Boolean Algebra and Logic Gates Questions in Gujarati

(D) બુલિયન બીજગણિતમાં,નીચેના નિયમો પાયાના છે:
$1$. આઈડેમપોટન્ટ નિયમ: $A + A = A$ અને $A \cdot A = A$. તેથી,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.
$2$. $OR$ નિયમ: $A + 1 = 1$ (કારણ કે કોઈપણ ઇનપુટનું $1$ સાથે $OR$ ઓપરેશન હંમેશા $1$ આપે છે). તેથી,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.
$3$. કોમ્પ્લિમેન્ટ નિયમ: $A \cdot \overline{A} = 0$ (કારણ કે બેમાંથી એક ચલ હંમેશા $0$ હોવો જોઈએ). તેથી,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.
આમ,આપેલ તમામ સંબંધો પ્રમાણિત બુલિયન ઓળખ છે,તેથી સાચો જવાબ $D$ છે.

(D) જે લોજિક ગેટનું આઉટપુટ નિમ્ન $(0)$ હોય જ્યારે કોઈ પણ એક ઈનપુટ ઉચ્ચ $(1)$ હોય,તેને $NAND$ ગેટ કહેવાય છે.
$NAND$ ગેટ માટે,આઉટપુટ $Y = \overline{A \cdot B}$ છે.
જો $A = 1$ અથવા $B = 1$ હોય,તો $A \cdot B = 1$ થાય,તેથી $Y = \overline{1} = 0$ મળે છે.
આમ,જ્યારે ઓછામાં ઓછું એક ઈનપુટ ઉચ્ચ હોય ત્યારે આઉટપુટ નિમ્ન મળે છે.

(C) $1$. પ્રથમ ગેટ એ $NOR$ ગેટ છે જેના બંને ઇનપુટ $A$ સાથે જોડાયેલા છે. આ $NOR$ ગેટનું આઉટપુટ $\overline{A + A} = \bar{A}$ મળે છે.
$2$. બીજો ગેટ એ $NOT$ ગેટ છે. આ ગેટનું ઇનપુટ $\bar{A}$ છે,તેથી તેનું આઉટપુટ $\overline{\bar{A}} = A$ મળે છે.
$3$. ત્રીજો ગેટ એ $NAND$ ગેટ છે જેના બંને ઇનપુટ $NOT$ ગેટના આઉટપુટ (જે $A$ છે) સાથે જોડાયેલા છે. આ $NAND$ ગેટનું આઉટપુટ $\overline{A \cdot A} = \bar{A}$ મળે છે.
$4$. તેથી,પરિપથ માટેનું અંતિમ બુલિયન સમીકરણ $Y = \bar{A}$ છે.

(A) $NAND$ ગેટનું બુલિયન સમીકરણ $Y = \overline{A \cdot B}$ છે.
જો બધા જ ઈનપુટ એકસાથે જોડવામાં આવે,તો $A = B = X$ થાય.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $Y = \overline{X \cdot X}$ મળે છે.
કારણ કે $X \cdot X = X$ થાય છે,તેથી સમીકરણ $Y = \overline{X}$ માં ફેરવાય છે.
આ $NOT$ ગેટનું બુલિયન સમીકરણ છે.
તેથી,$NAND$ ગેટના બધા ઈનપુટ જોડવાથી તે $NOT$ ગેટ તરીકે કાર્ય કરે છે.

(C) લોજિક ગેટ એ કોઈપણ ડિજિટલ સર્કિટ અથવા સિસ્ટમના પાયાના ઘટકો છે. તેઓ એક અથવા વધુ બાઈનરી ઇનપુટ પર મૂળભૂત તાર્કિક કાર્યો (જેમ કે $AND$,$OR$,$NOT$,$NAND$,$NOR$,$XOR$,અને $XNOR$) કરીને એક સિંગલ બાઈનરી આઉટપુટ આપે છે. ડિજિટલ સિસ્ટમ બાઈનરી સિગ્નલ ($0$ અને $1$) પર કામ કરતી હોવાથી,કમ્પ્યુટર,કેલ્ક્યુલેટર અને અન્ય ઇલેક્ટ્રોનિક ઉપકરણોમાં માહિતીના પ્રોસેસિંગ માટે લોજિક ગેટ અનિવાર્ય છે.

(D) યુનિવર્સલ ગેટ એ એક એવો લોજિક ગેટ છે જેનો ઉપયોગ અન્ય કોઈપણ લોજિક ગેટ (જેમ કે $AND, OR, NOT, XOR, XNOR$) બનાવવા માટે કરી શકાય છે,જેમાં અન્ય કોઈ પ્રકારના ગેટની જરૂર પડતી નથી.
$NAND$ અને $NOR$ ગેટને યુનિવર્સલ ગેટ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.
આપેલા વિકલ્પોમાં,$NAND$ એ યુનિવર્સલ ગેટ છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) આપેલ લોજિક ગેટની સંજ્ઞામાં એક $AND$ ગેટ છે અને તેની પાછળ $NOT$ ઓપરેશન (આઉટપુટ પરના નાના વર્તુળ દ્વારા દર્શાવેલ છે) છે.
આ સંયોજનને $NAND$ ગેટ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.
$NAND$ ગેટ માટેનું બુલિયન સમીકરણ $Y = \overline{A \cdot B}$ છે.

(C) દરેક લોજિક ગેટનું વિશ્લેષણ કરીએ:
$(a)$ આ $NOR$ ગેટ છે જેના ઇનપુટ $1$ અને $1$ છે. $NOR$ ગેટનું આઉટપુટ $Y = \overline{A+B}$ છે. તેથી,$Y = \overline{1+1} = \overline{1} = 0$.
$(b)$ આ $NOR$ ગેટ છે જેના ઇનપુટ $0$ અને $1$ છે. આઉટપુટ $Y = \overline{0+1} = \overline{1} = 0$ છે.
$(c)$ આ $NAND$ ગેટ છે જેના ઇનપુટ $0$ અને $1$ છે. $NAND$ ગેટનું આઉટપુટ $Y = \overline{A \cdot B}$ છે. તેથી,$Y = \overline{0 \cdot 1} = \overline{0} = 1$.
$(d)$ આ $NAND$ ગેટ છે જેના ઇનપુટ $0$ અને $1$ છે. આઉટપુટ $Y = \overline{0 \cdot 1} = \overline{0} = 1$ છે.
આમ,ગેટ $(c)$ અને $(d)$ નું આઉટપુટ $1$ મળે છે.

(A) દરેક અભિવ્યક્તિ માટે $A=0$ અને $A=1$ મૂકીને તપાસીએ:
$(A)$ $A \cdot \overline{A}$:
$A=0$ માટે: $0 \cdot \overline{0} = 0 \cdot 1 = 0$.
$A=1$ માટે: $1 \cdot \overline{1} = 1 \cdot 0 = 0$.
બંને કિસ્સામાં પરિણામ $0$ હોવાથી,આ અભિવ્યક્તિ હંમેશા શૂન્ય છે.
$(B)$ $A \cdot 0$:
$A=0$ માટે: $0 \cdot 0 = 0$.
$A=1$ માટે: $1 \cdot 0 = 0$.
આ અભિવ્યક્તિ પણ હંમેશા શૂન્ય છે.
$(C)$ $\overline{A + \overline{A}}$:
$A=0$ માટે: $\overline{0 + \overline{0}} = \overline{0 + 1} = \overline{1} = 0$.
$A=1$ માટે: $\overline{1 + \overline{1}} = \overline{1 + 0} = \overline{1} = 0$.
આ અભિવ્યક્તિ પણ હંમેશા શૂન્ય છે.
$(D)$ $\overline{\overline{A} \cdot 0}$:
$A=0$ માટે: $\overline{\overline{0} \cdot 0} = \overline{1 \cdot 0} = \overline{0} = 1$.
$A=1$ માટે: $\overline{\overline{1} \cdot 0} = \overline{0 \cdot 0} = \overline{0} = 1$.
આ અભિવ્યક્તિ હંમેશા $1$ છે.

(D) બુલિયન બીજગણિતમાં,આપણે આપેલા સમીકરણોનું મૂલ્યાંકન કરીએ છીએ:
$1$. $A(B + \overline{B}) = A$ માટે: કારણ કે $B + \overline{B} = 1$,તેથી સમીકરણ $A(1) = A$ બને છે. આ સાચું છે.
$2$. $A + AB = A$ માટે: આપણે $A$ સામાન્ય કાઢતા $A(1 + B) = A$ મળે છે. કારણ કે $1 + B = 1$,તેથી સમીકરણ $A(1) = A$ બને છે. આ સાચું છે.
$3$. $A + 0 = A$ માટે: આ બુલિયન બીજગણિતનો તાદાત્મ્યનો નિયમ (Identity Law) છે,જે સાચો છે.
આમ,ત્રણેય સંબંધો સાચા હોવાથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) આપેલ પરિપથમાં બે $NAND$ ગેટનો ઉપયોગ થયો છે. પ્રથમ $NAND$ ગેટના ઇનપુટ $A$ અને $B$ છે,જેનું આઉટપુટ $X = \overline{A \cdot B}$ મળે છે. આ આઉટપુટ $X$ ને બીજા $NAND$ ગેટમાં આપવામાં આવે છે,જેના બંને ઇનપુટ એકબીજા સાથે જોડેલા છે. જ્યારે $NAND$ ગેટના બંને ઇનપુટ ટૂંકા (shorted) હોય,ત્યારે તે $NOT$ ગેટ તરીકે કાર્ય કરે છે. તેથી,અંતિમ આઉટપુટ $Y = \overline{X \cdot X} = \overline{X} = \overline{(\overline{A \cdot B})} = A \cdot B$ મળે છે. આ $AND$ ગેટનું બુલિયન સમીકરણ છે. આમ,આ સંયોજન $AND$ ગેટ દર્શાવે છે.

(B) ડી મોર્ગનના પ્રથમ પ્રમેય મુજબ,બે ચલના સરવાળાનો પૂરક એ તેમના વ્યક્તિગત પૂરકોના ગુણાકાર જેટલો હોય છે.
ગાણિતિક રીતે,આને આ રીતે દર્શાવવામાં આવે છે: $\overline{A + B} = \overline{A} \cdot \overline{B}$.
તેથી,પદ $\overline{A} \cdot \overline{B}$ એ $\overline{A + B}$ ને સમાન છે.

(A) આપેલ પરિપથ બે $NOR$ ગેટનો બનેલો છે. પ્રથમ $NOR$ ગેટના ઇનપુટ $A$ અને $B$ છે,તેથી તેનું આઉટપુટ $Y_1 = \overline{A+B}$ થશે.
બીજા $NOR$ ગેટના બંને ઇનપુટ $Y_1$ સાથે જોડાયેલા છે. જ્યારે $NOR$ ગેટના બંને ઇનપુટ એકસાથે જોડવામાં આવે,ત્યારે તે $NOT$ ગેટ તરીકે કાર્ય કરે છે.
તેથી,અંતિમ આઉટપુટ $Y = \overline{Y_1 + Y_1} = \overline{Y_1} = \overline{(\overline{A+B})} = A+B$ મળે છે.
બુલિયન સમીકરણ $Y = A+B$ એ $OR$ ગેટ દર્શાવે છે.
આમ,આ પરિપથ $OR$ ગેટને સમતુલ્ય છે.

(B) આપેલ લોજિક ગેટની સંજ્ઞાઓનું વિશ્લેષણ કરતા:
$(a)$ એ $NAND$ ગેટ દર્શાવે છે.
$(b)$ એ $XOR$ ગેટ દર્શાવે છે.
$(c)$ એ $NOR$ ગેટ દર્શાવે છે.
$(d)$ એ $NOT$ ગેટ દર્શાવે છે.
તેથી,$XOR$ ગેટ $(b)$ છે અને $NOR$ ગેટ $(c)$ છે.

(B) $NOR$ ગેટ એ $OR$ ગેટ અને ત્યારબાદ $NOT$ ગેટનું સંયોજન છે.
$NOR$ ગેટ માટેનું બુલિયન સમીકરણ $Y = \overline{A + B}$ છે.
જો બંને ઈનપુટ $A$ અને $B$ નિમ્ન $(0, 0)$ હોય,તો $A + B = 0$ થાય,અને $Y = \overline{0} = 1$ (ઉચ્ચ આઉટપુટ) મળે છે.
જો કોઈ પણ એક ઈનપુટ ઉચ્ચ હોય,તો આઉટપુટ નિમ્ન થઈ જાય છે.
તેથી,$NOR$ ગેટ માત્ર ત્યારે જ ઉચ્ચ આઉટપુટ આપે છે જ્યારે બંને ઈનપુટ નિમ્ન હોય.

(C) આપેલ સત્યાર્થ કોષ્ટક નીચે મુજબ છે:
$A=0, B=0 \implies Y=0$
$A=0, B=1 \implies Y=1$
$A=1, B=0 \implies Y=1$
$A=1, B=1 \implies Y=1$
આ સત્યાર્થ કોષ્ટક દર્શાવે છે કે જો ઇનપુટ ($A$ અથવા $B$) માંથી ઓછામાં ઓછું એક ઇનપુટ $1$ હોય,તો આઉટપુટ $Y$ એ $1$ મળે છે.
આ $OR$ ગેટની લાક્ષણિકતા છે,જ્યાં જો કોઈ પણ ઇનપુટ હાઈ $(1)$ હોય તો આઉટપુટ હાઈ $(1)$ મળે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) આપેલ બુલિયન સમીકરણ $Y = A \cdot \bar B$ છે. જેના માટે $Y = 1$ મળે તેવા ઇનપુટ શોધવા માટે આપણે નીચે મુજબનું ટુથટેબલ બનાવીએ:

$A$	$B$	$\bar B$	$Y = A \cdot \bar B$
$1$	$1$	$0$	$0$
$1$	$0$	$1$	$1$
$0$	$1$	$0$	$0$
$0$	$0$	$1$	$0$

આ ટુથટેબલ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે આઉટપુટ $Y = 1$ ત્યારે જ મળે છે જ્યારે $A = 1$ અને $B = 0$ હોય.

(B) આકૃતિ $(a)$ માટે: આ ગેટ ઇનવર્ટેડ ઇનપુટ્સ સાથેનો $OR$ ગેટ છે. આઉટપુટ $Y = \bar{A} + \bar{B}$ છે. ડી મોર્ગનના પ્રમેય મુજબ,$\bar{A} + \bar{B} = \overline{A \cdot B}$. આ $NAND$ ગેટ માટેનું બુલિયન સમીકરણ છે.
આકૃતિ $(b)$ માટે: આ ગેટ ઇનવર્ટેડ ઇનપુટ્સ સાથેનો $AND$ ગેટ છે. આઉટપુટ $Y = \bar{A} \cdot \bar{B}$ છે. ડી મોર્ગનના પ્રમેય મુજબ,$\bar{A} \cdot \bar{B} = \overline{A + B}$. આ $NOR$ ગેટ માટેનું બુલિયન સમીકરણ છે.
તેથી,$(a)$ એ $NAND$ ગેટને સમતુલ્ય છે અને $(b)$ એ $NOR$ ગેટને સમતુલ્ય છે.

(C) આ પરિપથમાં ત્રણ $NAND$ ગેટ અને એક $NOR$ ગેટનો સમાવેશ થાય છે.
ધારો કે ઇનપુટ $A$ અને $B$ છે.
પ્રથમ બે $NAND$ ગેટ $NOT$ ગેટ તરીકે કાર્ય કરે છે કારણ કે તેમના ઇનપુટ શોર્ટ કરેલા છે.
તેથી,પ્રથમ બે ગેટના આઉટપુટ $\bar{A}$ અને $\bar{B}$ મળે છે.
આ આઉટપુટ ત્રીજા $NAND$ ગેટમાં આપવામાં આવે છે.
ત્રીજા $NAND$ ગેટનું આઉટપુટ $Y' = \overline{\bar{A} \cdot \bar{B}} = A + B$ થાય છે.
આ $Y'$ ને ત્યારબાદ $NOR$ ગેટમાંથી પસાર કરવામાં આવે છે.
અંતિમ આઉટપુટ $Y = \overline{Y' + 0} = \overline{A + B}$ મળે છે.
આ $NOR$ ગેટ માટેનું બુલિયન સમીકરણ છે.

(A) આપેલ સત્યાર્થતા કોષ્ટક નીચે મુજબ છે:
$A=0, B=0 \implies Y=1$
$A=0, B=1 \implies Y=1$
$A=1, B=0 \implies Y=1$
$A=1, B=1 \implies Y=0$
આ સત્યાર્થતા કોષ્ટક દર્શાવે છે કે આઉટપુટ $Y$ માત્ર ત્યારે જ $0$ મળે છે જ્યારે બંને ઇનપુટ $A$ અને $B$ $1$ હોય. બાકીના તમામ કિસ્સાઓમાં આઉટપુટ $1$ મળે છે.
આ $NAND$ ગેટની લાક્ષણિકતા છે,જે $AND$ ગેટનું ઉલટું (inverse) છે.
$NAND$ ગેટ માટેનું બુલિયન સમીકરણ $Y = \overline{A \cdot B}$ છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(D) લોજિક ગેટને ઓળખવા માટે,આપણે આપેલ વેવફોર્મ પરથી ટ્રુથ ટેબલનું વિશ્લેષણ કરીએ છીએ:
$1$. શરૂઆતમાં,$A=0, B=0$,અને આઉટપુટ $C=0$ છે.
$2$. ત્યારબાદ,$A=1, B=0$,અને આઉટપુટ $C=1$ છે.
$3$. પછી,$A=1, B=1$,અને આઉટપુટ $C=0$ છે.
$4$. અંતે,$A=0, B=1$,અને આઉટપુટ $C=1$ છે.
ટ્રુથ ટેબલનો સારાંશ:

$A$	$B$	$C$
$0$	$0$	$0$
$1$	$0$	$1$
$1$	$1$	$0$
$0$	$1$	$1$

આને પ્રમાણિત લોજિક ગેટ સાથે સરખાવતા:
- $OR$ ગેટ માટે,$C = A + B$. અહીં,$1+1=1$,પરંતુ આઉટપુટ $0$ છે. તેથી,તે $OR$ ગેટ નથી.
- $AND$ ગેટ માટે,$C = A \cdot B$. અહીં,$1 \cdot 0 = 0$,પરંતુ આઉટપુટ $1$ છે. તેથી,તે $AND$ ગેટ નથી.
- $NOR$ ગેટ માટે,$C = \overline{A+B}$. અહીં,$0+0=1$,પરંતુ આઉટપુટ $0$ છે. તેથી,તે $NOR$ ગેટ નથી.
- $XOR$ ગેટ માટે,$C = A \oplus B$. ટ્રુથ ટેબલ $XOR$ ગેટ સાથે મેળ ખાય છે,કારણ કે આઉટપુટ ત્યારે જ $1$ હોય છે જ્યારે ઇનપુટ અલગ હોય.
તેથી,સાચો લોજિક ગેટ $XOR$ ગેટ છે.

(D) આપેલ સત્યાર્થ કોષ્ટક નીચે મુજબ છે:
$A=1, B=1 \implies Y=0$
$A=0, B=1 \implies Y=1$
$A=1, B=0 \implies Y=1$
$A=0, B=0 \implies Y=1$
આઉટપુટ $Y$ નું વિશ્લેષણ કરતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે આઉટપુટ ફક્ત ત્યારે જ $0$ મળે છે જ્યારે બંને ઇનપુટ $A$ અને $B$ $1$ હોય. અન્ય તમામ કિસ્સાઓમાં,આઉટપુટ $1$ મળે છે.
આ $NAND$ ગેટનું લાક્ષણિક વર્તન છે,જ્યાં $Y = \overline{A \cdot B}$ થાય છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) આપેલ પરિપથમાં બે $NOT$ ગેટ છે જેની પાછળ એક $NOR$ ગેટ જોડાયેલ છે.
ધારો કે ઈનપુટ $A$ અને $B$ છે. $NOT$ ગેટના આઉટપુટ $\bar{A}$ અને $\bar{B}$ મળે છે.
આ બંને $NOR$ ગેટમાં જાય છે,તેથી અંતિમ આઉટપુટ $Y$ માટેનું બુલિયન સમીકરણ:
$Y = \overline{\bar{A} + \bar{B}}$
ડી મોર્ગનના નિયમ મુજબ,$\overline{\bar{A} + \bar{B}} = \overline{\bar{A}} \cdot \overline{\bar{B}} = A \cdot B$.
આમ,આ પરિપથ $AND$ ગેટ તરીકે કાર્ય કરે છે.
ઈનપુટ તરંગ સ્વરૂપનું વિશ્લેષણ કરતા:
$1$. જ્યારે $A$ અને $B$ બંને $1$ (હાઈ) હોય,ત્યારે આઉટપુટ $Y$ એ $1$ મળે છે.
$2$. બાકીના તમામ કિસ્સામાં,આઉટપુટ $Y$ એ $0$ મળે છે.
આપેલ વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,જે તરંગ સ્વરૂપ $A$ અને $B$ ના $AND$ ઓપરેશનને દર્શાવે છે તે સાચું છે.

(A) આપેલ પરિપથમાં એક $OR$ ગેટ અને ત્યારબાદ એક $AND$ ગેટ છે.
ધારો કે $OR$ ગેટનું આઉટપુટ $X$ છે. તેથી $X = A + B$.
અંતિમ આઉટપુટ $Y$ એ $AND$ ગેટનું આઉટપુટ છે,જે $X$ અને $C$ ને ઈનપુટ તરીકે લે છે. તેથી,$Y = X \cdot C = (A + B) \cdot C$.
આઉટપુટ $Y = 1$ મેળવવા માટે,$AND$ ગેટના બંને ઈનપુટ $1$ હોવા જોઈએ. તેથી,$X = 1$ અને $C = 1$.
કારણ કે $X = A + B = 1$,તેથી $A$ અથવા $B$ માંથી ઓછામાં ઓછું એક $1$ હોવું જોઈએ.
વિકલ્પો તપાસતા:
$A) 101: A=1, B=0, C=1 \implies Y = (1+0) \cdot 1 = 1 \cdot 1 = 1$.
$B) 100: A=1, B=0, C=0 \implies Y = (1+0) \cdot 0 = 1 \cdot 0 = 0$.
$C) 110: A=1, B=1, C=0 \implies Y = (1+1) \cdot 0 = 1 \cdot 0 = 0$.
$D) 010: A=0, B=1, C=0 \implies Y = (0+1) \cdot 0 = 1 \cdot 0 = 0$.
આમ,સાચો ઈનપુટ $101$ છે.

(D) દ્વિઅંકી સંખ્યાને દશાંશમાં રૂપાંતર કરવા માટે,આપણે દરેક અંકને દ્વિઅંકી બિંદુથી તેના સ્થાનના આધારે $2$ ની ઘાત વડે ગુણીએ છીએ.
દ્વિઅંકી સંખ્યા $1011.01$ માટે:
$1 \times 2^3 + 0 \times 2^2 + 1 \times 2^1 + 1 \times 2^0 + 0 \times 2^{-1} + 1 \times 2^{-2}$
$= 8 + 0 + 2 + 1 + 0 + 0.25$
$= 11.25$
આમ,દશાંશ સમકક્ષ સંખ્યા $11.25$ છે.

(B) આપેલ પરિપથમાં બે $AND$ ગેટ,બે $NOT$ ગેટ અને એક $OR$ ગેટનો સમાવેશ થાય છે.
ધારો કે ઇનપુટ $A$ અને $B$ છે.
ઉપરનો $AND$ ગેટ $A$ અને $\overline{B}$ ઇનપુટ મેળવે છે,તેથી તેનું આઉટપુટ $A\overline{B}$ છે.
નીચેનો $AND$ ગેટ $\overline{A}$ અને $B$ ઇનપુટ મેળવે છે,તેથી તેનું આઉટપુટ $\overline{A}B$ છે.
$OR$ ગેટ આ બંને આઉટપુટનો સરવાળો કરે છે.
તેથી,અંતિમ આઉટપુટ $Y$ બુલિયન સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $Y = A\overline{B} + \overline{A}B$.
આ સમીકરણ $XOR$ (Exclusive-$OR$) લોજિક ગેટને અનુરૂપ છે.

(C) આપેલ સર્કિટમાં બે $NOT$ ગેટ અને ત્યારબાદ એક $NOR$ ગેટ છે.
ધારો કે ઇનપુટ $A$ અને $B$ છે.
બે $NOT$ ગેટના આઉટપુટ $\overline{A}$ અને $\overline{B}$ મળે છે.
આ $NOR$ ગેટના ઇનપુટ તરીકે કાર્ય કરે છે.
$NOR$ ગેટનું આઉટપુટ $Y$ નીચે મુજબ મળે છે:
$Y = \overline{\overline{A} + \overline{B}}$
ડી મોર્ગનના પ્રમેય મુજબ,$\overline{X + Y} = \overline{X} \cdot \overline{Y}$.
તેથી,$Y = \overline{\overline{A}} \cdot \overline{\overline{B}}$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\overline{\overline{A}} = A$ અને $\overline{\overline{B}} = B$,તેથી:
$Y = A \cdot B$
આ $AND$ ગેટ માટેનું બુલિયન સમીકરણ છે.

(A) બુલિયન બીજગણિતમાં,ચલ $A$ માત્ર બે જ કિંમતો ધારણ કરી શકે છે: $0$ અથવા $1$।
જો $A = 0$ હોય,તો $\bar{A} = 1$ થાય. તેથી,$A \cdot \bar{A} = 0 \cdot 1 = 0$ થાય.
જો $A = 1$ હોય,તો $\bar{A} = 0$ થાય. તેથી,$A \cdot \bar{A} = 1 \cdot 0 = 0$ થાય.
બંને શક્ય કિસ્સાઓમાં,પરિણામ $0$ મળે છે. આમ,$A \cdot \bar{A} = 0$.

(C) આ સર્કિટમાં એક $OR$ ગેટ અને એક $NAND$ ગેટ છે,જેમના આઉટપુટ એક $AND$ ગેટમાં જાય છે.
ધારો કે ઇનપુટ $A$ અને $B$ છે.
$OR$ ગેટનું આઉટપુટ $(A + B)$ છે.
$NAND$ ગેટનું આઉટપુટ $(\overline{A \cdot B})$ છે.
$AND$ ગેટનું અંતિમ આઉટપુટ $Y$ નીચે મુજબ છે:
$Y = (A + B) \cdot (\overline{A \cdot B})$
ડી મોર્ગનના પ્રમેય મુજબ,$\overline{A \cdot B} = \overline{A} + \overline{B}$.
તેથી,$Y = (A + B) \cdot (\overline{A} + \overline{B})$
$Y = A \cdot \overline{A} + A \cdot \overline{B} + B \cdot \overline{A} + B \cdot \overline{B}$
કારણ કે $A \cdot \overline{A} = 0$ અને $B \cdot \overline{B} = 0$,આપણને મળે છે:
$Y = A \cdot \overline{B} + B \cdot \overline{A}$
આ $XOR$ ગેટ માટેનું બુલિયન સમીકરણ છે.

(D) આકૃતિમાં દર્શાવેલ લોજીક ગેટ એ $3$-ઈનપુટ $AND$ ગેટ છે.
$AND$ ગેટ માટે,આઉટપુટ $Y$ ત્યારે જ $1$ મળે જો બધા જ ઈનપુટ $1$ હોય.
તેથી,$Y = 1$ મેળવવા માટે,ઈનપુટ $A = 1, B = 1$ અને $C = 1$ હોવા જોઈએ.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) આ પરિપથમાં એક $OR$ ગેટ અને ત્યારબાદ એક $AND$ ગેટ જોડાયેલ છે.
$1$. $OR$ ગેટના ઇનપુટ $A$ અને $B$ છે. તેથી,$OR$ ગેટનું આઉટપુટ $(A + B)$ મળે છે.
$2$. $AND$ ગેટના ઇનપુટ $A$ અને $OR$ ગેટનું આઉટપુટ $(A + B)$ છે.
$3$. $AND$ ગેટનું અંતિમ આઉટપુટ $Y$ બુલિયન સમીકરણ દ્વારા મળે છે: $Y = A \cdot (A + B)$.
$4$. બુલિયન બીજગણિતના વિભાજનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $Y = A \cdot A + A \cdot B$.
$5$. કારણ કે $A \cdot A = A$ થાય છે,તેથી $Y = A + A \cdot B$.
$6$. $A$ સામાન્ય લેતા,આપણને $Y = A \cdot (1 + B)$ મળે છે.
$7$. કારણ કે $(1 + B) = 1$ થાય છે,તેથી અંતિમ સમીકરણ $Y = A \cdot 1 = A$ મળે છે.

(B) $NAND$ ગેટનો ઉપયોગ કરીને $AND$ ગેટ બનાવવા માટે,આપણે પહેલા ઇનપુટ $A$ અને $B$ ને એક $NAND$ ગેટમાંથી પસાર કરીએ છીએ. આ પ્રથમ ગેટનું આઉટપુટ $Y_1 = \overline{A \cdot B}$ મળે છે.
ત્યારબાદ,આ આઉટપુટ $Y_1$ ને બીજા $NAND$ ગેટમાંથી પસાર કરીએ છીએ જેના બંને ઇનપુટ ટર્મિનલ શોર્ટ કરેલા છે. શોર્ટ કરેલા ઇનપુટ વાળો $NAND$ ગેટ $NOT$ ગેટ તરીકે કાર્ય કરે છે. તેથી,અંતિમ આઉટપુટ $Y = \overline{Y_1} = \overline{(\overline{A \cdot B})} = A \cdot B$ મળે છે.
આમ,$AND$ ગેટ બનાવવા માટે $2$ $NAND$ ગેટની જરૂર પડે છે.

(A) પ્રથમ પરિપથમાં,બે $NAND$ ગેટ એવી રીતે જોડાયેલા છે કે બીજો ગેટ $NOT$ ગેટ તરીકે કાર્ય કરે છે (કારણ કે તેના ઇનપુટ્સ શોર્ટ કરેલા છે). પ્રથમ $NAND$ ગેટનું આઉટપુટ $\overline{A \cdot B}$ છે. તેને $NOT$ ગેટમાંથી પસાર કરતા $Y = \overline{\overline{A \cdot B}} = A \cdot B$ મળે છે,જે $AND$ ઓપરેશન છે.
બીજા પરિપથમાં,ત્રણ $NAND$ ગેટ છે. ઇનપુટ્સ $A$ અને $B$ ને $NOT$ ગેટ તરીકે કાર્ય કરતા $NAND$ ગેટમાંથી પસાર કરવામાં આવે છે,જેના પરિણામે $\overline{A}$ અને $\overline{B}$ મળે છે. ત્યારબાદ આને ત્રીજા $NAND$ ગેટમાં આપવામાં આવે છે. આઉટપુટ $Y = \overline{\overline{A} \cdot \overline{B}}$ છે. ડી મોર્ગનના નિયમ મુજબ,$Y = \overline{\overline{A}} + \overline{\overline{B}} = A + B$,જે $OR$ ઓપરેશન છે.
તેથી,આ પરિપથો અનુક્રમે $AND$ અને $OR$ ઓપરેશન દર્શાવે છે.

(C) આપેલ બુલિયન સમીકરણ $Y = A + \bar B$ છે.
$Y = 0$ મળે તેવા ઇનપુટ શોધવા માટે,આપણે ટ્રુથ ટેબલ બનાવીએ:

$A$	$B$	$\bar B$	$Y = A + \bar B$
$1$	$1$	$0$	$1 + 0 = 1$
$1$	$0$	$1$	$1 + 1 = 1$
$0$	$1$	$0$	$0 + 0 = 0$
$0$	$0$	$1$	$0 + 1 = 1$

ટ્રુથ ટેબલ પરથી સ્પષ્ટ છે કે આઉટપુટ $Y = 0$ ત્યારે જ મળે છે જ્યારે $A = 0$ અને $B = 1$ હોય.

(B) આ પરિપથમાં બે $NAND$ ગેટનો ઉપયોગ $NOT$ ગેટ તરીકે (કારણ કે તેમના ઇનપુટ્સ શોર્ટ કરેલા છે) અને ત્યારબાદ એક $NAND$ ગેટનો ઉપયોગ થયેલ છે.
ધારો કે ઇનપુટ્સ $A$ અને $B$ છે.
પ્રથમ $NAND$ ગેટનું આઉટપુટ (જે $NOT$ ગેટ તરીકે કાર્ય કરે છે) $\overline{A}$ છે.
બીજા $NAND$ ગેટનું આઉટપુટ (જે $NOT$ ગેટ તરીકે કાર્ય કરે છે) $\overline{B}$ છે.
આ આઉટપુટ અંતિમ $NAND$ ગેટમાં આપવામાં આવે છે.
તેથી આઉટપુટ $X = \overline{(\overline{A} \cdot \overline{B})}$ મળે.
ડી મોર્ગનના નિયમ મુજબ,$X = \overline{\overline{A}} + \overline{\overline{B}} = A + B$.
આમ,આ સંયોજન $OR$ ગેટ તરીકે કાર્ય કરે છે.

(C) આપેલ લૉજિક પરિપથમાં એક $NOR$ ગેટ છે જેની પાછળ એક $NOT$ ગેટ (જે ટૂંકા કરેલા ઇનપુટ્સવાળા $NOR$ ગેટ દ્વારા દર્શાવેલ છે) જોડાયેલ છે.
ધારો કે પ્રથમ $NOR$ ગેટનું આઉટપુટ $Y' = \overline{A + B}$ છે.
આ આઉટપુટ $Y'$ ને બીજા $NOR$ ગેટમાં આપવામાં આવે છે જેના ઇનપુટ્સ શોર્ટ કરેલા છે,જે $NOT$ ગેટ તરીકે કાર્ય કરે છે.
તેથી,અંતિમ આઉટપુટ $Y = \overline{Y'} = \overline{\overline{A + B}} = A + B$ મળે છે.
આ $OR$ ગેટનું બુલિયન સમીકરણ છે.
$OR$ ગેટ માટેનું ટ્રુથ ટેબલ વિકલ્પ $C$ માં આપેલ છે.

(D) $NOR$ ગેટના ઇનપુટ એ $A$ અને $B$ ના ઇન્વર્ટેડ ઇનપુટ છે. ધારો કે $NOR$ ગેટના ઇનપુટ $A' = \bar{A}$ અને $B' = \bar{B}$ છે.
$NOR$ ગેટનું આઉટપુટ $Y = \overline{A' + B'}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$A'$ અને $B'$ ની કિંમતો મૂકતા, આપણને $Y = \overline{\bar{A} + \bar{B}}$ મળે છે.
ડી મોર્ગનના પ્રમેય મુજબ, $\overline{\bar{A} + \bar{B}} = \overline{\bar{A}} \cdot \overline{\bar{B}} = A \cdot B$.
તેથી, આઉટપુટ $Y = A \cdot B$ મળે છે, જે $AND$ ગેટ માટેનું બુલિયન સમીકરણ છે.

(C) આપેલ પરિપથમાં એક $NOR$ ગેટ છે જેની પાછળ એક $NOT$ ગેટ જોડાયેલ છે (બીજો ગેટ જેના ઇનપુટ ટૂંકા કરેલા છે તે $NOT$ ગેટ તરીકે કાર્ય કરે છે).
$1$. પ્રથમ $NOR$ ગેટનું આઉટપુટ $C = \overline{A+B}$ છે.
$2$. બીજો ગેટ એક $NOT$ ગેટ છે (કારણ કે બંને ઇનપુટ એકસાથે જોડાયેલા છે),તેથી તેનું આઉટપુટ $Y = \overline{C}$ છે.
$3$. $C$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $Y = \overline{(\overline{A+B})} = A+B$ મળે છે.
$4$. આ $OR$ ગેટ માટેનું બુલિયન સમીકરણ છે.
$5$. $OR$ ગેટ માટેનું ટ્રુથ ટેબલ નીચે મુજબ છે:
- જો $A=0, B=0$,તો $Y=0$.
- જો $A=0, B=1$,તો $Y=1$.
- જો $A=1, B=0$,તો $Y=1$.
- જો $A=1, B=1$,તો $Y=1$.
આ વિકલ્પ $C$ સાથે સુસંગત છે.

(C) દ્વિઅંકી સંખ્યા $1000101.101$ ને દશાંશમાં રૂપાંતરિત કરવા માટે,આપણે તેને $2$ ના ઘાતાંકનો ઉપયોગ કરીને વિસ્તૃત કરીએ છીએ:
$1000101.101 = (1 \times 2^6) + (0 \times 2^5) + (0 \times 2^4) + (0 \times 2^3) + (1 \times 2^2) + (0 \times 2^1) + (1 \times 2^0) + (1 \times 2^{-1}) + (0 \times 2^{-2}) + (1 \times 2^{-3})$
$= 64 + 0 + 0 + 0 + 4 + 0 + 1 + 0.5 + 0 + 0.125$
$= 69 + 0.625$
$= 69.625$
આમ,દશાંશ સમકક્ષ $69.625$ છે.

(C) આપેલ સર્કિટમાં બે $NOT$ ગેટ, બે $AND$ ગેટ અને એક $OR$ ગેટનો સમાવેશ થાય છે.
ધારો કે ઇનપુટ $A$ અને $B$ છે.
પ્રથમ $AND$ ગેટનું આઉટપુટ $Y_1 = (\text{NOT } A) \text{ AND } B = \bar{A} \cdot B$ છે.
બીજા $AND$ ગેટનું આઉટપુટ $Y_2 = A \text{ AND } (\text{NOT } B) = A \cdot \bar{B}$ છે.
અંતિમ આઉટપુટ $Y$ એ $Y_1$ અને $Y_2$ નું $OR$ સંયોજન છે: $Y = Y_1 + Y_2 = \bar{A}B + A\bar{B}$.
આ $XOR$ ગેટ માટેનું બુલિયન સમીકરણ છે.
$XOR$ ગેટ માટેનું ટુથટેબલ નીચે મુજબ છે:
- જો $A=0, B=0$ હોય, તો $Y = \bar{0} \cdot 0 + 0 \cdot \bar{0} = 1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 = 0 + 0 = 0$.
- જો $A=0, B=1$ હોય, તો $Y = \bar{0} \cdot 1 + 0 \cdot \bar{1} = 1 \cdot 1 + 0 \cdot 0 = 1 + 0 = 1$.
- જો $A=1, B=0$ હોય, તો $Y = \bar{1} \cdot 0 + 1 \cdot \bar{0} = 0 \cdot 0 + 1 \cdot 1 = 0 + 1 = 1$.
- જો $A=1, B=1$ હોય, તો $Y = \bar{1} \cdot 1 + 1 \cdot \bar{1} = 0 \cdot 1 + 1 \cdot 0 = 0 + 0 = 0$.
આમ, સાચું ટુથટેબલ વિકલ્પ $C$ છે.

(B) $NAND$ ગેટ $Y = \overline{A \cdot B}$ ઓપરેશન કરે છે.
ઈનપુટ વેવફોર્મ્સના આધારે:
$t = 0-2 \ s$ માટે: $A=1, B=0 \implies A \cdot B = 0 \implies Y = \overline{0} = 1$.
$t = 2-4 \ s$ માટે: $A=0, B=0 \implies A \cdot B = 0 \implies Y = \overline{0} = 1$.
$t = 4-6 \ s$ માટે: $A=1, B=0 \implies A \cdot B = 0 \implies Y = \overline{0} = 1$.
$t = 6-8 \ s$ માટે: $A=1, B=1 \implies A \cdot B = 1 \implies Y = \overline{1} = 0$.
$t > 8 \ s$ માટે: $A=0, B=0 \implies A \cdot B = 0 \implies Y = \overline{0} = 1$.
આમ,આઉટપુટ $Y$ એ $0-6 \ s$ માટે $1$,$6-8 \ s$ માટે $0$ અને $t > 8 \ s$ માટે $1$ છે. આ વિકલ્પ $B$ માં દર્શાવેલ વેવફોર્મ સાથે મેળ ખાય છે.

(D) સત્યાર્થ કોષ્ટક દર્શાવે છે કે આઉટપુટ $Y$ માત્ર ત્યારે જ $1$ મળે છે જ્યારે બંને ઇનપુટ $A$ અને $B$ શૂન્ય $(0)$ હોય.
ઇનપુટના અન્ય તમામ સંયોજનો ($1,1$; $1,0$; $0,1$) માટે,આઉટપુટ $Y$ એ $0$ છે.
આ વર્તણૂક બુલિયન સમીકરણ $Y = \overline{A + B}$ ને અનુરૂપ છે.
આ $NOR$ ગેટની વ્યાખ્યા છે,જે $OR$ ગેટ અને ત્યારબાદ $NOT$ ગેટનું સંયોજન છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) આપેલ સત્યાર્થ કોષ્ટક નીચે મુજબ છે:
$A=0, B=0 \implies Y=0$
$A=0, B=1 \implies Y=1$
$A=1, B=0 \implies Y=1$
$A=1, B=1 \implies Y=0$
આ સત્યાર્થ કોષ્ટક $XOR$ (Exclusive-$OR$) ગેટ માટે છે.
$XOR$ ગેટમાં,જો ઇનપુટ અલગ-અલગ હોય તો આઉટપુટ $1$ મળે છે અને જો ઇનપુટ સમાન હોય તો આઉટપુટ $0$ મળે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) બુલિયન બીજગણિતમાં,સમીકરણ $Y = A + B$ એ તાર્કિક $OR$ ઓપરેશન દર્શાવે છે.
આ ઓપરેશનમાં,આઉટપુટ $Y$ એ $1$ (હાઈ) હોય છે જો ઈનપુટ $A$ અથવા $B$ માંથી ઓછામાં ઓછું એક $1$ (હાઈ) હોય.
આનો અર્થ એ છે કે $Y$ એ $1$ છે જો $A=1$ હોય,અથવા $B=1$ હોય,અથવા બંને $A=1$ અને $B=1$ હોય.
તેથી,આઉટપુટ $Y$ ત્યારે અસ્તિત્વ ધરાવે છે જો $A$ અથવા $B$ અથવા બંને $A$ અને $B$ અસ્તિત્વ ધરાવતા હોય.

(C) આપેલી લોજિક ગેટની સંજ્ઞાઓનું અવલોકન કરતા:
$(a)$ એ $OR$ ગેટ દર્શાવે છે.
$(b)$ એ $AND$ ગેટ દર્શાવે છે.
$(c)$ એ $NOR$ ગેટ દર્શાવે છે.
$(d)$ એ $NAND$ ગેટ દર્શાવે છે.
તેથી,$OR$,$NOR$ અને $NAND$ ગેટ માટેની સંજ્ઞાઓ અનુક્રમે $a$,$c$ અને $d$ છે.

(D) આ પરિપથમાં બે OR ગેટ અને ત્યારબાદ એક AND ગેટનો ઉપયોગ થયેલ છે.
ધારો કે પ્રથમ OR ગેટના ઇનપુટ $W$ અને $Y$ છે. તેનું આઉટપુટ $(W + Y)$ મળે છે.
ધારો કે બીજા OR ગેટના ઇનપુટ $W$ અને $X$ છે. તેનું આઉટપુટ $(W + X)$ મળે છે.
આ બંને આઉટપુટ એક AND ગેટમાં જાય છે.
તેથી, અંતિમ આઉટપુટ $Z = (W + Y) . (W + X)$ $\text{મળે છે}$.
$\text{બુલિયન બીજગણિતના વિભાજનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા}$: $Z = W . W + W . X + Y . W + Y . X$.
$\text{કારણ કે } W . W = W$, $\text{તેથી } Z = W + W . X + W . Y + X . Y$.
$W$ $\text{ને સામાન્ય લેતા}$: $Z = W . (1 + X + Y) + X . Y$.
$\text{કારણ કે } (1 + X + Y) = 1$, $\text{તેથી } Z = W . (1) + X . Y = W + X . Y$.

(A) આપેલ પરિપથમાં,જ્યારે ઇનપુટ $A$ અથવા $B$ અથવા બંને $A$ અને $B$ લોજિક લેવલ $'1'$ પર હોય,ત્યારે ઓછામાં ઓછો એક ડાયોડ ફોરવર્ડ બાયસમાં આવે છે અને આઉટપુટ $C$ એ $'1'$ બને છે.
જ્યારે બંને ઇનપુટ $A$ અને $B$ લોજિક લેવલ $'0'$ પર હોય,ત્યારે બંને ડાયોડ રિવર્સ બાયસમાં રહે છે અને આઉટપુટ $C$ એ લોજિક લેવલ $'0'$ પર રહે છે.
આ વર્તણૂક $OR$ ગેટના ટ્રુથ ટેબલને અનુરૂપ છે.

(D) આપેલ પરિપથમાં,બે સ્વિચ $A$ અને $B$ સમાંતર જોડાણમાં છે.
જો સ્વિચ $A$ બંધ હોય ($1$ તરીકે દર્શાવેલ) અથવા સ્વિચ $B$ બંધ હોય ($1$ તરીકે દર્શાવેલ),તો પરિપથમાં વિદ્યુતપ્રવાહ વહેશે અને લેમ્પ પ્રકાશિત થશે (આઉટપુટ $Y = 1$).
જો બંને સ્વિચ $A$ અને $B$ ખુલ્લી હોય ($0$ તરીકે દર્શાવેલ),તો વિદ્યુતપ્રવાહ વહેશે નહીં અને લેમ્પ પ્રકાશિત થશે નહીં (આઉટપુટ $Y = 0$).
આ પરિપથ માટેનું ટ્રુથ ટેબલ નીચે મુજબ છે:
$A=0, B=0 \implies Y=0$
$A=0, B=1 \implies Y=1$
$A=1, B=0 \implies Y=1$
$A=1, B=1 \implies Y=1$
આ ટ્રુથ ટેબલ $OR$ ગેટને અનુરૂપ છે.

(C) આપેલ સત્યાર્થ કોષ્ટક નીચે મુજબ છે:
$A=0, B=0 \implies Y=1$
$A=0, B=1 \implies Y=0$
$A=1, B=0 \implies Y=0$
$A=1, B=1 \implies Y=1$
આ સત્યાર્થ કોષ્ટક $XNOR$ ગેટ (Exclusive $NOR$ gate) ને અનુરૂપ છે.
$XNOR$ ગેટ માટેનું બુલિયન સમીકરણ $Y = A \odot B = \overline{A \oplus B} = AB + \overline{A}\overline{B}$ છે.
કિંમતો તપાસતા:
$(0,0)$ માટે: $Y = (0)(0) + (1)(1) = 0 + 1 = 1$.
$(0,1)$ માટે: $Y = (0)(1) + (1)(0) = 0 + 0 = 0$.
$(1,0)$ માટે: $Y = (1)(0) + (0)(1) = 0 + 0 = 0$.
$(1,1)$ માટે: $Y = (1)(1) + (0)(0) = 1 + 0 = 1$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) આ પરિપથમાં એક $NOR$ ગેટ,એક $NAND$ ગેટ (જેના બંને ઇનપુટ જોડેલા છે,તેથી તે $NOT$ ગેટ તરીકે વર્તે છે) અને એક $NOT$ ગેટનો સમાવેશ થાય છે.
$1$. $NOR$ ગેટનું આઉટપુટ $X = \overline{A+B}$ છે.
$2$. જ્યારે $NAND$ ગેટના બંને ઇનપુટ એકસાથે જોડવામાં આવે,ત્યારે તે $NOT$ ગેટ તરીકે કાર્ય કરે છે. તેનું આઉટપુટ $Z = \overline{X \cdot X} = \overline{X} = \overline{\overline{A+B}} = A+B$ થાય છે.
$3$. છેલ્લો $NOT$ ગેટ આ આઉટપુટનું વ્યસ્ત કરે છે: $Y = \overline{Z} = \overline{A+B}$.
આમ,આપેલ પરિપથ $NOR$ ગેટને સમતુલ્ય છે.