Boolean Algebra and Logic Gates Questions in Gujarati

(D) યુનિવર્સલ ગેટ એ એક એવો લોજિક ગેટ છે જેનો ઉપયોગ અન્ય કોઈપણ પ્રકારના ગેટની જરૂર વગર કોઈપણ અન્ય લોજિક ગેટ અથવા બુલિયન ફંક્શનને અમલમાં મૂકવા માટે થઈ શકે છે.
$NAND$ અને $NOR$ ગેટને યુનિવર્સલ ગેટ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.
અહીં વિકલ્પોમાં $NAND$ ગેટ આપેલ હોવાથી,તે સાચો જવાબ છે.

(A) આપેલ ઇનપુટ $A = 0$ અને $B = 1$ છે.
$1$. ઇનપુટ $A=0$ એ $NOR$ ગેટ અને $NOT$ ગેટમાં જાય છે. આ $NOT$ ગેટનું આઉટપુટ $1$ મળે છે.
$2$. ઇનપુટ $B=1$ એ $NOT$ ગેટમાં જાય છે,તેથી તેનું આઉટપુટ $0$ મળે છે. આ $0$ ને $NAND$ ગેટમાં અને બીજા એક $NOT$ ગેટમાં આપવામાં આવે છે,જેનું આઉટપુટ $1$ મળે છે.
$3$. $NOR$ ગેટને $A=0$ અને બીજા $NOT$ ગેટનું આઉટપુટ $(1)$ મળે છે. તેથી,$NOR$ ગેટનું આઉટપુટ $\overline{0+1} = \overline{1} = 0$ થાય છે.
$4$. $NAND$ ગેટને પ્રથમ $NOT$ ગેટનું આઉટપુટ $(1)$ અને $B$ સાથે જોડાયેલ $NOT$ ગેટનું આઉટપુટ $(0)$ મળે છે. તેથી,$NAND$ ગેટનું આઉટપુટ $\overline{1 \cdot 0} = \overline{0} = 1$ થાય છે.
$5$. અંતે,$AND$ ગેટને $NOR$ ગેટનું આઉટપુટ $(0)$ અને $NAND$ ગેટનું આઉટપુટ $(1)$ મળે છે. તેથી,આઉટપુટ $Y = 0 \cdot 1 = 0$ થાય છે.
આમ,$x = 0$ છે.

(B) $1$. પ્રથમ બે ગેટ $NOT$ ગેટ છે (કારણ કે ઇનપુટ $A$ અને $B$ ને $NOR$ ગેટના બંને ટર્મિનલ સાથે જોડવામાં આવ્યા છે). તેથી,આઉટપુટ $\bar{A}$ અને $\bar{B}$ મળે છે.
$2$. આ આઉટપુટને $NOR$ ગેટમાં આપવામાં આવે છે. આ ગેટનું આઉટપુટ $\overline{\bar{A} + \bar{B}}$ છે.
$3$. ડી મોર્ગનના પ્રમેય મુજબ,$\overline{\bar{A} + \bar{B}} = \overline{\bar{A}} \cdot \overline{\bar{B}} = A \cdot B$.
$4$. આ પરિણામ $(A \cdot B)$ ને અંતિમ $NOT$ ગેટમાં (શોર્ટ કરેલા ઇનપુટવાળા $NOR$ ગેટ) આપવામાં આવે છે. અંતિમ આઉટપુટ $Y = \overline{A \cdot B}$ મળે છે.
$5$. અભિવ્યક્તિ $\overline{A \cdot B}$ એ $NAND$ ગેટ દર્શાવે છે.

(A) ધારો કે ઇનપુટ $A$ અને $B$ છે. પ્રથમ બે $NAND$ ગેટ $NOT$ ગેટ તરીકે કાર્ય કરે છે કારણ કે તેમના ઇનપુટ શોર્ટ કરેલા છે. તેથી,આ ગેટના આઉટપુટ અનુક્રમે $\bar{A}$ અને $\bar{B}$ છે.
આને ત્રીજા $NAND$ ગેટમાં આપવામાં આવે છે,જે આઉટપુટ $Y' = \overline{\bar{A} \cdot \bar{B}} = A + B$ આપે છે (ડી મોર્ગનના નિયમ મુજબ).
આ આઉટપુટ $Y'$ ને પછી છેલ્લા $NAND$ ગેટમાં આપવામાં આવે છે જે $NOT$ ગેટ તરીકે કાર્ય કરે છે,જેના પરિણામે અંતિમ આઉટપુટ $Y = \overline{Y'} = \overline{A + B}$ મળે છે.
બુલિયન સમીકરણ $Y = \overline{A + B}$ એ $NOR$ ગેટને અનુરૂપ છે.
સત્યતા કોષ્ટક:

$A$	$B$	$Y$
$0$	$0$	$1$
$0$	$1$	$0$
$1$	$0$	$0$
$1$	$1$	$0$

(D) ધારો કે ઇનપુટ $A$ અને $B$ છે.
$1$. ઉપરની શાખામાં એક $AND$ ગેટ અને ત્યારબાદ એક $NOT$ ગેટ છે,જે $NAND$ ગેટ બનાવે છે. તેનું આઉટપુટ $\overline{A \cdot B}$ છે.
$2$. નીચેની શાખામાં એક $OR$ ગેટ છે. તેનું આઉટપુટ $(A + B)$ છે.
$3$. આ બંને આઉટપુટને અંતિમ $AND$ ગેટમાં આપવામાં આવે છે.
$4$. અંતિમ આઉટપુટ $Y = \overline{A \cdot B} \cdot (A + B)$ છે.
$5$. બુલિયન બીજગણિતનો ઉપયોગ કરતા: $Y = (\overline{A} + \overline{B}) \cdot (A + B) = \overline{A}A + \overline{A}B + \overline{B}A + \overline{B}B$.
$6$. કારણ કે $\overline{A}A = 0$ અને $\overline{B}B = 0$,આપણને $Y = \overline{A}B + A\overline{B}$ મળે છે.
$7$. આ $XOR$ ગેટ માટેનું બુલિયન સમીકરણ છે.

(B) આપેલ સર્કિટમાં એક $OR$ ગેટ છે જેમાં ઇનપુટ $B$ ને $NOT$ ગેટ દ્વારા પસાર કરવામાં આવે છે,અને $OR$ ગેટના આઉટપુટને બીજા $NOT$ ગેટ દ્વારા પસાર કરવામાં આવે છે.
ધારો કે ઇનપુટ $A$ અને $B$ છે. $OR$ ગેટ માટેનું ઇનપુટ $A$ અને $\bar{B}$ બને છે.
$OR$ ગેટનું આઉટપુટ $Y' = A + \bar{B}$ છે.
અંતિમ આઉટપુટ $C$ એ $Y'$ નું ઇન્વર્ઝન છે,તેથી $C = \overline{A + \bar{B}}$.
ડી મોર્ગનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$C = \bar{A} \cdot \overline{\bar{B}} = \bar{A} \cdot B$.
આ સમીકરણ $\bar{A} \cdot B$ એ ઇનપુટ $A$ ના ઇન્વર્ઝન સાથેના $AND$ ગેટને દર્શાવે છે.

(B) આપેલ સર્કિટમાં બે $AND$ ગેટ,એક $OR$ ગેટ અને એક $NOT$ ગેટ (આઉટપુટ પર $NOR$ ગેટ બનાવે છે) છે. પ્રથમ $AND$ ગેટના ઇનપુટ $A$ અને $\bar{B}$ છે. બીજા $AND$ ગેટના ઇનપુટ $\bar{A}$ અને $B$ છે.
$OR$ ગેટનું આઉટપુટ $(A \cdot \bar{B} + \bar{A} \cdot B)$ છે.
અંતિમ આઉટપુટ $Y$ આનું ઇન્વર્ઝન છે,તેથી $Y = \overline{(A \cdot \bar{B} + \bar{A} \cdot B)}$.
ડી મોર્ગનના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$Y = \overline{(A \cdot \bar{B})} \cdot \overline{(\bar{A} \cdot B)} = (\bar{A} + B) \cdot (A + \bar{B})$.
આનું વિસ્તરણ કરતા,$Y = \bar{A} \cdot A + \bar{A} \cdot \bar{B} + B \cdot A + B \cdot \bar{B} = 0 + \bar{A} \cdot \bar{B} + A \cdot B + 0 = A \cdot B + \bar{A} \cdot \bar{B}$.
આ $XNOR$ ગેટ માટેનું બુલિયન સમીકરણ છે.

$A$	$B$	$Y$
$0$	$0$	$1$
$0$	$1$	$0$
$1$	$0$	$0$
$1$	$1$	$1$

(D) આપેલ સર્કિટમાં એક $NAND$ ગેટ,એક $OR$ ગેટ અને એક $NOT$ ગેટ છે. ધારો કે ઇનપુટ $A$ અને $B$ છે. $NAND$ ગેટનું આઉટપુટ $\overline{A \cdot A} = \overline{A}$ છે.
આ આઉટપુટ $\overline{A}$ અને ઇનપુટ $B$ ને $OR$ ગેટમાં આપવામાં આવે છે,જે મધ્યવર્તી આઉટપુટ $Z = \overline{A} + B$ આપે છે.
અંતે,આને $NOT$ ગેટમાંથી પસાર કરવામાં આવે છે જેથી અંતિમ આઉટપુટ $Y = \overline{Z} = \overline{\overline{A} + B}$ મળે.
ડી મોર્ગનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\overline{\overline{A} + B} = \overline{\overline{A}} \cdot \overline{B} = A \cdot \overline{B}$.
હવે,$Y = A \cdot \overline{B}$ માટે ટ્રુથ ટેબલનું વિશ્લેષણ કરીએ:
- $t = 0$ થી $1$ s માટે: $A=1, B=0 \implies Y = 1 \cdot \overline{0} = 1 \cdot 1 = 1$.
- $t = 1$ થી $2$ s માટે: $A=1, B=1 \implies Y = 1 \cdot \overline{1} = 1 \cdot 0 = 0$.
- $t = 2$ થી $3$ s માટે: $A=0, B=0 \implies Y = 0 \cdot \overline{0} = 0 \cdot 1 = 0$.
- $t = 3$ થી $4$ s માટે: $A=1, B=1 \implies Y = 1 \cdot \overline{1} = 1 \cdot 0 = 0$.
- $t = 4$ થી $5$ s માટે: $A=1, B=0 \implies Y = 1 \cdot \overline{0} = 1 \cdot 1 = 1$.
આમ,આઉટપુટ $Y$ એ $t = 0$ થી $1$ s અને $t = 4$ થી $5$ s દરમિયાન હાઈ $(1)$ છે,અને બાકીના સમયમાં લો $(0)$ છે. આ વિકલ્પ $D$ માં દર્શાવેલ સિગ્નલ સાથે મેળ ખાય છે.

(C) આપેલ સર્કિટમાં બે $NAND$ ગેટ છે જેના ઇનપુટ્સ એકસાથે જોડાયેલા છે,જે $NOT$ ગેટ તરીકે કાર્ય કરે છે,ત્યારબાદ એક $AND$ ગેટ છે.
ધારો કે ઇનપુટ્સ $A$ અને $B$ છે.
બે $NOT$ ગેટના આઉટપુટ $X = \overline{A}$ અને $Y = \overline{B}$ છે.
અંતિમ આઉટપુટ $Z$ એ $X$ અને $Y$ નું $AND$ ઓપરેશન છે:
$Z = X \cdot Y = \overline{A} \cdot \overline{B}$.
ડી મોર્ગનના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$\overline{A} \cdot \overline{B} = \overline{A + B}$.
આ $NOR$ ગેટ માટેનું બુલિયન સમીકરણ છે.
સત્યતા કોષ્ટક:

$A, B$	$X, Y$	$Z$
$0, 0$	$1, 1$	$1$
$0, 1$	$1, 0$	$0$
$1, 0$	$0, 1$	$0$
$1, 1$	$0, 0$	$0$

(B) ધારો કે પ્રથમ $NOR$ ગેટનું આઉટપુટ $C = \overline{A+B}$ છે.
આ સિગ્નલ $C$ ને અનુક્રમે ઇનપુટ $A$ અને $B$ સાથે પછીના બે $NOR$ ગેટમાં આપવામાં આવે છે.
આ બે ગેટના આઉટપુટ $D = \overline{A+C} = \overline{A+\overline{A+B}}$ અને $E = \overline{B+C} = \overline{B+\overline{A+B}}$ છે.
ડી મોર્ગનના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$D = \overline{A} \cdot (A+B) = \overline{A}A + \overline{A}B = 0 + \overline{A}B = \overline{A}B$.
તે જ રીતે,$E = \overline{B} \cdot (A+B) = \overline{B}A + \overline{B}B = A\overline{B} + 0 = A\overline{B}$.
અંતિમ આઉટપુટ $Y$ એ $D$ અને $E$ નો $NOR$ છે: $Y = \overline{D+E} = \overline{\overline{A}B + A\overline{B}}$.
આ $XOR$ ગેટ માટેનું સમીકરણ છે,જે $A \oplus B$ છે.
$A \oplus B$ માટેનું સત્યતા કોષ્ટક નીચે મુજબ છે:

$A, B$	$Y$
$0, 0$	$0$
$0, 1$	$1$
$1, 0$	$1$
$1, 1$	$0$

(A) આપેલ સર્કિટમાં એક $AND$ ગેટ,એક $OR$ ગેટ અને એક $NAND$ ગેટનો સમાવેશ થાય છે.
$AND$ ગેટના ઇનપુટ $A$ અને $B$ છે,તેથી તેનું આઉટપુટ $A \cdot B$ છે.
$OR$ ગેટના ઇનપુટ $A$ અને $B$ છે,તેથી તેનું આઉટપુટ $A + B$ છે.
આ બંને આઉટપુટ $NAND$ ગેટમાં જાય છે,તેથી અંતિમ આઉટપુટ $Y$ નીચે મુજબ મળે:
$Y = \overline{(A \cdot B) \cdot (A + B)}$
હવે,દરેક ઇનપુટ ક્રમ $(A, B)$ માટે $Y$ ની ગણતરી કરીએ:
$1$. $(0,0)$ માટે: $Y = \overline{(0 \cdot 0) \cdot (0 + 0)} = \overline{0 \cdot 0} = \overline{0} = 1$
$2$. $(0,1)$ માટે: $Y = \overline{(0 \cdot 1) \cdot (0 + 1)} = \overline{0 \cdot 1} = \overline{0} = 1$
$3$. $(1,0)$ માટે: $Y = \overline{(1 \cdot 0) \cdot (1 + 0)} = \overline{0 \cdot 1} = \overline{0} = 1$
$4$. $(1,1)$ માટે: $Y = \overline{(1 \cdot 1) \cdot (1 + 1)} = \overline{1 \cdot 1} = \overline{1} = 0$
આમ,આઉટપુટ $Y$ નો ક્રમ $1, 1, 1, 0$ છે.

(B) પરિપથ $(A)$ માટે:
${V}_{A} = 5\, V \Rightarrow A = 1$,${V}_{A} = 0\, V \Rightarrow A = 0$
${V}_{B} = 5\, V \Rightarrow B = 1$,${V}_{B} = 0\, V \Rightarrow B = 0$
જો $A = B = 0$ હોય,તો બંને ડાયોડ રિવર્સ બાયસમાં હોય છે,તેથી ${V}_{0} = 0\, V$.
જો $A = 1, B = 0$ હોય,તો ડાયોડ ${D}_{1}$ ફોરવર્ડ બાયસમાં હોય છે,તેથી ${V}_{0} = 5\, V$.
જો $A = 0, B = 1$ હોય,તો ડાયોડ ${D}_{2}$ ફોરવર્ડ બાયસમાં હોય છે,તેથી ${V}_{0} = 5\, V$.
જો $A = 1, B = 1$ હોય,તો બંને ડાયોડ ફોરવર્ડ બાયસમાં હોય છે,તેથી ${V}_{0} = 5\, V$.
આ ટ્રુથ ટેબલ $OR$ ગેટને અનુરૂપ છે.
પરિપથ $(B)$ માટે:
આ કોમન-એમિટર $npn$ ટ્રાન્ઝિસ્ટર ગોઠવણી છે.
જ્યારે ઇનપુટ વોલ્ટેજ $0\, V$ $(A = 0)$ હોય,ત્યારે બેઝ-એમિટર જંકશન ફોરવર્ડ બાયસમાં હોતું નથી,ટ્રાન્ઝિસ્ટર કટ-ઓફમાં હોય છે અને ${V}_{0} = 5\, V$ (લોજિક $1$) મળે છે.
જ્યારે ઇનપુટ વોલ્ટેજ $5\, V$ $(A = 1)$ હોય,ત્યારે બેઝ-એમિટર જંકશન ફોરવર્ડ બાયસમાં હોય છે,ટ્રાન્ઝિસ્ટર સેચ્યુરેશનમાં જાય છે અને ${V}_{0} \approx 0\, V$ (લોજિક $0$) મળે છે.
આ ઇન્વર્ઝન વર્તણૂક $NOT$ ગેટને અનુરૂપ છે.
તેથી,આ ગેટ $OR$ અને $NOT$ છે.

(D) આ સર્કિટમાં એક $AND$ ગેટ અને એક $NAND$ ગેટ છે,જેના આઉટપુટને $OR$ ગેટમાં આપવામાં આવે છે. ધારો કે ઇનપુટ $A, B, C$ છે. $AND$ ગેટનું આઉટપુટ $A \cdot B$ છે. $NAND$ ગેટનું આઉટપુટ $\overline{B \cdot C}$ છે. $OR$ ગેટનું અંતિમ આઉટપુટ $Y = (A \cdot B) + \overline{(B \cdot C)}$ છે.
દરેક અંતરાલ માટે ટ્રુથ ટેબલનું વિશ્લેષણ:
- અંતરાલ $0-t_1$: $A=0, B=0, C=1$. $Y = (0 \cdot 0) + \overline{(0 \cdot 1)} = 0 + 1 = 1$.
- અંતરાલ $t_1-t_2$: $A=1, B=0, C=1$. $Y = (1 \cdot 0) + \overline{(0 \cdot 1)} = 0 + 1 = 1$.
- અંતરાલ $t_2-t_3$: $A=0, B=1, C=0$. $Y = (0 \cdot 1) + \overline{(1 \cdot 0)} = 0 + 1 = 1$.
- અંતરાલ $t_3-t_4$: $A=1, B=1, C=0$. $Y = (1 \cdot 1) + \overline{(1 \cdot 0)} = 1 + 1 = 1$.
- અંતરાલ $t_4-t_5$: $A=0, B=0, C=1$. $Y = (0 \cdot 0) + \overline{(0 \cdot 1)} = 0 + 1 = 1$.
- અંતરાલ $t_5-t_6$: $A=1, B=0, C=1$. $Y = (1 \cdot 0) + \overline{(0 \cdot 1)} = 0 + 1 = 1$.
આમ,આઉટપુટ દરેક અંતરાલ માટે $1$ $(5 \text{ V})$ હોવાથી,સાચો જવાબ સતત $5 \text{ V}$ સિગ્નલ છે.

(D) આપેલ સર્કિટમાં બે $NAND$ ગેટ છે જે $NOT$ ગેટ તરીકે કાર્ય કરે છે (કારણ કે તેમના ઇનપુટ્સ શોર્ટ કરેલા છે) અને ત્યારબાદ એક $NOR$ ગેટ છે.
ધારો કે ઇનપુટ્સ $A$ અને $B$ છે.
પ્રથમ $NAND$ ગેટનું આઉટપુટ (જે $NOT$ તરીકે કાર્ય કરે છે) $\bar{A}$ છે.
બીજા $NAND$ ગેટનું આઉટપુટ (જે $NOT$ તરીકે કાર્ય કરે છે) $\bar{B}$ છે.
આ બંને આઉટપુટ $NOR$ ગેટમાં આપવામાં આવે છે.
$NOR$ ગેટનું આઉટપુટ $Y$,$Y = \overline{\bar{A} + \bar{B}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ડી મોર્ગનના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$\overline{\bar{A} + \bar{B}} = \overline{\bar{A}} \cdot \overline{\bar{B}} = A \cdot B$.
આમ,આ સર્કિટ $AND$ ઓપરેશન કરે છે.

(B) આપેલ સર્કિટમાં એક $AND$ ગેટ,એક $NOT$ ગેટ અને એક $OR$ ગેટનો સમાવેશ થાય છે.
$AND$ ગેટના ઇનપુટ $A$ અને $B$ છે,તેથી તેનું આઉટપુટ $A \cdot B$ છે.
$NOT$ ગેટનું ઇનપુટ $B$ છે,તેથી તેનું આઉટપુટ $\bar{B}$ છે.
આ બંને આઉટપુટ $OR$ ગેટમાં જાય છે,તેથી અંતિમ આઉટપુટ $Y = A \cdot B + \bar{B}$ છે.
બુલિયન બીજગણિતનો ઉપયોગ કરતા,$Y = A \cdot B + \bar{B} = (A + \bar{B}) \cdot (B + \bar{B}) = (A + \bar{B}) \cdot 1 = A + \bar{B}$.
હવે,આપણે ટ્રુથ ટેબલ બનાવીએ:

$A$	$B$	$A \cdot B$	$\bar{B}$	$Y = A \cdot B + \bar{B}$
$0$	$0$	$0$	$1$	$1$
$0$	$1$	$0$	$0$	$0$
$1$	$0$	$0$	$1$	$1$
$1$	$1$	$1$	$0$	$1$

(B) આ સર્કિટમાં બે $NAND$ ગેટ છે જેના આઉટપુટ એક $AND$ ગેટમાં જાય છે. ધારો કે ઇનપુટ $A$ અને $B$ છે. ઉપરનો $NAND$ ગેટ $A$ અને $B$ ઇનપુટ મેળવે છે,તેથી તેનું આઉટપુટ $\overline{A \cdot B}$ છે. નીચેનો $NAND$ ગેટ $\bar{A}$ ($NOT$ ગેટમાંથી) અને $B$ ઇનપુટ મેળવે છે,તેથી તેનું આઉટપુટ $\overline{\bar{A} \cdot B}$ છે. અંતિમ આઉટપુટ $C$ એ આ બે આઉટપુટનો $AND$ ઓપરેશન છે: $C = (\overline{A \cdot B}) \cdot (\overline{\bar{A} \cdot B})$.
ડી મોર્ગનના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$\overline{A \cdot B} = \bar{A} + \bar{B}$ અને $\overline{\bar{A} \cdot B} = A + \bar{B}$.
તેથી,$C = (\bar{A} + \bar{B}) \cdot (A + \bar{B})$.
વિતરણના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$C = \bar{A}A + \bar{A}\bar{B} + \bar{B}A + \bar{B}\bar{B}$.
કારણ કે $\bar{A}A = 0$ અને $\bar{B}\bar{B} = \bar{B}$,આપણને મળે છે $C = 0 + \bar{B}(\bar{A} + A) + \bar{B} = \bar{B}(1) + \bar{B} = \bar{B} + \bar{B} = \bar{B}$.
તેથી,આઉટપુટ $C$ એ $B$ નું $NOT$ $(\bar{B})$ છે.
| $A$ | $B$ | $C$ |
|---|---|---|
| $0$ | $0$ | $1$ |
| $0$ | $1$ | $0$ |
| $1$ | $0$ | $1$ |
| $1$ | $1$ | $0$ |

(A) આ પરિપથમાં બે $NOR$ ગેટ છે જેના ઇનપુટ શોર્ટ કરેલા છે,ત્યારબાદ એક $NOR$ ગેટ છે.
$1$. પ્રથમ બે ગેટ $NOR$ ગેટ છે જેના ઇનપુટ અનુક્રમે $A$ અને $A$,તથા $B$ અને $B$ છે. તેમના આઉટપુટ $\overline{A+A} = \overline{A}$ અને $\overline{B+B} = \overline{B}$ મળે છે.
$2$. આ આઉટપુટને અંતિમ $NOR$ ગેટમાં આપવામાં આવે છે.
$3$. આઉટપુટ $Y$ એ $Y = \overline{\overline{A} + \overline{B}}$ દ્વારા મળે છે.
$4$. ડી મોર્ગનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\overline{\overline{A} + \overline{B}} = \overline{\overline{A}} \cdot \overline{\overline{B}} = A \cdot B$.
$5$. સમીકરણ $Y = A \cdot B$ એ $AND$ ગેટ દર્શાવે છે.

(A) લોજિક ગેટને ઓળખવા માટે,આપણે આપેલા ટાઇમિંગ ડાયાગ્રામ પરથી ટ્રુથ ટેબલનું વિશ્લેષણ કરીએ છીએ:

$A$	$B$	$Y$
$0$	$0$	$0$
$0$	$1$	$1$
$1$	$0$	$1$
$1$	$1$	$1$

ટ્રુથ ટેબલ પરથી,આપણે અવલોકન કરીએ છીએ કે જો $A$ અથવા $B$ (અથવા બંને) માંથી કોઈ પણ $1$ હોય,તો આઉટપુટ $Y$ એ $1$ મળે છે. આ $OR$ ગેટનું લાક્ષણિક વર્તન છે. $OR$ ગેટ માટેનું સમીકરણ $Y = A + B$ છે.

(C) આ પરિપથમાં બે ડાયોડ $D_1$ અને $D_2$ છે જે ઇનપુટ $A$ અને $B$ સાથે જોડાયેલા છે,ત્યારબાદ એક $npn$ ટ્રાન્ઝિસ્ટર છે.
જો બંને ઇનપુટ $A$ અને $B$ લો પોટેન્શિયલ $(0)$ પર હોય,તો ડાયોડ ફોરવર્ડ બાયસમાં હોય છે અને બિંદુ $X$ પરનું પોટેન્શિયલ લો હોય છે. ટ્રાન્ઝિસ્ટર કટ-ઓફ સ્થિતિમાં રહે છે,તેથી આઉટપુટ $Y$ હાઈ પોટેન્શિયલ $(1)$ પર હોય છે.
જો $A$ અથવા $B$ માંથી કોઈ એક હાઈ પોટેન્શિયલ $(1)$ પર હોય,તો સંબંધિત ડાયોડ રિવર્સ બાયસમાં હોય છે,પરંતુ અન્ય ડાયોડ અથવા અવરોધનો માર્ગ $X$ પરના પોટેન્શિયલને એટલું લો રાખે છે કે ટ્રાન્ઝિસ્ટર બંધ રહે છે,પરિણામે $Y = 1$ મળે છે.
જો બંને $A$ અને $B$ હાઈ પોટેન્શિયલ $(1)$ પર હોય,તો $X$ પરનું પોટેન્શિયલ એટલું વધી જાય છે કે ટ્રાન્ઝિસ્ટર $ON$ થઈ જાય છે. જ્યારે ટ્રાન્ઝિસ્ટર $ON$ હોય,ત્યારે કલેક્ટર-એમિટર માર્ગ ગ્રાઉન્ડ સાથે શોર્ટ સર્કિટ તરીકે કામ કરે છે,જે આઉટપુટ $Y$ ને લો પોટેન્શિયલ $(0)$ પર ખેંચે છે.
આ વર્તણૂક $NAND$ ગેટ લોજિકને અનુરૂપ છે,જ્યાં $Y = \overline{AB}$.

(A) આપેલ પરિપથમાં,જો ઇનપુટ $A$ અથવા $B$ માંથી કોઈ પણ $0 \, V$ (તાર્કિક $0$) પર હોય,તો સંબંધિત ડાયોડ ($D_1$ અથવા $D_2$) ફોરવર્ડ બાયસ થાય છે. આ આઉટપુટ સ્થિતિમાન $Y$ ને લગભગ $0 \, V$ (તાર્કિક $0$) પર ખેંચે છે.
જો બંને ઇનપુટ $A$ અને $B$ $5 \, V$ (તાર્કિક $1$) પર હોય,તો બંને ડાયોડ રિવર્સ બાયસ થાય છે. ડાયોડમાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી,અને આઉટપુટ $Y$ અવરોધ $R$ દ્વારા $5 \, V$ (તાર્કિક $1$) પર ખેંચાય છે.
આ વર્તણૂક $AND$ ગેટને અનુરૂપ છે,જ્યાં આઉટપુટ $1$ ત્યારે જ મળે છે જો બંને ઇનપુટ $1$ હોય. સત્યતા કોષ્ટક નીચે મુજબ છે:

$A$	$B$	$Y$
$0$	$0$	$0$
$0$	$1$	$0$
$1$	$0$	$0$
$1$	$1$	$1$

(A) આપેલ વોલ્ટેજ વેવફોર્મનું વિશ્લેષણ કરીને,આપણે ઇનપુટ $A, B$ અને આઉટપુટ $Y$ માટે ટ્રુથ ટેબલ બનાવી શકીએ છીએ:

$A$	$B$	$Y$
$0$	$0$	$0$
$0$	$1$	$0$
$1$	$0$	$0$
$1$	$1$	$1$

આ ટ્રુથ ટેબલની સરખામણી પ્રમાણભૂત લોજિક ગેટ સાથે કરતા:
- $AND$ ગેટ માટે,આઉટપુટ ત્યારે જ $1$ હોય છે જ્યારે બંને ઇનપુટ $1$ હોય.
- અવલોકન કરેલ ટ્રુથ ટેબલ $AND$ ગેટના વર્તન સાથે બરાબર મેળ ખાય છે.
તેથી,લોજિક ગેટ $AND$ ગેટ છે.

(D) બુલિયન બીજગણિતના વિભાજનના નિયમનો ઉપયોગ કરીને,પદાવલિને નીચે મુજબ સરળ બનાવી શકાય છે:
$P + \overline{P}Q = (P + \overline{P}) \cdot (P + Q)$
કારણ કે $(P + \overline{P}) = 1$,તેથી પદાવલિ નીચે મુજબ બને છે:
$1 \cdot (P + Q) = P + Q$
પદાવલિ $P + Q$ એ $OR$ ગેટનું આઉટપુટ દર્શાવે છે.
વૈકલ્પિક રીતે,આપણે સત્યતા કોષ્ટક બનાવી શકીએ છીએ:

$P$	$Q$	$\overline{P}$	$\overline{P}Q$	$P + \overline{P}Q$
$0$	$0$	$1$	$0$	$0$
$1$	$0$	$0$	$0$	$1$
$0$	$1$	$1$	$1$	$1$
$1$	$1$	$0$	$0$	$1$

$P + \overline{P}Q$ માટેની આઉટપુટ કોલમ $OR$ ગેટના સત્યતા કોષ્ટક સાથે મેળ ખાય છે. તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) $1$. આ પરિપથ એક $OR$ ગેટ,એક $NOT$ ગેટ અને એક $AND$ ગેટનો બનેલો છે.
$2$. $OR$ ગેટના ઇનપુટ $A$ અને $B$ છે,તેથી તેનું આઉટપુટ $Y' = A + B$ થાય.
$3$. ઇનપુટ $B$ ને $NOT$ ગેટમાંથી પસાર કરવામાં આવે છે,તેથી તેનું આઉટપુટ $\overline{B}$ થાય.
$4$. $AND$ ગેટ $Y'$ અને $\overline{B}$ ને ઇનપુટ તરીકે લે છે.
$5$. તેથી,અંતિમ આઉટપુટ $D = Y' \cdot \overline{B} = (A + B) \cdot \overline{B}$ થાય.

(B) આપેલ સર્કિટમાં,સ્વીચો $A_1$ અને $B_1$ સમાંતર રીતે જોડાયેલ છે. આઉટપુટ $Y$ ગ્રાઉન્ડ સાથે જોડાયેલ અવરોધ પર લેવામાં આવે છે.
જ્યારે બંને સ્વીચો $A_1$ અને $B_1$ ખુલ્લી હોય (લોજિક $0$),ત્યારે આઉટપુટ $Y$ એ $+5 \text{V}$ (લોજિક $1$) સાથે જોડાયેલ હોય છે.
જ્યારે $A_1$ અથવા $B_1$ માંથી કોઈ એક બંધ હોય (લોજિક $1$),ત્યારે આઉટપુટ $Y$ એ $+5 \text{V}$ (લોજિક $1$) પર જ રહે છે.
જ્યારે બંને સ્વીચો $A_1$ અને $B_1$ બંધ હોય (લોજિક $1$),ત્યારે સર્કિટ ગ્રાઉન્ડ સાથે શોર્ટ થાય છે અને આઉટપુટ $Y$ એ $0 \text{V}$ (લોજિક $0$) બની જાય છે.
સત્યતા કોષ્ટક નીચે મુજબ છે:
| $A_1$ | $B_1$ | $Y$ |
|---|---|---|
| $0$ | $0$ | $1$ |
| $0$ | $1$ | $1$ |
| $1$ | $0$ | $1$ |
| $1$ | $1$ | $0$ |
આ સત્યતા કોષ્ટક $NAND$ ગેટને અનુરૂપ છે,જ્યાં $Y = \overline{A_1 \cdot B_1}$.

(C) આપેલ સર્કિટમાં બે $NOT$ ગેટ,બે $AND$ ગેટ અને એક $OR$ ગેટનો સમાવેશ થાય છે. ધારો કે ઇનપુટ $A$ અને $B$ છે.
$1$. ઉપરના $AND$ ગેટને $\bar{A}$ અને $B$ ઇનપુટ મળે છે. તેનું આઉટપુટ $Y_1 = \bar{A} \cdot B$ છે.
$2$. નીચેના $AND$ ગેટને $A$ અને $\bar{B}$ ઇનપુટ મળે છે. તેનું આઉટપુટ $Y_2 = A \cdot \bar{B}$ છે.
$3$. અંતિમ $OR$ ગેટ આ આઉટપુટને જોડે છે: $X = Y_1 + Y_2 = \bar{A}B + A\bar{B}$.
આ $XOR$ ગેટ માટેનું બુલિયન સમીકરણ છે.
$XOR$ ગેટ માટેનું ટ્રુથ ટેબલ નીચે મુજબ છે:
- જો $A=0, B=0$ હોય,તો $X = 0 \cdot 0 + 0 \cdot 1 = 0$.
- જો $A=0, B=1$ હોય,તો $X = 1 \cdot 1 + 0 \cdot 0 = 1$.
- જો $A=1, B=0$ હોય,તો $X = 0 \cdot 0 + 1 \cdot 1 = 1$.
- જો $A=1, B=1$ હોય,તો $X = 0 \cdot 1 + 1 \cdot 0 = 0$.
આમ,સાચું ટ્રુથ ટેબલ તે છે જેમાં $X=1$ ત્યારે જ હોય જ્યારે $A$ અને $B$ અલગ હોય,જે વિકલ્પ $C$ ને અનુરૂપ છે.

(D) આ સર્કિટમાં બે $NAND$ ગેટ્સ $NOT$ ગેટ તરીકે (કારણ કે બંને ઇનપુટ્સ એકસાથે જોડાયેલા છે) અને ત્યારબાદ એક $NAND$ ગેટનો સમાવેશ થાય છે.
$1$. $A$ અને $A$ ઇનપુટ્સ ધરાવતો પ્રથમ $NAND$ ગેટ $Y_1 = \overline{A \cdot A} = \overline{A}$ આઉટપુટ આપે છે.
$2$. $B$ અને $B$ ઇનપુટ્સ ધરાવતો બીજો $NAND$ ગેટ $Y_2 = \overline{B \cdot B} = \overline{B}$ આઉટપુટ આપે છે.
$3$. અંતિમ $NAND$ ગેટ $Y_1$ અને $Y_2$ ને ઇનપુટ તરીકે લે છે,તેથી અંતિમ આઉટપુટ $Y = \overline{Y_1 \cdot Y_2} = \overline{\overline{A} \cdot \overline{B}}$ થાય છે.
$4$. ડી મોર્ગનના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$\overline{\overline{A} \cdot \overline{B}} = \overline{\overline{A}} + \overline{\overline{B}} = A + B$ મળે છે.
$5$. આમ,આ સર્કિટ $OR$ ગેટ તરીકે કાર્ય કરે છે.
$6$. ઇનપુટ વેવફોર્મનું વિશ્લેષણ કરતા:
- $t < t_1$ માટે: $A=0, B=0 \implies Y = 0+0 = 0$.
- $t_1 < t < t_2$ માટે: $A=1, B=0 \implies Y = 1+0 = 1$.
- $t_2 < t < t_3$ માટે: $A=1, B=1 \implies Y = 1+1 = 1$.
- $t_3 < t < t_4$ માટે: $A=0, B=1 \implies Y = 0+1 = 1$.
- $t_4 < t < t_5$ માટે: $A=0, B=0 \implies Y = 0+0 = 0$.
- $t_5 < t < t_6$ માટે: $A=1, B=0 \implies Y = 1+0 = 1$.
- $t > t_6$ માટે: $A=0, B=0 \implies Y = 0+0 = 0$.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,વેવફોર્મ વિકલ્પ $D$ સાથે મેળ ખાય છે.

(D) આપેલ પરિપથ ચાર $NAND$ ગેટનો બનેલો છે। ધારો કે ઇનપુટ $A$ અને $B$ છે。
$1$. પ્રથમ $NAND$ ગેટ (ઉપરનો) $A$ અને વચ્ચેના $NAND$ ગેટના આઉટપુટને ઇનપુટ તરીકે લે છે. વચ્ચેના ગેટનું આઉટપુટ $C = \overline{A \cdot B}$ છે。
$2$. ઉપરના $NAND$ ગેટનું આઉટપુટ $Y_1 = \overline{A \cdot C} = \overline{A \cdot (\overline{A \cdot B})} = \overline{A} + B$ થાય છે。
$3$. તેવી જ રીતે, નીચેના $NAND$ ગેટનું આઉટપુટ $Y_2 = \overline{B \cdot C} = \overline{B \cdot (\overline{A \cdot B})} = \overline{B} + A$ થાય છે。
$4$. અંતિમ $NAND$ ગેટનું આઉટપુટ $Y = \overline{Y_1 \cdot Y_2} = \overline{(\overline{A} + B) \cdot (\overline{B} + A)} = A \oplus B$ થાય છે。
આમ, આ પરિપથ $XOR$ ગેટ દર્શાવે છે. $XOR$ ગેટ માટેનું સત્યતા કોષ્ટક વિકલ્પ $D$ માં આપેલ છે。

(A) આપેલ પરિપથમાં,બે સ્વીચો $LED$ સાથે સમાંતર જોડાણમાં છે. જ્યારે તેમાંથી વિદ્યુતપ્રવાહ વહે ત્યારે $LED$ પ્રકાશિત થાય છે,જે ત્યારે થાય છે જ્યારે ઓછામાં ઓછી એક સ્વીચ બંધ $(1)$ હોય. જો બંને સ્વીચો ખુલ્લી $(0)$ હોય,તો પરિપથ પૂર્ણ થતો નથી અને $LED$ પ્રકાશિત થતો નથી $(0)$.

$A$	$B$	$LED$
$0$	$0$	$0$
$0$	$1$	$1$
$1$	$0$	$1$
$1$	$1$	$1$

આ સત્યાર્થતા કોષ્ટક $OR$ ગેટને અનુરૂપ છે.

(B) આપેલ સર્કિટમાં,સ્વીચ $A$ અને $B$ ને અવરોધ $R$ દ્વારા ગ્રાઉન્ડ સાથે સમાંતરમાં જોડવામાં આવી છે. આઉટપુટ $Y$ અવરોધ $R$ ની આજુબાજુ લેવામાં આવે છે.
જ્યારે બંને સ્વીચ $A$ અને $B$ ખુલ્લી હોય (લોજિક $0$),ત્યારે $+5 \text{V}$ સ્ત્રોતમાંથી પ્રવાહ અવરોધ $R$ માંથી વહે છે,જેના કારણે $LED$ પ્રકાશિત થાય છે (લોજિક $1$).
જ્યારે સ્વીચ $A$ અથવા સ્વીચ $B$ (અથવા બંને) બંધ હોય (લોજિક $1$),ત્યારે પ્રવાહ સીધો ગ્રાઉન્ડ થઈ જાય છે અને અવરોધ $R$ માંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી,તેથી $LED$ પ્રકાશિત થતી નથી (લોજિક $0$).
ટ્રુથ ટેબલ નીચે મુજબ છે:
$A=0, B=0 \Rightarrow Y=1$
$A=0, B=1 \Rightarrow Y=0$
$A=1, B=0 \Rightarrow Y=0$
$A=1, B=1 \Rightarrow Y=0$
આ ટ્રુથ ટેબલ $NOR$ ગેટને અનુરૂપ છે.

(D) આપેલ સર્કિટમાં ઇનપુટ પર બે $NAND$ ગેટ છે અને ત્યારબાદ એક બીજો $NAND$ ગેટ છે. ધારો કે ઇનપુટ $A$ અને $B$ છે. પ્રથમ બે $NAND$ ગેટનું આઉટપુટ અનુક્રમે $\overline{A}$ અને $\overline{B}$ છે (કારણ કે તેઓ $NOT$ ગેટ તરીકે કાર્ય કરે છે). અંતિમ $NAND$ ગેટ $\overline{A}$ અને $\overline{B}$ ને ઇનપુટ તરીકે લે છે. આઉટપુટ $Y$ એ $Y = \overline{\overline{A} \cdot \overline{B}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. ડી મોર્ગનના પ્રમેય મુજબ,$Y = \overline{\overline{A}} + \overline{\overline{B}} = A + B$. આમ,આ સર્કિટ $OR$ ગેટ તરીકે કાર્ય કરે છે.
વેવફોર્મનું વિશ્લેષણ:
$t=0$ થી $1$ માટે: $A=0, B=0 \implies Y = 0+0 = 0$.
$t=1$ થી $2$ માટે: $A=0, B=1 \implies Y = 0+1 = 1$.
$t=2$ થી $3$ માટે: $A=1, B=0 \implies Y = 1+0 = 1$.
$t=3$ થી $4$ માટે: $A=1, B=1 \implies Y = 1+1 = 1$.
આમ,આઉટપુટ $Y$ એ $t=0$ થી $1$ સુધી $0$ છે અને $t=1$ થી $4$ સુધી $1$ છે.

(A) આ સર્કિટમાં ઇનપુટ પર $NOT$ ગેટ તરીકે ઉપયોગમાં લેવાયેલા બે $NOR$ ગેટ છે,ત્યારબાદ આઉટપુટ પર એક $NOR$ ગેટ છે.
ઇનપુટ $a$ ને એક $NOR$ ગેટમાં આપવામાં આવે છે જેના બંને ઇનપુટ એકસાથે જોડાયેલા છે,પરિણામે આઉટપુટ $\bar{a}$ મળે છે.
ઇનપુટ $b$ ને એક $NOR$ ગેટમાં આપવામાં આવે છે જેના બંને ઇનપુટ એકસાથે જોડાયેલા છે,પરિણામે આઉટપુટ $\bar{b}$ મળે છે.
આ આઉટપુટ $\bar{a}$ અને $\bar{b}$ ને અંતિમ $NOR$ ગેટમાં આપવામાં આવે છે.
અંતિમ આઉટપુટ $Y = \overline{\bar{a} + \bar{b}}$ દ્વારા મળે છે.
ડી મોર્ગનના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$\overline{\bar{a} + \bar{b}} = \overline{\bar{a}} \cdot \overline{\bar{b}} = a \cdot b$.
આ $AND$ ગેટ માટેનું બુલિયન સમીકરણ છે.
આમ,આ સર્કિટ $AND$ ગેટને સમતુલ્ય છે.

(A) સર્કિટના ઇનપુટ $A$ અને $B$ છે.
$OR$ ગેટનું આઉટપુટ $(A+B)$ છે.
$AND$ ગેટનું આઉટપુટ $(A \cdot B)$ છે.
આ બંને આઉટપુટ $NAND$ ગેટમાં જાય છે,જે આઉટપુટ $Z = \overline{(A+B) \cdot (A \cdot B)}$ આપે છે.
આ આઉટપુટ $Z$ ને $NOT$ ગેટમાંથી પસાર કરવામાં આવે છે,જેનાથી અંતિમ આઉટપુટ $Y = \bar{Z} = \overline{\overline{(A+B) \cdot (A \cdot B)}} = (A+B) \cdot (A \cdot B)$ મળે છે.
બુલિયન બીજગણિતના વિભાજનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$(A+B) \cdot (A \cdot B) = (A \cdot A \cdot B) + (B \cdot A \cdot B) = (A \cdot B) + (A \cdot B) = A \cdot B$.
આમ,$Y = A \cdot B$,જે $AND$ ગેટ માટેનું બુલિયન સમીકરણ છે.

(B) આ સર્કિટમાં બે $OR$ ગેટ અને ત્યારબાદ એક $NAND$ ગેટ છે. આકૃતિનું ધ્યાનપૂર્વક અવલોકન કરતા, ઉપરનો ગેટ $NOR$ ગેટ છે અને નીચેનો ગેટ $OR$ ગેટ છે. તેથી, ઉપરના ગેટનું આઉટપુટ $Y_1 = \overline{A+B}$ છે. નીચેના ગેટનું આઉટપુટ $Y_2 = B+B = B$ છે. છેલ્લો ગેટ $NAND$ ગેટ છે, તેથી આઉટપુટ $Y = \overline{Y_1 \cdot Y_2} = \overline{\overline{(A+B)} \cdot B} = (A+B) + \bar{B} = A + B + \bar{B} = A + 1 = 1$. આમ, ઇનપુટ્સ $A$ અને $B$ ગમે તે હોય, આઉટપુટ $Y$ હંમેશા $1$ રહે છે.

(D) $NAND$ ગેટ ત્યારે જ લો આઉટપુટ $(0)$ આપે છે જ્યારે બંને ઇનપુટ્સ હાઇ $(1)$ હોય. અન્યથા, તે હાઇ આઉટપુટ $(1)$ આપે છે. $NAND$ ગેટ માટેનું ટ્રુથ ટેબલ નીચે મુજબ છે:
| $A$ | $B$ | $Y = \overline{A \cdot B}$ |
|---|---|---|
| $0$ | $0$ | $1$ |
| $0$ | $1$ | $1$ |
| $1$ | $0$ | $1$ |
| $1$ | $1$ | $0$ |
વિવિધ સમય અંતરાલો પર $A$ અને $B$ માટેના ઇનપુટ વેવફોર્મનું વિશ્લેષણ કરતા:
$1$. પ્રથમ અંતરાલ માટે, $A=1, B=1$, તેથી $Y=0$.
$2$. બીજા અંતરાલ માટે, $A=0, B=0$, તેથી $Y=1$.
$3$. ત્રીજા અંતરાલ માટે, $A=0, B=1$, તેથી $Y=1$.
$4$. ચોથા અંતરાલ માટે, $A=1, B=0$, તેથી $Y=1$.
$5$. પાંચમા અંતરાલ માટે, $A=1, B=1$, તેથી $Y=0$.
$6$. છઠ્ઠા અંતરાલ માટે, $A=0, B=0$, તેથી $Y=1$.
$7$. સાતમા અંતરાલ માટે, $A=0, B=1$, તેથી $Y=1$.
આ ક્રમ $(0, 1, 1, 1, 0, 1, 1)$ ને આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા, આકૃતિ $D$ માં દર્શાવેલ વેવફોર્મ આ આઉટપુટ સાથે મેળ ખાય છે.

(C) આપેલ સર્કિટમાં બે $NOT$ ગેટ છે જેની પાછળ એક $NAND$ ગેટ જોડાયેલ છે.
ધારો કે ઇનપુટ $A$ અને $B$ છે.
$NOT$ ગેટના આઉટપુટ $\bar{A}$ અને $\bar{B}$ મળે છે.
આ $NAND$ ગેટ માટે ઇનપુટ તરીકે કાર્ય કરે છે.
તેથી,આઉટપુટ $Y = \overline{\bar{A} \cdot \bar{B}}$ થાય.
ડી મોર્ગનના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$\overline{\bar{A} \cdot \bar{B}} = \overline{\bar{A}} + \overline{\bar{B}} = A + B$ મળે છે.
આ $OR$ ગેટ માટેનું બુલિયન સમીકરણ છે.
$OR$ ગેટ માટેનું સત્યતા કોષ્ટક નીચે મુજબ છે:

$A$	$B$	$Y$
$0$	$0$	$0$
$0$	$1$	$1$
$1$	$0$	$1$
$1$	$1$	$1$

(B) આ સર્કિટમાં બે $AND$ ગેટ,બે $NOT$ ગેટ અને એક $OR$ ગેટનો સમાવેશ થાય છે.
પ્રથમ $AND$ ગેટના ઇનપુટ $A$ અને $\overline{B}$ છે,તેથી તેનું આઉટપુટ $A \cdot \overline{B}$ છે.
બીજા $AND$ ગેટના ઇનપુટ $\overline{A}$ અને $B$ છે,તેથી તેનું આઉટપુટ $\overline{A} \cdot B$ છે.
અંતિમ $OR$ ગેટ આ આઉટપુટને જોડીને $Y = A \cdot \overline{B} + \overline{A} \cdot B$ આપે છે.
આ $XOR$ ગેટ માટેનું બુલિયન સમીકરણ છે.
$XOR$ ગેટ માટેનું સત્યતા કોષ્ટક નીચે મુજબ છે:
- જો $A=0, B=0$ હોય,તો $Y=0$.
- જો $A=0, B=1$ હોય,તો $Y=1$.
- જો $A=1, B=0$ હોય,તો $Y=1$.
- જો $A=1, B=1$ હોય,તો $Y=0$.
આપેલ વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(B) આપેલ સર્કિટમાં બે $AND$ ગેટ અને એક $OR$ ગેટ છે. પ્રથમ $AND$ ગેટના ઇનપુટ $A$ અને $B$ છે,તેથી તેનું આઉટપુટ $A \cdot B$ છે.
ઇનપુટ $A$ એ $NOT$ ગેટમાંથી પસાર થાય છે,જે $\overline{A}$ બને છે. આ $\overline{A}$ અને ઇનપુટ $B$ બીજા $AND$ ગેટમાં જાય છે,તેથી તેનું આઉટપુટ $\overline{A} \cdot B$ છે.
આ બંને આઉટપુટ $OR$ ગેટમાં જાય છે,જે અંતિમ આઉટપુટ $Y = (A \cdot B) + (\overline{A} \cdot B)$ આપે છે.
બુલિયન બીજગણિતનો ઉપયોગ કરતા: $Y = (A + \overline{A}) \cdot B$.
કારણ કે $A + \overline{A} = 1$,તેથી આપણને $Y = 1 \cdot B = B$ મળે છે.
આમ,આઉટપુટ $Y$ એ ઇનપુટ $B$ જેટલું છે. $Y = B$ માટે ટ્રુથ ટેબલ તપાસતા:
જો $A=0, B=0$,તો $Y=0$.
જો $A=0, B=1$,તો $Y=1$.
જો $A=1, B=0$,તો $Y=0$.
જો $A=1, B=1$,તો $Y=1$.
આ વિકલ્પ $B$ સાથે મેળ ખાય છે.

(C) આ સર્કિટમાં ઇનપુટ $A$ અને $B$ સાથે જોડાયેલા બે $NOT$ ગેટ છે,ત્યારબાદ એક $NAND$ ગેટ છે.
$1$. $NAND$ ગેટના ઇનપુટ $\overline{A}$ અને $\overline{B}$ છે.
$2$. $NAND$ ગેટનું આઉટપુટ $Y$ એ $Y = \overline{\overline{A} \cdot \overline{B}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$3$. ડી-મોર્ગનના નિયમ મુજબ,$\overline{X \cdot Y} = \overline{X} + \overline{Y}$.
$4$. આ નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $Y = \overline{\overline{A}} + \overline{\overline{B}} = A + B$.
$5$. સમીકરણ $Y = A + B$ એ $OR$ લોજિક ઓપરેશન દર્શાવે છે.

(C) આ સર્કિટમાં બે $OR$ ગેટ છે જેના ઇનપુટ $NOT$ ગેટ દ્વારા બદલાય છે,અને તેમના આઉટપુટ $NOR$ ગેટમાં જાય છે.
ધારો કે ઇનપુટ $A$ અને $B$ છે.
ઉપરના $OR$ ગેટમાં $A$ અને $\overline{B}$ ઇનપુટ છે,તેથી તેનું આઉટપુટ $Y_1 = A + \overline{B}$ છે.
નીચેના $OR$ ગેટમાં $B$ અને $\overline{A}$ ઇનપુટ છે,તેથી તેનું આઉટપુટ $Y_2 = \overline{A} + B$ છે.
આ આઉટપુટ $Y_1$ અને $Y_2$ ને $NOR$ ગેટમાં આપવામાં આવે છે,તેથી અંતિમ આઉટપુટ $Y = \overline{Y_1 + Y_2} = \overline{(A + \overline{B}) + (\overline{A} + B)}$ છે.
ચાલો ટ્રુથ ટેબલ બનાવીએ:
$1$. જો $A=0, B=0$: $Y_1 = 0 + \overline{0} = 1$,$Y_2 = \overline{0} + 0 = 1$. $Y = \overline{1+1} = 0$.
$2$. જો $A=1, B=0$: $Y_1 = 1 + \overline{0} = 1$,$Y_2 = \overline{1} + 0 = 0$. $Y = \overline{1+0} = 0$.
$3$. જો $A=0, B=1$: $Y_1 = 0 + \overline{1} = 0$,$Y_2 = \overline{0} + 1 = 1$. $Y = \overline{0+1} = 0$.
$4$. જો $A=1, B=1$: $Y_1 = 1 + \overline{1} = 1$,$Y_2 = \overline{1} + 1 = 1$. $Y = \overline{1+1} = 0$.
આમ,તમામ ઇનપુટ માટે,આઉટપુટ $Y$ એ $0$ છે.

(D) આ સર્કિટમાં ઇનપુટ $A$ અને $B$ સાથે જોડાયેલા બે $NOT$ ગેટ છે,ત્યારબાદ એક $AND$ ગેટ છે.
$1$. $AND$ ગેટના ઇનપુટ $\overline{A}$ અને $\overline{B}$ છે.
$2$. $AND$ ગેટનું આઉટપુટ $Y$ બુલિયન સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $Y = \overline{A} \cdot \overline{B}$.
$3$. ડી મોર્ગનના નિયમ મુજબ,$\overline{A} \cdot \overline{B} = \overline{A + B}$.
$4$. તેથી,સમીકરણ $Y = \overline{A + B}$ બને છે,જે $NOR$ ગેટ માટેનું બુલિયન સમીકરણ છે.
આમ,આ સર્કિટ $NOR$ ગેટ દર્શાવે છે.

(B) જો બલ્બની બંને બાજુએ વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત હોય તો જ બલ્બ પ્રકાશિત થશે. આનો અર્થ એ છે કે બલ્બનો એક છેડો ઉચ્ચ સ્થિતિમાન $(1)$ પર અને બીજો છેડો નીચા સ્થિતિમાન $(0)$ પર હોવો જોઈએ.
ધારો કે $X$ એ પ્રથમ $NOR$ ગેટનું આઉટપુટ છે,$Y$ એ $NAND$ ગેટનું આઉટપુટ છે,અને $Z$ એ અવરોધ સાથે જોડાયેલ અંતિમ $NOR$ ગેટનું આઉટપુટ છે.
$X = \overline{A+A} = \overline{A}$
$Y = \overline{B \cdot C}$
$Z = \overline{X+Y} = \overline{\overline{A} + \overline{B \cdot C}} = A \cdot (B \cdot C) = A \cdot B \cdot C$
ધારો કે $W$ એ નીચેના $NOR$ ગેટનું આઉટપુટ છે: $W = \overline{D+D} = \overline{D}$.
જો $Z$ અને $W$ વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $1$ હોય,એટલે કે $(Z=1, W=0)$ અથવા $(Z=0, W=1)$ હોય,તો બલ્બ પ્રકાશિત થાય છે.
વિકલ્પ $(B)$ તપાસતા: $A=1, B=0, C=0, D=0$.
$Z = 1 \cdot 0 \cdot 0 = 0$
$W = \overline{0} = 1$
અહીં $Z=0$ અને $W=1$ હોવાથી,વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત મળે છે,તેથી બલ્બ પ્રકાશિત થશે.

(B) આપેલ સર્કિટમાં એક $OR$ ગેટ,એક $AND$ ગેટ અને એક અંતિમ $OR$ ગેટનો સમાવેશ થાય છે.
ધારો કે ઇનપુટ $A$ અને $B$ છે. ત્રીજું ઇનપુટ $1$ પર નિશ્ચિત છે.
પ્રથમ $OR$ ગેટનું આઉટપુટ $(A + B)$ છે.
$AND$ ગેટનું આઉટપુટ $(B \cdot 1) = B$ છે.
અંતિમ આઉટપુટ $Y$ એ આ બે આઉટપુટનું $OR$ ઓપરેશન છે:
$Y = (A + B) + B$
બુલિયન બીજગણિતના નિયમોનો ઉપયોગ કરીને,ખાસ કરીને આઈડેમપોટન્ટ નિયમ $(B + B = B)$,આપણે પદાવલિને સરળ બનાવીએ છીએ:
$Y = A + (B + B) = A + B$
આપણે આઉટપુટ $Y$ ને $0$ મેળવવા માંગીએ છીએ. $OR$ ગેટ માટે,આઉટપુટ $0$ ત્યારે જ હોય છે જો બધા ઇનપુટ $0$ હોય.
તેથી,$A + B = 0$ નો અર્થ છે $A = 0$ અને $B = 0$.
આમ,આઉટપુટ $0$ ત્યારે મળે છે જ્યારે $A = 0$ અને $B = 0$ હોય.

(B) આપેલ લોજિક સર્કિટમાં એક $AND$ ગેટ,એક $NOT$ ગેટ અને એક $OR$ ગેટનો સમાવેશ થાય છે.
ઇનપુટ $A$ એ $NOT$ ગેટ સાથે જોડાયેલ છે,તેથી તેનું આઉટપુટ $\bar{A}$ છે.
ઇનપુટ $A$ અને $B$ એ $AND$ ગેટ સાથે જોડાયેલ છે,તેથી તેનું આઉટપુટ $A \cdot B$ છે.
આ બંને આઉટપુટ પછી $OR$ ગેટમાં જાય છે.
તેથી,અંતિમ આઉટપુટ $Y$ એ બુલિયન સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $Y = \bar{A} + (A \cdot B)$.
બુલિયન બીજગણિતના વિતરણના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$Y = (\bar{A} + A) \cdot (\bar{A} + B)$.
કારણ કે $\bar{A} + A = 1$,આપણને $Y = 1 \cdot (\bar{A} + B) = \bar{A} + B$ મળે છે.
હવે,$Y = \bar{A} + B$ માટે ટ્રુથ ટેબલ બનાવીએ:
- જો $A=0, B=0$: $Y = \bar{0} + 0 = 1 + 0 = 1$.
- જો $A=0, B=1$: $Y = \bar{0} + 1 = 1 + 1 = 1$.
- જો $A=1, B=0$: $Y = \bar{1} + 0 = 0 + 0 = 0$.
- જો $A=1, B=1$: $Y = \bar{1} + 1 = 0 + 1 = 1$.
આને આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,વિકલ્પ $B$ ગણતરી કરેલા ટ્રુથ ટેબલ સાથે મેળ ખાય છે.

(C) ધારો કે ઇનપુટ્સ $A$ અને $B$ છે. આ સર્કિટમાં એક $OR$ ગેટ,એક $AND$ ગેટ અને બે $NOT$ ગેટનો સમાવેશ થાય છે.
$1$. ઉપરના ભાગમાં $A$ અને $\bar{B}$ ઇનપુટ્સ સાથે એક $OR$ ગેટ છે. તેનું આઉટપુટ $(A + \bar{B})$ છે.
$2$. નીચેના ભાગમાં $B$ અને $\bar{A}$ ઇનપુટ્સ સાથે એક $AND$ ગેટ છે. તેનું આઉટપુટ $(B \cdot \bar{A})$ છે.
$3$. અંતિમ આઉટપુટ $Y$ એ આ બે આઉટપુટ્સનું $AND$ ઓપરેશન છે: $Y = (A + \bar{B}) \cdot (B \cdot \bar{A})$.
$4$. આ પદનું વિસ્તરણ કરતા: $Y = (A \cdot B \cdot \bar{A}) + (\bar{B} \cdot B \cdot \bar{A})$.
$5$. કારણ કે $A \cdot \bar{A} = 0$ અને $B \cdot \bar{B} = 0$,તેથી આપણને $Y = 0 + 0 = 0$ મળે છે.
આમ,આઉટપુટ $Y$ હંમેશા $0$ રહે છે.

(A) આપેલ સર્કિટમાં એક $AND$ ગેટ,બે $NOT$ ગેટ,બીજો એક $AND$ ગેટ અને એક $NOR$ ગેટનો સમાવેશ થાય છે.
ધારો કે ઇનપુટ $A$ અને $B$ છે. પ્રથમ $AND$ ગેટનું આઉટપુટ $A \cdot B$ છે.
બીજા $AND$ ગેટના ઇનપુટ $\bar{A}$ અને $\bar{B}$ છે,તેથી તેનું આઉટપુટ $\bar{A} \cdot \bar{B}$ છે.
આ બંને આઉટપુટ $NOR$ ગેટમાં જાય છે,તેથી અંતિમ આઉટપુટ $E = \overline{(A \cdot B) + (\bar{A} \cdot \bar{B})}$ થાય.
$X$ માટે: $A = 0, B = 1$.
$E = \overline{(0 \cdot 1) + (\bar{0} \cdot \bar{1})} = \overline{0 + (1 \cdot 0)} = \overline{0 + 0} = \overline{0} = 1$. તેથી,$X = 1$.
$Y$ માટે: $A = 1, B = 0$.
$E = \overline{(1 \cdot 0) + (\bar{1} \cdot \bar{0})} = \overline{0 + (0 \cdot 1)} = \overline{0 + 0} = \overline{0} = 1$. તેથી,$Y = 1$.
આમ,$X$ અને $Y$ ના મૂલ્યો $1, 1$ છે.

(C) ધારો કે પ્રથમ $NAND$ ગેટના ઇનપુટ $A$ અને $A$ છે. તેનું આઉટપુટ $Y_1 = \overline{A \cdot A} = \bar{A}$ થશે.
ધારો કે $NOR$ ગેટના ઇનપુટ $B$ અને $B$ છે. તેનું આઉટપુટ $Y_2 = \overline{B+B} = \bar{B}$ થશે.
અંતિમ ગેટ એ $NOR$ ગેટ છે જેના ઇનપુટ $Y_1$ અને $Y_2$ છે. આઉટપુટ $Y$ નીચે મુજબ મળે છે:
$Y = \overline{Y_1 + Y_2}$
$Y_1$ અને $Y_2$ ની કિંમતો મૂકતા:
$Y = \overline{\bar{A} + \bar{B}}$
ડી મોર્ગનના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$\overline{\bar{A} + \bar{B}} = \overline{\bar{A}} \cdot \overline{\bar{B}} = A \cdot B$.
આમ,આઉટપુટ $Y = A \cdot B$ મળે છે,જે $AND$ ગેટનું આઉટપુટ છે.