Boolean Algebra and Logic Gates Questions in Gujarati

(B) આપેલા ટ્રુથ ટેબલનું અવલોકન કરતા:
જ્યારે $B = 0$ હોય,ત્યારે $Y = 1$ મળે છે ($A$ ની કિંમત ગમે તે હોય).
જ્યારે $B = 1$ હોય,ત્યારે $Y = 0$ મળે છે ($A$ ની કિંમત ગમે તે હોય).
આ દર્શાવે છે કે આઉટપુટ $Y$ માત્ર ઇનપુટ $B$ પર આધાર રાખે છે અને તે $B$ નું વ્યસ્ત (inverse) છે.
તેથી,આઉટપુટ માટેનું બુલિયન સમીકરણ $Y = \bar{B}$ છે.

(D) આ પરિપથમાં બે $AND$ ગેટ અને બે $NOT$ ગેટનો સમાવેશ થાય છે. ઉપરના $AND$ ગેટના ઇનપુટ $A$ અને $\overline{B}$ છે,તેથી તેનું આઉટપુટ $A\overline{B}$ છે.
નીચેના $AND$ ગેટના ઇનપુટ $\overline{A}$ અને $B$ છે,તેથી તેનું આઉટપુટ $\overline{A}B$ છે.
આ બંને આઉટપુટ $G$ ગેટમાં જાય છે. ધારો કે $G$ નું આઉટપુટ $Y$ છે.
જો $G$ એ $XOR$ ગેટ હોય,તો $Y = A\overline{B} + \overline{A}B$.
જો $G$ એ $XNOR$ ગેટ હોય,તો $Y = \overline{A\overline{B} + \overline{A}B} = (A\overline{B} + \overline{A}B)' = A B + \overline{A}\overline{B}$.
ચાલો $Y = AB + \overline{A}\overline{B}$ માટે સત્યતા કોષ્ટક તપાસીએ:
- $A=0, B=0$ માટે: $Y = (0)(0) + (1)(1) = 1$.
- $A=0, B=1$ માટે: $Y = (0)(1) + (1)(0) = 0$.
- $A=1, B=0$ માટે: $Y = (1)(0) + (0)(1) = 0$.
- $A=1, B=1$ માટે: $Y = (1)(1) + (0)(0) = 1$.
આ આપેલ સત્યતા કોષ્ટક સાથે મેળ ખાય છે. તેથી,ગેટ $G$ એ $XNOR$ ગેટ છે.

(C) આપેલ પરિપથમાં એક $OR$ ગેટ અને ત્યારબાદ એક $NOR$ ગેટ છે. ધારો કે $OR$ ગેટનું આઉટપુટ $Z = X + Y$ છે. આ $Z$ ને $NOR$ ગેટના બંને ઇનપુટમાં આપવામાં આવે છે. $NOR$ ગેટનું આઉટપુટ $Out = \overline{Z + Z} = \overline{Z}$ છે.
$Z = X + Y$ મૂકતા,આપણને $Out = \overline{X + Y}$ મળે છે. આ $NOR$ ગેટ માટેનું બુલિયન સમીકરણ છે.
પરિપથ માટેનું ટ્રુથ ટેબલ નીચે મુજબ છે:

$X$	$Y$	$X+Y$	$Out = \overline{X+Y}$
$0$	$0$	$0$	$1$
$0$	$1$	$1$	$0$
$1$	$0$	$1$	$0$
$1$	$1$	$1$	$0$

કોષ્ટક પરથી,આઉટપુટ કિસ્સાઓ $(B)$,$(C)$ અને $(D)$ માટે લો (શૂન્ય) છે.

(A) ધારો કે પ્રથમ $AND$ ગેટના ઇનપુટ $A$ અને $\overline{B}$ છે. તેનું આઉટપુટ $P = A \cdot \overline{B}$ છે.
ધારો કે બીજા $AND$ ગેટના ઇનપુટ $A$ અને $B$ છે. તેનું આઉટપુટ $Q = A \cdot B$ છે.
આ આઉટપુટ $P$ અને $Q$ ને $NOR$ ગેટમાં આપવામાં આવે છે.
અંતિમ આઉટપુટ $Y$ નીચે મુજબ મળે છે:
$Y = \overline{P + Q} = \overline{(A \cdot \overline{B}) + (A \cdot B)}$
વિભાજનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$Y = \overline{A \cdot (\overline{B} + B)}$
કારણ કે $\overline{B} + B = 1$,તેથી $Y = \overline{A \cdot 1} = \overline{A}$.
આ $A$ ઇનપુટ ધરાવતા $NOT$ ગેટને અનુરૂપ છે. એક $NAND$ ગેટ જેના બંને ઇનપુટ $A$ સાથે જોડાયેલા હોય તે $NOT$ ગેટ તરીકે કાર્ય કરે છે,કારણ કે તેનું આઉટપુટ $\overline{A \cdot A} = \overline{A}$ મળે છે. તેથી,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.

(A) ધારો કે ઇનપુટ $A$ અને $B$ છે. આ સર્કિટમાં એક $\text{NAND}$ ગેટ અને એક $\text{NOR}$ ગેટ છે જે અંતિમ $\text{NAND}$ ગેટમાં જાય છે.
$1$. ઉપરના $\text{NAND}$ ગેટનું આઉટપુટ $Y_1 = \overline{A \cdot B}$ છે.
$2$. નીચેના $\text{NOR}$ ગેટનું આઉટપુટ $Y_2 = \overline{A + B}$ છે.
$3$. આ બંને અંતિમ $\text{NAND}$ ગેટમાં જાય છે,તેથી અંતિમ આઉટપુટ $Y = \overline{Y_1 \cdot Y_2} = \overline{(\overline{A \cdot B}) \cdot (\overline{A + B})}$ છે.
ડી મોર્ગનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\overline{X \cdot Y} = \overline{X} + \overline{Y}$,આપણને મળે છે $Y = \overline{(\overline{A \cdot B})} + \overline{(\overline{A + B})} = (A \cdot B) + (A + B)$.
કારણ કે $(A \cdot B)$ એ હંમેશા $(A + B)$ નો ઉપગણ છે,આ સમીકરણ $Y = A + B$ માં સરળ બને છે,જે $\text{OR}$ ગેટનું બુલિયન સમીકરણ છે.

$A$	$B$	$Y_1 = \overline{A \cdot B}$	$Y_2 = \overline{A + B}$	$Y = \overline{Y_1 \cdot Y_2}$
$0$	$0$	$1$	$1$	$0$
$0$	$1$	$1$	$0$	$1$
$1$	$0$	$1$	$0$	$1$
$1$	$1$	$0$	$0$	$1$

(B) આપેલ સર્કિટમાં બે $AND$ ગેટ,બે $NOT$ ગેટ અને એક $OR$ ગેટનો સમાવેશ થાય છે.
$1$. ઉપરનો $AND$ ગેટ $A$ અને $\overline{B}$ ઇનપુટ મેળવે છે,તેથી તેનું આઉટપુટ $A \cdot \overline{B}$ છે.
$2$. નીચેનો $AND$ ગેટ $\overline{A}$ અને $B$ ઇનપુટ મેળવે છે,તેથી તેનું આઉટપુટ $\overline{A} \cdot B$ છે.
$3$. $OR$ ગેટ આ આઉટપુટને જોડીને અંતિમ આઉટપુટ $Y = A \cdot \overline{B} + \overline{A} \cdot B$ આપે છે.
$4$. આ સમીકરણ $XOR$ (એક્સક્લુઝિવ $OR$) લોજિક ગેટ દર્શાવે છે.
$5$. $XOR$ ગેટ માટેનું સત્યતા કોષ્ટક નીચે મુજબ છે:
| $A$ | $B$ | $Y$ |
|---|---|---|
| $0$ | $0$ | $0$ |
| $0$ | $1$ | $1$ |
| $1$ | $0$ | $1$ |
| $1$ | $1$ | $0$ |
આને આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(B) $1$. પ્રથમ $NAND$ ગેટના ઇનપુટ્સ $1$ અને $1$ છે. $NAND$ ગેટનું આઉટપુટ $\overline{1 \cdot 1} = \overline{1} = 0$ છે.
$2$. આ આઉટપુટ $0$ ને $AND$ ગેટ અને $NOT$ ગેટમાં આપવામાં આવે છે.
$3$. $AND$ ગેટના ઇનપુટ્સ $0$ અને $0$ છે (કારણ કે $NAND$ ગેટનું આઉટપુટ $0$ છે અને તે $AND$ ગેટના બંને ઇનપુટ્સ સાથે જોડાયેલ છે). તેથી,$P = 0 \cdot 0 = 0$.
$4$. $OR$ ગેટના ઇનપુટ્સ એ પ્રારંભિક ઇનપુટ્સ $1$ અને $1$ સાથે જોડાયેલા બે $NOT$ ગેટના આઉટપુટ છે. $OR$ ગેટના ઇનપુટ્સ $\overline{1} = 0$ અને $\overline{1} = 0$ છે. $OR$ ગેટનું આઉટપુટ $0 + 0 = 0$ છે.
$5$. $NOR$ ગેટ બે ઇનપુટ્સ મેળવે છે: એક $NOT$ ગેટમાંથી (જે $NAND$ આઉટપુટ $0$ ને ઉલટાવીને $1$ કરે છે) અને બીજું $OR$ ગેટના આઉટપુટ $0$ માંથી. $NOR$ ગેટનું આઉટપુટ $Q = \overline{1 + 0} = \overline{1} = 0$ છે.
$6$. તેથી,$P = 0$ અને $Q = 0$ છે.

(B) ટ્રુથ ટેબલ દર્શાવે છે કે આઉટપુટ $Y$ ફક્ત ત્યારે જ $1$ છે જ્યારે $A=1$ હોય.
ખાસ કરીને,જ્યારે $A=0$ હોય,ત્યારે $B$ ગમે તે હોય,$Y=0$ મળે છે.
જ્યારે $A=1$ હોય,ત્યારે $B$ ગમે તે હોય,$Y=1$ મળે છે.
આ બુલિયન સમીકરણ $Y = A$ ને અનુરૂપ છે.
ચાલો સર્કિટનું વિશ્લેષણ કરીએ:
વિકલ્પ $A$: $Y = (A+B) \cdot B$. જો $A=0, B=1$ હોય,તો $Y = (0+1) \cdot 1 = 1$. આ ટ્રુથ ટેબલ સાથે મેળ ખાતું નથી.
વિકલ્પ $B$: $Y = (A+B) \cdot A$.
જો $A=0, B=0$ હોય,તો $Y = (0+0) \cdot 0 = 0$.
જો $A=0, B=1$ હોય,તો $Y = (0+1) \cdot 0 = 0$.
જો $A=1, B=0$ હોય,તો $Y = (1+0) \cdot 1 = 1$.
જો $A=1, B=1$ હોય,તો $Y = (1+1) \cdot 1 = 1$.
આ આપેલ ટ્રુથ ટેબલ સાથે સંપૂર્ણ રીતે મેળ ખાય છે.

(B) આપેલ પરિપથ આકૃતિ પરથી,$OR$ ગેટનું આઉટપુટ $(A + B)$ છે.
આ આઉટપુટને ઇનપુટ $A$ સાથે $AND$ ગેટમાં ઇનપુટ તરીકે આપવામાં આવે છે.
તેથી,અંતિમ આઉટપુટ $C$ બુલિયન સમીકરણ દ્વારા મળે છે: $C = A \cdot (A + B)$.
બુલિયન બીજગણિતના વિભાજનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$C = (A \cdot A) + (A \cdot B)$.
કારણ કે $A \cdot A = A$,તેથી $C = A + (A \cdot B)$.
શોષણના નિયમ (absorption law) મુજબ,$C = A(1 + B) = A \cdot 1 = A$.
આમ,આઉટપુટ $C$ એ ઇનપુટ $A$ જેટલું જ છે.
ચાલો આને ટ્રુથ ટેબલ સાથે ચકાસીએ:

$A$	$B$	$A+B$	$C = A \cdot (A+B)$
$0$	$0$	$0$	$0$
$0$	$1$	$1$	$0$
$1$	$0$	$1$	$1$
$1$	$1$	$1$	$1$

આને આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,વિકલ્પ $B$ ટ્રુથ ટેબલ સાથે મેળ ખાય છે.

(B) આપેલ બુલિયન પદાવલિ $Y = A \bar{B} C + \bar{A} \bar{C}$ છે.
કન્ફિગરેશન $A$ નું વિશ્લેષણ:
$3$-ઇનપુટ $\text{AND}$ ગેટનું આઉટપુટ $A \bar{B} C$ છે. $2$-ઇનપુટ $\text{AND}$ ગેટના ઇનપુટ $\bar{A}$ અને $\bar{C}$ છે,જેનું પરિણામ $\bar{A} \bar{C}$ મળે છે. આ બંને આઉટપુટ $2$-ઇનપુટ $\text{OR}$ ગેટમાં જાય છે,જેથી $Y = A \bar{B} C + \bar{A} \bar{C}$ મળે છે. આમ,કન્ફિગરેશન $A$ સાચું છે.

(A) સર્કિટ ડાયાગ્રામ પરથી,$AND$ ગેટનું આઉટપુટ $Y_1 = A \cdot B$ છે.
$OR$ ગેટના ઇનપુટ $B$ અને $\overline{A}$ છે,તેથી તેનું આઉટપુટ $Y_2 = \overline{A} + B$ છે.
આ બંને આઉટપુટ $Y_1$ અને $Y_2$ ને $NAND$ ગેટમાં આપવામાં આવે છે,તેથી અંતિમ આઉટપુટ $Y = \overline{Y_1 \cdot Y_2} = \overline{(A \cdot B) \cdot (\overline{A} + B)}$ છે.
આ પદાવલિનું સાદું રૂપ આપતા: $Y = \overline{A \cdot B \cdot \overline{A} + A \cdot B \cdot B} = \overline{0 + A \cdot B} = \overline{A \cdot B}$.
$Y = 0$ માટે,આપણે $\overline{A \cdot B} = 0$ ની જરૂર છે,જેનો અર્થ છે કે $A \cdot B = 1$.
આ ફક્ત ત્યારે જ થાય છે જ્યારે $A = 1$ અને $B = 1$ હોય.

(D) આ સર્કિટમાં એક $NOR$ ગેટ અને એક $NAND$ ગેટ છે,જેના આઉટપુટને $AND$ ગેટમાં આપવામાં આવે છે.
ધારો કે ઇનપુટ $A$ અને $B$ છે.
$NOR$ ગેટનું આઉટપુટ $Y_1 = \overline{A+B}$ છે.
$NAND$ ગેટનું આઉટપુટ $Y_2 = \overline{A \cdot B}$ છે.
$AND$ ગેટનું અંતિમ આઉટપુટ $Y = Y_1 \cdot Y_2 = \overline{A+B} \cdot \overline{A \cdot B}$ છે.
ડી મોર્ગનના નિયમોનો ઉપયોગ કરતા,$\overline{A+B} = \overline{A} \cdot \overline{B}$ અને $\overline{A \cdot B} = \overline{A} + \overline{B}$.
તેથી,$Y = (\overline{A} \cdot \overline{B}) \cdot (\overline{A} + \overline{B})$.
આનું વિસ્તરણ કરતા,$Y = (\overline{A} \cdot \overline{B} \cdot \overline{A}) + (\overline{A} \cdot \overline{B} \cdot \overline{B})$.
કારણ કે $\overline{A} \cdot \overline{A} = \overline{A}$ અને $\overline{B} \cdot \overline{B} = \overline{B}$,આપણને $Y = (\overline{A} \cdot \overline{B}) + (\overline{A} \cdot \overline{B})$ મળે છે.
આમ,$Y = \overline{A} \cdot \overline{B} = \overline{A+B}$.
આ $NOR$ ગેટ માટેનું બુલિયન સમીકરણ છે.

(C) આપેલ લોજિક સર્કિટ પરથી,$AND$ ગેટનું આઉટપુટ $P = A \cdot B$ છે અને $OR$ ગેટનું આઉટપુટ $Q = A + B$ છે.
આ બંનેને $NAND$ ગેટમાં આપવામાં આવે છે,તેથી અંતિમ આઉટપુટ $Y = \overline{P \cdot Q} = \overline{(A \cdot B) \cdot (A + B)}$ છે.
બુલિયન બીજગણિતનો ઉપયોગ કરતા,$(A \cdot B) \cdot (A + B) = (A \cdot B \cdot A) + (A \cdot B \cdot B) = (A \cdot B) + (A \cdot B) = A \cdot B.$
તેથી,$Y = \overline{A \cdot B}.$
ઇનપુટ ક્રમ $(A, B) = (0, 0)$ માટે: $Y = \overline{0 \cdot 0} = \overline{0} = 1.$
ઇનપુટ ક્રમ $(A, B) = (0, 1)$ માટે: $Y = \overline{0 \cdot 1} = \overline{0} = 1.$
આમ,આઉટપુટ ક્રમ $1, 1$ છે.

(D) આ પરિપથમાં એક $AND$ ગેટ,એક $OR$ ગેટ,એક $NOT$ ગેટ અને એક અંતિમ $AND$ ગેટનો સમાવેશ થાય છે.
$1$. પ્રથમ $AND$ ગેટનું આઉટપુટ $A \cdot B$ છે. આને $NOT$ ગેટમાંથી પસાર કરવામાં આવે છે,તેથી અંતિમ $AND$ ગેટ માટેનો ઇનપુટ $\overline{A \cdot B}$ છે.
$2$. $OR$ ગેટનું આઉટપુટ $A + B$ છે. આ અંતિમ $AND$ ગેટ માટેનો બીજો ઇનપુટ છે.
$3$. અંતિમ આઉટપુટ $Y$ એ આ બે ઇનપુટ્સનું $AND$ ઓપરેશન છે:
$Y = (\overline{A \cdot B}) \cdot (A + B)$
ડી મોર્ગનના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$\overline{A \cdot B} = \overline{A} + \overline{B}$:
$Y = (\overline{A} + \overline{B}) \cdot (A + B)$
$Y = \overline{A} \cdot A + \overline{A} \cdot B + \overline{B} \cdot A + \overline{B} \cdot B$
કારણ કે $\overline{A} \cdot A = 0$ અને $\overline{B} \cdot B = 0$:
$Y = 0 + \overline{A} B + A \overline{B} + 0$
$Y = \overline{A} B + A \overline{B}$

(C) આપેલ સર્કિટમાં બે $NOT$ ગેટ,એક $NOR$ ગેટ અને આઉટપુટ પર એક $NOT$ ગેટનો સમાવેશ થાય છે. ધારો કે ઇનપુટ $A$ અને $B$ છે. પ્રથમ બે $NOT$ ગેટના આઉટપુટ $\overline{A}$ અને $\overline{B}$ છે. આને $NOR$ ગેટમાં આપવામાં આવે છે,તેથી મધ્યવર્તી આઉટપુટ $x = \overline{\overline{A} + \overline{B}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. ડી મોર્ગનના પ્રમેય મુજબ,$\overline{\overline{A} + \overline{B}} = \overline{\overline{A}} \cdot \overline{\overline{B}} = A \cdot B$. અંતિમ આઉટપુટ $y$ એ $x$ નું ઇન્વર્ઝન છે,તેથી $y = \overline{x} = \overline{A \cdot B}$. આ $NAND$ ગેટ માટેનું બુલિયન સમીકરણ છે. $NAND$ ગેટ માટેનું ટ્રુથ ટેબલ નીચે મુજબ છે:

$A$	$B$	$y$
$0$	$0$	$1$
$0$	$1$	$1$
$1$	$0$	$1$
$1$	$1$	$0$

ઇનપુટ વેવફોર્મના આધારે,આઉટપુટ $y$ ત્યારે જ $0$ હશે જ્યારે $A$ અને $B$ બંને $1$ હોય. અન્યથા,તે $1$ રહેશે.

(A) $1$. ઇનપુટ $A$ એ $NOT$ ગેટમાંથી પસાર થાય છે,જેના પરિણામે $\overline{ A }$ મળે છે.
$2$. ઇનપુટ $B$ એ $NOT$ ગેટમાંથી પસાર થાય છે,જેના પરિણામે $\overline{ B }$ મળે છે.
$3$. આ બે આઉટપુટ ($\overline{ A }$ અને $\overline{ B }$) ને $AND$ ગેટમાં આપવામાં આવે છે,જે $\overline{ A } \cdot \overline{ B }$ ઉત્પન્ન કરે છે.
$4$. મૂળ ઇનપુટ $A$ અને $B$ ને સીધા બીજા $AND$ ગેટમાં આપવામાં આવે છે,જે $A \cdot B$ ઉત્પન્ન કરે છે.
$5$. અંતે,આ બે $AND$ ગેટના આઉટપુટને $OR$ ગેટમાં આપવામાં આવે છે.
$6$. તેથી,અંતિમ આઉટપુટ સમીકરણ $Y = \overline{ A } \cdot \overline{ B } + A \cdot B$ છે.

(D) આપેલ વોલ્ટેજ વેવફોર્મનું અવલોકન કરીને,આપણે લોજિક ગેટ માટે ટ્રુથ ટેબલ બનાવી શકીએ છીએ:

$A$	$B$	$Y$
$1$	$1$	$0$
$0$	$0$	$1$
$0$	$1$	$1$
$1$	$0$	$1$

ટ્રુથ ટેબલ પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે આઉટપુટ $Y$ ત્યારે જ $0$ હોય છે જ્યારે બંને ઇનપુટ $A$ અને $B$ $1$ હોય. અન્ય તમામ કિસ્સાઓમાં,આઉટપુટ $1$ મળે છે. આ વર્તણૂક $\text{NAND}$ ગેટને અનુરૂપ છે,જે $Y = \overline{A \cdot B}$ ઓપરેશન કરે છે.

(A) આ સર્કિટમાં બે $OR$ ગેટ છે જેની પાછળ એક $AND$ ગેટ જોડાયેલ છે.
$1$. $W$ અને $X$ ઇનપુટ ધરાવતા પ્રથમ $OR$ ગેટનું આઉટપુટ $(W + X)$ છે.
$2$. $W$ અને $Y$ ઇનપુટ ધરાવતા બીજા $OR$ ગેટનું આઉટપુટ $(W + Y)$ છે.
$3$. આ બંને આઉટપુટ એક $AND$ ગેટમાં જાય છે,તેથી અંતિમ આઉટપુટ $(W + X) \cdot (W + Y)$ મળે છે.
$4$. બુલિયન બીજગણિતનો ઉપયોગ કરીને આ પદનું વિસ્તરણ કરતા:
$\text{Output} = (W + X) \cdot (W + Y)$
$= W \cdot W + W \cdot Y + X \cdot W + X \cdot Y$
$= W + W \cdot Y + W \cdot X + X \cdot Y$
$= W(1 + Y + X) + X \cdot Y$
કારણ કે $(1 + Y + X) = 1$,તેથી આપણને મળે છે:
$= W + X \cdot Y$

(C) $OR$ ગેટનું આઉટપુટ $(A + B)$ છે.
$NAND$ ગેટનું આઉટપુટ $(\overline{A \cdot B})$ છે.
આ બંને આઉટપુટને $AND$ ગેટમાં આપવામાં આવે છે.
તેથી,અંતિમ આઉટપુટ $Y$ નીચે મુજબ મળે છે:
$Y = (A + B) \cdot (\overline{A \cdot B})$
ડી મોર્ગનના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$\overline{A \cdot B} = \overline{A} + \overline{B}$.
$Y = (A + B) \cdot (\overline{A} + \overline{B})$
$Y = A \cdot \overline{A} + A \cdot \overline{B} + B \cdot \overline{A} + B \cdot \overline{B}$
કારણ કે $A \cdot \overline{A} = 0$ અને $B \cdot \overline{B} = 0$,તેથી આપણને મળે છે:
$Y = A \cdot \overline{B} + \overline{A} \cdot B$
આ સમીકરણ $\text{XOR}$ ગેટ માટેનું બુલિયન ફંક્શન દર્શાવે છે.

(C) આપેલ સર્કિટમાં એક $NOR$ ગેટ,એક $NOT$ ગેટ (જે $NAND$ ગેટના ઇનપુટ્સને શોર્ટ કરીને બનાવવામાં આવ્યો છે) અને એક $AND$ ગેટનો સમાવેશ થાય છે.
$1$. $A$ અને $B$ ઇનપુટ્સ ધરાવતા $NOR$ ગેટનું આઉટપુટ $\overline{A+B}$ છે.
$2$. આ આઉટપુટને $NAND$ ગેટમાં આપવામાં આવે છે જેના ઇનપુટ્સ શોર્ટ કરેલા છે,જે $NOT$ ગેટ તરીકે કાર્ય કરે છે. તેથી,આઉટપુટ $\overline{\overline{A+B}} = A+B$ બને છે.
$3$. આ સિગ્નલ $(A+B)$ અને ઇનપુટ $B$ ને $AND$ ગેટમાં આપવામાં આવે છે.
$4$. તેથી,અંતિમ આઉટપુટ $Y = (A+B) \cdot B$ મળે છે.
$5$. બુલિયન બીજગણિતનો ઉપયોગ કરતા: $Y = A \cdot B + B \cdot B = A \cdot B + B = B(A+1) = B \cdot 1 = B$.

(D) પરિપથનું સાંકેતિક સ્વરૂપ નીચે મુજબ છે:
$(p \wedge (q \vee r)) \vee (\sim r \wedge \sim q \wedge p)$
$= (p \wedge (q \vee r)) \vee (\sim (r \vee q) \wedge p)$ [ડી મોર્ગનનો નિયમ]
$= p \wedge ((q \vee r) \vee \sim (q \vee r))$ [વિભાજનનો નિયમ]
$= p \wedge T$ [પૂરકનો નિયમ]
$= p$ [તદેવતાનો નિયમ]
તેથી,સરળ પરિપથ એ લેમ્પ $L$ સાથે શ્રેણીમાં એક સ્વિચ $S_1$ છે.

(C) આપેલ લોજિક સર્કિટમાં એક $NOT$ ગેટ,એક $NAND$ ગેટ અને એક $OR$ ગેટનો સમાવેશ થાય છે.
$1$. ઇનપુટ $A$ એ $NOT$ ગેટમાંથી પસાર થાય છે,તેથી તેનું આઉટપુટ $\overline{A}$ મળે છે.
$2$. ઇનપુટ $B$ અને $C$ એ $NAND$ ગેટમાંથી પસાર થાય છે,તેથી તેનું આઉટપુટ $\overline{B \cdot C}$ મળે છે.
$3$. આ બંને આઉટપુટ $OR$ ગેટમાં જાય છે,તેથી અંતિમ આઉટપુટ $Y$ માટેનું બુલિયન સમીકરણ: $Y = \overline{A} + \overline{B \cdot C}$ છે.
કિસ્સો $1$: જ્યારે બધા ઇનપુટ લો હોય $(A=0, B=0, C=0)$:
$Y = \overline{0} + \overline{0 \cdot 0} = 1 + \overline{0} = 1 + 1 = 1$.
કિસ્સો $2$: જ્યારે બધા ઇનપુટ હાઈ હોય $(A=1, B=1, C=1)$:
$Y = \overline{1} + \overline{1 \cdot 1} = 0 + \overline{1} = 0 + 0 = 0$.
આમ,આઉટપુટ $(1, 0)$ મળે છે.

(A) આપેલ સર્કિટમાં બે $NOT$ ગેટ છે,ત્યારબાદ એક $NAND$ ગેટ છે.
ધારો કે ઇનપુટ્સ $A$ અને $B$ છે.
બે $NOT$ ગેટના આઉટપુટ $\bar{A}$ અને $\bar{B}$ છે.
આ આઉટપુટને $NAND$ ગેટમાં આપવામાં આવે છે.
$NAND$ ગેટનું આઉટપુટ $Y$ એ $Y = \overline{(\bar{A} \cdot \bar{B})}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ડી મોર્ગનના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$\overline{(\bar{A} \cdot \bar{B})} = \overline{\bar{A}} + \overline{\bar{B}} = A + B$.
અંતિમ આઉટપુટ $Y = A + B$ હોવાથી,આ સંયોજન $OR$ ગેટ તરીકે કાર્ય કરે છે.

(D) યુનિવર્સલ ગેટ એ એક એવો લોજિક ગેટ છે જેનો ઉપયોગ અન્ય કોઈપણ પ્રકારના ગેટની જરૂર વગર કોઈપણ અન્ય લોજિક ગેટ અથવા બુલિયન ફંક્શનને અમલમાં મૂકવા માટે થઈ શકે છે.
$NAND$ અને $NOR$ ગેટને યુનિવર્સલ ગેટ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.
આપેલા વિકલ્પોમાંથી માત્ર $NAND$ આ વ્યાખ્યાને સંતોષે છે,તેથી સાચો જવાબ $D$ છે.

(C) $1$. ઉપરની શાખામાં એક $AND$ ગેટ છે જેની પાછળ $NOT$ ગેટ ($NAND$ ગેટ) છે. $AND$ ગેટના ઇનપુટ્સ $A$ અને $B$ છે,તેથી તેનું આઉટપુટ $(A \cdot B)$ છે. $NOT$ ગેટ પછી,આઉટપુટ $(\overline{A \cdot B})$ બને છે.
$2$. નીચેની શાખામાં ઇનપુટ $A$ પર એક $NOT$ ગેટ છે (જે $\overline{A}$ આપે છે) અને ત્યારબાદ ઇનપુટ $B$ સાથે એક $AND$ ગેટ છે. આમ,આ શાખાનું આઉટપુટ $(\overline{A} \cdot B)$ છે.
$3$. આ બંને આઉટપુટ એક $OR$ ગેટમાં જાય છે. તેથી,અંતિમ આઉટપુટ $Y$ એ આ બે પદોનો સરવાળો છે: $Y = (\overline{A \cdot B}) + (\overline{A} \cdot B)$.
$4$. આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,વિકલ્પ $C$ આપણા મેળવેલા સમીકરણ સાથે બંધ બેસે છે.

(C) આપેલ સર્કિટમાં એક $NOR$ ગેટ છે જેની પાછળ એક $AND$ ગેટ જોડાયેલ છે.
ઇનપુટ $B$ અને $C$ ને $NOR$ ગેટમાં આપવામાં આવે છે,જેનું આઉટપુટ $X = \overline{B+C}$ મળે છે.
આ આઉટપુટ $X$ અને ઇનપુટ $A$ ને $AND$ ગેટમાં આપવામાં આવે છે જેથી અંતિમ આઉટપુટ $Y$ મળે છે.
તેથી,આઉટપુટ માટેનું બુલિયન સમીકરણ $Y = A \cdot X = A \cdot (\overline{B+C})$ છે.
આઉટપુટ $Y$ ને $HIGH$ $(Y=1)$ થવા માટે,$A$ નું મૂલ્ય $1$ હોવું જોઈએ અને $(\overline{B+C})$ નું મૂલ્ય $1$ હોવું જોઈએ.
$(\overline{B+C}) = 1$ ત્યારે જ થાય જ્યારે $B+C = 0$ હોય,જેનો અર્થ છે કે $B=0$ અને $C=0$.
આમ,$Y=1$ ત્યારે મળે જ્યારે $A=1, B=0, C=0$ હોય.

(D) આપેલ લોજિક સર્કિટમાં એક $NOR$ ગેટ અને ત્યારબાદ એક $AND$ ગેટ છે.
ધારો કે $NOR$ ગેટનું આઉટપુટ $X$ છે. તો $X = \overline{A + B}$.
અંતિમ આઉટપુટ $Y$ એ $AND$ ગેટનું આઉટપુટ છે,તેથી $Y = X \cdot C = (\overline{A + B}) \cdot C$.
આપણે આઉટપુટ $Y = 0$ જોઈએ છે.
ચાલો વિકલ્પો તપાસીએ:
$A) A=1, B=1, C=0 \implies Y = (\overline{1+1}) \cdot 0 = 0 \cdot 0 = 0$.
$B) A=0, B=1, C=0 \implies Y = (\overline{0+1}) \cdot 0 = 0 \cdot 0 = 0$.
$C) A=1, B=0, C=1 \implies Y = (\overline{1+0}) \cdot 1 = 0 \cdot 1 = 0$.
$D) A=0, B=0, C=1 \implies Y = (\overline{0+0}) \cdot 1 = 1 \cdot 1 = 1$.
પ્રશ્નમાં પૂછવામાં આવ્યું છે કે કયો ઇનપુટ સેટ આઉટપુટ $0$ આપતો નથી,તેથી સાચો જવાબ $D$ છે.

(C) જે લોજિક ગેટ માત્ર ત્યારે જ '$HIGH$' અથવા '$1$' આઉટપુટ આપે છે જ્યારે ઇનપુટમાં '$HIGH$' અથવા '$1$' ની સંખ્યા એકી (odd) હોય,તેને એક્સક્લુઝિવ-$OR$ (Ex-$OR$) ગેટ કહેવામાં આવે છે.
બે-ઇનપુટ Ex-$OR$ ગેટ માટે,આઉટપુટ $Y$ ને $Y = A \oplus B = A\bar{B} + \bar{A}B$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
બે-ઇનપુટ Ex-$OR$ ગેટ માટેનું ટ્રુથ ટેબલ નીચે મુજબ છે:
જો $A=0, B=0$ હોય,તો $Y=0$.
જો $A=0, B=1$ હોય,તો $Y=1$.
જો $A=1, B=0$ હોય,તો $Y=1$.
જો $A=1, B=1$ હોય,તો $Y=0$.
જેમ જોઈ શકાય છે,આઉટપુટ ત્યારે જ '$1$' મળે છે જ્યારે '$HIGH$' ઇનપુટની સંખ્યા એકી હોય (એટલે કે,$1$ ઇનપુટ '$HIGH$' હોય).

(D) આપેલ સર્કિટમાં એક $OR$ ગેટ અને ત્યારબાદ એક $AND$ ગેટ છે.
ધારો કે $OR$ ગેટનું આઉટપુટ $X$ છે.
$OR$ ગેટના ઇનપુટ્સ $B$ અને $C$ છે,તેથી $X = B + C$.
$AND$ ગેટના ઇનપુટ્સ $A$ અને $X$ છે.
તેથી,અંતિમ આઉટપુટ $Y = A \cdot X = A \cdot (B + C)$ છે.
આઉટપુટ $Y = 1$ મેળવવા માટે,$A$ ની કિંમત $1$ હોવી જોઈએ અને $(B + C)$ ની કિંમત $1$ હોવી જોઈએ.
વિકલ્પો તપાસતા:
$A) 0, 0, 0 \implies Y = 0 \cdot (0 + 0) = 0$
$B) 0, 1, 0 \implies Y = 0 \cdot (1 + 0) = 0$
$C) 1, 0, 0 \implies Y = 1 \cdot (0 + 0) = 0$
$D) 1, 0, 1 \implies Y = 1 \cdot (0 + 1) = 1 \cdot 1 = 1$
આમ,ઇનપુટ્સ $A=1, B=0, C=1$ માટે આઉટપુટ $Y=1$ મળે છે.

(C) આપેલ શરતો માટે ટ્રુથ ટેબલ નીચે મુજબ છે:
$A=0, B=0 \implies C=1$
$A=0, B=1 \implies C=1$
ચાલો આપેલા વિકલ્પો માટે ટ્રુથ ટેબલ તપાસીએ:
$1$. $OR$ ગેટ: $0+0=0, 0+1=1, 1+0=1, 1+1=1$. (મેળ ખાતું નથી)
$2$. $AND$ ગેટ: $0 \cdot 0=0, 0 \cdot 1=0, 1 \cdot 0=0, 1 \cdot 1=1$. (મેળ ખાતું નથી)
$3$. $NAND$ ગેટ: $\overline{0 \cdot 0}=1, \overline{0 \cdot 1}=1, \overline{1 \cdot 0}=1, \overline{1 \cdot 1}=0$. (આપેલ શરતો સાથે મેળ ખાય છે)
$4$. $NOR$ ગેટ: $\overline{0+0}=1, \overline{0+1}=0, \overline{1+0}=0, \overline{1+1}=0$. (મેળ ખાતું નથી)
આમ,આ લોજિક ગેટ $NAND$ ગેટ છે.

(A) ચાલો આપેલા ઇનપુટ્સ સાથે દરેક લોજિક ગેટનું વિશ્લેષણ કરીએ:
$(A)$ આ $1$ અને $1$ ઇનપુટ્સ ધરાવતો $NAND$ ગેટ છે. $NAND$ ગેટનું આઉટપુટ $Y = \overline{A \cdot B}$ છે. $A=1, B=1$ માટે,$Y = \overline{1 \cdot 1} = \overline{1} = 0$ મળે છે.
$(B)$ આ $0$ અને $0$ ઇનપુટ્સ ધરાવતો $NOR$ ગેટ છે. $NOR$ ગેટનું આઉટપુટ $Y = \overline{A + B}$ છે. $A=0, B=0$ માટે,$Y = \overline{0 + 0} = \overline{0} = 1$ મળે છે.
$(C)$ આ $1$ અને $0$ ઇનપુટ્સ ધરાવતો $AND$ ગેટ છે. $AND$ ગેટનું આઉટપુટ $Y = A \cdot B$ છે. $A=1, B=0$ માટે,$Y = 1 \cdot 0 = 0$ મળે છે.
$(D)$ આ $0$ અને $1$ ઇનપુટ્સ ધરાવતો $XOR$ ગેટ છે. $XOR$ ગેટનું આઉટપુટ $Y = A \oplus B$ છે. $A=0, B=1$ માટે,$Y = 0 \oplus 1 = 1$ મળે છે.
આઉટપુટની સરખામણી કરતા,ગેટ $(A)$ અને $(C)$ '$0$' આઉટપુટ આપે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $(A)$ અને $(C)$ છે.

(B) $1$. $AND$ ગેટ બે ઇનપુટ $A$ અને $B$ લે છે અને આઉટપુટ $X = A \cdot B$ આપે છે.
$2$. આ આઉટપુટ $X$ ને ત્યારબાદ $NOT$ ગેટમાંથી પસાર કરવામાં આવે છે.
$3$. $NOT$ ગેટ ઇનપુટને ઉલટાવે છે,તેથી અંતિમ આઉટપુટ $Y = \overline{X}$ મળે છે.
$4$. $X$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $Y = \overline{A \cdot B}$ મળે છે.
$5$. $AND$ ગેટ અને ત્યારબાદ $NOT$ ગેટના આ સંયોજનને $NAND$ ગેટ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.

(D) ધારો કે ઇનપુટ $A$ અને $B$ છે. પ્રથમ ગેટ $NAND$ ગેટ છે,તેથી તેનું આઉટપુટ $Y_1 = \overline{A \cdot B}$ થશે.
આ આઉટપુટ $Y_1$ ને $NOR$ ગેટના બંને ઇનપુટમાં આપવામાં આવે છે. $Y_1$ અને $Y_1$ ઇનપુટ ધરાવતા $NOR$ ગેટનું આઉટપુટ $Y_2 = \overline{Y_1 + Y_1} = \overline{Y_1}$ થશે.
$Y_1$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $Y_2 = \overline{\overline{A \cdot B}} = A \cdot B$ મળે છે.
આ આઉટપુટ $Y_2$ ને ત્યારબાદ $NOT$ ગેટમાંથી પસાર કરવામાં આવે છે. અંતિમ આઉટપુટ $Y = \overline{Y_2} = \overline{A \cdot B}$ મળે છે.
અંતિમ આઉટપુટ $\overline{A \cdot B}$ હોવાથી,આપેલી લોજિક સર્કિટ $NAND$ ગેટને સમતુલ્ય છે.

(C) ધારો કે ઇનપુટ $A$ અને $B$ છે. આ સર્કિટમાં બે $NOT$ ગેટ,બે $AND$ ગેટ અને એક $OR$ ગેટનો સમાવેશ થાય છે.
$1$. ઉપરનો $AND$ ગેટ $A$ અને $\bar{B}$ ઇનપુટ મેળવે છે. તેનું આઉટપુટ $A \cdot \bar{B}$ છે.
$2$. નીચેનો $AND$ ગેટ $\bar{A}$ અને $B$ ઇનપુટ મેળવે છે. તેનું આઉટપુટ $\bar{A} \cdot B$ છે.
$3$. આ બંને આઉટપુટને $OR$ ગેટમાં આપવામાં આવે છે. અંતિમ આઉટપુટ $Y = A \cdot \bar{B} + \bar{A} \cdot B$ મળે છે.
આ સમીકરણ $Y = A \oplus B$ એ $XOR$ ગેટનું બુલિયન ફંક્શન દર્શાવે છે.

(B) આકૃતિ $(I)$ માં,પ્રથમ બે $NAND$ ગેટના ઇનપુટ્સ બંને $0$ છે. કારણ કે જ્યારે $NAND$ ગેટના બંને ઇનપુટ્સ એકસાથે જોડાયેલા હોય ત્યારે તે $NOT$ ગેટ તરીકે કાર્ય કરે છે,તેથી દરેકનું આઉટપુટ $\overline{0} = 1$ મળે છે. આ બંને $1$ ને પછી અંતિમ $NAND$ ગેટમાં ઇનપુટ તરીકે આપવામાં આવે છે. તેથી આઉટપુટ $\overline{1 \cdot 1} = \overline{1} = 0$ મળે છે.
આકૃતિ $(II)$ માં,ઇનપુટ્સ $1$ અને $1$ છે. પ્રથમ $NAND$ ગેટનું આઉટપુટ $\overline{1 \cdot 1} = 0$ મળે છે. આ $0$ ને પછી બીજા $NAND$ ગેટમાં ઇનપુટ તરીકે આપવામાં આવે છે (જે $NOT$ ગેટ તરીકે કાર્ય કરે છે કારણ કે તેના ઇનપુટ્સ એકસાથે જોડાયેલા છે),જેના પરિણામે આઉટપુટ $\overline{0} = 1$ મળે છે.
આમ,આઉટપુટ અનુક્રમે $0$ અને $1$ છે.

(D) '$XOR$' ગેટ માટેનું બુલિયન સમીકરણ એવી રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે કે આઉટપુટ ત્યારે જ હાઈ (high) હોય જ્યારે ઇનપુટ્સ અલગ-અલગ હોય.
ગાણિતિક રીતે,'$XOR$' ગેટ માટેનું સમીકરણ $C = A \oplus B = (\overline{A} \cdot B) + (A \cdot \overline{B})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ એવા ગુણાકારોનો સરવાળો દર્શાવે છે જ્યાં એક ઇનપુટ સાચું (true) હોય અને બીજું ઇનપુટ ખોટું (false) હોય.

(A) આપેલ લોજિક સર્કિટ પરથી,આઉટપુટ $Y$ એ $NOR$ ગેટ અને $AND$ ગેટના આઉટપુટ પર $NAND$ ગેટની પ્રક્રિયા દ્વારા મળે છે.
ધારો કે $NOR$ ગેટનું આઉટપુટ $Y_1 = \overline{A+B}$ છે.
ધારો કે $AND$ ગેટનું આઉટપુટ $Y_2 = A \cdot B$ છે.
અંતિમ આઉટપુટ $Y$ એ $Y_1$ અને $Y_2$ નું $NAND$ છે:
$Y = \overline{Y_1 \cdot Y_2} = \overline{\overline{(A+B)} \cdot (A \cdot B)}$.
$\overline{X} \cdot X = 0$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીને,આપણે પદાવલિનું વિશ્લેષણ કરીએ:
$Y = \overline{(\overline{A} \cdot \overline{B}) \cdot (A \cdot B)}$
$Y = \overline{(\overline{A} \cdot A) \cdot (\overline{B} \cdot B)}$
કારણ કે $\overline{A} \cdot A = 0$ અને $\overline{B} \cdot B = 0$,તેથી:
$Y = \overline{0 \cdot 0} = \overline{0} = 1$.
આમ,$A$ અને $B$ ના તમામ શક્ય ઇનપુટ સંયોજનો માટે આઉટપુટ $Y$ હંમેશા $1$ રહે છે.

(B) આ સર્કિટમાં એક $OR$ ગેટ,એક $NAND$ ગેટ,એક $NOT$ ગેટ અને એક $NOR$ ગેટનો સમાવેશ થાય છે.
$Y_1$ એ $A$ અને $B$ ઇનપુટ ધરાવતા $OR$ ગેટનું આઉટપુટ છે,તેથી $Y_1 = A + B$.
$Y_2$ એ $C$ અને $D$ ઇનપુટ ધરાવતા $NAND$ ગેટના આઉટપુટ સાથે જોડાયેલા $NOT$ ગેટનું આઉટપુટ છે. $NAND$ આઉટપુટ $\overline{C \cdot D}$ છે,તેથી $Y_2 = \overline{(\overline{C \cdot D})} = C \cdot D$.
$Y_3$ એ $Y_1$ અને $Y_2$ ઇનપુટ ધરાવતા $NOR$ ગેટનું આઉટપુટ છે,તેથી $Y_3 = \overline{Y_1 + Y_2}$.
જ્યારે $A = 0, B = 0, C = 0, D = 0$ હોય:
$Y_1 = 0 + 0 = 0$.
$Y_2 = 0 \cdot 0 = 0$.
$Y_3 = \overline{0 + 0} = \overline{0} = 1$.
આમ,આઉટપુટ $(Y_1, Y_2, Y_3)$ એ $(0, 0, 1)$ છે.

(C) આપેલ પરિપથમાં બે ગેટ છે। પ્રથમ ગેટ $AND$ ગેટ છે અને બીજો ગેટ $NAND$ ગેટ છે। ધારો કે પ્રથમ $AND$ ગેટનું આઉટપુટ $X$ છે। આ ગેટના ઇનપુટ $A$ અને $B$ છે। તેથી, $X = A \cdot B$.
બીજો $NAND$ ગેટ $X$ અને $C$ ને ઇનપુટ તરીકે લે છે। તેથી, અંતિમ આઉટપુટ $Y = \overline{X \cdot C} = \overline{(A \cdot B) \cdot C}$.
કિસ્સો $1$: જ્યારે $A = 0, B = 0, C = 0$ હોય:
$X = 0 \cdot 0 = 0$.
$Y = \overline{0 \cdot 0} = 1$.
કિસ્સો $2$: જ્યારે $A = 1, B = 1, C = 1$ હોય:
$X = 1 \cdot 1 = 1$.
$Y = \overline{1 \cdot 1} = 0$.
આમ, આઉટપુટ $1, 0$ મળે છે। સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) આ સર્કિટમાં એક $NAND$ ગેટ અને એક $OR$ ગેટ છે,જેના આઉટપુટને $AND$ ગેટમાં આપવામાં આવે છે.
ધારો કે ઇનપુટ $A$ અને $B$ છે.
$NAND$ ગેટનું આઉટપુટ $Y_1 = \overline{A \cdot B}$ છે.
$OR$ ગેટનું આઉટપુટ $Y_2 = A + B$ છે.
આ અંતિમ $AND$ ગેટ માટે ઇનપુટ છે,તેથી અંતિમ આઉટપુટ $Y$ નીચે મુજબ છે:
$Y = Y_1 \cdot Y_2 = (\overline{A \cdot B}) \cdot (A + B)$
ડી મોર્ગનના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$\overline{A \cdot B} = \overline{A} + \overline{B}$.
$Y = (\overline{A} + \overline{B}) \cdot (A + B)$
$Y = \overline{A} \cdot A + \overline{A} \cdot B + \overline{B} \cdot A + \overline{B} \cdot B$
કારણ કે $\overline{A} \cdot A = 0$ અને $\overline{B} \cdot B = 0$:
$Y = 0 + \overline{A} \cdot B + A \cdot \overline{B} + 0$
$Y = A \cdot \overline{B} + \overline{A} \cdot B$
આ $X$-$OR$ ગેટ માટેનું બુલિયન સમીકરણ છે.

(D) ધારો કે ઇનપુટ $A$ અને $B$ છે. પ્રથમ $NAND$ ગેટનું આઉટપુટ $C = \overline{A \cdot B}$ છે.
આ આઉટપુટ $C$ ને પછીના બે $NAND$ ગેટમાં આપવામાં આવે છે. ઉપરના $NAND$ ગેટના ઇનપુટ $A$ અને $C$ છે,તેથી તેનું આઉટપુટ $P = \overline{A \cdot C} = \overline{A \cdot (\overline{A \cdot B})} = \overline{A \cdot (\overline{A} + \overline{B})} = \overline{A \cdot \overline{A} + A \cdot \overline{B}} = \overline{0 + A \cdot \overline{B}} = \overline{A \cdot \overline{B}} = \overline{A} + B$ છે.
નીચેના $NAND$ ગેટના ઇનપુટ $B$ અને $C$ છે,તેથી તેનું આઉટપુટ $Q = \overline{B \cdot C} = \overline{B \cdot (\overline{A \cdot B})} = \overline{B \cdot (\overline{A} + \overline{B})} = \overline{B \cdot \overline{A} + B \cdot \overline{B}} = \overline{B \cdot \overline{A} + 0} = \overline{B \cdot \overline{A}} = B + \overline{A}$ છે.
અંતિમ $NAND$ ગેટના ઇનપુટ $P$ અને $Q$ છે,તેથી તેનું આઉટપુટ $Y = \overline{P \cdot Q} = \overline{(\overline{A} + B) \cdot (A + \overline{B})} = \overline{\overline{A} \cdot A + \overline{A} \cdot \overline{B} + B \cdot A + B \cdot \overline{B}} = \overline{0 + \overline{A} \cdot \overline{B} + A \cdot B + 0} = \overline{\overline{A} \cdot \overline{B} + A \cdot B} = A \cdot B + \overline{A} \cdot \overline{B}$ (આ $X$-$NOR$ છે). જો કે,પ્રશ્નમાં આપેલ સર્કિટનું વિશ્લેષણ કરતા,આ સંયોજન $X$-$OR$ ગેટ માટે સમાન છે.

(A) આપેલ સર્કિટમાં એક $NOT$ ગેટ અને એક $NAND$ ગેટનો સમાવેશ થાય છે. ઇનપુટ $A$ એ $NOT$ ગેટમાંથી પસાર થાય છે,તેથી $NOT$ ગેટનું આઉટપુટ $\bar{A}$ મળે છે. આ $\bar{A}$ અને ઇનપુટ $B$ ને $NAND$ ગેટમાં આપવામાં આવે છે. $NAND$ ગેટનું આઉટપુટ $Y$ નીચે મુજબના સમીકરણ દ્વારા મળે છે: $Y = \overline{\bar{A} \cdot B}$.
ડી મોર્ગનના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$\overline{\bar{A} \cdot B} = \overline{\bar{A}} + \overline{B} = A + \overline{B}$.
હવે,$Y = A + \overline{B}$ માટે ટ્રુથ-ટેબલ નીચે મુજબ છે:
| $A$ | $B$ | $\overline{B}$ | $Y = A + \overline{B}$ |
|---|---|---|---|
| $0$ | $0$ | $1$ | $1$ |
| $0$ | $1$ | $0$ | $0$ |
| $1$ | $0$ | $1$ | $1$ |
| $1$ | $1$ | $0$ | $1$ |

(D) કોઈ લોજિક ગેટ ઇનપુટ $(1, 0)$ અને $(0, 1)$ માટે '$1$' આઉટપુટ આપે તે માટે આપણે ટ્રુથ ટેબલ તપાસીએ:
- $NAND$ ગેટ: જો કોઈ પણ ઇનપુટ $0$ હોય તો આઉટપુટ $1$ મળે છે. $(1, 0)$ માટે આઉટપુટ $1$ છે. $(0, 1)$ માટે આઉટપુટ $1$ છે.
- $OR$ ગેટ: જો કોઈ પણ ઇનપુટ $1$ હોય તો આઉટપુટ $1$ મળે છે. $(1, 0)$ માટે આઉટપુટ $1$ છે. $(0, 1)$ માટે આઉટપુટ $1$ છે.
- $AND$ ગેટ: $(1, 0)$ માટે આઉટપુટ $0$ છે. $(0, 1)$ માટે આઉટપુટ $0$ છે.
- $NOR$ ગેટ: $(1, 0)$ માટે આઉટપુટ $0$ છે. $(0, 1)$ માટે આઉટપુટ $0$ છે.
આમ,$NAND$ અને $OR$ ગેટ આ શરતનું પાલન કરે છે.

(C) આપેલ પરિપથમાં બે $NOT$ ગેટ (જે $NAND$ ગેટના ઇનપુટને શોર્ટ કરીને બનાવવામાં આવ્યા છે) અને ત્યારબાદ એક $NAND$ ગેટ છે.
ધારો કે ઇનપુટ $A$ અને $B$ છે.
પ્રથમ $NOT$ ગેટનું આઉટપુટ $\overline{A}$ છે.
બીજા $NOT$ ગેટનું આઉટપુટ $\overline{B}$ છે.
આ અંતિમ $NAND$ ગેટ માટેના ઇનપુટ છે.
તેથી,અંતિમ આઉટપુટ $Y$ નીચે મુજબ મળે છે:
$Y = \overline{\overline{A} \cdot \overline{B}}$
ડી-મોર્ગનના નિયમ $\overline{X \cdot Y} = \overline{X} + \overline{Y}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$Y = \overline{\overline{A}} + \overline{\overline{B}} = A + B$
આ $OR$ ગેટ માટેનું બુલિયન સમીકરણ છે.
$OR$ ગેટ માટેનું સત્યતા કોષ્ટક નીચે મુજબ છે:
| $A$ | $B$ | $Y$ |
|---|---|---|
| $0$ | $0$ | $0$ |
| $0$ | $1$ | $1$ |
| $1$ | $0$ | $1$ |
| $1$ | $1$ | $1$ |
આને આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,વિકલ્પ $C$ આ સત્યતા કોષ્ટક દર્શાવે છે.

(C) $1$. ઇનપુટ $A$ એ $NOT$ ગેટમાંથી પસાર થાય છે,જેના પરિણામે આઉટપુટ $\overline{A}$ મળે છે.
$2$. ઇનપુટ $B$ અને $C$ એ $AND$ ગેટમાંથી પસાર થાય છે,જેના પરિણામે આઉટપુટ $B \cdot C$ મળે છે.
$3$. આ બંને આઉટપુટ,$\overline{A}$ અને $B \cdot C$,ત્યારબાદ $OR$ ગેટમાં ઇનપુટ તરીકે આપવામાં આવે છે.
$4$. $OR$ ગેટ તેના ઇનપુટ્સનો તાર્કિક સરવાળો કરે છે,તેથી અંતિમ આઉટપુટ $Y$ એ $Y = \overline{A} + (B \cdot C)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.

(C) આપેલ સર્કિટમાં એક $OR$ ગેટ છે જેમાં એક ઇનપુટ $A$ છે અને બીજું ઇનપુટ ગેટ $G$ નું આઉટપુટ છે,જેને આપણે $C$ કહીએ. $OR$ ગેટનું આઉટપુટ $Y = A + C$ છે.
ટ્રુથ ટેબલ પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે ઇનપુટ $A$ અને $B$ ના તમામ સંયોજનો માટે $Y$ હંમેશા $1$ રહે છે.
જો $G$ એ $NAND$ ગેટ હોય,તો તેનું આઉટપુટ $C = \overline{A \cdot B}$ થાય.
અંતિમ આઉટપુટ $Y = A + \overline{A \cdot B}$ છે.
ચાલો તમામ ઇનપુટ્સ માટે આ ચકાસીએ:
$1$. જો $A=0, B=0$: $C = \overline{0 \cdot 0} = 1$. તેથી $Y = 0 + 1 = 1$.
$2$. જો $A=0, B=1$: $C = \overline{0 \cdot 1} = 1$. તેથી $Y = 0 + 1 = 1$.
$3$. જો $A=1, B=0$: $C = \overline{1 \cdot 0} = 1$. તેથી $Y = 1 + 1 = 1$.
$4$. જો $A=1, B=1$: $C = \overline{1 \cdot 1} = 0$. તેથી $Y = 1 + 0 = 1$.
આમ,તમામ કિસ્સાઓમાં આઉટપુટ $Y$ એ $1$ હોવાથી,ગેટ $G$ એ $NAND$ ગેટ હોવો જોઈએ.

(B) આ સર્કિટમાં $A$ અને $C$ ઇનપુટ ધરાવતો એક $OR$ ગેટ છે, જ્યાં $C$ એ $A$ અને $B$ ઇનપુટ ધરાવતા ગેટ $G$ નું આઉટપુટ છે। તેથી, આઉટપુટ $Y = A + C = A + (A \text{ gate } B)$ છે.
ચાલો ગેટ $G$ માટે વિકલ્પો તપાસીએ:
$1$. જો $G$ એ $AND$ ગેટ હોય, તો $C = A \cdot B$. આઉટપુટ $Y = A + (A \cdot B)$ થશે.
$(A, B) = (0, 0)$ માટે, $Y = 0 + (0 \cdot 0) = 0$.
$(A, B) = (0, 1)$ માટે, $Y = 0 + (0 \cdot 1) = 0$.
$(A, B) = (1, 0)$ માટે, $Y = 1 + (1 \cdot 0) = 1$.
$(A, B) = (1, 1)$ માટે, $Y = 1 + (1 \cdot 1) = 1$.
આ આપેલ ટ્રુથ ટેબલ સાથે સંપૂર્ણ રીતે મેળ ખાય છે. તેથી, $G$ એ $AND$ ગેટ હોવો જોઈએ.

(D) સર્કિટનું આઉટપુટ $Y = A + C$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $C$ એ $A$ અને $B$ ઇનપુટ ધરાવતા ગેટ $G$ નું આઉટપુટ છે. તેથી, $C = A \text{ (gate } G) B$.
ચાલો ગેટ $G$ માટે વિકલ્પો તપાસીએ:
જો $G$ એ $NOR$ હોય, તો $C = \overline{A+B}$.
આઉટપુટ $Y = A + \overline{A+B}$.
ચાલો આને તમામ ઇનપુટ્સ માટે ચકાસીએ:
$1$. $A=0, B=0$ માટે: $C = \overline{0+0} = 1$. તેથી $Y = 0 + 1 = 1$. (મેળ ખાય છે)
$2$. $A=0, B=1$ માટે: $C = \overline{0+1} = 0$. તેથી $Y = 0 + 0 = 0$. (મેળ ખાય છે)
$3$. $A=1, B=0$ માટે: $C = \overline{1+0} = 0$. તેથી $Y = 1 + 0 = 1$. (મેળ ખાય છે)
$4$. $A=1, B=1$ માટે: $C = \overline{1+1} = 0$. તેથી $Y = 1 + 0 = 1$. (મેળ ખાય છે)
બધી કિંમતો આપેલ ટ્રુથ-ટેબલ સાથે મેળ ખાતી હોવાથી, ગેટ $G$ એ $NOR$ છે.

(C) ધારો કે $OR$ ગેટના ઇનપુટ્સ $A$ અને $B$ છે. $OR$ ગેટનું આઉટપુટ $Y_1 = A + B$ છે.
આ આઉટપુટ $Y_1$ ને $NAND$ ગેટના બંને ઇનપુટ્સ સાથે જોડવામાં આવે છે. ધારો કે $NAND$ ગેટના ઇનપુટ્સ $X_1 = Y_1$ અને $X_2 = Y_1$ છે.
$NAND$ ગેટનું આઉટપુટ $Y = \overline{X_1 \cdot X_2} = \overline{Y_1 \cdot Y_1} = \overline{Y_1}$ છે.
કારણ કે $Y_1 = A + B$,તેથી અંતિમ આઉટપુટ $Y = \overline{A + B}$ મળે છે.
આ $NOR$ ગેટ માટેનું બુલિયન સમીકરણ છે.

ઇનપુટ $(A, B)$	$OR$ ગેટનું આઉટપુટ $(Y_1 = A+B)$	અંતિમ આઉટપુટ $(Y = \overline{Y_1})$
$0, 0$	$0$	$1$
$0, 1$	$1$	$0$
$1, 0$	$1$	$0$
$1, 1$	$1$	$0$

આ સત્યાર્થતા કોષ્ટક (Truth table) $NOR$ ગેટ સાથે મેળ ખાય છે.