Boolean Algebra and Logic Gates Questions in Gujarati

(A) આપેલ સર્કિટમાં એક $AND$ ગેટ અને એક $OR$ ગેટનો સમાવેશ થાય છે.
ધારો કે ઇનપુટ્સ $A$ અને $B$ છે.
$AND$ ગેટનું આઉટપુટ $A \cdot B$ છે.
આ આઉટપુટ $OR$ ગેટના ઇનપુટ તરીકે જાય છે,જ્યારે બીજું ઇનપુટ સીધું $A$ છે.
તેથી,અંતિમ આઉટપુટ $Y$ બુલિયન સમીકરણ $Y = A + (A \cdot B)$ દ્વારા મળે છે.
બુલિયન બીજગણિતના નિયમ $A + (A \cdot B) = A(1 + B) = A \cdot 1 = A$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે કે $Y = A$.
ચાલો આને ટુથટેબલ સાથે ચકાસીએ:
- જો $A=0, B=0$ હોય: $Y = 0 + (0 \cdot 0) = 0 + 0 = 0$.
- જો $A=0, B=1$ હોય: $Y = 0 + (0 \cdot 1) = 0 + 0 = 0$.
- જો $A=1, B=0$ હોય: $Y = 1 + (1 \cdot 0) = 1 + 0 = 1$.
- જો $A=1, B=1$ હોય: $Y = 1 + (1 \cdot 1) = 1 + 1 = 1$.
આ પરિણામોને આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,વિકલ્પ $A$ આ ટુથટેબલ સાથે મેળ ખાય છે.

(B) ધારો કે ઇનપુટ $A$ અને $B$ છે.
$1$. પ્રથમ $NAND$ ગેટ આઉટપુટ $C = \overline{A \cdot B}$ આપે છે.
$2$. બીજો $NAND$ ગેટ (ઉપરનો) ઇનપુટ $A$ અને $C$ લે છે, જે $D = \overline{A \cdot C} = \overline{A \cdot (\overline{A \cdot B})} = \overline{A \cdot (\overline{A} + \overline{B})} = \overline{A \cdot \overline{A} + A \cdot \overline{B}} = \overline{0 + A \cdot \overline{B}} = \overline{A \cdot \overline{B}} = \overline{A} + B$ આપે છે.
$3$. ત્રીજો $NAND$ ગેટ (નીચેનો) ઇનપુટ $B$ અને $C$ લે છે, જે $E = \overline{B \cdot C} = \overline{B \cdot (\overline{A \cdot B})} = \overline{B \cdot (\overline{A} + \overline{B})} = \overline{B \cdot \overline{A} + B \cdot \overline{B}} = \overline{B \cdot \overline{A} + 0} = \overline{B \cdot \overline{A}} = \overline{B} + A$ આપે છે.
$4$. અંતિમ $NAND$ ગેટ ઇનપુટ $D$ અને $E$ લે છે, જે $Y = \overline{D \cdot E} = \overline{(\overline{A} + B) \cdot (A + \overline{B})} = \overline{\overline{A} \cdot A + \overline{A} \cdot \overline{B} + B \cdot A + B \cdot \overline{B}} = \overline{0 + \overline{A} \cdot \overline{B} + A \cdot B + 0} = \overline{\overline{A} \cdot \overline{B} + A \cdot B} = A \oplus B$ ($XOR$ ગેટ) આપે છે.
આમ, સત્યાર્થતા કોષ્ટક $B$ મુજબ છે.

(B) આપેલ પરિપથમાં બે $NOT$ ગેટ (બે $NOR$ ગેટના ઇનપુટ્સને શોર્ટ કરીને બનાવેલ) અને ત્યારબાદ એક $NOR$ ગેટનો સમાવેશ થાય છે.
ધારો કે ઇનપુટ્સ $A$ અને $B$ છે.
$A$ અને $A$ ઇનપુટ ધરાવતા પ્રથમ $NOR$ ગેટનું આઉટપુટ $Y_1 = \overline{A+A} = \overline{A}$ છે.
$B$ અને $B$ ઇનપુટ ધરાવતા બીજા $NOR$ ગેટનું આઉટપુટ $Y_2 = \overline{B+B} = \overline{B}$ છે.
આ આઉટપુટ્સ $Y_1$ અને $Y_2$ ને અંતિમ $NOR$ ગેટમાં આપવામાં આવે છે.
અંતિમ આઉટપુટ $Y = \overline{Y_1 + Y_2} = \overline{\overline{A} + \overline{B}}$ દ્વારા મળે છે.
ડી મોર્ગનના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$\overline{\overline{A} + \overline{B}} = \overline{\overline{A}} \cdot \overline{\overline{B}} = A \cdot B$.
આમ,અંતિમ આઉટપુટ $Y = A \cdot B$ છે,જે $AND$ ગેટ દર્શાવે છે.

(D) ધારો કે પ્રથમ $NAND$ ગેટનું આઉટપુટ $P = \overline{A \cdot B}$ છે.
ઉપરના $NAND$ ગેટના ઇનપુટ્સ $A$ અને $P$ છે,તેથી તેનું આઉટપુટ $Q = \overline{A \cdot P} = \overline{A \cdot \overline{A \cdot B}} = \overline{A} + (A \cdot B) = \overline{A} + B$ છે.
નીચેના $NAND$ ગેટના ઇનપુટ્સ $P$ અને $B$ છે,તેથી તેનું આઉટપુટ $R = \overline{P \cdot B} = \overline{\overline{A \cdot B} \cdot B} = (A \cdot B) + \overline{B} = A + \overline{B}$ છે.
અંતિમ આઉટપુટ $Y$ એ છેલ્લા $NAND$ ગેટનું આઉટપુટ છે જેના ઇનપુટ્સ $Q$ અને $R$ છે:
$Y = \overline{Q \cdot R} = \overline{Q} + \overline{R} = \overline{\overline{A} + B} + \overline{A + \overline{B}} = (A \cdot \overline{B}) + (\overline{A} \cdot B)$.
આ $XOR$ ગેટનું સમીકરણ છે.
$1$. $(A = 1, B = 0)$ માટે: $Y = (1 \cdot \overline{0}) + (\overline{1} \cdot 0) = (1 \cdot 1) + (0 \cdot 0) = 1 + 0 = 1$.
$2$. $(A = 1, B = 1)$ માટે: $Y = (1 \cdot \overline{1}) + (\overline{1} \cdot 1) = (1 \cdot 0) + (0 \cdot 1) = 0 + 0 = 0$.
$3$. $(A = 0, B = 0)$ માટે: $Y = (0 \cdot \overline{0}) + (\overline{0} \cdot 0) = (0 \cdot 1) + (1 \cdot 0) = 0 + 0 = 0$.
આમ,આઉટપુટ $1, 0, 0$ છે.

(A) આ પરિપથમાં ત્રણ $NAND$ ગેટનો ઉપયોગ થયો છે. ઉપરનો $NAND$ ગેટ ઇનપુટ $A$ સાથે જોડાયેલ છે, જે $NOT$ ગેટ તરીકે કાર્ય કરે છે, તેથી તેનું આઉટપુટ $Y_1 = \overline{A}$ મળે છે.
નીચેનો $NAND$ ગેટ ઇનપુટ $B$ સાથે જોડાયેલ છે, જે પણ $NOT$ ગેટ તરીકે કાર્ય કરે છે, તેથી તેનું આઉટપુટ $Y_2 = \overline{B}$ મળે છે.
આ બંને આઉટપુટ ત્રીજા $NAND$ ગેટમાં જાય છે, તેથી અંતિમ આઉટપુટ $C = \overline{Y_1 \cdot Y_2} = \overline{\overline{A} \cdot \overline{B}}$ મળે છે.
ડી મોર્ગનના પ્રમેય મુજબ, $\overline{\overline{A} \cdot \overline{B}} = \overline{\overline{A}} + \overline{\overline{B}} = A + B$.
આમ, આ પરિપથ $OR$ ગેટ દર્શાવે છે.

(D) આ પરિપથ ચાર $NOR$ ગેટ $(G_1, G_2, G_3, G_4)$ નો બનેલો છે.
$G_1$ અને $G_2$ એ $NOT$ ગેટ તરીકે કાર્ય કરે છે કારણ કે તેમના ઇનપુટ્સ એકસાથે જોડાયેલા છે. તેથી,આઉટપુટ અનુક્રમે $\bar{A}$ અને $\bar{B}$ મળે છે.
આ આઉટપુટ $G_3$ માં જાય છે,જે એક $NOR$ ગેટ છે. તેનું આઉટપુટ $\overline{\bar{A} + \bar{B}} = \overline{\bar{A}} \cdot \overline{\bar{B}} = A \cdot B$ (ડી મોર્ગનના નિયમ મુજબ) થાય છે.
આ આઉટપુટ $G_4$ માં જાય છે,જે $NOT$ ગેટ તરીકે કાર્ય કરે છે. તેનું આઉટપુટ $\overline{A \cdot B}$ મળે છે.
આમ,અંતિમ આઉટપુટ $Y = \overline{A \cdot B}$ છે,જે $NAND$ ગેટનું બુલિયન સમીકરણ છે.

(D) આ પરિપથમાં એક $OR$ ગેટ $(G_1)$ અને તેની પાછળ એક $NAND$ ગેટ $(G_2)$ જોડાયેલ છે.
ધારો કે $OR$ ગેટનું આઉટપુટ $Y$ છે. તેથી $Y = A + B$.
અંતિમ આઉટપુટ $D$ એ $NAND$ ગેટનું આઉટપુટ છે, જે $D = \overline{Y \cdot C} = \overline{(A + B) \cdot C}$ થાય.
કિસ્સો $1$: $A=0, B=0, C=0$.
$Y = 0 + 0 = 0$.
$D = \overline{0 \cdot 0} = \overline{0} = 1$.
કિસ્સો $2$: $A=1, B=1, C=0$.
$Y = 1 + 1 = 1$.
$D = \overline{1 \cdot 0} = \overline{0} = 1$.
આમ, આઉટપુટ $1, 1$ મળે છે.

(B) આપેલ વોલ્ટેજ વેવફોર્મનું અવલોકન કરીને,આપણે ઇનપુટ $A$ અને $B$ તથા આઉટપુટ $C$ માટે સત્યતા કોષ્ટક (truth table) બનાવી શકીએ છીએ:

$A$	$B$	$C$
$1$	$1$	$1$
$1$	$0$	$0$
$0$	$1$	$0$
$0$	$0$	$0$

આ સત્યતા કોષ્ટકની સરખામણી લોજિક ગેટના પ્રમાણિત સત્યતા કોષ્ટકો સાથે કરતા,આપણે જાણી શકીએ છીએ કે આઉટપુટ $C$ ત્યારે જ $1$ મળે છે જ્યારે બંને ઇનપુટ $A$ અને $B$ $1$ હોય. આ $AND$ ગેટનું લાક્ષણિક વર્તન છે. તેથી,આપેલ લોજિક સર્કિટ ગેટ $AND$ ગેટ છે.

(C) આ પરિપથમાં એક $NOR$ ગેટ છે અને તેની પાછળ બીજો $NOR$ ગેટ છે જે $NOT$ ગેટ તરીકે કાર્ય કરે છે (કારણ કે બંને ઇનપુટ એકસાથે જોડાયેલા છે).
ધારો કે પ્રથમ $NOR$ ગેટનું આઉટપુટ $Y^{\prime} = \overline{A + B}$ છે.
બીજો ગેટ એ $NOR$ ગેટ છે જેના બંને ઇનપુટ $Y^{\prime}$ છે,તેથી તેનું આઉટપુટ $Y = \overline{Y^{\prime} + Y^{\prime}} = \overline{Y^{\prime}} = \overline{\overline{A + B}} = A + B$ થશે.
આ $OR$ ગેટ માટેનું બુલિયન સમીકરણ છે.
$Y = A + B$ માટેનું ટ્રુથ ટેબલ નીચે મુજબ છે:

$A$	$B$	$Y$
$0$	$0$	$0$
$0$	$1$	$1$
$1$	$0$	$1$
$1$	$1$	$1$

આને આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.

(A) ધારો કે ઇનપુટ $A$ અને $B$ છે.
$1$. પ્રથમ ગેટ $NOR$ ગેટ છે,તેથી તેનું આઉટપુટ $X = \overline{A+B}$ છે.
$2$. બીજો ગેટ $NAND$ ગેટ છે જેના બંને ઇનપુટ એકસાથે જોડાયેલા છે. જ્યારે $NAND$ ગેટના ઇનપુટ ટૂંકા (tied) હોય,ત્યારે તે $NOT$ ગેટ તરીકે કાર્ય કરે છે. તેથી,$NAND$ ગેટનું આઉટપુટ $Z = \overline{X \cdot X} = \overline{X}$ છે.
$3$. $Z$ માં $X = \overline{A+B}$ મૂકતા,આપણને $Z = \overline{\overline{A+B}} = A+B$ મળે છે.
$4$. ત્રીજો ગેટ $NOT$ ગેટ છે,તેથી તેનું અંતિમ આઉટપુટ $Y = \overline{Z} = \overline{A+B}$ છે.
$5$. પદાવલિ $\overline{A+B}$ એ $NOR$ ગેટ દર્શાવે છે.
તેથી,આ સર્કિટ $NOR$ ગેટને સમતુલ્ય છે.

(A) આપેલ લોજિક ગેટના ચિહ્નોનું અવલોકન કરતા:
$(i)$ એ $NAND$ ગેટ દર્શાવે છે.
(ii) એ $NOT$ ગેટ દર્શાવે છે.
(iii) એ $AND$ ગેટ દર્શાવે છે.
(iv) એ $OR$ ગેટ દર્શાવે છે.
તેથી,$OR$,$NOT$ અને $NAND$ ગેટ માટેના ચિહ્નો અનુક્રમે $(iv)$,$(ii)$ અને $(i)$ છે.

(D) આપેલ વોલ્ટેજ વેવફોર્મનું અવલોકન કરીને,આપણે લોજિક ગેટ માટે ટ્રુથ ટેબલ બનાવી શકીએ છીએ:

$A$	$B$	$Y$
$1$	$1$	$0$
$0$	$0$	$1$
$0$	$1$	$1$
$1$	$0$	$1$

ટ્રુથ ટેબલ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે આઉટપુટ $Y$ ત્યારે જ $0$ હોય છે જ્યારે બંને ઇનપુટ $A$ અને $B$ $1$ હોય. અન્ય તમામ કિસ્સાઓમાં,આઉટપુટ $1$ મળે છે. આ વર્તણૂક $NAND$ ગેટને અનુરૂપ છે.

(D) પ્રમાણિત લોજિક ગેટના ચિહ્નોના આધારે:
$(i)$ એ $OR$ ગેટ દર્શાવે છે.
(ii) એ $AND$ ગેટ દર્શાવે છે.
(iii) એ $NOT$ ગેટ દર્શાવે છે.
(iv) એ $NAND$ ગેટ દર્શાવે છે.
તેથી,$AND, NAND$ અને $NOT$ ગેટ માટેનો ક્રમ અનુક્રમે $(ii), (iv)$ અને $(iii)$ છે.

(A) લોજિક ગેટને ઓળખવા માટે,આપણે આપેલા વેવફોર્મ્સ પરથી ટ્રુથ ટેબલનું વિશ્લેષણ કરીએ છીએ:

સમયગાળો	ઇનપુટ $A$	ઇનપુટ $B$	આઉટપુટ $C$
$0$ થી $t_1$	$0$	$0$	$0$
$t_1$ થી $t_2$	$1$	$0$	$1$
$t_2$ થી $t_3$	$1$	$1$	$1$
$t_3$ થી $t_4$	$0$	$1$	$1$
$t_4$ થી $t_5$	$0$	$0$	$0$
$t_5$ થી $t_6$	$1$	$0$	$1$

આને પ્રમાણભૂત ગેટ્સના ટ્રુથ ટેબલ સાથે સરખાવતા:
- $OR$ ગેટ માટે,જો ઓછામાં ઓછું એક ઇનપુટ $1$ હોય તો આઉટપુટ $1$ મળે છે.
- અવલોકન કરેલ આઉટપુટ $C$ આ શરતનું પાલન કરે છે: જો $A=1$ અથવા $B=1$ હોય તો $C=1$,અને જો $A=0$ અને $B=0$ હોય તો $C=0$.
- આ $OR$ ગેટના ટ્રુથ ટેબલ સાથે બરાબર મેળ ખાય છે.

(C) પ્રથમ ગેટ એ $A$ અને $B$ ઇનપુટ ધરાવતો $NAND$ ગેટ છે. તેનું આઉટપુટ $\overline{A.B}$ છે.
આ આઉટપુટને $NOT$ ગેટમાં આપવામાં આવે છે (જ્યારે $NAND$ ગેટના બંને ઇનપુટને એકસાથે જોડવામાં આવે ત્યારે તે $NOT$ ગેટ તરીકે કાર્ય કરે છે).
જો $NOT$ ગેટનું ઇનપુટ $Y$ હોય,તો આઉટપુટ $\overline{Y}$ મળે છે.
અહીં,$Y = \overline{A.B}$ છે,તેથી અંતિમ આઉટપુટ $X = \overline{\overline{A.B}}$ થશે.
બુલિયન બીજગણિતના ગુણધર્મ $\overline{\overline{Z}} = Z$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $X = A.B$ મળે છે.

(C) આપેલ પરિપથમાં એક $OR$ ગેટ અને ત્યારબાદ એક $AND$ ગેટ છે.
ધારો કે $OR$ ગેટનું આઉટપુટ $X$ છે. તેથી $X = A + B$.
અંતિમ આઉટપુટ $Y$ એ $AND$ ગેટનું આઉટપુટ છે,જે $X$ અને $C$ ને ઇનપુટ તરીકે લે છે.
તેથી,$Y = X \cdot C = (A + B) \cdot C$.
આઉટપુટ $Y=1$ મેળવવા માટે,$AND$ ગેટના બંને ઇનપુટ $1$ હોવા જોઈએ.
આનો અર્થ એ છે કે $X = 1$ અને $C = 1$.
કારણ કે $X = A + B$,તેથી $X=1$ થવા માટે $A$ અથવા $B$ માંથી ઓછામાં ઓછું એક $1$ હોવું જોઈએ.
વિકલ્પો તપાસતા:
વિકલ્પ $A$: $A=1, B=0, C=0 \implies Y = (1+0) \cdot 0 = 0$.
વિકલ્પ $B$: $A=1, B=1, C=0 \implies Y = (1+1) \cdot 0 = 0$.
વિકલ્પ $C$: $A=1, B=0, C=1 \implies Y = (1+0) \cdot 1 = 1 \cdot 1 = 1$.
વિકલ્પ $D$: $A=0, B=1, C=0 \implies Y = (0+1) \cdot 0 = 0$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) ધારો કે ઇનપુટ $A$ અને $B$ છે. બે $NOT$ ગેટના આઉટપુટ $\overline{A}$ અને $\overline{B}$ છે.
આને $NOR$ ગેટમાં આપવામાં આવે છે,તેથી $NOR$ ગેટનું આઉટપુટ $\overline{\overline{A} + \overline{B}}$ મળે છે.
ડી મોર્ગનના પ્રમેય મુજબ,$\overline{\overline{A} + \overline{B}} = \overline{\overline{A}} \cdot \overline{\overline{B}} = A \cdot B$.
આ આઉટપુટ $(A \cdot B)$ અને ઇનપુટ $B$ ને $NAND$ ગેટમાં આપવામાં આવે છે.
અંતિમ આઉટપુટ $Y = \overline{(A \cdot B) \cdot B} = \overline{A \cdot (B \cdot B)}$.
કારણ કે $B \cdot B = B$,તેથી $Y = \overline{A \cdot B}$.
આ $NAND$ ગેટ માટેનું બુલિયન સમીકરણ છે.

(D) આ સર્કિટમાં એક $NOR$ ગેટ છે,ત્યારબાદ બીજો $NOR$ ગેટ છે જે $NOT$ ગેટ તરીકે કાર્ય કરે છે (બંને ઇનપુટ એકસાથે જોડાયેલા છે),અને અંતે એક $NOT$ ગેટ છે.
ધારો કે પ્રથમ $NOR$ ગેટનું આઉટપુટ $C = \overline{A+B}$ છે.
આ સિગ્નલ $C$ ને બીજા $NOR$ ગેટમાં આપવામાં આવે છે,જે $NOT$ ગેટ તરીકે કાર્ય કરે છે,અને $\overline{C} = \overline{\overline{A+B}} = A+B$ આપે છે.
અંતે,આ સિગ્નલને $NOT$ ગેટમાંથી પસાર કરવામાં આવે છે,જે અંતિમ આઉટપુટ $Y = \overline{\overline{C}} = \overline{A+B}$ આપે છે.
આમ,આ સર્કિટ $NOR$ ગેટને સમતુલ્ય છે.

(B) આપેલ સર્કિટમાં બે $AND$ ગેટ,બે $NOT$ ગેટ અને એક $OR$ ગેટનો સમાવેશ થાય છે.
$1$. ઉપરનો $AND$ ગેટ $A$ અને $\overline{B}$ ઇનપુટ મેળવે છે (કારણ કે $B$ એ $NOT$ ગેટમાંથી પસાર થાય છે). તેનું આઉટપુટ $A \cdot \overline{B}$ છે.
$2$. નીચેનો $AND$ ગેટ $\overline{A}$ (કારણ કે $A$ એ $NOT$ ગેટમાંથી પસાર થાય છે) અને $B$ ઇનપુટ મેળવે છે. તેનું આઉટપુટ $\overline{A} \cdot B$ છે.
$3$. આ બંને આઉટપુટને $OR$ ગેટમાં આપવામાં આવે છે. તેથી,અંતિમ આઉટપુટ $Y$ એ આ બે અભિવ્યક્તિઓનો સરવાળો છે: $Y = A \cdot \overline{B} + \overline{A} \cdot B$.
આ $XOR$ (એક્સક્લુઝિવ-$OR$) ગેટ માટેનું બુલિયન સમીકરણ છે.

(B) ડી મોર્ગનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\overline {\bar A \cdot \bar B} = \overline{\bar A} + \overline{\bar B} = A + B$.
આ કિંમતને પદાવલિમાં મૂકતા: $(A + B) \cdot A$.
પદાવલિનું વિસ્તરણ કરતા: $A \cdot A + B \cdot A$.
કારણ કે $A \cdot A = A$,આપણને $A + AB$ મળે છે.
$A$ સામાન્ય કાઢતા: $A(1 + B)$.
કારણ કે $(1 + B) = 1$,પદાવલિનું સાદું રૂપ $A \cdot 1 = A$ થાય છે.

(A) આપેલ પરિપથમાં,ઇનપુટ $A$ અને $B$ ને $OR$ ગેટમાં આપતા પહેલા $NOT$ ગેટમાંથી પસાર કરવામાં આવે છે.
ધારો કે $A$ અને $B$ ઇનપુટ સિગ્નલ છે જ્યાં $1$ એટલે હાઇ (high) અને $0$ એટલે લો (low) છે.
વેવફોર્મ પરથી,$A$ માટેનો ક્રમ $1, 0, 1, 0$ છે અને $B$ માટે $1, 1, 0, 0$ છે.
$NOT$ ગેટમાંથી પસાર થયા પછી,$OR$ ગેટ માટેના ઇનપુટ $A' = 0, 1, 0, 1$ અને $B' = 0, 0, 1, 1$ બને છે.
$OR$ ગેટ $Y = A' + B'$ ઓપરેશન કરે છે.
આઉટપુટ ક્રમની ગણતરી:
પ્રથમ અંતરાલ માટે: $0 + 0 = 0$
બીજા અંતરાલ માટે: $1 + 0 = 1$
ત્રીજા અંતરાલ માટે: $0 + 1 = 1$
ચોથા અંતરાલ માટે: $1 + 1 = 1$
આમ,$Y$ માટેનો પરિણામી ક્રમ $0, 1, 1, 1$ છે. જે વિકલ્પ $A$ ને અનુરૂપ છે.

(A) આપેલ પરિપથમાં બે ડાયોડ સમાંતર રીતે જોડાયેલા છે,જેનો સામાન્ય છેડો ગ્રાઉન્ડ સાથે જોડાયેલા અવરોધ સાથે જોડાયેલ છે.
આ પરિપથ માટે ટ્રુથ ટેબલ (સત્યતા કોષ્ટક) નીચે મુજબ છે:

$A$	$B$	$C$
$0$	$0$	$0$
$0$	$1$	$1$
$1$	$0$	$1$
$1$	$1$	$1$

$1$. જ્યારે બંને ઇનપુટ $A$ અને $B$ લો પોટેન્શિયલ $(0)$ પર હોય,ત્યારે બંને ડાયોડ રિવર્સ બાયસમાં હોય છે (અથવા વહન કરતા નથી),તેથી આઉટપુટ $C$ ગ્રાઉન્ડ પોટેન્શિયલ $(0)$ પર રહે છે.
$2$. જ્યારે $A$ અથવા $B$ માંથી કોઈ એક હાઈ પોટેન્શિયલ $(1)$ પર હોય,ત્યારે સંબંધિત ડાયોડ ફોરવર્ડ બાયસમાં આવે છે અને વહન કરે છે,જેનાથી આઉટપુટ $C$ હાઈ પોટેન્શિયલ $(1)$ પર જાય છે.
$3$. આ વર્તણૂક બુલિયન સમીકરણ $C = A + B$ ને અનુરૂપ છે,જે $OR$ ગેટની લાક્ષણિક કામગીરી છે.

(D) આપેલ સર્કિટમાં બે $NOT$ ગેટ અને ત્યારબાદ એક $NOR$ ગેટ છે.
ધારો કે ઇનપુટ $A$ અને $B$ છે. $NOT$ ગેટના આઉટપુટ $\bar{A}$ અને $\bar{B}$ મળે છે.
આ આઉટપુટ $NOR$ ગેટમાં જાય છે,તેથી અંતિમ આઉટપુટ $Y$ નીચે મુજબ મળે:
$Y = \overline{\bar{A} + \bar{B}}$
ડી મોર્ગનના પ્રમેય મુજબ,$\overline{\bar{A} + \bar{B}} = \overline{\bar{A}} \cdot \overline{\bar{B}} = A \cdot B$.
આમ,આ સર્કિટ $AND$ ગેટ તરીકે કાર્ય કરે છે.
$AND$ ગેટ માટેનું ટ્રુથ ટેબલ નીચે મુજબ છે:

$A$	$B$	$Y$
$0$	$0$	$0$
$0$	$1$	$0$
$1$	$0$	$0$
$1$	$1$	$1$

ઇનપુટ વેવફોર્મ $A$ અને $B$ ને $AND$ ગેટના લોજિક સાથે સરખાવતા,આઉટપુટ $Y$ ત્યારે જ હાઈ $(1)$ મળે છે જ્યારે $A$ અને $B$ બંને હાઈ $(1)$ હોય. આપેલ વેવફોર્મ જોતા,આ વિકલ્પ $D$ ને અનુરૂપ છે.

(B) આ સર્કિટમાં બે $NAND$ ગેટ છે જે $NOT$ ગેટ તરીકે કાર્ય કરે છે (કારણ કે તેમના ઇનપુટ્સ શોર્ટ કરેલા છે) અને ત્યારબાદ એક $NAND$ ગેટ છે.
ધારો કે ઇનપુટ્સ $A$ અને $B$ છે.
પ્રથમ $NAND$ ગેટનું આઉટપુટ $\bar{A}$ છે.
બીજા $NAND$ ગેટનું આઉટપુટ $\bar{B}$ છે.
આ બંને આઉટપુટ ત્રીજા $NAND$ ગેટમાં આપવામાં આવે છે.
અંતિમ આઉટપુટ $X$ બુલિયન સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$X = \overline{\bar{A} \cdot \bar{B}}$
ડી મોર્ગનના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$\overline{\bar{A} \cdot \bar{B}} = \overline{\bar{A}} + \overline{\bar{B}} = A + B$.
આમ,સમીકરણ $X = A + B$ એ $OR$ ગેટ દર્શાવે છે,તેથી સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) ધારો કે પ્રથમ $NAND$ ગેટનું આઉટપુટ $Y_1 = \overline{A \cdot B}$ છે.
આ $Y_1$ ને પછીના બે $NAND$ ગેટમાં ઇનપુટ તરીકે આપવામાં આવે છે.
બીજા $NAND$ ગેટનું આઉટપુટ $Y_2 = \overline{A \cdot Y_1} = \overline{A \cdot (\overline{A \cdot B})} = \overline{A} + (A \cdot B) = \overline{A} + B$ છે.
ત્રીજા $NAND$ ગેટનું આઉટપુટ $Y_3 = \overline{B \cdot Y_1} = \overline{B \cdot (\overline{A \cdot B})} = \overline{B} + (A \cdot B) = \overline{B} + A$ છે.
અંતિમ આઉટપુટ $Y$ એ $Y_2$ અને $Y_3$ નું $NAND$ છે:
$Y = \overline{Y_2 \cdot Y_3} = \overline{(\overline{A} + B) \cdot (\overline{B} + A)} = \overline{(\overline{A} \cdot \overline{B} + \overline{A} \cdot A + B \cdot \overline{B} + B \cdot A)} = \overline{(\overline{A} \cdot \overline{B} + 0 + 0 + A \cdot B)} = \overline{\overline{A} \cdot \overline{B}} + \overline{A \cdot B} = (A + B) \cdot (\overline{A} + \overline{B}) = A \cdot \overline{B} + B \cdot \overline{A}$.
આ $XOR$ ગેટ માટેનું બુલિયન સમીકરણ છે.
$XOR$ ગેટ માટેનું ટ્રુથ ટેબલ નીચે મુજબ છે:
જો $A=0, B=0$, તો $Y=0$.
જો $A=0, B=1$, તો $Y=1$.
જો $A=1, B=0$, તો $Y=1$.
જો $A=1, B=1$, તો $Y=0$.
આ વિકલ્પ $B$ સાથે મેળ ખાય છે.

(A) સમયના આલેખનું અવલોકન કરીને,આપણે ઇનપુટ $a, b, c, d$ અને આઉટપુટ $x$ વચ્ચેના સંબંધનું વિશ્લેષણ કરી શકીએ છીએ.
આપેલ આલેખમાં,આઉટપુટ $x$ હાઇ $(1)$ બને છે જેવું કોઈ પણ ઇનપુટ $(a, b, c, d)$ હાઇ $(1)$ થાય છે.
ચોક્કસ રીતે કહીએ તો,શરૂઆતમાં બધા ઇનપુટ $0$ છે અને આઉટપુટ $x$ પણ $0$ છે.
જેવું ઇનપુટ $d$ માં પ્રથમ પલ્સ આવે છે,આઉટપુટ $x$ બદલાઈને $1$ થાય છે અને બાકીના સમયગાળા માટે $1$ જ રહે છે,પછી ભલે અન્ય ઇનપુટની સ્થિતિ ગમે તે હોય.
આ વર્તણૂક,જેમાં જો ઓછામાં ઓછું એક ઇનપુટ $1$ હોય તો આઉટપુટ $1$ મળે છે,તે $OR$ ગેટની લાક્ષણિક સત્યતા કોષ્ટકની વર્તણૂક છે.
તેથી,આ ગેટ $OR$ ગેટ છે.

(D) પ્રથમ સર્કિટ માટે,ઇનપુટ $A$ અને $B$ ને $NOT$ ગેટ તરીકે કાર્ય કરતા $NAND$ ગેટમાંથી પસાર કરવામાં આવે છે,જેના પરિણામે $\bar{A}$ અને $\bar{B}$ મળે છે. ત્યારબાદ તેને $NAND$ ગેટમાં આપવામાં આવે છે,જે $\overline{\bar{A} \cdot \bar{B}} = A + B$ આપે છે. આને પછી બીજા $NOT$ ગેટ ($NAND$ તરીકે $NOT$) માંથી પસાર કરવામાં આવે છે,જેના પરિણામે $C_1 = \overline{A + B} = \bar{A} \cdot \bar{B}$ મળે છે. આમ,$C_1$ ત્યારે જ હાઇ $(1)$ હોય છે જ્યારે $A$ અને $B$ બંને લો $(0)$ હોય. ઇનપુટ ગ્રાફ જોતા,$A=0$ અને $B=0$ માત્ર $t = 4 \ s$ થી $5 \ s$ ના અંતરાલમાં છે. તેથી,$C_1$ એ $4 \ s$ થી $5 \ s$ સુધી હાઇ છે.
બીજી સર્કિટ માટે,ઇનપુટ $A$ અને $B$ ને $NOR$ ગેટ તરીકે કાર્ય કરતા $NOT$ ગેટમાંથી પસાર કરવામાં આવે છે,જેના પરિણામે $\bar{A}$ અને $\bar{B}$ મળે છે. ત્યારબાદ તેને $NOR$ ગેટમાં આપવામાં આવે છે,જે $C_2 = \overline{\bar{A} + \bar{B}} = A \cdot B$ આપે છે. આમ,$C_2$ ત્યારે જ હાઇ $(1)$ હોય છે જ્યારે $A$ અને $B$ બંને હાઇ $(1)$ હોય. ઇનપુટ ગ્રાફ જોતા,$A=1$ અને $B=1$ માત્ર $t = 1 \ s$ થી $2 \ s$ ના અંતરાલમાં છે. તેથી,$C_2$ એ $1 \ s$ થી $2 \ s$ સુધી હાઇ છે.
આને આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,સાચા આઉટપુટ સિગ્નલ વિકલ્પ $D$ સાથે મેળ ખાય છે.

(C) આપેલ સર્કિટમાં ઇનપુટ પર બે $NOT$ ગેટ,ત્યારબાદ એક $NOR$ ગેટ અને અંતે આઉટપુટ પર બીજો એક $NOT$ ગેટ છે.
ધારો કે ઇનપુટ $A$ અને $B$ છે.
પ્રથમ બે $NOT$ ગેટના આઉટપુટ $\bar{A}$ અને $\bar{B}$ મળે છે.
આ ઇનપુટ્સ $NOR$ ગેટમાં જાય છે,તેથી તેનું આઉટપુટ $\overline{\bar{A} + \bar{B}}$ મળે છે.
ડી મોર્ગનના નિયમ મુજબ,$\overline{\bar{A} + \bar{B}} = \overline{\bar{A}} \cdot \overline{\bar{B}} = A \cdot B$.
આ આઉટપુટને અંતિમ $NOT$ ગેટમાંથી પસાર કરવામાં આવે છે,તેથી અંતિમ આઉટપુટ $Y = \overline{A \cdot B}$ મળે છે.
આ $NAND$ ગેટ માટેનું બુલિયન સમીકરણ છે.
$NAND$ ગેટ ત્યારે જ લો આઉટપુટ $(0)$ આપે છે જ્યારે બંને ઇનપુટ હાઈ $(1)$ હોય. બાકીના તમામ કિસ્સાઓમાં,આઉટપુટ હાઈ $(1)$ હોય છે.
આ તર્કને આપેલ ઇનપુટ વેવફોર્મ સાથે સરખાવતા,આઉટપુટ વેવફોર્મ વિકલ્પ $C$ ને અનુરૂપ છે.

(D) સાચું સર્કિટ શોધવા માટે, આપણે આપેલ ટ્રુથ ટેબલની શરતોનું વિશ્લેષણ કરીએ છીએ જ્યાં $Y = 0$ છે:
$1$. $(A, B, C) = (0, 0, 0)$ માટે, $Y = 0$.
$2$. $(A, B, C) = (0, 0, 1)$ માટે, $Y = 0$.
$3$. $(A, B, C) = (0, 1, 0)$ માટે, $Y = 0$.
ચાલો વિકલ્પ $D$ (આકૃતિ $814-$d281) માં સર્કિટનું મૂલ્યાંકન કરીએ, જેમાં $B$ અને $C$ ઇનપુટ સાથેનું $AND$ ગેટ છે, ત્યારબાદ $A$ અને $AND$ ગેટના આઉટપુટ સાથેનું $OR$ ગેટ છે। બુલિયન સમીકરણ $Y = A + (B \cdot C)$ છે.
ઇનપુટ્સ તપાસતા:
- $(0, 0, 0)$ માટે: $Y = 0 + (0 \cdot 0) = 0 + 0 = 0$.
- $(0, 0, 1)$ માટે: $Y = 0 + (0 \cdot 1) = 0 + 0 = 0$.
- $(0, 1, 0)$ માટે: $Y = 0 + (1 \cdot 0) = 0 + 0 = 0$.
- $(0, 1, 1)$ માટે: $Y = 0 + (1 \cdot 1) = 0 + 1 = 1$.
- $(1, 0, 0)$ માટે: $Y = 1 + (0 \cdot 0) = 1 + 0 = 1$.
- $(1, 0, 1)$ માટે: $Y = 1 + (0 \cdot 1) = 1 + 0 = 1$.
- $(1, 1, 0)$ માટે: $Y = 1 + (1 \cdot 0) = 1 + 0 = 1$.
- $(1, 1, 1)$ માટે: $Y = 1 + (1 \cdot 1) = 1 + 1 = 1$.
આ જરૂરી આઉટપુટ શરતો સાથે સંપૂર્ણ રીતે મેળ ખાય છે. તેથી, સાચું સર્કિટ $D$ છે.

(A) આપેલ સર્કિટમાં એક $OR$ ગેટ અને એક $AND$ ગેટનો સમાવેશ થાય છે.
$1$. $OR$ ગેટના ઇનપુટ $A$ અને $B$ છે. તેથી,$OR$ ગેટનું આઉટપુટ $(A + B)$ મળે છે.
$2$. $AND$ ગેટના ઇનપુટ $A$ અને $OR$ ગેટનું આઉટપુટ $(A + B)$ છે.
$3$. $AND$ ગેટનું આઉટપુટ $Y$ એ તેના ઇનપુટ્સનો ગુણાકાર છે: $Y = A \cdot (A + B)$.
$4$. બુલિયન બીજગણિતના શોષણના નિયમ (law of absorption) મુજબ,$A \cdot (A + B) = A$.
$5$. તેથી,અંતિમ આઉટપુટ $Y = A$ મળે છે.

(B) ધારો કે પ્રથમ $NAND$ ગેટનું આઉટપુટ $P = \overline{A \cdot B}$ છે.
ઉપરના $NAND$ ગેટના ઇનપુટ્સ $A$ અને $P$ છે, તેથી તેનું આઉટપુટ $Q = \overline{A \cdot P}$ છે.
નીચેના $NAND$ ગેટના ઇનપુટ્સ $P$ અને $B$ છે, તેથી તેનું આઉટપુટ $R = \overline{P \cdot B}$ છે.
અંતિમ આઉટપુટ $Y$ એ $Q$ અને $R$ ઇનપુટ્સ ધરાવતા $NAND$ ગેટનું આઉટપુટ છે, તેથી $Y = \overline{Q \cdot R}$ છે.
ડી મોર્ગનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $Y = \overline{Q} + \overline{R} = \overline{\overline{A \cdot P}} + \overline{\overline{P \cdot B}} = (A \cdot P) + (P \cdot B) = P \cdot (A + B)$.
$P = \overline{A \cdot B} = \overline{A} + \overline{B}$ મૂકતા, આપણને $Y = (\overline{A} + \overline{B}) \cdot (A + B) = \overline{A} \cdot B + A \cdot \overline{B}$ મળે છે.
આ $XOR$ ગેટનું સમીકરણ છે.
$A = 0, B = 0$ માટે: $Y = 0 \oplus 0 = 0$.
$A = 1, B = 1$ માટે: $Y = 1 \oplus 1 = 0$.
$A = 0, B = 1$ માટે: $Y = 0 \oplus 1 = 1$.
આમ, આઉટપુટ $(0, 0, 1)$ છે.

(D) ધારો કે બે $NAND$ ગેટના ઇનપુટ $P$ અને $Q$ છે.
પરિપથ આકૃતિ પરથી,ઉપરના $NAND$ ગેટના ઇનપુટ $\bar A$ અને $B$ છે. તેનું આઉટપુટ $P = \overline{\bar A \cdot B} = A + \bar B$ છે.
નીચેના $NAND$ ગેટના ઇનપુટ $A$ અને $\bar B$ છે. તેનું આઉટપુટ $Q = \overline{A \cdot \bar B} = \bar A + B$ છે.
અંતિમ ગેટ $NOR$ ગેટ છે,તેથી આઉટપુટ $y = \overline{P + Q}$ થાય.
$P$ અને $Q$ ની કિંમતો મૂકતા:
$y = \overline{(A + \bar B) + (\bar A + B)}$
$y = \overline{(A + \bar A) + (B + \bar B)}$
કારણ કે $A + \bar A = 1$ અને $B + \bar B = 1$:
$y = \overline{1 + 1} = \overline{1} = 0$.
આમ,આઉટપુટ $y = 0$ છે.

(D) ધારો કે ઇનપુટ્સ $X$ અને $Y$ છે. ઉપરની શાખામાં એક $NOT$ ગેટ અને ત્યારબાદ $NOR$ ગેટ છે. $NOR$ ગેટના ઇનપુટ્સ $\bar{X}$ અને $Y$ છે. તેથી,$P = \overline{\bar{X} + Y} = X \cdot \bar{Y}$.
નીચેની શાખામાં $X$ અને $\bar{Y}$ ઇનપુટ્સ સાથેનો $NAND$ ગેટ છે. તેથી,$Q = \overline{X \cdot \bar{Y}} = \bar{X} + Y$.
અંતિમ ગેટ એ $P$ અને $Q$ ઇનપુટ્સ ધરાવતો $NOR$ ગેટ છે. તેથી,$R = \overline{P + Q} = \overline{(X \cdot \bar{Y}) + (\bar{X} + Y)}$.
ડી મોર્ગનના નિયમોનો ઉપયોગ કરતા,$R = \overline{(X \cdot \bar{Y})} \cdot \overline{(\bar{X} + Y)} = (\bar{X} + Y) \cdot (X \cdot \bar{Y})$.
આનું વિસ્તરણ કરતા,$R = (\bar{X} \cdot X \cdot \bar{Y}) + (Y \cdot X \cdot \bar{Y}) = 0 + 0 = 0$.
આમ,ઇનપુટ્સ $X$ અને $Y$ ગમે તે હોય,આઉટપુટ $R$ હંમેશા $0$ રહે છે,તેથી $R$ પર હાઈ આઉટપુટ $(1)$ મેળવવું શક્ય નથી.

(B) લોજિક સર્કિટનું આઉટપુટ બુલિયન સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $Y = AB + \bar{A}\bar{B} + \bar{A}BC$.
ચાલો દરેક વિકલ્પ માટે આઉટપુટની ગણતરી કરીએ:
$A$. $A = 1, B = 0, C = 0$ માટે: $Y = (1)(0) + (0)(1) + (0)(0)(0) = 0 + 0 + 0 = 0$. (ખોટું)
$B$. $A = 0, B = 1, C = 1$ માટે: $Y = (0)(1) + (1)(0) + (1)(1)(1) = 0 + 0 + 1 = 1$. (સાચું)
$C$. $A = 1, B = 1, C = 0$ માટે: $Y = (1)(1) + (0)(0) + (0)(1)(0) = 1 + 0 + 0 = 1$. (ખોટું)
$D$. $A = 0, B = 1, C = 1$ માટે: $Y = (0)(1) + (1)(0) + (1)(1)(1) = 0 + 0 + 1 = 1$. (ખોટું)
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) આ સર્કિટમાં બે $NPN$ ટ્રાન્ઝિસ્ટર સમાંતર રીતે જોડાયેલા છે. કલેક્ટર $+V_{cc}$ સાથે જોડાયેલા છે અને એમિટર આઉટપુટ ટર્મિનલ સાથે જોડાયેલા છે,જે એક અવરોધ દ્વારા ગ્રાઉન્ડ થયેલ છે.
$1$. જો બંને ઇનપુટ $A$ અને $B$ લો વોલ્ટેજ $(0)$ પર હોય,તો બંને ટ્રાન્ઝિસ્ટર કટ-ઓફ સ્થિતિમાં હોય છે. આઉટપુટ અવરોધ દ્વારા ગ્રાઉન્ડ સાથે જોડાયેલ હોવાથી,$Out = 0$ મળે છે.
$2$. જો ઇનપુટ $A$ હાઈ $(1)$ અને $B$ લો $(0)$ હોય,તો ઉપરનો ટ્રાન્ઝિસ્ટર વહન કરે છે અને આઉટપુટ વોલ્ટેજ હાઈ $(1)$ થાય છે.
$3$. જો ઇનપુટ $A$ લો $(0)$ અને $B$ હાઈ $(1)$ હોય,તો નીચેનો ટ્રાન્ઝિસ્ટર વહન કરે છે અને આઉટપુટ વોલ્ટેજ હાઈ $(1)$ થાય છે.
$4$. જો બંને ઇનપુટ $A$ અને $B$ હાઈ $(1)$ હોય,તો બંને ટ્રાન્ઝિસ્ટર વહન કરે છે અને આઉટપુટ વોલ્ટેજ હાઈ $(1)$ થાય છે.
આ સત્યતા કોષ્ટક (truth table) $OR$ ગેટને અનુરૂપ છે.

(A) ધારો કે $NAND$ ગેટનું આઉટપુટ $C$ છે. $C$ માટેનું બુલિયન સમીકરણ $C = \overline{A \cdot B}$ છે.
ત્યારબાદ, ઉપરનો $AND$ ગેટ $A$ અને $C$ ઇનપુટ લે છે, જેનું આઉટપુટ $D = A \cdot C = A \cdot (\overline{A \cdot B})$ મળે છે.
તે જ રીતે, નીચેનો $AND$ ગેટ $B$ અને $C$ ઇનપુટ લે છે, જેનું આઉટપુટ $E = B \cdot C = B \cdot (\overline{A \cdot B})$ મળે છે.
અંતિમ આઉટપુટ $X$ એ $D$ અને $E$ નો $OR$ ગેટ છે, તેથી $X = D + E = A \cdot (\overline{A \cdot B}) + B \cdot (\overline{A \cdot B}) = (A + B) \cdot (\overline{A \cdot B})$.
સત્યતા કોષ્ટકનો ઉપયોગ કરતા:

$A$	$B$	$C = \overline{A \cdot B}$	$D = A \cdot C$	$E = B \cdot C$	$X = D + E$
$0$	$0$	$1$	$0$	$0$	$0$
$0$	$1$	$1$	$0$	$1$	$1$
$1$	$0$	$1$	$1$	$0$	$1$
$1$	$1$	$0$	$0$	$0$	$0$

આ સત્યતા કોષ્ટક $XOR$ ગેટને અનુરૂપ છે.

(B) પ્રશ્ન મુજબ, જ્યારે પાણીનું સ્તર નિર્ધારિત મૂલ્યથી નીચે હોય ત્યારે સેન્સરનું આઉટપુટ $0$ હોય છે અને અન્યથા $1$ હોય છે.
આપણે ઇચ્છીએ છીએ કે જો ઓછામાં ઓછી એક ટાંકીમાં પાણીનું સ્તર નિર્ધારિત મૂલ્યથી નીચે હોય તો પંપ ચાલુ $(P = 1)$ થાય.
આનો અર્થ એ છે કે જો $S_1 = 0$ અથવા $S_2 = 0$ હોય તો $P = 1$ થવું જોઈએ.
બુલિયન બીજગણિતનો ઉપયોગ કરતા, આ $P = \overline{S_1} + \overline{S_2}$ ને સમાન છે.
ડી મોર્ગનના નિયમ મુજબ, $\overline{S_1} + \overline{S_2} = \overline{S_1 \cdot S_2}$.
આ $NAND$ ગેટ માટેનું બુલિયન સમીકરણ છે.
વિકલ્પો જોતા:
વિકલ્પ $A$ એ બે $AND$ ગેટ દ્વારા સંચાલિત $OR$ ગેટ છે: $P = (S_1 \cdot S_2) + (S_1 \cdot S_2) = S_1 \cdot S_2$.
વિકલ્પ $B$ એ બે $NAND$ ગેટ દ્વારા સંચાલિત $OR$ ગેટ છે: $P = \overline{S_1 \cdot S_2} + \overline{S_1 \cdot S_2} = \overline{S_1 \cdot S_2}$.
આ આપણી જરૂરિયાત $P = \overline{S_1 \cdot S_2}$ સાથે મેળ ખાય છે.
તેથી, સાચી સર્કિટ $B$ છે.

(C) આપેલ સર્કિટમાં,આઉટપુટ ત્યારે જ હાઈ (high) મળે છે જ્યારે સર્કિટ પૂર્ણ થાય.
ધારો કે જ્યારે સ્વિચ $A$ એ $3$ પર હોય ત્યારે $A=0$ અને જ્યારે સ્વિચ $A$ એ $4$ પર હોય ત્યારે $A=1$.
ધારો કે જ્યારે સ્વિચ $B$ એ $1$ પર હોય ત્યારે $B=0$ અને જ્યારે સ્વિચ $B$ એ $2$ પર હોય ત્યારે $B=1$.
સર્કિટ ત્યારે પૂર્ણ થાય છે જ્યારે પાથ જોડાયેલ હોય. આ ત્યારે થાય છે જ્યારે $A$ અને $B$ અલગ-અલગ સ્થિતિમાં હોય (એટલે કે,એક $1/3$ પર અને બીજું $2/4$ પર હોય).
ચોક્કસ રીતે,સર્કિટ ત્યારે પૂર્ણ થાય છે જો ($A=1$ અને $B=0$) અથવા ($A=0$ અને $B=1$) હોય.
આ બુલિયન સમીકરણ $A \cdot \bar{B} + B \cdot \bar{A}$ ને અનુરૂપ છે,જે $XOR$ ગેટ માટેનું લોજિક છે.

(D) લોજિક સર્કિટમાં એક $NOR$ ગેટ છે જેની પાછળ એક $AND$ ગેટ જોડાયેલ છે. $NOR$ ગેટના ઇનપુટ્સ $A$ અને $B$ છે. $NOR$ ગેટનું આઉટપુટ $\overline{A+B}$ છે.
આ આઉટપુટ ત્યારબાદ ઇનપુટ $B$ સાથે $AND$ ગેટમાં જાય છે. તેથી,અંતિમ આઉટપુટ $C$ નીચે મુજબ મળે છે:
$C = (\overline{A+B}) \cdot B$
આ સમીકરણ માટે ટ્રુથ ટેબલ તપાસીએ:
જો $A=0, B=0$ હોય,તો $C = (\overline{0+0}) \cdot 0 = 1 \cdot 0 = 0$.
જો $A=1, B=0$ હોય,તો $C = (\overline{1+0}) \cdot 0 = 0 \cdot 0 = 0$.
જો $A=0, B=1$ હોય,તો $C = (\overline{0+1}) \cdot 1 = 0 \cdot 1 = 0$.
જો $A=1, B=1$ હોય,તો $C = (\overline{1+1}) \cdot 1 = 0 \cdot 1 = 0$.
આમ,આઉટપુટ હંમેશા $0$ રહે છે.

(D) આ સર્કિટમાં બે $NAND$ ગેટ છે જેના આઉટપુટ એક $NOR$ ગેટમાં જાય છે. ધારો કે ઇનપુટ $X, Y, Z$ છે. પ્રથમ $NAND$ ગેટનું આઉટપુટ $A = \overline{X \cdot Y}$ છે અને બીજા $NAND$ ગેટનું આઉટપુટ $B = \overline{Y \cdot Z}$ છે. આ $NOR$ ગેટના ઇનપુટ છે,તેથી અંતિમ આઉટપુટ $R = \overline{A + B} = \overline{\overline{X \cdot Y} + \overline{Y \cdot Z}}$ થશે. ડી મોર્ગનના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$R = \overline{\overline{X \cdot Y}} \cdot \overline{\overline{Y \cdot Z}} = (X \cdot Y) \cdot (Y \cdot Z) = X \cdot Y \cdot Z$. આ ત્રણ ઇનપુટ ધરાવતા $AND$ ગેટનું બુલિયન સમીકરણ છે. આમ,આ સિસ્ટમ $AND$ ગેટને સમતુલ્ય છે.

(D) આપેલ પરિપથમાં બે ડાયોડ છે જેના કેથોડ એક સામાન્ય આઉટપુટ ટર્મિનલ $C$ સાથે જોડાયેલા છે,જે અવરોધ $R_2$ દ્વારા ગ્રાઉન્ડ સાથે જોડાયેલ છે.
જો આપણે ઇનપુટ $A$ અને $B$ આપીએ (જ્યાં $0$ એ ઓછો વોલ્ટેજ અને $1$ એ ઊંચો વોલ્ટેજ દર્શાવે છે),તો આઉટપુટ $C$ નીચે મુજબ નક્કી થાય છે:

$A$	$B$	$C$
$0$	$0$	$0$
$0$	$1$	$1$
$1$	$0$	$1$
$1$	$1$	$1$

જ્યારે $A$ અને $B$ બંને $0$ (લો) હોય,ત્યારે બંને ડાયોડ રિવર્સ બાયસમાં હોય છે અથવા સમાન પોટેન્શિયલ પર હોય છે,જેના પરિણામે $C = 0$ મળે છે. જો $A$ અથવા $B$ માંથી કોઈ પણ $1$ (હાઈ) હોય,તો સંબંધિત ડાયોડ ફોરવર્ડ બાયસમાં આવે છે,જે આઉટપુટ $C$ ને હાઈ સ્ટેટ $(1)$ પર લઈ જાય છે. આ ટ્રુથ ટેબલ $OR$ ગેટને અનુરૂપ છે.

(B) ડી મોર્ગનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\overline {\bar A \cdot \bar B} = \overline{\bar A} + \overline{\bar B} = A + B$ થાય.
આ કિંમતને પદમાં મૂકતા:
$(A + B) \cdot A = A \cdot A + B \cdot A$ મળે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $A \cdot A = A$,તેથી $A + AB$ મળે.
$A$ સામાન્ય લેતા,$A(1 + B)$ મળે.
કારણ કે $(1 + B) = 1$,તેથી પદનું સાદું રૂપ $A \cdot 1 = A$ થાય છે.

(C) આ સર્કિટમાં બે $AND$ ગેટ અને એક $OR$ ગેટ છે. ધારો કે ઇનપુટ $A$ અને $B$ છે.
$1$. ઉપરના $AND$ ગેટને $A$ અને $B$ ઇનપુટ મળે છે. તેનું આઉટપુટ $C = A \cdot B$ છે.
$2$. નીચેના $AND$ ગેટને $\bar{A}$ ($NOT$ ગેટમાંથી) અને $B$ ઇનપુટ મળે છે. તેનું આઉટપુટ $D = \bar{A} \cdot B$ છે.
$3$. અંતિમ આઉટપુટ $E$ એ $C$ અને $D$ નું $OR$ સંયોજન છે,તેથી $E = C + D = (A \cdot B) + (\bar{A} \cdot B)$.
$4$. $B$ ને સામાન્ય લેતા,આપણને $E = B(A + \bar{A})$ મળે છે. કારણ કે $A + \bar{A} = 1$,તેથી સમીકરણ $E = B \cdot 1 = B$ માં સરળ બને છે.
$5$. સત્યતા કોષ્ટક બનાવતા:
- જો $A=0, B=0$,તો $E=0$.
- જો $A=0, B=1$,તો $E=1$.
- જો $A=1, B=0$,તો $E=0$.
- જો $A=1, B=1$,તો $E=1$.
આ સત્યતા કોષ્ટક દર્શાવે છે કે $E$ એ $B$ સમાન છે.

(C) ધારો કે ઇનપુટ $A$ અને $B$ છે. પ્રથમ ગેટ એક $OR$ ગેટ છે જેમાં એક ઇનપુટ ઇન્વર્ટેડ છે,તેથી તેનું આઉટપુટ $Y' = \bar{A} + B$ છે.
બીજો ગેટ $AND$ ગેટ છે જેના ઇનપુટ $Y'$,$A$ અને $B$ છે. તેનું આઉટપુટ $Y'' = Y' \cdot A \cdot B = (\bar{A} + B) \cdot A \cdot B$ છે.
બુલિયન બીજગણિતનો ઉપયોગ કરતા: $Y'' = (\bar{A} \cdot A \cdot B) + (B \cdot A \cdot B) = (0 \cdot B) + (A \cdot B) = A \cdot B$.
છેલ્લો ગેટ $NOT$ ગેટ છે,તેથી અંતિમ આઉટપુટ $Y = \overline{Y''} = \overline{A \cdot B}$ છે.
આ $NAND$ ગેટ માટેનું બુલિયન સમીકરણ છે.
પરિપથ માટેનું ટ્રુથ ટેબલ:

$A$	$B$	$\bar{A}$	$Y' = \bar{A} + B$	$Y'' = Y' \cdot A \cdot B$	$Y = \overline{Y''}$
$0$	$0$	$1$	$1$	$0$	$1$
$0$	$1$	$1$	$1$	$0$	$1$
$1$	$0$	$0$	$0$	$0$	$1$
$1$	$1$	$0$	$1$	$1$	$0$

(D) આ સર્કિટમાં એક $NAND$ ગેટ અને એક $OR$ ગેટ છે જે અંતિમ $OR$ ગેટમાં જાય છે.
ધારો કે ઇનપુટ $A$ અને $B$ છે.
$NAND$ ગેટનું આઉટપુટ $\overline{AB}$ છે.
$OR$ ગેટનું આઉટપુટ $A+B$ છે.
અંતિમ આઉટપુટ $Y$ એ આ બંનેનું $OR$ સંયોજન છે: $Y = (A+B) + \overline{AB}$.
બુલિયન બીજગણિતનો ઉપયોગ કરતા: $Y = A + B + \bar{A} + \bar{B}$.
કારણ કે $A + \bar{A} = 1$ અને $B + \bar{B} = 1$,તેથી આ પદાવલિ $Y = 1 + 1 = 1$ માં સરળ બને છે.
આમ,તમામ ઇનપુટ સંયોજનો $(A, B)$ માટે,આઉટપુટ $Y$ હંમેશા $1$ રહે છે.
તેથી,સાચું સત્યતા કોષ્ટક વિકલ્પ $D$ છે.

(A) $NOR$ ગેટ એ $OR$ ગેટ અને $NOT$ ગેટનું સંયોજન છે.
$OR$ ગેટ માટેનું બુલિયન સમીકરણ $Y = A + B$ છે।
$NOR$ ગેટ માટેનું બુલિયન સમીકરણ $Y = \overline{A + B}$ છે।
આ સમીકરણ મુજબ, જો બંને ઇનપુટ $A$ અને $B$ એ $0$ (લો) હોય, તો $Y = \overline{0 + 0} = \overline{0} = 1$ (હાઇ) મળે છે।
જો કોઈ પણ ઇનપુટ $1$ (હાઇ) હોય, તો આઉટપુટ $0$ (લો) થઈ જાય છે।
તેથી, $NOR$ ગેટ ફક્ત ત્યારે જ હાઇ આઉટપુટ આપે છે જ્યારે બંને ઇનપુટ લો હોય।

(C) ધારો કે બે $NOT$ ગેટના ઇનપુટ $A$ અને $B$ છે.
$NOT$ ગેટના આઉટપુટ અનુક્રમે $\bar{A}$ અને $\bar{B}$ છે.
આ આઉટપુટને $EX-OR$ ગેટમાં આપવામાં આવે છે.
$EX-OR$ ગેટનું આઉટપુટ $Y$ બુલિયન સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$Y = \bar{A} \oplus \bar{B}$
$EX-OR$ ગેટના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીને,$X \oplus Y = X\bar{Y} + \bar{X}Y$,આપણને મળે છે:
$Y = \bar{A}(\overline{\bar{B}}) + (\overline{\bar{A}})\bar{B}$
$Y = \bar{A}B + A\bar{B}$
આ $EX-OR$ ગેટ માટેનું બુલિયન સમીકરણ છે.
તેથી,આપેલ સંયોજન $EX-OR$ ગેટને સમતુલ્ય છે.

(A) ધારો કે સર્કિટનું આઉટપુટ $y$ છે. આ સર્કિટ ત્રણ $NAND$ ગેટ $(G_1, G_2, G_3)$ અને બે $NOT$ ગેટની બનેલી છે.
$1$. પ્રથમ $NOT$ ગેટનો ઇનપુટ $1$ છે,તેથી તેનું આઉટપુટ $0$ મળે છે. આ $0$ બીજા $NOT$ ગેટમાં જાય છે,જેથી તેનું આઉટપુટ $1$ થાય છે. આમ,$G_2$ ગેટનો ઇનપુટ $B = 1$ છે.
$2$. $G_3$ ગેટનો ઇનપુટ $0$ (પ્રથમ $NOT$ ગેટમાંથી) અને $y$ (આઉટપુટમાંથી ફીડબેક) છે. $G_3$ નું આઉટપુટ $\overline{0 \cdot y} = \overline{0} = 1$ મળે છે.
$3$. $G_1$ ગેટના ઇનપુટ $0$ અને $y$ છે. તેનું આઉટપુટ $\overline{0 \cdot y} = \overline{0} = 1$ મળે છે. આ આઉટપુટ $1$ એ $G_2$ ગેટનો ઇનપુટ $A$ છે.
$4$. હવે,$G_2$ ગેટના ઇનપુટ $A = 1$ અને $B = 1$ છે. તેનું આઉટપુટ $y = \overline{A \cdot B} = \overline{1 \cdot 1} = \overline{1} = 0$ મળે છે.
$5$. આઉટપુટ $y = 0$ હોવાથી,સર્કિટ સુસંગત છે. તેથી,$y$ નું મૂલ્ય $0$ છે.

(C) $NAND$ ગેટ $Y = \overline{A \cdot B}$ ઓપરેશન કરે છે.
જો બે ઇનપુટ $A$ અને $B$ ને શોર્ટ કરવામાં આવે, તો $A = B = X$ થાય.
આ કિંમતને $NAND$ ના સમીકરણમાં મૂકતા, આપણને $Y = \overline{X \cdot X}$ મળે છે.
કારણ કે $X \cdot X = X$ થાય છે, તેથી સમીકરણ $Y = \overline{X}$ બને છે.
આ $NOT$ ગેટનું બુલિયન સમીકરણ છે.
તેથી, શોર્ટ કરેલા ઇનપુટ વાળો $NAND$ ગેટ $NOT$ ગેટ તરીકે કાર્ય કરે છે.

(A) આપેલ લોજિક સર્કિટમાં બે $NOT$ ગેટ,બે $AND$ ગેટ અને એક $OR$ ગેટનો સમાવેશ થાય છે. આઉટપુટ સમીકરણ નીચે મુજબ મેળવી શકાય છે:
$1$. ઉપરની શાખાનું આઉટપુટ $\overline{A} \cdot B$ છે.
$2$. નીચેની શાખાનું આઉટપુટ $A \cdot \overline{B}$ છે.
$3$. અંતિમ $OR$ ગેટ આ બંનેને જોડીને $Y = \overline{A}B + A\overline{B}$ આપે છે,જે $XOR$ ગેટનું બુલિયન સમીકરણ છે.
સત્યતા કોષ્ટક નીચે મુજબ છે:

$A$	$B$	$\overline{A}$	$\overline{B}$	$\overline{A} \cdot B$	$A \cdot \overline{B}$	$Y = \overline{A}B + A\overline{B}$
$0$	$0$	$1$	$1$	$0$	$0$	$0$
$0$	$1$	$1$	$0$	$1$	$0$	$1$
$1$	$0$	$0$	$1$	$0$	$1$	$1$
$1$	$1$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$