Boolean Algebra and Logic Gates Questions in Hindi

(C) $1$. पहला गेट $A$ और $1$ इनपुट वाला एक $NOR$ गेट है। इस $NOR$ गेट का आउटपुट $\overline{A+1}$ है। चूंकि $A+1 = 1$ होता है,इसलिए आउटपुट $\overline{1} = 0$ प्राप्त होता है।
$2$. दूसरा गेट एक $OR$ गेट है जिसके इनपुट पहले गेट से $(0)$ और $B$ हैं। इस $OR$ गेट का आउटपुट $0+B = B$ प्राप्त होता है।
$3$. तीसरा गेट एक $OR$ गेट है जिसके इनपुट दूसरे गेट से $(B)$ और $C$ हैं। अतः,आउटपुट $Y = B+C$ प्राप्त होता है।

(C) आइए प्रत्येक गेट का विश्लेषण करें:
$(A)$ $1, 1$ इनपुट वाला $NAND$ गेट: आउटपुट $X = \overline{1 \cdot 1} = \overline{1} = 0$ है।
$(B)$ $0, 1$ इनपुट वाला $NOR$ गेट: आउटपुट $X = \overline{0 + 1} = \overline{1} = 0$ है।
$(C)$ $0, 1$ इनपुट वाला $NAND$ गेट: आउटपुट $X = \overline{0 \cdot 1} = \overline{0} = 1$ है।
$(D)$ $0, 0$ इनपुट वाला $XOR$ गेट: आउटपुट $X = 0 \oplus 0 = 0$ है।
अतः,$1$ आउटपुट वाला गेट $0$ और $1$ इनपुट वाला $NAND$ गेट है।

(A) विभिन्न समय अंतरालों पर तरंगों का अवलोकन करके,हम सत्यता सारणी (truth table) बना सकते हैं:

समय अंतराल	इनपुट $A$	इनपुट $B$	आउटपुट $Y$
$0 - T_1$	$0$	$0$	$0$
$T_1 - T_2$	$0$	$1$	$0$
$T_2 - T_3$	$1$	$0$	$0$
$T_3 - T_4$	$1$	$1$	$1$

सत्यता सारणी दर्शाती है कि आउटपुट $Y$ केवल तभी $1$ होता है जब दोनों इनपुट $A$ और $B$ $1$ हों। यह $AND$ गेट का विशिष्ट व्यवहार है।

(B) $AND$ गेट तार्किक गुणन (logical multiplication) की क्रिया करता है। इसका आउटपुट $1$ केवल तभी होता है जब इसके सभी इनपुट $1$ हों।
स्विचिंग सर्किट के संदर्भ में,एक $AND$ गेट श्रेणी (series) में जुड़ी दो स्विचों के बराबर होता है।
यदि दोनों स्विच बंद (input $1$) हैं,तो धारा प्रवाहित होती है (output $1$)। यदि कोई भी एक स्विच खुला (input $0$) है,तो सर्किट टूट जाता है (output $0$)।

(C) लॉजिक गेट की पहचान करने के लिए,हम दिए गए वोल्टेज वेवफॉर्म से प्राप्त सत्यता सारणी (truth table) का विश्लेषण करते हैं:

$A$	$B$	$Y$
$1$	$1$	$0$
$0$	$0$	$1$
$0$	$1$	$1$
$1$	$0$	$1$

सत्यता सारणी से,हम देखते हैं कि आउटपुट $Y$ केवल तभी $0$ होता है जब दोनों इनपुट $A$ और $B$ $1$ हों। अन्य सभी स्थितियों में,आउटपुट $1$ है। यह व्यवहार $NAND$ गेट के अनुरूप है,जो $Y = \overline{AB}$ ऑपरेशन करता है।

(D) $NAND$ गेट का निर्माण $AND$ गेट के आउटपुट को $NOT$ गेट से जोड़कर किया जाता है।
दिए गए विकल्पों में,विकल्प $D$ में एक $AND$ गेट के बाद $NOT$ गेट दिखाया गया है,जो $NAND$ गेट का मानक निरूपण है।

(B) $NAND$ गेट केवल तभी $0$ आउटपुट देता है जब दोनों इनपुट $1$ हों। अन्यथा,यह $1$ आउटपुट देता है।
$A$ और $B$ के लिए इनपुट वेवफॉर्म के आधार पर:
- $t = 0$ से $2 \ s$ के लिए: $A=0, B=0 \implies Y=1$.
- $t = 2$ से $4 \ s$ के लिए: $A=1, B=0 \implies Y=1$.
- $t = 4$ से $6 \ s$ के लिए: $A=0, B=0 \implies Y=1$.
- $t = 6$ से $8 \ s$ के लिए: $A=1, B=1 \implies Y=0$.
- $t > 8 \ s$ के लिए: $A=0, B=0 \implies Y=1$.
इस क्रम $(1, 1, 1, 0, 1)$ की तुलना दिए गए विकल्पों से करने पर,विकल्प $B$ में दर्शाया गया वेवफॉर्म इस आउटपुट से मेल खाता है।

(B) दिए गए परिपथ में श्रेणीक्रम में जुड़े दो $NAND$ गेट हैं।
मान लीजिए कि पहले $NAND$ गेट के इनपुट $A$ और $B$ हैं। पहले $NAND$ गेट का आउटपुट $X = \overline{A \cdot B}$ है।
यह आउटपुट $X$ दूसरे $NAND$ गेट के लिए इनपुट के रूप में कार्य करता है। चूंकि दूसरे $NAND$ गेट के दोनों इनपुट $X$ से जुड़े हैं, इसलिए इसका आउटपुट $Y = \overline{X \cdot X} = \overline{X}$ द्वारा प्राप्त होता है।
$X$ का मान रखने पर, हमें $Y = \overline{(\overline{A \cdot B})} = A \cdot B$ प्राप्त होता है।
व्यंजक $Y = A \cdot B$ एक $AND$ गेट के लॉजिक फंक्शन को दर्शाता है।
अतः, दिया गया परिपथ $AND$ गेट का कार्य करता है।

(D) $NOT$ गेट एक इनवर्टर है जिसे इनवर्जन लॉजिक करने के लिए ट्रांजिस्टर जैसे सक्रिय घटक की आवश्यकता होती है। डायोड एक निष्क्रिय,एकदिशीय उपकरण है जो केवल एक दिशा में धारा प्रवाहित होने देता है और $NOT$ गेट के लिए आवश्यक लॉजिकल इनवर्जन नहीं कर सकता है।
इसके अलावा,डायोड इनपुट और आउटपुट वोल्टेज के बीच $180^o$ का फेज शिफ्ट उत्पन्न नहीं करता है। इसलिए,कथन और कारण दोनों गलत हैं।

(A) $NAND$ और $NOR$ गेट को यूनिवर्सल गेट या डिजिटल बिल्डिंग ब्लॉक्स के रूप में जाना जाता है।
इसका कारण यह है कि कोई भी लॉजिक गेट,जैसे $AND, OR, NOT, XOR,$ या $XNOR$,केवल $NAND$ गेट या केवल $NOR$ गेट का उपयोग करके बनाया जा सकता है।
चूंकि कथन बताता है कि वे बिल्डिंग ब्लॉक्स हैं और कारण सही ढंग से बताता है कि वे अन्य सभी बुनियादी या जटिल गेट बना सकते हैं,इसलिए कारण कथन की सही व्याख्या है।

(C) दिए गए परिपथ में,स्विच $A$ और $B$ ग्राउंड के साथ समानांतर में जुड़े हुए हैं। जब स्विच $0$ स्थिति में होता है,तो यह खुला होता है,और जब यह $1$ स्थिति में होता है,तो यह बंद (ग्राउंड से जुड़ा हुआ) होता है।
$1$. यदि $A=0$ और $B=0$ है,तो दोनों स्विच खुले हैं। धारा $LED$ $(Y)$ से होकर बहती है,इसलिए $Y=1$ है।
$2$. यदि $A=0$ और $B=1$ है,तो स्विच $B$ बंद (ग्राउंडेड) है। धारा $LED$ $(Y)$ से होकर बहती है,इसलिए $Y=1$ है।
$3$. यदि $A=1$ और $B=0$ है,तो स्विच $A$ बंद (ग्राउंडेड) है। धारा $LED$ $(Y)$ से होकर बहती है,इसलिए $Y=1$ है।
$4$. यदि $A=1$ और $B=1$ है,तो दोनों स्विच बंद (ग्राउंडेड) हैं। धारा $LED$ को बायपास करके स्विच के माध्यम से ग्राउंड में चली जाती है,इसलिए $Y=0$ है।
सत्यता सारणी (Truth Table) इस प्रकार है:

$A$	$B$	$Y$
$0$	$0$	$1$
$0$	$1$	$1$
$1$	$0$	$1$
$1$	$1$	$0$

यह सत्यता सारणी $NAND$ गेट ऑपरेशन के अनुरूप है।

(A) दिए गए परिपथ में,स्विच $A$ और $B$ समानांतर क्रम में जुड़े हुए हैं। आउटपुट $Y$,$LED$ की स्थिति है।
जब दोनों स्विच $A$ और $B$ स्थिति $0$ पर होते हैं (ग्राउंड से जुड़े),तो $LED$ प्रतिरोध $R$ के माध्यम से $+6V$ आपूर्ति से जुड़ा होता है,इसलिए $LED$ जलता है $(Y=1)$।
यदि स्विच $A$ या $B$ में से किसी एक को भी स्थिति $1$ पर ले जाया जाता है,तो परिपथ ग्राउंड के साथ शॉर्ट हो जाता है और $LED$ के सिरों पर विभवांतर शून्य हो जाता है,इसलिए $LED$ नहीं जलता है $(Y=0)$।
सत्यता सारणी इस प्रकार है:

$A$	$B$	$Y$
$0$	$0$	$1$
$0$	$1$	$0$
$1$	$0$	$0$
$1$	$1$	$0$

यह सत्यता सारणी $NOR$ गेट के अनुरूप है।

(B) एक लॉजिक गेट को प्रतिवर्ती (reversible) माना जाता है यदि इनपुट डेटा को आउटपुट डेटा से विशिष्ट रूप से पुनर्प्राप्त किया जा सके।
$NOT$ गेट में,आउटपुट इनपुट का पूरक होता है $(Y = \bar{A})$। यदि आउटपुट $0$ है,तो इनपुट $1$ रहा होगा,और यदि आउटपुट $1$ है,तो इनपुट $0$ रहा होगा। इस प्रकार,आउटपुट से इनपुट को विशिष्ट रूप से निर्धारित किया जा सकता है।
$OR$,$NOR$,$AND$,और $NAND$ जैसे अन्य गेट्स में दो इनपुट होते हैं,जिसका अर्थ है कि $2^2 = 4$ संभावित इनपुट संयोजन हैं,लेकिन केवल $2$ संभावित आउटपुट स्थितियाँ ($0$ या $1$) हैं। चूँकि कई इनपुट संयोजन एक ही आउटपुट उत्पन्न कर सकते हैं,इसलिए ये गेट प्रतिवर्ती नहीं हैं।

(D) मान लीजिए कि इनपुट $A=1$ और $B=0$ हैं।
$1$. इनपुट $A=1$ एक $NOT$ गेट से गुजरता है,जिससे यह $0$ हो जाता है।
$2$. यह $0$ शीर्ष $NAND$ गेट में जाता है (दोनों इनपुट $0$ हैं),इसलिए शीर्ष $NAND$ गेट का आउटपुट $\overline{0 \cdot 0} = 1$ है।
$3$. पहले $NOT$ गेट से प्राप्त $0$ एक और $NOT$ गेट से गुजरकर $1$ बन जाता है।
$4$. यह $1$ मध्य $NAND$ गेट में जाता है।
$5$. निचले $NAND$ गेट में इनपुट $B=0$ और $Y$ से फीडबैक प्राप्त होता है।
$6$. सर्किट का विश्लेषण करने पर,आउटपुट $Y$ शीर्ष और मध्य $NAND$ गेट के आउटपुट से जुड़ा है।
$7$. इस विन्यास को देखते हुए,आउटपुट $Y$ का मान $1$ पर स्थिर हो जाता है।

(C) इस परिपथ में दो स्विच $A$ और $B$ डायोड से जुड़े हैं,जो $OR$ गेट के इनपुट चरण के रूप में कार्य करते हैं। जब स्विच $A$ या $B$ बंद (लॉजिक $1$) होता है,तो $NPN$ ट्रांजिस्टर के बेस को उच्च वोल्टेज मिलता है,जिससे यह चालन करता है। जब ट्रांजिस्टर चालन करता है,तो कलेक्टर वोल्टेज लगभग $0 \ V$ (लॉजिक $0$) तक गिर जाता है। यदि दोनों स्विच खुले (लॉजिक $0$) हैं,तो बेस प्रतिरोधक के माध्यम से ग्राउंड होता है,ट्रांजिस्टर कटऑफ $(OFF)$ स्थिति में होता है,और आउटपुट $Y$ खींचकर $+5 \ V$ (लॉजिक $1$) पर चला जाता है। यह व्यवहार $NOR$ गेट के अनुरूप है,जहाँ $Y = \overline{A+B}$ होता है। डी मॉर्गन के प्रमेय के अनुसार,$\overline{A+B} = \overline{A} \cdot \overline{B}$ होता है।

$A$	$B$	$Y$
$0$	$0$	$1$
$1$	$0$	$0$
$0$	$1$	$0$
$1$	$1$	$0$

(N/A) $OR$ गेट के लिए,आउटपुट $Y = A + B$ होता है। इसका अर्थ है कि यदि इनपुट $A$ या $B$ में से कोई भी $1$ है,तो आउटपुट $1$ होता है,और यदि दोनों इनपुट $0$ हैं,तभी आउटपुट $0$ होता है।
$1$. $t < t_{1}$ के लिए: $A=0, B=0$,अतः $Y = 0 + 0 = 0$.
$2$. $t_{1}$ से $t_{2}$ के लिए: $A=1, B=0$,अतः $Y = 1 + 0 = 1$.
$3$. $t_{2}$ से $t_{3}$ के लिए: $A=1, B=1$,अतः $Y = 1 + 1 = 1$.
$4$. $t_{3}$ से $t_{4}$ के लिए: $A=0, B=1$,अतः $Y = 0 + 1 = 1$.
$5$. $t_{4}$ से $t_{5}$ के लिए: $A=0, B=0$,अतः $Y = 0 + 0 = 0$.
$6$. $t_{5}$ से $t_{6}$ के लिए: $A=1, B=0$,अतः $Y = 1 + 0 = 1$.
$7$. $t > t_{6}$ के लिए: $A=0, B=1$,अतः $Y = 0 + 1 = 1$.
इस प्रकार,आउटपुट वेवफॉर्म $Y$ आकृति में दिखाए गए अनुसार $OR$ गेट के तर्क का पालन करता है।

(N/A) $AND$ गेट के लिए,आउटपुट $Y$ केवल तभी $1$ होता है जब दोनों इनपुट $A$ और $B$ $1$ हों। अन्यथा,आउटपुट $Y$ $0$ होता है। दिए गए इनपुट वेवफॉर्म के आधार पर,हम अंतरालों का विश्लेषण करते हैं:

अंतराल	इनपुट $(A, B)$	आउटपुट $(Y = A \cdot B)$
$t \leq t_{1}$	$A=0, B=0$	$Y=0$
$t_{1}$ से $t_{2}$	$A=1, B=0$	$Y=0$
$t_{2}$ से $t_{3}$	$A=1, B=1$	$Y=1$
$t_{3}$ से $t_{4}$	$A=0, B=1$	$Y=0$
$t_{4}$ से $t_{5}$	$A=0, B=0$	$Y=0$
$t_{5}$ से $t_{6}$	$A=1, B=0$	$Y=0$
$t > t_{6}$	$A=0, B=0$	$Y=0$

इस प्रकार,आउटपुट वेवफॉर्म $t_{2}$ और $t_{3}$ के बीच की अवधि को छोड़कर सभी अंतरालों के लिए निम्न स्थिति $(0)$ पर रहता है,जहाँ यह उच्च स्थिति $(1)$ पर चला जाता है।

(N/A) $NAND$ गेट के लिए सत्यता सारणी (truth table) इस प्रकार है:
यदि $A=0, B=0$ है,तो $Y=1$ होगा।
यदि $A=0, B=1$ है,तो $Y=1$ होगा।
यदि $A=1, B=0$ है,तो $Y=1$ होगा।
यदि $A=1, B=1$ है,तो $Y=0$ होगा।
इनपुट वेवफॉर्म के आधार पर:
$t < t_{1}$ के लिए; $A=1, B=1$; अतः $Y=0$ होगा।
$t_{1}$ से $t_{2}$ के लिए; $A=0, B=0$; अतः $Y=1$ होगा।
$t_{2}$ से $t_{3}$ के लिए; $A=0, B=1$; अतः $Y=1$ होगा।
$t_{3}$ से $t_{4}$ के लिए; $A=1, B=0$; अतः $Y=1$ होगा।
$t_{4}$ से $t_{5}$ के लिए; $A=1, B=1$; अतः $Y=0$ होगा।
$t_{5}$ से $t_{6}$ के लिए; $A=0, B=0$; अतः $Y=1$ होगा।
$t > t_{6}$ के लिए; $A=1, B=1$; अतः $Y=0$ होगा।

(N/A) और $B$ इनपुट हैं और $Y$ दिए गए परिपथ का आउटपुट है। परिपथ का बायां भाग एक $NOR$ गेट है और दायां भाग एक $NOT$ गेट है।
$NOR$ गेट का आउटपुट $\overline{A+B}$ है।
यह आउटपुट $NOT$ गेट के लिए इनपुट के रूप में कार्य करता है। $NOT$ गेट का आउटपुट $\overline{\overline{A+B}} = A+B$ होगा।
अतः,$Y = A+B$,जो $OR$ गेट का बूलियन व्यंजक है। इसलिए,यह परिपथ $OR$ गेट के रूप में कार्य करता है।
$(b)$ $A$ और $B$ इनपुट हैं और $Y$ आउटपुट है। इनपुट $A$ और $B$ पहले दो $NOT$ गेट से गुजरते हैं,जिससे क्रमशः $\overline{A}$ और $\overline{B}$ प्राप्त होते हैं।
इन्हें फिर एक $NOR$ गेट के इनपुट के रूप में दिया जाता है।
$NOR$ गेट का आउटपुट $Y = \overline{\overline{A} + \overline{B}}$ है।
डी मॉर्गन के प्रमेय का उपयोग करते हुए,$\overline{\overline{A} + \overline{B}} = \overline{\overline{A}} \cdot \overline{\overline{B}} = A \cdot B$।
अतः,$Y = A \cdot B$,जो $AND$ गेट का बूलियन व्यंजक है। इसलिए,यह परिपथ $AND$ गेट के रूप में कार्य करता है।

(N/A) दिए गए परिपथ में,इनपुट $A$ को $NAND$ गेट के दोनों इनपुट से जोड़ा गया है। मान लीजिए इनपुट $A_1 = A$ और $A_2 = A$ हैं। $NAND$ गेट का आउटपुट $Y$,$Y = \overline{A_1 \cdot A_2}$ द्वारा दिया जाता है।
इनपुट का मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$Y = \overline{A \cdot A}$
बूलियन सर्वसमिका $A \cdot A = A$ का उपयोग करने पर,हमें मिलता है:
$Y = \overline{A}$
इस संक्रिया के लिए सत्यता सारणी इस प्रकार है:

$A$	$Y = \overline{A}$
$0$	$1$
$1$	$0$

चूंकि आउटपुट $Y$,इनपुट $A$ का पूरक (complement) है,इसलिए यह परिपथ एक $NOT$ गेट के रूप में कार्य करता है।

(N/A) दिए गए दोनों सर्किट में,$A$ और $B$ इनपुट हैं और $Y$ आउटपुट है।
$(a)$ पहले $NAND$ गेट का आउटपुट $\overline{A \cdot B}$ है। यह आउटपुट दूसरे $NAND$ गेट में भेजा जाता है जहाँ दोनों इनपुट एक साथ जुड़े होते हैं। दोनों इनपुट जुड़े होने पर $NAND$ गेट एक $NOT$ गेट के रूप में कार्य करता है। इसलिए,अंतिम आउटपुट $Y = \overline{(\overline{A \cdot B})} = A \cdot B$ है। अतः,यह सर्किट एक $AND$ गेट के रूप में कार्य करता है।
$(b)$ इस सर्किट में,पहले दो $NAND$ गेट के इनपुट एक साथ जुड़े हुए हैं,इसलिए वे $NOT$ गेट के रूप में कार्य करते हैं। आउटपुट क्रमशः $\overline{A}$ और $\overline{B}$ प्राप्त होते हैं। इन्हें फिर तीसरे $NAND$ गेट में भेजा जाता है। अंतिम आउटपुट $Y = \overline{\overline{A} \cdot \overline{B}}$ है। डी मॉर्गन के प्रमेय के अनुसार,$\overline{\overline{A} \cdot \overline{B}} = \overline{\overline{A}} + \overline{\overline{B}} = A + B$ है। अतः,यह सर्किट एक $OR$ गेट के रूप में कार्य करता है।

(N/A) मान लीजिए $A$ और $B$ दिए गए परिपथ के इनपुट हैं। पहले $NOR$ गेट का आउटपुट $\overline{A+B}$ है।
चित्र से देखा जा सकता है कि पहले $NOR$ गेट का आउटपुट दूसरे $NOR$ गेट के दोनों टर्मिनलों के लिए इनपुट के रूप में कार्य करता है।
इसलिए,अंतिम आउटपुट $Y$ इस प्रकार दिया गया है:
$Y = \overline{(\overline{A+B}) + (\overline{A+B})}$
बूलियन सर्वसमिका $\overline{X+X} = \overline{X}$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$Y = \overline{(\overline{A+B})} = A+B$
इस ऑपरेशन के लिए सत्यता सारणी इस प्रकार है:

$A$	$B$	$Y (= A + B)$
$0$	$0$	$0$
$0$	$1$	$1$
$1$	$0$	$1$
$1$	$1$	$1$

यह एक $OR$ गेट की सत्यता सारणी है। अतः,यह परिपथ एक $OR$ गेट के रूप में कार्य करता है।

(N/A) परिपथ $(a)$ के लिए:
इनपुट $A$,$NOR$ गेट के दोनों इनपुट से जुड़ा है। आउटपुट $Y$,$Y = \overline{A+A} = \bar{A}$ द्वारा दिया जाता है।
सत्यता सारणी इस प्रकार है:

$A$	$Y(=\bar{A})$
$0$	$1$
$1$	$0$

यह एक $NOT$ गेट की सत्यता सारणी है। अतः,परिपथ $(a)$ एक $NOT$ गेट के रूप में कार्य करता है।
परिपथ $(b)$ के लिए:
$A$ और $B$ इनपुट हैं। पहले दो $NOR$ गेट $NOT$ गेट के रूप में कार्य करते हैं,जो $\bar{A}$ और $\bar{B}$ आउटपुट देते हैं।
ये अंतिम $NOR$ गेट के लिए इनपुट हैं। आउटपुट $Y$ इस प्रकार है:
$Y = \overline{\bar{A}+\bar{B}} = \overline{\overline{A \cdot B}} = A \cdot B$ (डी मॉर्गन प्रमेय का उपयोग करके)।
सत्यता सारणी इस प्रकार है:

$A$	$B$	$Y(=A \cdot B)$
$0$	$0$	$0$
$0$	$1$	$0$
$1$	$0$	$0$
$1$	$1$	$1$

यह एक $AND$ गेट की सत्यता सारणी है। अतः,परिपथ $(b)$ एक $AND$ गेट के रूप में कार्य करता है।

(C) दिया गया बूलियन समीकरण $Y = \bar{A} \cdot B + A \cdot \bar{B}$ है।
यह $XOR$ (एक्सक्लूसिव $OR$) गेट के लिए मानक बूलियन समीकरण है।
मूलभूत गेट्स का उपयोग करके इसकी संरचना इस प्रकार है:
$1$. इनपुट $A$ और $B$ से $\bar{A}$ और $\bar{B}$ प्राप्त करने के लिए दो $NOT$ गेट का उपयोग करें।
$2$. दो $AND$ गेट का उपयोग करें: पहला $AND$ गेट इनपुट $\bar{A}$ और $B$ लेकर $\bar{A} \cdot B$ उत्पन्न करता है। दूसरा $AND$ गेट इनपुट $A$ और $\bar{B}$ लेकर $A \cdot \bar{B}$ उत्पन्न करता है।
$3$. दोनों $AND$ गेट के आउटपुट को संयोजित करने के लिए एक $OR$ गेट का उपयोग करें: $Y = (\bar{A} \cdot B) + (A \cdot \bar{B})$।

(N/A) एम्पलीफायर और ऑसिलेटर जैसे इलेक्ट्रॉनिक सर्किट में,सिग्नल समय के साथ करंट या वोल्टेज में निरंतर परिवर्तन के रूप में होते हैं। ऐसे सिग्नलों को निरंतर या एनालॉग सिग्नल कहा जाता है।
एक विशिष्ट एनालॉग सिग्नल चित्र $(a)$ और $(b)$ में दिखाया गया है।
यदि किसी करंट या वोल्टेज (सिग्नल) के केवल दो न्यूनतम और अधिकतम मान होते हैं,तो उस सिग्नल को डिजिटल सिग्नल कहा जाता है।
चित्र $(c)$ में सिग्नल वेवफॉर्म या पल्स के रूप में है,जिसमें सिग्नल के केवल दो मान होते हैं।
ऐसे सिग्नल को प्रदर्शित करने के लिए बाइनरी सिस्टम सुविधाजनक है। बाइनरी में केवल दो अंक $0$ और $1$ होते हैं। वोल्टेज के अधिकतम मान (जैसे $5 \ V$) को $1$ के रूप में और न्यूनतम मान (जैसे $0 \ V$) को $0$ के रूप में व्यक्त किया जाता है।
डिजिटल सर्किट में दो मानों ($0$ और $1$) द्वारा इंगित इनपुट और आउटपुट वोल्टेज मान्य होते हैं।

(N/A) लॉजिक सर्किट में दो प्रकार की प्रणालियों का उपयोग किया जाता है:
$(1)$ पॉजिटिव लॉजिक सिस्टम: इस प्रकार की प्रणाली में,उच्च वोल्टेज स्तर को लॉजिक $'1'$ (हाई) के रूप में और निम्न वोल्टेज स्तर को लॉजिक $'0'$ (लो) के रूप में लिया जाता है।
$(2)$ नेगेटिव लॉजिक सिस्टम: इस प्रकार की प्रणाली में,निम्न वोल्टेज स्तर को लॉजिक $'1'$ (हाई) के रूप में और उच्च वोल्टेज स्तर को लॉजिक $'0'$ (लो) के रूप में लिया जाता है।

(N/A) लॉजिक गेट एक डिजिटल सर्किट है जो एक विशिष्ट तार्किक कार्य को कार्यान्वित करता है। यह इनपुट और आउटपुट वोल्टेज के बीच एक परिभाषित तार्किक संबंध के आधार पर कार्य करता है।
इन्हें 'गेट' कहा जाता है क्योंकि ये तार्किक स्थितियों के आधार पर सूचना के प्रवाह को नियंत्रित करते हैं।
पाँच सामान्य लॉजिक गेट $NOT$,$AND$,$OR$,$NAND$ और $NOR$ हैं। प्रत्येक लॉजिक गेट को एक अद्वितीय प्रतीक द्वारा दर्शाया जाता है और इसका व्यवहार इसके ट्रुथ टेबल (सत्यता सारणी) द्वारा परिभाषित होता है।
ट्रुथ टेबल एक ऐसी सारणी है जो लॉजिक गेट के लिए सभी संभावित इनपुट संयोजनों और उनके संबंधित आउटपुट मानों को सूचीबद्ध करती है।
बूलियन समीकरण एक विशिष्ट लॉजिक गेट द्वारा किए गए ऑपरेशन का गणितीय निरूपण प्रदान करता है।
लॉजिक गेट्स डायोड और ट्रांजिस्टर जैसे सेमीकंडक्टर उपकरणों का उपयोग करके बनाए जाते हैं।

(N/A) $NOT$ गेट:
प्रतीक: चित्र $(a)$ में दिखाया गया है। इसमें एक इनपुट $A$ और एक आउटपुट $Y$ होता है।
कार्य: यदि इनपुट $1$ है,तो आउटपुट $0$ है। यदि इनपुट $0$ है,तो आउटपुट $1$ है। यह एक इनवर्टर के रूप में कार्य करता है।
बूलियन समीकरण: $Y = \overline{A}$.
सत्यता सारणी:
| इनपुट $A$ | आउटपुट $Y$ |
| :--- | :--- |
| $0$ | $1$ |
| $1$ | $0$ |
$OR$ गेट:
प्रतीक: चित्र $(a)$ में दिखाया गया है। इसमें दो या दो से अधिक इनपुट $(A, B)$ और एक आउटपुट $Y$ होता है।
कार्य: यदि कम से कम एक इनपुट $1$ है,तो आउटपुट $1$ प्राप्त होता है।
बूलियन समीकरण: $Y = A + B$.
सत्यता सारणी:
| इनपुट $A$ | इनपुट $B$ | आउटपुट $Y$ |
| :--- | :--- | :--- |
| $0$ | $0$ | $0$ |
| $0$ | $1$ | $1$ |
| $1$ | $0$ | $1$ |
| $1$ | $1$ | $1$ |
$AND$ गेट:
प्रतीक: चित्र $(a)$ में दिखाया गया है। इसमें दो या दो से अधिक इनपुट $(A, B)$ और एक आउटपुट $Y$ होता है।
कार्य: आउटपुट $1$ केवल तभी प्राप्त होता है जब दोनों इनपुट $A$ और $B$ का मान $1$ हो।
बूलियन समीकरण: $Y = A \bullet B$.
सत्यता सारणी:
| इनपुट $A$ | इनपुट $B$ | आउटपुट $Y$ |
| :--- | :--- | :--- |
| $0$ | $0$ | $0$ |
| $0$ | $1$ | $0$ |
| $1$ | $0$ | $0$ |
| $1$ | $1$ | $1$ |

(N/A) $NAND$ गेट का निर्माण $AND$ गेट और $NOT$ गेट के संयोजन से होता है। $\therefore AND + NOT = NAND$.
यह एक $AND$ गेट है जिसके बाद $NOT$ गेट लगा होता है। इस गेट का प्रतीक $AND$ गेट के आउटपुट पर एक छोटे वृत्त द्वारा दर्शाया जाता है। इसमें दो इनपुट $(A, B)$ और एक आउटपुट $(Y)$ होता है।
$NAND$ गेट का कार्य: आउटपुट केवल तभी $'0'$ होता है जब सभी इनपुट $'1'$ हों,अन्यथा आउटपुट $'1'$ होता है।
बूलियन समीकरण: $Y = \overline{A \cdot B}$.
$NAND$ गेट के लिए सत्यता सारणी:
| $A$ | $B$ | $Y$ |
|---|---|---|
| $0$ | $0$ | $1$ |
| $0$ | $1$ | $1$ |
| $1$ | $0$ | $1$ |
| $1$ | $1$ | $0$ |
$NAND$ गेट को यूनिवर्सल गेट कहा जाता है क्योंकि इनका उपयोग करके अन्य बुनियादी गेट जैसे $OR$,$AND$ और $NOT$ बनाए जा सकते हैं।
$NOR$ गेट का निर्माण $OR$ गेट और $NOT$ गेट के संयोजन से होता है। $\therefore OR + NOT = NOR$.
यह एक $OR$ गेट है जिसके बाद $NOT$ गेट लगा होता है। इसका प्रतीक $OR$ गेट के आउटपुट पर एक छोटे वृत्त द्वारा दर्शाया जाता है।
$NOR$ गेट का कार्य: आउटपुट केवल तभी $'1'$ होता है जब सभी इनपुट $'0'$ हों,अन्यथा आउटपुट $'0'$ होता है।
बूलियन समीकरण: $Y = \overline{A + B}$.
$NOR$ गेट के लिए सत्यता सारणी:
| $A$ | $B$ | $Y$ |
|---|---|---|
| $0$ | $0$ | $1$ |
| $0$ | $1$ | $0$ |
| $1$ | $0$ | $0$ |
| $1$ | $1$ | $0$ |
$NOR$ गेट को भी यूनिवर्सल गेट कहा जाता है।

(N/A) डिजिटल सिग्नल एक ऐसा सिग्नल है जो केवल दो अलग-अलग मान ले सकता है,जिन्हें आमतौर पर $0$ (लो) और $1$ (हाई) के रूप में दर्शाया जाता है। ये मान इलेक्ट्रॉनिक सर्किट में विशिष्ट वोल्टेज स्तरों के अनुरूप होते हैं।
डिजिटल सिग्नल को व्यक्त करने के लिए उपयोग की जाने वाली गणितीय पद्धति को $Boolean$ $Algebra$ (बूलियन बीजगणित) कहा जाता है। यह बीजगणित की एक शाखा है जिसमें चरों के मान सत्य $(true)$ और असत्य $(false)$ होते हैं,जिन्हें आमतौर पर क्रमशः $1$ और $0$ द्वारा दर्शाया जाता है।

(B) लॉजिक गेट एक डिजिटल सर्किट की मूलभूत इकाई है। यह एक ऐसा डिजिटल सर्किट है जो एक या अधिक बाइनरी इनपुट पर तार्किक संचालन करता है और एक एकल बाइनरी आउटपुट उत्पन्न करता है। इनपुट और आउटपुट के बीच का संबंध कुछ तार्किक नियमों पर आधारित होता है,जिन्हें बूलियन बीजगणित द्वारा दर्शाया जाता है। इसके सामान्य उदाहरणों में $AND$,$OR$,$NOT$,$NAND$ और $NOR$ गेट शामिल हैं।

(C) लॉजिक गेट एक डिजिटल सर्किट है जो एक या अधिक इनपुट पर तार्किक संचालन करता है और एक आउटपुट उत्पन्न करता है।
मूलभूत लॉजिक गेट्स में,$NOT$ गेट एकमात्र ऐसा गेट है जिसमें केवल एक इनपुट और एक आउटपुट होता है।
$NOT$ गेट इन्वर्जन (उलटने) की प्रक्रिया करता है,जिसका अर्थ है कि यदि इनपुट $0$ है,तो आउटपुट $1$ मिलता है,और यदि इनपुट $1$ है,तो आउटपुट $0$ मिलता है।
इसलिए,सही विकल्प $C$ है।

(C) इनवर्टर गेट एक लॉजिक गेट है जो तार्किक निषेध (logical negation) को लागू करता है। यह एक इनपुट लेता है और विपरीत आउटपुट उत्पन्न करता है। $NOT$ गेट को इनवर्टर के रूप में जाना जाता है क्योंकि यदि इनपुट $1$ (उच्च) है,तो आउटपुट $0$ (निम्न) होता है,और यदि इनपुट $0$ (निम्न) है,तो आउटपुट $1$ (उच्च) होता है। इसलिए,$NOT$ गेट इनवर्टर गेट है।

(A) $AND$ गेट एक बुनियादी डिजिटल लॉजिक गेट है जो तार्किक संयोजन (logical conjunction) को लागू करता है।
यह केवल तभी $1$ (उच्च) आउटपुट देता है जब इसके सभी इनपुट $1$ (उच्च) हों।
यदि कोई भी इनपुट $0$ (निम्न) है,तो आउटपुट $0$ (निम्न) होगा।
गणितीय रूप से,दो इनपुट $A$ और $B$ के लिए,आउटपुट $Y$ को $Y = A \cdot B$ द्वारा दिया जाता है।

(N/A) $NAND$ गेट एक सार्वत्रिक लॉजिक गेट है जो केवल तभी कम आउटपुट $(0)$ उत्पन्न करता है जब इसके सभी इनपुट उच्च $(1)$ हों। अन्यथा, यह उच्च आउटपुट $(1)$ उत्पन्न करता है।
दो इनपुट $A$ और $B$ तथा आउटपुट $Y$ वाले $NAND$ गेट के लिए, बूलियन व्यंजक $Y = \overline{A \cdot B}$ है।
इसकी सत्यता सारणी निम्नलिखित है:
| इनपुट $A$ | इनपुट $B$ | आउटपुट $Y$ |
| :--- | :--- | :--- |
| $0$ | $0$ | $1$ |
| $0$ | $1$ | $1$ |
| $1$ | $0$ | $1$ |
| $1$ | $1$ | $0$ |

(A) $NOR$ गेट एक सार्वत्रिक (universal) लॉजिक गेट है जो तार्किक $OR$ ऑपरेशन के बाद तार्किक $NOT$ ऑपरेशन करता है।
इसलिए, $NOR$ गेट का आउटपुट $OR$ गेट के आउटपुट का पूरक (complement) होता है।
गणितीय रूप से, यदि इनपुट $A$ और $B$ हैं, तो आउटपुट $Y$ को $Y = \overline{A + B}$ द्वारा दर्शाया जाता है।
यह $OR$ गेट को $NOT$ गेट के साथ श्रेणीक्रम में जोड़ने के बराबर है।

(N/A) बेसिक गेट्स डिजिटल लॉजिक सर्किट के मूलभूत निर्माण खंड हैं। वे सरल तार्किक संचालन करते हैं। तीन मुख्य बेसिक लॉजिक गेट्स निम्नलिखित हैं:
$1$. $NOT$ गेट: यह एक इनवर्टर के रूप में कार्य करता है,जो इनपुट का विपरीत आउटपुट देता है।
$2$. $AND$ गेट: यह उच्च आउटपुट $(1)$ तभी देता है यदि इसके सभी इनपुट उच्च $(1)$ हों।
$3$. $OR$ गेट: यह उच्च आउटपुट $(1)$ देता है यदि इसके इनपुट में से कम से कम एक इनपुट उच्च $(1)$ हो।
यूनिवर्सल गेट्स वे लॉजिक गेट्स हैं जिनका उपयोग किसी भी बूलियन फ़ंक्शन को लागू करने या किसी अन्य प्रकार के लॉजिक गेट का निर्माण करने के लिए किया जा सकता है,जिसमें अन्य प्रकार के गेट्स की आवश्यकता नहीं होती है। दो यूनिवर्सल गेट्स निम्नलिखित हैं:
$1$. $NAND$ गेट: यह एक $AND$ गेट और उसके बाद एक $NOT$ गेट का संयोजन है।
$2$. $NOR$ गेट: यह एक $OR$ गेट और उसके बाद एक $NOT$ गेट का संयोजन है।

(N/A) इस स्थिति में,गेट को तब खुलना चाहिए यदि इनपुट $A$ उच्च (high) है या इनपुट $B$ उच्च है। यह तर्क $OR$ गेट के अनुरूप है। यहाँ एक डायोड-आधारित $OR$ गेट सर्किट का उपयोग किया गया है,जहाँ दो डायोड के कैथोड को एक साथ आउटपुट $C$ से जोड़ा जाता है और एनोड इनपुट $A$ और $B$ के रूप में कार्य करते हैं। जब इनपुट $A$ या $B$ में से कोई भी उच्च विभव (लॉजिक $1$) पर होता है,तो संबंधित डायोड फॉरवर्ड-बायस हो जाता है,जिससे धारा प्रवाहित होती है और आउटपुट $C$ पर विभव उच्च स्थिति (लॉजिक $1$) पर आ जाता है। यदि दोनों उच्च हैं,तो आउटपुट उच्च रहता है। यदि दोनों निम्न (लॉजिक $0$) हैं,तो आउटपुट निम्न रहता है।
$OR$ गेट के लिए सत्यता सारणी (Truth table):

इनपुट $(A, B)$	आउटपुट $(C)$
$0, 0$	$0$
$0, 1$	$1$
$1, 0$	$1$
$1, 1$	$1$

(N/A) $NPN$ ट्रांजिस्टर का उपयोग करके $NOT$ गेट प्राप्त करने के लिए, ट्रांजिस्टर को कॉमन-एमिटर कॉन्फ़िगरेशन में उपयोग किया जाता है। इनपुट $A$ को एक प्रतिरोधक $R_B$ के माध्यम से बेस पर लागू किया जाता है, और आउटपुट $C$ को कलेक्टर टर्मिनल से लिया जाता है।
स्थिति $I$:
जब $A=0$ (लो इनपुट), तो बेस करंट $I_B = 0$ होता है। परिणामस्वरूप, कलेक्टर करंट $I_C = \beta I_B = 0$ होता है। आउटपुट लूप में किरचॉफ के वोल्टेज नियम का उपयोग करने पर, $V_{CC} = I_C R_C + V_{CE}$। चूँकि $I_C = 0$, इसलिए $V_{CE} = V_{CC} = 5 \text{ V}$ प्राप्त होता है। इस प्रकार, आउटपुट $C = 1$ (हाई) होता है।
स्थिति $II$:
जब $A=1$ (हाई इनपुट), तो ट्रांजिस्टर सैचुरेशन में चला जाता है, जिससे $I_B$ और $I_C$ अधिकतम हो जाते हैं। इस स्थिति में, $R_C$ पर वोल्टेज ड्रॉप लगभग $V_{CC}$ के बराबर होता है, इसलिए $V_{CE} \approx 0$ होता है। इस प्रकार, आउटपुट $C = 0$ (लो) प्राप्त होता है।
यह $C = \bar{A}$ ऑपरेशन की पुष्टि करता है, जो $NOT$ गेट की विशेषता है।

इनपुट $A$	आउटपुट $C$
$0$	$1$
$1$	$0$

(N/A) दिया गया परिपथ एक $OR$ गेट है।
जब इनपुट $A$ या इनपुट $B$ निम्न विभव $(0)$ पर होते हैं,तो संबंधित डायोड ($D_1$ या $D_2$) अग्र अभिनत (forward-biased) हो जाता है और चालन करता है,जिससे आउटपुट $V_0$ निम्न विभव $(0)$ पर आ जाता है।
जब दोनों इनपुट $A$ और $B$ उच्च विभव $(1)$ पर होते हैं,तो दोनों डायोड उत्क्रम अभिनत (reverse-biased) हो जाते हैं और चालन नहीं करते हैं। इस स्थिति में आउटपुट $V_0$ प्रतिरोधक के माध्यम से उच्च विभव $(+5 \text{ V})$ पर खिंच जाता है।
अतः,यह परिपथ एक $OR$ गेट के रूप में कार्य करता है।
सत्यता सारणी निम्नलिखित है:
| $A$ | $B$ | $V_0 = A + B$ |
|---|---|---|
| $0$ | $0$ | $0$ |
| $0$ | $1$ | $1$ |
| $1$ | $0$ | $1$ |
| $1$ | $1$ | $1$ |

(N/A) चित्र $(3)$ में दिए गए सर्किट के लिए:
$Y_1 = \overline{A}$,$Y_2 = \overline{B}$.
$NAND$ गेट का आउटपुट $Y = \overline{Y_1 \cdot Y_2} = \overline{\overline{A} \cdot \overline{B}} = A + B$ है।
अंतिम $NOT$ गेट $C_1 = \overline{Y} = \overline{A + B}$ देता है।
यह एक $NOR$ गेट के लिए बूलियन व्यंजक है।
इनपुट सिग्नल $A$ और $B$ के आधार पर,आउटपुट $C_1$ केवल तब हाई $(1)$ होता है जब $A$ और $B$ दोनों लो $(0)$ हों,जो $t = 4 \text{ s}$ से $t = 5 \text{ s}$ के अंतराल में होता है।
चित्र $(4)$ में दिए गए सर्किट के लिए:
$Y_1 = \overline{A}$,$Y_2 = \overline{B}$.
$NOR$ गेट का आउटपुट $C_2 = \overline{Y_1 + Y_2} = \overline{\overline{A} + \overline{B}} = \overline{\overline{A \cdot B}} = A \cdot B$ है।
यह एक $AND$ गेट के लिए बूलियन व्यंजक है।
इनपुट सिग्नल $A$ और $B$ के आधार पर,आउटपुट $C_2$ केवल तब हाई $(1)$ होता है जब $A$ और $B$ दोनों हाई $(1)$ हों,जो $t = 1 \text{ s}$ से $t = 2 \text{ s}$ के अंतराल में होता है।

(C) दी गई सत्यता सारणी दर्शाती है कि आउटपुट $Y$ केवल तभी $1$ होता है जब इनपुट $A$ और $B$ अलग-अलग हों (अर्थात $0,1$ या $1,0$)।
यह एक $XOR$ (एक्सक्लूसिव-$OR$) गेट की विशिष्ट सत्यता सारणी है。
इस गेट के लिए बूलियन समीकरण $Y = A \oplus B = \overline{A} \cdot B + A \cdot \overline{B}$ है。
परिपथ आरेख में दिखाए अनुसार, आउटपुट $Y$ को दो $AND$ गेट्स के आउटपुट ($Y_1 = \overline{A} \cdot B$ और $Y_2 = A \cdot \overline{B}$) को एक $OR$ गेट के माध्यम से जोड़कर प्राप्त किया जाता है, जिसका परिणाम $Y = Y_1 + Y_2 = \overline{A} \cdot B + A \cdot \overline{B}$ होता है।

(N/A) व्यंजक $Y = \bar{A} \cdot B + A \cdot \bar{B}$ एक $XOR$ (Exclusive $OR$) तार्किक संक्रिया को दर्शाता है।
इसे मूल गेट्स का उपयोग करके बनाने के लिए:
$1$. इनपुट $A$ और $B$ से $\bar{A}$ और $\bar{B}$ प्राप्त करने के लिए दो $NOT$ गेट का उपयोग करें।
$2$. दो $AND$ गेट का उपयोग करें: पहला $AND$ गेट इनपुट $\bar{A}$ और $B$ लेकर $\bar{A} \cdot B$ उत्पन्न करता है। दूसरा $AND$ गेट इनपुट $A$ और $\bar{B}$ लेकर $A \cdot \bar{B}$ उत्पन्न करता है।
$3$. दोनों $AND$ गेट के आउटपुट को संयोजित करने के लिए एक $OR$ गेट का उपयोग करें,जिससे $Y = \bar{A} \cdot B + A \cdot \bar{B}$ परिणाम प्राप्त होता है।

(C) माना $NAND$ गेट का आउटपुट $P = \overline{AB}$ है।
माना $OR$ गेट का आउटपुट $Q = A+B$ है।
$AND$ गेट $P$ और $Q$ को इनपुट के रूप में लेता है,इसलिए इसका आउटपुट $R = P \cdot Q = (\overline{AB}) \cdot (A+B)$ है।
बूलियन बीजगणित का उपयोग करते हुए: $R = (\bar{A} + \bar{B}) \cdot (A+B) = \bar{A}A + \bar{A}B + \bar{B}A + \bar{B}B = 0 + \bar{A}B + A\bar{B} + 0 = A \oplus B$ ($XOR$ ऑपरेशन)।
अंतिम $NOR$ गेट $P$ और $R$ को इनपुट के रूप में लेता है,इसलिए $Z = \overline{P+R} = \overline{(\overline{AB}) + (A \oplus B)}$।
प्रत्येक इनपुट $(A, B)$ के लिए गणना करते हैं:
$1$. $(1, 0): P = \overline{1 \cdot 0} = 1, Q = 1+0 = 1, R = 1 \cdot 1 = 1. Z = \overline{1+1} = 0$.
$2$. $(0, 0): P = \overline{0 \cdot 0} = 1, Q = 0+0 = 0, R = 1 \cdot 0 = 0. Z = \overline{1+0} = 0$.
$3$. $(1, 1): P = \overline{1 \cdot 1} = 0, Q = 1+1 = 1, R = 0 \cdot 1 = 0. Z = \overline{0+0} = 1$.
$4$. $(0, 1): P = \overline{0 \cdot 1} = 1, Q = 0+1 = 1, R = 1 \cdot 1 = 1. Z = \overline{1+1} = 0$.
अतः,आउटपुट $0, 0, 1, 0$ प्राप्त होता है।

(A) इस परिपथ में तीन $NOT$ गेट (जो $NOR$ गेट के इनपुट को शॉर्ट करके बनाए गए हैं) और उसके बाद एक $NOR$ गेट शामिल है।
मान लीजिए इनपुट $A, B, C$ हैं।
तीन $NOT$ गेट के आउटपुट $A' = \bar{A}$,$B' = \bar{B}$,और $C' = \bar{C}$ हैं।
इन्हें एक $NOR$ गेट में दिया जाता है। अंतिम आउटपुट $Y$ इस प्रकार है:
$Y = \overline{A' + B' + C'} = \overline{\bar{A} + \bar{B} + \bar{C}}$.
डी मॉर्गन के प्रमेय का उपयोग करते हुए,$\overline{\bar{A} + \bar{B} + \bar{C}} = \overline{\bar{A}} \cdot \overline{\bar{B}} \cdot \overline{\bar{C}} = A \cdot B \cdot C$.
अतः,यह परिपथ $AND$ संक्रिया करता है।

(B) दी गई सर्किट में दो $NOT$ गेट और उसके बाद एक $NAND$ गेट है।
$NAND$ गेट के इनपुट $\bar{A}$ और $\bar{B}$ हैं।
$NAND$ गेट का आउटपुट $Y$ बूलियन व्यंजक द्वारा दिया जाता है:
$Y = \overline{\bar{A} \cdot \bar{B}}$
डी मॉर्गन के प्रमेय का उपयोग करते हुए,$\overline{X \cdot Y} = \bar{X} + \bar{Y}$।
इसलिए,$Y = \overline{\bar{A}} + \overline{\bar{B}} = A + B$।
यह एक $OR$ गेट ऑपरेशन को दर्शाता है।
विभिन्न समय अंतरालों पर $A$ और $B$ के लिए इनपुट वेवफॉर्म का विश्लेषण करके,हम आउटपुट $Y = A + B$ निर्धारित कर सकते हैं:
- $t < 5$ के लिए,$A=0, B=1 \implies Y=1$।
- $5 < t < 7$ के लिए,$A=1, B=1 \implies Y=1$।
- $7 < t < 10$ के लिए,$A=0, B=0 \implies Y=0$।
- $10 < t < 15$ के लिए,$A=1, B=1 \implies Y=1$।
- $15 < t < 17$ के लिए,$A=0, B=0 \implies Y=0$।
- $17 < t < 19$ के लिए,$A=1, B=0 \implies Y=1$।
- $t > 19$ के लिए,$A=0, B=1 \implies Y=1$।
इसे दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,$OR$ ऑपरेशन के अनुरूप वेवफॉर्म विकल्प $B$ द्वारा दर्शाया गया है।

(B) दिए गए सर्किट में दो $NOT$ गेट और उसके बाद एक $NOR$ गेट का उपयोग किया गया है।
मान लीजिए कि इनपुट $A$ और $B$ हैं।
दो $NOT$ गेट के आउटपुट $\bar{A}$ और $\bar{B}$ प्राप्त होते हैं।
ये $NOR$ गेट के लिए इनपुट के रूप में कार्य करते हैं।
$NOR$ गेट का आउटपुट $Y$ निम्नलिखित बूलियन व्यंजक द्वारा दिया जाता है:
$Y = \overline{\bar{A} + \bar{B}}$
डी मॉर्गन के प्रमेय के अनुसार,$\overline{\bar{A} + \bar{B}} = \overline{\bar{A}} \cdot \overline{\bar{B}} = A \cdot B$।
इस प्रकार,यह सर्किट एक $AND$ गेट के रूप में कार्य करता है।
$AND$ गेट के लिए सत्यता सारणी इस प्रकार है:

$A$	$B$	$Y$
$0$	$0$	$0$
$0$	$1$	$0$
$1$	$0$	$0$
$1$	$1$	$1$

अतः,सही विकल्प $B$ है।