होते हैं तो आउटपुट $1$ होता है और यदि इनपुट समान होते हैं तो आउटपुट $0$ होता है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(B) बूलियन बीजगणित में,व्यंजक $Y = A + B$ तार्किक $OR$ ऑपरेशन को दर्शाता है।
इस ऑपरेशन में,आउटपुट $Y$ का मान $1$ (उच्च) होता है यदि इनपुट $A$ या $B$ में से कम से कम एक $1$ (उच्च) हो।
इसका अर्थ है कि $Y$ का मान $1$ होता है यदि $A=1$ हो,या $B=1$ हो,या $A$ और $B$ दोनों $1$ हों।
अतः,आउटपुट $Y$ तब मौजूद होता है यदि $A$ या $B$ या दोनों $A$ और $B$ मौजूद हों।

(C) दिए गए लॉजिक गेट प्रतीकों का अवलोकन करने पर:
$(a)$ एक $OR$ गेट को दर्शाता है।
$(b)$ एक $AND$ गेट को दर्शाता है।
$(c)$ एक $NOR$ गेट को दर्शाता है।
$(d)$ एक $NAND$ गेट को दर्शाता है।
अतः,$OR$,$NOR$ और $NAND$ गेट के लिए प्रतीक क्रमशः $a$,$c$ और $d$ हैं।

(D) इस परिपथ में दो $OR$ गेट और उसके बाद एक $AND$ गेट का उपयोग किया गया है।
मान लीजिए कि पहले $OR$ गेट के इनपुट $W$ और $Y$ हैं। इसका आउटपुट $(W + Y)$ है।
मान लीजिए कि दूसरे $OR$ गेट के इनपुट $W$ और $X$ हैं। इसका आउटपुट $(W + X)$ है।
ये दोनों आउटपुट एक $AND$ गेट में जाते हैं।
इसलिए, अंतिम आउटपुट $Z = (W + Y) . (W + X)$ है।
बूलियन बीजगणित के वितरण नियम का उपयोग करते हुए: $Z = W . W + W . X + Y . W + Y . X$.
चूंकि $W . W = W$, इसलिए $Z = W + W . X + W . Y + X . Y$.
$W$ को कॉमन लेने पर: $Z = W . (1 + X + Y) + X . Y$.
चूंकि $(1 + X + Y) = 1$, इसलिए $Z = W . (1) + X . Y = W + X . Y$.

(A) दिए गए परिपथ में,जब इनपुट $A$ या $B$ या दोनों $A$ और $B$ लॉजिक लेवल $'1'$ पर होते हैं,तो कम से कम एक डायोड फॉरवर्ड बायस में आ जाता है और आउटपुट $C$ का मान $'1'$ हो जाता है।
जब दोनों इनपुट $A$ और $B$ लॉजिक लेवल $'0'$ पर होते हैं,तो दोनों डायोड रिवर्स बायस में रहते हैं और आउटपुट $C$ लॉजिक लेवल $'0'$ पर बना रहता है।
यह व्यवहार $OR$ गेट की सत्य सारणी (truth table) के अनुरूप है।

(D) दिए गए परिपथ में,दो स्विच $A$ और $B$ समानांतर क्रम में जुड़े हुए हैं।
यदि स्विच $A$ बंद है ($1$ के रूप में दर्शाया गया है) या स्विच $B$ बंद है ($1$ के रूप में दर्शाया गया है),तो परिपथ में विद्युत धारा प्रवाहित होगी और लैंप जल उठेगा (आउटपुट $Y = 1$)।
यदि दोनों स्विच $A$ और $B$ खुले हैं ($0$ के रूप में दर्शाया गया है),तो विद्युत धारा प्रवाहित नहीं होगी और लैंप नहीं जलेगा (आउटपुट $Y = 0$)।
इस परिपथ के लिए सत्यता सारणी (truth table) इस प्रकार है:
$A=0, B=0 \implies Y=0$
$A=0, B=1 \implies Y=1$
$A=1, B=0 \implies Y=1$
$A=1, B=1 \implies Y=1$
यह सत्यता सारणी $OR$ गेट के अनुरूप है।

(C) दी गई सत्यता सारणी इस प्रकार है:
$A=0, B=0 \implies Y=1$
$A=0, B=1 \implies Y=0$
$A=1, B=0 \implies Y=0$
$A=1, B=1 \implies Y=1$
यह सत्यता सारणी $XNOR$ गेट (Exclusive $NOR$ gate) के अनुरूप है।
$XNOR$ गेट के लिए बूलियन समीकरण $Y = A \odot B = \overline{A \oplus B} = AB + \overline{A}\overline{B}$ है।
मानों की जाँच करने पर:
$(0,0)$ के लिए: $Y = (0)(0) + (1)(1) = 0 + 1 = 1$.
$(0,1)$ के लिए: $Y = (0)(1) + (1)(0) = 0 + 0 = 0$.
$(1,0)$ के लिए: $Y = (1)(0) + (0)(1) = 0 + 0 = 0$.
$(1,1)$ के लिए: $Y = (1)(1) + (0)(0) = 1 + 0 = 1$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(A) यह सर्किट एक $NOR$ गेट,एक $NAND$ गेट (जिसके दोनों इनपुट एक साथ जुड़े हैं,इसलिए यह $NOT$ गेट की तरह कार्य करता है) और एक $NOT$ गेट से बना है।
$1$. $NOR$ गेट का आउटपुट $X = \overline{A+B}$ है।
$2$. जब $NAND$ गेट के दोनों इनपुट एक साथ जुड़े होते हैं,तो यह $NOT$ गेट के रूप में कार्य करता है। इसका आउटपुट $Z = \overline{X \cdot X} = \overline{X} = \overline{\overline{A+B}} = A+B$ होता है।
$3$. अंतिम $NOT$ गेट इस आउटपुट को इनवर्ट करता है: $Y = \overline{Z} = \overline{A+B}$।
अतः,यह सर्किट $NOR$ गेट के समतुल्य है।