Boolean Algebra and Logic Gates Questions in Gujarati

(D) $NAND$ ગેટ એ $AND$ ગેટ અને ત્યારબાદ $NOT$ ગેટનું સંયોજન છે.
સૌ પ્રથમ,ઇનપુટ $A$ અને $B$ પર $AND$ ઓપરેશન કરવામાં આવે છે,જેનું પરિણામ $A \cdot B$ મળે છે.
ત્યારબાદ,આ પરિણામ પર $NOT$ ઓપરેશન લાગુ કરવામાં આવે છે,જે આઉટપુટને ઉલટાવે છે.
તેથી,$NAND$ ગેટનું આઉટપુટ $Y$ એ બુલિયન સમીકરણ $Y = \overline{A \cdot B}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.

(C) આપેલ સર્કિટમાં એક $NAND$ ગેટ અને એક $NOT$ ગેટ છે,જેના આઉટપુટને $OR$ ગેટમાં આપવામાં આવે છે.
$1$. ઇનપુટ $A$ અને $B$ ને $NAND$ ગેટમાં આપવામાં આવે છે. $NAND$ ગેટનું આઉટપુટ $\overline{A \cdot B}$ મળે છે.
$2$. ઇનપુટ $C$ ને $NOT$ ગેટમાં આપવામાં આવે છે. $NOT$ ગેટનું આઉટપુટ $\overline{C}$ મળે છે.
$3$. આ બંને આઉટપુટને $OR$ ગેટમાં આપવામાં આવે છે. બે ઇનપુટ $X$ અને $Z$ માટે $OR$ ઓપરેશન $X+Z$ થાય છે.
$4$. તેથી,અંતિમ આઉટપુટ $Y$ એ અગાઉના બે આઉટપુટનો $OR$ સરવાળો છે: $Y = \overline{A \cdot B} + \overline{C}$.

(D) આ સર્કિટમાં એક $NAND$ ગેટ અને તેની પાછળ એક $AND$ ગેટ જોડાયેલ છે.
આપેલ આકૃતિમાં,$NAND$ ગેટનું આઉટપુટ $AND$ ગેટના માત્ર એક ઇનપુટ ટર્મિનલ સાથે જોડાયેલ છે.
$AND$ ગેટ એ મલ્ટી-ઇનપુટ લોજિક ગેટ છે જેને તેનું લોજિકલ કાર્ય કરવા માટે ઓછામાં ઓછા બે ઇનપુટ સિગ્નલની જરૂર હોય છે.
આ સર્કિટમાં $AND$ ગેટને માત્ર એક જ ઇનપુટ મળતું હોવાથી,તે પ્રમાણભૂત લોજિક ગેટ તરીકે કાર્ય કરી શકતું નથી.
તેથી,આ ગેટ કાર્યરત નથી.

(C) આપેલ પરિપથમાં એક $OR$ ગેટ અને એક $NAND$ ગેટ છે,જેના આઉટપુટને $AND$ ગેટમાં આપવામાં આવે છે.
ધારો કે ઇનપુટ $A$ અને $B$ છે.
$OR$ ગેટનું આઉટપુટ $(A + B)$ છે.
$NAND$ ગેટનું આઉટપુટ $(\overline{A \cdot B})$ છે.
આ અંતિમ $AND$ ગેટ માટેના ઇનપુટ છે.
તેથી,અંતિમ આઉટપુટ $Y$ નીચે મુજબ મળે છે:
$Y = (A + B) \cdot (\overline{A \cdot B})$
ડી મોર્ગનના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$\overline{A \cdot B} = \bar{A} + \bar{B}$.
$Y = (A + B) \cdot (\bar{A} + \bar{B})$
$Y = A \cdot \bar{A} + A \cdot \bar{B} + B \cdot \bar{A} + B \cdot \bar{B}$
કારણ કે $A \cdot \bar{A} = 0$ અને $B \cdot \bar{B} = 0$,તેથી:
$Y = 0 + A \cdot \bar{B} + B \cdot \bar{A} + 0$
$Y = A \cdot \bar{B} + \bar{A} \cdot B$
આ $XOR$ ગેટ માટેનું બુલિયન સમીકરણ છે.

(D) આ સર્કિટમાં એક $NAND$ ગેટ,એક $NOT$ ગેટ,અને બે $NOR$ ગેટનો સમાવેશ થાય છે.
ધારો કે ઉપરના $NAND$ ગેટનું આઉટપુટ $Y_1 = \overline{A \cdot B}$ છે.
ધારો કે નીચેની શાખા ($NOT$ ગેટ અને ત્યારબાદ $NOR$ ગેટ) નું આઉટપુટ $Y_2 = \overline{\overline{A} + B}$ છે.
અંતિમ આઉટપુટ $Y$ એ $Y_1$ અને $Y_2$ ઇનપુટ ધરાવતા $NOR$ ગેટનું આઉટપુટ છે,તેથી $Y = \overline{Y_1 + Y_2} = \overline{(\overline{A \cdot B}) + (\overline{\overline{A} + B})}$.
વિકલ્પો ચકાસતા:
$A=1, B=1$ માટે:
$Y_1 = \overline{1 \cdot 1} = 0$
$Y_2 = \overline{\overline{1} + 1} = \overline{0 + 1} = 0$
$Y = \overline{0 + 0} = 1$.
આમ,$A=1, B=1$ માટે આઉટપુટ $Y$ એ $1$ મળે છે.

(C) $NAND$ ગેટના બે ઇનપુટ $A$ અને $B$ હોય છે,અને તેનું આઉટપુટ $Y = \overline{A \cdot B}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જો બંને ઇનપુટને શોર્ટ કરવામાં આવે,તો $A = B$ થાય. ધારો કે આ સામાન્ય ઇનપુટ $A$ છે.
આ કિંમતને $NAND$ ના સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $Y = \overline{A \cdot A}$ મળે છે.
બુલિયન બીજગણિતમાં $A \cdot A = A$ હોવાથી,સમીકરણ $Y = \overline{A}$ બને છે.
સમીકરણ $Y = \overline{A}$ એ $NOT$ ગેટની કામગીરી દર્શાવે છે.
તેથી,જ્યારે $NAND$ ગેટના ઇનપુટને શોર્ટ કરવામાં આવે છે,ત્યારે તે $NOT$ ગેટ તરીકે કાર્ય કરે છે.

(C) આપેલ સર્કિટમાં બે $NOT$ ગેટ,બે $AND$ ગેટ અને એક $OR$ ગેટનો સમાવેશ થાય છે.
$1$. ઇનપુટ $A$ એ $NOT$ ગેટમાંથી પસાર થઈને $\overline{A}$ બને છે અને ઇનપુટ $B$ સીધું પ્રથમ $AND$ ગેટમાં જાય છે. આ $AND$ ગેટનું આઉટપુટ $\overline{A} \cdot B$ છે.
$2$. ઇનપુટ $B$ એ $NOT$ ગેટમાંથી પસાર થઈને $\overline{B}$ બને છે અને ઇનપુટ $A$ સીધું બીજા $AND$ ગેટમાં જાય છે. આ $AND$ ગેટનું આઉટપુટ $A \cdot \overline{B}$ છે.
$3$. આ બંને આઉટપુટને $OR$ ગેટમાં આપવામાં આવે છે. અંતિમ આઉટપુટ $Y$ એ આ બે સમીકરણોનો સરવાળો છે: $Y = (\overline{A} \cdot B) + (A \cdot \overline{B})$.
આ $XOR$ ગેટ માટેનું બુલિયન સમીકરણ છે.

(D) આપેલ સર્કિટમાં બે $NOR$ ગેટ છે જેના આઉટપુટ એક $OR$ ગેટમાં જાય છે. ધારો કે ઇનપુટ $A$ અને $B$ છે. ઉપરના $NOR$ ગેટનું આઉટપુટ $C = \overline{A+B}$ છે અને નીચેના $NOR$ ગેટનું આઉટપુટ $D = \overline{A+B}$ છે. આ બંનેને $OR$ ગેટમાં આપતા,અંતિમ આઉટપુટ $Y = C + D = \overline{A+B} + \overline{A+B} = \overline{A+B}$ મળે છે.
આ સંયોજન માટેનું ટ્રુથ ટેબલ નીચે મુજબ છે:

$A$	$B$	$C = \overline{A+B}$	$D = \overline{A+B}$	$Y = C + D$
$0$	$0$	$1$	$1$	$1$
$0$	$1$	$0$	$0$	$0$
$1$	$0$	$0$	$0$	$0$
$1$	$1$	$0$	$0$	$0$

આ ટ્રુથ ટેબલને પ્રમાણિત લોજિક ગેટ્સ સાથે સરખાવતા,આઉટપુટ $Y$ ત્યારે જ $1$ મળે છે જ્યારે $A$ અને $B$ બંને $0$ હોય,જે $NOR$ ગેટનું લાક્ષણિક વર્તન છે.

(A) આપેલ સર્કિટમાં $A$ અને $B$ ઇનપુટ વાળું $NAND$ ગેટ, $C$ ઇનપુટ વાળું $NOT$ ગેટ અને તેમના આઉટપુટને જોડતું $OR$ ગેટ છે.
આઉટપુટ $Y$ માટેનું બુલિયન સમીકરણ $Y = (\overline{A \cdot B}) + \overline{C}$ છે.
કિસ્સો $1$: જ્યારે ત્રણેય ઇનપુટ $A, B, C$ લો $(0, 0, 0)$ હોય:
$A = 0, B = 0 \implies A \cdot B = 0 \implies \overline{A \cdot B} = 1$.
$C = 0 \implies \overline{C} = 1$.
$Y = 1 + 1 = 1$.
કિસ્સો $2$: જ્યારે ત્રણેય ઇનપુટ $A, B, C$ હાઇ $(1, 1, 1)$ હોય:
$A = 1, B = 1 \implies A \cdot B = 1 \implies \overline{A \cdot B} = 0$.
$C = 1 \implies \overline{C} = 0$.
$Y = 0 + 0 = 0$.
આમ, આઉટપુટ ક્રમ $1, 0$ છે.

(C) $NAND$ ગેટ એ $AND$ ગેટ અને ત્યારબાદ $NOT$ ગેટનું સંયોજન છે。
$NAND$ ગેટ માટેનું બુલિયન સમીકરણ $Y = \overline{A \cdot B}$ છે。
ચાલો $A$ અને $B$ ના તમામ શક્ય ઇનપુટ સંયોજનો માટે આઉટપુટ $Y$ ની ગણતરી કરીએ:
$1$. જો $A = 0, B = 0$ હોય, તો $A \cdot B = 0$, તેથી $Y = \overline{0} = 1$.
$2$. જો $A = 0, B = 1$ હોય, તો $A \cdot B = 0$, તેથી $Y = \overline{0} = 1$.
$3$. જો $A = 1, B = 0$ હોય, તો $A \cdot B = 0$, તેથી $Y = \overline{0} = 1$.
$4$. જો $A = 1, B = 1$ હોય, તો $A \cdot B = 1$, તેથી $Y = \overline{1} = 0$.
આપેલ કોષ્ટકો સાથે સરખામણી કરતા:
- કોષ્ટક $(P)$ એ $OR$ ગેટ દર્શાવે છે。
- કોષ્ટક $(Q)$ એ $XOR$ ગેટ દર્શાવે છે。
- કોષ્ટક $(R)$ એ $AND$ ગેટ દર્શાવે છે。
- કોષ્ટક $(S)$ એ $NAND$ ગેટ દર્શાવે છે。
આમ, સાચું સત્યતા કોષ્ટક $(S)$ છે。

(D) આ લોજિક સર્કિટમાં એક $NOR$ ગેટ અને ત્યારબાદ એક $AND$ ગેટ જોડાયેલ છે.
$NOR$ ગેટના ઇનપુટ $B$ અને $C$ છે,તેથી તેનું આઉટપુટ $\overline{B+C}$ મળે છે.
આ આઉટપુટને $A$ ઇનપુટ સાથે $AND$ ગેટમાં આપવામાં આવે છે.
તેથી,અંતિમ આઉટપુટ $Y$ માટેનું બુલિયન સમીકરણ: $Y = A \cdot \overline{(B+C)}$ છે.
આઉટપુટ $Y$ ' $HIGH$ ' $(Y=1)$ હોવા માટે,$A=1$ હોવું જોઈએ અને $\overline{(B+C)}=1$ હોવું જોઈએ.
$\overline{(B+C)} = 1$ નો અર્થ છે કે $(B+C) = 0$,જેનો અર્થ છે કે $B=0$ અને $C=0$ બંને હોવા જોઈએ.
આમ,જ્યારે $A=1, B=0$ અને $C=0$ હોય ત્યારે $Y=1$ મળે છે.

(A) યુનિવર્સલ ગેટ એ એક એવો લોજિક ગેટ છે જેનો ઉપયોગ અન્ય કોઈપણ પ્રકારના ગેટની જરૂર વગર કોઈપણ અન્ય લોજિક ગેટ અથવા બુલિયન ફંક્શન બનાવવા માટે થઈ શકે છે.
$NAND$ અને $NOR$ બંને ગેટને યુનિવર્સલ ગેટ તરીકે વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે.
આપેલા વિકલ્પોમાંથી $NOR$ ગેટ આ વ્યાખ્યાને અનુરૂપ હોવાથી,સાચો જવાબ $NOR$ છે.

(D) આપેલ સર્કિટમાં એક $OR$ ગેટ અને ત્યારબાદ એક $NAND$ ગેટ છે.
$OR$ ગેટનું આઉટપુટ $Y = A + B$ છે.
આ આઉટપુટ $Y$ એ $NAND$ ગેટના ઇનપુટ્સ પૈકીનું એક છે,અને બીજું ઇનપુટ $C$ છે.
$NAND$ ગેટનું અંતિમ આઉટપુટ $D = \overline{Y \cdot C} = \overline{(A + B) \cdot C}$ છે.
કિસ્સો $1$: $A=0, B=0, C=0$
$Y = 0 + 0 = 0$
$D = \overline{0 \cdot 0} = \overline{0} = 1$
કિસ્સો $2$: $A=1, B=1, C=0$
$Y = 1 + 1 = 1$
$D = \overline{1 \cdot 0} = \overline{0} = 1$
આમ,આઉટપુટ $D$ ની લોજિક સ્થિતિઓ $1, 1$ છે.

(C) $OR$ ગેટ એ એક પાયાનો લોજિક ગેટ છે જે તાર્કિક સરવાળો (logical addition) કરે છે.
$A$ અને $B$ ઇનપુટ ધરાવતા $OR$ ગેટ માટે,આઉટપુટ $Y$ એ બુલિયન સમીકરણ $Y = A + B$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$OR$ ગેટના ટ્રુથ ટેબલ મુજબ,જો ઓછામાં ઓછું એક ઇનપુટ $1$ હોય,તો આઉટપુટ $1$ મળે છે.
ચોક્કસ રીતે કહીએ તો,જો ઇનપુટ $A$ એ $1$ હોય અથવા ઇનપુટ $B$ એ $1$ હોય,અથવા જો બંને ઇનપુટ $A$ અને $B$ એ $1$ હોય,તો આઉટપુટ $Y$ એ $1$ થશે.

(B) આપેલ બુલિયન સમીકરણ: $\overline{(A+B) \cdot(A \cdot B)}=1$.
બંને બાજુ પૂરક (complement) લેતા,આપણને મળે છે: $(A+B) \cdot(A \cdot B) = 0$.
આપણે આપેલા વિકલ્પો ચકાસીએ:
વિકલ્પ $B$ $(A=0, B=0)$ માટે: $(0+0) \cdot (0 \cdot 0) = 0 \cdot 0 = 0$. આ સમીકરણનું સમાધાન કરે છે,તેથી ઇનપુટ $(0, 0)$ છે.
વિકલ્પ $A$ $(A=1, B=0)$ માટે: $(1+0) \cdot (1 \cdot 0) = 1 \cdot 0 = 0$. આ પણ $0$ પરિણામ આપે છે,પરંતુ મૂળ સમીકરણમાં $\overline{0} = 1$ થાય છે.
વિકલ્પ $D$ $(A=1, B=1)$ માટે: $(1+1) \cdot (1 \cdot 1) = 1 \cdot 1 = 1$. તેથી $\overline{1} = 0 \neq 1$.
આમ,$(0, 0)$ એ સાચો વિકલ્પ છે.

(B) ધારો કે ઇનપુટ $A, B$ અને $C$ સર્કિટને આપવામાં આવે છે.
ગેટ-$I$ એ $AND$ ગેટ છે અને ગેટ-$II$ એ $NAND$ ગેટ છે.
$AND$ ગેટનું આઉટપુટ $X = A \cdot B$ છે.
અંતિમ આઉટપુટ $Y$ એ $X$ અને $C$ નું $NAND$ છે,તેથી $Y = \overline{X \cdot C} = \overline{(A \cdot B) \cdot C}$.
જ્યારે $A=1, B=1, C=1$ (બધા હાઈ):
$Y = \overline{(1 \cdot 1) \cdot 1} = \overline{1 \cdot 1} = \overline{1} = 0$.
જ્યારે $A=0, B=0, C=0$ (બધા લો):
$Y = \overline{(0 \cdot 0) \cdot 0} = \overline{0 \cdot 0} = \overline{0} = 1$.

(B) આપેલ લોજિક સર્કિટમાં એક $OR$ ગેટ અને ત્યારબાદ એક $AND$ ગેટ છે. ધારો કે $OR$ ગેટનું આઉટપુટ $X$ છે. તો $X = A + B$ થાય.
અંતિમ આઉટપુટ $Y$ એ $AND$ ગેટ દ્વારા મળે છે,જ્યાં $Y = X \cdot C = (A + B) \cdot C$ થાય.
આઉટપુટ $Y = 1$ મેળવવા માટે,$AND$ ગેટના બંને ઇનપુટ $1$ હોવા જોઈએ. તેથી,$X = 1$ અને $C = 1$ હોવું જરૂરી છે.
કારણ કે $X = A + B = 1$,તેથી $A$ અથવા $B$ માંથી ઓછામાં ઓછું એક $1$ હોવું જોઈએ.
વિકલ્પો તપાસતા:
$A) A=1, B=0, C=0 \implies Y = (1+0) \cdot 0 = 0$
$B) A=1, B=0, C=1 \implies Y = (1+0) \cdot 1 = 1$
$C) A=1, B=1, C=0 \implies Y = (1+1) \cdot 0 = 0$
$D) A=0, B=0, C=1 \implies Y = (0+0) \cdot 1 = 0$
આમ,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(C) Ex-$OR$ ગેટ માટેનું ટ્રુથ ટેબલ નીચે મુજબ છે:
| ઇનપુટ $A$ | ઇનપુટ $B$ | આઉટપુટ $Y = A \oplus B$ |
| :--- | :--- | :--- |
| $0$ | $0$ | $0$ |
| $0$ | $1$ | $1$ |
| $1$ | $0$ | $1$ |
| $1$ | $1$ | $0$ |
Ex-$OR$ ગેટ માટેનું આઉટપુટ સમીકરણ $Y = A \oplus B = (\bar{A} \cdot B) + (A \cdot \bar{B})$ છે.
યાદ રાખવા જેવી મુખ્ય બાબતો:
$(1)$ જ્યારે બંને ઇનપુટ સમાન હોય ત્યારે આઉટપુટ લો $(0)$ હોય છે.
$(2)$ જ્યારે બંને ઇનપુટ અલગ હોય ત્યારે આઉટપુટ હાઈ $(1)$ હોય છે.

(A) આપેલ ઇનપુટ $P = 0$,$Q = 1$,$R = 0$ અને $S = 1$ છે.
$1$. આઉટપુટ $X$ એ $P$ અને $Q$ ઇનપુટ ધરાવતા $AND$ ગેટ દ્વારા મેળવવામાં આવે છે. તેથી,$X = P \cdot Q = 0 \cdot 1 = 0$.
$2$. $NOT$ ગેટનો ઇનપુટ એ $R$ અને $S$ ઇનપુટ ધરાવતા $AND$ ગેટનું આઉટપુટ છે. ધારો કે આ $W$ છે. તેથી,$W = R \cdot S = 0 \cdot 1 = 0$. આઉટપુટ $Y$ એ $W$ નું $NOT$ છે,તેથી $Y = \overline{W} = \overline{0} = 1$.
$3$. આઉટપુટ $Z$ એ $X$ અને $Y$ ઇનપુટ ધરાવતા $NOR$ ગેટ દ્વારા મેળવવામાં આવે છે. તેથી,$Z = \overline{X + Y} = \overline{0 + 1} = \overline{1} = 0$.
આમ,આઉટપુટ $X = 0$,$Y = 1$ અને $Z = 0$ છે.

(D) Exclusive-$OR$ (Ex-$OR$) ગેટ માટેનું બુલિયન સમીકરણ નીચે મુજબ છે:
$Y = A \oplus B = \bar{A} \cdot B + A \cdot \bar{B}$
Ex-$OR$ ગેટનું આઉટપુટ ત્યારે જ $HIGH$ $(1)$ મળે છે જ્યારે તેના બંને ઇનપુટ અલગ-અલગ લોજિક લેવલ પર હોય. જો બંને ઇનપુટ સમાન હોય ($0,0$ અથવા $1,1$),તો આઉટપુટ $LOW$ $(0)$ મળે છે.
ટ્રુથ ટેબલની ગણતરી:
$1$. $A=0, B=0$ માટે: $Y = 0 \oplus 0 = 0$
$2$. $A=0, B=1$ માટે: $Y = 0 \oplus 1 = 1$
$3$. $A=1, B=0$ માટે: $Y = 1 \oplus 0 = 1$
$4$. $A=1, B=1$ માટે: $Y = 1 \oplus 1 = 0$
આ પરિણામોને આપેલા કોષ્ટકો સાથે સરખાવતા,કોષ્ટક $(S)$ આ ટ્રુથ ટેબલ સાથે મેળ ખાય છે.

(B) $NAND$ ગેટ માટે બુલિયન અભિવ્યક્તિ $Y = \overline{A \cdot B}$ છે.
$1$. $A = 0, B = 1$ માટે: $Y = \overline{0 \cdot 1} = \overline{0} = 1$. આમ, $C = 1$.
$2$. $A = 0, B = 0$ માટે: $Y = \overline{0 \cdot 0} = \overline{0} = 1$. આમ, $D = 1$.
$3$. $A = 1, B = 0$ માટે: $Y = \overline{1 \cdot 0} = \overline{0} = 1$. આમ, $E = 1$.
$4$. $A = 1, B = 1$ માટે: $Y = \overline{1 \cdot 1} = \overline{1} = 0$. આમ, $F = 0$.
તેથી, મૂલ્યો $C = 1, D = 1, E = 1, F = 0$ છે.

(D) આપેલ સર્કિટમાં બે $NAND$ ગેટનો ઉપયોગ $NOT$ ગેટ તરીકે (કારણ કે તેમના ઇનપુટ્સ શોર્ટ કરેલા છે) અને ત્યારબાદ એક $NAND$ ગેટનો ઉપયોગ કરવામાં આવ્યો છે.
ધારો કે ઇનપુટ્સ $A$ અને $B$ છે.
પ્રથમ $NAND$ ગેટનું આઉટપુટ (જે $NOT$ ગેટ તરીકે કાર્ય કરે છે) $\bar{A}$ છે.
બીજા $NAND$ ગેટનું આઉટપુટ (જે $NOT$ ગેટ તરીકે કાર્ય કરે છે) $\bar{B}$ છે.
આ બંને આઉટપુટ ત્રીજા $NAND$ ગેટમાં આપવામાં આવે છે.
અંતિમ આઉટપુટ $Y$ એ $Y = \overline{(\bar{A} \cdot \bar{B})}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ડી મોર્ગનના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$\overline{(\bar{A} \cdot \bar{B})} = \overline{\bar{A}} + \overline{\bar{B}} = A + B$.
આ $OR$ ગેટ માટેનું બુલિયન સમીકરણ છે.
તેથી,આ સંયોજન $OR$ ગેટ તરીકે કાર્ય કરે છે.

(D) $OR$ ગેટ તાર્કિક સરવાળાની પ્રક્રિયા કરે છે. $A$ અને $B$ ઇનપુટ ધરાવતા $OR$ ગેટ માટેનું બુલિયન સમીકરણ $Y = A + B$ છે.
$OR$ ગેટના ટ્રુથ ટેબલ મુજબ:
- જો $A = 0$ અને $B = 0$ હોય,તો $Y = 0$ મળે.
- જો $A = 0$ અને $B = 1$ હોય,તો $Y = 1$ મળે.
- જો $A = 1$ અને $B = 0$ હોય,તો $Y = 1$ મળે.
- જો $A = 1$ અને $B = 1$ હોય,તો $Y = 1$ મળે.
આમ,જો ઇનપુટ $A$ અથવા ઇનપુટ $B$ (અથવા બંને) માંથી કોઈ પણ $1$ હોય,તો આઉટપુટ $1$ મળે છે.

(D) $AND$ ગેટ માટે,આઉટપુટ $1$ ત્યારે જ મળે છે જો બંને ઇનપુટ $1$ હોય. તેથી,$(0,1)$ અને $(1,0)$ ઇનપુટ માટે આઉટપુટ $0$ મળે છે.
$OR$ ગેટ માટે,આઉટપુટ $0$ ત્યારે જ મળે છે જો બંને ઇનપુટ $0$ હોય. તેથી,$(0,1)$ અને $(1,0)$ ઇનપુટ માટે આઉટપુટ $1$ મળે છે.
$NAND$ ગેટ માટે,આઉટપુટ $0$ ત્યારે જ મળે છે જો બંને ઇનપુટ $1$ હોય. તેથી,$(0,1)$ અને $(1,0)$ ઇનપુટ માટે આઉટપુટ $1$ મળે છે.
$NOR$ ગેટ માટે,આઉટપુટ $1$ ત્યારે જ મળે છે જો બંને ઇનપુટ $0$ હોય. તેથી,$(0,1)$ અને $(1,0)$ ઇનપુટ માટે આઉટપુટ $0$ મળે છે.
આમ,$AND$ અને $NOR$ બંને ગેટ આપેલ ઇનપુટ સંયોજનો $(0,1)$ અને $(1,0)$ માટે $0$ આઉટપુટ આપે છે.

(C) બે $NAND$ ગેટ જેના ઇનપુટ એકસાથે જોડાયેલા છે તે $NOT$ ગેટ તરીકે વર્તે છે. ધારો કે ઇનપુટ $A$ અને $B$ છે. પ્રથમ બે $NAND$ ગેટના આઉટપુટ $y_1 = \overline{A}$ અને $y_2 = \overline{B}$ છે. આ આઉટપુટ ત્રીજા $NAND$ ગેટમાં આપવામાં આવે છે. અંતિમ આઉટપુટ $y = \overline{y_1 \cdot y_2} = \overline{\overline{A} \cdot \overline{B}}$ છે. ડી મોર્ગનના પ્રમેય મુજબ, $y = \overline{\overline{A}} + \overline{\overline{B}} = A + B$. આ $OR$ ગેટ માટેનું બુલિયન સમીકરણ છે. સત્યતા કોષ્ટક નીચે મુજબ છે:
| $A$ | $B$ | $y_1$ | $y_2$ | $y$ |
|---|---|---|---|---|
| $0$ | $0$ | $1$ | $1$ | $0$ |
| $0$ | $1$ | $1$ | $0$ | $1$ |
| $1$ | $0$ | $0$ | $1$ | $1$ |
| $1$ | $1$ | $0$ | $0$ | $1$ |
આમ, આ સંયોજન $OR$ ગેટને સમતુલ્ય છે.

(D) $X-OR$ (એક્સક્લુઝિવ-$OR$) ગેટ એ એક ડિજિટલ લોજિક ગેટ છે જે એક્સક્લુઝિવ ડિસજંક્શનનો અમલ કરે છે.
તેનું આઉટપુટ '$HIGH$' $(1)$ ત્યારે જ મળે છે જ્યારે બંને ઇનપુટ અલગ હોય (એટલે કે,એક ઇનપુટ $0$ અને બીજું $1$ હોય).
જો બંને ઇનપુટ સમાન હોય ($0,0$ અથવા $1,1$),તો આઉટપુટ '$LOW$' $(0)$ મળે છે.
તેથી,$X-OR$ ગેટ એ શરતને સંતોષે છે કે જ્યારે તેના બે ઇનપુટ ટર્મિનલ્સ અલગ લોજિક લેવલ પર હોય ત્યારે જ તે '$HIGH$' આઉટપુટ આપે છે.

(A) ચાલો દરેક ગેટનું તેના ટ્રુથ ટેબલના આધારે વિશ્લેષણ કરીએ:
$(I)$ આ ગેટ $1, 1$ ઇનપુટ્સ ધરાવતો $NAND$ ગેટ છે. આઉટપુટ $Y = \overline{A \cdot B} = \overline{1 \cdot 1} = \overline{1} = 0$ મળે છે.
$(II)$ આ ગેટ $0, 0$ ઇનપુટ્સ ધરાવતો $NOR$ ગેટ છે. આઉટપુટ $Y = \overline{A + B} = \overline{0 + 0} = \overline{0} = 1$ મળે છે.
$(III)$ આ ગેટ $0, 1$ ઇનપુટ્સ ધરાવતો $NAND$ ગેટ છે. આઉટપુટ $Y = \overline{A \cdot B} = \overline{0 \cdot 1} = \overline{0} = 1$ મળે છે.
$(IV)$ આ ગેટ $1, 0$ ઇનપુટ્સ ધરાવતો $EX$-$NOR$ ગેટ છે. આઉટપુટ $Y = A \odot B = 1 \odot 0 = 0$ મળે છે.
આમ,ગેટ $II$ અને $III$ ' $1$ ' આઉટપુટ આપે છે.

(B) આપેલ સર્કિટમાં એક $OR$ ગેટ અને તેની પાછળ એક $NOT$ ગેટ જોડાયેલ છે, જે સાથે મળીને $NOR$ ગેટ બનાવે છે.
ધારો કે $OR$ ગેટનું આઉટપુટ $Y'$ છે. $NOR$ ગેટનું આઉટપુટ $Y = \overline{A + B}$ છે.
અંતિમ આઉટપુટ $Y$ ' $1$ ' મળે તે માટે, $NOT$ ગેટનું ઇનપુટ ' $0$ ' હોવું જોઈએ.
આનો અર્થ એ છે કે $OR$ ગેટનું આઉટપુટ $Y' = A + B$ ' $0$ ' હોવું જોઈએ.
$OR$ ગેટ ત્યારે જ ' $0$ ' આઉટપુટ આપે છે જ્યારે તેના બંને ઇનપુટ ' $0$ ' હોય.
તેથી, $A = 0$ અને $B = 0$ હોવા જોઈએ.

(C) આપેલ સર્કિટમાં,આપણી પાસે $NOT$ ગેટ અને $OR$ ગેટનું સંયોજન છે.
$NOT$ ગેટ માટે,ઇનપુટ $A$ છે,તેથી આઉટપુટ $X = \bar{A}$ મળે છે.
આ આઉટપુટ $X$ એ $OR$ ગેટના એક ઇનપુટ તરીકે કાર્ય કરે છે,જ્યારે $B$ એ બીજું ઇનપુટ છે.
$OR$ ગેટ માટે,આઉટપુટ $Y$ એ તેના ઇનપુટ્સનો સરવાળો છે:
$Y = X + B$
$NOT$ ગેટમાંથી $X$ ની કિંમત મૂકતા:
$Y = \bar{A} + B$
આમ,આપેલ સર્કિટ માટે બુલિયન સમીકરણ $Y = \bar{A} + B$ છે.

(B) $AND$ ગેટ માટે લોજિક ઓપરેશન બુલિયન સમીકરણ $Y = A \cdot B$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
આનો અર્થ એ છે કે આઉટપુટ $Y$ ત્યારે જ $1$ હોય છે જો બંને ઇનપુટ $A$ અને $B$ $1$ હોય. અન્યથા,આઉટપુટ $Y$ $0$ હોય છે.
ચાલો આપેલી એન્ટ્રીઓનું મૂલ્યાંકન કરીએ:
એન્ટ્રી $1$: $A=0, B=1$. $Y = 0 \cdot 1 = 0$. આ સાચું છે.
એન્ટ્રી $2$: $A=1, B=0$. $Y = 1 \cdot 0 = 0$. આ સાચું છે.
એન્ટ્રી $3$: $A=1, B=1$. $Y = 1 \cdot 1 = 1$. આ સાચું છે.
એન્ટ્રી $4$: $A=0, B=0$. $Y = 0 \cdot 0 = 0$. કોષ્ટકમાં $Y=1$ દર્શાવેલ છે,જે ખોટું છે.
તેથી,એન્ટ્રી $1, 2$ અને $3$ સાચી છે.

(D) આપેલ સર્કિટમાં બે $NOT$ ગેટ ($G_1$ અને $G_2$) અને એક $NOR$ ગેટ $(G_3)$ છે.
$1$. ઇનપુટ $A$ એ $NOT$ ગેટ $G_1$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $C$ પરનું આઉટપુટ $C = \overline{A}$ મળે છે.
$2$. ઇનપુટ $B$ એ $NOT$ ગેટ $G_2$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $D$ પરનું આઉટપુટ $D = \overline{B}$ મળે છે.
$3$. આ આઉટપુટ $C$ અને $D$ ને $NOR$ ગેટ $G_3$ માં ઇનપુટ તરીકે આપવામાં આવે છે. $NOR$ ગેટનું આઉટપુટ $Y$ એ તેના ઇનપુટ્સના $OR$ ના પૂરક (complement) જેટલું હોય છે.
$4$. તેથી,$Y = \overline{C + D}$.
$5$. $C$ અને $D$ ની કિંમતો મૂકતા,આપણને $Y = \overline{\overline{A} + \overline{B}}$ મળે છે.
$6$. ડી મોર્ગનના પ્રમેય મુજબ,$\overline{\overline{A} + \overline{B}} = \overline{\overline{A}} \cdot \overline{\overline{B}} = A \cdot B$.
$7$. બુલિયન સમીકરણ $Y = A \cdot B$ એ $AND$ ગેટ દર્શાવે છે.
આમ,પરિણામી ગેટ એ $AND$ ગેટ છે જેનું સમીકરણ $A \cdot B$ છે.

(A) જે લોજિક ગેટ માટે આઉટપુટ ત્યારે જ હાઈ $(1)$ મળે છે જ્યારે બધા જ ઈનપુટ હાઈ $(1)$ હોય,તેને $AND$ ગેટ કહેવામાં આવે છે.
$A$ અને $B$ ઈનપુટ ધરાવતા $AND$ ગેટ માટે,આઉટપુટ $Y$ એ $Y = A \cdot B$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
જો $A = 1$ અને $B = 1$ હોય,તો $Y = 1 \cdot 1 = 1$ મળે છે.
ઈનપુટના અન્ય કોઈપણ સંયોજન માટે,આઉટપુટ લો $(0)$ મળે છે.

(B) $NAND$ ગેટનો ઉપયોગ કરીને $AND$ ગેટ બનાવવા માટે,આપણે પહેલા ઇનપુટ્સ $A$ અને $B$ ને $NAND$ ગેટમાંથી પસાર કરીએ છીએ જેથી $\overline{A \cdot B}$ મળે.
ત્યારબાદ,આ આઉટપુટને બીજા $NAND$ ગેટમાંથી પસાર કરીએ છીએ જે $NOT$ ગેટ તરીકે કામ કરે છે (તેના ઇનપુટ્સને શોર્ટ કરીને).
ધારો કે પ્રથમ $NAND$ ગેટનું આઉટપુટ $X = \overline{A \cdot B}$ છે.
બીજો $NAND$ ગેટ $NOT$ ગેટ તરીકે કાર્ય કરે છે,તેથી તેનું આઉટપુટ $Y = \overline{X \cdot X} = \overline{X} = \overline{\overline{A \cdot B}} = A \cdot B$ મળે છે.
આમ,$AND$ ગેટ બનાવવા માટે બે $NAND$ ગેટની જરૂર પડે છે.

(C) $NAND$ ગેટ એ $AND$ ગેટ અને ત્યારબાદ $NOT$ ગેટનું સંયોજન છે. $A$ અને $B$ ઇનપુટ ધરાવતા $NAND$ ગેટ માટે બુલિયન સમીકરણ $Y = \overline{A \cdot B}$ છે.
જ્યારે બંને ઇનપુટને શોર્ટ કરવામાં આવે છે,ત્યારે $A = B$ થાય છે. આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $Y = \overline{A \cdot A} = \overline{A}$ મળે છે.
આ $NOT$ ગેટનું બુલિયન સમીકરણ છે.
આ ગોઠવણી માટેનું ટ્રુથ ટેબલ નીચે મુજબ છે:

$A$	$Y = \overline{A \cdot A}$
$0$	$1$
$1$	$0$

આમ,આઉટપુટ એ ઇનપુટનું વ્યસ્ત હોવાથી,પરિણામી ગેટ $NOT$ ગેટ છે.

(C) ટ્રુથ ટેબલ તમામ શક્ય ઇનપુટ સંયોજનો માટે લોજિક ગેટનું આઉટપુટ દર્શાવે છે.
આપેલ કોષ્ટક માટે:
- જ્યારે $A=0, B=0$ હોય,ત્યારે આઉટપુટ $Y=1$ મળે છે.
- જ્યારે $A=0, B=1$ હોય,ત્યારે આઉટપુટ $Y=1$ મળે છે.
- જ્યારે $A=1, B=0$ હોય,ત્યારે આઉટપુટ $Y=1$ મળે છે.
- જ્યારે $A=1, B=1$ હોય,ત્યારે આઉટપુટ $Y=0$ મળે છે.
આ વર્તણૂક $NAND$ ગેટને અનુરૂપ છે,જે $AND$ ગેટનું ઉલટું (inverse) છે. $NAND$ ગેટ માટેનું બુલિયન સમીકરણ $Y = \overline{A \cdot B}$ છે.

(D) આપેલ સર્કિટમાં બે $NOR$ ગેટ છે જે $NOT$ ગેટ તરીકે કાર્ય કરે છે, ત્યારબાદ એક $NOR$ ગેટ છે. ધારો કે ઇનપુટ $A$ અને $B$ છે.
પ્રથમ બે ગેટ $NOR$ ગેટ છે જેમાં બંને ઇનપુટ એકસાથે જોડાયેલા છે. પ્રથમ ગેટનું આઉટપુટ $\overline{A+A} = \bar{A}$ છે.
બીજા ગેટનું આઉટપુટ $\overline{B+B} = \bar{B}$ છે.
આ આઉટપુટ અંતિમ $NOR$ ગેટમાં આપવામાં આવે છે. આઉટપુટ $Y$ નીચે મુજબ મળે છે:
$Y = \overline{\bar{A} + \bar{B}}$
ડી મોર્ગનના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા, $\overline{\bar{A} + \bar{B}} = \overline{\bar{A}} \cdot \overline{\bar{B}} = A \cdot B$.
આમ, આ સર્કિટ $AND$ ગેટ દર્શાવે છે.

$A$	$B$	$Y = A \cdot B$
$0$	$0$	$0$
$0$	$1$	$0$
$1$	$0$	$0$
$1$	$1$	$1$

(D) આપેલ લોજિક સર્કિટમાં એક $NOR$ ગેટ અને એક $AND$ ગેટ છે,જેનું આઉટપુટ $NAND$ ગેટમાં જાય છે. ધારો કે ઇનપુટ $A$ અને $B$ છે.
$1$. $NOR$ ગેટનું આઉટપુટ $\overline{A+B}$ છે.
$2$. $AND$ ગેટનું આઉટપુટ $A \cdot B$ છે.
$3$. આ બંને આઉટપુટ $NAND$ ગેટમાં જાય છે. અંતિમ આઉટપુટ $Y$ નીચે મુજબ મળે છે:
$Y = \overline{(\overline{A+B}) \cdot (A \cdot B)}$
ડી મોર્ગનના નિયમ મુજબ,$\overline{X \cdot Y} = \overline{X} + \overline{Y}$:
$Y = \overline{(\overline{A+B})} + \overline{(A \cdot B)}$
$Y = (A+B) + (\overline{A} + \overline{B})$
$Y = (A + \overline{A}) + (B + \overline{B})$
કારણ કે $A + \overline{A} = 1$ અને $B + \overline{B} = 1$:
$Y = 1 + 1 = 1$
આમ,ઇનપુટ $A$ અને $B$ ના તમામ સંયોજનો માટે આઉટપુટ $Y$ હંમેશા $1$ રહે છે. તેથી,ટ્રુથ ટેબલમાં આઉટપુટ $Y$ માટેની તમામ હરોળમાં $1$ હશે. આપેલ વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,વિકલ્પ $(D)$ સાચો છે.

(B) આપેલ પરિપથમાં બે $NAND$ ગેટ શ્રેણીમાં જોડાયેલા છે,જ્યાં બીજો $NAND$ ગેટ $NOT$ ગેટ તરીકે કાર્ય કરે છે કારણ કે તેના ઇનપુટ્સ એકબીજા સાથે ટૂંકા (short) કરેલા છે.
ધારો કે પ્રથમ $NAND$ ગેટના ઇનપુટ્સ $A$ અને $B$ છે. પ્રથમ $NAND$ ગેટનું આઉટપુટ $\overline{A \cdot B}$ છે.
આ આઉટપુટ બીજા $NAND$ ગેટના ઇનપુટ તરીકે આપવામાં આવે છે. બીજા $NAND$ ગેટના બંને ઇનપુટ્સ એક જ સિગ્નલ સાથે જોડાયેલા હોવાથી,તેનું આઉટપુટ $Y$ નીચે મુજબ મળે છે:
$Y = \overline{(\overline{A \cdot B}) \cdot (\overline{A \cdot B})}$
બુલિયન બીજગણિતના ગુણધર્મ $\overline{X \cdot X} = \overline{X}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$Y = \overline{(\overline{A \cdot B})} = A \cdot B$
આમ,આ પરિપથ $AND$ ગેટની ક્રિયા કરે છે.

(B) આ સર્કિટ બે ક્રોસ-કપલ્ડ $NAND$ ગેટ્સની બનેલી છે, જે $S-R$ લેચ બનાવે છે.
ધારો કે ઇનપુટ $S=1$ અને $R=0$ છે.
આઉટપુટ $P$ એ $P = \overline{1 \cdot Q} = \overline{Q}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આઉટપુટ $Q$ એ $Q = \overline{0 \cdot P} = \overline{0} = 1$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કેમ કે $Q=1$, તેને $P$ ના સમીકરણમાં મૂકતા $P = \overline{1} = 0$ મળે છે.
આમ, સર્કિટની સ્થિર સ્થિતિ $P=0$ અને $Q=1$ છે.

(A) આ પરિપથ બે ક્રોસ-કપલ્ડ $NOR$ ગેટનો બનેલો છે જે $SR$ લેચ બનાવે છે.
$NOR$ ગેટ માટે,આઉટપુટ $Y = \overline{A+B}$ છે.
ધારો કે ઉપરનો ગેટ $1$ છે અને નીચેનો ગેટ $2$ છે.
ગેટ $1$ ના ઇનપુટ $1$ અને $Q$ છે. તેથી,$P = \overline{1+Q} = 0$.
ગેટ $2$ ના ઇનપુટ $0$ અને $P$ છે. તેથી,$Q = \overline{0+P}$ છે.
$Q$ ના સમીકરણમાં $P=0$ મૂકતા,આપણને $Q = \overline{0+0} = \overline{0} = 1$ મળે છે.
તેથી,$P=0$ અને $Q=1$ છે.

(A) આપેલ છે કે $ A=1 $ અને $ B=0 $.
બુલિયન બીજગણિતમાં,$ A $ નો પૂરક $ \bar{A} = \bar{1} = 0 $ થાય છે.
હવે,આ કિંમતોને $ \bar{A}+B $ પદાવલિમાં મૂકતા:
$ \bar{A}+B = 0 + 0 = 0 $.
કારણ કે $ B=0 $ છે,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $ \bar{A}+B = B $.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $ A $ છે.

(D) ધારો કે $OR$ ગેટના ઇનપુટ્સ $A$ અને $B$ છે. $OR$ ગેટનું આઉટપુટ $Y = A + B$ છે.
આ આઉટપુટ $Y$ ને $NAND$ ગેટના બંને ઇનપુટ્સ સાથે જોડવામાં આવે છે. ધારો કે $NAND$ ગેટના ઇનપુટ્સ $X_1$ અને $X_2$ છે,જ્યાં $X_1 = X_2 = Y = A + B$ છે.
$X_1$ અને $X_2$ ઇનપુટ્સ ધરાવતા $NAND$ ગેટનું આઉટપુટ $\overline{X_1 \cdot X_2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$X_1 = X_2 = A + B$ મૂકતા,અંતિમ આઉટપુટ $Y^{\prime} = \overline{(A + B) \cdot (A + B)}$ મળે છે.
બુલિયન આઈડેન્ટિટી $X \cdot X = X$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $Y^{\prime} = \overline{A + B}$ મળે છે.
અભિવ્યક્તિ $\overline{A + B}$ એ $NOR$ ગેટની બુલિયન કામગીરી દર્શાવે છે.
તેથી,આ સંયોજન $NOR$ ગેટ તરીકે કાર્ય કરે છે.

(D) આપેલ ટ્રુથ ટેબલનું વિશ્લેષણ કરીએ:
$1$. જ્યારે $A=1, B=0$ હોય,ત્યારે આઉટપુટ = $1$ મળે છે.
$2$. જ્યારે $A=1, B=1$ હોય,ત્યારે આઉટપુટ = $0$ મળે છે.
$3$. જ્યારે $A=0, B=1$ હોય,ત્યારે આઉટપુટ = $1$ મળે છે.
$4$. જ્યારે $A=0, B=0$ હોય,ત્યારે આઉટપુટ = $0$ મળે છે.
આને પ્રમાણિત લોજિક ગેટ સાથે સરખાવતા:
- $XOR$ ગેટ માટે,આઉટપુટ ત્યારે જ $1$ મળે છે જ્યારે ઇનપુટ અલગ-અલગ હોય $(A \neq B)$.
- આ ટેબલમાં,જ્યારે $(A=1, B=0)$ અથવા $(A=0, B=1)$ હોય ત્યારે આઉટપુટ $1$ મળે છે,અને જ્યારે $(A=1, B=1)$ અથવા $(A=0, B=0)$ હોય ત્યારે આઉટપુટ $0$ મળે છે.
- આ વર્તણૂક $XOR$ ગેટ (Exclusive-$OR$ gate) સાથે સંપૂર્ણ રીતે મેળ ખાય છે,જેનું બુલિયન સમીકરણ $Y = A \oplus B$ છે.

(C) આપેલ સર્કિટમાં બે $OR$ ગેટ અને ત્યારબાદ એક $AND$ ગેટનો સમાવેશ થાય છે.
$1$. પ્રથમ $OR$ ગેટના ઇનપુટ $A$ અને $B$ છે. તેથી,તેનું આઉટપુટ $(A+B)$ છે.
$2$. બીજા $OR$ ગેટના ઇનપુટ $A$ અને $C$ છે. તેથી,તેનું આઉટપુટ $(A+C)$ છે.
$3$. આ બંને આઉટપુટ $(A+B)$ અને $(A+C)$ ને અંતિમ $AND$ ગેટના ઇનપુટ તરીકે આપવામાં આવે છે.
$4$. $AND$ ગેટનું આઉટપુટ $Y$ એ તેના ઇનપુટનો ગુણાકાર છે: $Y = (A+B) \cdot (A+C)$.

(A) આપેલ સર્કિટમાં એક $NOR$ ગેટ છે,ત્યારબાદ એક બીજો $NOR$ ગેટ છે જેના ઇનપુટ્સ એકસાથે જોડેલા છે,જે $NOT$ ગેટ તરીકે કાર્ય કરે છે.
ધારો કે પ્રથમ $NOR$ ગેટના ઇનપુટ્સ $A$ અને $B$ છે. પ્રથમ $NOR$ ગેટનું આઉટપુટ $Y' = \overline{A+B}$ છે.
આ આઉટપુટ $Y'$ બીજા $NOR$ ગેટના બંને ઇનપુટ્સમાં આપવામાં આવે છે. બીજા $NOR$ ગેટનું આઉટપુટ $Y = \overline{Y' + Y'} = \overline{Y'} = \overline{\overline{A+B}}$ છે.
ડબલ નેગેશનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\overline{\overline{X}} = X$,આપણને $Y = A+B$ મળે છે.
આ $OR$ ગેટ માટેનું બુલિયન સમીકરણ છે.

(A) પરિપથ $A$ માટે: $NAND$ ગેટના ઇનપુટ $1$ અને $1$ છે,તેથી તેનું આઉટપુટ $0$ મળે છે. આ $0$ ને $NOT$ ગેટમાંથી પસાર કરતા તે $1$ બને છે. $OR$ ગેટને $1$ અને $0$ ઇનપુટ મળે છે,જેના પરિણામે આઉટપુટ $1$ મળે છે.
પરિપથ $B$ માટે: ઇનપુટ $0$ અને $1$ ને $NOT$ ગેટમાંથી પસાર કરતા તે અનુક્રમે $1$ અને $0$ બને છે. આ $NAND$ ગેટના ઇનપુટ છે. $1 \text{ AND } 0 = 0$ હોવાથી,$NAND$ ગેટનું આઉટપુટ $1$ મળે છે.
પરિપથ $C$ માટે: $OR$ ગેટને $1$ અને $1$ ઇનપુટ મળે છે,જેનું આઉટપુટ $1$ થાય છે. પરંતુ આકૃતિમાં $OR$ ગેટ પછી $NOT$ બબલ દર્શાવેલ છે (જે તેને $NOR$ ગેટ બનાવે છે),તેથી આઉટપુટ $0$ મળે છે. આ $0$ અને ઇનપુટ $1$ ને $AND$ ગેટમાં આપતા આઉટપુટ $0$ મળે છે.
આમ,આઉટપુટ અનુક્રમે $1, 1, 0$ છે.

(C) આપેલ સર્કિટમાં એક $OR$ ગેટ અને ત્યારબાદ એક $AND$ ગેટ છે. આઉટપુટ $Y$ માટેનું બુલિયન સમીકરણ $Y = (A + B) \cdot C$ છે.
આઉટપુટ $Y = 1$ મેળવવા માટે,$AND$ ગેટના બંને ઇનપુટ્સ $1$ હોવા જોઈએ. તેથી,$(A + B) = 1$ અને $C = 1$ હોવું જરૂરી છે.
વિકલ્પો તપાસતા:
વિકલ્પ $C$ માટે: $A = 1, B = 0, C = 1$.
આ કિંમતો મૂકતા: $Y = (1 + 0) \cdot 1 = 1 \cdot 1 = 1$.
આમ,ઇનપુટ્સ $A = 1, B = 0, C = 1$ લેવાથી આઉટપુટ $Y = 1$ મળે છે.

(D) આપેલ સત્યતા કોષ્ટક દર્શાવે છે કે જ્યારે $A$ અથવા $B$ અથવા બંને $0$ હોય ત્યારે આઉટપુટ $Y$ એ $1$ મળે છે,અને જ્યારે બંને ઇનપુટ $A$ અને $B$ એ $1$ હોય ત્યારે જ આઉટપુટ $Y$ એ $0$ મળે છે.
આ વર્તણૂક બુલિયન સમીકરણ $Y = \overline{A \cdot B}$ ને અનુરૂપ છે.
આ $NAND$ ગેટનું લાક્ષણિક સત્યતા કોષ્ટક છે,જે $AND$ ગેટ અને ત્યારબાદ $NOT$ ગેટનું સંયોજન છે.

(D) યુનિવર્સલ ગેટ એ એક એવો લોજિક ગેટ છે જેનો ઉપયોગ અન્ય કોઈપણ પ્રકારના ગેટની જરૂર વગર કોઈપણ અન્ય લોજિક ગેટ બનાવવા માટે થઈ શકે છે. $NAND$ ગેટ અને $NOR$ ગેટને યુનિવર્સલ ગેટ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. આપેલા વિકલ્પોમાં,$NAND$ ગેટ એક યુનિવર્સલ ગેટ છે કારણ કે કોઈપણ મૂળભૂત લોજિક ગેટ ($AND$,$OR$,$NOT$) માત્ર $NAND$ ગેટનો ઉપયોગ કરીને બનાવી શકાય છે.

(A) ધારો કે ઇનપુટ $A=0, B=1, C=0$ છે.
$1$. ઉપરના $NAND$ ગેટમાં ઇનપુટ $A=0$ અને $B=1$ છે. તેનું આઉટપુટ $\overline{0 \cdot 1} = \overline{0} = 1$ છે.
$2$. બીજા $NAND$ ગેટમાં ઇનપુટ $A=0$ અને પ્રથમ $NAND$ ગેટનું આઉટપુટ $(1)$ છે. તેનું આઉટપુટ $y_1 = \overline{0 \cdot 1} = \overline{0} = 1$ છે.
$3$. નીચેના $NOR$ ગેટમાં ઇનપુટ $B=1$ અને $C=0$ છે. તેનું આઉટપુટ $\overline{1 + 0} = \overline{1} = 0$ છે.
$4$. બીજા $NOR$ ગેટમાં ઇનપુટ $C=0$ અને પ્રથમ $NOR$ ગેટનું આઉટપુટ $(0)$ છે. તેનું આઉટપુટ $y_2 = \overline{0 + 0} = \overline{0} = 1$ છે.
$5$. અંતિમ $OR$ ગેટમાં ઇનપુટ $y_1=1$ અને $y_2=1$ છે. તેનું આઉટપુટ $y_3 = 1 + 1 = 1$ છે.
આમ,મૂલ્યો $y_1=1, y_2=1, y_3=1$ છે.