Boolean Algebra and Logic Gates Questions in Gujarati

(B) આપેલ લોજિક સર્કિટમાં $NOR$ ગેટના ઇનપુટ પર બે $NOT$ ગેટ અને આઉટપુટ પર એક બીજો $NOT$ ગેટ છે.
ધારો કે ઇનપુટ $A$ અને $B$ છે. પ્રથમ બે $NOT$ ગેટના આઉટપુટ $\bar{A}$ અને $\bar{B}$ મળે છે.
આ ઇનપુટ $NOR$ ગેટમાં જાય છે,તેથી મધ્યવર્તી આઉટપુટ $Y_1 = \overline{\bar{A} + \bar{B}}$ મળે.
ડી મોર્ગનના પ્રમેય મુજબ,$\overline{\bar{A} + \bar{B}} = \overline{\bar{A}} \cdot \overline{\bar{B}} = A \cdot B$.
અંતે,આ આઉટપુટ $Y_1$ બીજા એક $NOT$ ગેટમાંથી પસાર થાય છે,તેથી અંતિમ આઉટપુટ $Y = \bar{Y_1} = \overline{A \cdot B}$ મળે.
બુલિયન સમીકરણ $Y = \overline{A \cdot B}$ એ $NAND$ ગેટ દર્શાવે છે.
આમ,આપેલ સર્કિટનું ટ્રુથ ટેબલ $NAND$ ગેટ જેવું જ છે.

(D) આપેલ ટ્રુથ ટેબલ નીચે મુજબ છે:
- જ્યારે ઇનપુટ $A=0, B=0$ હોય, ત્યારે આઉટપુટ $Y=1$ મળે છે.
- જ્યારે ઇનપુટ $A=0, B=1$ હોય, ત્યારે આઉટપુટ $Y=1$ મળે છે.
- જ્યારે ઇનપુટ $A=1, B=0$ હોય, ત્યારે આઉટપુટ $Y=1$ મળે છે.
- જ્યારે ઇનપુટ $A=1, B=1$ હોય, ત્યારે આઉટપુટ $Y=0$ મળે છે.
આ વર્તણૂક બુલિયન સમીકરણ $Y = \overline{A \cdot B}$ ને અનુરૂપ છે.
આ $NAND$ ગેટનું લાક્ષણિક ટ્રુથ ટેબલ છે, જેમાં આઉટપુટ માત્ર ત્યારે જ લો $(0)$ મળે છે જ્યારે બંને ઇનપુટ હાઈ $(1)$ હોય.
તેથી, સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) સર્કિટનું વિધેયાત્મક સ્વરૂપ નક્કી કરવા માટે,આપણે ઇનપુટ $(A, B, C)$ અને આઉટપુટ $(Y)$ વચ્ચેના સંબંધનું વિશ્લેષણ કરીએ છીએ.
ટ્રુથ ટેબલ જોતા:
- જ્યારે $B = 0$ હોય,ત્યારે $A$ અને $C$ ના મૂલ્યોને ધ્યાનમાં લીધા વગર આઉટપુટ $Y = 1$ મળે છે.
- જ્યારે $B = 1$ હોય,ત્યારે $A$ અને $C$ ના મૂલ્યોને ધ્યાનમાં લીધા વગર આઉટપુટ $Y = 0$ મળે છે.
આ વર્તણૂક દર્શાવે છે કે આઉટપુટ $Y$ એ ઇનપુટ $A$ અને $C$ થી સ્વતંત્ર છે અને માત્ર ઇનપુટ $B$ પર આધાર રાખે છે. ખાસ કરીને,$Y$ એ $B$ નું લોજિકલ $NOT$ છે.
તેથી,સર્કિટનું વિધેયાત્મક સ્વરૂપ $Y = \bar{B}$ છે.

(D) આપેલ છે:
$(i)$ સાઈન વેવ,$50 \ Hz, 2 \ V$ અને સ્ક્વેર વેવ,$100 \ Hz, 6 \ V$.
$(ii)$ સાઈન વેવ,$100 \ Hz, 8 \ V$ અને સ્ક્વેર વેવ,$100 \ Hz, 6 \ V$.
$AND$ ગેટ ત્યારે જ હાઈ આઉટપુટ (લોજિક $1$) આપે છે જ્યારે બંને ઈનપુટ લોજિક $1$ પર હોય (એટલે કે વોલ્ટેજ $\ge 5 \ V$).
આકૃતિ $(i)$ માં,બંને ઈનપુટ તરંગોની આવૃત્તિ અલગ-અલગ ($50 \ Hz$ અને $100 \ Hz$) છે. આવૃત્તિઓ સમાન ન હોવાથી,સ્થિર આઉટપુટ મેળવવા માટે ઈનપુટ સમાન કળામાં રહેશે નહીં,પરિણામે $E$ પર કોઈ અર્થપૂર્ણ આઉટપુટ મળશે નહીં.
આકૃતિ $(ii)$ માં,બંને તરંગોની આવૃત્તિ $100 \ Hz$ સમાન છે. તેઓ સમાન કળામાં છે અને બંને $5 \ V$ ની મર્યાદા કરતા વધારે છે,તેથી $AND$ ગેટ આ સિગ્નલો પર પ્રક્રિયા કરશે,જેના પરિણામે $F$ પર $100 \ Hz$ ની આવૃત્તિ વાળું પલ્સ વેવ આઉટપુટ મળશે.

(A) આપેલ લોજિક સર્કિટ આકૃતિ પરથી:
$1$. ઇનપુટ $Y$ એ $\text{NOT}$ ગેટમાંથી પસાર થાય છે,જેનું આઉટપુટ $\bar{Y}$ મળે છે.
$2$. ત્યારબાદ,સિગ્નલ $\bar{Y}$ અને $Z$ ને $\text{AND}$ ગેટના ઇનપુટ તરીકે આપવામાં આવે છે. આ $\text{AND}$ ગેટનું આઉટપુટ $(\bar{Y} \cdot Z)$ મળે છે.
$3$. અંતે,સિગ્નલ $X$ અને $(\bar{Y} \cdot Z)$ ને $\text{OR}$ ગેટના ઇનપુટ તરીકે આપવામાં આવે છે. અંતિમ આઉટપુટ $F$ એ આ ઇનપુટ્સનો સરવાળો છે.
તેથી,આઉટપુટ $F = X + (\bar{Y} \cdot Z)$ થાય છે.

(B) આપેલ સર્કિટમાં એક $NAND$ ગેટ છે જેની પાછળ એક $NOR$ ગેટ જોડાયેલ છે,જ્યાં $NOR$ ગેટના બંને ઇનપુટ $NAND$ ગેટના આઉટપુટ સાથે જોડાયેલા છે.
ધારો કે ઇનપુટ $A$ અને $B$ છે. $NAND$ ગેટનું આઉટપુટ $Y_1 = \overline{A \cdot B}$ છે.
આ $Y_1$ ને $NOR$ ગેટના બંને ઇનપુટ તરીકે આપવામાં આવે છે. $X$ અને $X$ ઇનપુટ ધરાવતા $NOR$ ગેટનું આઉટપુટ $Y = \overline{X + X} = \overline{X}$ થાય છે.
$X = Y_1 = \overline{A \cdot B}$ મૂકતા,આપણને $Y = \overline{\overline{A \cdot B}} = A \cdot B$ મળે છે.
આ સમીકરણ $Y = A \cdot B$ એ $AND$ ગેટની લોજિક ઓપરેશન દર્શાવે છે.

(D) આપેલ સર્કિટમાં એક $NAND$ ગેટ છે જેની પાછળ એક $NOT$ ગેટ જોડાયેલ છે (કારણ કે બીજો ગેટ એ $OR$ ગેટ છે જેના બંને ઇનપુટ એકસાથે જોડાયેલા છે,તેથી તે $NOT$ ગેટ તરીકે કાર્ય કરે છે).
આમ,આ સર્કિટ એક $NAND$ ગેટ અને ત્યારબાદ એક $NOT$ ગેટની સમકક્ષ છે,જે એક $AND$ ગેટ બનાવે છે.
આઉટપુટ $Y$ એ $Y = A \cdot B$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$AND$ ગેટ માટેનું ટ્રુથ ટેબલ:
| $A$ | $B$ | $Y = A \cdot B$ |
|---|---|---|
| $0$ | $0$ | $0$ |
| $0$ | $1$ | $0$ |
| $1$ | $0$ | $0$ |
| $1$ | $1$ | $1$ |
$Y = A \cdot B$ લોજિકના આધારે,આઉટપુટ $Y$ ત્યારે જ હાઇ $(1)$ હોય છે જ્યારે બંને ઇનપુટ $A$ અને $B$ હાઇ $(1)$ હોય. અન્યથા,આઉટપુટ લો $(0)$ હોય છે.

(D) $NAND$ ગેટને $AND$ ગેટ અને ત્યારબાદ $NOT$ ગેટ (ઇન્વર્ટર) ના સંયોજન તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. તેનું લોજિક પ્રતીક $AND$ ગેટના આકાર અને તેના આઉટપુટ પર એક નાનું વર્તુળ (બબલ) ધરાવે છે,જે ઇન્વર્ઝન દર્શાવે છે. આપેલા વિકલ્પોમાંથી,વિકલ્પ $D$ માં દર્શાવેલ પ્રતીક પ્રમાણભૂત $NAND$ ગેટનું છે.

(B) આપેલ લોજિક સર્કિટમાં બે $NOT$ ગેટ,બે $AND$ ગેટ અને એક $OR$ ગેટનો સમાવેશ થાય છે. આઉટપુટ $Y$ બુલિયન સમીકરણ દ્વારા મળે છે: $Y = \bar{A} \cdot B + A \cdot \bar{B}$. આ $XOR$ ગેટ માટેનું સમીકરણ છે. ટ્રુથ ટેબલ નીચે મુજબ છે:

$A$	$B$	$Y$
$0$	$0$	$0$
$0$	$1$	$1$
$1$	$0$	$1$
$1$	$1$	$0$

આપેલ વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,વિકલ્પ $B$ સાચું ટ્રુથ ટેબલ દર્શાવે છે.

(B) આપેલ સર્કિટમાં $A$ અને $B$ ઇનપુટ સાથે જોડાયેલા બે $NOT$ ગેટ છે,ત્યારબાદ એક $NOR$ ગેટ છે.
$1$. બે $NOT$ ગેટના આઉટપુટ $\overline{A}$ અને $\overline{B}$ છે.
$2$. આ આઉટપુટ $NOR$ ગેટના ઇનપુટ તરીકે આપવામાં આવે છે.
$3$. $NOR$ ગેટનું આઉટપુટ $Y = \overline{\overline{A} + \overline{B}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$4$. ડી મોર્ગનના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$\overline{\overline{A} + \overline{B}} = \overline{\overline{A}} \cdot \overline{\overline{B}} = A \cdot B$.
$5$. પદ $A \cdot B$ એ $AND$ ગેટની કામગીરી દર્શાવે છે.
તેથી,આ સંયોજન $AND$ ગેટ દર્શાવે છે.

(D) ચાલો લોજિક ગેટ્સના આઉટપુટને સ્ટેપ બાય સ્ટેપ સમજીએ.
પગલું $1$: પ્રથમ $AND$ ગેટ $X_0$ અને $X_1$ ઇનપુટ લે છે,જેનું આઉટપુટ $Y_1 = X_0 X_1$ મળે છે.
પગલું $2$: પ્રથમ $OR$ ગેટ $Y_1$ અને $X_2$ ઇનપુટ લે છે,જેનું આઉટપુટ $Y_2 = X_0 X_1 + X_2$ મળે છે.
પગલું $3$: પછીનો $AND$ ગેટ $Y_2$ અને $X_3$ ઇનપુટ લે છે,જેનું આઉટપુટ $Y_3 = (X_0 X_1 + X_2) X_3 = X_0 X_1 X_3 + X_2 X_3$ મળે છે.
પગલું $4$: પછીનો $OR$ ગેટ $Y_3$ અને $X_4$ ઇનપુટ લે છે,જેનું આઉટપુટ $Y_4 = X_0 X_1 X_3 + X_2 X_3 + X_4$ મળે છે.
આ પેટર્ન ચાલુ રાખતા,$n$ બેકી સંખ્યા હોય ત્યારે,અંતિમ આઉટપુટ $Q$ આ સ્વરૂપમાં હશે: $Q = X_0 X_1 X_3 X_5 \ldots X_{n-1} + X_2 X_3 X_5 \ldots X_{n-1} + X_4 X_5 \ldots X_{n-1} + \ldots + X_{n-2} X_{n-1} + X_n$.

(C) આપેલ લોજિક સર્કિટનું આઉટપુટ $Y$ નીચે મુજબ નક્કી થાય છે:
$1$. ઇનપુટ $A$ એ $NOT$ ગેટમાંથી પસાર થઈને $\overline{A}$ બને છે.
$2$. ઇનપુટ $\overline{A}$ અને $B$ ને $NAND$ ગેટમાં આપતા,$\overline{\overline{A} \cdot B}$ મળે છે.
$3$. ઇનપુટ $C$ એ $NOT$ ગેટમાંથી પસાર થઈને $\overline{C}$ બને છે.
$4$. આઉટપુટ $\overline{\overline{A} \cdot B}$ અને $\overline{C}$ ને $NOR$ ગેટમાં આપતા,$Y = \overline{(\overline{\overline{A} \cdot B}) + \overline{C}}$ મળે છે.
$5$. ડી મોર્ગનના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$Y = \overline{(\overline{\overline{A} \cdot B})} \cdot \overline{(\overline{C})} = (\overline{A} \cdot B) \cdot C = \overline{A} \cdot B \cdot C$.
$6$. આઉટપુટ $Y=1$ ત્યારે જ મળે જ્યારે $\overline{A}=1, B=1, C=1$ હોય,એટલે કે $A=0, B=1, C=1$ હોય.
$7$. ઇનપુટ $A, B, C$ માટે કુલ $2^3 = 8$ શક્ય સંયોજનો છે.
$8$. $Y=1$ માત્ર $1$ સંયોજન માટે હોવાથી,$Y=0$ મળે તેવા સંયોજનોની સંખ્યા $8 - 1 = 7$ છે.

(C) આપેલ સર્કિટ $XOR$ ગેટ દર્શાવે છે,જે $Y = A \oplus B = A \cdot \overline{B} + \overline{A} \cdot B$ ઓપરેશન કરે છે.
ઇનપુટ્સ $(A=0, B=1)$ માટે:
$Y = 0 \cdot \overline{1} + \overline{0} \cdot 1 = 0 \cdot 0 + 1 \cdot 1 = 0 + 1 = 1$.
ઇનપુટ્સ $(A=0, B=0)$ માટે:
$Y = 0 \cdot \overline{0} + \overline{0} \cdot 0 = 0 \cdot 1 + 1 \cdot 0 = 0 + 0 = 0$.
આમ,આઉટપુટ અનુક્રમે $1$ અને $0$ છે.

(B) ડી મોર્ગનના પ્રથમ નિયમ મુજબ,બે ચલના સરવાળાનો પૂરક એ તેમના વ્યક્તિગત પૂરકોના ગુણાકાર જેટલો હોય છે.
ગાણિતિક રીતે,આને આ રીતે દર્શાવવામાં આવે છે: $\overline{A+B} = \bar{A} \cdot \bar{B}$.
તેથી,પદાવલિ $\bar{A} \cdot \bar{B}$ એ $\overline{A+B}$ ને સમતુલ્ય છે.

(C) આ સર્કિટ બે ક્રોસ-કપલ્ડ $NAND$ ગેટની બનેલી છે, જે $S-R$ લેચ બનાવે છે.
અહીં $A=1$ અને $B=0$ આપેલ છે.
નીચેના $NAND$ ગેટનું આઉટપુટ $Y = \overline{B \cdot X} = \overline{0 \cdot X} = \overline{0} = 1$ થાય છે.
હવે, $Y$ ની આ કિંમતનો ઉપયોગ ઉપરના $NAND$ ગેટમાં કરતા, આઉટપુટ $X = \overline{A \cdot Y} = \overline{1 \cdot 1} = \overline{1} = 0$ મળે છે.
આમ, સ્થિર સ્થિતિ $X=0$ અને $Y=1$ છે.

(B) આ સર્કિટમાં બે $AND$ ગેટ, બે $NOT$ ગેટ અને એક $NOR$ ગેટનો સમાવેશ થાય છે। આઉટપુટ $Y$ માટેનું બુલિયન સમીકરણ $Y = \overline{(A \cdot B) + (\overline{A} \cdot \overline{B})}$ છે.
કિસ્સો $1$: જ્યારે $A = 1$ અને $B = 1$ હોય, ત્યારે ઉપરના $AND$ ગેટનું આઉટપુટ $1 \cdot 1 = 1$ મળે છે. નીચેના $AND$ ગેટનું આઉટપુટ $\overline{1} \cdot \overline{1} = 0 \cdot 0 = 0$ મળે છે. $NOR$ ગેટને $1$ અને $0$ ઇનપુટ મળે છે, તેથી $Y = \overline{1 + 0} = \overline{1} = 0$.
કિસ્સો $2$: જ્યારે $A = 0$ અને $B = 0$ હોય, ત્યારે ઉપરના $AND$ ગેટનું આઉટપુટ $0 \cdot 0 = 0$ મળે છે. નીચેના $AND$ ગેટનું આઉટપુટ $\overline{0} \cdot \overline{0} = 1 \cdot 1 = 1$ મળે છે. $NOR$ ગેટને $0$ અને $1$ ઇનપુટ મળે છે, તેથી $Y = \overline{0 + 1} = \overline{1} = 0$.
આમ, આઉટપુટ $0$ અને $0$ મળે છે.

(C) આપેલ ડિજિટલ સર્કિટમાં એક $NAND$ ગેટ અને એક $NOT$ ગેટ છે,જેના આઉટપુટ એક $OR$ ગેટમાં જાય છે.
$1$. $A$ અને $B$ ઇનપુટ ધરાવતા $NAND$ ગેટનું આઉટપુટ $\overline{AB}$ છે.
$2$. $C$ ઇનપુટ ધરાવતા $NOT$ ગેટનું આઉટપુટ $\bar{C}$ છે.
$3$. આ બંને આઉટપુટ $OR$ ગેટમાં જાય છે,તેથી અંતિમ આઉટપુટ $Y = \overline{AB} + \bar{C}$ મળે છે.
$4$. ડી મોર્ગનના પ્રમેય મુજબ,$\overline{AB} = \bar{A} + \bar{B}$ થાય છે.
$5$. આ કિંમત $Y$ ના સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $Y = \bar{A} + \bar{B} + \bar{C}$ મળે છે.

(B) ઇનપુટ $A$ એ $NOT$ ગેટમાંથી પસાર થાય છે,જેના પરિણામે $\bar{A}$ મળે છે.
આ $\bar{A}$ ને ઇનપુટ $B$ સાથે $AND$ ગેટમાં આપવામાં આવે છે,જેનું આઉટપુટ $\bar{A} \cdot B$ મળે છે.
આ પરિણામ $(\bar{A} \cdot B)$ અને મૂળ $\bar{A}$ ને $OR$ ગેટમાં આપવામાં આવે છે.
તેથી,અંતિમ આઉટપુટ $Y$ નીચે મુજબ મળે છે:
$Y = \bar{A} + (\bar{A} \cdot B)$
બુલિયન બીજગણિતના એબ્સોર્પ્શન (શોષણ) નિયમનો ઉપયોગ કરતા,જે જણાવે છે કે $X + (X \cdot Y) = X$,આપણે આ સમીકરણને સરળ બનાવી શકીએ છીએ:
$Y = \bar{A} \cdot (1 + B)$
કારણ કે $(1 + B) = 1$,તેથી આપણને મળે છે:
$Y = \bar{A} \cdot 1 = \bar{A}$

(D) ધારો કે $NOR$ ગેટનું આઉટપુટ $Y$ છે. $NOR$ ગેટ $Y = \overline{A+B}$ ઓપરેશન કરે છે. ત્યારબાદ $NAND$ ગેટ $Y$ અને $C$ ને ઇનપુટ તરીકે લઈને આઉટપુટ $D = \overline{Y \cdot C}$ આપે છે.
કિસ્સો $1$: $A=0, B=0, C=0$
$Y = \overline{0+0} = \overline{0} = 1$
$D = \overline{Y \cdot C} = \overline{1 \cdot 0} = \overline{0} = 1$
કિસ્સો $2$: $A=1, B=0, C=1$
$Y = \overline{1+0} = \overline{1} = 0$
$D = \overline{Y \cdot C} = \overline{0 \cdot 1} = \overline{0} = 1$
આમ,આઉટપુટ અનુક્રમે $1$ અને $1$ છે.

(D) આપેલ સત્યતા કોષ્ટક નીચે મુજબ છે:
| ઇનપુટ $A$ | ઇનપુટ $B$ | આઉટપુટ $Q$ |
| :--- | :--- | :--- |
| $0$ | $0$ | $1$ |
| $0$ | $1$ | $1$ |
| $1$ | $0$ | $1$ |
| $1$ | $1$ | $0$ |
સત્યતા કોષ્ટકનું વિશ્લેષણ:
$1$. જ્યારે બંને ઇનપુટ $A$ અને $B$ $1$ હોય, ત્યારે આઉટપુટ $Q$ $0$ મળે છે.
$2$. અન્ય તમામ ઇનપુટ સંયોજનો ($0,0$; $0,1$; $1,0$) માટે, આઉટપુટ $Q$ $1$ મળે છે.
આ વર્તણૂક $NAND$ ગેટને અનુરૂપ છે, જે $AND$ ગેટ અને ત્યારબાદ $NOT$ ગેટના જોડાણ સમાન છે. આ ગેટ માટેનું બુલિયન સમીકરણ $Q = \overline{A \cdot B}$ છે.

(B) દશાંશ સંખ્યાને બાઈનરીમાં રૂપાંતરિત કરવા માટે,આપણે સંખ્યાને વારંવાર $2$ વડે ભાગીએ છીએ અને શેષ નોંધીએ છીએ.
$37 \div 2 = 18$ અને શેષ $1$ મળે છે.
$18 \div 2 = 9$ અને શેષ $0$ મળે છે.
$9 \div 2 = 4$ અને શેષ $1$ મળે છે.
$4 \div 2 = 2$ અને શેષ $0$ મળે છે.
$2 \div 2 = 1$ અને શેષ $0$ મળે છે.
$1 \div 2 = 0$ અને શેષ $1$ મળે છે.
શેષને નીચેથી ઉપર તરફ વાંચતા,$37$ નું બાઈનરી સ્વરૂપ $(100101)_2$ મળે છે.
$(100101)_2$ માં અંકોની ગણતરી કરતા,આપણને $6$ અંકો મળે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(D) આપેલ સર્કિટમાં,ડાયોડ એવી રીતે જોડાયેલા છે કે તેમના કેથોડ ઇનપુટ $A$ અને $B$ સાથે જોડાયેલા છે,અને તેમના એનોડ આઉટપુટ $C$ અને $V_{dc} = 5 \text{ V}$ સાથે જોડાયેલા પુલ-અપ રઝિસ્ટર $R$ સાથે જોડાયેલા છે.
$1$. જો $A = 0$ અથવા $B = 0$ (લો લેવલ) હોય,તો સંબંધિત ડાયોડ ફોરવર્ડ-બાયસ થાય છે. આ આઉટપુટ $C$ ને લો વોલ્ટેજ લેવલ $(C = 0)$ પર ખેંચે છે.
$2$. જો $A = 1$ અને $B = 1$ (હાઇ લેવલ) હોય,તો બંને ડાયોડ રિવર્સ-બાયસ થાય છે. ડાયોડમાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી,અને આઉટપુટ $C$ રઝિસ્ટર $R$ દ્વારા $V_{dc}$ સુધી ખેંચાય છે,જેના પરિણામે $C = 1$ મળે છે.
$3$. આ સર્કિટ માટેનું ટ્રુથ ટેબલ નીચે મુજબ છે:
| $A$ | $B$ | $C$ |
|---|---|---|
| $0$ | $0$ | $0$ |
| $0$ | $1$ | $0$ |
| $1$ | $0$ | $0$ |
| $1$ | $1$ | $1$ |
આ ટ્રુથ ટેબલ $AND$ ગેટને અનુરૂપ છે.

(D) આ સર્કિટમાં $A$ અને $A$ ઇનપુટ ધરાવતું એક $AND$ ગેટ છે (જે બફર તરીકે કામ કરે છે,આઉટપુટ $A$),$A$ અને $B$ ઇનપુટ ધરાવતું એક $NAND$ ગેટ છે (આઉટપુટ $\overline{A \cdot B}$),અને $NAND$ આઉટપુટ સાથે જોડાયેલ એક $NOT$ ગેટ છે.
પ્રથમ $AND$ ગેટનું આઉટપુટ $Y_1 = A \cdot A = A$ છે.
$NAND$ ગેટનું આઉટપુટ $Y_2 = \overline{A \cdot B}$ છે.
આ $Y_2$ એક $NOT$ ગેટમાંથી પસાર થાય છે,તેથી અંતિમ $AND$ ગેટનો ઇનપુટ $\overline{\overline{A \cdot B}} = A \cdot B$ છે.
આમ,અંતિમ આઉટપુટ $Y = Y_1 \cdot (A \cdot B) = A \cdot (A \cdot B) = A \cdot B$ છે.
$Y = A \cdot B$ માટેનું ટ્રુથ ટેબલ નીચે મુજબ છે:

$A$	$B$	$Y$
$0$	$0$	$0$
$0$	$1$	$0$
$1$	$0$	$0$
$1$	$1$	$1$

(B) લોજિક સર્કિટમાં એક $AND$ ગેટ $(A, B)$,ત્યારબાદ એક $NOT$ ગેટ,એક $OR$ ગેટ $(C, D)$,એક $AND$ ગેટ અને છેલ્લે એક $NOT$ ગેટ છે.
ધારો કે પ્રથમ $AND$ ગેટનું આઉટપુટ $A \cdot B$ છે. $NOT$ ગેટ પછી,તે $\overline{A \cdot B}$ બને છે.
$OR$ ગેટનું આઉટપુટ $C + D$ છે.
આ બંને સિગ્નલ એક $AND$ ગેટમાં જાય છે,જે $(\overline{A \cdot B}) \cdot (C + D)$ આપે છે.
અંતિમ $NOT$ ગેટ આઉટપુટ $Y = \overline{(\overline{A \cdot B}) \cdot (C + D)}$ આપે છે.
ડી મોર્ગનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$Y = \overline{(\overline{A \cdot B})} + \overline{(C + D)} = (A \cdot B) + (\overline{C + D})$.
આપેલ ઇનપુટ્સ માટે ગણતરી કરતા:
$1$. $A=1, B=1, C=0, D=1$: $Y = (1 \cdot 1) + \overline{(0+1)} = 1 + 0 = 1$.
$2$. $A=0, B=0, C=1, D=1$: $Y = (0 \cdot 0) + \overline{(1+1)} = 0 + 0 = 0$.
$3$. $A=1, B=0, C=1, D=0$: $Y = (1 \cdot 0) + \overline{(1+0)} = 0 + 0 = 0$.
$4$. $A=1, B=1, C=1, D=1$: $Y = (1 \cdot 1) + \overline{(1+1)} = 1 + 0 = 1$.
વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(D) $LED$ ત્યારે પ્રકાશિત થાય છે જ્યારે તે ફોરવર્ડ બાયસમાં હોય, જેનો અર્થ છે કે બિંદુ $P$ પરનું પોટેન્શિયલ ઊંચું $(1)$ અને બિંદુ $Q$ પરનું પોટેન્શિયલ નીચું $(0)$ હોવું જોઈએ.
ધારો કે પ્રથમ $NOR$ ગેટનું આઉટપુટ $Y_1 = \overline{A+A} = \overline{A}$ છે અને બીજા $NOR$ ગેટનું આઉટપુટ $Y_2 = \overline{B+B} = \overline{B}$ છે.
$P$ પરનું આઉટપુટ $NAND$ ગેટનું આઉટપુટ છે: $P = \overline{Y_1 \cdot Y_2} = \overline{\overline{A} \cdot \overline{B}} = A + B$.
$P = 1$ માટે, આપણે $A+B = 1$ ની જરૂર છે, જેનો અર્થ છે કે $A$ અથવા $B$ માંથી ઓછામાં ઓછું એક $1$ હોવું જોઈએ.
$Q$ પરનું આઉટપુટ $NOR$ ગેટનું આઉટપુટ છે: $Q = \overline{C+D}$.
$Q = 0$ માટે, આપણે $\overline{C+D} = 0$ ની જરૂર છે, જેનો અર્થ છે કે $C+D = 1$, એટલે કે $C$ અથવા $D$ માંથી ઓછામાં ઓછું એક $1$ હોવું જોઈએ.
વિકલ્પો તપાસતા:
$A) 0100: A=0, B=1, C=0, D=0 \implies P=1, Q=1$ (પ્રકાશિત નહીં થાય)
$B) 0011: A=0, B=0, C=1, D=1 \implies P=0, Q=0$ (પ્રકાશિત નહીં થાય)
$C) 1000: A=1, B=0, C=0, D=0 \implies P=1, Q=1$ (પ્રકાશિત નહીં થાય)
$D) 1101: A=1, B=1, C=0, D=1 \implies P=1, Q=0$ ($LED$ પ્રકાશિત થશે).
આમ, સાચું સંયોજન $1101$ છે.

(C) ધારો કે ઇનપુટ $A$ અને $B$ છે. પ્રથમ બે $NOR$ ગેટ $NOT$ ગેટ તરીકે કાર્ય કરે છે કારણ કે તેમના ઇનપુટ શોર્ટ કરેલા છે.
$P = \overline{A+A} = \overline{A}$
$Q = \overline{B+B} = \overline{B}$
આ ત્રીજા $NOR$ ગેટ માટે ઇનપુટ છે,તેથી આઉટપુટ $R$ નીચે મુજબ મળે:
$R = \overline{P+Q} = \overline{\overline{A} + \overline{B}}$
ડી મોર્ગનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\overline{\overline{A} + \overline{B}} = \overline{\overline{A}} \cdot \overline{\overline{B}} = A \cdot B$
આ $R$ એ અંતિમ $NOR$ ગેટ માટે ઇનપુટ છે,જે $NOT$ ગેટ તરીકે કાર્ય કરે છે:
$S = \overline{R+R} = \overline{R} = \overline{A \cdot B}$
અંતિમ આઉટપુટ $\overline{A \cdot B}$ હોવાથી,આ સર્કિટ $NAND$ ગેટ તરીકે કાર્ય કરે છે.

(C) બંને $LED$ પ્રકાશિત થાય તે માટે,તેમની સાથે જોડાયેલા ગેટ્સનું આઉટપુટ હાઈ $(1)$ હોવું જોઈએ.
સર્કિટ ડાયાગ્રામનું વિશ્લેષણ:
$1$. $LED-1$ એ $OR$ ગેટના આઉટપુટ સાથે જોડાયેલ છે. ધારો કે $OR$ ગેટનું આઉટપુટ $Y_1 = A + B$ છે. $LED-1$ પ્રકાશિત થાય તે માટે $Y_1 = 1$ હોવું જોઈએ.
$2$. $LED-2$ એ અંતિમ $AND$ ગેટના આઉટપુટ સાથે જોડાયેલ છે. આ $AND$ ગેટના ઇનપુટ્સ $OR$ ગેટનું આઉટપુટ $(Y_1)$ અને ઇનપુટ $A$ છે. આકૃતિ મુજબ,મધ્યના $AND$ ગેટના ઇનપુટ્સ $Y_1$ અને $C$ છે,તેથી $Y_{middle} = (A + B) \cdot C$. અંતિમ $AND$ ગેટના ઇનપુટ્સ $Y_{middle}$ અને $A$ છે. તેથી,$Y_{LED2} = ((A + B) \cdot C) \cdot A$.
$3$. $LED-1$ પ્રકાશિત થવા માટે,$A + B = 1$ હોવું જોઈએ.
$4$. $LED-2$ પ્રકાશિત થવા માટે,$(A + B) \cdot C \cdot A = 1$ હોવું જોઈએ. આ માટે $A=1, C=1$ અને $(A+B)=1$ હોવું જરૂરી છે. $A=1$ હોવાથી,$B$ ની કિંમત ગમે તે હોય,$(A+B)=1$ ની શરત સંતોષાય છે.
$5$. વિકલ્પો તપાસતા:
- $A=1, B=0, C=1$ માટે: $Y_{LED1} = 1+0 = 1$ (પ્રકાશિત થશે),$Y_{LED2} = (1+0) \cdot 1 \cdot 1 = 1$ (પ્રકાશિત થશે).
તેથી,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.

(C) આ સર્કિટમાં એક $NOT$ ગેટ,એક $OR$ ગેટ,એક $AND$ ગેટ અને એક $NOR$ ગેટનો સમાવેશ થાય છે.
ધારો કે $NOT$ ગેટનું આઉટપુટ $A'$ છે. તેથી,$A' = \overline{A}$.
પ્રથમ $OR$ ગેટના ઇનપુટ $A'$ અને $B$ છે. તેથી,તેનું આઉટપુટ $X = A' + B = \overline{A} + B$ છે.
$AND$ ગેટના ઇનપુટ $A'$ અને $B$ છે. તેથી,તેનું આઉટપુટ $Z = A' \cdot B = \overline{A} \cdot B$ છે.
અંતિમ ગેટ એ $NOR$ ગેટ છે જેના ઇનપુટ $X$ અને $Z$ છે. તેથી,અંતિમ આઉટપુટ $Y = \overline{X + Z} = \overline{(\overline{A} + B) + (\overline{A} \cdot B)}$ છે.
બુલિયન બીજગણિતનો ઉપયોગ કરતા,$Y = \overline{\overline{A} + B + \overline{A} \cdot B} = \overline{\overline{A} + B} = A \cdot \overline{B}$.
$(A=1, B=1)$ માટે: $Y = 1 \cdot \overline{1} = 1 \cdot 0 = 0$.
$(A=0, B=1)$ માટે: $Y = 0 \cdot \overline{1} = 0 \cdot 0 = 0$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) આ પરિપથમાં બે $AND$ ગેટ અને એક $OR$ ગેટ છે. ઉપરનો $AND$ ગેટ $A$ અને $B$ ઇનપુટ મેળવે છે,જેનું આઉટપુટ $Y_1 = A \cdot B$ મળે છે. નીચેનો $AND$ ગેટ $A$ અને $\bar{B}$ ઇનપુટ મેળવે છે ($NOT$ ગેટ/ઇન્વર્ઝન બબલને કારણે),જેનું આઉટપુટ $Y_2 = A \cdot \bar{B}$ મળે છે. અંતિમ $OR$ ગેટ આ બંનેને જોડીને $Y = Y_1 + Y_2 = A \cdot B + A \cdot \bar{B}$ આપે છે.
બુલિયન બીજગણિતનો ઉપયોગ કરતા: $Y = A(B + \bar{B}) = A(1) = A$.
તેથી,આઉટપુટ વેવફોર્મ $Y$ એ ઇનપુટ વેવફોર્મ $A$ જેવું જ હોવું જોઈએ.
આપેલ વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,$A$ માટેનું વેવફોર્મ $t=0$ થી $1$ સુધી $0$ છે,$t=1$ થી $2$ સુધી $1$ છે,અને $t=2$ થી $3$ સુધી $1$ છે. વિકલ્પ $D$ આ વર્તણૂક સાથે મેળ ખાય છે.

(D) આ સર્કિટ ત્રણ $NAND$ ગેટની બનેલી છે. ધારો કે ઇનપુટ $X$ અને $Y$ છે.
$1$. પ્રથમ બે $NAND$ ગેટ $NOT$ ગેટ તરીકે કાર્ય કરે છે કારણ કે તેમના ઇનપુટ એકબીજા સાથે જોડાયેલા (shorted) છે. તેથી,પ્રથમ તબક્કાના આઉટપુટ $\overline{X}$ અને $\overline{Y}$ છે.
$2$. આ આઉટપુટ બીજા $NAND$ ગેટમાં આપવામાં આવે છે. આ ગેટનું આઉટપુટ $\overline{(\overline{X} \cdot \overline{Y})}$ છે.
$3$. ડી મોર્ગનના નિયમ મુજબ,$\overline{(\overline{X} \cdot \overline{Y})} = X + Y$. આ $OR$ ઓપરેશન દર્શાવે છે.
$4$. છેલ્લો $NAND$ ગેટ $NOT$ ગેટ તરીકે કાર્ય કરે છે,તેથી અંતિમ આઉટપુટ $\overline{X + Y}$ મળે છે,જે $NOR$ ગેટનું લોજિક છે.

(C) આ સર્કિટમાં ઇનપુટ $A$ પર $NOT$ ગેટ લાગુ કરવામાં આવ્યો છે,ત્યારબાદ એક $NAND$ ગેટ છે જે $NOT$ ગેટનું આઉટપુટ અને ઇનપુટ $B$ ને તેના ઇનપુટ તરીકે લે છે.
ધારો કે $A = 1101$ અને $B = 1010$.
$NOT$ ગેટનું આઉટપુટ $\overline{A} = \text{NOT}(1101) = 0010$ છે.
$NAND$ ગેટનું આઉટપુટ $Y = \overline{\overline{A} \cdot B}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ,બિટવાઇઝ $AND$ ઓપરેશનની ગણતરી કરો: $\overline{A} \cdot B = 0010 \cdot 1010 = 0010$.
ત્યારબાદ,પરિણામ પર $NOT$ ઓપરેશન કરો: $Y = \overline{0010} = 1101$.
જો સર્કિટમાં ઇનપુટ $A$ અને $B$ સાથેનો $NAND$ ગેટ હોય,તો $Y = \overline{A \cdot B} = \overline{1101 \cdot 1010} = \overline{1000} = 0111$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,સાચો જવાબ $0111$ (વિકલ્પ $C$) છે.