Boolean Algebra and Logic Gates Questions in Gujarati

(C) ધારો કે ઇનપુટ $A$ અને $B$ છે.
પ્રથમ બે $NAND$ ગેટના ઇનપુટ શોર્ટ કરેલા છે,જે તેમને $NOT$ ગેટ તરીકે કાર્ય કરવા માટે મજબૂર કરે છે.
તેથી,પ્રથમ $NAND$ ગેટનું આઉટપુટ $\overline{A}$ છે અને બીજા $NAND$ ગેટનું આઉટપુટ $\overline{B}$ છે.
આ આઉટપુટ $\overline{A}$ અને $\overline{B}$ ને ત્રીજા $NAND$ ગેટના ઇનપુટ તરીકે આપવામાં આવે છે.
ત્રીજા $NAND$ ગેટનું આઉટપુટ $Y$ એ $Y = \overline{(\overline{A} \cdot \overline{B})}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ડી મોર્ગનના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$\overline{X \cdot Y} = \overline{X} + \overline{Y}$.
તેથી,$Y = \overline{(\overline{A})} + \overline{(\overline{B})} = A + B$.
આમ,આઉટપુટ $Y = A + B$ એ $OR$ ગેટ દર્શાવે છે,તેથી સમકક્ષ લોજિક ગેટ $OR$ છે.

(B) આ સર્કિટમાં એક $AND$ ગેટ,એક $OR$ ગેટ અને એક $NAND$ ગેટનો સમાવેશ થાય છે.
ધારો કે ઇનપુટ $A$ અને $B$ છે.
ઉપરના $AND$ ગેટને $A$ અને $B$ ઇનપુટ મળે છે,તેથી તેનું આઉટપુટ $Y_1 = A \cdot B$ છે.
નીચેના $OR$ ગેટને $B$ અને $A$ ઇનપુટ મળે છે,તેથી તેનું આઉટપુટ $Y_2 = B + A$ છે.
અંતિમ $NAND$ ગેટને $Y_1$ અને $Y_2$ ઇનપુટ તરીકે મળે છે,તેથી અંતિમ આઉટપુટ $Y = \overline{Y_1 \cdot Y_2} = \overline{(A \cdot B) \cdot (A + B)}$ છે.
બુલિયન બીજગણિતનો ઉપયોગ કરતા: $Y = \overline{(A \cdot B) \cdot A + (A \cdot B) \cdot B} = \overline{(A \cdot B) + (A \cdot B)} = \overline{A \cdot B}$.
આ $NAND$ ગેટ માટેનું ટ્રુથ ટેબલ છે:
જો $A=0, B=0$ હોય,તો $Y = \overline{0 \cdot 0} = 1$.
જો $A=0, B=1$ હોય,તો $Y = \overline{0 \cdot 1} = 1$.
જો $A=1, B=0$ હોય,તો $Y = \overline{1 \cdot 0} = 1$.
જો $A=1, B=1$ હોય,તો $Y = \overline{1 \cdot 1} = 0$.
આ પરિણામોને આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(A) ધારો કે ઇનપુટ $A$ અને $B$ છે.
દરેક ઇનપુટ એક $NOT$ ગેટમાંથી પસાર થાય છે,તેથી પ્રથમ તબક્કાના $NAND$ ગેટ માટેના ઇનપુટ $\bar{A}$ અને $\bar{B}$ બને છે.
પ્રથમ તબક્કાના $NAND$ ગેટના બંને ઇનપુટ એકબીજા સાથે જોડાયેલા હોવાથી,તેઓ $NOT$ ગેટ તરીકે કાર્ય કરે છે. આમ,પ્રથમ તબક્કાના આઉટપુટ $\overline{\bar{A}} = A$ અને $\overline{\bar{B}} = B$ મળે છે.
આ આઉટપુટ $A$ અને $B$ ને અંતિમ $NAND$ ગેટમાં આપવામાં આવે છે.
અંતિમ $NAND$ ગેટનું આઉટપુટ $Y = \overline{A \cdot B}$ છે.
આ $NAND$ ગેટ માટેનું બુલિયન સમીકરણ છે.
તેથી,આ સર્કિટ $NAND$ ગેટને સમકક્ષ છે.

(A) આપેલ સર્કિટમાં બે $NOT$ ગેટ અને ત્યારબાદ એક $NOR$ ગેટ છે.
ધારો કે ઇનપુટ $A$ અને $B$ છે.
બે $NOT$ ગેટના આઉટપુટ $\bar{A}$ અને $\bar{B}$ મળે છે.
આ આઉટપુટ $NOR$ ગેટ માટે ઇનપુટ તરીકે કાર્ય કરે છે.
$NOR$ ગેટનું આઉટપુટ $y = \overline{\bar{A} + \bar{B}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ડી મોર્ગનના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$\overline{\bar{A} + \bar{B}} = \overline{\bar{A}} \cdot \overline{\bar{B}} = A \cdot B$ થાય છે.
સમીકરણ $y = A \cdot B$ એ $AND$ ગેટ દર્શાવે છે.
તેથી,આ સંયોજન $AND$ ગેટને સમતુલ્ય છે.

(C) આ સર્કિટમાં એક $NOR$ ગેટ અને ત્યારબાદ એક $AND$ ગેટ જોડાયેલ છે.
$1$. $NOR$ ગેટનું આઉટપુટ $y_1 = \overline{A+B}$ છે.
અહીં $A=0$ અને $B=1$ આપેલ છે,તેથી $y_1 = \overline{0+1} = \overline{1} = 0$.
$2$. $AND$ ગેટનું આઉટપુટ $y_2 = y_1 \cdot C$ છે.
અહીં $y_1 = 0$ અને $C=1$ છે,તેથી $y_2 = 0 \cdot 1 = 0$.
તેથી,$y_1$ અને $y_2$ ના મૂલ્યો અનુક્રમે $0$ અને $0$ છે.

(A) આ સર્કિટમાં $B$ અને $C$ ઇનપુટ ધરાવતું એક $NAND$ ગેટ અને $\overline{A}$ તથા $y_1$ ઇનપુટ ધરાવતું એક $NOR$ ગેટ છે.
સૌ પ્રથમ,$y_1$ ની ગણતરી કરીએ:
$y_1 = \overline{B \cdot C} = \overline{1 \cdot 1} = \overline{1} = 0$.
ત્યારબાદ,$y_2$ ની ગણતરી કરીએ:
$NOR$ ગેટના ઇનપુટ્સ $\overline{A}$ અને $y_1$ છે.
$\overline{A} = \overline{1} = 0$.
$y_2 = \overline{\overline{A} + y_1} = \overline{0 + 0} = \overline{0} = 1$.
આમ,$y_1 = 0$ અને $y_2 = 1$ મળે છે.

(A) આકૃતિ પરથી,$y_1$ એ $(A \cdot B)$ અને $B$ ઇનપુટ ધરાવતા $NAND$ ગેટનું આઉટપુટ છે. તેથી,$y_1 = \overline{(A \cdot B) \cdot B}$.
આપેલ છે કે $A=0$ અને $B=1$,તેથી $A \cdot B = 0 \cdot 1 = 0$.
તેથી,$y_1 = \overline{0 \cdot 1} = \overline{0} = 1$.
$y_2$ એ $(B+C)$ અને $B$ ઇનપુટ ધરાવતા $NOR$ ગેટનું આઉટપુટ છે. તેથી,$y_2 = \overline{(B+C) + B}$.
આપેલ છે કે $B=1$ અને $C=1$,તેથી $B+C = 1+1 = 1$.
તેથી,$y_2 = \overline{1 + 1} = \overline{1} = 0$.
આમ,$y_1$ અને $y_2$ ના મૂલ્યો અનુક્રમે $1$ અને $0$ છે.

(C) આ સર્કિટમાં એક $NOR$ ગેટ,એક $AND$ ગેટ અને એક $NAND$ ગેટનો સમાવેશ થાય છે.
ધારો કે ઇનપુટ $A$ અને $B$ છે.
$NOR$ ગેટનું આઉટપુટ $\overline{A+B}$ છે.
$AND$ ગેટનું આઉટપુટ $A \cdot B$ છે.
આ બંને આઉટપુટ $NAND$ ગેટમાં જાય છે.
તેથી,અંતિમ આઉટપુટ $Y$ નીચે મુજબ મળે છે:
$Y = \overline{(\overline{A+B}) \cdot (A \cdot B)}$
ડી મોર્ગનના નિયમ મુજબ,$\overline{X \cdot Z} = \overline{X} + \overline{Z}$:
$Y = \overline{(\overline{A+B})} + \overline{(A \cdot B)}$
$Y = (A+B) + (\overline{A} + \overline{B})$
$Y = (A + \overline{A}) + (B + \overline{B})$
કારણ કે $A + \overline{A} = 1$ અને $B + \overline{B} = 1$:
$Y = 1 + 1 = 1$
આમ,ઇનપુટ $(A, B)$ ના કોઈપણ સંયોજન માટે,આઉટપુટ $Y$ હંમેશા $1$ રહે છે.

(C) આપેલ પરિપથમાં બે $NOR$ ગેટ છે જે $NOT$ ગેટ તરીકે કાર્ય કરે છે,ત્યારબાદ એક $NOR$ ગેટ છે.
$1$. પ્રથમ બે ગેટ $NOR$ ગેટ છે જેમાં બંને ઇનપુટ એકસાથે જોડાયેલા છે. $A$ અને $A$ ઇનપુટ ધરાવતો $NOR$ ગેટ આઉટપુટ $\overline{A+A} = \overline{A}$ આપે છે.
$2$. તેવી જ રીતે,$B$ અને $B$ ઇનપુટ ધરાવતો બીજો $NOR$ ગેટ આઉટપુટ $\overline{B+B} = \overline{B}$ આપે છે.
$3$. આ બંને આઉટપુટ અંતિમ $NOR$ ગેટમાં આપવામાં આવે છે.
$4$. અંતિમ $NOR$ ગેટનું આઉટપુટ $Y = \overline{\overline{A} + \overline{B}}$ છે.
$5$. ડી મોર્ગનના નિયમ મુજબ,$\overline{\overline{A} + \overline{B}} = \overline{\overline{A}} \cdot \overline{\overline{B}} = A \cdot B$.
$6$. તેથી,આઉટપુટ $Y = A \cdot B$ મળે છે,જે $AND$ ગેટનું બુલિયન સમીકરણ છે.

(C) આ પરિપથમાં બે $AND$ ગેટ,એક $NOT$ ગેટ અને એક $OR$ ગેટનો સમાવેશ થાય છે.
$1$. ઉપરનો $AND$ ગેટ $A$ અને $B$ ઇનપુટ મેળવે છે. તેનું આઉટપુટ $A \cdot B = 1 \cdot 1 = 1$ છે.
$2$. નીચેનો $AND$ ગેટ પણ $A$ અને $B$ ઇનપુટ મેળવે છે. તેનું આઉટપુટ $A \cdot B = 1 \cdot 1 = 1$ છે.
$3$. નીચેના $AND$ ગેટનું આઉટપુટ $NOT$ ગેટમાંથી પસાર થઈને $X$ ઉત્પન્ન કરે છે. તેથી,$X = \overline{A \cdot B} = \overline{1} = 0$.
$4$. $OR$ ગેટ ઉપરના $AND$ ગેટનું આઉટપુટ $(1)$ અને $NOT$ ગેટનું આઉટપુટ $(X = 0)$ મેળવે છે.
$5$. અંતિમ આઉટપુટ $Y$ એ $OR$ ઓપરેશનનું પરિણામ છે: $Y = 1 + X = 1 + 0 = 1$.
તેથી,$X$ અને $Y$ ના મૂલ્યો અનુક્રમે $0$ અને $1$ છે.

(A) જ્યારે ઇનપુટ $A=0$ અને $B=1$ હોય ત્યારે કયું ગેટ $0$ આઉટપુટ આપે છે તે નક્કી કરવા માટે,આપણે દરેક વિકલ્પ માટે ટ્રુથ ટેબલનું વિશ્લેષણ કરીએ છીએ:
$1$. $AND$ ગેટ: આઉટપુટ $Y = A \cdot B$ છે. $A=0, B=1$ માટે,$Y = 0 \cdot 1 = 0$. આ શરત સાથે મેળ ખાય છે.
$2$. $OR$ ગેટ: આઉટપુટ $Y = A + B$ છે. $A=0, B=1$ માટે,$Y = 0 + 1 = 1$.
$3$. $X$-$OR$ ગેટ: આઉટપુટ $Y = A \oplus B$ છે. $A=0, B=1$ માટે,$Y = 0 \oplus 1 = 1$.
$4$. $NAND$ ગેટ: આઉટપુટ $Y = \overline{A \cdot B}$ છે. $A=0, B=1$ માટે,$Y = \overline{0 \cdot 1} = \overline{0} = 1$.
આમ,જ્યારે $A=0$ અને $B=1$ હોય ત્યારે $AND$ ગેટ $0$ આઉટપુટ આપે છે.

(C) આપેલ સર્કિટમાં,ત્રણેય $OR$ ગેટના આઉટપુટને $AND$ ગેટના ઇનપુટ તરીકે આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ $OR$ ગેટના ઇનપુટ $\bar{A}$ અને $B$ છે,કારણ કે $A$ ના ઇનપુટ લાઇન પર $NOT$ ગેટ છે. તેથી,પ્રથમ $OR$ ગેટનું આઉટપુટ $(\bar{A}+B)$ છે.
બીજા $OR$ ગેટના ઇનપુટ $\bar{A}$ અને $\bar{C}$ છે,કારણ કે $A$ અને $C$ બંને ઇનપુટ લાઇન પર $NOT$ ગેટ છે. તેથી,બીજા $OR$ ગેટનું આઉટપુટ $(\bar{A}+\bar{C})$ છે.
ત્રીજા $OR$ ગેટના ઇનપુટ $B$ અને $\bar{C}$ છે,કારણ કે $C$ ના ઇનપુટ લાઇન પર $NOT$ ગેટ છે. તેથી,ત્રીજા $OR$ ગેટનું આઉટપુટ $(B+\bar{C})$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $AND$ ગેટનું આઉટપુટ તેના ઇનપુટનો ગુણાકાર (તાર્કિક ગુણાકાર) છે,તેથી લોજિક સર્કિટનું અંતિમ આઉટપુટ $Y$ એ ત્રણેય $OR$ ગેટના આઉટપુટનો ગુણાકાર છે:
$Y = (\bar{A}+B) \cdot (\bar{A}+\bar{C}) \cdot (B+\bar{C})$.

(A) $1$. પ્રથમ $AND$ ગેટના ઇનપુટ $1$ અને $0$ છે,તેથી તેનું આઉટપુટ $1 \cdot 0 = 0$ થશે.
$2$. પ્રથમ $OR$ ગેટના ઇનપુટ $0$ અને $1$ છે,તેથી તેનું આઉટપુટ $0 + 1 = 1$ થશે.
$3$. બીજો $OR$ ગેટ (જે $AND$ ગેટ અને પ્રથમ $OR$ ગેટ સાથે જોડાયેલ છે) ના ઇનપુટ $0$ અને $1$ છે,તેથી તેનું આઉટપુટ $0 + 1 = 1$ થશે.
$4$. $NAND$ ગેટના ઇનપુટ $0$ અને $1$ છે,તેથી તેનું આઉટપુટ $Y = \overline{0 \cdot 1} = \overline{0} = 1$ થશે.
$5$. $NOT$ ગેટનું ઇનપુટ $1$ છે,તેથી તેનું આઉટપુટ $\overline{1} = 0$ થશે.
$6$. અંતિમ $OR$ ગેટના ઇનપુટ $Y=1$ અને $NOT$ ગેટનું આઉટપુટ $0$ છે,તેથી $Z = 1 + 0 = 1$ થશે.
આમ,$Y=1$ અને $Z=1$ મળે છે.

(B) કયા લોજિક ગેટ્સ ફક્ત ત્યારે જ હાઈ આઉટપુટ $(1)$ આપે છે જ્યારે તમામ ઇનપુટ લો $(0)$ હોય, તે સમજવા માટે આપણે બે ઇનપુટ $A$ અને $B$ માટે તેમના ટ્રુથ ટેબલ તપાસીએ:
$1$. $NOR$ ગેટ: આઉટપુટ $Y = \overline{A+B}$ છે। જ્યારે $A=0$ અને $B=0$ હોય, ત્યારે $A+B=0$, તેથી $Y=1$ મળે છે। અન્ય કોઈપણ સંયોજન માટે, આઉટપુટ $0$ મળે છે।
$2$. $NAND$ ગેટ: આઉટપુટ $Y = \overline{AB}$ છે। જ્યારે $A=0$ અને $B=0$ હોય, ત્યારે $AB=0$, તેથી $Y=1$ મળે છે। જોકે, $A=0, B=1$ અથવા $A=1, B=0$ માટે પણ આઉટપુટ $1$ મળે છે।
પ્રશ્ન મુજબ: "હાઈ આઉટપુટ મેળવવા માટે તમામ ઇનપુટ લો હોવા જોઈએ"। $NOR$ ગેટ માટે, $Y=1$ ફક્ત ત્યારે જ મળે છે જ્યારે $A=0$ અને $B=0$ હોય। તેથી, $NOR$ અને $NAND$ એ સામાન્ય રીતે આ પ્રકારના પ્રશ્નોમાં સાચો વિકલ્પ ગણાય છે।

(C) ધારો કે ઇનપુટ $A$,$B$,અને $C$ છે. સર્કિટ $NAND$ ગેટ્સ અને $OR$ ગેટ્સની બનેલી છે.
$1$. ઉપરના $NAND$ ગેટમાં ઇનપુટ $A$ બંને ટર્મિનલ સાથે જોડાયેલ છે,તેથી તેનું આઉટપુટ $\overline{A \cdot A} = \bar{A}$ છે.
$2$. વચ્ચેના બે $NAND$ ગેટમાં અનુક્રમે $(A, B)$ અને $(B, C)$ ઇનપુટ છે,જે $\overline{A \cdot B}$ અને $\overline{B \cdot C}$ આઉટપુટ આપે છે.
$3$. આ બંને આઉટપુટ એક $OR$ ગેટમાં જાય છે,જેના પરિણામે $\overline{A \cdot B} + \overline{B \cdot C}$ મળે છે.
$4$. નીચેના $NAND$ ગેટમાં ઇનપુટ $C$ બંને ટર્મિનલ સાથે જોડાયેલ છે,તેથી તેનું આઉટપુટ $\overline{C \cdot C} = \bar{C}$ છે.
$5$. અંતે,આ તમામ સિગ્નલો એક $OR$ ગેટ દ્વારા જોડાઈને આઉટપુટ $Y$ આપે છે:
$Y = \bar{A} + (\overline{A \cdot B} + \overline{B \cdot C}) + \bar{C}$
ડી મોર્ગનના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$\overline{A \cdot B} = \bar{A} + \bar{B}$ અને $\overline{B \cdot C} = \bar{B} + \bar{C}$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$Y = \bar{A} + (\bar{A} + \bar{B}) + (\bar{B} + \bar{C}) + \bar{C}$
આઈડેમપોટન્ટ નિયમ $\bar{A} + \bar{A} = \bar{A}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$Y = \bar{A} + \bar{B} + \bar{C}$

(B) સત્યતા કોષ્ટક દર્શાવે છે કે જો ઇનપુટ $A$ અથવા ઇનપુટ $B$ (અથવા બંને) માંથી કોઈ પણ $1$ હોય,તો આઉટપુટ $X$ એ $1$ મળે છે.
આ વર્તણૂક બુલિયન સમીકરણ $X = A + B$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
જે લોજિક ગેટ આ ઓપરેશન કરે છે તેને $OR$ ગેટ કહેવામાં આવે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(D) વેવફોર્મ માટેનું ટ્રુથ ટેબલ નીચે મુજબ છે:

સમયગાળો	$A$	$B$	$Y$
$t_1-t_2$	$0$	$0$	$1$
$t_2-t_3$	$0$	$1$	$1$
$t_3-t_4$	$1$	$0$	$1$
$t_4-t_5$	$1$	$1$	$0$

ટ્રુથ ટેબલ પરથી આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે આઉટપુટ $Y$ ત્યારે જ $0$ મળે છે જ્યારે બંને ઇનપુટ $A$ અને $B$ નું મૂલ્ય $1$ હોય. બાકીના તમામ કિસ્સાઓમાં આઉટપુટ $1$ મળે છે.
આ વર્તણૂક બુલિયન સમીકરણ $Y = \overline{A \cdot B}$ ને અનુરૂપ છે.
આ $NAND$ ગેટનું લાક્ષણિક ટ્રુથ ટેબલ છે.

(A) પરિપથ $(i)$ માટે: ટૂંકા કરેલા ઇનપુટવાળા બે $NAND$ ગેટ $NOT$ ગેટ તરીકે કાર્ય કરે છે. અંતિમ $NAND$ ગેટના ઇનપુટ $\bar{A}$ અને $\bar{B}$ છે.
આઉટપુટ $C = \overline{\bar{A} \cdot \bar{B}} = \overline{\bar{A}} + \overline{\bar{B}} = A + B$. આ $OR$ ગેટ માટેનું બુલિયન સમીકરણ છે.
પરિપથ (ii) માટે: પ્રથમ $NAND$ ગેટ $\overline{AB}$ ઉત્પન્ન કરે છે. ટૂંકા કરેલા ઇનપુટવાળો બીજો $NAND$ ગેટ $NOT$ ગેટ તરીકે કાર્ય કરે છે,જે સિગ્નલને ઉલટાવે છે.
આઉટપુટ $C = \overline{\overline{AB}} = AB$. આ $AND$ ગેટ માટેનું બુલિયન સમીકરણ છે.

(C) ધારો કે $OR$ ગેટનું આઉટપુટ $P = A + B$ છે. આપેલ છે કે $A = 1$ અને $B = 1$,તેથી $P = 1 + 1 = 1$ મળે.
ધારો કે $NAND$ ગેટનું આઉટપુટ $Q = \overline{A \cdot B}$ છે. આપેલ છે કે $A = 1$ અને $B = 1$,તેથી $Q = \overline{1 \cdot 1} = \overline{1} = 0$ મળે.
હવે,$Y_1$ એ $P$ અને $Q$ ઇનપુટ ધરાવતા $AND$ ગેટનું આઉટપુટ છે. તેથી,$Y_1 = P \cdot Q = 1 \cdot 0 = 0$.
$Y_2$ એ $P$ અને $Q$ ઇનપુટ ધરાવતા $OR$ ગેટનું આઉટપુટ છે. તેથી,$Y_2 = P + Q = 1 + 0 = 1$.
આમ,$Y_1 = 0$ અને $Y_2 = 1$ મળે છે. તેથી સાચો વિકલ્પ $(C)$ છે.

(A) લોજિક ગેટ્સની સંખ્યાના આધારે ઇન્ટિગ્રેટેડ સર્કિટનું વર્ગીકરણ નીચે મુજબ છે:
$A$. સ્મોલ સ્કેલ ઇન્ટિગ્રેશન $(SSI)$: $\leq 10$ લોજિક ગેટ્સ ધરાવે છે. ($III$ સાથે મેળ ખાય છે)
$B$. મીડિયમ સ્કેલ ઇન્ટિગ્રેશન $(MSI)$: $< 100$ લોજિક ગેટ્સ ધરાવે છે. ($I$ સાથે મેળ ખાય છે)
$C$. લાર્જ સ્કેલ ઇન્ટિગ્રેશન $(LSI)$: $< 1000$ લોજિક ગેટ્સ ધરાવે છે. ($IV$ સાથે મેળ ખાય છે)
$D$. વેરી લાર્જ સ્કેલ ઇન્ટિગ્રેશન $(VLSI)$: $> 1000$ લોજિક ગેટ્સ ધરાવે છે. ($II$ સાથે મેળ ખાય છે)
તેથી,સાચી જોડ $A-III, B-I, C-IV, D-II$ છે.

(D) આ સર્કિટમાં બે $OR$ ગેટ છે જેના આઉટપુટને $NAND$ ગેટમાં આપવામાં આવે છે. ધારો કે ઇનપુટ $A$ અને $B$ છે. બંને $OR$ ગેટનું આઉટપુટ $X = A + B$ છે. આ $NAND$ ગેટ માટે ઇનપુટ છે. અંતિમ આઉટપુટ $Y$ એ $Y = \overline{X \cdot X} = \overline{X} = \overline{A + B}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. આ $NOR$ ગેટ માટેનું બુલિયન સમીકરણ છે. સત્યતા કોષ્ટક નીચે મુજબ છે:

$A$	$B$	$X = A + B$	$Y = \overline{X \cdot X}$
$0$	$0$	$0$	$1$
$0$	$1$	$1$	$0$
$1$	$0$	$1$	$0$
$1$	$1$	$1$	$0$

(B) આ સર્કિટમાં બે શાખાઓ છે જે $NOR$ ગેટમાં જાય છે. દરેક શાખામાં એક $NAND$ ગેટ છે અને ત્યારબાદ એક $NOT$ ગેટ છે (જે સાથે મળીને $AND$ ગેટ બનાવે છે).
ધારો કે ઉપરની શાખાનું આઉટપુટ $Y_1$ છે. ઉપરની શાખામાં $A$ અને $B$ ઇનપુટ $NAND$ ગેટમાં જાય છે,ત્યારબાદ $NOT$ ગેટમાં જાય છે. આ $AND$ ગેટને સમાન છે. તેથી,$Y_1 = A \cdot B = 1 \cdot 0 = 0$.
તે જ રીતે,નીચેની શાખામાં $A$ અને $B$ ઇનપુટ $NAND$ ગેટમાં જાય છે,ત્યારબાદ $NOT$ ગેટમાં જાય છે. આ પણ $AND$ ગેટને સમાન છે. તેથી,નીચેની શાખાનું આઉટપુટ $A \cdot B = 1 \cdot 0 = 0$ છે.
હવે,$Y_1$ એ ઉપરની શાખાનું આઉટપુટ છે,તેથી $Y_1 = 0$.
અંતિમ ગેટ એ $NOR$ ગેટ છે જેના બંને ઇનપુટ $0$ છે.
$NOR$ ગેટનું આઉટપુટ $Y_2 = \overline{0 + 0} = \overline{0} = 1$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આમ,$Y_1 = 0$ અને $Y_2 = 1$.

(C) ધારો કે પ્રથમ $NAND$ ગેટનું આઉટપુટ $C = \overline{A \cdot B}$ છે.
ઉપરના $NAND$ ગેટને $A$ અને $C$ ઇનપુટ મળે છે,તેથી તેનું આઉટપુટ $Y_1 = \overline{A \cdot C} = \overline{A \cdot (\overline{A \cdot B})} = \overline{A} + (A \cdot B) = \overline{A} + B$ છે.
નીચેના $NAND$ ગેટને $B$ અને $C$ ઇનપુટ મળે છે,તેથી તેનું આઉટપુટ $Y_2 = \overline{B \cdot C} = \overline{B \cdot (\overline{A \cdot B})} = \overline{B} + (A \cdot B) = \overline{B} + A$ છે.
અંતિમ આઉટપુટ $Y$ એ $Y_1$ અને $Y_2$ નો $AND$ છે,તેથી $Y = Y_1 \cdot Y_2 = (\overline{A} + B) \cdot (\overline{B} + A)$.
દરેક કિસ્સા માટે મૂલ્યાંકન કરતા:
- જો $A=0, B=1$ હોય: $Y = (1+1) \cdot (0+0) = 1 \cdot 0 = 0$.
- જો $A=1, B=0$ હોય: $Y = (0+0) \cdot (1+1) = 0 \cdot 1 = 0$.
- જો $A=0, B=0$ હોય: $Y = (1+0) \cdot (1+0) = 1 \cdot 1 = 1$.
- જો $A=1, B=1$ હોય: $Y = (0+1) \cdot (0+1) = 1 \cdot 1 = 1$.
આમ,$c$ $(A=0, B=0)$ અને $d$ $(A=1, B=1)$ સંયોજનો માટે $Y=1$ મળે છે.

(B) આ સર્કિટમાં એક $NAND$ ગેટ, એક $NOR$ ગેટ અને આઉટપુટ સ્ટેજ પર એક $NOR$ ગેટનો સમાવેશ થાય છે.
$1$. $NAND$ ગેટના ઇનપુટ $1$ અને $0$ છે. $NAND$ ગેટનું આઉટપુટ $Y_1 = \overline{1 \cdot 0} = \overline{0} = 1$ મળે છે.
$2$. $NOR$ ગેટના ઇનપુટ $1$ અને $0$ છે. $NOR$ ગેટનું આઉટપુટ $Y_2 = \overline{1 + 0} = \overline{1} = 0$ મળે છે.
$3$. અંતિમ $NOR$ ગેટના ઇનપુટ $Y_1 = 1$ અને $Y_2 = 0$ છે. તેથી તેનું આઉટપુટ $Y_3 = \overline{Y_1 + Y_2} = \overline{1 + 0} = \overline{1} = 0$ મળે છે.
આમ, $Y_1 = 1, Y_2 = 0, Y_3 = 0$ મૂલ્યો મળે છે.

(D) આ પરિપથમાં એક $AND$ ગેટ અને ત્યારબાદ એક $NAND$ ગેટ છે. $AND$ ગેટના ઇનપુટ $A$ અને $B$ છે,તેથી તેનું આઉટપુટ $A \cdot B$ મળે છે.
ઇનપુટ $C$ એ $NOT$ ગેટમાંથી પસાર થાય છે,તેથી તેનું આઉટપુટ $\bar{C}$ મળે છે.
આ બંને સંકેતો $NAND$ ગેટના ઇનપુટ તરીકે જાય છે,જે અંતિમ આઉટપુટ $Y$ આપે છે.
આમ,$Y = \overline{(A \cdot B) \cdot \bar{C}}$.
ડી મોર્ગનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$Y = \overline{A \cdot B} + \overline{\bar{C}} = \bar{A} + \bar{B} + C$.
આઉટપુટ $Y$ શૂન્ય $(Y=0)$ થવા માટે,$\bar{A} + \bar{B} + C = 0$ હોવું જોઈએ.
આ માટે $\bar{A} = 0$,$\bar{B} = 0$ અને $C = 0$ એકસાથે હોવા જરૂરી છે.
તેથી,$A = 1$,$B = 1$ અને $C = 0$ મળે છે.

(D) $NAND$ ગેટ એ $AND$ ગેટ અને ત્યારબાદ $NOT$ ગેટના સંયોજનથી બને છે. $NAND$ ગેટ માટેની લોજિક સંજ્ઞામાં $AND$ ગેટની સંજ્ઞાના આઉટપુટ પર એક નાનું વર્તુળ (ઇન્વર્ઝન બબલ) હોય છે. આપેલા વિકલ્પોમાંથી,આકૃતિ $D$ માં આપેલી સંજ્ઞા એ આઉટપુટ પર ઇન્વર્ઝન બબલ સાથેનો $AND$ ગેટ દર્શાવે છે,જે $NAND$ ગેટ માટેની પ્રમાણભૂત સંજ્ઞા છે. તેથી,વિકલ્પ $D$ સાચો છે.

(C) ડિજિટલ સિગ્નલો મૂલ્યોને અલગ-અલગ (discrete) પગલાં તરીકે દર્શાવે છે,મૂલ્યોના સતત સેટ તરીકે નહીં. તેથી,વિધાન $(i)$ ખોટું છે,જ્યારે વિધાનો (ii),(iii),અને (iv) સાચા છે.
ડિજિટલ સિગ્નલો સામાન્ય રીતે લંબચોરસ તરંગોના સ્વરૂપમાં હોય છે અને ઘણીવાર બાઈનરી સિસ્ટમ ($0$ અને $1$) નો ઉપયોગ કરે છે.

(A) $NOR$ ગેટ માટે,આઉટપુટ બુલિયન સમીકરણ $Y = \overline{A+B}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જો કોઈપણ ઇનપુટ ($A$ અથવા $B$) $1$ હોય,તો $A+B = 1$ થાય,અને આઉટપુટ $Y = \overline{1} = 0$ મળે છે.
$NAND$ ગેટ માટે,$Y = \overline{AB}$ છે. જો એક ઇનપુટ $0$ હોય,તો આઉટપુટ $1$ મળે છે.
$AND$ ગેટ માટે,$Y = AB$ છે. જો એક ઇનપુટ $0$ હોય,તો આઉટપુટ $0$ મળે છે.
$OR$ ગેટ માટે,$Y = A+B$ છે. જો એક ઇનપુટ $1$ હોય,તો આઉટપુટ $1$ મળે છે.
તેથી,$NOR$ ગેટ આ શરતનું પાલન કરે છે.

(B) આપેલ સર્કિટમાં, ડાયોડ એવી રીતે જોડાયેલા છે કે તેમના કેથોડ બિંદુ $Q$ પર એકસાથે જોડાયેલા છે, જે અવરોધ $R$ દ્વારા $+5 \,V$ સપ્લાય સાથે જોડાયેલ છે。
$1$. જો બંને ઇનપુટ $A$ અને $B$ $0 \,V$ (લો) પર હોય, તો બંને ડાયોડ ફોરવર્ડ-બાયસમાં હોય છે। $Q$ પરનો પોટેન્શિયલ ઘટીને આશરે $0 \,V$ (લો) થઈ જાય છે。
$2$. જો એક ઇનપુટ $0 \,V$ પર અને બીજું $+5 \,V$ પર હોય, તો $0 \,V$ સાથે જોડાયેલ ડાયોડ ફોરવર્ડ-બાયસમાં હોય છે, જે $Q$ ના પોટેન્શિયલને ખેંચીને આશરે $0 \,V$ (લો) પર લાવે છે。
$3$. જો બંને ઇનપુટ $A$ અને $B$ $+5 \,V$ (હાઈ) પર હોય, તો બંને ડાયોડ રિવર્સ-બાયસમાં હોય છે। ડાયોડમાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી, અને અવરોધ $R$ દ્વારા સપ્લાયને કારણે $Q$ પરનો પોટેન્શિયલ $+5 \,V$ (હાઈ) પર રહે છે。
આમ, આઉટપુટ $Q$ ત્યારે જ હાઈ હોય છે જ્યારે બંને ઇનપુટ $A$ અને $B$ હાઈ હોય, તેથી આ સર્કિટ $AND$ ગેટ તરીકે કાર્ય કરે છે।

(D) ચાલો સર્કિટનું સ્ટેપ-બાય-સ્ટેપ વિશ્લેષણ કરીએ:
$1$. ઉપરના $NAND$ ગેટમાં ઇનપુટ $1$ અને $0$ છે. આઉટપુટ $(1 \cdot 0)' = 0' = 1$ મળે છે.
$2$. વચ્ચેના $AND$ ગેટમાં ઇનપુટ $1$ અને $1$ છે. આઉટપુટ $1 \cdot 1 = 1$ મળે છે.
$3$. નીચેના $OR$ ગેટમાં ઇનપુટ $0$ અને $1$ છે. આઉટપુટ $0 + 1 = 1$ મળે છે.
$4$. ઉપરનો $NOR$ ગેટ $NAND$ ગેટ $(1)$ અને $AND$ ગેટ $(1)$ માંથી ઇનપુટ મેળવે છે. તેનું આઉટપુટ $y_1 = (1 + 1)' = 1' = 0$ થાય છે.
$5$. નીચેનો $NOR$ ગેટ $AND$ ગેટ $(1)$ અને $OR$ ગેટ $(1)$ માંથી ઇનપુટ મેળવે છે. તેનું આઉટપુટ $y_2 = (1 + 1)' = 1' = 0$ થાય છે.
$6$. અંતિમ $AND$ ગેટ $y_1 = 0$ અને $y_2 = 0$ ઇનપુટ મેળવે છે. તેનું આઉટપુટ $y_3 = 0 \cdot 0 = 0$ થાય છે.
તેથી,મૂલ્યો $y_1 = 0, y_2 = 0, y_3 = 0$ છે.

(D) યુનિવર્સલ ગેટ એ એક એવો લોજિક ગેટ છે જેનો ઉપયોગ અન્ય કોઈપણ પ્રકારના ગેટની જરૂર વગર કોઈપણ અન્ય લોજિક ગેટ અથવા બુલિયન ફંક્શનને અમલમાં મૂકવા માટે થઈ શકે છે.
$NAND$ અને $NOR$ ગેટને યુનિવર્સલ ગેટ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.
આપેલા વિકલ્પોમાં,$NAND$ એ યુનિવર્સલ ગેટ છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) આ સર્કિટમાં એક $NAND$ ગેટ,એક $NOR$ ગેટ અને એક $AND$ ગેટ છે.
$1$. $NAND$ ગેટના ઇનપુટ $A=1$ અને $B=0$ છે. $NAND$ ગેટનું આઉટપુટ $y_1 = \overline{A \cdot B}$ દ્વારા મળે છે. તેથી,$y_1 = \overline{1 \cdot 0} = \overline{0} = 1$.
$2$. $NOR$ ગેટના ઇનપુટ $B=0$ અને $C=1$ છે. $NOR$ ગેટનું આઉટપુટ $y_2 = \overline{B + C}$ દ્વારા મળે છે. તેથી,$y_2 = \overline{0 + 1} = \overline{1} = 0$.
$3$. $AND$ ગેટના ઇનપુટ $y_1=1$ અને $y_2=0$ છે. $AND$ ગેટનું આઉટપુટ $y_3 = y_1 \cdot y_2$ દ્વારા મળે છે. તેથી,$y_3 = 1 \cdot 0 = 0$.
આમ,મૂલ્યો $y_1=1, y_2=0, y_3=0$ છે.

(B) આ સર્કિટમાં એક $NOR$ ગેટ છે જેની પાછળ એક $AND$ ગેટ અને એક $OR$ ગેટ જોડાયેલા છે.
ધારો કે $NOR$ ગેટનું આઉટપુટ $C = \overline{A + B}$ છે.
આપેલ છે કે $A = 1$ અને $B = 1$,તેથી $NOR$ ગેટનું આઉટપુટ $C = \overline{1 + 1} = \overline{1} = 0$ થશે.
આઉટપુટ $y_1$ એ $AND$ ગેટનું આઉટપુટ છે જેના ઇનપુટ $A$ અને $C$ છે. તેથી,$y_1 = A \cdot C = 1 \cdot 0 = 0$.
આઉટપુટ $y_2$ એ $OR$ ગેટનું આઉટપુટ છે જેના ઇનપુટ $B$ અને $C$ છે. તેથી,$y_2 = B + C = 1 + 0 = 1$.
આમ,$y_1 = 0$ અને $y_2 = 1$ મળે છે.

(B) આ સર્કિટમાં એક $NOR$ ગેટ અને એક $NAND$ ગેટનો સમાવેશ થાય છે.
$1$. $NOR$ ગેટ માટેના ઇનપુટ $A=1$ અને $B=0$ છે. $NOR$ ગેટનું આઉટપુટ $y_2 = \overline{A+B} = \overline{1+0} = \overline{1} = 0$ થાય છે.
$2$. $NAND$ ગેટ માટેના ઇનપુટ $A=1$ અને $NOR$ ગેટનું આઉટપુટ $y_2=0$ છે. $NAND$ ગેટનું આઉટપુટ $y_1 = \overline{A \cdot y_2} = \overline{1 \cdot 0} = \overline{0} = 1$ થાય છે.
તેથી,$y_1$ અને $y_2$ ના મૂલ્યો અનુક્રમે $1$ અને $0$ છે.

(A) $NAND$ ગેટ $Y = \overline{A \cdot B}$ ઓપરેશન કરે છે.
જ્યારે આ આઉટપુટને $NOT$ ગેટમાં આપવામાં આવે છે, ત્યારે અંતિમ આઉટપુટ $Y' = \overline{Y} = \overline{(\overline{A \cdot B})}$ બને છે.
ડબલ નેગેશનના નિયમ મુજબ, $\overline{(\overline{X})} = X$. તેથી, $Y' = A \cdot B$.
આ $AND$ ગેટ માટેનું બુલિયન સમીકરણ છે.

ઇનપુટ $(A, B)$	$NAND$ આઉટપુટ $(\overline{A \cdot B})$	$NOT$ આઉટપુટ $(A \cdot B)$
$0, 0$	$1$	$0$
$0, 1$	$1$	$0$
$1, 0$	$1$	$0$
$1, 1$	$0$	$1$

(A) આપેલ ઇનપુટ $X=1$ અને $Y=1$ છે.
$1$. ઇનપુટ $X$ એ $NOT$ ગેટમાંથી પસાર થાય છે,તેથી $OR$ ગેટ માટેનું ઇનપુટ $\bar{X} = 0$ થશે.
$2$. ઇનપુટ $Y$ સીધું $OR$ ગેટ સાથે જોડાયેલ છે,તેથી ઇનપુટ $1$ છે.
$3$. $OR$ ગેટનું આઉટપુટ $P = \bar{X} + Y = 0 + 1 = 1$ મળે છે.
$4$. ઇનપુટ $X$ સીધું $NAND$ ગેટ સાથે જોડાયેલ છે,તેથી ઇનપુટ $1$ છે.
$5$. ઇનપુટ $Y$ એ $NOT$ ગેટમાંથી પસાર થાય છે,તેથી $NAND$ ગેટ માટેનું ઇનપુટ $\bar{Y} = 0$ થશે.
$6$. $NAND$ ગેટનું આઉટપુટ $Q = \overline{X \cdot \bar{Y}} = \overline{1 \cdot 0} = \overline{0} = 1$ મળે છે.
$7$. અંતે,$P$ અને $Q$ એ $NOR$ ગેટના ઇનપુટ છે જે આઉટપુટ $R$ આપે છે.
$8$. $R = \overline{P + Q} = \overline{1 + 1} = \overline{1} = 0$ મળે છે.
આમ,$P=1, Q=1, R=0$ છે.

(A) આ સર્કિટમાં બે $NOT$ ગેટ, બે $AND$ ગેટ અને એક અંતિમ $AND$ ગેટનો સમાવેશ થાય છે।
પ્રથમ $AND$ ગેટના ઇનપુટ $A$ અને $\overline{B}$ છે, તેથી તેનું આઉટપુટ $A \cdot \overline{B}$ છે।
બીજા $AND$ ગેટના ઇનપુટ $\overline{A}$ અને $B$ છે, તેથી તેનું આઉટપુટ $\overline{A} \cdot B$ છે।
અંતિમ આઉટપુટ $Y$ એ આ બંને આઉટપુટનો $AND$ ઓપરેશન છે: $Y = (A \cdot \overline{B}) \cdot (\overline{A} \cdot B)$.
બુલિયન બીજગણિતના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરતા: $Y = A \cdot \overline{A} \cdot B \cdot \overline{B}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $A \cdot \overline{A} = 0$ અને $B \cdot \overline{B} = 0$, તેથી આઉટપુટ $Y = 0 \cdot 0 = 0$ દરેક ઇનપુટ સંયોજન માટે મળે છે।
તેથી, આઉટપુટ $Y$ હંમેશા $0$ રહેશે।

(D) $\text{AND}$ ગેટનું આઉટપુટ $Y = A \cdot B$ તરીકે લખી શકાય છે.
$\text{NAND}$ ગેટ એ $\text{AND}$ ગેટ અને ત્યારબાદ $\text{NOT}$ ગેટનું સંયોજન છે. તેથી,$\text{NAND}$ ગેટનું આઉટપુટ $Y = \overline{A \cdot B}$ થાય છે.
ડી મોર્ગનના પ્રમેય મુજબ,$Y = \overline{A} + \overline{B}$ થાય.
$\text{NAND}$ ગેટ માટેનું ટ્રુથ ટેબલ નીચે મુજબ છે:

$A$	$B$	$Y$
$0$	$0$	$1$
$0$	$1$	$1$
$1$	$0$	$1$
$1$	$1$	$0$

આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,જ્યારે $A=1$ અને $B=1$ હોય,ત્યારે આઉટપુટ $Y=0$ મળે છે.

(A) ધારો કે ઇનપુટ $A$ અને $B$ છે. આ સર્કિટમાં એક $AND$ ગેટ અને એક $OR$ ગેટ છે,જેના આઉટપુટને અંતિમ $OR$ ગેટમાં આપવામાં આવે છે.
ધારો કે $AND$ ગેટનું આઉટપુટ $Y_1 = A \cdot B$ છે.
ધારો કે પ્રથમ $OR$ ગેટનું આઉટપુટ $Y_2 = A + B$ છે.
અંતિમ આઉટપુટ $X$ એ $Y_1$ અને $Y_2$ નું $OR$ ઓપરેશન છે:
$X = Y_1 + Y_2 = (A \cdot B) + (A + B)$.
બુલિયન આઈડેન્ટિટી $(A \cdot B) + A + B = A + B$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $X = A + B$ મળે છે.
ટ્રુથ ટેબલ:

$A, B$	$Y_1 = A \cdot B$	$Y_2 = A + B$	$X = Y_1 + Y_2$
$0, 0$	$0$	$0$	$0$
$0, 1$	$0$	$1$	$1$
$1, 0$	$0$	$1$	$1$
$1, 1$	$1$	$1$	$1$

આમ,આઉટપુટ $X$ એ $OR$ ગેટના ટ્રુથ ટેબલને અનુસરે છે,તેથી આ સર્કિટ $OR$ ગેટ જેવું વર્તન કરે છે.

(D) આપેલ સર્કિટમાં બે બફર (અથવા બફર તરીકે કામ કરવા માટે શ્રેણીમાં જોડાયેલ બે $NOT$ ગેટ) અને ત્યારબાદ એક $NAND$ ગેટ છે.
$1$. ઇનપુટ $A$ એક બફરમાંથી પસાર થાય છે,તેથી આઉટપુટ $A$ મળે છે.
$2$. ઇનપુટ $B$ એક બફરમાંથી પસાર થાય છે,તેથી આઉટપુટ $B$ મળે છે.
$3$. આ બંને આઉટપુટ $A$ અને $B$ ને $NAND$ ગેટમાં આપવામાં આવે છે.
$4$. $A$ અને $B$ ઇનપુટ ધરાવતા $NAND$ ગેટનું આઉટપુટ $Y = \overline{A \cdot B}$ છે.
$5$. આ $NAND$ ગેટની વ્યાખ્યા છે.
તેથી,આ સર્કિટ $NAND$ ગેટને સમતુલ્ય છે.

(D) આપેલ સર્કિટમાં બે $NAND$ ગેટ છે જે $NOT$ ગેટ તરીકે કામ કરે છે (કારણ કે તેમના ઇનપુટ્સ શોર્ટ કરેલા છે) અને ત્યારબાદ એક $NAND$ ગેટ છે.
ધારો કે ઇનપુટ્સ $A$ અને $B$ છે.
પ્રથમ બે $NAND$ ગેટ ઇનપુટ્સને ઇન્વર્ટ કરીને $\bar{A}$ અને $\bar{B}$ ઉત્પન્ન કરે છે.
અંતિમ $NAND$ ગેટ આને ઇનપુટ તરીકે લે છે,તેથી આઉટપુટ $Y = \overline{\bar{A} \cdot \bar{B}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ડી મોર્ગનના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$\overline{\bar{A} \cdot \bar{B}} = \overline{\bar{A}} + \overline{\bar{B}} = A + B$.
આ $OR$ ગેટ માટેનું બુલિયન સમીકરણ છે.
તેથી,આ સર્કિટ $OR$ ગેટ તરીકે વર્તે છે.

(C) ઇન્ટિગ્રેટેડ સર્કિટનું વર્ગીકરણ તેમાં રહેલા લોજિક ગેટ્સ અથવા ઘટકોની સંખ્યાના આધારે કરવામાં આવે છે.
$SSI$ (સ્મોલ સ્કેલ ઇન્ટિગ્રેશન) માં સામાન્ય રીતે $10$ સુધીના લોજિક ગેટ્સ હોય છે.
$MSI$ (મીડિયમ સ્કેલ ઇન્ટિગ્રેશન) માં સામાન્ય રીતે $10$ થી $100$ ની વચ્ચે લોજિક ગેટ્સ હોય છે.
$LSI$ (લાર્જ સ્કેલ ઇન્ટિગ્રેશન) માં સામાન્ય રીતે $100$ થી $1000$ ની વચ્ચે લોજિક ગેટ્સ હોય છે.
$VLSI$ (વેરી લાર્જ સ્કેલ ઇન્ટિગ્રેશન) માં સામાન્ય રીતે $1000$ થી વધુ લોજિક ગેટ્સ હોય છે.
તેથી,$\leq 1000$ લોજિક ગેટ્સ ધરાવતી ઇન્ટિગ્રેટેડ સર્કિટને $LSI$ કહેવામાં આવે છે.

(B) આપેલ સર્કિટ $OR$ ગેટની એક શ્રેણી ધરાવે છે.
$OR$ ગેટ ઉચ્ચ આઉટપુટ $(1)$ આપે છે જો તેના ઓછામાં ઓછા એક ઇનપુટ ઉચ્ચ $(1)$ હોય.
પ્રથમ $OR$ ગેટના ઇનપુટ $1$ અને $X$ છે. તેનું આઉટપુટ $1 + X = 1$ થશે.
આ આઉટપુટ $1$ ને બીજા $OR$ ગેટના ઇનપુટ તરીકે આપવામાં આવે છે,જેનું બીજું ઇનપુટ $X$ છે. તેનું આઉટપુટ પણ $1 + X = 1$ થશે.
આ પ્રક્રિયા ચાલુ રાખતા,દરેક પછીના $OR$ ગેટને તેના એક ઇનપુટ તરીકે $1$ મળે છે.
તેથી,દરેક $OR$ ગેટનું એક ઇનપુટ $1$ હોવાથી,અંતિમ આઉટપુટ $Y$ હંમેશા $1$ રહેશે,ભલે $X$ ની કિંમત ગમે તે હોય.

(C) આપેલ લોજિક સર્કિટમાં એક $NOT$ ગેટ અને એક $OR$ ગેટનો સમાવેશ થાય છે.
ઇનપુટ $A$ ને $NOT$ ગેટમાંથી પસાર કરવામાં આવે છે,જે આઉટપુટ $\bar{A}$ આપે છે.
આ આઉટપુટ $\bar{A}$ અને ઇનપુટ $B$ ને ત્યારબાદ $OR$ ગેટના ઇનપુટ તરીકે આપવામાં આવે છે.
$OR$ ગેટ માટેનું બુલિયન સમીકરણ તેના ઇનપુટ્સનો સરવાળો છે.
તેથી,સર્કિટનું અંતિમ આઉટપુટ $Y = \bar{A} + B$ છે.

(D) $NOR$ ગેટ માટેનું બુલિયન સમીકરણ $Y = \overline{A+B}$ છે,જ્યાં $A$ અને $B$ ઇનપુટ છે અને $Y$ આઉટપુટ છે.
$NOR$ ગેટ માટેનું ટ્રુથ ટેબલ નીચે મુજબ છે:
| $A$ | $B$ | $Y = \overline{A+B}$ |
|---|---|---|
| $0$ | $0$ | $1$ |
| $0$ | $1$ | $0$ |
| $1$ | $0$ | $0$ |
| $1$ | $1$ | $0$ |
ટ્રુથ ટેબલ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે જ્યારે બધા ઇનપુટ ($A$ અને $B$) $LOW$ $(0)$ હોય,ત્યારે $NOR$ ગેટનું આઉટપુટ $HIGH$ $(1)$ મળે છે.

(D) $A=1, B=1$ અને $D=1$ ની શરત સંતોષવા માટે,આપણે દરેક પરિપથનું મૂલ્યાંકન કરીએ છીએ:
$(a)$ આઉટપુટ $D = A \cdot \bar{B} + \bar{A} \cdot B$ છે. $A=1, B=1$ માટે,$D = 1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 = 0$ થાય.
$(b)$ આઉટપુટ $D = \overline{(\bar{A} + B) + (A + \bar{B})}$ છે. $A=1, B=1$ માટે,$D = \overline{(0 + 1) + (1 + 0)} = \overline{1 + 1} = 0$ થાય.
$(c)$ આઉટપુટ $D = (A + B) \cdot (\bar{A} + \bar{B}) = A \cdot \bar{B} + \bar{A} \cdot B$ છે. $A=1, B=1$ માટે,$D = 0$ થાય.
$(d)$ આઉટપુટ $D = A \cdot B + \bar{A} \cdot \bar{B}$ છે. $A=1, B=1$ માટે,$D = 1 \cdot 1 + 0 \cdot 0 = 1 + 0 = 1$ થાય.
આમ,વિકલ્પ $(d)$ માં દર્શાવેલ પરિપથ શરતનું પાલન કરે છે.