Boolean Algebra and Logic Gates Questions in Gujarati

(B) આ સર્કિટમાં બે $NOT$ ગેટ (જે $NAND$ ગેટના ઇનપુટ્સને શોર્ટ કરીને બનાવવામાં આવ્યા છે) અને ત્યારબાદ એક $NAND$ ગેટનો સમાવેશ થાય છે.
ધારો કે ઇનપુટ્સ $A$ અને $B$ છે.
પ્રથમ $NAND$ ગેટનું આઉટપુટ (ઇનપુટ $A$ અને $A$ સાથે) $\bar{A}$ છે.
બીજા $NAND$ ગેટનું આઉટપુટ (ઇનપુટ $B$ અને $B$ સાથે) $\bar{B}$ છે.
આ બંને આઉટપુટ $\bar{A}$ અને $\bar{B}$ ને અંતિમ $NAND$ ગેટમાં આપવામાં આવે છે.
અંતિમ આઉટપુટ $Y$ નીચે મુજબ મળે છે:
$Y = \overline{\bar{A} \cdot \bar{B}}$
ડી મોર્ગનના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$\overline{\bar{A} \cdot \bar{B}} = \overline{\bar{A}} + \overline{\bar{B}} = A + B$.
તેથી,$Y = A + B$.
આ $OR$ ગેટ માટેનું બુલિયન સમીકરણ દર્શાવે છે.

(C) આ સર્કિટમાં એક $OR$ ગેટ અને તેની પાછળ એક $AND$ ગેટ જોડાયેલ છે.
ધારો કે $OR$ ગેટનું આઉટપુટ $Y_1$ છે. તેથી $Y_1 = A + B$.
અંતિમ આઉટપુટ $Y$ એ $AND$ ગેટનું આઉટપુટ છે,જે $Y_1$ અને $C$ ને ઇનપુટ તરીકે લે છે.
તેથી,અંતિમ આઉટપુટ $Y = Y_1 \cdot C = (A + B) \cdot C$ થશે.
આપણે અંતિમ આઉટપુટ $Y = 1$ મેળવવા માંગીએ છીએ.
$AND$ ગેટ માટે $1$ આઉટપુટ મેળવવા માટે,તેના બંને ઇનપુટ $1$ હોવા જોઈએ.
આમ,આપણે $Y_1 = 1$ અને $C = 1$ ની જરૂર છે.
કારણ કે $Y_1 = A + B$,તેથી $Y_1 = 1$ થવા માટે $A$ અથવા $B$ માંથી ઓછામાં ઓછું એક $1$ હોવું જોઈએ.
વિકલ્પો તપાસતા:
વિકલ્પ $C$ માટે: $A = 1, B = 0, C = 1$.
$Y_1 = A + B = 1 + 0 = 1$.
$Y = Y_1 \cdot C = 1 \cdot 1 = 1$.
આમ,સાચો ઇનપુટ $A = 1, B = 0, C = 1$ છે.

(D) ધારો કે ઇનપુટ $A, B$ અને $C$ છે.
$Gate-I$ એ $AND$ ગેટ છે અને $Gate-II$ એ $NAND$ ગેટ છે.
$Gate-I$ નું આઉટપુટ $A \cdot B$ છે.
અંતિમ આઉટપુટ $y$ એ $Gate-I$ ના આઉટપુટ અને ઇનપુટ $C$ નું $NAND$ ઓપરેશન છે,તેથી $y = \overline{(A \cdot B) \cdot C}$.
કિસ્સો $1$: જ્યારે બધા ઇનપુટ હાઇ $(A=1, B=1, C=1)$ હોય:
$y = \overline{(1 \cdot 1) \cdot 1} = \overline{1 \cdot 1} = \overline{1} = 0$.
કિસ્સો $2$: જ્યારે બધા ઇનપુટ લો $(A=0, B=0, C=0)$ હોય:
$y = \overline{(0 \cdot 0) \cdot 0} = \overline{0 \cdot 0} = \overline{0} = 1$.
આમ,આઉટપુટ અનુક્રમે $0$ અને $1$ મળે છે.

(A) આપેલ બુલિયન સમીકરણ $Y = (\overline{A+B}) \cdot (\overline{A \cdot B})$ છે.
ડી મોર્ગનના નિયમોનો ઉપયોગ કરતા,આપણે જાણીએ છીએ કે $\overline{A+B} = \bar{A} \cdot \bar{B}$ અને $\overline{A \cdot B} = \bar{A} + \bar{B}$.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$Y = (\bar{A} \cdot \bar{B}) \cdot (\bar{A} + \bar{B})$
$Y = (\bar{A} \cdot \bar{B} \cdot \bar{A}) + (\bar{A} \cdot \bar{B} \cdot \bar{B})$
કારણ કે $\bar{A} \cdot \bar{A} = \bar{A}$ અને $\bar{B} \cdot \bar{B} = \bar{B}$,આપણને મળે છે:
$Y = (\bar{A} \cdot \bar{B}) + (\bar{A} \cdot \bar{B}) = \bar{A} \cdot \bar{B}$.
$Y = 1$ માટે,$\bar{A}$ અને $\bar{B}$ બંને $1$ હોવા જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $A = 0$ અને $B = 0$.

$A, B$	$Y$
$0, 0$	$1$
$0, 1$	$0$
$1, 0$	$0$
$1, 1$	$0$

(B) $OR$ ગેટ $(G_1)$ નું આઉટપુટ $(A+B)$ છે.
$NAND$ ગેટ $(G_2)$ નું આઉટપુટ $\overline{A \cdot B}$ છે.
$AND$ ગેટ $(G_3)$ માંથી મળતું અંતિમ આઉટપુટ $Y$ એ $G_1$ અને $G_2$ ના ઇનપુટ્સનો ગુણાકાર છે:
$Y = (A+B) \cdot \overline{A \cdot B}$
ડી મોર્ગનના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$\overline{A \cdot B} = \bar{A} + \bar{B}$.
આ કિંમતને $Y$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$Y = (A+B) \cdot (\bar{A} + \bar{B})$
સમીકરણનું વિસ્તરણ કરતા:
$Y = A \cdot \bar{A} + A \cdot \bar{B} + B \cdot \bar{A} + B \cdot \bar{B}$
કારણ કે $A \cdot \bar{A} = 0$ અને $B \cdot \bar{B} = 0$ હોવાથી:
$Y = 0 + A \cdot \bar{B} + \bar{A} \cdot B + 0$
$Y = A \cdot \bar{B} + \bar{A} \cdot B$
આ $XOR$ ગેટ માટેનું પ્રમાણિત બુલિયન સમીકરણ છે.

(D) આ સર્કિટમાં બે $NOT$ ગેટ,એક $AND$ ગેટ અને એક $NOR$ ગેટનો સમાવેશ થાય છે.
ધારો કે ઇનપુટ $A$ અને $B$ છે.
ઉપરની શાખામાં એક $NOT$ ગેટ છે,તેથી $NOR$ ગેટ માટેનું ઇનપુટ $\overline{A}$ છે.
નીચેની શાખામાં $B$ માટે એક $NOT$ ગેટ અને એક $AND$ ગેટ છે,તેથી $NOR$ ગેટ માટેનું ઇનપુટ $A \cdot \overline{B}$ છે.
$NOR$ ગેટ આ બે ઇનપુટ લે છે અને $NOR$ ઓપરેશન કરે છે:
$Y = \overline{\overline{A} + (A \cdot \overline{B})}$
ડી મોર્ગનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $\overline{X + Y} = \overline{X} \cdot \overline{Y}$
$Y = \overline{\overline{A}} \cdot \overline{(A \cdot \overline{B})}$
$Y = A \cdot (\overline{A} + \overline{\overline{B}})$
$Y = A \cdot (\overline{A} + B)$
$Y = (A \cdot \overline{A}) + (A \cdot B)$
કારણ કે $A \cdot \overline{A} = 0$,આપણને મળે છે:
$Y = 0 + AB = AB$
આમ,આ સર્કિટ $AND$ ગેટ તરીકે કાર્ય કરે છે. આઉટપુટ વેવફોર્મ $Y$ ત્યારે જ હાઈ (high) હશે જ્યારે $A$ અને $B$ બંને હાઈ હોય.

(A) પ્રથમ સર્કિટ માટે:
ઇનપુટ $A$ અને $B$ ને બે $NAND$ ગેટમાંથી પસાર કરવામાં આવે છે જે $NOT$ ગેટ તરીકે કાર્ય કરે છે,જેના પરિણામે $\bar{A}$ અને $\bar{B}$ મળે છે.
ત્યારબાદ આને ત્રીજા $NAND$ ગેટમાં આપવામાં આવે છે.
આઉટપુટ $C = \overline{\bar{A} \cdot \bar{B}} = \overline{\bar{A}} + \overline{\bar{B}} = A + B$ (ડી મોર્ગનના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને).
આમ,પ્રથમ સર્કિટ $OR$ ગેટને સમતુલ્ય છે.
બીજી સર્કિટ માટે:
ઇનપુટ $A$ અને $B$ ને $NAND$ ગેટમાં આપવામાં આવે છે,જે $\overline{AB}$ આપે છે.
આ આઉટપુટને પછી $NOT$ ગેટ તરીકે કાર્ય કરતા $NAND$ ગેટમાં આપવામાં આવે છે.
આઉટપુટ $C = \overline{\overline{AB}} = AB$.
આમ,બીજી સર્કિટ $AND$ ગેટને સમતુલ્ય છે.
તેથી,આ સંયોજનો અનુક્રમે $OR$ ગેટ અને $AND$ ગેટને સમતુલ્ય છે.

(C) પરિપથ આકૃતિ પરથી:
$X = P + Q$
$Y = \text{NOT}(\text{NAND}(R, S)) = \text{NOT}(\text{NOT}(R \cdot S)) = R \cdot S$
$Z = \text{NOR}(X, Y) = \text{NOT}(X + Y)$
આપેલ ઇનપુટ્સ: $P = 0, Q = 0, R = 1, S = 1$.
$X$ ની ગણતરી:
$X = 0 + 0 = 0$
$Y$ ની ગણતરી:
$Y = 1 \cdot 1 = 1$
$Z$ ની ગણતરી:
$Z = \text{NOT}(X + Y) = \text{NOT}(0 + 1) = \text{NOT}(1) = 0$
આમ,આઉટપુટ્સ $X, Y, Z$ ની અવસ્થાઓ અનુક્રમે $0, 1, 0$ છે.

(B) $OR$ ગેટ $(G_1)$ નું આઉટપુટ $(A+B)$ છે.
$NAND$ ગેટ $(G_2)$ નું આઉટપુટ $\overline{A \cdot B}$ છે.
$AND$ ગેટ $(G_3)$ માંથી મળતું અંતિમ આઉટપુટ $Y$ એ આ બંને ઇનપુટ્સનો ગુણાકાર છે:
$Y = (A+B) \cdot (\overline{A \cdot B})$
ડી મોર્ગનના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$\overline{A \cdot B} = \overline{A} + \overline{B}$.
તેથી,$Y = (A+B) \cdot (\overline{A} + \overline{B})$
$Y = A \cdot \overline{A} + A \cdot \overline{B} + B \cdot \overline{A} + B \cdot \overline{B}$
કારણ કે $A \cdot \overline{A} = 0$ અને $B \cdot \overline{B} = 0$,આપણને મળે છે:
$Y = 0 + A \cdot \overline{B} + \overline{A} \cdot B + 0$
$Y = A \cdot \overline{B} + \overline{A} \cdot B$
આ $XOR$ ગેટ માટેનું બુલિયન સમીકરણ છે.

(D) લોજિક ગેટને ઓળખવા માટે,આપણે આપેલા વેવફોર્મ્સ પરથી ટ્રુથ ટેબલનું વિશ્લેષણ કરીએ છીએ:

$A$	$B$	$Y$
$1$	$1$	$0$
$0$	$0$	$1$
$0$	$1$	$1$
$1$	$0$	$1$

કોષ્ટક પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે જ્યારે બંને ઇનપુટ $A$ અને $B$ એ $1$ હોય ત્યારે જ આઉટપુટ $Y$ એ $0$ મળે છે. અન્ય તમામ કિસ્સાઓમાં,આઉટપુટ $Y$ એ $1$ છે. આ વર્તણૂક $NAND$ ગેટના ટ્રુથ ટેબલને અનુરૂપ છે.

(A) આપેલ સર્કિટમાં બે $NOT$ ગેટ, બે $AND$ ગેટ અને એક $OR$ ગેટ છે। ઇનપુટ $A$ અને $B$ છે। ઉપરના $AND$ ગેટનું આઉટપુટ $\bar{A} \cdot B$ છે અને નીચેના $AND$ ગેટનું આઉટપુટ $A \cdot \bar{B}$ છે। આ બંનેને $OR$ ગેટમાં આપવામાં આવે છે, તેથી અંતિમ આઉટપુટ $Y = \bar{A} \cdot B + A \cdot \bar{B}$ મળે છે। આ $XOR$ ગેટનું બુલિયન સમીકરણ છે। તેનું સત્યતા કોષ્ટક નીચે મુજબ છે:

$A$	$B$	$Y$
$0$	$0$	$0$
$0$	$1$	$1$
$1$	$0$	$1$
$1$	$1$	$0$

(C) $1$. આ પરિપથમાં એક $AND$ ગેટ, એક $NOR$ ગેટ, એક $NOT$ ગેટ અને અંતિમ આઉટપુટ સ્ટેજ તરીકે એક $NOR$ ગેટનો સમાવેશ થાય છે.
$2$. ધારો કે $AND$ ગેટનું આઉટપુટ $X$ છે। $X = P \cdot Q$.
$3$. ધારો કે $NOR$ ગેટનું આઉટપુટ (જે $R$ અને $S$ સાથે જોડાયેલ છે) $N$ છે। $N = \overline{R+S}$.
$4$. આ આઉટપુટ $N$ એક $NOT$ ગેટમાંથી પસાર થાય છે, તેથી અંતિમ $NOR$ ગેટ માટેનું ઇનપુટ $Y = \overline{N} = R+S$ છે.
$5$. અંતિમ આઉટપુટ $Z$ એ $X$ અને $Y$ નું $NOR$ છે, તેથી $Z = \overline{X+Y}$.
$6$. આપેલ નવા ઇનપુટ: $P=0, Q=1, R=0, S=1$.
$7$. $X$ ની ગણતરી: $X = P \cdot Q = 0 \cdot 1 = 0$.
$8$. $Y$ ની ગણતરી: $Y = R+S = 0+1 = 1$.
$9$. $Z$ ની ગણતરી: $Z = \overline{X+Y} = \overline{0+1} = \overline{1} = 0$.
$10$. આમ, નવી સ્થિતિઓ $X=0, Y=1, Z=0$ છે.

(C) આ સર્કિટમાં બે $OR$ ગેટ છે જેની પાછળ એક $AND$ ગેટ જોડાયેલ છે.
$1$. $W$ અને $X$ ઇનપુટ ધરાવતા ઉપરના $OR$ ગેટનું આઉટપુટ $(W + X)$ છે.
$2$. $W$ અને $Y$ ઇનપુટ ધરાવતા નીચેના $OR$ ગેટનું આઉટપુટ $(W + Y)$ છે.
$3$. આ બંને આઉટપુટ $AND$ ગેટમાં જાય છે,તેથી અંતિમ આઉટપુટ $F$:
$F = (W + X) \cdot (W + Y)$
$4$. બુલિયન બીજગણિતના વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરતા:
$F = W \cdot W + W \cdot Y + X \cdot W + X \cdot Y$
$5$. કારણ કે $W \cdot W = W$:
$F = W + W \cdot Y + X \cdot W + X \cdot Y$
$6$. પ્રથમ ત્રણ પદોમાંથી $W$ સામાન્ય લેતા:
$F = W(1 + Y + X) + X \cdot Y$
$7$. કારણ કે $(1 + Y + X) = 1$:
$F = W \cdot 1 + X \cdot Y = W + X \cdot Y$

(D) આ પરિપથમાં બે $NOT$ ગેટ છે જેની પાછળ એક $OR$ ગેટ જોડાયેલ છે. આ એક $NOR$ ગેટની સમકક્ષ છે.
ધારો કે ઇનપુટ $A$ અને $B$ છે. $NOT$ ગેટના આઉટપુટ $\bar{A}$ અને $\bar{B}$ છે.
$OR$ ગેટનું અંતિમ આઉટપુટ $Y = \bar{A} + \bar{B}$ છે.
ડી મોર્ગનના પ્રમેય મુજબ,$\bar{A} + \bar{B} = \overline{A \cdot B}$.
આમ,આ પરિપથ $NAND$ ગેટ તરીકે કાર્ય કરે છે.
$NAND$ ગેટ માટેનું ટ્રુથ ટેબલ નીચે મુજબ છે:
$A=0, B=0 \implies Y=1$
$A=0, B=1 \implies Y=1$
$A=1, B=0 \implies Y=1$
$A=1, B=1 \implies Y=0$
તેથી,આઉટપુટ $Y$ ફક્ત ત્યારે જ લો (low) હોય છે જ્યારે બંને ઇનપુટ $A$ અને $B$ હાઈ (high) હોય.

(A) આ સર્કિટમાં બે $AND$ ગેટ,એક $NOT$ ગેટ અને એક $NAND$ ગેટ છે.
ધારો કે ઇનપુટ $x$ અને $y$ છે.
ઉપરના $AND$ ગેટમાં $x$ અને $y$ ઇનપુટ તરીકે જાય છે,તેથી તેનું આઉટપુટ $a = x \cdot y$ છે.
નીચેના $AND$ ગેટમાં $\bar{x}$ ($NOT$ ગેટમાંથી) અને $y$ ઇનપુટ તરીકે જાય છે,તેથી તેનું આઉટપુટ $b = \bar{x} \cdot y$ છે.
અંતિમ $NAND$ ગેટમાં $a$ અને $b$ ઇનપુટ તરીકે જાય છે,તેથી તેનું આઉટપુટ $z = \overline{a \cdot b} = \overline{(x \cdot y) \cdot (\bar{x} \cdot y)}$ છે.
બુલિયન બીજગણિતનો ઉપયોગ કરતા: $z = \overline{(x \cdot \bar{x}) \cdot (y \cdot y)} = \overline{0 \cdot y} = \overline{0} = 1$.
આમ,સર્કિટનું આઉટપુટ હંમેશા $1$ રહે છે. આપેલ વિકલ્પો તપાસતા,વિકલ્પ $A$ સાચો જવાબ છે.

(A) સત્યતા કોષ્ટક દર્શાવે છે કે જો ઇનપુટ $A$ અથવા ઇનપુટ $B$ (અથવા બંને) માંથી કોઈ પણ $1$ હોય,તો આઉટપુટ $Y$ એ $1$ મળે છે. જો બંને ઇનપુટ $0$ હોય,તો આઉટપુટ $0$ મળે છે.
આ વર્તણૂક બુલિયન સમીકરણ $Y = A + B$ ને અનુરૂપ છે,જે $OR$ ગેટની લાક્ષણિક કામગીરી છે.

$A$	$B$	$Y = A + B$
$0$	$0$	$0$
$0$	$1$	$1$
$1$	$0$	$1$
$1$	$1$	$1$

(C) આપેલ સર્કિટમાં એક $OR$ ગેટ અને ત્યારબાદ એક $AND$ ગેટ છે. ધારો કે $OR$ ગેટનું આઉટપુટ $X = a + b$ છે. સર્કિટનું અંતિમ આઉટપુટ $Y = X \cdot c = (a + b) \cdot c$ છે.
આઉટપુટ $Y = 1$ મેળવવા માટે,$AND$ ગેટના બંને ઇનપુટ $1$ હોવા જોઈએ. તેથી,$(a + b) = 1$ અને $c = 1$ હોવું જરૂરી છે.
$(a + b) = 1$ થવા માટે,$a$ અથવા $b$ માંથી ઓછામાં ઓછું એક $1$ હોવું જોઈએ.
વિકલ્પો તપાસતા:
વિકલ્પ $A$: $a=0, b=0, c=1 \implies Y = (0+0) \cdot 1 = 0 \cdot 1 = 0$.
વિકલ્પ $B$: $a=1, b=0, c=0 \implies Y = (1+0) \cdot 0 = 1 \cdot 0 = 0$.
વિકલ્પ $C$: $a=1, b=0, c=1 \implies Y = (1+0) \cdot 1 = 1 \cdot 1 = 1$.
વિકલ્પ $D$: $a=0, b=1, c=0 \implies Y = (0+1) \cdot 0 = 1 \cdot 0 = 0$.
આમ,સાચો ઇનપુટ $a=1, b=0, c=1$ છે.

(A) પ્રથમ ગેટ એ $A$ અને $B$ ઇનપુટ ધરાવતો $NAND$ ગેટ છે. તેનું આઉટપુટ $\overline{A \cdot B}$ છે.
આ આઉટપુટને બીજા $NAND$ ગેટમાં આપવામાં આવે છે જેના બંને ઇનપુટ ટૂંકા (short) કરેલા છે,જે $NOT$ ગેટ તરીકે કાર્ય કરે છે.
ધારો કે પ્રથમ $NAND$ ગેટનું આઉટપુટ $X = \overline{A \cdot B}$ છે.
અંતિમ આઉટપુટ $Y$ એ $X$ નું વ્યસ્ત છે,તેથી $Y = \overline{X} = \overline{(\overline{A \cdot B})} = A \cdot B$.
અંતિમ આઉટપુટ $Y = A \cdot B$ હોવાથી,આ પરિપથ $AND$ ગેટ તરીકે કાર્ય કરે છે.
$A = 1$ અને $B = 1$ માટે,$Y = 1 \cdot 1 = 1$. આમ,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.

(A) આપેલ સર્કિટમાં,જો બંને ઇનપુટ $A$ અને $B$ લોજિક $0$ (ઓછો વોલ્ટેજ,$< 1 \ V$) પર હોય,તો બંને ડાયોડ ફોરવર્ડ-બાયસ થાય છે અને આઉટપુટ $V_{out}$ લગભગ $0 \ V$ (લોજિક $0$) પર ખેંચાય છે.
જો કોઈ પણ એક ઇનપુટ $A$ અથવા $B$ લોજિક $1$ $(> 5 \ V)$ પર હોય,તો સંબંધિત ડાયોડ રિવર્સ-બાયસ થાય છે. જો કે,જો એક ઇનપુટ $1$ હોય અને બીજું $0$ હોય,તો $0$ ઇનપુટ સાથે જોડાયેલ ડાયોડ વહન કરે છે,જે આઉટપુટને લોજિક $0$ પર લાવે છે.
જો બંને ઇનપુટ $A$ અને $B$ લોજિક $1$ $(> 5 \ V)$ પર હોય,તો બંને ડાયોડ રિવર્સ-બાયસ થાય છે. આઉટપુટ $V_{out}$ ત્યારબાદ અવરોધ $R$ દ્વારા $V_{CC} = 6 \ V$ સુધી ખેંચાય છે,જે લોજિક $1$ ને અનુરૂપ છે.
આ સર્કિટ માટેનું ટ્રુથ ટેબલ નીચે મુજબ છે:
$A=0, B=0 \implies V_{out}=0$
$A=0, B=1 \implies V_{out}=0$
$A=1, B=0 \implies V_{out}=0$
$A=1, B=1 \implies V_{out}=1$
આ ટ્રુથ ટેબલ $AND$ ગેટને અનુરૂપ છે.

(A) આ સર્કિટમાં બે $npn$ ટ્રાન્ઝિસ્ટર આઉટપુટ નોડ $C$ અને ગ્રાઉન્ડની વચ્ચે શ્રેણીમાં જોડાયેલા છે.
આઉટપુટ $C$ લો $(0 \, V)$ મળે તે માટે,બંને ટ્રાન્ઝિસ્ટર '$ON$' સ્થિતિમાં (કન્ડક્ટિંગ) હોવા જોઈએ,જે ત્યારે થાય છે જ્યારે બંને ઇનપુટ $A$ અને $B$ હાઇ $(5 \, V)$ હોય.
જો $A$ અથવા $B$ માંથી કોઈ પણ એક લો $(0 \, V)$ હોય,તો સંબંધિત ટ્રાન્ઝિસ્ટર '$OFF$' થાય છે અને આઉટપુટ $C$ રઝિસ્ટર દ્વારા $5 \, V$ (હાઇ) પર ખેંચાય છે.
આ વર્તણૂક $NAND$ ગેટના ટ્રુથ ટેબલને અનુસરે છે:
- જો $A=0, B=0$,તો $C=1$
- જો $A=0, B=1$,તો $C=1$
- જો $A=1, B=0$,તો $C=1$
- જો $A=1, B=1$,તો $C=0$
આમ,$C$ પરનું આઉટપુટ $A \, NAND \, B$ અથવા $\overline{A \cdot B} = C$ ને અનુરૂપ છે.

(A) આપેલ સિસ્ટમમાં, ચારેય ગેટ $NOR$ ગેટ છે. ધારો કે પ્રથમ ગેટનું આઉટપુટ $Y' = \overline{A+B}$ છે.
આ $Y'$ ને અનુક્રમે ઇનપુટ $A$ અને $B$ સાથે પછીના બે $NOR$ ગેટમાં આપવામાં આવે છે.
આ બે ગેટના આઉટપુટ $Y'' = \overline{A+Y'}$ અને $Y''' = \overline{B+Y'}$ છે.
છેલ્લે, આ બંનેને છેલ્લા $NOR$ ગેટમાં આપવામાં આવે છે, તેથી $Y = \overline{Y''+Y'''}$ મળે છે.
સત્યતા કોષ્ટકની ગણતરી:

$A$	$B$	$Y' = \overline{A+B}$	$Y'' = \overline{A+Y'}$	$Y''' = \overline{B+Y'}$	$Y = \overline{Y''+Y'''}$
$0$	$0$	$1$	$0$	$0$	$1$
$0$	$1$	$0$	$1$	$0$	$0$
$1$	$0$	$0$	$0$	$1$	$0$
$1$	$1$	$0$	$0$	$0$	$1$

આ $XNOR$ ગેટના લોજિકને અનુરૂપ છે.

(A) સાચો પરિપથ શોધવા માટે,આપણે દરેક ઇનપુટ સંયોજન $(A, B)$ માટે આઉટપુટ $C$ નું વિશ્લેષણ કરીએ છીએ:
$1$. $(A=0, B=0)$ માટે,$C=0$.
$2$. $(A=0, B=1)$ માટે,$C=0$.
$3$. $(A=1, B=0)$ માટે,$C=1$.
$4$. $(A=1, B=1)$ માટે,$C=0$.
આ સત્યતા કોષ્ટક બુલિયન અભિવ્યક્તિ $C = A \cdot \overline{B}$ ને અનુરૂપ છે.
હવે,વિકલ્પ $A$ (ઇમેજ $823-a813$) માં આપેલ પરિપથનું વિશ્લેષણ કરીએ:
- ઇનપુટ $A$ એ $AND$ ગેટમાં જાય છે અને $NOT$ ગેટમાંથી પણ પસાર થાય છે.
- ઇનપુટ $B$ એ $AND$ ગેટમાં જાય છે.
- $AND$ ગેટનું આઉટપુટ $A \cdot B$ છે.
- $NOT$ ગેટનું આઉટપુટ $\overline{A}$ છે.
- આ બંનેને $NOR$ ગેટમાં આપવામાં આવે છે,જેથી $C = \overline{(A \cdot B) + \overline{A}} = \overline{A \cdot B} \cdot A = (\overline{A} + \overline{B}) \cdot A = A \cdot \overline{B}$ મળે છે.
આ જરૂરી સત્યતા કોષ્ટક સાથે મેળ ખાય છે. તેથી,વિકલ્પ $A$ માં આપેલ પરિપથ સાચો છે.

(B) આપેલ સર્કિટમાં,સ્વીચ $A$ અને $B$ સમાંતર જોડાયેલ છે. જો સ્વીચ $A$ બંધ $(1)$ હોય અથવા સ્વીચ $B$ બંધ $(1)$ હોય અથવા બંને બંધ $(1)$ હોય,તો લેમ્પ પ્રકાશિત થશે.
આ સર્કિટ માટેનું ટ્રુથ ટેબલ નીચે મુજબ છે:

ઇનપુટ $(A, B)$	આઉટપુટ $(Y)$
$0, 0$	$0$
$0, 1$	$1$
$1, 0$	$1$
$1, 1$	$1$

આ ટ્રુથ ટેબલ $OR$ ગેટને અનુરૂપ છે,જ્યાં જો ઓછામાં ઓછું એક ઇનપુટ $1$ હોય તો આઉટપુટ $1$ મળે છે.

(A) $NOR$ ગેટ એ $OR$ ગેટ અને $NOT$ ગેટના સંયોજનથી બને છે.
સૌ પ્રથમ,$OR$ ઓપરેશન આઉટપુટ $A + B$ આપે છે.
ત્યારબાદ,$NOT$ ઓપરેશન આ પરિણામને ઉલટાવે છે.
તેથી,$NOR$ ગેટ માટેનું બુલિયન સમીકરણ $Y = \overline {A + B}$ છે.

(C) $NOR$ ગેટના ઇનપુટ $\bar{A}$ અને $\bar{B}$ છે કારણ કે તેઓ $NOT$ ગેટમાંથી પસાર થાય છે. $NOR$ ગેટનું આઉટપુટ $Y$ બુલિયન સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $Y = \overline{\bar{A} + \bar{B}}$.
ડી મોર્ગનના પ્રમેય મુજબ,$\overline{\bar{A} + \bar{B}} = \overline{\bar{A}} \cdot \overline{\bar{B}} = A \cdot B$.
આ $AND$ ગેટ માટેનું બુલિયન સમીકરણ છે.
સત્યતા કોષ્ટક:

$A$	$B$	$\bar{A}$	$\bar{B}$	$\bar{A} + \bar{B}$	$Y = \overline{\bar{A} + \bar{B}}$
$0$	$0$	$1$	$1$	$1$	$0$
$0$	$1$	$1$	$0$	$1$	$0$
$1$	$0$	$0$	$1$	$1$	$0$
$1$	$1$	$0$	$0$	$0$	$1$

આમ,આ સંયોજન $AND$ ગેટને સમતુલ્ય છે.

(C) આપેલ સર્કિટ ડાયાગ્રામ પરથી, અંતિમ $NOR$ ગેટના ઇનપુટ $P$ અને $Q$ છે.
$P = \overline{X} + Y$
$Q = \overline{X \cdot \overline{Y}}$
આઉટપુટ $R$ એ $NOR$ ઓપરેશન દ્વારા મળે છે: $R = \overline{P + Q}$.
$P$ અને $Q$ ના સમીકરણો મૂકતા:
$R = \overline{(\overline{X} + Y) + (\overline{X \cdot \overline{Y}})}$
ડી મોર્ગનના નિયમ $\overline{A + B} = \overline{A} \cdot \overline{B}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$R = (\overline{\overline{X} + Y}) \cdot (\overline{\overline{X \cdot \overline{Y}}})$
$R = (X \cdot \overline{Y}) \cdot (X \cdot \overline{Y})$
$R = X \cdot \overline{Y}$
$R = 1$ મેળવવા માટે, $X = 1$ અને $\overline{Y} = 1$ હોવું જોઈએ, જેનો અર્થ છે કે $Y = 0$.
તેથી, ઇનપુટ મૂલ્યો $X = 1$ અને $Y = 0$ હોવા જોઈએ.

(C) ધારો કે પ્રથમ $NAND$ ગેટનું આઉટપુટ $X = \overline{AB} = \bar{A} + \bar{B}$ છે.
ઉપરના $NAND$ ગેટના ઇનપુટ $A$ અને $X$ છે. તેનું આઉટપુટ $Y_1 = \overline{A \cdot X} = \overline{A \cdot (\bar{A} + \bar{B})} = \overline{A\bar{A} + A\bar{B}} = \overline{0 + A\bar{B}} = \overline{A\bar{B}} = \bar{A} + B$ છે.
નીચેના $OR$ ગેટના ઇનપુટ $X$ અને $B$ છે. તેનું આઉટપુટ $Y_2 = X + B = (\bar{A} + \bar{B}) + B = \bar{A} + (\bar{B} + B) = \bar{A} + 1 = 1$ છે.
અંતિમ $NAND$ ગેટના ઇનપુટ $Y_1$ અને $Y_2$ છે. તેનું આઉટપુટ $Y = \overline{Y_1 \cdot Y_2} = \overline{(\bar{A} + B) \cdot 1} = \overline{\bar{A} + B} = A \cdot \bar{B}$ છે.

(A) આપેલ સર્કિટમાં બે $NOT$ ગેટ છે જે $NAND$ ગેટના ઇનપુટ સાથે જોડાયેલા છે.
ધારો કે ઇનપુટ $A$ અને $B$ છે. $NOT$ ગેટના આઉટપુટ $\bar{A}$ અને $\bar{B}$ મળે છે.
આ $NAND$ ગેટના ઇનપુટ છે,તેથી અંતિમ આઉટપુટ $Y$ નીચે મુજબ મળે:
$Y = \overline{\bar{A} \cdot \bar{B}}$
ડી મોર્ગનના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$\overline{\bar{A} \cdot \bar{B}} = \overline{\bar{A}} + \overline{\bar{B}} = A + B$.
આમ,આઉટપુટ $Y = A + B$,જે $OR$ ગેટનું બુલિયન સમીકરણ છે.
ટ્રુથ ટેબલ:

$A$	$B$	$\bar{A}$	$\bar{B}$	$Y = \overline{\bar{A} \cdot \bar{B}}$
$0$	$0$	$1$	$1$	$0$
$0$	$1$	$1$	$0$	$1$
$1$	$0$	$0$	$1$	$1$
$1$	$1$	$0$	$0$	$1$

તેથી,સમકક્ષ ગેટ $OR$ ગેટ છે.

(D) આપેલ સર્કિટમાં એક $OR$ ગેટ અને એક $NAND$ ગેટ છે। ધારો કે $OR$ ગેટનું આઉટપુટ $C$ છે. તેથી $C = A + B$ થાય.
$NAND$ ગેટના ઇનપુટ $A$ અને $C$ છે. $NAND$ ગેટનું આઉટપુટ $Y$ એ $Y = \overline{A \cdot C}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$Y$ ના સમીકરણમાં $C = A + B$ મૂકતા, આપણને $Y = \overline{A \cdot (A + B)} = \overline{A \cdot A + A \cdot B} = \overline{A + A \cdot B} = \overline{A(1 + B)} = \overline{A}$ મળે છે.
ચાલો આને ટ્રુથ ટેબલ દ્વારા ચકાસીએ:

$A$	$B$	$C = A + B$	$A \cdot C$	$Y = \overline{A \cdot C}$
$0$	$0$	$0$	$0$	$1$
$0$	$1$	$1$	$0$	$1$
$1$	$0$	$1$	$1$	$0$
$1$	$1$	$1$	$1$	$0$

આ કોષ્ટકની સરખામણી આપેલા વિકલ્પો સાથે કરતા, તે વિકલ્પ $D$ સાથે મેળ ખાય છે.

(D) $1$. આપેલ સર્કિટમાં એક $OR$ ગેટ અને ત્યારબાદ એક $AND$ ગેટ જોડાયેલ છે.
$2$. $OR$ ગેટના ઇનપુટ $X$ અને $\bar{Y}$ છે. તેથી,$OR$ ગેટનું આઉટપુટ $(X + \bar{Y})$ મળે છે.
$3$. આ આઉટપુટ $(X + \bar{Y})$ અને ઇનપુટ $Z$ ને $AND$ ગેટમાં આપવામાં આવે છે.
$4$. $AND$ ગેટનું અંતિમ આઉટપુટ $W$ એ તેના ઇનપુટ્સનો ગુણાકાર છે: $W = (X + \bar{Y}) \cdot Z$.

(C) આપેલ પરિપથમાં બે ડાયોડ છે જેના એનોડ ઇનપુટ $A$ અને $B$ સાથે જોડાયેલા છે,અને તેમના કેથોડ એક સામાન્ય આઉટપુટ ટર્મિનલ $C$ સાથે જોડાયેલા છે,જે અવરોધ દ્વારા ગ્રાઉન્ડ સાથે જોડાયેલ છે.
ધારો કે લોજિક લેવલ $0$ (લો વોલ્ટેજ) અને $1$ (હાઈ વોલ્ટેજ) છે.
$1$. જો $A=0$ અને $B=0$ હોય,તો બંને ડાયોડ રિવર્સ-બાયસમાં હોય છે (અથવા શૂન્ય પોટેન્શિયલ પર),તેથી આઉટપુટ $C=0$ મળે છે.
$2$. જો $A=1$ અને $B=0$ હોય,તો $A$ સાથે જોડાયેલ ડાયોડ ફોરવર્ડ-બાયસમાં હોય છે,જે $C$ સુધી પ્રવાહ વહેવા દે છે,તેથી $C=1$ મળે છે.
$3$. જો $A=0$ અને $B=1$ હોય,તો $B$ સાથે જોડાયેલ ડાયોડ ફોરવર્ડ-બાયસમાં હોય છે,જે $C$ સુધી પ્રવાહ વહેવા દે છે,તેથી $C=1$ મળે છે.
$4$. જો $A=1$ અને $B=1$ હોય,તો બંને ડાયોડ ફોરવર્ડ-બાયસમાં હોય છે,અને આઉટપુટ $C=1$ મળે છે.
આ ટ્રુથ ટેબલ ($0,0 \rightarrow 0$; $1,0 \rightarrow 1$; $0,1 \rightarrow 1$; $1,1 \rightarrow 1$) એ $OR$ ગેટને અનુરૂપ છે.

(D) ડી મોર્ગનના નિયમો મુજબ:
$1$. $\overline{A \cdot B} = \bar A + \bar B$
$2$. $\overline{A + B} = \bar A \cdot \bar B$
દરેક વિકલ્પનું મૂલ્યાંકન કરીએ:
$A$: $\overline {\bar A \cdot \bar B} = \overline{\bar A} + \overline{\bar B} = A + B$. આ સાચું છે.
$B$: $\overline {\bar A + \bar B} = \overline{\bar A} \cdot \overline{\bar B} = A \cdot B$. આ સાચું છે.
$C$: $\overline{\overline {A \cdot B}} = A \cdot B$ (ડબલ નેગેશનનો નિયમ). આ સાચું છે.
$D$: $\bar 1$ એ $1$ નો પૂરક છે,જે $0$ છે. તેથી,$\bar 1 + \bar 1 = 0 + 0 = 0$. આપેલ સમીકરણમાં તે $1$ બરાબર છે તેમ દર્શાવેલ છે,જે ખોટું છે.

(D) ધારો કે ઇનપુટ્સ $A$ અને $B$ છે. આ સર્કિટમાં બે $NOT$ ગેટ, બે $AND$ ગેટ અને એક $OR$ ગેટનો સમાવેશ થાય છે.
$1$. ઉપરનો $AND$ ગેટ $A'$ ($NOT$ ગેટમાંથી) અને $B$ ઇનપુટ મેળવે છે. તેનું આઉટપુટ $A' \cdot B = \bar{A}B$ છે.
$2$. નીચેનો $AND$ ગેટ $A$ અને $B'$ ($NOT$ ગેટમાંથી) ઇનપુટ મેળવે છે. તેનું આઉટપુટ $A \cdot B' = A\bar{B}$ છે.
$3$. અંતિમ $OR$ ગેટ આ આઉટપુટને જોડે છે: $Y = \bar{A}B + A\bar{B}$.
$4$. બુલિયન સમીકરણ $Y = \bar{A}B + A\bar{B}$ એ $XOR$ ગેટ (એક્સક્લુઝિવ $OR$ ગેટ) ની પ્રમાણભૂત વ્યાખ્યા છે.
તેથી, આ સંયોજન $XOR$ ગેટ ઉત્પન્ન કરે છે.

(A) $AND$ ગેટ માટે,આઉટપુટ $C$ ત્યારે જ હાઈ $(1)$ હોય છે જ્યારે બંને ઇનપુટ $A$ અને $B$ હાઈ $(1)$ હોય.
જો કોઈ પણ એક ઇનપુટ લો $(0)$ હોય,તો આઉટપુટ $C$ લો $(0)$ મળે છે.
આપેલા વેવફોર્મ્સ જોતા:
- $A$ બીજા અને ચોથા સમયગાળા દરમિયાન હાઈ છે.
- $B$ બીજા અને ત્રીજા સમયગાળા દરમિયાન હાઈ છે.
- આઉટપુટ $C = A \cdot B$ ફક્ત બીજા સમયગાળા દરમિયાન જ હાઈ $(1)$ હશે જ્યાં $A$ અને $B$ બંને હાઈ છે.
- તેથી,$C$ માટેનો વેવફોર્મ ફક્ત બીજા અંતરાલ દરમિયાન જ હાઈ પલ્સ દર્શાવશે.

(D) આપેલ સર્કિટમાં બે $NOT$ ગેટ (કારણ કે ઇનપુટ શોર્ટ કરેલા છે) અને ત્યારબાદ એક $NOR$ ગેટ છે.
ધારો કે ઇનપુટ $A$ અને $B$ છે.
પ્રથમ $NOT$ ગેટનું આઉટપુટ $\bar{A}$ છે.
બીજા $NOT$ ગેટનું આઉટપુટ $\bar{B}$ છે.
આ $NOR$ ગેટના ઇનપુટ છે.
$NOR$ ગેટનું આઉટપુટ $X = \overline{\bar{A} + \bar{B}}$ દ્વારા મળે છે.
ડી મોર્ગનના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$\overline{\bar{A} + \bar{B}} = \overline{\bar{A}} \cdot \overline{\bar{B}} = A \cdot B$.
આમ,આ સર્કિટ $AND$ ગેટ તરીકે કાર્ય કરે છે.
$AND$ ગેટ માટેનું સત્યતા કોષ્ટક નીચે મુજબ છે:
જો $A=0, B=0$,તો $X=0$.
જો $A=0, B=1$,તો $X=0$.
જો $A=1, B=0$,તો $X=0$.
જો $A=1, B=1$,તો $X=1$.
આપેલ વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,વિકલ્પ $D$ સાચો છે.

(C) ધારો કે $OR$ ગેટના ઇનપુટ $A$ અને $B$ છે. $OR$ ગેટનું આઉટપુટ $X = A + B$ મળે છે.
આ આઉટપુટ $X$ ને $NAND$ ગેટના બંને ઇનપુટ સાથે જોડવામાં આવે છે. ધારો કે $NAND$ ગેટના ઇનપુટ $I_1 = X$ અને $I_2 = X$ છે.
$NAND$ ગેટનું આઉટપુટ $Y = \overline{I_1 \cdot I_2} = \overline{X \cdot X} = \overline{X}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$X = A + B$ મૂકતા,આપણને $Y = \overline{A + B}$ મળે છે.
પદ $\overline{A + B}$ એ $NOR$ ગેટનું બુલિયન ઓપરેશન દર્શાવે છે.
તેથી,આ સંયોજન $NOR$ ગેટ તરીકે કાર્ય કરે છે.

(B) આકૃતિ-$II$ માં દર્શાવેલ સર્કિટમાં બે $NOT$ ગેટ અને ત્યારબાદ એક $OR$ ગેટ છે.
ધારો કે ઇનપુટ $A$ અને $B$ છે. $NOT$ ગેટના આઉટપુટ અનુક્રમે $\bar{A}$ અને $\bar{B}$ છે.
$OR$ ગેટનું અંતિમ આઉટપુટ $Y = \bar{A} + \bar{B}$ છે.
ડી મોર્ગનના પ્રમેય મુજબ,$\bar{A} + \bar{B} = \overline{A \cdot B}$ થાય.
આનો અર્થ એ છે કે ગેટ્સનું આ સંયોજન $NAND$ ગેટ તરીકે કાર્ય કરે છે.
$NAND$ ગેટ ત્યારે જ લો આઉટપુટ $(0)$ આપે છે જ્યારે બંને ઇનપુટ હાઈ $(1)$ હોય,અન્યથા તે હાઈ આઉટપુટ $(1)$ આપે છે.
આકૃતિ-$I$ માં વેવફોર્મનું અવલોકન કરતા:
- જ્યારે $A$ અને $B$ બંને હાઈ હોય,ત્યારે $Y$ લો હોય છે.
- અન્ય તમામ કિસ્સાઓમાં,$Y$ હાઈ હોય છે.
આ તર્કને આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,આકૃતિ-$(ii)$ આઉટપુટ વેવફોર્મ $Y$ ને યોગ્ય રીતે રજૂ કરે છે.

(B) લોજિક ગેટ્સ એ ડિજિટલ સર્કિટના પાયાના ઘટકો છે.
તે મુખ્યત્વે ટ્રાન્ઝિસ્ટરનો ઉપયોગ કરીને બનાવવામાં આવે છે,ખાસ કરીને $Bipolar$ $Junction$ $Transistors$ $(BJT)$ અથવા $Metal-Oxide-Semiconductor$ $Field-Effect$ $Transistors$ $(MOSFET)$.
જોકે $PN$ જંકશન એ ટ્રાન્ઝિસ્ટરના મૂળભૂત ઘટકો છે,પરંતુ વાસ્તવિક સ્વિચિંગ અને લોજિક ઓપરેશન ટ્રાન્ઝિસ્ટરના કન્ફિગરેશન દ્વારા કરવામાં આવે છે.
તેથી,લોજિક ગેટ્સ મુખ્યત્વે ટ્રાન્ઝિસ્ટરનો ઉપયોગ કરીને બનાવવામાં આવે છે.

(A) $X-NOR$ ગેટ ત્યારે જ $1$ આઉટપુટ આપે છે જ્યારે બંને ઇનપુટ સમાન હોય,અને જો ઇનપુટ અલગ હોય તો $0$ આઉટપુટ આપે છે.
આપેલ ઇનપુટ:
$A = 100101$
$B = 110110$
દરેક બીટની સરખામણી કરતા:
$1$ $X-NOR$ $1 = 1$
$0$ $X-NOR$ $1 = 0$
$0$ $X-NOR$ $0 = 1$
$1$ $X-NOR$ $1 = 1$
$0$ $X-NOR$ $1 = 0$
$1$ $X-NOR$ $0 = 0$
આ પરિણામોને જોડતા,આઉટપુટ $101100$ મળે છે.

(C) આપેલ વેવફોર્મ પરથી ટ્રુથ ટેબલનું વિશ્લેષણ કરીએ:
$t < t_1$ સમયે: $A=1, B=1, Y=0$
$t_1 < t < t_2$ સમયે: $A=0, B=0, Y=1$
$t_2 < t < t_3$ સમયે: $A=0, B=1, Y=1$
$t_3 < t < t_4$ સમયે: $A=1, B=0, Y=1$
$t_4 < t < t_5$ સમયે: $A=1, B=1, Y=0$
ટ્રુથ ટેબલ $(A, B, Y)$ નો સારાંશ:
$(0, 0) \rightarrow 1$
$(0, 1) \rightarrow 1$
$(1, 0) \rightarrow 1$
$(1, 1) \rightarrow 0$
આ ટ્રુથ ટેબલ $NAND$ ગેટ માટે છે,જેમાં આઉટપુટ ત્યારે જ $0$ મળે છે જ્યારે બંને ઇનપુટ $1$ હોય,બાકીના કિસ્સામાં $1$ મળે છે.

(A) આ સર્કિટમાં $A$ અને $B$ ઇનપુટ્સ ધરાવતું એક $AND$ ગેટ છે,ત્યારબાદ એક $NAND$ ગેટ છે. ઇનપુટ $C$ એ $NAND$ ગેટમાં પ્રવેશતા પહેલા $NOT$ ગેટમાંથી પસાર થાય છે.
ધારો કે $AND$ ગેટનું આઉટપુટ $X = A \cdot B$ છે.
ઇનપુટ $C$ એ $NOT$ ગેટમાંથી પસાર થાય છે,તેથી તેનું આઉટપુટ $\bar{C}$ છે.
અંતિમ આઉટપુટ $Y$ એ $X$ અને $\bar{C}$ ઇનપુટ્સ ધરાવતા $NAND$ ગેટનું આઉટપુટ છે,જે $Y = \overline{X \cdot \bar{C}} = \overline{(A \cdot B) \cdot \bar{C}}$ છે.
આઉટપુટ $Y$ શૂન્ય થવા માટે,પદ $(A \cdot B) \cdot \bar{C}$ નું મૂલ્ય $1$ હોવું જોઈએ.
આ માટે $A \cdot B = 1$ અને $\bar{C} = 1$ હોવું જરૂરી છે.
$A \cdot B = 1$ નો અર્થ છે કે $A = 1$ અને $B = 1$.
$\bar{C} = 1$ નો અર્થ છે કે $C = 0$.
તેથી,ઇનપુટ્સ $A = 1, B = 1, C = 0$ છે.

(B) આકૃતિ $(ii)$ માં આપેલા વોલ્ટેજ વેવફોર્મનું અવલોકન કરીને,આપણે ઇનપુટ $A, B$ અને આઉટપુટ $C$ માટે ટ્રુથ ટેબલ બનાવી શકીએ છીએ:

$A$	$B$	$C$
$1$	$1$	$1$
$0$	$1$	$0$
$1$	$0$	$0$
$0$	$0$	$0$

ટ્રુથ ટેબલ પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે આઉટપુટ $C$ ત્યારે જ $1$ મળે છે જ્યારે બંને ઇનપુટ $A$ અને $B$ $1$ હોય. આ વર્તણૂક $AND$ ગેટને અનુરૂપ છે,જેમાં આઉટપુટ ત્યારે જ હાઈ $(1)$ હોય છે જો બધા ઇનપુટ હાઈ $(1)$ હોય.

(C) આપેલ સર્કિટમાં એક $OR$ ગેટ અને ત્યારબાદ એક $AND$ ગેટ છે.
$1$. $OR$ ગેટના ઇનપુટ્સ $\bar{X}$ અને $\bar{Y}$ છે. તેથી $OR$ ગેટનું આઉટપુટ $(\bar{X} + \bar{Y})$ મળે છે.
$2$. આ આઉટપુટ $(\bar{X} + \bar{Y})$ અને ઇનપુટ $Z$ ને $AND$ ગેટમાં આપવામાં આવે છે.
$3$. $AND$ ગેટનું અંતિમ આઉટપુટ $W$ એ તેના ઇનપુટ્સનો ગુણાકાર છે: $W = (\bar{X} + \bar{Y}) \cdot Z$.

(A) $NAND$ ગેટનું ટ્રુથ ટેબલ બુલિયન સમીકરણ $Y = \overline{A \cdot B}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
જો ઓછામાં ઓછું એક ઇનપુટ ($A$ અથવા $B$) લો $(0)$ હોય,તો ગુણાકાર $A \cdot B$ એ $0$ થાય છે.
આઉટપુટ $Y = \overline{0} = 1$ મળે છે,જે હાઈ (high) છે.
તેથી,$NAND$ ગેટ માટે,જો ઓછામાં ઓછું એક ઇનપુટ લો હોય તો આઉટપુટ હાઈ મળે છે.

(A) આ પરિપથમાં એક $NOR$ ગેટ,એક $NAND$ ગેટ (જેના બંને ઇનપુટ જોડેલા છે,તેથી તે $NOT$ ગેટ તરીકે કાર્ય કરે છે) અને એક $NOT$ ગેટ છે.
ધારો કે ઇનપુટ $A$ અને $B$ છે. $NOR$ ગેટનું આઉટપુટ $Y_1 = \overline{A+B}$ છે.
$NAND$ ગેટ જેના ઇનપુટ જોડેલા છે તે $NOT$ ગેટ તરીકે કાર્ય કરે છે,તેથી તેનું આઉટપુટ $Y_2 = \overline{Y_1} = \overline{\overline{A+B}} = A+B$ થાય.
છેલ્લો $NOT$ ગેટ આને ઉલટાવે છે,તેથી અંતિમ આઉટપુટ $Y = \overline{Y_2} = \overline{A+B}$ મળે.
આ $NOR$ ગેટ માટેનું બુલિયન સમીકરણ છે.
| ઇનપુટ $(A, B)$ | $NOR$ આઉટપુટ $(Y_1)$ | $NAND$ આઉટપુટ $(Y_2)$ | અંતિમ આઉટપુટ $(Y)$ |
| :--- | :--- | :--- | :--- |
| $0, 0$ | $1$ | $0$ | $1$ |
| $0, 1$ | $0$ | $1$ | $0$ |
| $1, 0$ | $0$ | $1$ | $0$ |
| $1, 1$ | $0$ | $1$ | $0$ |

(D) આ સર્કિટમાં એક $AND$ ગેટ અને ત્યારબાદ એક $NAND$ ગેટ છે. ધારો કે ત્રણ ઇનપુટ્સ $A, B, C$ છે. પ્રથમ $AND$ ગેટ બે ઇનપુટ્સ ($A$ અને $B$) લે છે અને આઉટપુટ $X = A \cdot B$ આપે છે. $NAND$ ગેટ $X$ અને ત્રીજા ઇનપુટ $C$ ને લઈને અંતિમ આઉટપુટ $Y = \overline{X \cdot C} = \overline{A \cdot B \cdot C}$ આપે છે.
કિસ્સો $1$: બધા ઇનપુટ્સ હાઇ છે $(A=1, B=1, C=1)$.
$Y = \overline{1 \cdot 1 \cdot 1} = \overline{1} = 0$.
કિસ્સો $2$: બધા ઇનપુટ્સ લો છે $(A=0, B=0, C=0)$.
$Y = \overline{0 \cdot 0 \cdot 0} = \overline{0} = 1$.
આમ,આઉટપુટ અનુક્રમે $0$ અને $1$ મળે છે. તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) $1$. ઇનપુટ $X$ અને $Y$ ને $OR$ ગેટમાં આપવામાં આવે છે. $OR$ ગેટનું આઉટપુટ $(X + Y)$ મળે છે.
$2$. આ આઉટપુટ $(X + Y)$ ને $NOT$ ગેટમાંથી પસાર કરવામાં આવે છે (જે $AND$ ગેટના ઇનપુટ પરના બબલ દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે). આકૃતિ જોતા,$AND$ ગેટમાં પ્રવેશતા પહેલા $OR$ ગેટનું આઉટપુટ ઉલટાવવામાં આવે છે. તેથી,$AND$ ગેટ માટે પ્રથમ ઇનપુટ $\overline{X+Y}$ છે.
$3$. $AND$ ગેટ માટે બીજું ઇનપુટ $Z$ છે.
$4$. $AND$ ગેટનું અંતિમ આઉટપુટ $W$ એ તેના ઇનપુટ્સનો ગુણાકાર છે: $W = (\overline{X+Y}) . Z$.
$5$. ડી મોર્ગનના નિયમ મુજબ,$\overline{X+Y} = \overline{X} . \overline{Y}$.
$6$. તેથી,$W = (\overline{X} . \overline{Y}) . Z$.
$7$. કારણ કે $(B)$ અને $(C)$ બંને અભિવ્યક્તિઓ સમાન છે,તેથી સાચો વિકલ્પ $(D)$ છે.

(C) આ પરિપથમાં એક $AND$ ગેટ,એક $NOR$ ગેટ,એક $NOT$ ગેટ અને એક $NOR$ ગેટનો સમાવેશ થાય છે.
$1$. આઉટપુટ $X$ એ $P$ અને $Q$ ઇનપુટ્સ ધરાવતા $AND$ ગેટનું આઉટપુટ છે. તેથી,$X = P \cdot Q$.
$2$. નીચેના ભાગમાં $R$ અને $S$ ઇનપુટ્સ ધરાવતો $NOR$ ગેટ છે,જેની પાછળ એક $NOT$ ગેટ છે. $NOR$ ગેટનું આઉટપુટ $\overline{R+S}$ છે. તેને $NOT$ ગેટમાંથી પસાર કરતા $Y = \overline{\overline{R+S}} = R+S$ મળે છે.
$3$. અંતિમ આઉટપુટ $Z$ એ $X$ અને $Y$ ઇનપુટ્સ ધરાવતા $NOR$ ગેટનું આઉટપુટ છે. તેથી,$Z = \overline{X+Y}$.
$4$. આપેલ ઇનપુટ્સ: $P=0, Q=1, R=0, S=1$.
$5$. $X$ ની ગણતરી: $X = P \cdot Q = 0 \cdot 1 = 0$.
$6$. $Y$ ની ગણતરી: $Y = R + S = 0 + 1 = 1$.
$7$. $Z$ ની ગણતરી: $Z = \overline{X+Y} = \overline{0+1} = \overline{1} = 0$.
તેથી,આઉટપુટ $X, Y$ અને $Z$ ની નવી સ્થિતિઓ અનુક્રમે $0, 1, 0$ છે.