Boolean Algebra and Logic Gates Questions in Gujarati

(C) $1$. પ્રથમ ગેટ એ $A$ અને $1$ ઇનપુટ ધરાવતો $NOR$ ગેટ છે. આ $NOR$ ગેટનું આઉટપુટ $\overline{A+1}$ છે. કારણ કે $A+1 = 1$ થાય,તેથી આઉટપુટ $\overline{1} = 0$ મળે છે.
$2$. બીજો ગેટ એ $OR$ ગેટ છે જેના ઇનપુટ પ્રથમ ગેટમાંથી $(0)$ અને $B$ છે. આ $OR$ ગેટનું આઉટપુટ $0+B = B$ મળે છે.
$3$. ત્રીજો ગેટ એ $OR$ ગેટ છે જેના ઇનપુટ બીજા ગેટમાંથી $(B)$ અને $C$ છે. તેથી,આઉટપુટ $Y = B+C$ મળે છે.

(C) ચાલો દરેક ગેટનું વિશ્લેષણ કરીએ:
$(A)$ $1, 1$ ઇનપુટ ધરાવતો $NAND$ ગેટ: આઉટપુટ $X = \overline{1 \cdot 1} = \overline{1} = 0$.
$(B)$ $0, 1$ ઇનપુટ ધરાવતો $NOR$ ગેટ: આઉટપુટ $X = \overline{0 + 1} = \overline{1} = 0$.
$(C)$ $0, 1$ ઇનપુટ ધરાવતો $NAND$ ગેટ: આઉટપુટ $X = \overline{0 \cdot 1} = \overline{0} = 1$.
$(D)$ $0, 0$ ઇનપુટ ધરાવતો $XOR$ ગેટ: આઉટપુટ $X = 0 \oplus 0 = 0$.
આમ,$1$ આઉટપુટ ધરાવતો ગેટ $0$ અને $1$ ઇનપુટ વાળો $NAND$ ગેટ છે.

(A) જુદા જુદા સમયના અંતરાલો પર તરંગોનું અવલોકન કરીને,આપણે સત્યતા કોષ્ટક (truth table) બનાવી શકીએ છીએ:

સમય અંતરાલ	ઇનપુટ $A$	ઇનપુટ $B$	આઉટપુટ $Y$
$0 - T_1$	$0$	$0$	$0$
$T_1 - T_2$	$0$	$1$	$0$
$T_2 - T_3$	$1$	$0$	$0$
$T_3 - T_4$	$1$	$1$	$1$

સત્યતા કોષ્ટક દર્શાવે છે કે આઉટપુટ $Y$ ત્યારે જ $1$ મળે છે જ્યારે બંને ઇનપુટ $A$ અને $B$ $1$ હોય. આ $AND$ ગેટનું લાક્ષણિક વર્તન છે.

(B) $AND$ ગેટ તાર્કિક ગુણાકારની પ્રક્રિયા કરે છે. તેનું આઉટપુટ $1$ ત્યારે જ મળે છે જો તેના તમામ ઇનપુટ્સ $1$ હોય.
સ્વિચિંગ સર્કિટના સંદર્ભમાં,$AND$ ગેટ એ શ્રેણીમાં જોડાયેલી બે સ્વિચને સમકક્ષ છે.
જો બંને સ્વિચ બંધ (input $1$) હોય,તો પ્રવાહ વહે છે (output $1$). જો કોઈ પણ એક સ્વિચ ખુલ્લી (input $0$) હોય,તો સર્કિટ તૂટી જાય છે (output $0$).

(C) લોજિક ગેટને ઓળખવા માટે,આપણે આપેલા વોલ્ટેજ વેવફોર્મ પરથી મેળવેલ ટ્રુથ ટેબલનું વિશ્લેષણ કરીએ છીએ:

$A$	$B$	$Y$
$1$	$1$	$0$
$0$	$0$	$1$
$0$	$1$	$1$
$1$	$0$	$1$

ટ્રુથ ટેબલ પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે આઉટપુટ $Y$ ત્યારે જ $0$ હોય છે જ્યારે બંને ઇનપુટ $A$ અને $B$ $1$ હોય. અન્ય તમામ કિસ્સાઓમાં,આઉટપુટ $1$ છે. આ વર્તણૂક $NAND$ ગેટને અનુરૂપ છે,જે $Y = \overline{AB}$ ઓપરેશન કરે છે.

(D) $NAND$ ગેટ એ $AND$ ગેટના આઉટપુટ સાથે $NOT$ ગેટને જોડીને બનાવવામાં આવે છે.
આપેલા વિકલ્પોમાં,વિકલ્પ $D$ માં $AND$ ગેટ અને ત્યારબાદ $NOT$ ગેટ દર્શાવેલ છે,જે $NAND$ ગેટનું પ્રમાણિત નિરૂપણ છે.

(B) $NAND$ ગેટ ત્યારે જ $0$ આઉટપુટ આપે છે જ્યારે બંને ઇનપુટ $1$ હોય. અન્યથા,તે $1$ આઉટપુટ આપે છે.
$A$ અને $B$ માટેના ઇનપુટ વેવફોર્મ પરથી:
- $t = 0$ થી $2 \ s$ માટે: $A=0, B=0 \implies Y=1$.
- $t = 2$ થી $4 \ s$ માટે: $A=1, B=0 \implies Y=1$.
- $t = 4$ થી $6 \ s$ માટે: $A=0, B=0 \implies Y=1$.
- $t = 6$ થી $8 \ s$ માટે: $A=1, B=1 \implies Y=0$.
- $t > 8 \ s$ માટે: $A=0, B=0 \implies Y=1$.
આ ક્રમ $(1, 1, 1, 0, 1)$ ને આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,વિકલ્પ $B$ માં દર્શાવેલ વેવફોર્મ આ આઉટપુટ સાથે મેળ ખાય છે.

(B) આપેલ સર્કિટમાં શ્રેણીમાં જોડાયેલા બે $NAND$ ગેટ છે.
ધારો કે પ્રથમ $NAND$ ગેટના ઇનપુટ $A$ અને $B$ છે. પ્રથમ $NAND$ ગેટનું આઉટપુટ $X = \overline{A \cdot B}$ છે.
આ આઉટપુટ $X$ બીજા $NAND$ ગેટ માટે ઇનપુટ તરીકે કાર્ય કરે છે. બીજા $NAND$ ગેટના બંને ઇનપુટ $X$ સાથે જોડાયેલા હોવાથી, તેનું આઉટપુટ $Y = \overline{X \cdot X} = \overline{X}$ દ્વારા મળે છે.
$X$ ની કિંમત મૂકતા, આપણને $Y = \overline{(\overline{A \cdot B})} = A \cdot B$ મળે છે.
$Y = A \cdot B$ સમીકરણ $AND$ ગેટનું લોજિક ફંક્શન દર્શાવે છે.
તેથી, આપેલ સર્કિટ $AND$ ગેટનું કાર્ય કરે છે.

(D) $NOT$ ગેટ એ એક ઇન્વર્ટર છે જેને ઇન્વર્ઝન લોજિક કરવા માટે ટ્રાન્ઝિસ્ટર જેવા સક્રિય ઘટકની જરૂર હોય છે. ડાયોડ એ એક નિષ્ક્રિય,એકદિશીય ઉપકરણ છે જે માત્ર એક જ દિશામાં પ્રવાહ વહેવા દે છે અને $NOT$ ગેટ માટે જરૂરી લોજિકલ ઇન્વર્ઝન કરી શકતું નથી.
વધુમાં,ડાયોડ ઇનપુટ અને આઉટપુટ વોલ્ટેજ વચ્ચે $180^o$ નો ફેઝ શિફ્ટ લાવતું નથી. તેથી,વિધાન અને કારણ બંને ખોટા છે.

(A) $NAND$ અને $NOR$ ગેટને યુનિવર્સલ ગેટ અથવા ડિજિટલ બિલ્ડિંગ બ્લોક્સ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.
આનું કારણ એ છે કે કોઈપણ લોજિક ગેટ,જેમ કે $AND, OR, NOT, XOR,$ અથવા $XNOR$,ફક્ત $NAND$ ગેટ અથવા ફક્ત $NOR$ ગેટનો ઉપયોગ કરીને બનાવી શકાય છે.
વિધાન જણાવે છે કે તેઓ બિલ્ડિંગ બ્લોક્સ છે અને કારણ યોગ્ય રીતે સમજાવે છે કે તેઓ અન્ય તમામ મૂળભૂત અથવા જટિલ ગેટ બનાવી શકે છે,તેથી કારણ એ વિધાનની સાચી સમજૂતી છે.

(C) આપેલ સર્કિટમાં,સ્વીચો $A$ અને $B$ ગ્રાઉન્ડ સાથે સમાંતરમાં જોડાયેલ છે. જ્યારે સ્વીચ $0$ સ્થિતિમાં હોય,ત્યારે તે ખુલ્લી હોય છે,અને જ્યારે તે $1$ સ્થિતિમાં હોય,ત્યારે તે બંધ (ગ્રાઉન્ડ સાથે જોડાયેલ) હોય છે.
$1$. જો $A=0$ અને $B=0$ હોય,તો બંને સ્વીચો ખુલ્લી છે. પ્રવાહ $LED$ $(Y)$ માંથી વહે છે,તેથી $Y=1$.
$2$. જો $A=0$ અને $B=1$ હોય,તો સ્વીચ $B$ બંધ (ગ્રાઉન્ડ થયેલ) છે. પ્રવાહ $LED$ $(Y)$ માંથી વહે છે,તેથી $Y=1$.
$3$. જો $A=1$ અને $B=0$ હોય,તો સ્વીચ $A$ બંધ (ગ્રાઉન્ડ થયેલ) છે. પ્રવાહ $LED$ $(Y)$ માંથી વહે છે,તેથી $Y=1$.
$4$. જો $A=1$ અને $B=1$ હોય,તો બંને સ્વીચો બંધ (ગ્રાઉન્ડ થયેલ) છે. પ્રવાહ $LED$ ને બદલે સ્વીચો દ્વારા ગ્રાઉન્ડમાં જાય છે,તેથી $Y=0$.
સત્યતા કોષ્ટક (Truth Table) નીચે મુજબ છે:

$A$	$B$	$Y$
$0$	$0$	$1$
$0$	$1$	$1$
$1$	$0$	$1$
$1$	$1$	$0$

આ સત્યતા કોષ્ટક $NAND$ ગેટના ઓપરેશનને અનુરૂપ છે.

(A) આપેલ સર્કિટમાં,સ્વીચ $A$ અને $B$ સમાંતર રીતે જોડાયેલ છે. આઉટપુટ $Y$ એ $LED$ ની સ્થિતિ છે.
જ્યારે બંને સ્વીચ $A$ અને $B$ સ્થિતિ $0$ પર હોય (ગ્રાઉન્ડ સાથે જોડાયેલ),ત્યારે $LED$ એ અવરોધ $R$ દ્વારા $+6V$ સપ્લાય સાથે જોડાયેલ હોય છે,તેથી $LED$ પ્રકાશિત થાય છે $(Y=1)$.
જો સ્વીચ $A$ અથવા $B$ માંથી કોઈ પણ એકને સ્થિતિ $1$ પર ખસેડવામાં આવે,તો સર્કિટ ગ્રાઉન્ડ સાથે શોર્ટ થઈ જાય છે અને $LED$ પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત શૂન્ય થઈ જાય છે,તેથી $LED$ પ્રકાશિત થતો નથી $(Y=0)$.
સત્યતા કોષ્ટક નીચે મુજબ છે:

$A$	$B$	$Y$
$0$	$0$	$1$
$0$	$1$	$0$
$1$	$0$	$0$
$1$	$1$	$0$

આ સત્યતા કોષ્ટક $NOR$ ગેટને અનુરૂપ છે.

(B) જો આઉટપુટ ડેટા પરથી ઇનપુટ ડેટાને અનન્ય રીતે પુનઃપ્રાપ્ત કરી શકાય,તો લોજિક ગેટને રિવર્સિબલ ગણવામાં આવે છે.
$NOT$ ગેટમાં,આઉટપુટ એ ઇનપુટનું પૂરક છે $(Y = \bar{A})$. જો આઉટપુટ $0$ હોય,તો ઇનપુટ $1$ હોવું જોઈએ,અને જો આઉટપુટ $1$ હોય,તો ઇનપુટ $0$ હોવું જોઈએ. આમ,આઉટપુટ પરથી ઇનપુટને ચોક્કસ રીતે નક્કી કરી શકાય છે.
$OR$,$NOR$,$AND$,અને $NAND$ જેવા અન્ય ગેટ્સમાં બે ઇનપુટ હોય છે,જેનો અર્થ છે કે $2^2 = 4$ શક્ય ઇનપુટ સંયોજનો છે,પરંતુ માત્ર $2$ શક્ય આઉટપુટ સ્ટેટ્સ ($0$ અથવા $1$) છે. કારણ કે એકથી વધુ ઇનપુટ સંયોજનો સમાન આઉટપુટ આપી શકે છે,તેથી આ ગેટ્સ રિવર્સિબલ નથી.

(D) ધારો કે ઇનપુટ $A=1$ અને $B=0$ છે.
$1$. ઇનપુટ $A=1$ એ $NOT$ ગેટમાંથી પસાર થાય છે,જે $0$ બને છે.
$2$. આ $0$ ને ઉપરના $NAND$ ગેટમાં આપવામાં આવે છે (બંને ઇનપુટ $0$ છે),તેથી ઉપરના $NAND$ ગેટનું આઉટપુટ $\overline{0 \cdot 0} = 1$ છે.
$3$. પ્રથમ $NOT$ ગેટમાંથી મળેલ $0$ બીજા $NOT$ ગેટમાંથી પસાર થઈને $1$ બને છે.
$4$. આ $1$ ને મધ્યના $NAND$ ગેટમાં આપવામાં આવે છે.
$5$. નીચેના $NAND$ ગેટમાં ઇનપુટ $B=0$ અને $Y$ તરફથી ફીડબેક મળે છે.
$6$. સર્કિટનું વિશ્લેષણ કરતા,આઉટપુટ $Y$ એ ઉપરના અને મધ્યના $NAND$ ગેટના આઉટપુટ સાથે જોડાયેલ છે.
$7$. આ ગોઠવણીને જોતા,આઉટપુટ $Y$ એ $1$ પર સ્થિર થાય છે.

(C) આ પરિપથમાં બે સ્વીચો $A$ અને $B$ ડાયોડ સાથે જોડાયેલ છે,જે $OR$ ગેટના ઇનપુટ સ્ટેજ તરીકે કાર્ય કરે છે. જ્યારે સ્વીચ $A$ અથવા $B$ બંધ (લોજિક $1$) હોય,ત્યારે $NPN$ ટ્રાન્ઝિસ્ટરના બેઝને ઉચ્ચ વોલ્ટેજ મળે છે,જેના કારણે તે વહન કરે છે. જ્યારે ટ્રાન્ઝિસ્ટર વહન કરે છે,ત્યારે કલેક્ટર વોલ્ટેજ ઘટીને લગભગ $0 \ V$ (લોજિક $0$) થઈ જાય છે. જો બંને સ્વીચો ખુલ્લી (લોજિક $0$) હોય,તો બેઝ રઝિસ્ટર દ્વારા ગ્રાઉન્ડ થયેલ છે,ટ્રાન્ઝિસ્ટર કટઓફ $(OFF)$ સ્થિતિમાં છે,અને આઉટપુટ $Y$ ખેંચાઈને $+5 \ V$ (લોજિક $1$) પર જાય છે. આ વર્તન $NOR$ ગેટને અનુરૂપ છે,જ્યાં $Y = \overline{A+B}$. ડી મોર્ગનના પ્રમેય મુજબ,$\overline{A+B} = \overline{A} \cdot \overline{B}$.

$A$	$B$	$Y$
$0$	$0$	$1$
$1$	$0$	$0$
$0$	$1$	$0$
$1$	$1$	$0$

(N/A) $OR$ ગેટ માટે,આઉટપુટ $Y = A + B$ છે. આનો અર્થ એ છે કે જો ઇનપુટ $A$ અથવા $B$ માંથી કોઈ પણ $1$ હોય તો આઉટપુટ $1$ મળે છે,અને જો બંને ઇનપુટ $0$ હોય તો જ આઉટપુટ $0$ મળે છે.
$1$. $t < t_{1}$ માટે: $A=0, B=0$,તેથી $Y = 0 + 0 = 0$.
$2$. $t_{1}$ થી $t_{2}$ માટે: $A=1, B=0$,તેથી $Y = 1 + 0 = 1$.
$3$. $t_{2}$ થી $t_{3}$ માટે: $A=1, B=1$,તેથી $Y = 1 + 1 = 1$.
$4$. $t_{3}$ થી $t_{4}$ માટે: $A=0, B=1$,તેથી $Y = 0 + 1 = 1$.
$5$. $t_{4}$ થી $t_{5}$ માટે: $A=0, B=0$,તેથી $Y = 0 + 0 = 0$.
$6$. $t_{5}$ થી $t_{6}$ માટે: $A=1, B=0$,તેથી $Y = 1 + 0 = 1$.
$7$. $t > t_{6}$ માટે: $A=0, B=1$,તેથી $Y = 0 + 1 = 1$.
આમ,આઉટપુટ વેવફોર્મ $Y$ એ આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ $OR$ ગેટના તર્કને અનુસરે છે.

(N/A) $AND$ ગેટ માટે,આઉટપુટ $Y$ ત્યારે જ $1$ હોય છે જ્યારે બંને ઇનપુટ $A$ અને $B$ $1$ હોય. અન્યથા,આઉટપુટ $Y$ $0$ હોય છે. આપેલા ઇનપુટ વેવફોર્મ પરથી,આપણે અંતરાલોનું વિશ્લેષણ કરીએ છીએ:

અંતરાલ	ઇનપુટ $(A, B)$	આઉટપુટ $(Y = A \cdot B)$
$t \leq t_{1}$	$A=0, B=0$	$Y=0$
$t_{1}$ થી $t_{2}$	$A=1, B=0$	$Y=0$
$t_{2}$ થી $t_{3}$	$A=1, B=1$	$Y=1$
$t_{3}$ થી $t_{4}$	$A=0, B=1$	$Y=0$
$t_{4}$ થી $t_{5}$	$A=0, B=0$	$Y=0$
$t_{5}$ થી $t_{6}$	$A=1, B=0$	$Y=0$
$t > t_{6}$	$A=0, B=0$	$Y=0$

આમ,આઉટપુટ વેવફોર્મ $t_{2}$ અને $t_{3}$ વચ્ચેના સમયગાળા સિવાય તમામ અંતરાલો માટે લો સ્ટેટ $(0)$ પર રહે છે,જ્યાં તે હાઇ સ્ટેટ $(1)$ પર જાય છે.

(N/A) $NAND$ ગેટ માટેનું ટ્રુથ ટેબલ નીચે મુજબ છે:
જો $A=0, B=0$ હોય,તો $Y=1$.
જો $A=0, B=1$ હોય,તો $Y=1$.
જો $A=1, B=0$ હોય,તો $Y=1$.
જો $A=1, B=1$ હોય,તો $Y=0$.
ઇનપુટ વેવફોર્મ્સના આધારે:
$t < t_{1}$ માટે; $A=1, B=1$; તેથી $Y=0$.
$t_{1}$ થી $t_{2}$ માટે; $A=0, B=0$; તેથી $Y=1$.
$t_{2}$ થી $t_{3}$ માટે; $A=0, B=1$; તેથી $Y=1$.
$t_{3}$ થી $t_{4}$ માટે; $A=1, B=0$; તેથી $Y=1$.
$t_{4}$ થી $t_{5}$ માટે; $A=1, B=1$; તેથી $Y=0$.
$t_{5}$ થી $t_{6}$ માટે; $A=0, B=0$; તેથી $Y=1$.
$t > t_{6}$ માટે; $A=1, B=1$; તેથી $Y=0$.

(N/A) અને $B$ એ ઇનપુટ છે અને $Y$ એ આપેલી સર્કિટનું આઉટપુટ છે. સર્કિટનો ડાબો ભાગ $NOR$ ગેટ છે અને જમણો ભાગ $NOT$ ગેટ છે.
$NOR$ ગેટનું આઉટપુટ $\overline{A+B}$ છે.
આ આઉટપુટ $NOT$ ગેટ માટે ઇનપુટ તરીકે કાર્ય કરે છે. $NOT$ ગેટનું આઉટપુટ $\overline{\overline{A+B}} = A+B$ થશે.
તેથી,$Y = A+B$,જે $OR$ ગેટનું બુલિયન સમીકરણ છે. આમ,આ સર્કિટ $OR$ ગેટ તરીકે કાર્ય કરે છે.
$(b)$ $A$ અને $B$ એ ઇનપુટ છે અને $Y$ એ આઉટપુટ છે. ઇનપુટ $A$ અને $B$ પ્રથમ બે $NOT$ ગેટમાંથી પસાર થાય છે,જે અનુક્રમે $\overline{A}$ અને $\overline{B}$ આપે છે.
ત્યારબાદ આને $NOR$ ગેટના ઇનપુટ તરીકે આપવામાં આવે છે.
$NOR$ ગેટનું આઉટપુટ $Y = \overline{\overline{A} + \overline{B}}$ છે.
ડી મોર્ગનના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$\overline{\overline{A} + \overline{B}} = \overline{\overline{A}} \cdot \overline{\overline{B}} = A \cdot B$.
તેથી,$Y = A \cdot B$,જે $AND$ ગેટનું બુલિયન સમીકરણ છે. આમ,આ સર્કિટ $AND$ ગેટ તરીકે કાર્ય કરે છે.

(N/A) આપેલ સર્કિટમાં,ઇનપુટ $A$ એ $NAND$ ગેટના બંને ઇનપુટ્સ સાથે જોડાયેલ છે. ધારો કે ઇનપુટ્સ $A_1 = A$ અને $A_2 = A$ છે. $NAND$ ગેટનું આઉટપુટ $Y$ એ $Y = \overline{A_1 \cdot A_2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઇનપુટ્સ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$Y = \overline{A \cdot A}$
બુલિયન આઈડેન્ટિટી $A \cdot A = A$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$Y = \overline{A}$
આ ઓપરેશન માટેનું ટ્રુથ ટેબલ નીચે મુજબ છે:

$A$	$Y = \overline{A}$
$0$	$1$
$1$	$0$

અહીં આઉટપુટ $Y$ એ ઇનપુટ $A$ નું પૂરક (complement) હોવાથી,આ સર્કિટ $NOT$ ગેટ તરીકે કાર્ય કરે છે.

(N/A) આપેલ બંને સર્કિટમાં,$A$ અને $B$ ઇનપુટ છે અને $Y$ આઉટપુટ છે.
$(a)$ પ્રથમ $NAND$ ગેટનું આઉટપુટ $\overline{A \cdot B}$ છે. આ આઉટપુટને બીજા $NAND$ ગેટમાં આપવામાં આવે છે જ્યાં બંને ઇનપુટ એકસાથે જોડાયેલા છે. બંને ઇનપુટ જોડાયેલા હોય તેવો $NAND$ ગેટ $NOT$ ગેટ તરીકે કાર્ય કરે છે. તેથી,અંતિમ આઉટપુટ $Y = \overline{(\overline{A \cdot B})} = A \cdot B$ છે. આમ,આ સર્કિટ $AND$ ગેટ તરીકે કાર્ય કરે છે.
$(b)$ આ સર્કિટમાં,પ્રથમ બે $NAND$ ગેટના ઇનપુટ એકસાથે જોડાયેલા છે,તેથી તેઓ $NOT$ ગેટ તરીકે કાર્ય કરે છે. આઉટપુટ અનુક્રમે $\overline{A}$ અને $\overline{B}$ મળે છે. ત્યારબાદ આને ત્રીજા $NAND$ ગેટમાં આપવામાં આવે છે. અંતિમ આઉટપુટ $Y = \overline{\overline{A} \cdot \overline{B}}$ છે. ડી મોર્ગનના પ્રમેય મુજબ,$\overline{\overline{A} \cdot \overline{B}} = \overline{\overline{A}} + \overline{\overline{B}} = A + B$. આમ,આ સર્કિટ $OR$ ગેટ તરીકે કાર્ય કરે છે.

(N/A) ધારો કે $A$ અને $B$ આપેલ પરિપથના ઇનપુટ છે. પ્રથમ $NOR$ ગેટનું આઉટપુટ $\overline{A+B}$ છે.
આકૃતિ પરથી જોઈ શકાય છે કે પ્રથમ $NOR$ ગેટનું આઉટપુટ બીજા $NOR$ ગેટના બંને ટર્મિનલ માટે ઇનપુટ તરીકે કાર્ય કરે છે.
તેથી,અંતિમ આઉટપુટ $Y$ નીચે મુજબ મળે છે:
$Y = \overline{(\overline{A+B}) + (\overline{A+B})}$
બુલિયન આઈડેન્ટિટી $\overline{X+X} = \overline{X}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$Y = \overline{(\overline{A+B})} = A+B$
આ ઓપરેશન માટેનું સત્યતા કોષ્ટક નીચે મુજબ છે:

$A$	$B$	$Y (= A + B)$
$0$	$0$	$0$
$0$	$1$	$1$
$1$	$0$	$1$
$1$	$1$	$1$

આ $OR$ ગેટનું સત્યતા કોષ્ટક છે. તેથી,આ પરિપથ $OR$ ગેટ તરીકે કાર્ય કરે છે.

(N/A) પરિપથ $(a)$ માટે:
ઇનપુટ $A$ એ $NOR$ ગેટના બંને ઇનપુટ સાથે જોડાયેલ છે. આઉટપુટ $Y$ એ $Y = \overline{A+A} = \bar{A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સત્યતા કોષ્ટક નીચે મુજબ છે:

$A$	$Y(=\bar{A})$
$0$	$1$
$1$	$0$

આ $NOT$ ગેટનું સત્યતા કોષ્ટક છે. તેથી,પરિપથ $(a)$ એ $NOT$ ગેટ તરીકે કાર્ય કરે છે.
પરિપથ $(b)$ માટે:
$A$ અને $B$ ઇનપુટ્સ છે. પ્રથમ બે $NOR$ ગેટ $NOT$ ગેટ તરીકે કાર્ય કરે છે,જે $\bar{A}$ અને $\bar{B}$ આઉટપુટ આપે છે.
આ અંતિમ $NOR$ ગેટ માટે ઇનપુટ છે. આઉટપુટ $Y$ નીચે મુજબ છે:
$Y = \overline{\bar{A}+\bar{B}} = \overline{\overline{A \cdot B}} = A \cdot B$ (ડી મોર્ગનના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને).
સત્યતા કોષ્ટક નીચે મુજબ છે:

$A$	$B$	$Y(=A \cdot B)$
$0$	$0$	$0$
$0$	$1$	$0$
$1$	$0$	$0$
$1$	$1$	$1$

આ $AND$ ગેટનું સત્યતા કોષ્ટક છે. તેથી,પરિપથ $(b)$ એ $AND$ ગેટ તરીકે કાર્ય કરે છે.

(C) આપેલ બુલિયન સમીકરણ $Y = \bar{A} \cdot B + A \cdot \bar{B}$ છે.
આ $XOR$ (એક્સક્લુઝિવ $OR$) ગેટ માટેનું પ્રમાણિત બુલિયન સમીકરણ છે.
મૂળભૂત ગેટ્સનો ઉપયોગ કરીને તેની રચના નીચે મુજબ છે:
$1$. ઇનપુટ $A$ અને $B$ માંથી $\bar{A}$ અને $\bar{B}$ મેળવવા માટે બે $NOT$ ગેટનો ઉપયોગ કરો.
$2$. બે $AND$ ગેટનો ઉપયોગ કરો: પ્રથમ $AND$ ગેટ ઇનપુટ $\bar{A}$ અને $B$ લઈને $\bar{A} \cdot B$ આઉટપુટ આપે છે. બીજો $AND$ ગેટ ઇનપુટ $A$ અને $\bar{B}$ લઈને $A \cdot \bar{B}$ આઉટપુટ આપે છે.
$3$. બંને $AND$ ગેટના આઉટપુટને જોડવા માટે એક $OR$ ગેટનો ઉપયોગ કરો: $Y = (\bar{A} \cdot B) + (A \cdot \bar{B})$.

(N/A) એમ્પ્લીફાયર અને ઓસિલેટર જેવા ઇલેક્ટ્રોનિક સર્કિટમાં,સિગ્નલ સમય સાથે પ્રવાહ અથવા વોલ્ટેજમાં સતત ફેરફારના સ્વરૂપમાં હોય છે. આવા સિગ્નલોને સતત અથવા એનાલોગ સિગ્નલ કહેવામાં આવે છે.
એક લાક્ષણિક એનાલોગ સિગ્નલ આકૃતિ $(a)$ અને $(b)$ માં દર્શાવેલ છે.
જો પ્રવાહ અથવા વોલ્ટેજ (સિગ્નલ) પાસે માત્ર બે જ ન્યૂનતમ અને મહત્તમ મૂલ્યો હોય,તો તે સિગ્નલને ડિજિટલ સિગ્નલ કહેવામાં આવે છે.
આકૃતિ $(c)$ માં દર્શાવેલ સિગ્નલ વેવફોર્મ અથવા પલ્સના સ્વરૂપમાં છે,જેમાં સિગ્નલના માત્ર બે જ મૂલ્યો હોય છે.
આવા સિગ્નલને દર્શાવવા માટે બાઈનરી સિસ્ટમ અનુકૂળ છે. બાઈનરીમાં માત્ર બે અંકો $0$ અને $1$ હોય છે. વોલ્ટેજનું મહત્તમ મૂલ્ય (દા.ત.,$5 \ V$) ને $1$ તરીકે અને ન્યૂનતમ મૂલ્ય (દા.ત.,$0 \ V$) ને $0$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
ડિજિટલ સર્કિટમાં બે મૂલ્યો ($0$ અને $1$) દ્વારા દર્શાવેલ ઇનપુટ અને આઉટપુટ વોલ્ટેજ માન્ય છે.

(N/A) લોજિક સર્કિટમાં બે પ્રકારની સિસ્ટમનો ઉપયોગ થાય છે:
$(1)$ પોઝિટિવ લોજિક સિસ્ટમ: આ પ્રકારની સિસ્ટમમાં,ઉચ્ચ વોલ્ટેજ સ્તરને લોજિક $'1'$ (હાઈ) તરીકે અને નીચા વોલ્ટેજ સ્તરને લોજિક $'0'$ (લો) તરીકે લેવામાં આવે છે.
$(2)$ નેગેટિવ લોજિક સિસ્ટમ: આ પ્રકારની સિસ્ટમમાં,નીચા વોલ્ટેજ સ્તરને લોજિક $'1'$ (હાઈ) તરીકે અને ઉચ્ચ વોલ્ટેજ સ્તરને લોજિક $'0'$ (લો) તરીકે લેવામાં આવે છે.

(N/A) લોજિક ગેટ એ એક ડિજિટલ સર્કિટ છે જે ચોક્કસ લોજિકલ કાર્ય કરે છે. તે ઇનપુટ અને આઉટપુટ વોલ્ટેજ વચ્ચેના નિર્ધારિત તાર્કિક સંબંધના આધારે કાર્ય કરે છે.
તેમને 'ગેટ' કહેવામાં આવે છે કારણ કે તેઓ તાર્કિક શરતોના આધારે માહિતીના પ્રવાહને નિયંત્રિત કરે છે.
પાંચ સામાન્ય લોજિક ગેટ $NOT$,$AND$,$OR$,$NAND$ અને $NOR$ છે. દરેક લોજિક ગેટ એક વિશિષ્ટ પ્રતીક દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે અને તેનું વર્તન તેના ટ્રુથ ટેબલ (સત્યતા કોષ્ટક) દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
ટ્રુથ ટેબલ એ એક કોષ્ટક છે જે લોજિક ગેટ માટે તમામ સંભવિત ઇનપુટ સંયોજનો અને તેના અનુરૂપ આઉટપુટ મૂલ્યોની યાદી આપે છે.
બુલિયન સમીકરણ એ ચોક્કસ લોજિક ગેટ દ્વારા કરવામાં આવતી કામગીરીનું ગાણિતિક નિરૂપણ પૂરું પાડે છે.
લોજિક ગેટ્સ ડાયોડ અને ટ્રાન્ઝિસ્ટર જેવા સેમિકન્ડક્ટર ઉપકરણોનો ઉપયોગ કરીને બનાવવામાં આવે છે.

(N/A) $NOT$ ગેટ:
સંજ્ઞા: આકૃતિ $(a)$ માં દર્શાવેલ છે. તેમાં એક ઇનપુટ $A$ અને એક આઉટપુટ $Y$ હોય છે.
કાર્ય: જો ઇનપુટ $1$ હોય,તો આઉટપુટ $0$ મળે છે. જો ઇનપુટ $0$ હોય,તો આઉટપુટ $1$ મળે છે. તે ઇન્વર્ટર તરીકે કાર્ય કરે છે.
બુલિયન સમીકરણ: $Y = \overline{A}$.
સત્યતા કોષ્ટક:
| ઇનપુટ $A$ | આઉટપુટ $Y$ |
| :--- | :--- |
| $0$ | $1$ |
| $1$ | $0$ |
$OR$ ગેટ:
સંજ્ઞા: આકૃતિ $(a)$ માં દર્શાવેલ છે. તેમાં બે કે તેથી વધુ ઇનપુટ $(A, B)$ અને એક આઉટપુટ $Y$ હોય છે.
કાર્ય: જો ઓછામાં ઓછું એક ઇનપુટ $1$ હોય,તો આઉટપુટ $1$ મળે છે.
બુલિયન સમીકરણ: $Y = A + B$.
સત્યતા કોષ્ટક:
| ઇનપુટ $A$ | ઇનપુટ $B$ | આઉટપુટ $Y$ |
| :--- | :--- | :--- |
| $0$ | $0$ | $0$ |
| $0$ | $1$ | $1$ |
| $1$ | $0$ | $1$ |
| $1$ | $1$ | $1$ |
$AND$ ગેટ:
સંજ્ઞા: આકૃતિ $(a)$ માં દર્શાવેલ છે. તેમાં બે કે તેથી વધુ ઇનપુટ $(A, B)$ અને એક આઉટપુટ $Y$ હોય છે.
કાર્ય: આઉટપુટ $1$ ત્યારે જ મળે છે જ્યારે બંને ઇનપુટ $A$ અને $B$ નું મૂલ્ય $1$ હોય.
બુલિયન સમીકરણ: $Y = A \bullet B$.
સત્યતા કોષ્ટક:
| ઇનપુટ $A$ | ઇનપુટ $B$ | આઉટપુટ $Y$ |
| :--- | :--- | :--- |
| $0$ | $0$ | $0$ |
| $0$ | $1$ | $0$ |
| $1$ | $0$ | $0$ |
| $1$ | $1$ | $1$ |

(N/A) $NAND$ ગેટ એ $AND$ ગેટ અને $NOT$ ગેટના સંયોજનથી બને છે. $\therefore AND + NOT = NAND$.
આ $AND$ ગેટ પછી $NOT$ ગેટ આવે છે. આ ગેટની સંજ્ઞા $AND$ ગેટના આઉટપુટ પર એક નાનું વર્તુળ મૂકીને દર્શાવવામાં આવે છે. તેમાં બે ઇનપુટ $(A, B)$ અને એક આઉટપુટ $(Y)$ હોય છે.
$NAND$ ગેટનું કાર્ય: જ્યારે બધા ઇનપુટ $'1'$ હોય ત્યારે જ આઉટપુટ $'0'$ મળે છે,અન્યથા આઉટપુટ $'1'$ મળે છે.
બુલિયન સમીકરણ: $Y = \overline{A \cdot B}$.
$NAND$ ગેટ માટેનું ટ્રુથ ટેબલ:
| $A$ | $B$ | $Y$ |
|---|---|---|
| $0$ | $0$ | $1$ |
| $0$ | $1$ | $1$ |
| $1$ | $0$ | $1$ |
| $1$ | $1$ | $0$ |
$NAND$ ગેટને યુનિવર્સલ ગેટ કહેવામાં આવે છે કારણ કે તેનો ઉપયોગ કરીને અન્ય મૂળભૂત ગેટ જેવા કે $OR$,$AND$ અને $NOT$ બનાવી શકાય છે.
$NOR$ ગેટ એ $OR$ ગેટ અને $NOT$ ગેટના સંયોજનથી બને છે. $\therefore OR + NOT = NOR$.
આ $OR$ ગેટ પછી $NOT$ ગેટ આવે છે. તેની સંજ્ઞા $OR$ ગેટના આઉટપુટ પર એક નાનું વર્તુળ મૂકીને દર્શાવવામાં આવે છે.
$NOR$ ગેટનું કાર્ય: જ્યારે બધા ઇનપુટ $'0'$ હોય ત્યારે જ આઉટપુટ $'1'$ મળે છે,અન્યથા આઉટપુટ $'0'$ મળે છે.
બુલિયન સમીકરણ: $Y = \overline{A + B}$.
$NOR$ ગેટ માટેનું ટ્રુથ ટેબલ:
| $A$ | $B$ | $Y$ |
|---|---|---|
| $0$ | $0$ | $1$ |
| $0$ | $1$ | $0$ |
| $1$ | $0$ | $0$ |
| $1$ | $1$ | $0$ |
$NOR$ ગેટને પણ યુનિવર્સલ ગેટ કહેવામાં આવે છે.

(N/A) ડિજિટલ સિગ્નલ એ એક એવો સિગ્નલ છે જે ફક્ત બે અલગ-અલગ મૂલ્યો લઈ શકે છે,જેને સામાન્ય રીતે $0$ (લો) અને $1$ (હાઈ) તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે. આ મૂલ્યો ઇલેક્ટ્રોનિક સર્કિટમાં ચોક્કસ વોલ્ટેજ સ્તરને અનુરૂપ હોય છે.
ડિજિટલ સિગ્નલને વ્યક્ત કરવા માટે વપરાતી ગાણિતિક પદ્ધતિને $Boolean$ $Algebra$ (બુલિયન બીજગણિત) કહેવામાં આવે છે. તે બીજગણિતની એક શાખા છે જેમાં ચલના મૂલ્યો સત્ય $(true)$ અને અસત્ય $(false)$ હોય છે,જેને સામાન્ય રીતે અનુક્રમે $1$ અને $0$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.

(B) લોજિક ગેટ એ ડિજિટલ સર્કિટનો પાયાનો એકમ છે. તે એક એવી ડિજિટલ સર્કિટ છે જે એક અથવા વધુ બાઈનરી ઇનપુટ્સ પર તાર્કિક પ્રક્રિયા કરે છે અને એક બાઈનરી આઉટપુટ આપે છે. ઇનપુટ અને આઉટપુટ વચ્ચેનો સંબંધ અમુક તાર્કિક નિયમો પર આધારિત હોય છે,જે બુલિયન બીજગણિત દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે. તેના સામાન્ય ઉદાહરણોમાં $AND$,$OR$,$NOT$,$NAND$ અને $NOR$ ગેટનો સમાવેશ થાય છે.

(C) લોજિક ગેટ એ એક ડિજિટલ સર્કિટ છે જે એક અથવા વધુ ઇનપુટ પર તાર્કિક કામગીરી કરે છે અને એક આઉટપુટ આપે છે.
મૂળભૂત લોજિક ગેટ્સમાં,$NOT$ ગેટ એકમાત્ર એવું ગેટ છે જેમાં બરાબર એક ઇનપુટ અને એક આઉટપુટ હોય છે.
$NOT$ ગેટ ઇન્વર્ઝન (ઉલટાવવાની) પ્રક્રિયા કરે છે,જેનો અર્થ છે કે જો ઇનપુટ $0$ હોય,તો આઉટપુટ $1$ મળે છે,અને જો ઇનપુટ $1$ હોય,તો આઉટપુટ $0$ મળે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) ઇન્વર્ટર ગેટ એ એક લોજિક ગેટ છે જે તાર્કિક નકાર (logical negation) અમલમાં મૂકે છે. તે એક ઇનપુટ લે છે અને તેની વિરુદ્ધ આઉટપુટ આપે છે. $NOT$ ગેટને ઇન્વર્ટર તરીકે ઓળખવામાં આવે છે કારણ કે જો ઇનપુટ $1$ (હાઈ) હોય,તો આઉટપુટ $0$ (લો) મળે છે,અને જો ઇનપુટ $0$ (લો) હોય,તો આઉટપુટ $1$ (હાઈ) મળે છે. તેથી,$NOT$ ગેટ એ ઇન્વર્ટર ગેટ છે.

(A) $AND$ ગેટ એ એક પાયાનો ડિજિટલ લોજિક ગેટ છે જે તાર્કિક સંયોજન (logical conjunction) દર્શાવે છે.
તે ત્યારે જ $1$ (હાઈ) આઉટપુટ આપે છે જ્યારે તેના તમામ ઇનપુટ $1$ (હાઈ) હોય.
જો કોઈપણ ઇનપુટ $0$ (લો) હોય,તો આઉટપુટ $0$ (લો) મળે છે.
ગાણિતિક રીતે,બે ઇનપુટ $A$ અને $B$ માટે,આઉટપુટ $Y$ ને $Y = A \cdot B$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.

(N/A) $NAND$ ગેટ એ એક સાર્વત્રિક લોજિક ગેટ છે જે ફક્ત ત્યારે જ લો આઉટપુટ $(0)$ આપે છે જ્યારે તેના તમામ ઇનપુટ હાઈ $(1)$ હોય. અન્યથા, તે હાઈ આઉટપુટ $(1)$ આપે છે.
બે ઇનપુટ $A$ અને $B$ અને આઉટપુટ $Y$ ધરાવતા $NAND$ ગેટ માટે, બુલિયન સમીકરણ $Y = \overline{A \cdot B}$ છે.
તેનું ટ્રુથ ટેબલ નીચે મુજબ છે:
| ઇનપુટ $A$ | ઇનપુટ $B$ | આઉટપુટ $Y$ |
| :--- | :--- | :--- |
| $0$ | $0$ | $1$ |
| $0$ | $1$ | $1$ |
| $1$ | $0$ | $1$ |
| $1$ | $1$ | $0$ |

(A) $NOR$ ગેટ એ એક સાર્વત્રિક લોજિક ગેટ છે જે તાર્કિક $OR$ ઓપરેશન અને ત્યારબાદ તાર્કિક $NOT$ ઓપરેશન કરે છે.
તેથી, $NOR$ ગેટનું આઉટપુટ એ $OR$ ગેટના આઉટપુટનું પૂરક (complement) છે.
ગાણિતિક રીતે, જો ઇનપુટ $A$ અને $B$ હોય, તો આઉટપુટ $Y$ એ $Y = \overline{A + B}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ $OR$ ગેટને $NOT$ ગેટ સાથે શ્રેણીમાં જોડવા સમાન છે.

(N/A) બેઝિક ગેટ્સ એ ડિજિટલ લોજિક સર્કિટના પાયાના ઘટકો છે. તેઓ સરળ તાર્કિક ક્રિયાઓ કરે છે. ત્રણ મુખ્ય બેઝિક લોજિક ગેટ્સ નીચે મુજબ છે:
$1$. $NOT$ ગેટ: તે ઇન્વર્ટર તરીકે કાર્ય કરે છે,જે ઇનપુટના વિરોધી આઉટપુટ આપે છે.
$2$. $AND$ ગેટ: તે ત્યારે જ હાઈ આઉટપુટ $(1)$ આપે છે જો તેના તમામ ઇનપુટ્સ હાઈ $(1)$ હોય.
$3$. $OR$ ગેટ: તે હાઈ આઉટપુટ $(1)$ આપે છે જો તેના ઇનપુટ્સમાંથી ઓછામાં ઓછું એક ઇનપુટ હાઈ $(1)$ હોય.
યુનિવર્સલ ગેટ્સ એવા લોજિક ગેટ્સ છે જેનો ઉપયોગ કરીને કોઈપણ બુલિયન ફંક્શન અથવા અન્ય કોઈપણ પ્રકારના લોજિક ગેટ બનાવી શકાય છે,જેમાં અન્ય કોઈ ગેટની જરૂર પડતી નથી. બે યુનિવર્સલ ગેટ્સ નીચે મુજબ છે:
$1$. $NAND$ ગેટ: તે $AND$ ગેટ અને ત્યારબાદ $NOT$ ગેટનું સંયોજન છે.
$2$. $NOR$ ગેટ: તે $OR$ ગેટ અને ત્યારબાદ $NOT$ ગેટનું સંયોજન છે.

(N/A) આ પરિસ્થિતિમાં,જો ઇનપુટ $A$ હાઇ હોય અથવા ઇનપુટ $B$ હાઇ હોય તો દરવાજો ખુલવો જરૂરી છે. આ તર્ક $OR$ ગેટને અનુરૂપ છે. અહીં ડાયોડ-આધારિત $OR$ ગેટ સર્કિટનો ઉપયોગ કરવામાં આવ્યો છે,જ્યાં બે ડાયોડના કેથોડને આઉટપુટ $C$ સાથે જોડવામાં આવે છે અને એનોડ ઇનપુટ $A$ અને $B$ તરીકે કાર્ય કરે છે. જ્યારે ઇનપુટ $A$ અથવા $B$ માંથી કોઈ પણ ઉચ્ચ સ્થિતિ (લોજિક $1$) પર હોય,ત્યારે સંબંધિત ડાયોડ ફોરવર્ડ-બાયસ થાય છે,જે પ્રવાહને વહેવા દે છે અને આઉટપુટ $C$ પરના પોટેન્શિયલને ઉચ્ચ સ્થિતિ (લોજિક $1$) પર લાવે છે. જો બંને હાઇ હોય,તો આઉટપુટ હાઇ રહે છે. જો બંને લો (લોજિક $0$) હોય,તો આઉટપુટ લો રહે છે.
$OR$ ગેટ માટે ટ્રુથ ટેબલ:

ઇનપુટ્સ $(A, B)$	આઉટપુટ $(C)$
$0, 0$	$0$
$0, 1$	$1$
$1, 0$	$1$
$1, 1$	$1$

(N/A) $NPN$ ટ્રાન્ઝિસ્ટરનો ઉપયોગ કરીને $NOT$ ગેટ મેળવવા માટે, ટ્રાન્ઝિસ્ટરને કોમન-એમિટર કોન્ફિગરેશનમાં વાપરવામાં આવે છે। ઇનપુટ $A$ ને રજિસ્ટર $R_B$ દ્વારા બેઝ પર આપવામાં આવે છે, અને આઉટપુટ $C$ ને કલેક્ટર ટર્મિનલ પરથી લેવામાં આવે છે.
કિસ્સો $I$:
જ્યારે $A=0$ (લો ઇનપુટ), ત્યારે બેઝ કરંટ $I_B = 0$ હોય છે। પરિણામે, કલેક્ટર કરંટ $I_C = \beta I_B = 0$ થાય છે। આઉટપુટ લૂપમાં કિર્ચોફના વોલ્ટેજ નિયમનો ઉપયોગ કરતા, $V_{CC} = I_C R_C + V_{CE}$। $I_C = 0$ હોવાથી, $V_{CE} = V_{CC} = 5 \text{ V}$ મળે છે। આમ, આઉટપુટ $C = 1$ (હાઈ) મળે છે.
કિસ્સો $II$:
જ્યારે $A=1$ (હાઈ ઇનપુટ), ત્યારે ટ્રાન્ઝિસ્ટર સેચ્યુરેશનમાં જાય છે, જેનાથી $I_B$ અને $I_C$ મહત્તમ બને છે। આ સ્થિતિમાં, $R_C$ પરનો વોલ્ટેજ ડ્રોપ લગભગ $V_{CC}$ જેટલો હોય છે, તેથી $V_{CE} \approx 0$ થાય છે। આમ, આઉટપુટ $C = 0$ (લો) મળે છે.
આ $C = \bar{A}$ ઓપરેશનની પુષ્ટિ કરે છે, જે $NOT$ ગેટની લાક્ષણિકતા છે.

ઇનપુટ $A$	આઉટપુટ $C$
$0$	$1$
$1$	$0$

(N/A) આપેલ સર્કિટ $OR$ ગેટ છે.
જ્યારે ઇનપુટ $A$ અથવા ઇનપુટ $B$ લો પોટેન્શિયલ $(0)$ પર હોય,ત્યારે સંબંધિત ડાયોડ ($D_1$ અથવા $D_2$) ફોરવર્ડ બાયસ થાય છે અને વહન કરે છે,જેનાથી આઉટપુટ $V_0$ લો પોટેન્શિયલ $(0)$ પર આવે છે.
જ્યારે બંને ઇનપુટ $A$ અને $B$ હાઈ પોટેન્શિયલ $(1)$ પર હોય,ત્યારે બંને ડાયોડ રિવર્સ બાયસ થાય છે અને વહન કરતા નથી. આ કિસ્સામાં આઉટપુટ $V_0$ રજિસ્ટર દ્વારા હાઈ પોટેન્શિયલ $(+5 \text{ V})$ પર ખેંચાય છે.
આમ,આ સર્કિટ $OR$ ગેટ તરીકે કાર્ય કરે છે.
ટ્રુથ ટેબલ નીચે મુજબ છે:
| $A$ | $B$ | $V_0 = A + B$ |
|---|---|---|
| $0$ | $0$ | $0$ |
| $0$ | $1$ | $1$ |
| $1$ | $0$ | $1$ |
| $1$ | $1$ | $1$ |

(N/A) આકૃતિ $(3)$ માં દર્શાવેલ સર્કિટ માટે:
$Y_1 = \overline{A}$,$Y_2 = \overline{B}$.
$NAND$ ગેટનું આઉટપુટ $Y = \overline{Y_1 \cdot Y_2} = \overline{\overline{A} \cdot \overline{B}} = A + B$ છે.
અંતિમ $NOT$ ગેટ $C_1 = \overline{Y} = \overline{A + B}$ આપે છે.
આ $NOR$ ગેટ માટેનું બુલિયન સમીકરણ છે.
ઇનપુટ સિગ્નલ $A$ અને $B$ ના આધારે,આઉટપુટ $C_1$ ત્યારે જ હાઇ $(1)$ હોય છે જ્યારે $A$ અને $B$ બંને લો $(0)$ હોય,જે $t = 4 \text{ s}$ થી $t = 5 \text{ s}$ ના સમયગાળામાં થાય છે.
આકૃતિ $(4)$ માં દર્શાવેલ સર્કિટ માટે:
$Y_1 = \overline{A}$,$Y_2 = \overline{B}$.
$NOR$ ગેટનું આઉટપુટ $C_2 = \overline{Y_1 + Y_2} = \overline{\overline{A} + \overline{B}} = \overline{\overline{A \cdot B}} = A \cdot B$ છે.
આ $AND$ ગેટ માટેનું બુલિયન સમીકરણ છે.
ઇનપુટ સિગ્નલ $A$ અને $B$ ના આધારે,આઉટપુટ $C_2$ ત્યારે જ હાઇ $(1)$ હોય છે જ્યારે $A$ અને $B$ બંને હાઇ $(1)$ હોય,જે $t = 1 \text{ s}$ થી $t = 2 \text{ s}$ ના સમયગાળામાં થાય છે.

(C) આપેલ સત્યતા કોષ્ટક દર્શાવે છે કે આઉટપુટ $Y$ ફક્ત ત્યારે જ $1$ હોય છે જ્યારે ઇનપુટ $A$ અને $B$ અલગ-અલગ હોય (એટલે કે $0,1$ અથવા $1,0$).
આ $XOR$ (એક્સક્લુઝિવ-$OR$) ગેટનું લાક્ષણિક સત્યતા કોષ્ટક છે。
આ ગેટ માટેનું બુલિયન સમીકરણ $Y = A \oplus B = \overline{A} \cdot B + A \cdot \overline{B}$ છે。
પરિપથ આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ, આઉટપુટ $Y$ એ બે $AND$ ગેટના આઉટપુટ ($Y_1 = \overline{A} \cdot B$ અને $Y_2 = A \cdot \overline{B}$) ને $OR$ ગેટ દ્વારા જોડીને મેળવવામાં આવે છે, જેનું પરિણામ $Y = Y_1 + Y_2 = \overline{A} \cdot B + A \cdot \overline{B}$ મળે છે。

(N/A) સમીકરણ $Y = \bar{A} \cdot B + A \cdot \bar{B}$ એ $XOR$ (Exclusive $OR$) તાર્કિક ક્રિયા દર્શાવે છે.
આને મૂળભૂત ગેટનો ઉપયોગ કરીને બનાવવા માટે:
$1$. ઇનપુટ $A$ અને $B$ માંથી $\bar{A}$ અને $\bar{B}$ મેળવવા માટે બે $NOT$ ગેટનો ઉપયોગ કરો.
$2$. બે $AND$ ગેટનો ઉપયોગ કરો: પ્રથમ $AND$ ગેટ ઇનપુટ $\bar{A}$ અને $B$ લઈને $\bar{A} \cdot B$ આપે છે. બીજો $AND$ ગેટ ઇનપુટ $A$ અને $\bar{B}$ લઈને $A \cdot \bar{B}$ આપે છે.
$3$. બંને $AND$ ગેટના આઉટપુટને જોડવા માટે એક $OR$ ગેટનો ઉપયોગ કરો,જેનાથી $Y = \bar{A} \cdot B + A \cdot \bar{B}$ પરિણામ મળે છે.

(C) ધારો કે $NAND$ ગેટનું આઉટપુટ $P = \overline{AB}$ છે.
ધારો કે $OR$ ગેટનું આઉટપુટ $Q = A+B$ છે.
$AND$ ગેટ $P$ અને $Q$ ને ઇનપુટ તરીકે લે છે,તેથી તેનું આઉટપુટ $R = P \cdot Q = (\overline{AB}) \cdot (A+B)$ છે.
બુલિયન બીજગણિતનો ઉપયોગ કરતા: $R = (\bar{A} + \bar{B}) \cdot (A+B) = \bar{A}A + \bar{A}B + \bar{B}A + \bar{B}B = 0 + \bar{A}B + A\bar{B} + 0 = A \oplus B$ ($XOR$ ઓપરેશન).
અંતિમ $NOR$ ગેટ $P$ અને $R$ ને ઇનપુટ તરીકે લે છે,તેથી $Z = \overline{P+R} = \overline{(\overline{AB}) + (A \oplus B)}$.
દરેક ઇનપુટ $(A, B)$ માટે ગણતરી કરીએ:
$1$. $(1, 0): P = \overline{1 \cdot 0} = 1, Q = 1+0 = 1, R = 1 \cdot 1 = 1. Z = \overline{1+1} = 0$.
$2$. $(0, 0): P = \overline{0 \cdot 0} = 1, Q = 0+0 = 0, R = 1 \cdot 0 = 0. Z = \overline{1+0} = 0$.
$3$. $(1, 1): P = \overline{1 \cdot 1} = 0, Q = 1+1 = 1, R = 0 \cdot 1 = 0. Z = \overline{0+0} = 1$.
$4$. $(0, 1): P = \overline{0 \cdot 1} = 1, Q = 0+1 = 1, R = 1 \cdot 1 = 1. Z = \overline{1+1} = 0$.
આમ,આઉટપુટ $0, 0, 1, 0$ મળે છે.

(A) આ સર્કિટમાં ત્રણ $NOT$ ગેટ (જે $NOR$ ગેટના ઇનપુટ્સને શોર્ટ કરીને બનાવવામાં આવ્યા છે) અને ત્યારબાદ એક $NOR$ ગેટનો સમાવેશ થાય છે.
ધારો કે ઇનપુટ્સ $A, B, C$ છે.
ત્રણ $NOT$ ગેટના આઉટપુટ $A' = \bar{A}$,$B' = \bar{B}$,અને $C' = \bar{C}$ છે.
આ આઉટપુટને $NOR$ ગેટમાં આપવામાં આવે છે. અંતિમ આઉટપુટ $Y$ નીચે મુજબ મળે છે:
$Y = \overline{A' + B' + C'} = \overline{\bar{A} + \bar{B} + \bar{C}}$.
ડી મોર્ગનના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$\overline{\bar{A} + \bar{B} + \bar{C}} = \overline{\bar{A}} \cdot \overline{\bar{B}} \cdot \overline{\bar{C}} = A \cdot B \cdot C$.
આમ,આ સર્કિટ $AND$ ઓપરેશન કરે છે.

(B) આપેલ સર્કિટમાં બે $NOT$ ગેટ અને ત્યારબાદ એક $NAND$ ગેટ છે.
$NAND$ ગેટના ઇનપુટ્સ $\bar{A}$ અને $\bar{B}$ છે.
$NAND$ ગેટનો આઉટપુટ $Y$ બુલિયન સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$Y = \overline{\bar{A} \cdot \bar{B}}$
ડી મોર્ગનના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$\overline{X \cdot Y} = \bar{X} + \bar{Y}$.
તેથી,$Y = \overline{\bar{A}} + \overline{\bar{B}} = A + B$.
આ એક $OR$ ગેટ ઓપરેશન દર્શાવે છે.
જુદા જુદા સમયના અંતરાલો પર $A$ અને $B$ માટેના ઇનપુટ વેવફોર્મનું વિશ્લેષણ કરીને,આપણે આઉટપુટ $Y = A + B$ નક્કી કરી શકીએ છીએ:
- $t < 5$ માટે,$A=0, B=1 \implies Y=1$.
- $5 < t < 7$ માટે,$A=1, B=1 \implies Y=1$.
- $7 < t < 10$ માટે,$A=0, B=0 \implies Y=0$.
- $10 < t < 15$ માટે,$A=1, B=1 \implies Y=1$.
- $15 < t < 17$ માટે,$A=0, B=0 \implies Y=0$.
- $17 < t < 19$ માટે,$A=1, B=0 \implies Y=1$.
- $t > 19$ માટે,$A=0, B=1 \implies Y=1$.
આને આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,$OR$ ઓપરેશનને અનુરૂપ વેવફોર્મ વિકલ્પ $B$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવ્યું છે.

(B) આપેલ સર્કિટમાં બે $NOT$ ગેટ અને ત્યારબાદ એક $NOR$ ગેટનો ઉપયોગ થયો છે.
ધારો કે ઇનપુટ $A$ અને $B$ છે.
બે $NOT$ ગેટના આઉટપુટ $\bar{A}$ અને $\bar{B}$ મળે છે.
આ $NOR$ ગેટ માટે ઇનપુટ તરીકે કાર્ય કરે છે.
$NOR$ ગેટનું આઉટપુટ $Y$ નીચે મુજબના બુલિયન સમીકરણ દ્વારા મળે છે:
$Y = \overline{\bar{A} + \bar{B}}$
ડી મોર્ગનના પ્રમેય મુજબ,$\overline{\bar{A} + \bar{B}} = \overline{\bar{A}} \cdot \overline{\bar{B}} = A \cdot B$.
આમ,આ સર્કિટ $AND$ ગેટ તરીકે કાર્ય કરે છે.
$AND$ ગેટ માટેનું સત્યતા કોષ્ટક નીચે મુજબ છે:

$A$	$B$	$Y$
$0$	$0$	$0$
$0$	$1$	$0$
$1$	$0$	$0$
$1$	$1$	$1$

તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.